propedéutico de matemática -...

GUÍA DE ESTUDIO SEMIPRESENCIAL

Propedéutico deMatemática

Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

Ingra. Claudia Elizabeth Chapas

Guía de estudio semipresencial

Propedeútico de Matemática

Editor © 2012 Departamento de Procesos Académicos, Dirección

Académica para Campus y Sedes Regionales, Vicerrectoría

Académica.

© 2012 Universidad Rafael Landívar, Guatemala, Guatemala, C. A.

Compiladora Claudia Elizabeth Chapas

Reservados todos los derechos por el editor, de conformidad con la ley. Este material no puede

ser reproducido total o parcialmente, por ningún medio mecánico o electrónico, sin expreso

consentimiento del editor.

ISBN 978-9929-575-20-2

Producción © 2012 Departamento de Procesos Académicos y Facultad de

Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad Rafael

Landívar (Edición preliminar en proceso de validación)

Dirección Juan Carlos Leonardo Barillas

Coordinación de Producción Leslie Quiñónez de Clayton

Coordinación de Edición Amparo Valenzuela Pineda - Jennifer Luther de León

Editora Amparo Valenzuela Pineda

Los contenidos de este material se publican con la debida autorización de Facultad.

- 1 -

PRESENTACIÓN Estimado Estudiante: La presente guía de estudio ha sido elaborada por un profesional

especialista en la materia, pensando en usted y fundamentalmente para

apoyar su proceso de formación en la carrera universitaria que ha elegido.

El éxito en sus estudios requiere de dedicación, esfuerzo y constancia, los

cuales se generan por medio del trabajo en el aula y el desarrollo de otras

actividades fuera de ella. En este sentido, tiene en sus manos una

herramienta de apoyo didáctico para la organización y retroalimentación

de los contenidos del curso.

La guía del curso Propedéutico de Matemática elaborada por la

Ingeniera Claudia Elizabeth Chapas, está diseñada a partir de los

contenidos que se desarrollarán en el curso y plantea actividades de

reflexión, análisis y ejercitación, con el fin de afianzar y ampliar los

conocimientos obtenidos.

Es por ello que le motivamos a realizar con mucho entusiasmo cada una

de las actividades diseñadas, lo redundará en un mejor desempeño

académico.

M.A. Rosemary Méndez de Herrera Directora Departamento Sedes Regionales Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales

Propedéutico de Matemática

- 2 -

INTRODUCCIÓN

La presente guía de estudio tiene como objetivo principal reforzar el

trabajo práctico, analítico y autodidacta, para el curso de Propedéutico de

Matemática de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de esta

Universidad.

Como puede observarse en la metodología que se utiliza en el desarrollo

de cada una de las unidades del curso, el énfasis es lograr que el estudiante

investigue, estudie, analice cada uno de los temas. Se empieza cada sección

con una lectura previa de conocimiento general y ejercicios prácticos que

deberán realizar con la ayuda del libro de texto o textos recomendados.

Al final de cada hoja de trabajo se colocan las respuestas de algunos

ejercicios seleccionados para que el estudiante pueda verificar que sus

procedimientos son correctos.

Esta propuesta es una guía no sólo para uso del alumno, sino también,

para el profesor para que pueda desarrollar el curso de forma eficiente. Su

presencia en la modalidad a distancia es estratégica, pero se pretende lograr,

que también sea para la educación presencial un instrumento que pueda

colaborar a mejorar notoriamente los resultados de aprendizaje.


- 3 -

PROGRAMA DE PROPEDEUTICO DE MATEMÁTICA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

Información general

Nombre del curso: Propedéutico de Matemática

Ciclo académico: Primer ciclo 2008

Prerrequisito: ninguno

Créditos: 4

Objetivo General:

Que el estudiante adquiera los conocimientos de la aritmética y el

álgebra que le permitan cursar eficientemente las asignaturas del área de

Matemática de su pensum.

CONTENIDO

1. ARITMÉTICA

1.1 Breve introducción al conjunto de los números enteros.

1.2 Números racionales

Definición de número racional.

Suma, diferencia, producto y cociente, incluyendo sus propiedades.

Transformación de una fracción a un denominador dado.

Simplificación de una fracción.


- 4 -

2. ÁLGEBRA

2.1 Los números reales

Los números irracionales: definición y ejemplos.

La recta numérica y los números reales.

La relación de orden.

Intervalos.

Valor absoluto.

2.2 Expresiones algebraicas

Término algebraico.

Simplificación de términos semejantes.

Signos de agrupación y jerarquía de las operaciones.

Suma y diferencia de expresiones algebraicas.

2.3 Exponentes y radicales

Exponentes enteros.

Leyes de los exponentes.

Exponentes fraccionarios y radicales.

Leyes de los radicales.

Racionalización de expresiones que contienen raíces cuadradas.

2.4 Productos y expresiones racionales

Productos notables.

Factorización.

División de polinomios.

Definición de expresión racional.

Simplificación de expresiones racionales.


- 5 -

3. ECUACIONES

3.1 Definición de ecuación.

3.2 Conjunto referencial. Condición. Conjunto Solución.

3.3 Ecuación lineal. Problemas cuyo planteamiento conduce a una

ecuación lineal.

3.4 Cálculo de porcentajes.

3.5 Ecuación cuadrática. Fórmula general cuadrática. Métodos de

resolución.

3.6 Problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática.

4. DESIGUALDADES

4.1 Orden y desigualdades en el conjunto de los números reales.

4.2 Intervalos. Definición. Representación gráfica y expresión por

comprensión.

4.3 Operaciones con intervalos: Unión, Intersección y Diferencia.

4.4 Desigualdades lineales de una variable.

4.5 Valor absoluto. Definición y propiedades.

4.6 Problemas cuyo planteamiento conduce a una desigualdad.

4.7 Desigualdades cuadráticas en una variable.


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CRONOGRAMA DEL DESARROLLO DE LA GUÍA DE ESTUDIO

NUMERO DE SEMANAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PRIMERA UNIDAD

SEGUNDA UNIDAD

TERCERA UNIDAD

CUARTA UNIDAD

BIBLIOGRAFÍA

La bibliografía presentada a continuación tiene como objetivo ser una guía de

consulta donde los estudiantes puedan investigar y profundizar sobre los

temas del curso.

• Arya - Jagdish. (1993). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la

Economía. Tercera Edición. Editorial Prentice Hall. Hispanoamérica, S.A.

• (TEXTO) Echeverría, Ortiz y Rodríguez. (2005). Temas de Matemática

Preuniversitaria. Segunda Edición. URL - Guatemala.

• Haeussler, Ernest F. (2003). Matemáticas para Administración,

Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Traducción al español de la

décima edición en inglés. Prentice Hall Hispanoamericana S.A.

• Miller, Charles. (1999). Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Octava

Edición. Editorial Pearson.

• Sandoval, Dennisse de. (1994). Matemática I. Primera Edición. PROFASR,

URL. Guatemala.

• Spiegel. (1991). Algebra Superior. Serie de compendios Schaum. Editorial

Mc- Graw Hill.

Estimado Estudiante

Lea las siguientes orientaciones que le ayudarán a obtener un mejor aprovechamiento del curso.

Antes de iniciar cada Módulo… Dentro de la corriente constructivista se hace énfasis en que, para lograr el aprendizaje significativo, se debe partir de los aprendizajes previos –presaberes- del estudiante. Inicie usted su nueva unidad verificando qué sabe de ella, qué actitudes manejará respecto del contenido y qué habilidades y destrezas ya posee. Esto contribuirá, indudablemente, a lograr un mejor nivel de aprendizaje.

Antes de realizar cada Actividad…

Para la realización de estas actividades es necesario combinar el trabajo en grupo e individual. De acuerdo al constructivismo social de Vygotsky, es preferible iniciar el trabajo en grupo –aprendizaje cooperativo-, y, luego, pasar a las actividades individuales. Su docente organizará grupos (de 3-5 estudiantes) para que realicen las actividades grupales y, luego de la puesta en común de las respuestas, trabajarán individualmente las actividades.

Antes de realizar cada Autoevaluación…

La Autoevaluación es una fase indispensable en todo proceso de aprendizaje, y con mayor razón en este curso. Las preguntas que usted conteste le permitirán analizar qué tanto ha asimilado de los principales temas y en cuáles necesita reforzar.

Al finalizar el estudio de esta Guía ingrese al portal de la Universidad Rafael Landívar y realice la evaluación que se le solicita de este material.


- 7 -

”El mundo es en todas sus partes, una Aritmética en su

desarrollo y una Geometría realizada en su reposo”. (Bordas-

Desmoulin).

I. PRIMERA UNIDAD

Objetivo:

Al finalizar la unidad de Aritmética el estudiante estará en capacidad de:

• Diferenciar números irracionales de racionales y enteros

• Operar eficientemente números racionales.

1. ARITMÉTICA

1.1. Breve introducción al conjunto de los números enteros.

1.2. Números racionales

Definición de número racional.

Suma, diferencia, producto y cociente, incluyendo sus propiedades.

Transformación de una fracción a un denominador dado.

Simplificación de una fracción.


- 8 -

PRIMERA SEMANA

¿Qué es la Aritmética y cuál es su historia?

En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de números enteros,

encontrados inscritos en objetos que indican una clara concepción de la suma y

resta; el más conocido es el hueso Ishango de África central, que se data entre

18000 y 20000 a. C.

Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi

todos los aspectos de la aritmética elemental en 1800 a. C., aunque los

historiadores sólo pueden especular sobre los métodos utilizados para generar

los resultados aritméticos - tal y como se muestra, por ejemplo, en la tablilla

de arcilla Plimpton 322, que parece ser una lista de Pitágoras triples, pero sin

mostrar cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el egipcio Papiro de

Ahmes (que data de ca. 1650 a. C., aunque es una copia de un antiguo texto de

ca. 1850 a. C.) muestra sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, utilizando

un sistema de fracciones.

Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120 a. C.) resume la filosofía de

Pitágoras enfocada a los números, y sus relaciones, en su Introducción a la

Aritmética. En esa época, las operaciones aritméticas básicas eran muy

complicadas, hasta que comenzó a utilizarse el método conocido como "Método

de los indios" (en latín "Modus Indorum") que se convirtió en la aritmética que

hoy conocemos. La aritmética india era mucho más simple que la aritmética

griega, debido a la simplicidad del sistema numérico indio que, además poseía el


- 9 -

cero y una notación con valor numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio

Severo Sebhokt menciona este método con admiración, indicando no obstante

que el método indio iba más allá de esa descripción. Los árabes aprendieron ese

nuevo método y lo llamaron hesab. Fibonacci (también conocido como Leonardo

de Pisa) presenta el "Método de los indios" en Europa en 1202; en su tratado

Liber Abaci, Fibonacci dice que, comparado con este nuevo método, todos los

demás habían sido erróneos. En la Edad Media, la aritmética es una de las siete

artes liberales enseñada en las universidades.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la

introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los

números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes

matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la

notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar

ocupado, y Brahmagupta añadido el cero al sistema numérico indio.

Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división,

basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental,

su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el

contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la

elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento del

álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto

de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal

posicional.


- 10 -

La Aritmética, hoy por hoy, es una rama de las matemáticas que se

encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, así como las

propiedades de las operaciones y los números en sí mismos en su concepto más

profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números.

Para ti es más sencillo encontrar la aritmética dentro de tu vida cuando:

� vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la necesidad de calcular por

medio de una resta, el cambio que dará el tendero.

� cuando estás a punto de a abordar el servicio público y cuántas

rápidamente la cantidad de dinero necesaria para pagar el valor del

pasaje.

� también cuando haces la cuenta o inventario de tus cosas.

Se piensa que la Aritmética nace con la necesidad de contar los objetos y

animales que el ser humano primitivo poseía.

Fuente: Aritmética. http://docente.ucol.mx/grios/Aritmetica.htm

Aritmética. Historia

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica

REFLEXIÓN:

• Describa tres actividades diarias en donde apliques la aritmética.

• Realice un ensayo con base en la lectura anterior.

• Enumere tres razones del porqué es importante la aritmética en la vida

diaria.


- 11 -

SEGUNDA SEMANA

LECTURA OBLIGATORIA

Números Naturales

Número natural, es el que sirve para designar

la cantidad de elementos que tiene un cierto

conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El

conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Los

números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para

describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada, como se

generaliza con el concepto de ordinal, y para especificar el tamaño de un

conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de [cardinal]. En el

mundo de lo finito, estos dos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos

son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos movemos más allá de

lo finito, ambos conceptos no son el mismo.


- 12 -

Números Enteros y su Historia

Los números históricos encontraron por primera

vez una aplicación en los balances contables. A veces

cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la

cantidad poseída o activo, se decía que el banquero

estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy

llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: "30"

podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que "3" escrito

con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3

sueldos. El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o

negativos, siempre representaban idealmente una cantidad de unidades no

divididas (debidas o poseídas pero siempre cantidades indivisibles).

Tal vez por el hecho de que los números negativos podían ser

representados como naturales, aunque escritos con tinta de color diferente,

históricamente fueron rechazados como entidades "no existentes" realmente,

sino sólo como artificios contables. No fue sino hasta el siglo XVII que

tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos

italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido

en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin

embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los

matemáticos de la India.


- 13 -

Número entero, es cualquier elemento del conjunto formado por los

números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se

designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades

(como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto

elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados,

los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Números racionales

En sentido amplio, se llama número racional o

fracción común, a todo número que puede

representarse como el cociente de dos enteros con

denominador distinto de cero –el término "racional"

alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para

no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las

fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como

representante canónico del número racional en cuestión a la fracción

irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí –

número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de

una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.


- 14 -

El número racional permite resolver ecuaciones del tipo ax = b, cuando a

y b son números enteros.

El conjunto de los racionales se denota por , que significa quotient,

"cuociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los

números enteros y es un subconjunto de los números reales.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de

densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro

número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los

números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de

los números reales.

Los números racionales son los que se pueden representar por medio de

fracciones. Los números racionales representan partes de algo que se ha

dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una tarta en 4 trozos

iguales y nos tomamos tres trozos de la tarta nos hemos comido 3/4 de la

tarta.

Son números racionales 1/2, 3/4, 11/5, 2535/3.


Aritmética. http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmintro.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional


- 15 -

ANÁLISIS:

• ¿Un número entero puede ser a la vez un número racional? Justifique su

respuesta.

• Dados los siguientes conjuntos: A={ 1quemayor es xx y Nx∈ },

B= { 1 quemayor es xx }

a. Explique la diferencia entre A y B.

b. Liste los elementos del conjunto A.

c. ¿Puede escribir el conjunto B en forma de lista? Explique su

respuesta.

• Dados los siguientes conjuntos: A={ 6y 2 entre ocomprendid está xx y

Nx∈ }, B={ 6y 2 entre ocomprendid está xx }

a. Explique la diferencia entre A y B.

b. Liste los elementos del conjunto A.

c. ¿Puede escribir el conjunto B en forma de lista? Explique su

respuesta.


- 16 -

TERCERA SEMANA

ACTIVIDAD FINAL

Utilizando su libro de texto realice lo que se le indica:

1. Considere el conjunto {-3, 4, 100

99 ,23.1 ,8 ,2 ,0 ,

9

5 ,

2

1− }.

Liste los elementos que son:

a. números naturales,

b. números enteros no negativos,

c. números enteros,

d. números racionales,

e. números irracionales,

f. números reales.

2. Considere el conjunto {2, 4, -5.33, ,2 ,7 ,2

9 -100, -7, 4.7}.

Liste los elementos que son:

a. números enteros no negativos,

b. números naturales,

c. números racionales,

d. números enteros,

e. números irracionales,

f. números reales.

3. Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre 1 y 2

4. Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre 0 y 1


- 17 -

5. Construya un conjunto que contenga 5 números racionales entre -1 y 0

6. Construya un conjunto que contenga cinco números racionales entre -2

y -1

7. Escriba el procedimiento que usa para:

a. Reducir una fracción a su mínima expresión.

b. Convertir un número mixto en una fracción impropia.

c. Multiplicar dos fracciones.

d. Dividir dos fracciones.

e. Sumar dos fracciones con el mismo denominador.

f. Sumar dos fracciones con denominador diferente.

8. Escriba el número dado como fracción:

a. 28 b. 93 c. -42 d. -86

e. 0 f. 1 g. -1 h. -17

9. Reduzca la fracción a su mínima expresión:

a. 12

15 b. 28

30 c. 52

13 d. 54

27

e. 24

56 f. 21

56 g. 33

22 h. 12

0


- 18 -

10. Realice las operaciones indicadas y reduzca su respuesta a la mínima

expresión:

a. 3

7

3

2⋅ b.

3

5

5

2⋅ c.

7

87 ⋅ d.

5

1110 ⋅

e. 2

14

3

12 ⋅ f.

3

25 ÷ g.

10

9

5

3÷ h.

4

3

4

3÷

i. 8

3

5

11 ÷ j.

4

16

2

12 ÷ k.

3

1

3

1+ l.

4

3

8

7+

m. 5

23 + n.

2

11

3

12 + o.

10

92

5

1++ p.

4

12

7

11

2

13 ++

q. 8

2

8

5− r.

4

1

12

5− s.

25

2

15

8− t.

4

31

5

12 −

u. 3

12

2

14 − v.

3

1

9

1

6

5−+ w.

5

11

3

12

3

11 −+ x.

4

12

7

11

2

13 −+

11. Escriba la fracción dada como decimal:

a. 8

1 b. 9

4 c. 11

5 d. 9

11

12. Encuentre el MCD de cada par de números:

a. 30 y 105 b. 90 y 189 c. 144 y 216


- 19 -

13. Encuentre el mcm de cada par de números:

a. 8 y 18 b. 72 y 84 c. 63 y 90

RESPUESTAS A EJERCICIOS SELECCIONADOS

A continuación encontrará respuestas sólo de algunos ejercicios

seleccionados para que sirva de guía y verificación en la correcta resolución de

los ejercicios de la actividad final.

1. a. 4, 0 c. -3, 4, 0 e. ,2 8

2. a 2, 4 c. 2, 4, -5.33, 2

9 , -100, -7, 4.7 e. ,7 2

Incisos 3 a 6: recuerde que puede representar un número racional en

forma de fracción o en forma decimal.

8. a. 1

28 c. 1

42

1

42

1

42

−=−=

−

e. 0 ,0

1

0≠= a

a g.

1

1

1

1

1

1−=

−=

−

9. a. 4

11

4

5= d.

2

1 f. 3

22

3

8=

h. 0


- 20 -

10. a. 9

14 c. 8 e. 102

1 g 3

2

i. 35

1 k. 3

2 m. 35

2 o. 310

1

q. 8

3 s. 75

34 u. 26

1 w. 215

7

11. a. 0.125 c. 0.454545…

12. a. 15 c. 72

13. a. 72 c. 630

CUARTA SEMANA

LECTURA OBLIGATORIA

Valor Absoluto y su definición

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un

número natural que se designa |a| y que es igual al propio

a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• Si a > 0, |a| = a; por ejemplo, |5| = 5;

• Si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.


- 21 -

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su

eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo;

mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.

Se nota |x| el valor absoluto de x; En las calculadoras y los ordenadores

se utilizan las letras abs.

Por ejemplo: | - 4,5 | = 4,5 (se quita su signo negativo) y | 3,14 | = 3,14

(no se modifica).

Visto como función, el valor absoluto se define distinguiendo según el

signo del número:

Su representación gráfica coincide con la recta y = - x cuando x es

negativo, y con la diagonal y = x cuando es positivo.

Cuando se está ya familiarizados con el tema de valor absoluto, se

identifican los números positivos con los naturales, es decir, que se quitan el

signo positivo y los paréntesis: (+5) vuelve a escribirse 5, y (-7) se escribe -7,

pues (+5) + (-7) y (+5) - (+7) dan el mismo resultado, que se conviene escribir 5

- 7; y la noción de valor absoluto ya no tiene la misma visibilidad.


- 22 -

La necesidad de hablar de nuevo de valor absoluto surge cuando se toca

el tema de las distancias entre puntos en una recta graduada. Esto se hace

considerando sus abscisas y observando que el valor absoluto de un número

cualquiera es naturalmente la distancia entre el punto correspondiente y el

origen: d (0, x) = |x|

Luego se calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta

así:

ABdist AB −=_____

)(


Aritmética. http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmintro.htm

Valor Absoluto. http://enciclopedia.us.es/index.php/Valor_absoluto


- 23 -

ANÁLISIS

1. Calcule el valor absoluto de un número entero

2. ¿Cuál es el valor absoluto de cero?

3. ¿Qué signo tiene el valor absoluto de un número negativo? ¿Y de uno

positivo?

4. ¿El valor absoluto de un número puede ser negativo?

QUINTA SEMANA

ACTIVIDAD FINAL:

1. Determine el valor absoluto de cada expresión:

a. 5 b. 4− c. 3.1

d. 8

7− d. 34.9− e. 0

f. 1− g. 7−− h. 9

5−

2. Liste los valores de menor a mayor:

a. -1, -2, 3− , 4, 5−

b. π, - π, 3− , 3−− , -2, 2−

c. -32, 7− , 15, 4− , 4

d. -8, -12, 9− , 20− , 18−−

e. -2.1, -2, -2.4, 9.2 ,8.2 −−

f. -6.1, 4.6 ,8.6 ,5.6 ,3.6 −−−


- 24 -

g. ,3

1

2

1− , -2,

5

3,

4

3−

h. ,2

5−

5

3, 3− , ,

3

5−

3

2−

3. Opere y simplifique. Exprese el resultado sin símbolos de valor

absoluto:

a. | -3-2| b. | -5| -| 2| c. | 7| +| -4|

d. | 11+1| e. | 6| -| -3| f. | 8| +| -9|

g. (-5)| 3-6| h. | -6|÷| -2| i. | -7| +| 4|

j. (4)| 6-7| k. | 5| ÷| -2| l. | -1| +| -9|

m. | 4-π| n. | π -4| o. | 3

1

5

1− |

4. Operar y simplificar, exprese el resultado sin símbolos de valor

absoluto:

a. 3 | 5-9 | +| -2 | × | -2- 4 | b. -4| -6| × | -7+3| +2| -5| × | -3|

c. 2662

73432

−×−−

−×−−+ d.

3474

53432

−−−

−+−−−


- 25 -





1. a. 5 c. 1.3 e. 9.34

g. -1 i. -9

5

2. a. -5, -2, -1, 3, 4 c. -32, -4, 4, 7, 15

e. -2.9, -2.4, -2.1, -2, 2.8 g. -2, 3

1,

2

1,

5

3,

4

3

3. a. 5 c. 11 e. 3

g. -15 i. 11 k. 2

5

m. 0.8584 o. 15

2

4. a. 24 c. 2

1


- 26 -

“Si una persona es perseverante, aunque sea dura de

entendimiento, se hará inteligente; y aunque sea débil se transformará en

fuerte.” (Leonardo Da Vinci)

II. SEGUNDA UNIDAD

Objetivo:

Al finalizar la unidad de Algebra el estudiante estará en capacidad de:

• Reconocer, dibujar y escribir intervalos.

• Operar y simplificar eficientemente expresiones algebraicas.

• Operar y simplificar eficientemente expresiones que contengan

exponentes racionales.

• Aplicar las leyes de exponentes.

• Factorizar y dividir polinomios.

2. ÁLGEBRA

2.1 Los números reales

Los números irracionales: definición y ejemplos.

La recta numérica y los números reales.

La relación de orden.

Intervalos.

Valor absoluto.


- 27 -

2.2 Expresiones algebraicas

Término algebraico.

Simplificación de términos semejantes.

Signos de agrupación y jerarquía de las operaciones.

Suma y diferencia de expresiones algebraicas.

2.3 Exponentes y radicales

Exponentes enteros.

Leyes de los exponentes.

Exponentes fraccionarios y radicales.

Leyes de los radicales.

Racionalización de expresiones que contienen raíces cuadradas.

2.4 Productos y expresiones racionales

Productos notables.

Factorización.

División de polinomios.

Definición de expresión racional.

Simplificación de expresiones racionales.


- 28 -

PRIMERA SEMANA

¿Qué es el Álgebra y cuál es su Origen?

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras,

relaciones y cantidades. Junto a la geometría, el análisis matemático, la

combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas

de la matemática.

La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa

Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala

(que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y

balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución

sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra

«álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala), proviene por lo tanto

del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen

los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de

huesos).

A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus

operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son

representados por símbolos (usualmente letras como: a, b, x, y), llamados

variables y números reales llamados coeficientes. Esto es útil porque:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b +

a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las

propiedades de los números reales.


- 29 -

• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el

estudio de cómo resolverlas.

• Permite la formulación de relaciones funcionales.

Fuente: Álgebra y Álgebra elemental. http://es.wikipedia.org/wiki/Algebra

ANÁLISIS:

Después de entender cuál es el objetivo del álgebra y su estructura, con la

lectura anterior conteste lo siguiente:

1. ¿Qué es una expresión algebraica?

2. ¿Cuál es el objetivo principal del álgebra?

3. ¿Cuáles son los elementos principales de una expresión algebraica?

LECTURA OBLIGATORIA

Números reales

Los números reales son los números que se puede

escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que

necesitan una expansión decimal infinita.


- 30 -

El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros,

positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales --

aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números

irracionales son

2 = 1.4142135623730951 . . . π = 3.141592653589793 . . .

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta

real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b

entonces el punto corresponde a b estará a la derecha del punto que

corresponde a.

Intervalos

Ciertos subconjuntos del conjunto de los números reales, llamados

intervalos, se encuentra frecuentemente, por lo que tenemos una notación

compacta para representarlos.

Fuente: Números reales. Intervalos.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tut_alg_review/framesA_1.html


- 31 -

SEGUNDA SEMANA

ACTIVIDAD FINAL

Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo que se le indica:

1. Exprese el enunciado en forma de desigualdad:

a. x es negativo b. h es positivo.

c. y es no negativo d. s es no positivo.

e. q es menor o igual que π f. d está entre 4 y 2.

g. t no es menor que 5. h. El negativo de z no es menor que 3.

i. El cociente de p y q es, cuando mucho 7.

j. El recíproco de w es, cuando menos, 9.

k. El valor absoluto de x es mayor que 7.

l. w es mayor que o igual a -4.

m. c está entre 5

1 y 3

1 n. p no es mayor que -2.

o. El negativo de m no es menor que -2

p. El cociente de r y s es por lo menos 5

1

q. El recíproco de f es, cuando mucho, 14.

r. El valor de x es menor que 4

s. El mínimo valor que puede tomar n es 125.


- 32 -

2. Exprese cada una de las siguientes desigualdades, en forma gráfica y en

forma intervalo:

a. -66 ≤ c ≤ -5 b. x > 0

c. 33 > t ≥ 2 d. 5 ≤ y

3. Exprese cada uno de los siguientes intervalos en forma gráfica y en forma

de desigualdad:

a. [-22, -10] b. (- ∞, 17] c. [44, 76 )

4. Utilice el concepto de valor absoluto para encontrar la distancia entre los

siguientes pares de números:

a. 35 y 78 b. -19 y -49 c. 76 y -24





1. a. x<0 c. y≥0 e. q≤π g. t≥5

i. 7≤q

p k. x >7 m. 3

1

5

1<< c o. -m≥-2

q. 141

≤f

s. n≥125


- 33 -

2. a. c.

[ ]5,66 −− [ )33,2

3. a. c.

1022 −≤≤− x 7644 <≤ z

4. a. 43 c. 100

LECTURA OBLIGATORIA

Expresión algebraica

Expresión algebraica es un conjunto de cantidades

numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos

de las operaciones aritméticas. Las partes de una

expresión algebraica separadas por los signos + (más) o –

(menos) se llaman términos de la expresión. Término es entonces una cantidad

aislada o separada de otras por el signo + o -.


- 34 -

En un término hay que distinguir los siguientes elementos:

El factor literal, que es la letra con su exponente. En el término 6a2 el factor

literal es a2.

El coeficiente, que es el factor numérico, indica las veces que el factor

literal se repite como sumando. En el término 6a2 el coeficiente es 6.

El signo, que precede al término, que puede ser + o -.

Una expresión que contiene un término se llama monomio, si contiene dos

términos se habla de binomio, de trinomio si contiene tres términos y si

contiene más términos se habla de polinomio.

Término semejante son dos o más expresiones algebraicas que tienen la

misma variable o literal elevada al mismo exponente y coeficientes distintos.

Fuente: Propia


- 35 -

ACTIVIDAD FINAL

1. Determine el coeficiente de cada uno de los términos que componen cada

expresión:

a. 52 yx b. 73ba− c. 5

a−

d. 4

yx + e. -(x+3) f. ( )5

23 +−

x

2. ¿Qué son los términos semejantes?

3. a. ¿Los términos 3x y 3x2 son semejantes? Explique.

b. ¿Los términos 5xy y –xy son semejantes? Explique

c. ¿Los términos -2x3y2 y 6x2y3 son semejantes? Explique

d. ¿Los términos 4pn y -2np son semejantes? Explique

4. Simplifique cada expresión. Si una expresión no puede simplificarse,

indíquelo:

a. 7r+3b-11x+12y b. 3x2+4x+5

c. 5x2-3x+2x-5 d. 11a-12b-4c+5a

e. 10.6c2-2.3c+5.9c-1.9c2 f. 7y+3x-7+4x-2y

g. b+b2-4b+b2+3b h. 6pq-7pq+p+q


- 36 -

i. 7x3y2 + 11y3x2 j. dd

−

+

46

112

k. 4.3-3.2x-2(x-2) l. 53

1

2

13 +−

+ xx

m. 6n+0.6(n-3) - 5(n+0.7) n. 4 -[6(3x+2)-x]+4

o. 3(x+y) - 4(x+y) - 3 p. 4x - [3x - (5x - 4y)]+y

q. -2[3x - (2y - 1) - 5x]+y r. 5b - {7[2(3b-2) - (4b+9)] - 2}

s. -{[2rs - 3(r+2s)] - 2(2r2- s)} t. p2q+4pq-[-(pq+4p2q)+pq]

5. Escriba una expresión algebraica en cada caso:

a. x más 32

b. 18.24 veces un número

c. Un número disminuido en 16

d. Dos veces t menos 9

e. La edad de Ana, si Ana tiene dos años mas que Juan

f. Un tercio de w

g. El doble de la suma de b y 1

h. Cinco tercios mas la mitad de x

i. La edad de Ramón si Ramón es 4 años menor que Irma

j. La edad de Juan, si Ana tiene dos años mas que Juan


- 37 -




la actividad final.

1. a 1 1.c. 5

1− 1.e. -1, -3

4. a NO puede simplificarse porque no hay términos semejantes

4. d. 11a-12b-4c+5a=16a-12b-4c

4. g b+b2-4b+b2+3b=2b2

4. j dd

−

+

46

112 = 2+3d-d = 2+2d

4. l 2

13

3

8

2

10

3

1

2

3

3

95

3

1

2

33 +=+−+=+−+ xxxxx

4. n 4 -[6(3x+2)-x]+4 = 4 - 18x – 12 + x + 4 = - 4 - 17x

4.p [ ] [ ] yxyyxxyyxxyyxxx 364244244534 −=+−+=++−−=++−−

4.r [ ]{ } [ ]{ } { }2911452132752944675 −−−=−−−=−−−−− bbbbbbb

{ } 9399314593145 +−=+−=−− bbbbb

4.t p2q+4pq - [-(pq+4p2q)+pq] = p2q+4pq - [-pq - 4p2q+pq] = p2q+4pq+4 p2q

=5p2q+4pq

5.a x+32

5.c Sea y el número. La expresión es y-16

5.e Sea j la edad de Juan & a la edad de Ana: a= j+2

5.h x2

1

3

5+

5.j Sea j la edad de Juan & a la edad de Ana: j=a-2


- 38 -

TERCERA SEMANA

LECTURA OBLIGATORIA

Exponentes y sus propiedades

Si n es un entero positivo, la notación exponencial an

que se define en la tabla, representa el producto del número

real a multiplicado n veces por sí mismo. La expresión an se lee a a la enésima

potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el

número real a, base.

Caso general

(n es cualquier entero

positivo)

Casos especiales

Ejemplo:

81

1

9

1

9

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

6255*5*5*55

4

4

=

=

−

−

−

−=

−

==

Nota: Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces

una expresión como 3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama

coeficiente de an en la expresión 3an.


- 39 -

Ejemplo:

408*52*5 3 −=−=−

Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.

Entero cero y negativo

Si m y n son enteros positivos, entonces

factoresn

aaaa

factoresm

aaaaa nm

−−=

...***....

***

En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n,

esta expresión es igual a a m+n ; es decir,

nmnm aaa +=

Definición (a diferente de 0)


- 40 -

Exponentes fraccionarios

Los exponentes fraccionarios obedecen a las mismas leyes que los

exponentes

enteros. Por

ejemplo,

Otra forma de expresar esto sería:

44444*4 12*

2

12

2

1

2

1

2

1

===

=

Advierta que el número 41/2, cuando se lo eleva al cuadrado en el ejemplo

anterior, produce el número 4 como respuesta. Recordando que la raíz

cuadrada de un número N es un número x tal que x 2= N, deducimos que 41/2 es

equivalente a . Entonces tenemos una definición como esta: Un exponente

fraccionario de la forma l/r indica una raíz cuyo índice es r. Esto se ilustra en

los siguientes ejemplos:

44444*4 12

2

2

1

2

1

2

1

2

1

====

+


- 41 -

Note que en una expresión tal como 82/3 podemos determinar primero la

raíz cúbica de 8 o elevar primero 8 al cuadrado, según se muestra en el

siguiente ejemplo:

464)8(

42)8(

33

1

2

223

1

==

==

Todos los números en el cálculo de 82/3 siguen siendo pequeños si se

determina antes la raíz cúbica elevando el número a la segunda potencia. Este

orden de operación es particularmente deseable al calcular un número como

645/6. Si se elevara primero 64 a la quinta potencia resultaría un número

grande. Podría requerir una cantidad grande e innecesaria de esfuerzo para

determinar la sexta raíz de 645 El resultado se obtiene fácilmente si

escribimos

322)64(64 556

1

6

5

===


- 42 -

Si aparece una fracción impropia en un exponente tal como 7/3 en la

expresión 27/3, es costumbre mantener la fracción en esa forma en vez de

expresarla como número mixto. En forma fraccionaria un exponente muestra

de inmediato qué potencia y qué raíz intervienen. Sin embargo, 27/3 puede

expresarse en otra forma y es factible simplificarlo cambiando la fracción

impropia a número mixto y escribiendo la parte fraccional en la forma radical,

como sigue:

33

1

23

12

3

7

242*222 ===+

Fuente: Exponentes.

http://www.nexus.uanl.mx/tic/TIC3/archivos_frontpage/TiposDeArchivos/Ex

ponentes%20y%20Radicales.htm

ANÁLISIS

a. ¿Por qué la regla del producto de potencias no se aplica a 32 yx

b. ¿Por qué la regla del producto de potencias no se aplica a 32 yx +

c. ¿Cuál es la diferencia entre la regla del producto de potencias y la regla

de potencia de potencias?

d. ¿Es correcta la expresión ( ) 222 −−− +=+ yxyx ? Explique su repuesta.

e. ¿Es correcta la expresión yx

yx+

=+ −− 111 ? Explique su repuesta


- 43 -

f. ¿Por qué ( )22− no es -2?

g. ¿Por qué ( ) 223 3−=− ?

h. Suponga que p es un número primo.

¿ p es racional o irracional?

¿Está p en forma simplificada?

ACTIVIDAD FINAL (Exponentes y radicales)

Con la ayuda de su libro de texto resuelva los siguientes ejercicios:

1) Encontrar cada una de las siguientes raíces:

1. (-32)3/5 2. -91/2 3. 2

3

9

4

4. 53/2.51/2 5. (3) 6. 3

27

8−

7. 4

5

16

1

8. (32)-2/5 9. 04.0

10. (0.09)-1/2

2) Calcule:

1. 3

1

3

2

3

2

5.527 +

−

2. 4(1/2)0 +2-1 -16-1/2 .4. 30

3. 023

2

)10(9

138 −+ − 4. ( )40

.4

5

3

2

32.16.64

−


- 44 -

5. 82/3.16-3/4.20 - 82/3 6. 1

02

)3(43

)2(53−

−

−

+

7. ( )1

3

2

22

3125.0

−

−

++ 8. 256 + 0.251/2 - 81/3.4-

1/2+0.0271/3

3) Simplifique:

a. 8

364 + b. 2

726 −− c. 3

3

2

500

d. 2

4

3

12

x

x e. 3 3

3 5

2

16

a

a f. 2

34

3

20−xy

zy

h. 33 282 i. 473 39 mnnm j. ( )23 432 yx

k. 4 7324 34 28 zyxyzx l. 3 343 107 69 yxyx

m. ( )

( )3 2

5 4

2

2

ba

ba

+

+ n. ( )

( )3 5

6 5

3

3

+

+

r

r

o. rs

sr3 42

p. ( )3 2

5 64

xy

yx

4) Realice las operaciones indicadas y simplifique:

a. 12164 − b. 33 5856 −

c. 33 35453 xx ++− d. xyxy −++− 23453

e. 8725187 −+ f. xx 5453 3 +

g. 3553257 234 srrssrrsr −+

h. 3 7323 109 16 2128 yxyxyx −


- 45 -

5) Racionalice el denominador, suponga que todas las variables son números

reales positivos:

a. 7

3 b. 10

6x c. 2

x d. 20

3x

e. q

17 f. n

n

18

2 g. 3

54

2

18

z

yx h. 3

56

3

75

z

yx

6) Escriba en forma de radical:

a. 2/5ab b. ( ) 4/7239 yx c. ( ) 6/132 27−

+ yx

7) Simplifique:

a. ( ) 2/13/1 −−a b. 48/33/2

2xx c. 2/1

5

−x

x

d.

2/1

4/1

34/1

9

81

z

yz e.

4

22/1

24/3

−

yx

yx f.

3/2

22

54/3

2

250

−

−

ba

ba


- 46 -





1. 1. 8− 3. 27

8 5. 3 7. 32

1

9. 0.2

2. 1. 3

16 3. 4 5. 2

7− 7.

5

26

3. a. 4

5 c. 3 25 f. x

xzzy

3

152 3

i. nnm 33 52 j. ( )2322 2yyx l. yxyx 243 23 n. ( ) 6

5

3

1

+r

p. 15/815/2 yx

4. a. -3 c. 3257 x+ e. 212 h. 0

5. a. 7

73 c. 2

2x e. q

q17 f.

3

2n


- 47 -

h. yzz

yx2

235

6. a. 5ba c. 6 32 27

1

yx +

7. a. 6/1a b. ( ) 24/18 xx e. 16y

x

CUARTA SEMANA

Un poco de historia (Factorización y Productos Notables)

LECTURA OBLIGATORIA

La factorización ha sido un tema del cual han tratado

numerosos matemáticos importantes, haciendo un recorrido

por la historia de las matemáticas, específicamente con la

solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes

racionales.

La factorización es una de las herramientas más empleadas en el trabajo

matemático para “transformar” una expresión algebraica de manera

conveniente, para resolver algún problema.


- 48 -

Tiene una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de

ecuaciones algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorización surge

ante la necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado.

Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron, ecuaciones

cuadráticas.

En unas tablillas descifradas por Neugebaveren 1930, cuya antigüedad

es de unos 4000 años, se encontraron soluciones a varias de estas ecuaciones,

empleando el método conocido actualmente como “completar el cuadrado”.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la

solución positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas.

El trabajo de los babilonios constituyó un logro notable, teniendo en

cuenta que no contaban con la notación moderna y por su alto nivel de

abstracción, al considerar las ecuaciones cuárticas como ecuaciones

cuadráticas “disfrazadas” y resolverlas como tales.

Más adelante, matemáticos griegos, hindúes, árabes y europeos se

dedicaron al estudio de estas ecuaciones y lograron avanzar a través del

tiempo hasta encontrar la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo

grado, es decir, una ecuación de la forma 02 =++ cbxax , donde a , b y

c pueden ser números cualesquiera, en cuyo desarrollo, los babilonios se

valieron de factorizaciones simples que ya conocían. Posteriormente, los

griegos y los árabes consiguieron resolver ecuaciones de segundo grado

utilizando, también, el método de completar el cuadrado con aplicación de


- 49 -

áreas; ambas civilizaciones se valieron de representaciones geométricas para

mostrar hechos algebraicos, como se evidencia en el II libro de los Elementos

de Euclides.

La fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de

tercer grado (o ecuación cúbica) no se encontró sino hasta el siglo XVI en

Italia. Lo que tienen todas estas ecuaciones en especial, y que las hace ser de

tercer grado, o cúbicas, es que la incógnita aparece elevada al exponente 3, y

ese es el mayor exponente de la incógnita.

Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron

encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier

ecuación cúbica, sin lograrlo.

La gran proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el

matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por

Nicolo Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de

Scipione. Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de

Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió

cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó

la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones

titulado "Ars Magna".


- 50 -

Estas ecuaciones nos permiten encontrar las soluciones de las ecuaciones

polinómicas de tercer grado y por tanto factorizar en los números complejos y

en los reales, que es nuestro propósito. Es sabido que existen fórmulas

similares para polinomios de grado cuatro pero no para grado superior a éste;

es más, Abel demostró que no existen tales fórmulas para estos grados

superiores lo que nos lleva a pensar en la imposibilidad de encontrar métodos

generales para factorizar tales polinomios.

Fuente: Factorización real. Un poco de historia

http://www.uam.es/departamentos/ciencias/matematicas/premioUAM/premia

dos1/factorizaci%F3n%20real.pdf

ANÁLISIS

Falacia binomial.

Una falacia común cuando se multiplican binomios, consiste en suponer que:

( ) 222yxyx +=+

A continuación encontrará algunos argumentos que deberían convencerlo de que

esto no es cierto.

a. Sea x=1, y=2

• ¿Qué es (x+y)2?

• ¿Qué es x2+y2

• ¿Es ( ) 222yxyx +=+ ?


- 51 -

b. Sea x=2, y=1

• ¿Qué es (x-y)2?

• ¿Qué es x2-y2

• ¿Es ( ) 222yxyx −=− ?

c. Observe el cuadrado grande. Su área es de (x+y)2. El cuadrado se

divide en cuatro pequeñas áreas, designadas con las letras A, B, C

y D. ¿Cuál es el área de ….

• Cuadrado A? x

• Rectángulo B?

• Rectángulo C?

• Cuadrado D? y

x y

d. El área total del cuadrado es (x+y)2 y también es la suma de las

cuatro áreas A, B, C y D. ¿Cuál es la suma de estas cuatro áreas?

(Simplifique su respuesta)

e. Con base en la respuesta anterior, ¿Qué puede decir acerca de

x2+2xy +y2 y (x+y)2?

f. La suma de las áreas de los cuadrados A y D es x2+y2. ¿ Es x2+y2 =

(x+y)2?

A B

C

D


- 52 -

ACTIVIDAD FINAL (Productos Notables)

Con la ayuda de su libro de texto resuelva en forma clara y ordenada lo

que se le indica:

1. Clasifique las siguientes expresiones como: Monomio (M), binomio (B),

trinomio (T) o polinomio (P):

a. -5x+7 b. 8+9x3

c. 7x d. -3x4

e. -2x+7x2 +9 f. -x+x3-2x2

g. 18 h. 0

i. 9x3 -2x j. -7x+8x6+3x5+9

2. Encuentre el resultado de los productos:

a. (5x3)(9x2) b. (-2x)(5x2) c. (-2y2)(-3y)

3. Elimine paréntesis (simplifique):

a. 3(x+y) b. 5(2x-y) c. -4x(2x-3)

d. (x2 +4x)x3 e. (x-x2)4x f. (2x-3y)(-4y2)

4. Multiplique:

a. (x+7)(x-3) b. (x-2)(x+8) c. (3x+4)(3x-1)

d. (4x+3y)(3x+2y) e. (5x-2y)(2x-3y) f. ((x-L)(x-3L).


- 53 -

5. Expanda cada suma o diferencia de binomios:

a. (x+1)2 b. (2x+1)2 c. (3x+2y)2

d. (x-1)2 e. (2x-1)2 f. (3x-y)2

g. (6x-5y)2 h. (2x-7y)2 i. (3x-5y)2

6. Calcule los siguientes productos:

a. (x + 5)(x + 3) b. (u + v)(u2 + 2v)

c. (2x + 5)(3x – 1) d. (u2 + 3u – 2)(u – 2)

e. (v2 - 5)(v + 2) f. (2y2 +3y –4)(y3 + 3)

g. ( x + 1)(2x2 – 2)(x3 + 5) h. (y – 2x)(x2 – 4y)(x3 – y)

i. (2x2 + 5y)2 j. (x – 1)2 (x + 3)2

k. (rs – 1)(r2s2 + rs + 1) l. (2x + 5)(4x2 + 10x + 25)

7. Factorice los siguientes polinomios:

a. x3y2 + 2xy2 – 3x2y b. 11r3s4t2 – 33r4s2t2 + 44r2s3t4

c. 4x2 – 1 d. 9x2y4 – 16x4y2

e. x2 – x – 6 f. 2x2 + 9x –5

g. x3 – 25x h. r2 + 25

i. 27m3 + 8 j. x3 – 125

k. 934

2

++ xx l. 4x2 – 20x +25


- 54 -

8. Utilice productos notables para calcular los siguientes productos:

a. (5x + 4y)(5x – 4y) b. (rs – 1)(r2s2 + rs +1)

c. (2x + 5)(4x2 -10x +25) d. (x2 – 3y2 )2

e. (x - 9)(x + 4) f. (3x + 1)(2x - 3)

g. (x2 + 5y)3 h. (2u2 – 3v)3

i. (3x + 2y)2 j. (x2 + 1)(x2 - 16)

k. (x + y + z)2 l. (x – y – z)

RESPUESTA A EJERCICIOS SELECCIONADOS



los ejercicios de la actividad final (Productos Notables).

1. a. (B) c. (M) e. (T) j. (P)

2. a. 545x c. 6y3

3. a. 3x+3y c. -8x2+12x e. 4x2-4x3

4. a. x2+4x-21 c. 9x2+9x-4 e. 10x2-19xy+6y2

5. a. x2+2x+1 c. 9x2 +12xy+4y2 e. 4x2-4x+1

g.36x2-60xy+25y2 i. 9x2-30xy+25y2

6. a. x2+8x+15 c. 6x2+13x-5 e. v3+2v2-5v-10

g. 2x6+2x5-2x4+8x3+10x2-10x-10 i. 4x4+20x2y+25y2

k. r3s3-1


- 55 -

7. a. xy(x2y+2y-3x) c. (2x+1)(2x-1) e. (x-3)(x+2)

g. x(x+5)(x-5)

i. (3m+2)(9m2-6m+4) k. 2

32

+x

8. a. 25x2 -16y2 c. 8x3+125 e. x2-5x-36

g. x6 + 15x4y + 75x2y2 + 125y3 i. 9x2+12xy+4y2

k. x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz

ACTIVIDAD FINAL (Factorización)

Con la ayuda de su libro de texto realice lo que se le indica a continuación:

1. Factorice:

a. 3x3-6x2 –x+2 b. 6x4-9x2+2x2-3 c. 2x3 +2x2 +3x+3

d. 6x3-9x2 –2x+3 e. 5

1

5

3

5

2 2 +− xx

f. 3x6-6x5+12x4+27x2 g. 7x3+14x2 –49x

h. 12x2+6xy-10xy+5y2 i. 6x+48 j. -3y+21

k. 4x2-32x3 l. 3x+7y-12x2-28xy

2. Factorice los siguientes trinomios:

a. x2+7x+12 b. x2-5x+6 c. p2+2p-80

d. 5x2-2x+2 e. 3x2-4-4x f. 2x2-11x+5

g. 2x2-xy-6y2 h. 3x2+5x+2 i. 16x2+4x-2

j. 3x3+7x2+2x


- 56 -

3. Factorice, si es posible:

a. x2-1 b. 9x2-16 c. 9x2-25y2

d. x2-6x+9 e. 9x2-24xy+16y2 f. 9x2-12x+4

g. 16x2+24xy+9y2 h. x2+4x+4 i. 9x2+30x+25

j. 4x2-20xy+25y2 k. 9x2+4 l. 49

1

36

1 2 −x

m. 2

4

1

81

1x− n. 12m3-3mn2 o. 18x3-50xy2

p. 9x3+25xy2

4. Determine si la expresión es el cuadrado de un binomio. Si así es,

factorícela:

a. x2+6x+9 b. x2+8x+64 c. x2+6x-9

d. x2+8x-64 e. 4x2-20xy+25y2

5. Factorice por completo:

a. 8x2-16x-24 b. 5x4-10x3+20x2 c. 3x3+12x2+x+4

d. 6x2-x-35 e. 2x4+7x3-15x2 f. 27t3-64

g. x4-81 h. -x2-10x-25

i. -9x2-30xy-25y2 j. -9x2+30xy-25y2 k. 64y3+27x3

l. -9x4+4x2 m. -x5-x2y3


- 57 -

6. Factorice los siguientes polinomios:

a. x3y2 + 2xy2 – 3x2y b. 11r3s4t2 – 33r4s2t2 + 44r2s3t4

c. 4x2 – 1 d. 9x2y4 – 16x4y2

e. x2 – x – 6 f. 2x2 + 9x –5

g. x3 – 25x h. r2 + 25

i. 27m3 + 8 j. x3 – 125

k. 934

2

++ xx l. 4x2 – 20x +25




los ejercicios de la actividad final (factorización).

1. a. (x-2)(3x2-1) c. (x+1)(2x2+3) e. ( )( )1125

1−− xx

g. 7x(x2+2x-7) i. 6(x+8) k. 4x2(1-8x)

2. a. (x+3)(x+4) c. (p+10)(p-8) e. (3x+2)(x-2)

g. (2x+3y)(x-2y) i. 2(2x+1)(4x-1)


- 58 -

3. a. (x+1)(x-1) c. (3x-5y)(3x+5y) e. (3x-4y)2

g. (4x+3y)2 i. (3x+5)2

k. no es factorizable

m.

+

− xx

2

1

9

1

2

1

9

1 o. 2x(3x+5y)(3x-5y)

4. a. (x+3)2 c. no e. (2x-5y)2

5. a. 8(x-3)(x+1) c. (3x2+1)(x+4) e. x2(x+5)(2x-3)

g. (x-3)(x+3)(x2+9) i. -(3x+5y)2

k. (4y+3x)(16y2-12xy+9x2)

m. -x2(x+y)(x2-xy+y2)

6. a. xy(x2y+2y-3x) c. (2x+1)(2x-1)

e. (x-3)(x+2)

g. x(x+5)(x-5) i. (3m+2)(9m2-6m+4)

k. 2

32

+x


- 59 -

QUINTA SEMANA

TAREA ESPECIAL:

Factorice completamente en forma clara y dejando constancia de su

procedimiento las siguientes expresiones algebraicas con la ayuda de su libro

te texto:

1. 432 248 yxyx − 2. 425 2 −y 3. baba 323 3024 −

4. 42 4936 nw − 5. xxx 3186 23 −− 6. 33 xyyx −

7. 3222 30156 yxyxxy −− 8. 62 8164 yw − 9. 92 −x

10. 722 2 −x 11. 21 y− 12. 3aa −

13. yy 327 3 − 14. 3522 −− xx 15. 22 2 baba +−

16. 2452 −+ yy 17. 22 69 baba ++ 18. 342 +− aa

19. 22 42025 yxyx +− 20. 1282 +− bb 21. 81182 ++ yy

22. 1872 −+ ww 23. 11449 2 +− ww 24. 60172 −− xx

25. 3652 −− xx 26. 3072 −+ yy 27. 1072 ++ xx

28. 842 22 +−− abab 29. 1452 −+ aa 30. 422 wyx −−

31. 56152 ++ xx 32. 146219 −+− abab 33. 40132 ++ mm

34. 22 nynx − 35. bxaxmbma −+−

36. 422 2 xbaba −+− 37. bbxaax 3355 +−−

38. mnmmn 6342 2 −+− 39. 622 69 nyxyx −++

40. 222 2 ybaba −++ 41. 3641 a− 42. 32250 y−

43. 216 3 +x 44. 33 278 yx −


- 60 -

RESPUESTAS DE LA TAREA ESPECIAL

1. ( )138 32 −− xyyx 2. ( )( )22 +− yy 3. ( )56 3 −abba

4. ( )( )22 7676 nwnw +− 5. ( )1623 2 −− xxx 6. ( )( )yxyxxy +−

7. ( )yxxyxy 25103 2 −+ 8. ( )( )wywy 8989 33 +− 9. ( )( )33 +− xx

10. ( )( )662 +− xx 11. ( )( )yy +− 11 12. ( )( )aaa +− 11

13. ( )( )13133 +− yyy 14. ( )( )57 +− xx 15. ( )2ba −

16. ( )( )83 +− yy 17. ( )23 ba + 18. ( )( )13 −− aa

19. ( )225 yx − 20. ( )( )26 −− bb 21. ( )2

9+y

22. ( )( )92 +− ww 23. ( )217 −w 24. ( )( )320 +− xx

25. ( )( )49 +− xx 26. ( )( )310 +− yy 27. ( )( )52 ++ xx

28. ( )( )( )222 −+− abb 29. ( )( )72 +− aa 30. 422 wyx −−

31. ( )( )78 ++ xx 32. ( )( )7323 −+ ab 33. ( )( )58 ++ mm

34. ( )( )yxyxn +− 35. ( )( )baxm −+

36. ( )( )baxbax −++−− 22 37. ( )( )135 −− xba

38. ( )( )nmm −+− 232

39. ( )( )33 33 nyxnyx ++−+ 40. ( )( )baybay ++−−−

41. ( )( )141614 2 ++−− aaa 42. ( )( )2555 2 ++−− yyy

43. ( )( )124122 2 +−+ xxx 44. ( )( )22 96432 yxyxyx ++−


- 61 -

ACTIVIDAD FINAL (División de polinomios y expresiones racionales)

1. Encuentre el resultado de las siguientes divisiones de polinomios:

a. xy

yx

2

8 3

− b.

2

3718

bc

cb−

c. m

mnnm

2

62 2 − d. 2

5223

4

1684

pq

pqqppq −+

e. )(

)()(3 2

yxa

yxbyxa

+

+−+ f. 2

232

−

+−

x

xx

g. 2

28322

23

+−

−+−

xx

xxx h. 1

752 2

+

−−

x

xx

i. 23

1216193 23

−

−++

x

xxx j. 2

1243 23

+

−−+

x

xxx

2. Simplifique las siguientes expresiones:

a. x

xyx

25

105 2 − b. 2

332

8

18124

xy

yxxyyx ++

c. 209

42 ++

+

xx

x d. 32

942

2

−−

−

xx

x

e. 22

33

yx

yx

−

− f. 27

323

2

+

−+

x

xx


- 62 -

g. 52

)4()1(

−

−+−

x

xxxx h. 107

42

2

+−

−

xx

x

i. zwxzywxy

zwxzywxy

+++

−+−

3. Efectúe las operaciones y simplifique:

a. yx412

5 b. 2

22 −+

+

xx

x

c. xx −

−− 2

1

2

3 d. 9

36

3

2

3

22 −

++

−− xx

x

x

x

e. 23

)1(2

82

)3(322 +−

++

−+

−

xx

x

xx

x f. 21

1

2

22

2

−−

++

−−

+

x

x

xxx

x

g. 2

2

4

2

4

516

y

x

y

x⋅ h. ( )

104

132

+⋅+x

x

i. 3

1

4

1272

+⋅

+

++

xx

xx j. 62

102

5

3 2

−

+⋅

+

−

x

xx

x

x

k. 1222

3

46

121462

2

−−

+⋅

+

−−

xx

x

x

xx l. yx

yx

yxyx

yx

+

−⋅

+−

− 44

8168 22

22

m. ( )22

42

8

288

yx

x

yx

yx

−⋅

+

− n. z

xyxz

42 ÷


- 63 -

o. z

xy

z

y

4

3

7

93

÷ p. ba

baba

−

−÷

+ 22

3

22

q. 17

1

307

122 −+

÷+− xxxx

r. ( )( ) 44

22

322

222

yx

yx

yx

yx

−

+÷

−

−

s. 245

12

166

32122

2

2

2

−−

−−÷

−−

+−

xx

xx

xx

xx t. ( )22

3

1

1

124

18

−

−÷

++

−

a

a

aa

a

u.

x

yx

24

2

v.

5

15

3

2

b

b

a

w.

x

xx

x

41

1

4+

+

−

x. 2

2

12

21

x

xx

+

+

y.

1

1

1

11

1

1

1

+

−−

−

++

−+

−

+

a

a

a

aa

a

a

a

z. 1

1

1

11

1

−+

+−

x

x


- 64 -

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS



los ejercicios de la actividad final (División de polinomios y expresiones

racionales).

1 a. -4x2 c. nm-3n; e. a

b1

3 2 −

g. 2x – 1 +2

32 +− xx

x , cociente: 2x-1 y residuo: 3x

i. x2 + 7x + 10 + 23

8

−x, cociente: x2 + 7x + 10 y residuo 8

2. a. 5

2yx − c. 5

1

+x e.

yx

yxyx

+

++ 22

g. x i. wx

wx

+

−

3. a. yx 412

5 c. 2

4

−x e.

( )( )( )124

17252

−−+

+−

xxx

xx

g. 6

420

y

x i. 1 k. )2(2

3

+

+

x

x

m. 2x o. 27

12

xz q.

307

172

2

+−

−+

xx

xx

s. 2

8

+

−

x

x u. 8

3 yx w. 8

2−x

y. a

a

2

12 +


- 65 -

“No vayas por donde el camino te lleve. Ve en cambio

por donde no hay camino y deja rastro”. (Ralph

Waldo Emerson).

III TERCERA UNIDAD

Objetivo:

Al finalizar la unidad de Ecuaciones el estudiante estará en capacidad de:

• Resolver ecuaciones de grado 1 y 2.

• Aplicar los conceptos de porcentaje y proporción a situaciones de la vida

cotidiana.

• Plantear y resolver problemas que requieran ecuaciones lineales y

cuadráticas.

3. ECUACIONES

3.5 Definición de ecuación

3.6 Conjunto referencial. Condición. Conjunto Solución.

3.7 Ecuación lineal. Problemas cuyo planteamiento conduce a una

ecuación lineal.

3.8 Cálculo de porcentajes.

3.9 Ecuación cuadrática. Fórmula general cuadrática. Métodos de

resolución.

3.10 Problemas cuyo planteamiento conduce a una ecuación cuadrática.


- 66 -

PRIMERA SEMANA

ASPECTO HISTÓRICO DE ECUACIONES

La resolución de ecuaciones es una de las actividades matemáticas más

antiguas, y los esfuerzos para sistematizar esta actividad determinan en gran

medida el estado de las matemáticas modernas.

Considere el siguiente problema y su solución usando sólo palabras: resuelva

el problema de cuántas manzanas tiene Jim, puesto que:

“Las cinco manzanas de Bob y las manzanas de Jim suman doce” piensa

“Las manzanas de Jim son las doce manzanas menos las cinco de Bob” y luego se

concluye, “Jim tiene siete manzanas”.

Los pasos mentales traducidos en álgebra son:

7

512

125

=

−=

=+

x

x

x

La solución de este problema usando sólo palabras es la forma de los inicios

del álgebra. Estos problemas se resolvían exactamente de esta manera en

Babilonia en 1800 A.C. Casi no se conoce el trabajo matemático antes de esta

época, aunque la mayor parte de los estudiosos creen que la sofisticación de los

primeros libros indica que seguramente hubo un largo período de desarrollo

anterior. El método de escribir ecuaciones son palabras persistió miles de

años y, aunque ahora parece en extremo enfadoso, se usó de manera muy


- 67 -

efectiva durante muchas generaciones de matemáticos. Los árabes crearon

una buena parte de la teoría de ecuaciones cúbicas escribiendo todas las

ecuaciones en palabras. Alrededor de 1500 D.C.., la tendencia a abreviar

palabras en las ecuaciones escritas marcó la dirección de la notación moderna,

por ejemplo, la palabra en latín et (que significa y) se desarrolló en el álgebra

como el signo mas, +. Aunque el uso fue ocasional de letras para representar

variables data de 1200 D.C., la práctica no se generalizó hasta los años 1600

DC. En adelante, el desarrollo fue rápido, y para 1632 la notación algebraica no

difería, en esencia, de la que se usa ahora.

Fuente: Fleming, Walter y Varberg Dale. Aspecto Histórico. Pág. 93. Algebra y

Trigonometría. Séptima Edición.

ANÁLISIS

Explique:

a. ¿Qué se entiende por solución de una ecuación?

b. ¿Bajo qué condiciones se dice que dos ecuaciones son

equivalentes?

2. Plantee una ecuación que:

a. no tenga solución

b. tenga solución única

c. tenga infinitas soluciones


- 68 -

3. ¿Cuál es la diferencia entre?

a. Una expresión y una ecuación.

b. Simplificar una expresión y resolver una ecuación.

4. Una ecuación lineal en la variable x es siempre equivalente a la ecuación

ax+b=0, donde a≠ 0.

¿Por qué a no debe tomar el valor cero?

5. La simplificación de una ecuación conduce al siguiente resultado

3x=2x

Si divide ambos lados entre x, obtiene 3=2, lo que indica que la ecuación

no tiene solución. ¿Qué está equivocado en este razonamiento?

SEGUNDA SEMANA

ACTIVIDAD FINAL

Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo que se le indica:

1. Determine si el valor dado de la variable, es solución de la ecuación. NO

RESUELVA:

a. 16x–25=55, x=5 b. 16–2x=5, x=6

c. 6–4y=2, y=1.5 d. 5a–2=3a+4 a=3

e. 2x–6=4–3x, x=-2 f. (t–2)(t–4)=21, t=–2

g. 324

=−

r

r , r=6 h. xx

27

82=

− , x=–3

i. 3(2x–5)+4(3–6x)= –21, x=1


- 69 -

j. 1124

216−=+

−x

x , x=–10

k. 3.4=2c–1.4, c=2.3 l. 4.6=11.9–3a, a=2.1

m. 315

2=+d , d=10 n. 2.05

10

7=− x , x=

10

1

2. Resuelva las ecuaciones y compruebe la solución:

a. 5+4(x+1)=3+4x b. 2+3(x+1)=5x+3

c. 5

3

5

1=−x d.

4

1

7

1=−x

e. 2x+6–x+2=12 f. 3x+5–2x+3=7

g. 9

5

9

46

9

25 =−++− xx h. 0=4(z-3)+5-2z

i. 2– (4x+1)=1–4x j. 3(x+2)+3=2-(1–3x)

k. 35

1

4

2=

−+

+ xx l. 53

2

2

3=

−−

+ xx

m. 8106

=+yy n. 3

74=−

yy

ñ. 85

4=y o. 6

4

3=− y

p. 72

−=x q. 3

4−=

− y

r. 3412

7 xx+= s.

15

)2(8

53

1 +=−

xx

t. 10(x+2)=6(x+1)+18 u. –5(x+2)= –3(x+1) –9

v. 42

1

6

27 rr=+

+ w. xx

2

5

3

1

6

238=+

−

x. 84

4

3

2

2

1−=

++

++

+ xxx y. )2(2

3

3

4

2

5−−

−=

−−

−x

xxx


- 70 -

3. Resuelva las ecuaciones y compruebe la solución:

a. 0526 =+− x b. 3

21

2=+

x

c. 2425 −=+ xx d. 322 =−+ zzz

e. 32 =++ yy f. 11 =+− xx

4. Resuelva las ecuaciones siguientes para las variables que se indican:

a. ax+by=cz, (A) para x (B) para b

b. r

rlaS

−

−=

1, (A) para r (B) para l

c. tyx

111=+ , (A) para x (B) para t

d. 132

=+xyx

, (A) para x (B) para y

e. nrR

EI

+= , (A) para R (B) para r

5. Traduzca las palabras en símbolos:

a. 18 disminuido por el doble de x.

b. La diferencia de 3a y 2b.

c. El producto de 8 y el doble de x.

d. La mitad de un número x más 7.

e. El cociente de x y la suma de a y b.

f. El cociente cuando la suma de p y q se divide entre la diferencia

de p y q

g. El tiempo más cuatro horas.

h. El salario de un empleado menos los impuestos.


- 71 -

i. Cinco veces mi edad dentro de cinco años.

j. La mitad de los empleados más veinticinco.

k. La suma de dos enteros consecutivos.

l. Dos terceras partes de la población de una cárcel.

m. El precio menos el 10 por ciento de descuento.

n. La fracción cuyo numerador es tres unidades menor que cuatro

veces el denominador.

o. La diferencia entre los cuadrados de dos enteros consecutivos

pares.

6. Exprese las frases siguientes en forma de ecuaciones:

a. La utilidad total (UT) es igual al ingreso total (IT) menos el costo

total (CT)

b. El número a supera en 6 unidades al número b

c. El número a es 10 unidades menor que el número b.

d. Cinco es siete unidades menor que cuatro veces cierto número

e. Diecisiete es mayor en cinco unidades que tres veces cierto

número

f. Cuatro veces cierto número más tres, es igual a diecinueve.

g. El perímetro y el área de un rectángulo si un lado mide cuatro pies

más que el doble del otro lado.


- 72 -

TERCERA SEMANA

Para resolver problemas de aplicación, usted puede usar los

siguientes 6 pasos:

(L) Lea el problema hasta comprenderlo bien, busque lo que es necesario

encontrar (la incógnita)

(E) Elija una variable para representar esta incógnita

(P) Piense en un plan que le ayude a escribir una ecuación.

(P) Plantee su ecuación. Pasar del lenguaje verbal al algebraico

(U) Utilice el algebra para resolver la ecuación

(V) Verifique la solución de la ecuación en el problema

7. Plantee la ecuación que resuelve cada problema y encuentre la solución al

problema.

a. La suma de tres números consecutivos impares es 249. Encuentre los

enteros.

b. Tres menos que 4 veces un número es lo mismo que el número

incrementado por 9. Encuentre el número.

c. Un hombre tiene 7 años más que su esposa. Hace 10 años tenía el

doble de la edad de ella. ¿Cuántos años tiene ahora?

d. Un padre es tres veces mayor que su hijo. En doce años tendrá el

doble de la edad de su vástago. ¿Qué edad tienen el padre e hijo

ahora?


- 73 -

e. En una clase de matemática para Administración, hay 52 estudiantes.

El número de varones es 7 más que el doble de las mujeres.

Determine el número de mujeres en el salón.

f. Si come una rebanada de una pizza de champiñones de 16 pulgadas y

un pedazo de chocolate de 10 onzas, consume 530 calorías. Si el

pedazo de chocolate tiene 70 calorías más que la pizza, ¿Cuántas

calorías hay en cada alimento?

g. Un estudiante tiene Q1.60, constituidos por números iguales de

monedas de 5, 10 y 25 centavos, ¿Cuántas monedas de cada tipo

tiene?

h. Yo tengo el doble de monedas de diez centavos en mi bolsillo que de

monedas de veinticinco centavos. Si tuviera 4 monedas menos de diez

centavos y tres monedas más de veinticinco centavos, tendría Q2.60

¿Cuántas monedas de diez centavos y de veinticinco centavos tengo?

i. Un tendero mezcla 40 libras de una marca de café que se vende a Q8

la libra con cierta cantidad de café que se vende a Q12 la libra. Si la

mezcla debe venderse a Q10 la libra. ¿Cuántas libras de café de Q12

deben emplearse?

j. En una obra se les cobró a los niños Q0.75 y a los adultos Q1.50. Se

vendieron 400 boletos menos de adultos que de niños. Si la

recaudación total alcanzó Q3000. ¿Cuántos boletos de cada admisión

se vendieron?

k. ¿Cuántas libras de nuez de Q0.60 y cuántas de Q0.50 deben

mezclarse para constituir 120 libras que se vendan a Q0.55 cada una?


- 74 -

l. Supongamos que desea rentar un automóvil que cuesta $30 por día,

más $0.15 por cada milla recorrida. Escriba una ecuación para el

costo C basada en el recorrido de m millas.

m. ¿Cuántas millas tiene que recorrer de modo que el costo C de la

tarifa por millas, en el problema anterior, sea el mismo que la tarifa

todo incluido, que es de $40 por día?

n. Si planeara viajar 300 millas durante la semana, ¿contrataría la tarifa

por milla o la tarifa todo-incluido, dadas en los dos problemas

anteriores?

o. El ganador de la lotería nacional quiere invertir su premio de

Q100,000 en dos inversiones, al 8% y al 10% ¿Cuánto debería invertir

en cada una de ellas si desea obtener ingresos anuales de Q8500?

p. Una vendedora gana Q600 por mes más una comisión de 10% de las

ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma 11/2 horas

realizar ventas por un valor de Q100. ¿Cuántas horas deberá

trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de

Q2000?

q. Un empresario ha determinado que producir cierto tipo de reloj le

cuesta Q4.20 en materiales y mano de obra y que además tiene

costos adicionales semanales de Q960. ¿Cuántos relojes deberá

hacer y vender cada semana si desea una utilidad semanal de Q3000,

si cada reloj lo puede vender a Q15.00?

r. Una persona invierte el doble de la cantidad que destina al 8%, al 5

%. Su ingreso total anual por las dos inversiones es de Q840. ¿Cuánto

invirtió a cada tasa?


- 75 -

s. El ingreso mensual de una guardería por el cuidado de x niños, está

dado por 450x y sus costos mensuales están dados por 380x+3500.

t. ¿Cuántos niños necesita cuidar mensualmente para llegar al punto de

equilibrio (Es decir para que sus ingresos igualen sus costos?

8. Ecuación de Diofanto.

Uno de los mejores algebristas de todos los tiempos fue Diofanto. De

acuerdo con una leyenda el siguiente problema se encuentra en la

inscripción de su tumba:

“Un sexto de su vida. Dios le concedió su juventud. Después de un

duodécimo más, le creció la barba. Después de un séptimo adicional, se

casó, y cinco años más tarde, tuvo un hijo. ¡Ay! El trecho de la

infortunada vida de su hijo sólo alcanzó la mitad de la de su padre, quien

consoló su pena durante los cuatro años restantes de su vida.”

¿Cuántos años vivió Diofanto?


- 76 -





1. a. si c. no e. no g. si i. si

k. no m. no

2. a. no tiene solución c. 5

4=x e. x=4

g. 9

7=x i. Infinitas soluciones k. x=6

m. y=30 ñ. y=10

p. 14−=x r. x=1 t. x=1

v. 11

10−=r x. x=

13

122−

3. a. 2

31=x c.

2

7=x e.

36

49=y

4. b. A. lS

aSr

+

−= B.

r

rSal

)1( −−=

d. A. y

x3

2 += B. 2

3

−=x

y


- 77 -

5. a. 18-2x c. 8(2x) e. ba

x

+

g. t: el tiempo, t+4 i. e: mi edad actual, 5(e+5)

k. n: un entero, n+(n+1) m. p: el precio, p-0.10p

o. 2n: el entero menor (2n para garantizar que sea par),

( ) ( )22222 +− nn

6. a. UT=IT–CT c. 10−= ba e. x: cierto número, 17=3x+5

g. a: un lado, 2a+4: otro lado, p=2a+2(2a+4) y A= a(2a+4)

7. a 81, 83 y 85 c. 24 años e. 15 mujeres

g. 4 monedas de cada tipo i. 40 libras

k. 60 libras m. 66.7 millas aprox

o. Q75,000 al 8% y 25,000 al 10% q. 367 relojes

s. 50 niños.


- 78 -

CUARTA SEMANA

Ecuaciones cuadráticas y su historia

Los problemas que usan ecuaciones cuadráticas se

encuentran en la literatura de matemáticas más antigua.

La gente de Babilonia y Egipto resolvía problemas de

este tipo antes de 1800 A.C. Euclides resolvió

ecuaciones cuadráticas de manera geométrica en su Data (300 A.C.)., y en la

India y Arabia se daban reglas para resolver cualquier ecuación cuadrática con

raíces reales. Puesto que los números negativos no se usaban con libertad

antes de 1500 D.C., había varios tipos de ecuaciones cuadráticas, cada uno con

sus propias reglas. Thomas Harriot (1540-1603) introdujo un método que en

esencias es completar el cuadrado.

Hasta los tiempos modernos era usual despreciar las raíces negativas (si

las había), y las ecuaciones que involucraban raíces cuadradas de cantidades

negativas se veían como sin solución hasta los años 1500.


- 79 -

ANÁLISIS

Explique:

a. ¿Por qué la ecuación x2 +6=0 no tiene solución real?

b. ¿Por qué la ecuación (x+1)2 +3=0 no tiene solución real?

c. ¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A no tiene solución?

d. ¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A tiene exactamente una

solución?

e. ¿Qué puede decir de A si la ecuación x2 =A tiene dos soluciones?

ACTIVIDAD FINAL

Con la ayuda de su libro de texto resuelva lo siguiente:

1. Resuelva utilizando factorización:

a. x2 – 7x + 6 = 0 b. x2 – x – 2 = 0

c. x2 – 3x – 40 = 0 d. x2 – 2x + 1 = 0

e. x2 + 7x – 60 = 0 f. x2 – 3x – 28 = 0

g. 2x2 + 7x + 6 = 0 h. x2 – 16x – 36 = 0

i. 2x2 – 13x – 7 = 0 j. 3x2 – 11x + 6 = 0

k. 3x2 – 13x – 10 = 0 l. 12x2 – 21x – 6 = 0

m. 12 + 5x – 2x2 = 0 n. 3x2 – 13x – 10 = 0


- 80 -

2. Encuentre el término faltante para hacer de la expresión un cuadrado

perfecto:

a. x2 + 18x + b. x2 + 2x +

c. x2 – 16x + d. x2 – 4x +

e. x2 + 7x + f. x2 + 9x +

g. x2 – 3x + h. x2 – 7x +

i. x2 + x + j. x2 – x +

3. Escriba en la posición del cuadro, el término faltante para hacer de la

expresión un cuadrado perfecto y al lado derecho el cuadrado perfecto

resultante:

a. x2+4x+ = ( )2 b. x2+6x+ = ( )2

c. x2+3x+ = ( )2 d. x2+9x+ = ( )2

e. x2–6x+ = ( )2 f. x2–24x+ = ( )2

g. x2–5x+ = ( )2 h. x2–11x+ = ( )2

i. x2–2

3 x+ = ( )2 j. x2–2

5 x+ = ( )2

4. Utilice completación del cuadrado para resolver las ecuaciones:

a. x2 + 2x + 7 = 0 b. x2 + 4x + 1 = 0

c. x2 + x – 1 = 0 d. x2 + 2x – 1 = 0

e. x2 + 3x – 1= 0 f. x2 – 3x – 4 = 0

g. x2 – 3x – 3 = 0 h. x2 – 3x – 1 = 0

i. 4x2 + 4x – 3 = 0 j. 2x2 + 10x – 1 = 0

k. 4x2 – 16x = 15 l. 25x2 – 25x = –6

m. 4x2 – 7 = 4x n. 2x2 – 18 = – 9x


- 81 -

o. 2x2 + 1 = 4x p. 2x2 + 3 = 6x

q. (x + 3)(x – 2) = –4 r. (x + 4)(x – 1) = –6

s. 2x(x + 5) – 1 = 0 t. 2x(x – 4) = 2(9 – 8x) – x

5. Escriba la ecuación dada en la forma estándar ax2+ bx+c=0; luego

resuélvala con la fórmula cuadrática:

a. x2 + 3x + 2 = 0 b. x2 + 4x + 3 = 0

c. x2 + x – 2 = 0 d. x2 + x – 6=0

e. 2x2 + x – 2 = 0 f. 2x2 + 7x + 3 = 0

g. 3x2 + x = 2 h. 3x2 + 2x = 5

i. 2x2 + 7x = – 6 j. 2x2 – 7x = – 6

k. 7x2 = 12x – 5 l. –5x2 = 16x + 8

m. 5x2 = 11x – 4 n. 7x2 = 12x – 3

o. 10

3

25

2 −=−

xx p.

4

3

27

2 −=+

xx

q. 8

1

4

3

2

2

−=xx

r. 2

3

510

2

+=xx

s. 8

1

48

2

−−=xx

t. 12

1

33

2

−−

=xx

u. 6x = 4x2 + 1 v. 6x = 9x2 – 4

w. 3x = 1 – 3x2 x. 3x = 2x2 – 5

y. 6x(x + 5) = (x + 15)2 z. (x – 4)2 = 4x(x – 2)


- 82 -

6. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones con el método de su

elección:

a. x2 = 144 b. x2 –17 = 0

c. x2 –2x = –1 d. x2 +4x = –4

e. x2 –x–1 = 0 f. y2 – y = 0

g. y2 +5y –6 = 0 h. 3z2 + 1 = z

i. 5y2 = 6y – 1 j. (z + 2)(z + 4) = 8

k. (y – 3)(y + 4) = 18 l. y2 = 1– 3

8 y

m. x2 = 2

3 x + 1 n. 2

1 x2 –2

1 x = 4

1

QUINTA SEMANA

7. Para cada uno de los siguientes problemas, defina la variable que le

ayudará a la solución, plantee la ecuación y resuelva. La ecuación que se

plantee podría no ser cuadrática. No olvide verificar su resultado en el

problema.

a. Una malla de alambre se colocará alrededor de un terreno

rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies2 y el largo del

terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de malla se utilizarán?

b. El perímetro de un rectángulo es de 200 pies y su largo es tres

veces el ancho. Determine las dimensiones del rectángulo.


- 83 -

c. Una vieja receta de la abuela para preparar un buen aceite para el

acabado de muebles de madera contiene 2 partes de aceite de linaza y 1

parte de trementina. Si usted necesita preparar una pinta (16 onzas

líquidas) de este aceite, ¿cuántas onzas líquidas de trementina se

necesitan?

d. Un terreno rectangular de 4×8m se usa como jardín. Se decide

poner una vereda en toda la orilla interior de modo que 12m2 del terreno

se dejan para flores ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda?

e. Una compañía de refinación de, maíz produce gluten de maíz para

alimento de ganado, con un costo variable de Q76 por tonelada. Si los

costos fijos son Q110,000 por mes y el alimento se vende en Q126 por

tonelada, ¿Cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga

una utilidad mensual de Q540,000?

f. La directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su

producto necesita vender para obtener una utilidad de Q100,000. Para

este caso se cuenta con la siguiente información: precio de venta por

unidad, Q20; costo variable por unidad, Q15; costo fijo total, Q600,000.

A partir de estos datos determine las unidades que deben venderse.

g. Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un

edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en Q400 semanales.

Sin embargo, por cada incremento de Q20 semanales se quedarán dos

vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere

obtener un total de Q20,240 semanales de rentas del edificio. Se le

pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina. ¿Cuál es su

respuesta a sus asesorados?


- 84 -

h. Una compañía está diseñando un empaque para su producto. Una

parte del empaque será una caja abierta fabricada a partir de una pieza

cuadrada de aluminio, de la que se cortará un cuadrado de 2 pulgadas de

cada esquina para así doblar hacia arriba los lados. La caja es para

contener 50 pulg3. ¿Cuáles son las dimensiones de la pieza cuadrada de

aluminio que debe utilizarse?

i. Una compañía de dulces fabrica una popular barra de forma

rectangular con 10 cm de largo, por 5 cm de ancho y 2 cm de grosor. A

causa de un incremento en los costos, la compañía ha decidido reducir el

volumen de la barra en un drástico 28%, el grosor no va a cambiar, pero

el largo y el ancho se reducirán en la misma cantidad. ¿Cuál será el largo

y el ancho de la nueva barra?

j. Un saldo compensatorio se refiere a aquella práctica en la cual un

banco requiere a quien solicita un crédito, mantenga en depósito una

cierta parte de un préstamo durante el plazo del mismo. Por ejemplo, si

una compañía obtiene un préstamo de Q100,000, el cual requiere de un

saldo compensatorio del 20%, tendría que dejar Q20,000 en depósito y

usar sólo Q80,000. Para satisfacer los gastos de renovación de sus

herramientas la empresa que usted dirige, necesita Q95,000. El banco,

con el que no han tenido tratos previos, requiere de un saldo

compensatorio del 15%. Aproximando a la unidad de millar en quetzales

más cercana, diga, ¿Cuál debe ser el monto total del préstamo para

obtener los fondos necesarios?

k. Una compañía fraccionaria compra una parcela en $7200. Después

de vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre


- 85 -

sobre su costo original, el costo total de la parcela se recuperó.

¿Cuántos acres se vendieron?

l. El margen de utilidad de una compañía es su ingreso neto dividido

entre sus ventas totales. El margen de utilidad en cierta compañía

aumentó en 0.02 con respecto al año anterior. El año anterior vendió su

producto en Q3.00 cada uno y tuvo un ingreso neto de Q4500. Este año

incrementó el precio de su producto en Q0.50 por unidad, vendió 200

más y tuvo un ingreso neto de Q7140. La compañía nunca ha tenido un

margen de utilidad mayor que 0.15. ¿Cuántos de sus productos vendió la

compañía el año pasado y cuántos vendió este año?

m. Una compañía fabrica los productos A y B. El costo de producir

cada unidad de A es Q2 más que el de B. Los costos de producción de A

y B son Q1500 y Q1000, respectivamente, y se hacen 25 unidades más

de A que de B. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?


- 86 -





1. a. x=6 o x=1 c. x=8 o x= –5 e. x= –12 o x=5

g. x= –3/2 o x= –2 i. x=7 o −=x 1/2 k. x= –2/3 o x=5

m. x= –3/2 o x=4

2. a. 81 c. 64 e. 4

49 g. 4

9

i. 1/4

3. a. 4, (x+2)2 c. 4

9 , 2

2

3

+x e. 9, ( )2

3−x

g. 2

4

3-x ,

16

9

i. 9/16, 2

4

3

−x

4. a. No hay solución real c. 2

5

2

1±− e.

2

13

2

3±−

g. 2

21

2

3± i.

2

3- ,

2

1 k. 2

312 ±

m. 22

1± o.

2

21 ± q. 2,1 −

s. 2

335 ±−


- 87 -

5. a. -1,-2 c. 1, −2 e. 4

171±−

g. 1,3

2− i. 2,

2

3−

− k. 1, 7

5

m. 10

4111 ± o. 2

3 , 1 q. 4

53 ±

s. -1 u. 4

53 ± w. 6

213 ±−

y. 53±

6. b. 17± d. -2 f. 0,1

h. { } j. -6,0 l. -3, 3

1

n. 2

31 ±

7. a. 120 pies c. 5 1/3 d. 1 m

e. 13,000 g. Q440 o Q460

i. 9 cm de largo y 4 cm de ancho j. Q112,000 k. 60

m. 125 unidades de A y 100 de B, o bien 150 unidades de A y 125 de B.


- 88 -

"El pesimista se queja del viento; el optimista espera que cambie; el realista ajusta las velas" (W.G. Ward)

VI. CUARTA UNIDAD

Objetivo:

Al finalizar la unidad de Desigualdades el estudiante estará en capacidad

de:

• Operar intervalos.

• Resolver desigualdades lineales y cuadráticas.

• Expresar la solución de una desigualdad cuadrática con intervalos.

• Plantear y resolver problemas que involucren desigualdades lineales y

cuadráticas.

4. DESIGUALDADES

4.1 Orden y desigualdades en el conjunto de los números reales.

4.2 Intervalos. Definición. Representación gráfica y expresión por

comprensión.

4.3 Operaciones con intervalos: Unión, Intersección y Diferencia.

4.4 Desigualdades lineales de una variable.

4.5 Valor absoluto. Definición y propiedades.

4.6 Problemas cuyo planteamiento conduce a una desigualdad.

4.7 Desigualdades cuadráticas en una variable.


- 89 -

PRIMERA SEMANA

¿Qué es una Inecuación?

Una inecuación es una desigualdad en la que aparece

una incógnita. Si el grado de la inecuación es uno, se dice que

la inecuación es lineal. Resolver una inecuación es encontrar

los valores de la incónita para los cuales se cumple la

desigualdad. La solución de una inecuación es, por lo general, un intervalo o una

unión de intervalos de números reales. El método para resolver una inecuación

es similar al utilizado para resolver ecuaciones, pero teniendo presente las

propiedades de las desigualdades. Es conveniente ilustrar la solución de una

inecuación con una gráfica

Fuente: Desigualdades e inecuaciones. http://usuarios.lycos.es/calculo


- 90 -

ACTIVIDAD FINAL

Con la ayuda de su libro de texto resuelva los siguientes problemas de

desigualdades:

1. Llene los espacios en blanco con > o < de modo que la proposición

resultante sea verdadera:

a. 5 7 b. –2 –1 c. –4 –5

d. 3

1 –3 e. –4 5 f. 3

1− 3

2. Escriba usando notación de intervalos:

a. { }44 <<−∈ vRx b.

≤<∈ 93

4zRz

c. { }aRa ≤−∈ 74.8 d.

<∈2

1bRb

e. { }721 −<≤−∈ wRw f.

≤≤∈3

25

11

12yRy

3. Calcule el resultado de las siguientes operaciones de intervalos:

a. ( ) [ ]6,35,8 −∩− b. ( )∞−∩

−∞− ,2

5

11,

c. ( ) φ∩− 0,21 d. ( ) ( )8,29,5 −∪

e. ( ) ( )∞−∪−∞− ,42, f. ( ) ( )∞∪−∞− ,22,

g. ( ) ( )1,,7 −∞−∩∞ h. ( )

∞∩∞− ,

2

9,3

i. ( ) ( )∞∩−∞− ,95, j. ( )

−∩∞− 1,

5

31,

k. ( ) ( )7.9,9.7, −∞−∩−∞− l. φ∪

6,

4

3


- 91 -

m. ( ) ( ) ( )( )∞∩∞∩∞ ,21,1,5 n. ( ) ( )2,9,2

97,8 −∩

∞

−∪−−

o. ( ) ( )

∞∪

−∞−∪− ,6

2

1,10,3

p. ( ) ( )4,26,4

3, −∪

∞−∩

∞−

q. ( )

−∞−∩

∞−∩

−∞− 1,

4

3,

2

1,

r.

∪

−∩

∞ φ

2

1,3,

5

7

SEGUNDA SEMANA

4. Explique:

a. Las semejanzas y diferencias entre los procedimientos para

resolver ecuaciones y desigualdades.

b. A medida que resuelve una desigualdad, ¿Cuándo tiene que

cambiar el sentido de la desigualdad?

c. Un estudiante escribió “2<x<–5” para indicar que x estaba entre 2

y -5 ¿Por qué está equivocado?

d. Escriba los pasos que emplearía para resolver la desigualdad -

3x<15.


- 92 -

5. Resuelva cada desigualdad, dé su respuesta en notación de intervalo y

represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales:

a. 3x > 12 b. 4x–13 ≤ 7

c. –4x ≥ 2

d. 5–7s > 3 e. 3 < 2y+3

f. 2x–3 ≤ 4+7x

g. 3(2–3x) > 4(1–4x) h. 2(3x – 2) > 3(2x–1)

i. x+2 < 3 –x

j. 6

5 x < 40 k. 4

19 +y ≤ 2y–1

l. 4x-1 ≥ 4(x-2) + 7

m. 3

73

2

1 −<

− tt n. 2x+13 ≥ 2

1 x – 4

o. rr6

5

3

2<

p. 532

yy

yy+>+ q. 0.1(0.03x + 4) ≥ 0.02x + 0.434

r. 3

27

2

118

−

−≤

+ aa s. 2(r – 5) – 8 ≤ 7 – 3(r + 2)

6. Resuelva las siguientes desigualdades y dé su respuesta en notación de

intervalo:

a. 1 < 8a < 12 b. 12 < –6t < 24 c. –9 ≤ 2b ≤ –2

d. –1 < – 4s < 1 e. – 5 < 3x < 11 f. 8 > 5r > 3

g. – 6< 7z – 9 < – 4

h. –7 < 3y + 5 < 5 i. 15 < 8 – 3t < 25

j. 5x – 1 < 7x + 8 < 20

k. 5 < 2w + 6 < 11 l. –13 ≤ 6 – 7c ≤ –4


- 93 -

TERCERA SEMANA

7. Resuelva los siguientes problemas:

a. Cada mes del año pasado una compañía tuvo utilidades mayores que

Q37,000, pero menores que Q53,000. Si s representa los ingresos

totales del año, describa S utilizando desigualdades.

b. Una estudiante tiene Q360 para gastar en un unas bocinas y

algunos discos compactos. Si ella compra unas bocinas que cuestan Q219

y el costo de los discos es de Q18.95 cada uno, determine el mayor

número de discos que ella puede comprar.

c. Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de

venta de Q20 y un costo unitario de Q15. Si los costos fijos son de

Q600,000, determine el número mínimo de unidades que deben venderse

para que la compañía tenga utilidades.

d. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un costo de

mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo total por material de

0.3N. Los gastos generales para la planta son de $6,000. Si cada

camiseta se vende en $3, ¿Cuántas camisetas deben venderse para que

la compañía obtenga utilidades?

e. El costo unitario de publicación de una revista es de Q0.65. Cada

una se vende al distribuidor en Q0.60, y la cantidad que se recibe por

publicidad es el 10% de la cantidad recibida por todas las revistas

vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas

que pueden publicarse sin pérdida, esto es, que utilidad sea mayor o igual

a cero. (Suponga que toda la emisión se venderá).


- 94 -

CUARTA SEMANA

f. Una compañía invierte Q30,000 de sus fondos excedentes a dos

tasas de interés anual: 5 y 6 ¾ %. Desea un rendimiento anual que no sea

menor al 6 ½ %. ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir a la tasa

de 6 ¾ %?

g. Actualmente, un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto

en inventario. Hoy el precio unitario del producto es de Q4 por unidad. El

próximo mes el precio por unidad se incrementará en Q0.50. El

fabricante quiere que el ingreso total recibido por la venta de las 2,500

unidades no sea menor que Q10,750. ¿Cuál es el número máximo de

unidades que pueden venderse este mes?

h. A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra

terminada. El salario que reciben puede afectar la velocidad de trabajo.

Por ejemplo, suponga que unos pintores pueden trabajar por Q8.50 la

hora, o por Q300 más Q3 por cada hora por debajo de 40, si completan

el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t

horas. Si t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, ¿para

qué valores de t el salario por hora es mejor?


- 95 -

i. La razón de la prueba de ácido (o razón rápida) de un negocio es el

cociente entre la liquidez de sus activos –efectivo y valores más cuentas

por cobrar – y sus obligaciones actuales. La mínima razón para que una

compañía tenga unas finanzas sólidas es alrededor de 1.0, peor, por lo

común, esto varía un poco de industria a industria. Si una compañía tiene

Q450,000 en efectivo y valores, y tiene Q398,000 en obligaciones

actuales. ¿Cuánto necesita tener en cuentas por cobrar para mantener la

razón en o por arriba de 1.3?

QUINTA SEMANA

8. Resuelva las desigualdades:

a. 610 <−x b. 812 ≤+z c. 5.213 <−x

d. 94 >+z e. 973 ≥+a f. ( ) 643 <−−z

g. 104 <−b h. 5116 ≤−x i. 214 <+z

j. 5

8106 <− z

9. Resuelva los siguientes problemas:

a. Encuentre todos los números enteros cuya distancia al 5 sea

menor o igual a 2.


- 96 -

b. El dueño de una fábrica debe entregar a uno de sus compradores

1,700 tubos metálicos cuyo costo de fabricación es Q3.75 cada uno.

Cada tubo será vendido en Q4.10. Como únicamente tiene 1,200 piezas

listas para entregar, decide comprar las piezas faltantes a otra fábrica,

que se las ofrece a Q3.75 cada una. Al recibir los tubos, observa que no

todos tienen el mismo tamaño. Le habla al comprador y le explica la falla,

y este último le dice: solicité que cada uno midiera 17 cm., pero si la

diferencia no excede 3mm, está bien. ¿Qué medida pueden tener los

tubos? ¿Cuál será la ganancia si entrega los 1,700 tubos?

c. Sofía pide a Ramón que se encargue de vender el sillón de la sala

que ya no ocupará y le dice: Aunque creo que su valor es mayor,

considero que un precio justo sería Q900. Ponle el precio que consideres,

después llega a un acuerdo de tal manera que la diferencia entre el

precio en el que lo vendas y el que yo te sugiero no sea mayor a Q36. ¿En

cuanto debe vender Ramón el sillón?

10. Resuelva las desigualdades:

a. 062

<−− xx b. 3522

>−− xx c. ( ) 532 ≥+xx

d. 286 xx >− e. 0925

2<−x f. 365

24≥+ xx

g. 161524

<+ xx h. 084223

≥−−+ xxx

i. 0323223

≤+−− xxx j. ( )( )0

9

312

2

≥−

−+

x

xx k. 022

2

≥+

−

xx

xx

l. 0103

22

≥−−

−

xx

x m. 232

1>

−

+

x

x n. 1

3

2

1

+≥

− xx


- 97 -





1. a. 75 < c. 54 −>− e. 54 <−

2. a. ( )4,4− c. [ )∞− ,74.8 e. [ )7,21 −−

3. a. [ )5,3− c. Ø e. ( )∞∞− , g. Ø

i. Ø k. ( )7.9,−∞− m. ( )∞,21 o. ( )∞∞− ,

q. ( )1,−∞−

4

5. a. ( )∞,4 −∞ ∞

2/1−

c. ( ]2/1,−∞− −∞ ∞

0

e. ( )∞,0 −∞ ∞

7/2−

g. ( )∞− ,7/2 −∞ ∞


- 98 -

13.0−

i. ( )13.0,−∞− −∞ ∞

5−

k. ( ]5,−∞− −∞ ∞

9/17

m. ( )∞,9/17 −∞ ∞

0

o. ( )∞,0 −∞ ∞

2−

q. ( ]2,−∞− −∞ ∞

5/19

s. ( ]5/19,∞− −∞ ∞

6. a.

2

3,

8

1 c.

−− 1,

9

2 e.

−

3

11,

3

5 g.

7

5,

7

3

i.

−−

3

7,

3

17 k. ( ]5,−∞−


- 99 -

7. a. 000,53000,37 << s

c. Deben venderse más de 120,000 unidades (por lo menos, 120,001)

e. Deben publicarse y venderse 60,000 revistas o más

g. El número máximo de unidades que deben venderse este mes es 1000

i. Las cuentas por cobrar deberán ser mayores o iguales a Q 67,400

8. a. ( )16,4 c. ( )5.15,5.10 e.

∞∪

−∞− ,

3

2

3

16,

g. ( )14,6− i.

−

4

1,

4

3

9. a. [ ]7,3 c. [ ]936,864

10. a. ( )3,2− c. [ )∞∪

−∞− ,1

2

5, e.

−

5

3,

5

3 g. ( )1,1−

i. ( ]

∪−∞−

2

3,11, k. ( ) [ )∞∪−∞− ,12, m.

3

7,

2

3


- 100 -

BIBLIOGRAFIA

• Echeverría, Ortiz y Rodríguez. (2005). Temas de Matemática

Preuniversitaria. Segunda Edición. URL - Guatemala.

• Fleming, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y Trigonometría con Geometría

Analítica. Tercera Edición. Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A.

• Harshbarger, Reynolds. Matemáticas Aplicadas a la Administración,

Economía y Ciencias Sociales. Séptima Edición. Mc-Graw Hill

propedéutico de matemática -...

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