algebra preuniversitaria
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lgebraINTRODUCCI NLa palabra lgebra viene de "ilm al-jabr w'al muqabala" ttulo rabe del libro escrito en el siglo IX por el matemtico rabe Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi. Este ttulo se traduce como "Ciencia de la restauracin y la reduccin". El lgebra es una rama de las Matemticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones. Por ello, todas las operaciones algebraicas, reglas, frmulas, definiciones, etc. tienen un slo objetivo: el clcul o de incgnitas. Una de las caractersticas es que utiliza smbolos o letras para representar nmeros. Por ejemplo la letra "x", puede representar el valor de una temperatura, una edad, una velocidad o la medida de un ngulo; pero el lgebra no estudia estas magnitudes, nos muestra las operaciones en general sin precisar qu tipo de magnitud se est tratando. El lgebra actual trata con estructuras ms complejas que los nmeros y sobre estas estructuras define operaciones similares a las operaciones aritmticas. Esta nueva lgebra se debe a Evariste Galois. CONCEPTOS BSICOS EXPRESIN ALGEBRAICA Es un conjunto de nmeros y letras relacionados entre s por los operadores matemticos de la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y/o radicacin, en un nmero limitado de veces, por ejemplo : P(x;y;z) = 5 x 2 3x 3 y 2yz ; llamada racional entera o polinomio. .
F(x; y) H(x; y; z)
2x
1 y
7 ; llamada racional fraccionaria. 5x ; llamada irracional. y
24 z
(*) Magnitud : Todo aquello susceptible a ser medido. TRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresin algebraica que no presenta operaciones de adicin ni sustraccin. ELEMENTOS DEL TRMINO ALGEBRAICOsigno exponentes
P(x;y) =
- 7 x5 y 8coeficiente parte literal
Parte Literal : Est formada por las letras con sus respectivos exponentes que representan ciertas magnitudes, como por ejemplo: P(x;y;z) = 6 x 4 y 3 z ; la parte literal es : x 4 y 3 z Coeficiente Numrico : Es el nmero que generalmente se coloca delante de la parte literal, cuando el coeficiente es entero positivo indica el nmero de veces que se repite como sumando la parte literal, as pues tenemos : y3 y3 y3 ...... y3 80y 3
80 veces
Tambin se puede tener un coeficiente literal , como por ejemplo : P(x) = ax 2 el coeficiente es "a".
TRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que presentan la misma parte literal, como por ejemplo : 2y 3 z ; REDUCCIN DE TRMINOS ALGEBRAICOS Las operaciones de adicin o sustraccin entre trminos algebraicos slo se puede efectuar entre aquellos trminos que sean semejantes , para lo cual se calcula la suma o resta de los coeficientes numricos, permaneciendo invariable la parte literal, veamos algunos ejemplos : Ejemplo : * * 3 3 y z; 5 7 y3 z
9y 3z 6y 3z 15 y3z 2x 4 y 3 4 z 5x 4 y 3 10z 7x 4 y 3 6z
Captulo
1
LEYES DEEXPONENTES ECUACIONES EXPONENCIALESTEOR EMAS 1. Multiplicacin : bases iguales. a m . an4 2 Ejemplo : x . x
POTENCIACIN Es la operacin matemtica que tiene por objetivo encontrar una expresin llamada potencia (p), conociendo previamente otras dos expresiones denominadas base (b) y exponente (n).
am
n
x4
2
x6
bn
b p ; donde n p
base ; b R exp o nente ; n Z potencia ; p R
2.
Divisin : bases iguales. am an amn
;a=0
As pues, en 23 = 8 : 2 es la base, 3 es el exponente y 8 es la potencia. DEFINICIONES 1. Exponente cero ao Ejemplo : 5 o 2. 1; a=0 1; 7o
Ejemplo :
x10 x7
x10
7
x3
3.
Potencia de potencia . (a m )n Ejemplo : (x 2 )5 x 2.5 a m.n x 10
1 ; ( 3)o
1
4.
Multiplicacin M ult p ultip : exponentes iguales.a n bn = (ab)n
Exponente unoa1 = a
Ejemplo :
Ejemplo : 4 3.
1
a3 b3 c3 (abc )3 4 (x 2. y 3 )55. an = a.a.a. ...... . a ; n"n" veces
(x 2 )5 . (y 3 )5
x10 . y15
Exponente entero positivo Divisin : exponentes iguales.an bn a bn
2
;b=0
Ejemplo : 7 3 4.
7 . 7 .7
343
Ejemplo :
Exponente negativo .
x3 1 an
a
n
;a=0
y3 x42
x y
3
(x 4 )2 (y 3 )2
x8 y6
Ejemplo : 2 1
1 21
1 ; 3 2
2
1 32
1 9
y3
RAD ICAC IN Es una de las operaciones matemticas inversas a la potenciacin cuyo objetivo es encontrar una expresin llamada raz (b), conociendo otras dos expresiones denominadas radicando (a) e ndice (n).
TEOREMAS : 1. Multiplicacin : ndices iguales.n 3
a. b3
n
n
a. b
Ejemplo :signo radicaln
x .3 y
xy
2.
Divisin : ndices iguales.n n
a
b ; donde
n a b
ndice ; n Z Radicando Raz ; b R
a b
n
a ;b=0 b
As pues : en 64 4 : 3 es el ndice, 64 el radicando y 4 la raz. DEFINICIONES : 3. 1.
3
Ejemplo :
x y
x y
Raz de raz .m n
a, b R , n Zn
a6
m.n
a
abn
b
a
b
n
Ejemplos :n
Ejemplo :
3
x
3 2
x
x
a
b
a
PROPIEDADES ADICIONALES a bn
93
38 2
9
328 ( 2)3
1. 2. 3.
b am
n
; ab
0
Observacin : Debemos tener en cuenta que dentro del conjunto de los nmeros reales no se define a la radicacin cuando el ndice es par y el radicando negativo, como en los ejemplos :4
ambm
am b ; a > 0 a nk ; k Z
an
mk
2004 existe en R .
INTRODUCCIN UC A LAS ECUACIONES TRASCENDENTES DE EN Es aquella ecuacin donde al menos uno de sus miembros no es una expresin algebraica, as pues tenemos:m an
32 no existe en R .2. Exponente fraccionario .n
a)
Formando parte de algn exponente Ej. 5x1
am
125 ; 23
x
16
Ejemplo :2
b)3
Como base y exponente a la vez Ej. 2x x 5 ; xx
( 8) 3 3.
8
2
( 2)2
4
3
c)
Afectada por algn operador Ej. Logx2 x 1 ; Cos(2x) 0,5
a R
n Zn n
ECUACIN EXPONENCIAL : a a ;n |a| ; n # impar # par Es la ecuacin trascendente que presenta a su incgnita formando parte de algn exponente. Ejemplo : 5 x2 1
*
|a| : valor absoluto de "a", significa el valor positivo de "a".3
25
Ejemplo :
x3
x ;
x2
|x |
Teorema :ax
Transformando al segundo miembro se tendr :ay
x
y ; a > 0; a = 1
Ejemplo : 7
x 1
7 x 1 2x = 6 x=3
5 x
5 x
x
x
3 3
33
3
3
x
3
3 (representa un valor de "x").
Obs e r va ci n : Para resolver algunas ecuaciones trascendentes, a veces es necesario recurrir al proceso de comparacin comnmente llamado mtodo de analoga, el cual consiste en dar forma a una parte de la igualdad tomando como modelo la otra. Veamos un ejemplo : Ejemplo :
Sin embargo, debemos indicar que el mtodo de analoga slo nos brinda una solucin, pudiendo haber otras, sino veamos el siguiente ejemplo : En : Perox
x
x
2 se observa que x = 24
xx
3
3
2 =4
4 , con lo cual tenemos :
x
4 de donde : x = 4.
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Calcular : A + B; sabiendo que : A ( 2 3 )0 1 ( ) 21 4 2 2
06. Si el exponente de "x" en :1
6 5
0
a
216
3
xb
a
x b es 4, entonces el exponente de "x" en :
a2
(x a 1)2b . b) 2 e) 1 n . 1 0. c) 8
B
1 ( ) 3
2
1 ( ) 2
4 d) 16 c) 15 07. Sabiendo que : Reducir : n
a) 5 d) 20 02. Reducir :
b) 10 e) 25
a a
32
x 1
24 x
.332 x
33
(3 )
8 3x
a) a0 d) a2 08. Simplificar :
4 b) a
c) a
e) a
1
a) 1 d) 312
b) 3
18
c) 3
3733 33 3 3
e) 3 24
.......
33
3
3
3 3n 3
03. Reducir :1 4 9 32 5
"n" radicales
a) 3 d)
b) 9
c) 27 3
U
1 16
3
e)
3
09. Hallar el valor de " " , si el exponente final de "x" en : c) 16
a) 48 d) 64 04. Simplificar :
b) 50 e) 32
x
3
x
5
x
es la unidad. Adems : 3
5 c) 20
b
6 a. 16 b. 3a 2b 18 a b
a) 10 d) 25 c) 6
b) 15 e) 30
a) 2 d) 8 05. Sabiendo que :
b) 4 e) 12
10. Hallar el exponente final de : x x x ...... x x
f(x)f
3
3
x
x
x2 / 3
100 radicales
a) Calcular : M a) 3 d) 31/ 2 1/ 3
399 390 1 2100 1 2100
b)
299 299 1 3100 3100
c)
2100 1 2100
f(x) (x ) , para : x = 3. d) b) 3 e) 31 / 2 c) 3 1
1
e)
1
11. Hallar "x" :
19. Resolver :
4 .8a) 1/3 d) 5/3
x
x 1
2
2x 1
.16
3x 2
x c) 4/5 a)5 5
2. x
x
5
25 c)5
b) 2/3 e) 4/32x
5 5
2
b)
5
2
3
5
4
12. Al resolver : 163
84
2x
d)
e) 5x
se obtiene la fraccin irreductible : Indique : p + q. a) 2 d) 5 13. Resolver : 4 a) 0 d) 3 14. Resolver :x 2 3x 3
p . q
20. Resolver : x 7
1 777
b) 3 e) 6
c) 4 a) 7x
1( ) b) ( ) 7 7 e)7
1
c)
1 7
5 5
1 d) ( )7 7 21. Calcular :
7
b) 1 e) 4
c) 2
( 11)02
4 5
0
2 3
3
8 5 c) -1
1
9xa) 2 d) 0,3 b) 3 e) 6
32x
240c) 0,5
a) 0 d) -6 22. Reducir :
b) 1 e) 2
15. Calcular "x", si : a) -3 d) 1 2
3 b) 4 e) 1 4
2
x
1
1 3
3
9 c) 2 a) 9 x . 4 d) 27 23. Reducir :
1 3 1 3 e) 3 b)
1 9
1 3
9
c)
1 9
16. Resolver : x x a) 12 d) 9
672 ; e indicar : Eb) 15 e) 18
x c) 10
5 1 . 32
4x 3
45 x
.5223 y
5
17. Hallar "x", de : x x
9
5b) 33
y 6 2
a) 3 d) 3
1 6
b) 3 e) 3
c) 3
3
a) 1 d) 4 24. Calcular :
c) 318
9
e) 324
18. Resolver :x 13
xx x 37
x13 xx
1 x c) 13 a) 2 d) 4
10 n
5n
3 1
82
n 1
a) 25 d) 50
b) 20 e) 1
b) 8 e) 16
c) 64
25. Sabiendo que :5x 3 5x
a) 6 d) 8 31. Resolver :
b) 3 e) 10
c) 21
P(x)
5
x
x5
34 x. 96a) 4 d) 7 c) 51 / 3 32. Resolver : b) 5 e) 8
x
. 2710
x
814c) 6
x
Calcular : N a) 5 1 / 5 d)
P(5)
P(5)
.
b) 51 / 5 e) 53
5
813
2x
274
2x
26. Si el exponente de "x" en :a
a) 2 d) c) 3 1 4
b) 4 e) 8
c)
x b 1. x c es 5, entonces el exponente de "x" en :ab c
a
1 2
(x
5a 1 a
)
a) 1 d) 4 27. Reducir :
b) 2 e) 5
33. Resolver : 4x2 2x
7 7
x
an n n 1
a c)n
a) 0 d) 3 34. Resolver : a a) 1 d) 4 35. Calcular "x", si :
b) 1 e) 4
c) 2
a) an d) a n1
b)
n2
an
4xb) 2 e) 5
1
48 22x
3
e) a n
c) 3
28. Simplificar :55 55 5 5 5 5 55 55n 5
..........
5
5
6
5
3
x
5
"n" radicales
a) 5 d) 5 5 29. Si : a aa aa
b) 10 e)
c) 25
a) 1 d) 3
b) e)
1 2 1 4
c) 2
5
a 1 , entonces el equivalente reducido de :1)
(a 1)(a
es : b) a e)a
36. Hallar "x" : (2 x )2 c) 1/4 a a) 4 d) 2 37. Hallar "x" en :
232 .b) 8 e) 32 c)16
a) 1 d) a2
30. En la siguiente ecuacin :3
6
515 5x1
5x 54
x2
3
x2
3
x 2 .......
3
x2
xk a) 9 d) 6
5c) 92
El miembro de la izquierda consta de "n" radicales. Si :
b) 12 e) 10
k
80 3n
y x
n . Calcular : (n+x). 2
38. Hallar "x" de : xx1 4 2 625
44. Reducir : 1 5 c) 53
E Sabiendo que :n
mm . nn . p p m p . nm . pnp m
a) 5 d) 5
b) 5 e) 5
5
mx b) 1 e) x
nx
px
x c) x
39. Resolver :3 6.3 x 3 2 3x x
a) 2 d) mnp
mnp
x
64c)
45. Efectuar :
a) d)
7
b) e)
8 15
11a) x 2
M
x 1 x1 x
x
1 x .1 x
xx
x
13
b) x e) x
1
40. Resolver : xx 1 a) 3 d)3 x 39
c) x x
d)
x
x
3
3
46. Calcular :2 6 2
b) 2
c) 9
M
3
e)
9
3a) 2 2 d) 8 b)
8
8
8
2
41. Simplificar : M 2n 1. 42n 1
2
c) 2
83
n 2
e) 4
16 . (2n ) b) 3,5 e)
47. Si : m + n = 2mn ; reducir : c) 2,5
a) 4,5 d)
4mn
4nm
3
2a) 2 d) 24x2 x
2m
2nc)
42. Reducir :22x 3 4x 2
1
b) 1 e) -4
2
3
.
48. Calcular :33 1 33 39 33 1 33 39
(0,5)122 2
x
2
a) 2
b) e)
2
c) 2
2
2
2
d) 2
23
a) 2 d) 82 1 2 2
b) e)
3
2 /22
c) 1/2
43. Mostrar el equivalente de :
49. Hallar el valor de :x 1 2 8x x 1 8x x 1
2
2
2
2
22
E c) 4 para : x 2
x
.
x
.
.....
a) 2 d) 2 2
b) e) 2
22
a) 4 d) 1 4
b) 16 e) 1 16
c)
1 2
50. Simplificar :
55. Hallar "x" de :
x2
2
(x
2 )2
2c) 4 2
7 7
22
7 7
23
7 ..... 2 73
n
.
4n
a) 7 d)
222
b) 2 2 e) 22 1
4
42
43
7.....
4n
7 56. Resolver ecuacin :x2 1 2 x2 1 2 x2 1 2
Seale el exponente de 7.
4 c) -
3
3
a)
2 2n
b) 2n e) n 2n 1
1 2n
Entonces el cociente de las soluciones es : a) -1 d) 2 57. Calcular "x" en : b) 0 e) 3 c) 1
1 d) 3n
51. Hallar "x" en : 27 27 a) 6 d) -8 52. Indique "x" en : a a) 1/5 d) -2/5 53. Resolver : 2 3 19 2 1 92x 3 x 1 3 x 1
39
x 2
mx
n x
xx
xx
n
, siendo : m b) e)
xx
x
b) 7 e) -7
c) 8
a) n d) nn 58. Si : x R / x
nnn
c)
n
n
1 ; y adems :x
. a
2x 1 4
. a
2 3x
1; a c) -4/5
0
x
x
x 1
x
x
x
Calcular : 2x. a) 1/4 d) 1/2 59. Hallar "x", en : 0 b) 2 e) 1/8 c) 1
b) 3/5 e) 1
9 . 4
9x 4
2 3
19 x
8 27 8 5
27
x1 4 2 4
x 2x
2
2
2;x
02 2
a) d) 54. Si :
b)
76 3
c)
a)
b)
1 2
c)
e) 2
d)
e)
2
60. Hallar "x" : (x > 0).
2
2x
2
2y
4, y 2
x y
6 , el valor de 2c) 2
x
2 es :
y
1/ 2
x a) -4 d) -2 b) 4 e) 0
1 x1 x
x1 / 2
x1 / 2 x
a) 2 d) 2
b) 4 5 e) 8
c)
5
4
Claves01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. b c d d d c c a b c e b d c b b c a a c c d a d a a b a b a 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. b c c b c c e e b a a d a b d d d a b c d c b b b a c c c c
Captulo
2
POLINOMIOS
NOTACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se utiliza para indicar las variables de una expresin. Ejemplos : * * P(x)"P " de x
P( 2 7)
2 ( 2)3
5 ( 2) 1 P (5)
16 10 1 27
PROPIEDADES : para un polinomio P(x). variable : "x". variables : x, y. . 1. 2. Suma de coeficientes = P(1). Trmino independiente = P(0).
F(x ; y)"F" de xy
CAMBIO DE VARIABLEx; y; z a; b; c
*
Q(x ; y ; z)"Q " de xyz
ax
by cz
var iables cons tan tes
As como las variables pueden reemplazarse por nmeros, tambin pueden ser reemplazadas por otros polinomios, as tenemos: 1. Dado : P(x) = 2x+11 . Obtener P(x+7) Para obtener lo pedido, se reemplaza :
VALOR NUMRICO (V.N.) Es el resultado que se obtiene al reemplazar las variables de una expresin algebraica por valores determinados. Ejemplo : 1. Determinar el V.N. de la siguiente expresin : P (x; y; z) x 2 3yz y = -2; z = 3 Reemplazando : P(5; -2; 3) = 5 2 2. para : x = 5;
x por x 7 en P(x).P(x) 2 xx 7 x 7
11
P(x 7) P(x 7)
2 (x 7) 11 2x 25
2.
Dado : P(x 3)
3x
4
Determinar : P(2x 5) .
3 ( 2 )( 3 )
7
Determinar P (3) , si :
Se reemplaza (x + 3) por (2x - 5) previa preparacin del polinomio como : P(x+3) = 3(x + 3 - 3)+4 Ahora : P(2x-5) = 3(2x-5-3)+4 Luego : P(2x-5) = 6x - 20 POLINOMIO E s t o d a e xpr e s i n al geb ra i ca r a ci o nal y e nte r a . C uand o t i e ne un t r mi no s e de no mi na monomio, con dos se denomina binomio, con tres trinomio, etc. Recordemos que en una expresin Algebraica Racional entera : Ninguna variable est afectada por algn signo radical o exponente fraccionario.
P (x) x3 2x 10 .En este caso, se pide el V.N. de P (x) para : x = 3.
P (3 )
33
2 (3 )
10
P(3) = 233. Determinar P(5), si : P(x 7) 2x 3 5x 1
Para este caso, se resuelve la ecuacin : x + 7 = 5; de donde : x = -2. Al reemplazar :
Ninguna variable se encuentra en el denominador. Ejemplo :P(x ; y) 3x 2 7y 5 polinomio (trinomio).
POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio Homogneo : cuando sus trminos son de igual grado absoluto. Ejemplo :P(x ; y) 2x 4 y 37
P(x;y;z) = 2 x
2y z no es polinomio. .
GRADO : Es la categora que se asigna a un polinomio; y depende de los exponentes de sus variables. GRADOS DE UN MONOMIO : Grado Absoluto : es la suma de los exponentes de sus varia bles . Grado Re lativo : es el exponente de la varia ble en referencia. Ejemplo : P(x; y) 2a x y G. A. = 5 + 4 G.R. (x) = 4 G.R. (y) = 5 G R AD OS D E UN POL I N OMI O DE D O OS S M MS TRMINOS : Grado Absoluto : es el mayor grado absoluto de uno de sus monomios. Grado Relativo : es el mayor exponente de la variable en referencia. Ejemplo :mayor mayor3 4 5
x5y27
5x 6 y7
Homogneo de grado 7. 2. Pol i no m io Co m pl e to : cuando tiene todos los exponentes de la variable en referencia, desde el mayor hasta el cero incluido. Ejemplo :"x" tiene exponente "1" 3 2 4 "x" tiene exponente cero
P(x; y) 2x y
7x y
5y
completo con respecto a "x" . Propiedad : para un polinomio completo P(x).
# trminos = Grado + 13. Polinomio Ordenado : es aquel cuyos exponentes de la variable en referencia (ordenatriz) van aumentado (orden creciente) o disminuyendo (orden decreciente). Ejemplo :aumenta 4 3 7 9 20
P(x; y)
4x y
6x y
5 xy
P(x;y)Grados
2x y 7x y4 9
3
4 5
6x y8
6 2
ordenado ascendentemente respecto a "y". POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO Es aquel polinomio cuyos trminos presentan coeficientes iguales a cero, como por ejemplo : P(x) ax 3 bx 2 c
G.A. = 9 G.R. (x) = 6 G.R. (y) = 5 POLINOMIOS IDNTICOS Dos polinomios son idnticos si sus trminos semejantes tienen igual coeficiente, as pues : P(x ) Q(x) ax 3 mx 3 bx nx c p
ser idnticamente nulo, si : a = 0; b = 0; c = 0. Propiedad : todo polinomio idnticamente nulo tiene valor numrico igual a cero para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.
son idnticos, si : a = m; b = n ; c = p. Propiedad : dos polinomios idnticos tienen el mismo valor numrico para cada sistema de valores asignados a sus variables.
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar : P[P(3)]. Si : P(x) = 2x - 5. a) 1 d) -1 b) 3 e) 51)
08. Dado el polinomio : c) -3 P(x ; y ) (a 4)xy 2 (20 b) x 2 y ax 2y
Si : P(x ; y)
0 . Calcular : a b abc) 20
02. Si se cumple : P(x ) P(x Calcular : P(4) P(0) . a) 9 d) 0 b) 10 e) 15
xa) 8 d) 14
para algn polinomio no constante.
b) 18 e) 28
c) 20
09. Sea el polinomio : P(x ) (2x 1)n nx con "n" impar, si la suma de sus coeficientes aumentado en el duplo de su trmino independiente resulta 16, entonces "n" es : a) 15 d) 21 b) 19 e) 13 c) 17
03. Sean los polinomios :
P(x) ax bsiendo : (a b) . Adems :
Q (x )
bx a
P(Q( x) )Hallar : P(Q(1)) . a) b d) -b b) a e) ab
Q (P(x ))
10. Dado el polinomio : c) 1 R(x ) (2x 4 3)m (mx 5 1)5 (2x m x m)3
04. Dado el polinomio :
P(x ; y) 4m xSi : GA(P) = 10
n 2m 3n 5n m
y
Indique el coeficiente principal, si el trmino independiente es 72. a) 1024 d) 512 11. Si : b) 243 e) 64 c) 624
GR(x) = 7.
Calcular su coeficiente. a) 5 d) 8 b) 64 e) 2 c) 16
P(x )
(n 2) x n
9
y (n 3) x n 8 y 2 ......
(n 4) x n 7 y 3
05. Dado el polinomio : P(x, y) 7x y2 m 3
4x y
5 m 4
3x y
4 m 5
x y
6 m 2
es ordenado y completo. Hallar el nmero de trminos. a) 7 d) 5 12. Si : b)9 c) 13 c) 11
Si : GR(x) + GR(y) + G.A. = 32. Entoces el valor de "m" es : a) 4 d) 7 06. Si el polinomio : R (x ; y ; z ) xab
b) 5 e) 8
c) 6
P(x
2)
6x 1
P(F(x) )x7 y ba
12x 17
x 20 z12
Obtener : F(10) . a) 23 d) 21 b) 20 e) 19 c) 22
es homogneo. Calcular : (a b)2 . a) 16 d) 3 b) 9 e) 1 c) 5
13. Dada la expresin : P(x) , tal que :
07. Determinar cul es la suma de los coeficientes "m" y "n", de modo que para cualquier valor de "x", se cumple:
P(x )P(2) a) 7 d) 1
P(x
1)
P(x
2) ,
adems : P(1)
3;
4 . Calcular : P(P(P(0))). b) 4 e) 14 c) 3
7 xa) -1 d) 0 b) 1 e) 2
m (x 1) n (x 2)c) -2
14. Dado el polinomio : P(x ) x a 5 3x a 1 5 x 7 a 7 Hallar la suma de valores que puede asumir "a". a) 6 d) 18 b) 11 e) 21 c) 13
21. Si :
H (x
1)
f(x ) g (x ) 2x 43x 2 6x 1
Donde : f(x g (x Hallar : H(5). a) 62 d) 93
2) 2)
15. En el polinomio homogneo : P(x, y, z) (xy )3a Calcular : a + b + c. a) 3 d) 9 16. Si se cumple : P( x ) x2 3x (x 2) q(x ) b) 5 e) 15b a
yb
a b
b) 78 e) 99
c) 87
2z c
22. Si : P(x) ax 2 b y P(P(x )) 8x 4 24 x 2 c
c) 7
El valor de : a + b + c, es : a) 28 d) 31 b) 32 e) 26 c) 30
R (x )
5x 2 P(x 1)
23. Indique el grado de :
Hallar la suma de coeficientes del polinomio R (x) . a) 11 d) 13 17. Si : F(x ) Hallar : K a) 0 d) 23 499 [F(1) F(2) F(3) ... F(99) ] b) 243 e) 1F ( 5)
R ( x ; y)a) 7 d) 6
x a 5y 2b) 8 e) 3
a
1
xa
a 1 4 4 y
x11
a
b) 9 e) -6 x 3 (x18 125x15 ) 2 (x
c) -7 c) 4
5)
24. Si el polinomio : P(x; y) nx n m y x r 1y my m 5x 3 es homogneo y con grado relativo respecto a "y" igual a 3. Hallar el grado relativo de "x". a) 3 d) 9 b) 5 e) 11 c) 7
c) 1024
18. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio: Q(x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es completo y ordenado en forma decreciente. a) 8 d) 10 b) 2 e) 4 c) 6
25. Sean los polinomios : P(x ) ax 3 bx 2 cx d ; Q(x ) ax 2 d;
R(x )
ax
b.2 ; Q (1) R ( 2) 1. 0. c) 0
Si : P(0)
19. Si la siguiente expresin matemtica se reduce a un polinomio : P(x, y, z) a x b b x c Hallar el valor de : a - 2c + b. a) -1 d) 2 b) -2 e) 0a b
Hallar "x", tal que : R(x) a) -3 d) 1 b) -1 e) 3
c xa
c
c) 1
26. Determinar en cuanto difieren "p" y "q" para que con cualquier valor de "x" se cumpla que :
27 8 xa) 7 d) 3 b) 5 e) 2
p (x 4) q (2x 3)c) 1
20. Sea "f" una funcin definida en el conjunto de los nmeros reales tal que verifica las siguientes propiedades :
f(xCalcular : f(1 a) 220 d) 55
y)
f(x ) f( y) ; f (1)
2
27. Hallar : m . n, si el polinomio es homogneo.
2 ... 10) .
P(x ; y)b) 20 e) 110 c) 40 a) 100 d) 140
x n 3 y7 (x 2 y 2 )4b) 124 e) 70
x my 4
c) 144
28. El grado de homogeneidad del polinomio : P(x ; y) x y x y x y es 6. Calcular el valor de : E = a + b + c. a) 9 d) 3 b) 7 e) 11 c) 5a 2b c a b 2c a 2c a 2 b
34. Dado el monomio : M(x; y) 4 a b x 2a 3 b y 5 b se tiene : GA(M) = 10; GR(x) = 7. Sealar su coeficiente. a) 2 d) 16 b) 4 e) 64a
c) 8
29. Sea el polinomio : P(2x) a0x 2a1x 2 22 a 2 x 3 ... 25 a5 x 6 35. Si la suma de coeficientes del polinomio P(x) es 13. P(x) Hallar : a + b. a) 4 d) 7 a(2 x)10 b(3 2x)8 5
Hallar la suma de coeficientes de P(x ) , si su trmino independiente es a5
2 y adems: 8 ; a0c) 7
a0 a1 a 2 a 3 a 4a) 3 d) 2 b) 5 e) 1
0
b) 5 e) 8 R.
c) 6
36. Definimos un polinomio P(x) x4
30. Dados los polinomios :f(x ) a (x 1)(x 2) b (x 2)(x 3) c (x 1)(x 3)
P(x ) (x n 2) (x n 3)3 2 en el cual el trmino independiente es 17. Calcular "n". a) 1 d) 5 b) 4 e) 3 c) 2
g (x )
x2
2x g (x ) ;
9 x R
37. Hallar : m - n + p; si se sabe que el polinomio: Q(x) x m 10 x m n 5 x p n 6 es completo y ordenado en forma decreciente. c) 1 a) 8 d) 10 b) 2 e) 4 c) 6
Si : f(x)
Determine el valor de : a+b+c. a) -1 d) 2 x c 31. Si : f(x ) x 1 f(f(x)) ser : c b) 0 e) 1/2 x 1; c 1.
38. Sabiendo que el polinomio : A (x; y) 7x a 2 y b 3 8 x c y d es homogneo. Hallar "a". a) 0 d) -3 39. Si el polinomio :R(x ) (a b 2) x 2 (a c 3) x (b c 5)1
5 x 2a
3 b 1
y
a)
x 1 d) 1 32. Si : f(xh(f(0)) h(2)5)
x 1 e) x x 2 1 y h(x es : b) -17 e) -41)
b)
x
c) c
b) 2 e) -4
c) 1
3x 1 , se tiene que
se anula para : x = 2001; x = 2002; x = 2003; x = 2004. Hallar : a-b+c. a) -1 d) 0 b) 2 e) 2001 c) 1
a) 82 d) 28
c) 193
33. Hallar "n", si el grado de : 40. Sea P(x) un polinomio mnico de grado 3; halle la suma de coeficientes del trmino cuadrtico y lineal, siendo su trmino independiente igual a 5. Adems :
x xn3
x
es 5
P(xc) 56/3 a) 1 d) 3
1)
P(x ) nx 2c) 2
a) 5/3 d) 56/5
b) 56 e) 5/6
b) 0 e) 4
41. Dado un polinomio lineal P(x ) , que presenta resultados mostrados en el cuadro :
a) 7 d) 5
b) 9 c) 13
c) 11
x
1 2
48. Dada la funcin "f", tal que :f3 x 3 2
P(x) 4 6Calcule : P(5) a) 18 d)14 42. Si : f(x 2 a) x 2 c) x e) x2 x 1)
2x 2
18
x R
P(0) .b) 16 e) 8 x2
c) 12
Calcular : a) 11 d) 9
f(1) f( 2
1)
3 , entonces f(x b) x 2
2)
es:
b) 7 e) 8
c) 10
2x 22 x 2 x 2 2 4 4
2 x 2)2
2 1
49. Proporcionar la suma de coeficientes del siguiente trinomio :m
d) (x
P(x ; y) (m 3)x 9 a) 4 d) 10 50. Siendo :P1 ax 1
m
mx m
2
.y 3 c) 8
y17
2m
43. Para cuntos valores de "b" el polinomio : P( x ; y ) es homogneo? a) 1 d) 4 b) 2 e) Ms de 4 c) 3 ab x ab a b
b) 6 e) 12
y
b 2y 4
a 2x
3a 1
Obtener : P
1 2
44. Calcular : m - n, si el polinomio :
P(x; y)
3x 2 m 7x 2m
n 4 n 2
.y m .y m
n 2 n
7 x 2m
n 3 m n 1
y
a) 1 d) -2 51. Si : f(x1)
b) 2 e) 0
c) -3
es de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 4. a) 6 d) 15 b) 9 e) 18 c) 14
f(x ) 2x1)
4 ; y f(0) = 2,
entonces f(1) f( a) 0 d) -2xx 1
vale : c) 6
b) 2 e) -6
45. Si el polinomio P(x;y) es idntiamente nulo. Hallar : ab. P(x ; y) a) 10 d) 60 (a b)x 3 y b) 20 e) 80 2x 4 y 5 18 x 3 y (b a)x 4 y 5 c) 40 52. Si : f(x x )
xx1)
2x 2
Adems : f(x x Calcular : P
3125 .2)
f (x
. c) 18
46. En el polinomio : P(x 1) (2x 1)n (x 2)n 128(2x 3) donde "n" es impar, la suma de coeficientes y el trmino independiente suman 1, luego el valor de "n" es : a) 5 d) 11 47. Si :P(x ) (n 2) xn 9
a) 16 d) 14
b) 10 e) 12
b) 7 e) 13
c) 9
53. Q(x) es un polinomio que cumple las siguientes condiciones : I. Q(3) = Q(5) = 0 II. Grado mnimo III. Suma de coeficientes 16. Calcular el trmino independiente de Q(x).
y (n
3) x
n 8 2
y
(n
4) x
n 7 3
y
...
es ordenado y completo. Hallar el nmero de trminos.
a) 18 d) 45
b) 15 e) 32
c) 30
54. Sabiendo que : P(x; y) (5x 3 y)n 1 5n es tal que la suma de coeficiente es igual al trmino independiente aumentado en 1024. Hallar "n". a) 6 d) 9 55. Si el trinomio : F(x ) xa b xb c xa c es homogneo de grado (10), de qu grado es el monomio. S(x ; y; z) a) 7 d) 33 b) 13 e) 30a a b c
58. Si : f(x
1)
x2x2 1 x
Hallar : f
, x
0
b) 7 e) 10
c) 8 a)
x2 1 x 1 x2
2
b)
x 1 x2 x 1)2
c) e)
(x 2
x 1)2
d) (x 2
x b . c ya . zc c) 27
b
1 x2
(x 2 x 1)2
59. Sean : P , Q dos polinomios dados por : P(x) Q (x ) ax 3 2x 3 bx 2 x21) ,
cx d 3x 1 determinar el valor de : a+ b + c + d
56. Calcular la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo : P(x ) Si : a a) 6 d) 15 57. El polinomio : A(x) ax bx cx dx mp es completo y ordenado, con suma de coeficientes igual a 13. Indicar : a + b + c + d. a) 5 d) 6 b)10 e) 9 c) 8m n p q
c(x a c.
x b ) a(x b
x c ) b(x a
x c ) abc
Si : P(x)
Q (x
b
b) 9 e) 18
c) 12
a) 0 d) 3 60. Si : R ( x 3)5
b) 1 e) 5
c) 2
x 1 20 x 1
Adems : R (F 2 x( 9
7)
)
Calcular : F(x) . a) 15x - 9 d) 18x - 29 b) 8x - 129 e) -18x + 129 c) 18x - 129
Claves01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. c b c d c b a d c a a e a d c d e c e e d e b b e b c c b c 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c e c c e b c c c a d c c c e c b e d a c a c d c e a e b c
Captulo
3
PRODUCTOS NOTABLES
MULTIPLICACIN ALGEBRAICA Es la operacin que tiene como objetivo determinar una expresin algebraica llamada producto, dadas otras expresiones algebraicas llamadas multiplicando y multiplicador, la igualdad obtenida es una identidad. Ejemplo :(x+2) (2x+1) = 2x2 + 5x + 2
multiplicando y multiplicador
identidad
producto
PRODUCTOS NOTABLES O IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Binomio al cuadrado (a b)2 a2 a2 2ab b2
(a b)2
2ab b 2 (b a)2 en general : (a b)2 m ( (b b a)2 m ; (m Z)
Nota : (a b)2 2.
Identidades de Legendre
(a b)2 (a b)2(a 3. b)2 (a b)2
2 (a 24 ab
b2)
Diferencia de cuadrados (a b)(a b) a2 b2
4.
Binomio al cubo (a b)3 a3 3a 2 b 3ab 2 b3 (a b)3 a3 b3 3ab (a b)
Identidad de Cauchy
(a b)3
a3
3a 2 b 3ab 2
b3
(a
b)3
a3
b3
3ab (a
b)
Identidad de Cauchy
5.
Identidades de Steven (x a)(x b) x2 (ax3
b)x
ab
(x a)(x b)(x c)
(a b c) x 2 (ab ac bc) x abc
6.
Suma y diferencia de cubos (a b)(a 2 ab b 2 ) ab b 2 ) a3 a3 b3 b3
(a b)(a 2
7.
Trinomio al cuadrado(a b c )2 a2 b2 c2 2ab 2 ac 2 bc
8.
Trinomio al cubo(a b c)3 a3 a3 b3 c3 3a 2b 3 a 2c 3 b 2c 3 b 2a 3c 2a 3c 2b 6 abc
(a b c)3 b3 c 3 3 (a b)(a c)(b c)
IDENTIDADES ADICIONALES 1. Identidad de Argan'd
(a 2n* 2.
a n bm
b2m )(a 2n
a n bm
b 2m )
a4nx4
a 2n b 2mx2 1
b4m
Caso particular : (x 2
x 1)(x 2 x 1)
Identidades de Lagrange(a 2 (a 2 b 2 )(x 2 b2 y 2) (ax y2 by)2 (ay z2 ) (ax bx )2 (ay bx )2 (az cx )2 (bz cy)2
c 2 )(x 2
by cz)2
3.
Identidad de Gauss
(a
b c )(a 2
b2
c2
ab ac
bc )
a3a3
b3b3 c3
c3
3abc
de donde : 1 (a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2 ] 2 4. Otras identidades : (a b c )(ab ac bc ) (a b)(a c )(b c) abc 3abc
(a b)4 (a b)4
8ab (a 2
b2)
(ab ac
bc)2
a 2b 2
a 2c 2
b2c 2
2abc (a
b c)
Algunas Relaciones Condicionadas : I. Si : a + b + c = 0 1. 2. 3. 4. II.
a2
b2 c 2
2 (ab ac bc)
a 3 b3 c 3a4 b4 c4
3abc1 2 (a 2 b2 c 2 )2
a5
b5
c5
5abc (ab ac bc)z2 xy yz zx ,
Si : x; y; z R / x 2 y 2 entonces : x = y = z. Si : x; y; z R
II.
m; n; p Z / x 2m
y 2m
z 2p
0,
entonces : x = 0; y = 0; z = 0.
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Si :
x3
y3M
20 ; xy(x
5y) 15 c) 20
08. Si : a 1 a2 3 3 , entonces a
Calcular : y)3 15(x
1 a3
es :
a) 40 d) 30 02. Efectuar : (a a) 2a 2 d) 2b4
b) 35 e) 15
a) 27 d) 4,3758
b) 6 e) 0
c) 12
09. Hallar el V.N. de : E b)(a b)(a2
(m
3
n 3)
1
b ) (b
2
4
a )
4
Si : mn = 2 y m+n = 2 2 . a) 2 d) 3 10. Si : b) 1 e) 4 c)
b) 2b 2 e) 0
c) 2a 4
2
03. Si : x+y = 4; calcular : E x3 x2
y3 y2
64 16 c) -3 Calcular :
x y
y x
167 ; x
0; y
0
a) 6 d) -6 04. Si : a
b) -4 e) 2
E
x y
1 2
y x
1 2
b
5
y a.b = 3. a) 12 c) -9 d) 11. Si : 3 b) 13 e) 11 c) 167
Entonces (a b)2 es : a) 6 d) 12 05. Si : x 1 x 4 x2
b) -7 e) 10
(xE
y)23x 3 x y2
2 (x 2y3
y 2) , el valor de :6y es : 2x y
3x 2 y 5x
Hallar : (x 2 a) 243 d) 120
)(x 3
x
3
) c) 728
b) 240 e) 3 1 x
a) 3 d) 6 12. Calcular :
b) 4 e) 2
c) 5
06. Sabiendo que : x
3 ; determinar el valor de :
V 1 x3
x2 xy
y2
x
E x3 x 2a) 49 d) 18 07. Determine : b) 36 e) 23
1 x2c) 25 a) 2 d) 4 si :
2y 2x
2y x 3y
1 x
1 y
4 x yb) 3 e) 6 c) 1
x2a) (a-2)(a+2) c) (a e) a2
1 x2
; si : x 2
1 x
a
13. Calcular :3
b) a 2 2) d ) (a
x2 x
x5 b) 3
27
3
x2 x
x5 c) x
27
2 )(a
2 )(a
2)
a) x - 3 d) -3
2
e) 3 x 5
14. Calcular :(a b)(a 2 ab b 2 ) (a b)(a 2 ab b 2 ) 3a 3
20. Sabiendo que : F(x )
ax
bx
cx .
Calcular : abc, adems : F(n) a) 41
n ; n {1, 2 , 3}c) 31
a) 4 a 3 d) 2b 3
b) 4 b3 e) b3
c) 5a
3
b) 2 1 e) 51
1 d) 6
15. La expresin simplificada de :
21. Sabiendo que :4b
(a b aa) (a b c) a6b
b
) (a b ab 6
b
) (a 4 b 1 ab) (a b d) a 6 b a
) es :
a3 a2
b3 c 3 b2
3 2(a b c)(2 ab ac 1 abc bc )
Calcular : a )b 6
cE
2
)
a6 b a6b
a
6b
e) a 6 b
16. Hallar el V.N. de :E (a b)2 (a c)2 (b c)2 (a b c)2
a) 1/3 d) 1/2 22. Evaluar :
b) 3 e) 1
c) 2
16 3 . 5 .17. 257 1
para :a 5 3; b 5 7; c40 2 5
a) 2 d) 16 23. Si :
b) 4 e) 32
c) 8
a) 0 d) 50
b) 10 e) 40
c) 47
a b3
4 4
8 8
4 4
2 2b a b)
17. Sabiendo que : x + y + z = 1 Calcular :
Ma) 1 d) 3 18. Si : Calcular :3
x y z 1 xy yz zx xyzc) -3
3
3
Calcular :
a b
a) 4 b) -1 e) 2 x+y+z=3 xy + yz + xz = 0 x3 y3 z3 3xyz c) -2 a) 2 d) m2
2
c) 2
d) 2 2 24. Si : m2 Calcular :
e) 4 2
n2 R
m2 m22 b) n
n2 n2
n2 m2 n2c) 1
a) 3 d) -1
b) 2 e) 1
e) 0
19. Calcular el producto abc, sabiendo que : a + b + c = 15; a 2
b2
c2
93
25. Si :mn n2 3n mn
a3
b3
c3
645
nn
nn
mn
n
nn
nn
mn
a) No se puede determinar. b) 80 c) 70 d) 60 e) 75
Calcular el valor de :
mn m 2 mn n 2a) 1 c) n2
m5 m2
n5 m3c) m + n
b) 0 e) n - 1
26. Reducir : K a) m d)m+42
31. Sean "a" y "b" nmeros reales positivos, tales que : (m 4)3
(m
3)(m 4)(m 5) c) m+3
a2
b2
13 y b.a = 13 ( )x 1
1
Simplificar la expresin : b) m e) m+8 13 a a ba x b 3a x c)
3 x
27. Determinar el valor numrico de :
y x 1 y 1 x ( )( ) ( )( ) x y 1 x 1 ySiendo : x a) 1 d) -24
a) d) 32. Si :
5 2
b) e)
1
9
2; yb) -1 e) 2 2
3
4
4c) 2
2(
1)
(aCalcular :c2 a2 b c2 a2 c b2
b c )2
3 (ab bcac ab bc
ac) ; a, b , c Rab bc
28. Si : a +b+c = 0, reducir :a2 b2 c 2 a b2
A a) 2 d) 1
M
bc ab ac b) 1/2 e) 0
ac
a) 1 d) -1
b) 0 e) 2
c) 3
c) 3
29. Si se tiene como suma "s" y producto "p" de dos cantidades x, y, entonces :
33. Si : x + y + z = 6, calcular :
x
2
y 2
2
2
es igual a : a) 1 d) 4 p4
(x 1)3 (y 2)3 (z 3)3 (x 1)(y 2)(z 3)b) 2 e) 6 c) 3
a) b) c) d) e)
(s s4 s4 s4
p)2 (s 2ps 2
p)2 3p 2s
34. Hallar el valor numrico de :
ps (1 s) ps 3 2 p 2
3 2 p 2
(a b)[(a b)2 2ba (a b)2 ] 2b3para : a a) 4 d) 73
3; b
23 3
2 1c) 6
b) 5 e) 8
0,25 s 4
ps 2
p2
35. Dado :M3 2 (a b)[(a b)2 2ab (a b)2 ] (a b)
30. Sabiendo que : x 2 (a1 n a2 a 3 ... a n )
[(a b)2 4(a 2 b 2 ) (a b)2 ] Hallar el valor de "M". a) 2a d) 8a3
n
a
2 2 2 2 a a ... a 1 2 3 n
b) 2b e) 8 b3
c) -2ab
Calcular : (x a1 )2 (x a 2 )2 (x a3 )2 ... (x an )2 a) 0 d) n - 1 b) n e) (n 1)2
36. Dado el polinomio : P(x) obtener : (x 2 1)(x 2 x 1)(x 2 x 1)
c) n
2
P( 4a) 0 d) 215
15
4
15 )c) 216
b) 217 e) 218
37. El valor numrico de :3
44. Sabiendo que : (x Calcular : K x 2 (x 1) y 2 (y 1) c) 1/2 y)2 1 (x 1)(y 1)
(x 3
3 x)2 (3x 2 1)2 ;
para : x = 999 es: a) 19 990 d) 999 000 b) 991 000 e) 998 000 1 2 1 c) 100 000
38. Si : n
3
2 1
3
a) 2 d) -1 45. Si : a c) 0 a) 2 d) 41
b) 1 e)-1/2
Calcular : a) d) 2 39. Si : x3
R
n3b)
3n 2 2
b
1
c
1
0 , calcular :(ac)4 (bc )4 b2 c2) c) 18
3
R
(ab)4
e) 1
a 2 b 2c 2 (a 2 b) 6 e) 3
a (a 2b) b 2 b2 1
3
a (a 2b) b2
Donde : a 2
46. Siendo : x, y, z R, tales que : 4) Calcular : c) 3
(x 1)(x 2 x Calcular : ab 1 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5
x2
y2
z2
2 (x
2y 3z) 14
Ma) 3 d) -1 b) 4 e) 2
(x x3
y z)(xyz) y3 z3c) 1
40. Sabiendo que : x
2 E
23 2x , calcular el valor de : x8
2 2xc)
47. Si : a+b+c = 0, hallar el valor de "x".a2 x bc 1 b2 x ac 1 c2 x ab 1 5abc (a1
a) 3 d) 41. Si :
b) 4
8
b
1
c 1)
5
e) 5
a) a+b+c c) a2
b) ab+bc+ca
ab (a b) 1a 2b 2 (a 2 b 2) b3 ) .b) 2,5 e) 4,5 c) 5
b1 b
2
c1 c
2
d) 3abc
2
e) 48. Si :
1 a
Hallar : a 3b 3 (a 3 a) 3 d) 4 42. Si : b 3 1
a b cCalcular : a3
a 1bc b 1ca c 1abb 3 c 3 3abc a b c c) 2/3
0;
b
1a) 0 d) 1 c) -1 49. Si : a 4
5 Obtener : 1 b . 4 b
b) 1/3 e) -1
a) 0 d) 2
b) 1 e) -2
b4
47 N
ab
1 , reducir : a6 b6 2c) 20
43. Si se cumple : x 2
x 1 0 , hallar : x31
x
10
a) 2 d) 3
b) 1 e) -10
c) -1
a) 3 d) 10
b) 14 e) 18
50. Hallar el valor de "E" : E a) x 3 d) 0 51. Si : H Hallar : R (x y z)3
3 z .(x+y+z)(x+y) (x c) 3z
y)
3
56. Siendo : a+b+c=m
a2
b2 c 2c3
3m27m 3
b) y 3 e) z 3
a 3 b3 Calcular :
S = (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
(x 5)(x 6)(x 1)(x H 16,25x 1 2
2) 196
a) d)
13m 3 m3a b a b1
3 b) 6m
c) 2m 3
e) 7 m 3
a) 2x + 1 d) 2x 1 21
b)
c) x + 2
57. Si :
7 a b a b1
e) 2x - 11 1
Calcular : R 1) y1
8
8
52. Si : (xy
1)(yz (x
1)(zx y z)(x
8 z 1) c) 2
a) 2 d) 4 58. Si se cumple :
b) 3 e) 1
c) 5
Calcular : R a) 2 d) 4 53. Si : P(x) ax
1
b) 3 e) 1 bx, a6 b6
x n y n ( ) ( ) 62 y x Entonces el valor numrico de :3
1 , entonces :1 p(10) 2
xn
yn
x ny n c) 16
p(4) es equivalente a : a) a b4 4
p( 2)
a) 4 d) 2
b) 8 e) 1
b) ab e) a 2b2
c) 4 a b
2 2
59. Sabiendo que : x 2 Obtener : A
5x 1(x 3 140) x113 3
d) 2a 4 b 4 54. Evaluar :
x4
1 c) 1/2
EPara : a a) 2 d) -4
4 ab (3a 23
b 2 )(a 23
3b2 )3 2 c) -33
a) 1 d) 3 60. Si :
b) 2 e) 1/3
3 2
3
2
;
b
2
a b c a1
5 c c2 b31
2 5 2 c3 .b) 7 2 10 d)
b) 3 e) 5
b b2
1
2 5
55. Calcular el V.N. de :
a2 x y z xy xz yz
RDonde : x3 x2
x zz3 z2
y
y z x
Calcular : a 3 a) 4
y3 y2
1010 5 2
4 xyz xy xz yz 1 c) -1
c) 5 e)
5
2
a) 0 d) 3
b) 1 e) -3
Claves01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. b c a b c c c e c b c d d c d d d a b d b a e a a d e b e b 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. c b c c a d e c d d b c c b a c b a e e d b e e e a e d e b
Captulo
4d q
DIVISIN ENTRE POLINOMIOS DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES
DIVISIN DE POLINOMIOS Es la operacin que tiene por objetivo determinar un polinomio llamado cociente (q) y otro polinomio denominado resto o residuo (R), conociendo otros dos polinomios llamados dividendo (D) y divisor (d). Esquema clsico : D R
de donde : Propiedades :
D = dq + R
(Identidad de la Divisin).
Siendo el grado del dividendo mayor o igual que el grado del divisor, con respecto a una variable en particular, es decir : [D] [d]. Se cumple : 1. El grado del cociente es la diferencia entre el grado del dividendo y divisor.
[q] = [D] - [d]2. El mximo grado del resto es igual al grado del divisor disminuido en uno. [R] mx= [d] - 1 MTODOS DE DIVISIN Para todos los mtodos, el dividendo y divisor deben estar completos (si falta algn trmino se agrega "cero") y ordenados en forma decreciente. I. MTODO DE HORNER Para este mtodo slo se utilizan coeficientes, colocndolos en el siguiente esquema :
Primer coeficiente del divisor los dems coeficientes del divisor con signo cambiado
d i v i s o r
D I V I D E N D O # lugares = d
COCIENTE
R E S T O
Ejemplo : Dividir :
x5
4x4 4x2
6x 2 4x
6x 1 2
Colocando segn el esquema, los coeficientes del dividendo y divisor :
# lugares = d = 2
4 4 -2por
8
4 8
0 -4 12
6
6
-1
-6 8 -4 8 -4 -5
2
3
2
2
10
Coeficientes del "q"
Coeficientes del "R"
slo se obtienen coeficientes. La variable se agrega de acuerdo al grado . As tenemos : q = 5 - 2 = 3 ; Rmx = 2 - 1 = 1.
q RII.
2x 3 3x 2 10x 5
2x 2
MTODO DE RUFFINI Al igual que en Horner, slo utilizan coeficientes. Ruffini se aplica nicamente cuando el divisor es de la forma : x + b. Esquema de Ruffini : DIVIDENDO COCIENTER siempre es un nmero
-b
valor de "x" al igualar el divisor a cero.
Ejemplo :
3x 4
8x 3 5x 2 x 2
5
Colocando los coeficientes en el esquema de Ruffini :x 2 0 2por
3 3
8 6 2
5 4 1
0 2 2
5 4 9 R
coeficientes de "q"
Las variables de "q" se agregan de acuerdo al grado : q = 4 - 1 = 3.
q R
3x 3 9
2x 2
2x
2
Observacin : si el divisor es ax + b (a "a". 3x 4 7 x 3 3x 2 3x 2 x 7
1), luego de realizar la divisin, los coeficientes del cociente se dividen entre
Ej. :
3x - 2 = 0 2 3
3 3
7 2 9 3q R
3 6 3 1x3 9
1 2 3 13x 2 x 1
7 2 9
3 1q = 4 - 1 = 3
TEOREMA DEL RESTO El resto de dividir el polinomio P(x) entre (x-a) es P(a). Observacin : * Si el divisor no es de primer grado, se calcula alguna expresin segn el caso y tal cual, se reemplaza en el dividendo. Ejemplo : Hallar el resto : x 50 3x 21 7 x x 1 x+1=0 2
Por T. resto :
x = -1
Reemplazando en el "D" :
R
( 1)50
3 ( 1)21 7 ( 1) 2
R=1-3+7+2 R=7 Ejemplo : Hallar el resto :
x 20 7x 5 xPor T. resto :x2 12
6x 4 10
x3 1
x2
1 (no se calcula "x").
Formando " x 2 " en el dividendo : Reemplazando :
(x 2)10 7 (x 2 )2 x 6 (x 2 )2
x 2. x 1
x2
1
R (1)10 7 (1)2 x 6 (1)2 (1) x 1 R = 1 + 7x - 6 + x + 1R = 8x - 4
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA Se dice que un polinomio es divisible entre otro, si el resto de dividirlos es cero; es decir : Si en : P(x) f(x) R=0
Entonces P(x) es divisible entre f(x). Propiedades : 1. Si un polinomio es divisible entre otros polinomios por separado, entonces ser divisible entre el producto de dichos polinomios, siempre que estos sean primos entre s, (no deben tener ningn factor en comn); es decir : Si en : P(x) P(x) P(x) * 2. f(x) g(x) R=0 R=0 R=0
f(x) . g(x)
f(x) y g(x) son primos entre s.
Si un polinomio es divisible entre un producto de varios polinomios, entonces ser divisible entre cada uno por separado; es decir : Si en : P(x) f(x) . g(x) R=0
P(x) f(x) P(x) g(x)
R R
0 0
COCIENTES NOTABLES (C.N.) Se llama, as, a los cocientes exactos obtenidos de la divisin de binomios de la forma :
xn xCondiciones :
an a
R nPropiedades :
0 entero y positivo
1.
En :
xn an , el nmero de trminos del cociente ser "n". x a
2.
Si :
xm xp
an aq
es un C.N., entonces se cumple que : m p n q
# tr minos del cociente
FRMULAS DE LOS COCIENTES NOTABLES 1er. Caso : n par o impar
xn an x a
x n-1 x n 2a x n 3a 2 .... a n
1
2do. Caso : n
impar xn x an a x n-1 xn2
a
x n 3a 2 ... a n
1
3er. Caso : n
par xn an x a x n-1 xn2
a x n 3a 2 ... a n
1
Observacin : La forma
xn an no genera un C.N. pues R x a
0.
TRMINO GENERAL(Tk ) Se llama as a un trmino cualquiera del C.N. se representa por Tk . La frmula para obtener el trmino general en: xn an x a es :
Tkdonde : k x, a n
x n k a k-1
lugar de trmino. . trminos del divisor (denominador). exponentes que se repite rep r re epite epi pite pi ite te en el dividendo. .
Importante : para aplicar la frmula, la divisin debe tener la forna de C.N. x120 x2
Ej.
Calcular el T17 en : Solucin : x120 x2 y180 y3
y180 y360 60
x2 x2
y3 y3
no tiene forma
tiene forma de C.N.
T17
(x 2 )60
17
(y 3 )17
1
T17
x 86 y 48
Observacin : la misma frmula puede aplicarse para los casos : xn an xn y x a x an , pero colocando el factor ( 1)k a1
as tendremos :
Tk
( 1)k 1 x n k a k-1
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Sea : Q(x) el cociente y R (x ) el residuo de dividir : 07. Calcular "n", para que el residuo de la divisin sea : 3n+2. x3 nx 2 nx n 2 x n 2 c) 1
6x 4Indicar : Q(x ) a) 2x 2 c) 2x 2 e) 2x 2
7x 3 3x2
4 x 2 10x 3 x 2a) -2 d) 2
R (x ) . b) 2x 2 d) x 2
b) -1 e) 3
6x 3x 2 2
6x 2
08. Para que la siguiente ecuacin : sea divisible por : x+1, el valor de "m" debe ser : a) -8 d) 1 b) -4 e) 9 c) -1
x4
5x 2 4 x m
02. Hallar el residuo de dividir :
12x
5
9x
3
x
2
x
6x 3a) -2x+1 d) e)
3x 2 12
09. Dada la funcin polinomial : c) 2x+1 P(x ) x 3 10000x 2 10002x 9999
b) x
2x 1
x
2
2x 1
Calcule el valor de : P(10001) . a) -3 d) 0 b) -2 e) 1 c) -1
x 2 2x
03. El residuo de dividir :
8x5
4x3 2x 3
Ux 2 x2 3
NxU.N.I .
I
10. Calcular el residuo de dividir : (x 2 3 x 1)4 2 (x x 4 b) 89 e) 98 3)5 x
es : 5 x 2 11x 7 . Calcular : a) 20 d) 50 04. Si la divisin : b) 30 e) 60
c) 40
a) 88 d) 95
c) 87
11. Calcular : (A+B-C), si la siguiente divisin:
6x
4
16x
3
25x
2
A Ax 5 Ax B es exacta, entonces eles exacta. c) 14 a) 41 d) 10
Bx 4
Cx 3 4x 3
27x 2 19x 5 3x 1
3x 2 2x 1 valor de : N = A+B, es :a) 5 d) 19 b) 9 e) 20
b) 21 e) 40
c) 11
05. El residuo de dividir : 3x 3 entre 3x + 2 es : a) 0 d) 1 b) 2 e) -1
4 x 2 5x 6c) 4
12. Seale la relacin necesaria de "a", con "c", tal que la divisin :
2a 2x 5
4 abx 4
2b2x 3 a 3x 2 a 2x ax2
2a 2 b
bx c2c 2 a 2c .
06. Al efectuar la divisin : 3x 4 2 2x 3 3x 4x2 2 2x 6
presente un resto : 4 a 2x a) 3a = 2c c) a = c e) 3a = -2c
b) 2a = 3c d) 3a
Indicar el producto de todos los coeficientes del cociente. a) 2 d) 8 b) 4 e) 12 c) 6
2c
13. Para qu valor de "m", la divisin :
5x 3 5xa) 5 d) 8
m (x 22
x 1)
a) 5 d) 32
b) 15 e) 64
c) 16
2x 4
es exacta? c) 7
20. Si el residuo de la divisin :
b) 6 e) N.A.
mx 8es 8 x 2 px 5 . Calcule : m + n + p a) 0 d) 2 b) 1 e) 3
nx6 x3
3x 5 1 1
14. Calcular el valor numrico de :
P(x)
x 5 (2 2 2) x 4 4 2x3 5x 3 2 2 2.b) 2 +7 c) 7 2
Para : x a) 8 2 d) 13 2
c) -1
21. Hallar la relacin entre "b" y "c" para que :
e) 9 2
xa
bx c ; sea divisible entre (x 1)2 .b) b = c + 1 d) 2a = c + 1
15. El resto obtenido en : 3x4 (1 3 ) x3 x 1 es 2. Cunto vale A? a) 18 d) 8 b) 6 e) -6 c) 9 2 3 (x 2 1) A 3 2x
a) a = c - 1 c) 2a = c - 1 e) a = 2c - 1 22. Si en la divisin :ax a1
(2a 1) x a
2
(3a 2) x a ax 1
3
... (a 2 a 1)
el cudruple del resto es igual a nueve veces la suma de coeficientes del cociente. Hallar "a". a) 10 d) 6 b) 9 e) 3 c) 8
16. Calcular el resto de dividir : (x n) x7
x 2n
7
n
7
23. Calcular el resto de la siguiente divisin : c) 3n7
a) 0 d) 62n7
b) 126n7 e) 128n7
x7
8n
x7
9n
x7 x
10 n n 77
... " n" sumandos 1
17. Hallar el resto en :
n N/nx15 x 1c) x+1
2003 .b) n2 e) - n2
(x 3 1)29 xa) x d) 1-x b) -x e) 02
x5 1
a) -n d) 2003
c) 0
24. Calcular la suma de los valores de "a" que hacen al polinomio : P(x) a) 4 d) 7 xn ax n1
18. Indicar el residuo obtenido al efectuar la divisin :
ax 1 ; a Z b) 5 e) 8
divisible por (x 1)2 . c) 6
mx 3m
2
nx 3n2
1
px 3 p
xa) (m - p)x + m - n c) (n - m)x + p - m e) (m+1)x + n - p 19. Si el resto de dividir :
1 x
b) mx - n + p d) (m + p)x - n
25. Calcular el resto en :[(x 2)n2
2x 2n 1 ] (x 3 x2
2)2n
x 2n
1
x 1
;n Z
6x 3Calcular : n6 .
nx 1
x2 1
; es : (-4x+1).
a) 0 d) x
b) 1 e) -x
c) 1
26. Obtener el trmino independiente del cociente de : x18 (x 3 1) 5 x14 x 1 a) 10 d) 6 b) 8 e) 2 3x 4 11
33. El polinomio P(x) es divisible en forma separada entre (x-2), (x+4) y (x+1). Hallar el residuo que deja la divisin de P(x) entre (x 3 3 x 2 6 x 8) . a) 2 d) -2 b) -4 e) 0 c) -1
c) 4
27. Si se divide el resto de la siguiente divisin: x7 n x6 n x entre x 2 a) x d) -1n 1 3
2x 5 n xn 2
1
3x 4 n
3
34. Un polinomio P(x) de tercer grado es divisible por separado entre (x - 2); (x+1) y (2x+1). Si la suma de sus coeficientes es -30, hallar el cociente de dividir P(x) entre el producto (x-2)(x+1)(2x+1). a) -4 d) -6 b) x + 1 e) 6 c) 5
... x 1
2 ; se obtendr como resto :b) x + 1 e) 0 c) 1
28. Calcular el valor de "n" para que :(x 1)n (x 3 (x 2 2x 8) 2)2
35. Un polinomio es dividido en forma separada entre (x-4), (x+4) y (x-1); obtenindose el mismo residuo 5. Hallar el residuo que se obtiene al dividir dicho polinomio entre (x 3 x 2 16 x 16) . a) 2 d) 0 b) 5 e) 4 c)10
.(x 2 8 x 16) 29x 4 (2 x)4
presente un resto de 11 200. a) 6 d) 3 b) 5 e) 4 c) 2
29. Calcular el residuo que se obtiene al dividir: (x 9 2x 4 (x 4 a) 5x + 4 c) x 2 x)(x 2) 2)
36. Un polinomio de tercer grado cuya suma de coeficientes es -76, es dividido en forma separada entre (x+1), (x+3) y (x-3); obtenindose el mismo residuo 4. Calcular su trmino independiente. a) -31 d) 19 b) -37 e) 21 c) -41
2)(x
b) 5x 2
6x 8
2x 6
2 d) 5x 14x 8
37. Si A(x) es un polinomio de segundo grado, tal que al dividirlo entre (x-5) y (x+3) en forma separada deja residuo igual a 7. Calcular el residuo de A(x) (x 1) , si : A(x) (x-4) deja residuo -7. a) -17 d) -10 b) 15 e) -6 c) 12
e) 3x 2 12x 6 30. Deteminar: a+b+c, de modo que : (x 1)5 a) 40/3 d) 184/3 a(x 1)3 bx3 c ; es divisible por (x 1) .
38. Al dividir un polinomio mnico P(x) de tercer grado por separado entre (x 2 2) y (x + 1) da el mismo P(x ) resto 8, hallar el resto de dividir : . x 3 a) 24 d) 15 b) 12 e) 17 c) 28 2x
b) 70/3 e) 52
c) 94/3
31. Si al dividir : hallar : P(4 ) . a) 40 d) 32
P(x) x 2
. El residuo es 8 y el cociente (x 2 1) ,
b) 42 e) 182
c) 30
39. Se divide P(x) entre (x+1) y (x-1), los restos respectivos son 2 y 4. Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre x 2 1 . a) x + 2 d) x + 3 b) x e) -x + 3 2)51 (x 1)402
c) -2
32. Si al dividir P(x) entre (x
x)(x
3) , se halla por resto
(6x +5), hallar el resto de dividir P(x) entre x - 3. a) 20 d) 12 b) 23 e) 18 c) 2
40. El polinomio : (x Indique su residuo. a) 2x + 1 d) 2x + 4
7.
No es divisible entre : x
3x 2 .
b) 2x - 1 e) 2x
c) 2x - 4
41. Si al dividir : P(x) entre (x - b) da como resto "a" ; al dividir P(x) entre (x - a) da como resto "b". Hallar el resto que resulta de dividir :
P(x ) (x a) (xa) x + ab c) -x - a + b e) -x + 2ab
b)
(a
b)
48. Un polinomio P(x) de noveno grado, tiene raz cbica exacta, se anula para x = 2 es divisible entre (x + 2), el resto de dividirlo entre (x + 1) es 729, la suma de sus coeficientes es 27. Seala el trmino independiente de dicho polinomio. a) 27 d) 512 b) 501 e) 511 c) 427
b) -x + ab d) -x + a + b
42. Al dividir el trinomio : ax 2 bx 2 entre (x-1) y (5x-13) dio como restos -1 y 15, respectivamente. Hallar el valor de : (a - b). a) 13 d) -1 b) 10 e) -13 c) -10
49. Calcular el resto de dividir un polinomio P(x) del stimo grado entre (x + 2), si se anula para : x = 3, x = 2, x = 1 y es divisible entre (x 2 1) y (x + 5). Adems el, resto de dividirlo entre (x + 1) es 960 y su trmino independiente es 60. a) 710 d) 1221 b) 7200 e) N.A. c) 2300
43. Dado el polinomio P(x) , si P(x) - 5 es divisible por (x + 5) y P(x) + 5 es divisible por (x - 5). Cul es el resto de 2 25) ? dividir P(x) entre (x a) x d) x - 1 b) -x e) -x - 1 c) x + 1
50. Al dividir un polinomio S(x) entre (x 3 1) se obtuvo como residuo 3x. Hallar el residuo que origina S(x ) entre (x 2 a) x + 4 d) 6x - 6 x 1) . b) 3x - 3 e) 9x - 9 c) 3x + 32
44. Los restos de la divisin de un polinomio entero en "x", por los binomios x+1, x-1 y x-2 son, respectivamente 5, -1, -1. Hallar el resto de la divisin del polinomio por el producto : (x 2 1) (x 2) . a) 0 d) x + 3 b) 15 e) x 2 c) x 2 1
51. Un polinomio P(x) , al ser dividido entre (x 2 1) , da como residuo (-x + 1). Cul ser el residuo en? [P(x )]7 x2 1 a) x - 1 d) 8(x - 1) 52. b) 4(x + 1) e) 4(x - 1) c) 8(x + 1)
3x 1
45. Al dividir un polinomio mnico de tercer grado entre (x-2) y (x-4) en forma separada se obtuvo el mismo residuo -8, si su trmino independiente es 16. Hallar su trmino cuadrtico. a) 3x 2 d) 4 x 2 b) e)
Se sabe que el polinomio F(x) es divisible por (xn - 1).Si se divide F(x) entre (x-1), se puede afirmar que : a) b) c) d) e) Es exacta. La suma de los coeficientes del cociente es cero. La suma de los coeficientes del resto es cero. a c. Hay 2 correctas.
x23x 2
c)
2x 2
46. Se tiene un polinomio de segundo grado que es divisible entre (x - 1). Se sabe adems que su trmino independiente es -3 y que al dividirlo entre (x + 1) se obtuvo como resto 8. Hallar el resto que resulta de dividir el polinomio entre (x - 3). a) 10 d) 48 b) 22 e) 56 c) 36
53. Se tiene un polinomio P(x ) que, al dividirlo entre : x 5 15x 4 85x 3 225x 2 274x 120 , se obtiene como resto : 3x - 1 y un cociente Q(x ) . Se pide calcular el resto de dividir P(x ) entre (x - 4), sabiendo que al dividir Q(x) entre (x - 4) se obtuvo como resto 1. a) 11 e) 20 b) -10 e) -11 c) -20
47. Los restos de las divisiones de un polinomio entero en "x" por los binomios (x+3), (x - 2), (x - 1) son 16, 11 y 4 respectivamente. Entonces el residuo de la divisin de dicho polinomio entre x 3 7 x 6 ser : a) 1 d) x 2 b) 2 c) x 2 1
x 1
e) 2x 2
x 1
54. Al dividir P(x) entre (x + a) deja como resto 4bc. Al2 2 dividir Q(x) entre (x + a) deja como resto b c . Hallar el resto que se obtiene al dividir :
60. Si "N" es el nmero de trminos que genera el desarrollo del cociente notable : x 3a1
y5a y10
5
P 2(x) Q (x )
x5
entre (x + a). Se sabe adems que :
Indicar el valor de : "a + N". a) 7 d) 13 b) 9 e) 28 c) 11
P 2(x) es divisible entre Q(x) .a) 4bc d) 16 55. El polinomio : x b) b 2c 2 e) 43
61. Hallar el nmero de trminos del desarrollo del C.N. : c) 2bc2
x5n xn15 a a) 3 d) 7 b) 5 e) 9
3 1
a5(n an2
6)
2x
2
15 x
x
a
2x a
es divisible entre (x ser divisible entre : a) x + a d) x + 5 56. Siendo: P(x ) x
a ) y (x + 3), entonces tambin
c) 6
b) x - 3 e) x - 44
c) x - 5
62. Si la siguiente divisin : xm2 81 27
y 2m y3
x
3
nx n divisible separada-
x
mente entre los binomios (x-a), (x-b), (x-c), (x-d), seale el residuo de dividir P(x) entre : (x a a) 2 d) -11
genera un cociente notable. Hallar el nmero de trminos de dicho cociente notable. a) 6 d) 13 b) 12 e) 27 c) 15
b
1
c
1
d ) c) 1
1
b) 0 e) -2
63. Desarrollar los siguientes C.N. : x15 x3 y 20 y4 y 20 y4 m 25 m5
57. Encontrar el trmino central de un polinomio de la forma :
a)
nx (n 1) x 2 (n 2) x 3 ... 2x n
1
x n , sabiendo
que el resto que resulta de dividirlo entre (x - 1) es 153. a) 10x 10 d) 13x13 b) 9x 9 e) 7 x 7 x 30 xn xm y2 c) 12x12
b)
c)
a 40 a10
b 28 b7
d) tiene 10 trminos,
x 21 1 x3 1
58. Si el cociente notable : hallar el valor de (m+n). a) 23 d) 35 b) 21 e) 50
64. Indicar el C.N. que origina a : c) 25 a) b) c)
m72y8
m54x 8 y6
m 36x16 y 4
m18 1x 24 y 2 x 32
59. Siendo que el C.N.
x 35 x 30 x 25 x 20 x15 x10
x5 1
am
2
bn b2
5
a3
65. Hallar el vigsimo tercer trmino del desarrollo del cociente : x120 x5
y 96 y4
tiene 9 trminos en su desarrollo, calcular :
m na) 1 d) 5 b) 3 e) 7 c) 4
Sealar la suma de exponentes. a) 91 d) 97 b) 93 e) 99 c) 95
66. Evaluar el quinto trmino del C.N. obtenido a partir de: x 36 x6
73. El trmino central del desarrollo del cociente notable : es z q w90 . z w5 Calcular el valor de "n - q".2
y12 y2
, para : x
2
8
e y
26 .
zn
wm
4 a) 2
b) 2 e) 1
10
c) 24
d) 2
8
a) 24 d) 38
b) 72 e) 111
c) 94
67. Calcular "mn", si el T24 del C.N. : x 325 m x 5m a) 6 d) 18 y 260n y4n es x 345 y 984 . b) 12 e) 24 xm x7
74. Si el trmino central del C.N. : x5n x5 c) 15 y 2n y225m
es x 2 . y 20 n)1 / 2 . b) 2 e) 5 c) 3
Hallar : (m a) 4 d) 1
68. Si : m - n = 27; y
yn y4
genera un C.N.
Hallar el grado absoluto del sexto trmino del desarrollo. a) 38 d) 41 b) 39 e) 42 c) 40
75. Qu lugar ocupa el trmino independiente en el desarrollo del C.N. :
Q(x)a) 6 d) 9
x 27 x3
x x
9 1
69. Determinar el lugar del trmino que presenta como grado absoluto a 88 en el desarrollo de : P(x ; y) x125 x5
b) 7 e) No tiene
c) 8
y75 y3
76. Indicar el lugar que ocupa el trmino independiente del desarrollo del C.N. :
a) 14 d) 17
b) 13 e) 16 x120 x3
c) 15 a) 3 d) 6 b) 4 e) 7
x 27 x3
x x
x 5
70. Dado el cociente notable : Sabiendo que el TP a) 72 d) 56
y 40 y
c) 5
x y
90 m .
Hallar : "m.p". c) 132
77. Calcular "m" para que el trmino independiente del C.N. :
b) 110 e) 90
x 24 x4
m6 x mx1
6
sea 81. b) 5 e) 9 c) 4
71. Hallar el trmino central del desarrollo del siguiente cociente notable : x6k x9 15 a) x y 3 3
a) 6 d) 3
y8 k y5
3
78. Hallar el lugar que ocupa el trmino independiente en el desarrollo de : c) xy a) 17 d) 22
3 5 b) x y
x66
x9
4 1
d) x y
5 9
e) x y
12 10
x
x
72. Si : A(x; y) es el trmino central del desarrollo del C.N.:
b) 18 e) 21
c) 19
2y)15 y15 3x y Indicar el valor de A(1; -2). (3xa) -128 d) 37 b) -37 e) 128 c) -64
79. Si el trmino de lugar 4 contado desde el extremo final del desarrollo del C.N. : x5p x5 y 2p y2 tiene grado absoluto 37.
Indicar el nmero de trminos del desarrollo del C.N.
a) 10 d) 1566 7 80. Si : x y C.N. : 5r
b) 12 e) 18
c) 14
83. Simplificar :
Ees el sptimo trmino del desarrollo del xp x11 yq yr a) 0 c) x 41 84. Reducir : E
x78 x38
x76 x36
x74 x34
... x 2 1 ... x 2 1c) x 36
x 40
b) 1 e) x 42
Indicar el trmino de lugar 5 contado a partir del extremo final. a) x 55 y 4944 56 d) x y
x 22
x 20
x18
... x 2 1 x 1)
b) x 66 y 42 e) x 5 y 66
c) x 55 y 35 a) x 6 c) x 6 e) x12 85. Si :
(x 2
x 1)(x 2 b) x12 d) x10
x 18
x3 1x3 1
x6 1 x5 1
81. Si el C.N. : Calcular : E a) 210 11
x8 1 xm 1
tiene 4 trminos en su desarrollo. .
x6 1
m9
m810
m7 ... m 1 .1 1c) 29
1 1
b) 2 e) 2
1
F(x ) Hallar : F
x 12 x 24
x10
x8
x6 x16
... 1) ... 1
1
d) 2 82. Si :
11
x 20
2 .b) 511 e) 510 c) 25
x Hallar : E(-1/3).a) -1/9 d) 3
E(x)
x 2010
x18 x9
... x 2 1 x8
... x 1
x11 1 x 1
a) 257 d) 127
b) -1/3 e) 9
c) 1
Claves01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. b c c d a b a a b c c c d c d b d c e b b b a b a e c c d e 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 4 43. 4 43 3 44. 4. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. b b e c b c a c d d d a b e e d e d b e c d a d c b b a c e 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. e a b e d d d e a a d e b b d d d d a d b e d
Captulo
5
FACTORIZACIN
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o ms polinomios llamados factores, de tal modo que, al multiplicarlos, se obtenga el polinomio original. Ejemplo :ya factorizado
Ejemplo : 1. Factorizar : xy + xz + xw. Solucin :
x2 y2
xy+xz+xw"x" factor comn
se extrae "x"
x(y+z+w)polinomio factorizado
(x y)(x y)factores
Antes de factorizar
Puede notarse que si multiplicamos (x+y)(x-y) se obtiene x 2 y 2 que viene a ser el polinomio original (la factorizacin y la multiplicacin son procesos inversos). Factor Primo Es aquel polinomio que no se puede descomponer en otros polinomios. Ejemplo : x x22
2. Factorizar : Solucin :
xy 4
y7 z
y3 w
xy 4y3
y7 z
y 3wmenor exponente
factor comn
se extrae "y3"
tendremos : y y22
no es primo (se puede descomponer). es primo (no se puede descomponer).
y 3 (xy
y4z
w)
polinomio factorizado
Propiedades : 1. El nmero mximo de factores primos que tiene un polinomio est dado por su grado. As por ejemplo :
3. Factorizar :
a 2 ab ac bc
Sol. agrupando : a2 ab ac bc
x 3 6x 2 12x 6 a los ms tiene 3 factores primos.2. 3. Los polinomios lineales (primer grado) necesariamente son primos. Slo se pueden factorizar los polinomios no primos.
a (a+b)+c(b+ a)factor comn : a + b
MTODOS DE FACTORIZACIN I. Mtodo del Factor Comn Se aplica cuando en todos los trminos del polinomio se repite el mismo factor, el que se denomina factor comn. Para factorizar, se extrae a cada trmino del polimonio el factor comn, (si ste tuviese diferentes exponentes, se elige el de menor exponente).
se extrae (a+b)
tendremos : (a+b)(a+c )polinomio factorizado
II.
Mtodo de las Identidades En este caso, se utilizan las identidades algebraicas (Productos Notales); pero en forma inversa, es decir teniendo el producto se calculan los factores que le dieron origen. Se puede utilizar cualquier Producto Notable estudiado; pero los que se utilizan con ms frecuencia los recordamos en el siguiente cuadro :
Producto Notable Diferencia de Cuadrados :
Polinomio Factorizado
a2
b2 2ab b 2
(a+b)(a-b)
Trinomio Cuadrado Perfecto : a 2 (TCP) Suma o Diferencia de Cubos : a 3
(a
b)2
b3
(a
b)(a 2
ab b 2)
Ejemplo : 1. Factorizar : x Solucin : (x 2 )2 y2 (x 2 y)(x 2 y)4
Solucin : y2
x 2 10xx x
99 1
(x9x x 10x
9)(x 1)
polinomio factorizado
2.
Factorizar : x 2 10x 25 Solucin : x2 2 (x )(5) 5 2 (x 5)2
b) Aspa Doble : Se aplica a polinomios de la forma : Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F se obtienen dos factores trinomios. Regla : * Se descomponen en dos factores :
polinomio factorizado
Ax x 2 ; Cy 2 ; F* Mediante tres aspas, se comprueban: Bxy, Dx, Ey.
3. Factorizar : Solucin : a3
a3 27
33
(a
3)(a 2
3a 9)
Ej. 10x2
Factorizar : xy 3y 2 16x 14y 8
polinomio factorizado
III.
Mtodo de las Aspas a) Aspa Simple : Se aplica a trinomios, obtenindose 2 factores binomios. Regla : se descomponen dos de los trminos, en dos factores, luego se calcula la suma del producto en aspa, tal que sea igual al trmino no descompuesto del trinomio. Ej. Factorizar :
Solucin : 10x 25x1
xy 3 y 2 16x 14 y 83y3 2
2 -4
2x
-y
Comprobaciones : Aspa 1 -5xy + 6xy = xy -12y - 2y = -14y 4x - 20x = -16x
x
2
10x 9
Aspa 2 Aspa 3
luego, tendremos : (5x+3y+2)(2x-y-4)
c)
Aspa Doble Especial Generalmente, se aplica a polinomios de cuarto grado de la forma :
Caso B : coeficiente principal posibles ceros :
1
Ax 4
Bx 3 Cx 2 Dx E
Se obtienen dos factores trinomios de segundo grado. Regla : * * * Se descomponen :
divisores T. independiente divisores coeficient e principalRegla para factoriza r :
Ax4 y E, luego se calcula la
a)
suma del producto en aspa. La suma obtenida se resta de Cx 2 . La diferencia que resulta se descompone en dos factores para comprobarlos con : Bx 3 y Dx. Ejemplo : Factorizar : Solucin :
Se calcula los posibles ceros y se comprueba si alguno anula al polinomio, por ejemplo : Si se anula para : x=2 x = -3 x = 4/5 (x-2) es factor (x+3) es factor (5x-4) es factor
x4
5x 3x4 x2 x22
9x 2 14x 69 x 2 14 x 64x x1 3
b)
5x 3
Al polinomio dado, se le divide entre el factor o factores binomios obtenidos en el primer paso, el cociente de esta divisin es el otro factor del polinomio. Ejemplos : 1. Factorizar : Solucin : *
3 2
x 3 6x 2 12x 7(coeficiente principal= 1).
Comprobacin : Aspa 1
Posibles ceros1, 2, 3, 6divisores de 6
2x 2 3 x 2
5x 2
2 que se resta de 9 x 2 , obtenindose 4 x .
Aspa 2 Aspa 3 (x 2 IV. 4x
x 2. 4 x
x 2. x
5x 3
* Se comprueba que se anula para: x = 1 (x-1) es factor. . * Se divide por Ruffini al polinomio entre (x-1) :x-1 = 0 1 1 1 -6 1 -5 12 -5 7 -7 7 0
4x . 2 + x . 3 = 11x 3)(x 2 x 2)
Mtodo de los Divisores Binomios o Evaluacin Binm ica Se aplica a polinomios de cualquier grado, generalmente con una sola variable, siempre que tengan por lo menos un factor lineal (primer grado). "Ceros" de un Polinomio Son los valores de la variable que anulan el polinomio. Para obtener los posibles "ceros" de un polinomio, tendremos : Caso A : coeficiente principal = 1 posibles ceros : divisores del trmino independiente
x2 - 5x + 7 factor faltante
* Finalmente tenemos :
(x 1)(x 22. Factorizar : *
5x 7)
6x3 7x2 6x 1de 1) :
Posibles ceros (coeficiente principal 1,(
1 , 2
1 , 3
1 6
Divisores de "1" ) Divisores de "6"
* Se comprueba que se anula para: 1/3. * Se divide por Ruffini entre : 3x - 1. * Finalmente, tenemos :
61 3
7 2
-6 3 -3 -1
1 -1 0
b) Si aparecen exponentes pares trataremos de formar TCP . Ejemplo : Factorizar : x 4 Solucin :2 2 2 4 2 Tenemos : (x ) (2b c )
3
6 22x 2
9 3
4b 4 c 8
3 x 1 (factor faltante)2
tendremos : (3x 1)(2x IV. Mtodo de los Artificios
3x 1) .
para formar TCP , necesitamos :
2 (x 2 )(2b 2c 4 )Artificio
4 x 2b 2c 4
En este caso, no existen reglas fijas. Se aplica cuando las reglas anteriores no son fciles de aplicar ; pero se puede recomendar lo siguiente : a) Si dos o ms trminos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable. Ejemplo : Factorizar : (a b c 5 (a b Solucin : Hacemos : a+b+c = x 2) (a c 1)2
Sumamos y restamos :
4 x 2 b 2c 4x4(x 2 (x 2
4 b4 c 8TCP
4 x 2b2 c 4
4 x 2 b 2c 4
2b 2c 4 )2 (2xbc 2)2 2b 2c 4 2xbc 2)(x 2ya factorizad o
2b 2c 4
2xbc 2 )
b
c 1)
2
c) Si aparecen exponentes impares, procuramos formar suma o diferencia de cubos. Ejemplo : Factorizar : x 5
x 1
se elige la letra que se desee menos : a, b, c
Solucin : * Como hay exponentes impares, buscamos suma o diferencia de cubos.5 * Si a " x " le factorizan " x 2 " , aparece " x 3 " .
reemplazando :
(xx2 4x2
2) 24 x2
(x
1) 2
2x 1 5 x
2x
11x
x(2x 11)
-
5 (x
1)5
Artificio : sumamos y restamos x 2 .x5 x 1 x2 x2 x 1)x 1)
como :
x = a+b+c
(a+b+c) [ 2(a+b+c)-11 ]
x 2(x 3 1) (x 2x 2 (x 1)(x 2 (x2
x 1) (x 23
x 1)(x
x
2
1)
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Indicar el nmero de factores primos de : P(x; y) a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 x y5 3
x y
2 7
a) x + 5 d) x + 4 09. Factorizar :
b) x + 7 e) x - 1
c) x + 3
c) 4
F(x ; y) x 2 (x y)2 8 xy 2 (x y) 12 y 4 La suma de sus factores primos es : a) 2x + y d) 4x + 2y 10. Factorizar : F(x ) x 3 2x 2 5 x 6 El trmino independiente de uno de sus factores primos es : a) -1 d) -6 11. Factorizar : F(x ) x 3 2x 2 5 x 6 La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es : a) 1 d) 7 y)2 12. Factorizar : F(x ) 6 x 3 19 x 2 15 x La suma de sus factores primos es : 2 b) 3 e) 9 c) 5 b) -3 e) -2 c) 6 b) 3x + y e) 2x + 3y c) 3x + 3y
02. Sealar un factor primo, al factorizar : F(x ; y) a) y d) x - y x3y x2y2 x2 xy
b) xy - 1 e) xy
c) x 2
03. Indicar un trmino de un factor primo de : R(x ; y) a) xy 2 d) x 2y x6 b) e) x 2y 2 x 3y y3 y4 xy 3 x 3y 3
c) y 4
04. Factorizar : F(x ; y) x 3 y 2x 2 y 2 xy 3 x 2 El factor primo que ms se repite es : a) xy + 1 d) x + y 05. Factorizar : F(x ; y) (x 2 Un factor primo es : a) x + y d) x2
2xy y
y2
b) xy - 1 e) x - y
c) (x
y 2 )2 (y 2 1)2
a) 6x - 4 d) 3x + 7 13. Factorizar :
b) 8x - 4 e) 4x - 3
c) 3x + 2
b) x - y e) y - 1
c) x + 1
y
06. Factorizar : F(x ; y) (1 xy )2 (x Un factor primo es : a) x + y d) x - 2y 07. Factorizar : F(x ) (2x 2 3 x)2 14(2x 2 Un factor primo es : a) 2x - 1 d) 2x + 1 08. Si el polinomio : F(x ) x (2m 1)x (m 1) Es factoriable mediane un aspa simple (en los enteros), adems : m Z2 2
P(x) x 5 21x 3 16x 2 108 x 144 e indicar el factor primo repetido. y)2 4 xy a) x - 4 d) x - 2 14. Factorizar : F(x ) x 2 (x 2 3)2 (3x 2 1)2 La suma de factores primos lineales es : 3 x) 45 a) 4x + 1 d) 2x + 3 b) 4x + 3 e) 2x - 1 c) 2x b) x - 3 e) x + 1 c) x + 3
b) x - y e) 1 - x
c) 2x + y
b) 2x - 3 e) 2x + 3
c) 2x +5
15. Indicar la suma de factores primos de : 2x 4 a) 5x + 6 d) 4x 7x 3(x 3 x 2 1) c) 3x - 2
b) 4x - 1 e) 5x
m 1 . Indicar un factor primo. .
16. Dar la suma de los factores primos de : x(x - 4)(2x - 11) + 12x - 48 a) 4x + 7 d) 3x + 7 b) 3x - 7 e) 4x + 11 c) 4x - 11
24. Factorizar :
F(a ; b) 2a4 b3 15a2b3 27b3Indicar el factor primo de mayor grado. a) b d) 2a 2 b) b3 c) 2a4 1
17. Dar un factor primo de :
x 5 ax 3a) x 2 d) x2
bx 2 abx3 a 2 bx ab2 ax bax bc) x 3
3
e) a 2 1
ab ab
b) x 3 e) x3
ax b
25. Factorizar :
F(x) (x 2 x)3 (x 2
x)2 2 (x 2 x)
18. Dar un factor primo de :a 3 (1 b) b 3 (1 a) ab(a b)
Indicar el valor numrico de un factor primo, para x = 2. a) 4 d) -2 b) 0 c) 1 e) Hay dos correctas
a) a + b c) a + ab + b e) a2 2 2 2
2 b) a
ab b 22 2
26. Un factor de : ax 2 a) x - ab c) ab + x e) bx + a
bx a 2x ab es :b) ax + b d) abx + 1
c) a a b
b
a b
b
19. Factorizar : (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 3 e indicar que la suma de los trminos lineales de sus factores primos. a) 6x d) 20x b) 10x e) 12x c) 8x
27. Uno de los factores de x 6 a) x 3 c) x 2 e) x3
x 2 8x 16 es:2x 4
4 2x 4x 4
3 b) x
d) x 3
x 4
20. Cuntos factores lineales tiene :
x 5 8 x 4 18 x 3 7x 2a) 5 d) 3 21. Sea : b) 1 e) 4
2xc) 2
24
28. Factorizar :
R(x ; y)
x4
3y 2 (x 2
y 2) y 4
Indique la suma de factores primos. a) 2 (x 2 c) 2 (x 2 e) 2 (x 2
R(x) 5 (x 2)2(x 7)3(x 2 3)4 (x 6)Indique el nmero de factores primos : a) 4 d) 1 b) 3 e) 11 c) 2
2y 2 ) y 2) xy y 2 )
2 b) 2 (x 2 d) 2 (x
y 2) 2y 2 )
22. Indique el nmero de factores primos lineales de :
29. Factorizar : P(m) m 6 7 m 3 8 Indicar el trmino lineal de uno de los factores primos cuadrticos. a) 4m d) 8m b) -m e) -4m c) 3m
P(x ; y) x8y 3x7y 2x6y 6x5ya) 1 d) 4 b) 2 e) 48 c) 3
23. Indicar un factor primo de :
F(x ; y) x3 x2 x2y y2 2xya) x 2 d) xy e) x2
y x x2
2 b) x
y2
30. Al factorizar un polinomio en el conjunto de los nmeros enteros, mediante el procedimiento del aspa simple, se realiza lo siguiente : y2 8x42x 2 4x 2
y
c) x
bx 2 (2 d )1 d
y y
2
Entonces un factor primo del polinomio es: a) 2x - 1 d) 2x + 3 31. Al factorizar : (x 5)(x 7)(x 6)(x uno de los factores lineales es : a) x - 5 d) x + 3 32. Factorizar : b) x + 7 e) x - 2 4) 504 b) 2x + 2 e) 2x + 4 c) 2x + 5
38. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo de : P(x) a) 3 d) 7 x5 5x 4 b) 11 e) 2 10 x 3 10 x 2 c) 1 5x 1
39. Hallar el nmero de trminos de un factor primo en Q de : F(n) a) 1 d) 4 n7 b) 2 e) 6 n6 2n 4 n3 n2 1 c) 5
c) x + 6
(x 2
x 1)2 34x (x 1) 179
Indique la suma de todos sus factores primos: a) 2(2x+3) c) 2(2x+1) e) 2(x+1) b) 3(x+2) d) 3(2x+1)
40. En cunto disminuye el nmero de factores primos de: (3x - 1)(x - 3)(2x - 5) (6x + 1); si le restamos 20? a) En 2 d) En 3 b) En 1 c) En 4 e) No vara dicho nmero
33. Indique un factor primo de : A(x) (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3x 1) 5 b) 3x - 1 e) 36x 2 15x 4 c) 2x +1
41. Seale un factor primo de :
P(m ; n)a) m + n
m (m 2
mn 1) n (n2b) m - n d) m2
mn 1)
a) 12x + 1 d) 3x + 1
d) mn + 1 e) m 2
mn n2
34. Hallar el producto de los coeficientes del factor primo de mayor trmino independiente del polinomio. P(x) a) 4 d) 12 8x3
n2 1
42. Un factor de : 2x 2 1 (4 x 3 y 6 x 2 y 2 es : a) 1 2xy c) x 2 e) 2xy y22 b) x
28 x
2
2x 7 c) 8
4 xy 3
y4 )
b) 5 e) 14
y2 1 2y 2
35. Si se suman algebraicamente, los coeficientes y los trminos constantes de los tres factores binomios, en los que puede descomponerse el polinomio : x 4 2x 3 76x 2 8x 320 , se obtiene : a) 14 d) 22 36. Factorizar : P(x ) x5 3x 4 5x 3 15 x 2 4 x 12 b) 9 e) 97 c) 0
2xy 1 2y 2 1
d) 1 2xy
43. Al factorizar :
Ka) a + 3 d) 5a - 1
25a4 109a 2 36c) a - 3
uno de sus factores es : b) 5a - 3 e) 5a + 2
Indique el binomio que no es factor. a) x - 2 d) x + 4 b) x + 2 c) x - 1 e) Todos son factores
44. Descomponer en factores :
x 3ya) b) c) d) e)
x 2y 2
x 2 yz
yz 3
xyz 2
xz 3
y 2z 2
x3z
37. Determinar el nmero de factores primos del siguiente polinomio : P(x ) a) 1 d) 4 x5 x4 b) 2 e) 5 2x 3 2x 2 x 1 c) 3
(x-z)(z-y)(x+y)(x+z) (x-z)(x+z)(x+y)(y-z) (x+z)(x+y)(y-x)(z-y) (z-x)(y-z)(x-y)(x+z) N.A.
45. Descomponer en dos factores :
51. Indique un divisor de : R(x)2 a) x
(xa) (x y 1)(x 2 y 1)(x 2 y 1)(x 2 y 1)(x 2 y 1)(x 2
y)
3
3xy (1 x y) 1y2 y2 y2 y2 y2 x x x x x y 1) y 1) y 1) y 3) y 3)
x10 1 x 2 (2x 4 b) x 3 d) x 2
1)
2xy 2xy xy 2xy 2xy
x 1
x2 1 x 2
b) (x c) (x
2 c) x
x 2 x2 1
e) x 3
d) (x e) (x
52. Indicar el valor numrico que forma uno de los factores primos de : x5b2 )
(x 2 1)2 ; para : x = -1. b) -1 e) 2 c) 0
46. Factorizar :(a b)2(c d)2 2ab(c d)2 e indicar la suma de los factores : 2cd(a 2
a) -2 d) 1
a) a 2 c) a e) a 2
b2 b2
c2 c d
d2
b) a + 2b + c + 2d2 d) a
53. Dar la suma de los coeficientes del factor primo de menor grado en :
b2 c 2 d 2a) 71 d) 17
(x 2 1)7
2 (x 2 1) x 4
b c d
47. Factorizar :
b) 7 c) 8 e) Ms de una es correcta
A (x; y ; z) (x 2y)3 (y 3z)3 (3 z y x)3Indique el nmero de factores primos obtenidos. a) 2 d) 3 48. Factorizar : R(x ) (x 1)2 (x 2 2x 9) 5(x 1)(x 2 2x 2) 1 b) 4 e) 5 c) 1
54. Seale Ud. el trmino de mayor grado de un factor primo del polinomio : P(x ) a) x d) x 5 x7 2x 5 3x 4 3x 2 3x 1
b) x 3 e) x 6
c) x 4
55. Factorice en el campo de los nmeros reales:
Indicando un factor primo. a) x + 11 d) x + 2 49. Factorizar : b) x + 18 c) x + 7 e) Hay 2 correctas
P(a)
32 (a 2 5)5 (a 2 9)5 (a 2 1)5
Seale el nmero de factores primos : a) 10 d) 6 b) 12 e) 7 c) 8
x 2 (x 1) y (x
y 1)(x
y 1) (y 1)2 (1 x)
Indique el nmero de factores primos. a) 2 d) 4 b) 1 e) 5 c) 3
56. Factorizar e indicar el nmero de factores primos racionales : P(x ) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 x10 2x 5 x2 1 c) 3
50. Factorizar el polinomio : P(x ) x 5 x 4 2x 2 1 ; y dar como respuesta la suma de coeficientes del factor de grado 3. a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2
57. Seale la suma de coeficientes de un factor primo de :
F(x )a) 8 d) 4
x7
2x 5
2x 3c) 5
1
b) 6 e) 3
58. El polinomio :P(x) (x 1)(x2
60. Proporcione uno de los factores primos de:2)(x3
3) 2 (2x
3
3x 3)
M(a ; b ; c) (a 5b5a) a 23 d) a
abc (a 5 b 5c 5
b5
c5 ) a4 b4c 4c) bc a4
Luego de factorizarlo toma la forma :
a 5c 5 ) a 2b 2c 2b) a3
x n (x c)n (x nCalcular : a + n. a) -4 d) 3 b) -1 e) 5
ax a)
bc bc
bc
c) 4
e) a - bc
59. Seale un factor de : (x 4 a) x 4 c) x 4 e) x2
3x 2 1)2 b) x 2 d) x 4
(2x 2
3)2
x2
3
x 1
x2
2
2x 2
2
2x 2
Claves01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. b b b d c e e d d e b b d c c b a c b d a c e d e b d d b a 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. b c c e b d b e c b b a b b c a d d c d b d b b d c e b d c
Captulo
6
MCD Y MCM DEPOLINOMIOS FRACCIONES ALGEBRAICASSimplificacin de Fraccin Algebraica Para poder simplificar, el numerador y denominador deben estar factorizados para luego cancelar los factores que presenten en comn. Ejemplo : Simplificar : Resolucin :
Regla para calcular el MCM y MCD de Polinomios : 1. 2. 3. Se factorizan los polinomios dados. El MCD estar formado por la multiplicacin de todos los factores primos comunes de los polinomios dados, considerados con su menor exponente. El MCM est formado por la multiplicacin de factores primos no comunes y comunes, a los polinomios dados, considerados con su mayor exponente. Ejemplo : Hallar el MCD y MCM de los polinomios: P(x) x3 x2 x 1 Q(x) x3 x2 2x 2x
x2 x2
9
2x 15
x2 xx x2
32 2x 155 3
=
(x 3)(x 3) x 3 = (x 5)(x 3) x 5
Factorizando : P(x ) (x 1)2 (x 1) "
Q(x)
x (x 2)(x 1)
Operaciones con Fracciones I. Adicin y/o Sustraccin : En este caso, es necesario dar comn denominador (MCM de los denominadores), salvo que las fracciones sean homogneas (denominadores iguales). As tenemos : A. Fracciones Homogneas : Ejemplo :
MCD [P(x);Q(x)] x 1 MCM[P(x);Q(x)] (x 1)2(x 1)x(x 2)Propiedad : Dados los polinomios A y B.
MCD ( A , B) . MCM (A , B)
A B
A x
B x
C x
A B C x
FRACCIN ALGEBRAICA A Es toda expresin de la forma donde por lo menos B "B" debe ser literal. Ejemplo : * Son fracciones algebraicas x 1 2 x3 1 , , x 1 x x2 pero : x 2 , 7 5 no son fracciones algebraicas
B. Fracciones Heterogneas : Ejemplo :
A m
B n
C p
Anp Bmp Cmn mnp
C. Regla Prctica (para 2 fracciones): A B C D AD BC BD
II.
Multiplica cin : En este caso, se multiplica numeradores entre s, de igual manera los denominadores. A C B D A C B D
Importante : generalmente es conveniente simplificar las fracciones antes, y despus operar fracciones. Tr ans f or m a ci n Pa r ci a l e s de Fr a cci o nes en Fr acci one s
Ejemplo : III.
Divisin de Fracciones : En este caso, se invierte la segunda fraccin y luego se ejecuta como una multiplicacin. A B C D A B A B C D D C A D B C
Este es un proceso inverso a la adicin o sustraccin de fracciones. Es decir una fraccin se transforma en la adicin o sustraccin de fracciones que le dieron origen, veamos : Ejemplo : * Efectuar :
1 x 1*
1 x 1 x
2x2
1
Transformar a fracciones parciales :
AD BC
2x x2 1
1 x 1
1 x 1
EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar el MCD de los polinomios : M(x) N(x) (x 6) (x 7) (x3 2 2 3
9)
4 3
a) a + 1 d) (a 1)2
b) a - 1 e) 1
c) (a 1)2
(x 10) (x 7) (x
6)
07. Luego de efectuar : a) (x-7)(x+6) b) x + 9 6)2 c) x + 10 d) (x 7)2 (x e) (x+10)(x+9)(x+6)(x-7) 02. Indicar el MCM de los polinomios : P(x) F(x ) (x 3) (x3
1
2x x
x2 1 x2 el numerador obtenido, es :a) x 2 3 d) 2x + 3 08. Efectuar : b) x - 3 e) 2x - 3
6)(x 1) 3)3
4
c) x + 3
(x 1)2 (x
a) (x-1)(x+3)(x+6) b) (x 1)4 (x c) (x 1)2 (x 3)3 (x 6) 6)2 (x 3)3 3)2 (x 6) 3)
x 1 x 1 4 2 x 1 x 1 x 1 Indicar el cubo del denominador.a) 64 x 3 d) (x 1)3 b) 64 e) (x 1)3 c) x 3
d) (x 1)4 (x e) (x 1)2 (x
03. Hallar el MCD de los polinomios : P(x ; y) F(x ; y) x2
xy 6 y xy
2
09. La fracccin m x 1 c) x - 2y a) -1 d) -2 10. Efectuar : x n 4
3x 2 x2 3x 4
equivale a :
x2
2y 2 b) x - 3y e) x - y
, entoces ; m - n es igual a : b) 1 e) -3 c) 2
a) x + 2y d) x + y
04. El valor numrico del MCD de los polinomios : F(x ) x33
x22
x 1
P(x) x 6x 11x 6 para : x = 4, es : a) 25 d) 3 b) 1 e) 4 c) 5
x 1 2x 2 . x x2 1 Indicar la octava parte del numerador simplificado.a) 0,25 x 2 d) 0,5x 11. Efectuar : 1 a b b) b e) b a b b a b a22
b) 0,25x e) 0,625x
c) 0,125x
05. Cuntos factores cuadrticos presenta el MCM de los polinomios? P(x) Q(x) R(x) a) 0 d) 3 x3
2x
2
4x 8 8x 4 a) a c) 2 d) a b a
x3 x3
5x 2
ab 2
6 x 2 12x 8 b) 1 e) 4
c) ab
06. Calcular el MCD de dos polinomios, si el producto de ellos es (a 2 1)2 y la divisin entre el MCD y el MCM es (a 1) .2
12. Al simplificar : 1 a Calcular : m4 1 (ab)2 obtenemos (ma)(nb) b a b
n4 , si : m, n
Z.
a) 17 d) 626
b) 82 e) 257
c) 2
a) 3x d) x
b) 4x e) 2x
c)
1 x 2
13. Simplificar las fracciones :
x22
4
x 2x x 2 4 x 4 e indicar la suma de los denominadores.a) 2x - 2 d) 2x + 2 14. Simplificando : a a a2
;
x2
x 219. Al descomponer
x3 x2
1
obtenemos : c x 1
b) 2x + 1 e) 2x + 1
c) 2x - 1 Calcular : a (3b 2 ; obtenemos : a) 3 d) 14
ax
b x 1
5c 2 ) .b) 7 e) 2 c) 11
b b a b 1
b
20. Si la fraccin : P(a; b) c) ab
ma 2 2a 2
nab 24 b 2 3ab 4 b 2 m2
a) a a d) b 15. Simplificando :
b) b e) 1
es independiente de sus variables, entonces n2 equivale a : a) 210 d) 144 b) 180 e) 100 c) 120
1 1 1a) x - y d) 1 b) 1 x
1 x ; tenemos : yy c) 1 y x
21. Hallar el M.C.D. de los siguientes polinomios :
AB
2x 410x 3
x 3 3x 2 3x 99x 2 17x 6b) 2 x 2 d) x2
a) 3x 2 c) 3x 3x e) x2 2
2x 1x 3 x 3
xx 1
3
x y
e) 1
x y
16. Efectuando :
1 n
1
22. Si : P y Q son dos polinomios factorizables definidos por : P(x) Q(x) c) n - 1 x3 x3
1 n 2 obtenemos en el numerador .a) n2 d) n
4x2 cx d
ax
b
n
b) n - 2 e) 1
Tal que, el MCD (P , Q) = (x-1)(x+3), entonces la suma de coeficientes del polinomio MCM (P , Q), es : a) 9 d) 4 23. Efectuar : b) 8 e) 0 c) 6
17. Simplificar :
x2
2
6x 8
x
2
4
x x xn n x nx sealar un trmino en el denominador.a) -7x d) 11x b) -5x e) -3x c) -8x
2
x2 2x2x x 1 d) 1 a)2
2x 3 x 1 2x
x22
4 5x 2
18. Simplificar las fracciones : x4 2x 3 y4 2xy 2 ; ax ay x 2 ax x 2 y2 xy
b) 2 e) 0
c) x
e indicar la diferencia de los denominadores.
24. Resolver :
30. Efectuar :
f(x)
x 1 x 1b) x + 1 e) 0
x 1 x 1
x2 1 2x2
R
2a) 0
(1 ab)(1 ac ) (a b)(c a)
(1 ab)(1 bc) (b a)(c b)
(1 ac )(1 bc) (c a)(b c)
a) x - 1 d) 1 25. La fraccin :
c) x
b) -1 a b c e) a b c
c) 1
abc d) a b c
7x 1 1 5x 6x 2
; se obtuvo sumando las
31. La expresin simplificada de :
A B fracciones : . ; 1 3 x 1 2x Calcular : (A.B). a) 20 d) -5 b) -20 e) -4 c) 4
a4 a2a) a 22 c) a
4 b4
2ab 2b 2b) a 2 d) a 2
es :
2b2
2ab
b2
2ab
2ab 2b2 b2 ab
b2 2ab
26. Sabiendo que : x + y + z = 1. Calcular :
e) a 2 32. Si :3
Ma) 1 d) 3 27. Conociendo que
x xy
3
y z 1 yz xz xyzc) -3
3
A x 5 Hallar : (A a) 1 d) 9
Bx C x (x 5) 1 B)C . b) 64 e) 16
2 (2x 2 11x) 13 (x 5)[x (x 5) 1]
b) -1 e) 2
a c , la expresin : b d ab a b cd c d
c) 27
(a c)(b d) a b c d resulta : a) 0 d) ab cd b) 1 e) ac bd
33. Si : a + b + c +d = 0. Hallar :
Sc) -1 a) 1 d) 1/3 34. La expresin :3 3
abc abd acd bcd a3b) 2 e) 1/2
b3
c3
d3c) 3
28. Si : ab + bc + ac = 0. Calcular : K (ab) (bc ) 2 (ac) 3abc (a b c) b) ab e) 2ac3
1 1
1 1 1 1 m
a) ac d) abc 29. Al realizar :x3 ax 2 bx c x 1
c) bc
equivale a : m 2 m 1 2m 1 3m 2 m 1 m 2 3m 2 2m 1 3m 1 m 2
a)x3 bx 2 cx x 2 a x3 cx 2 ax x 3 b
b) e)
c)
d)
se obtiene un polinomio de segundo grado. Indicar la suma de coeficientes de dicho polinomio. a) 8,5 d) 11,5 b) 9,5 e) 12,5 c) 10,5
35. Para qu valor de "b" se cumple que : ab (x 2 ab (x2
y 2 ) xy (a 2 y ) xy (a2 2
b 2) b2)
1; y
0
a) -a d) a 36. Efectuar :
b) 0 e) 2
c) 1
a (b c)2 a (b c)2
b (a c)2 b (a c)2
c (a
b)2
c (a b)2
Z
4x 2xy y y3 2y ( 3 )(1 ) 3 2x y 8x y 8x 3 b) 3 e) -1 c) 1
2
8 xy2 2
Tomar el valor de 11. a) 6,5 d) 1,33 b) 7,2 e) c) 0,3
41. Si el MCD de los polinomios : a) 2 d) 0 37. Simp