guía de estudio propedéutico matematica
TRANSCRIPT
i
ii
PRESENTACIÓN
Este texto tiene la intención de asistir como un importante material de apoyo
en el área de matemática a los estudiantes que participan en el curso
propedéutico que dicta la Facultad de Agronomía de la Universidad Central de
Venezuela.
Este curso de naturaleza teórico – práctica, está basado en la revisión de
conocimientos teóricos y una práctica operatoria centrada en las aplicaciones
propiamente de carácter matemático.
En la distribución de los distintos temas se intenta proporcionar el suficiente
material de trabajo para que, una vez afianzados los conceptos fundamentales, se
pueda guiar a los estudiantes en el proceso de autoformación.
Los contenidos que se incluyen son aquellos cuyos conocimientos de
entrada son requeridos como básicos con la intención de ofrecer una preparación
rigurosa y completa a fin de que los estudiantes puedan acceder a cursos
superiores afines al área de Matemática, tales como: Matemática I, Matemática II,
Física I, Física II, Estadística, etc.; obligatorias en la formación de un Ingeniero
Agrónomo.
El desarrollo de las actividades de enseñanza y aprendizaje estará centrado
en los alumnos, y tomará en cuenta tanto los procesos cognitivos como los
procesos afectivos. El docente se convierte en un mediador del aprendizaje
propiciando actividades, proponiendo estrategias, usando metodologías en las que
el proceso de enseñanza y aprendizaje se potencie.
En la evaluación se tomará en cuenta la responsabilidad de los alumnos en
el cumplimiento de las asignaciones, la pertinencia de los resultados y la
interpretación de los mismos. De igual manera será considerado lo novedoso en la
iii
resolución de problemas en cuanto a originalidad, ingenio y versatilidad de los
métodos usados.
El texto consta de cinco unidades, las cuales contienen los siguientes
temas:
Unidad I: Conjuntos Numéricos
Unidad II: Polinomios y operaciones con fracciones algebraicas
Unidad III: Sistema de ecuaciones e inecuaciones de expresiones algebraicas
Unidad IV: Trigonometría, logaritmos y exponenciales
Unidad V: Matrices y determinantes
Los autores esperan que esta obra sea útil tanto a los profesores como a
los estudiantes.
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
iv
TABLA DE CONTENIDO
PRESENTACIÓN ________________________________________________________ ii
TABLA DE CONTENIDO _________________________________________________ iv
UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS _____________________________________ 1
Conjuntos Numéricos __________________________________________________________ 1 Números Naturales ( ). _____________________________________________________________ 1 Números Enteros ( ). _______________________________________________________________ 1 Números Racionales ( ). ____________________________________________________________ 2 Números Irracionales ( ). ___________________________________________________________ 3 Números Reales ( ). _______________________________________________________________ 4
Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos . _______ 5
Recta Real.___________________________________________________________________ 6
Orden en el conjunto R. ________________________________________________________ 7
Intervalos Reales ______________________________________________________________ 8
Operaciones con Intervalos Reales _______________________________________________ 9 Unión ____________________________________________________________________________ 9 Intersección_______________________________________________________________________ 9 Diferencia _______________________________________________________________________ 10 Complemento ____________________________________________________________________ 10
Potenciación en el conjunto de los números reales. _______________________________ 10
Propiedades de la potenciación en . ____________________________________________ 11 1. Multiplicación de potencias de igual base. ____________________________________________ 11 2. División de potencias de igual base. _________________________________________________ 11 3. Potencia de un producto. __________________________________________________________ 11 4. Potencia de un cociente. ___________________________________________________________ 11 5. Potencia con exponente cero. _______________________________________________________ 12 6. Potencias con exponentes enteros negativos. ___________________________________________ 12 7. Potencia de una potencia. __________________________________________________________ 12
Radicación en el conjunto de los números reales. _________________________________ 13
Potencias con exponente fraccionarios y radicales. _________________________________ 13
Propiedades de la radicación. ___________________________________________________ 14 1. Raiz de un producto. _____________________________________________________________ 14 2. Raíz de un cociente. ______________________________________________________________ 14 3. Raíz de una raíz. _________________________________________________________________ 14
Racionalización ______________________________________________________________ 15
UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
______________________________________________________________________ 29
Polinomios __________________________________________________________________ 29 Elementos de un polinomio. _________________________________________________________ 29
Término ____________________________________________________________________ 29 Grado del polinomio: 5 _____________________________________________________________ 29
Polinomios Especiales. ________________________________________________________ 30
v
Polinomio nulo: ___________________________________________________________________ 30 Polinomio Constante: _______________________________________________________________ 30
Valor Numérico de un polinomio. _______________________________________________ 30
Términos Semejantes. _________________________________________________________ 31
Polinomios en dos o más variables: ______________________________________________ 31
Operaciones con polinomios. ___________________________________________________ 32 Adición de polinomios. _____________________________________________________________ 32 Adición de polinomios en dos o más variables. ___________________________________________ 32 Sustracción de polinomios. __________________________________________________________ 32
Multiplicación de polinomios. __________________________________________________ 33 Multiplicación de dos monomios: _____________________________________________________ 33 Multiplicación de un monomio por un polinomio. ________________________________________ 33 Multiplicación de dos polinomios. _____________________________________________________ 33
División de polinomios. ________________________________________________________ 34 División de dos monomios. __________________________________________________________ 34 División de un polinomio entre un monomio. ____________________________________________ 34 División de dos polinomios. _________________________________________________________ 34
Raíz o cero de un polinomio ____________________________________________________ 35
Productos Notables. __________________________________________________________ 36 Cuadrado de un binomio. ____________________________________________________________ 36 Cubo de un binomio. _______________________________________________________________ 36 Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados) _________________ 36 Producto de dos binomios que tienen un término en común. _________________________________ 37 Binomio de Newton. _______________________________________________________________ 37
Factorización. _______________________________________________________________ 37 Factor común. ____________________________________________________________________ 37 Factorización por agrupación de términos _______________________________________________ 38 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto __________________________________________ 38 Factorización de una diferencia de cuadrados ____________________________________________ 39 Factorización de un trinomio del tipo ax
2 + bx + c ________________________________________ 39
Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto. ____________________________________ 41 Regla de Ruffini para factorizar polinomios. _____________________________________________ 42
Máximo Común Divisor de Polinomios. __________________________________________ 43
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios. __________________________________________ 44
Operaciones con Fracciones Algebraicas _________________________________________ 45 Adición. _________________________________________________________________________ 45
Multiplicación. ______________________________________________________________ 45
División. ____________________________________________________________________ 45
Simplificación de Fracciones Algebraicas _________________________________________ 46
Fracciones Algebraicas Irreducibles. _____________________________________________ 46
Ejercicios Propuestos. Unidad II ________________________________________________ 46
UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS ________________________________________________________ 52
Ecuaciones de Primer Grado. ___________________________________________________ 52
vi
Ecuación de Segundo Grado ___________________________________________________ 53 1. Método de Factorización. __________________________________________________________ 53 2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o de la Resolvente. __________ 53 Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado: _________________________________________ 55
Aplicaciones de la ecuación de segundo grado. _____________________________________ 55
Ecuaciones con Radicales: _____________________________________________________ 56
Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y aplicaciones __________________ 57 Método de sustitución ______________________________________________________________ 58 Método de igualación _______________________________________________________________ 58 Método de reducción _______________________________________________________________ 59
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la resolución de problemas ________ 60
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ______________________________ 63
Inecuaciones lineales y no lineales ______________________________________________ 64
Sistemas de Inecuaciones en una variable _________________________________________ 67
Valor absoluto de un número real. _______________________________________________ 68
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III _________________________________ 69
UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS _______________________________________________________ 82
Ángulos ____________________________________________________________________ 82 Medida en grados __________________________________________________________________ 82 Medida en radianes ________________________________________________________________ 83
Ángulos Notables. ____________________________________________________________ 84
Razones Trigonométricas ______________________________________________________ 84
Signos de las razones trigonométricas. ___________________________________________ 86
Razones trigonométricas de los ángulos notables.___________________________________ 86
Reducciones de ángulos al primer cuadrante. ______________________________________ 86
Triángulos y aplicaciones. _____________________________________________________ 88
Identidades Trigonométricas ___________________________________________________ 91 Identidades Fundamentales __________________________________________________________ 91 Sumas y restas de senos y cosenos _____________________________________________________ 92 Sumas y restas de ángulos ___________________________________________________________ 93 Ángulo doble _____________________________________________________________________ 94 Ángulo medio ____________________________________________________________________ 94
Teorema del Seno ____________________________________________________________ 95
Teorema del Coseno __________________________________________________________ 96
Funciones trigonométricas inversas _____________________________________________ 96
Ecuaciones trigonométricas. ___________________________________________________ 99
Logaritmos_________________________________________________________________ 101
Exponenciales. _____________________________________________________________ 104
Ecuaciones exponenciales ____________________________________________________ 104
vii
Ejercicios Propuestos Unidad IV __________________________________________ 105
UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES ____________________________ 116
Matrices. Definición: ________________________________________________________ 116
Matrices Especiales: _________________________________________________________ 117
Igualdad de Matrices ________________________________________________________ 117
Algebra de matrices __________________________________________________________ 118 Suma de Matrices _________________________________________________________________ 118 Multiplicación por un escalar ________________________________________________________ 119 Resta de Matrices _________________________________________________________________ 120 Multiplicación de Matrices _________________________________________________________ 120
Matriz Traspuesta: __________________________________________________________ 124
Determinantes. Definición ____________________________________________________ 124
Matriz Adjunta. Definición ____________________________________________________ 126
Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones _____________________________ 127 Resolución de un determinante de tercer orden: _________________________________________ 128
Ejercicios Propuestos. Unidad V ___________________________________________ 130
BIBLIOGRAFÍA _______________________________________________________ 132
1
UNIDAD I: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos Numéricos
Números Naturales ( ).
Los números naturales sirven para contar. El conjunto de los números naturales se denota con
la letra y sus elementos son:
es decir
Su representación en la semi-recta es:
La imposibilidad de resolver en sustracciones cuando el minuendo es menor que el
sustraendo, plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales. Se observa que,
la ecuación:
no siempre tiene solución en . Por ejemplo:
no tiene solución en .
Números Enteros ( ).
Los números enteros sirven, por ejemplo, para expresar temperaturas por debajo de cero y
además, la ecuación , siempre tiene solución en los números enteros.
El conjunto de los números enteros se denota con la letra y sus elementos son:
es decir:
2
Observa que para cada número entero existe el número , llamado entero negativo. Los
números y – son llamados opuestos.
Su representación en la recta es:
La imposibilidad de resolver en divisiones cuando el dividendo no es múltiplo del divisor,
plantea la necesidad de ampliar el conjunto de los números enteros. Se observa que la ecuación:
, con diferente de cero,
no siempre tiene solución en . Por ejemplo:
no tiene solución en
Números Racionales ( ).
Los números racionales sirven para expresar “partes” de la unidad y, además, la ecuación:
, con diferente de cero,
siempre tiene solución en los números racionales.
El conjunto de los números racionales se denota con la letra y sus elementos tienen la
forma , siendo y números enteros, con diferente de cero. Es decir:
Se observa que para cada número entero diferente de cero, existe el número
,
llamado inverso de .
Su representación en la recta es:
Los números racionales pueden ser representados tanto por fracciones como por decimales.
3
Para convertir fracciones a decimales basta con efectuar la división del numerador entero
entre el denominador.
Cuando la división es exacta, estos números decimales reciben el nombre de números
decimales limitados.
Cuando la división no es exacta obtendremos un número infinito de cifras decimales, donde
una cifra o un grupo de cifras se repiten indefinidamente y en el mismo orden, estos decimales
reciben el nombre de números decimales periódicos.
Así, todo número racional puede escribirse como un decimal limitado o un decimal periódico.
Por ejemplo:
½ = 0,5 ; 1/4 = 0,25 ; 7/8 = 0,875 ; 11/10000 = 0,00011
1/3 = 0,3333333… = 3,0 ; 2/7 = 0,285714285714285714… = 285714,0
Números Irracionales ( ).
Analicemos las siguientes situaciones que se han presentado en el estudio de la matemática:
a) Existencia de decimales no limitado y no periódicos, por ejemplo:
0, 2121112 . . . , 5, 2468105 . . . , -4, 1357911 . . .
b) Existencia de segmentos con longitudes tales como:
c) Las ecuaciones de la forma , no siempre tienen solución en . Por
ejemplo:
, admite como una solución,
Lo anterior revela la insuficiencia de los números racionales, planteando la necesidad de
ampliar el campo numérico introduciendo nuevos números que llamaremos Números Irracionales.
Números escritos tales como los escritos en las situaciones a) y b) son números irracionales.
“ Un número irracional es un número con la presentación decimal ilimitada no periódica. ”
Con el mismo argumento también puede decirse que un número irracional es un número que
no puede expresarse como cociente de dos números enteros, es decir, no es racional.
Al conjunto de los números irracionales se denota por . Su representación en la recta es:
4
Ejemplos de números irracionales:
a) Las raíces cuadradas de números primos:
b) Las raíces cuadradas de números enteros positivos que no sean cuadrados perfectos:
Recuerda: Un número entero es un cuadrado perfecto si existe un entero tal que
c) El número
d) El número
Números Reales ( ).
El conjunto de números reales es la unión del conjunto de los números racionales y del
conjunto de números irracionales.
Se denota por al conjunto de números reales, así que:
Es de observar que la intersección entre los conjuntos y es vacío. Es decir, ningún número
racional es irracional y ningún número irracional es racional.
Luego, sí , entonces: o , pero no a ambos.
Como el conjunto de los números irracionales es representado por los decimales ilimitados no
periódicos y los racionales por los decimales limitados o periódicos; entonces el conjunto de los
números reales es el conjunto de los números que se representan con decimales.
5
Propiedades en la adición y multiplicación en los conjuntos Numéricos .
Operaciones Propiedades Descripción de la las propiedades
Asociativa
La forma de agrupar los sumandos
no altera la suma:
Sí Sí Sí
La forma de agrupar los factores no
altera el producto.
Sí Sí Sí
Conmutativa
El orden de los sumando, no altera
la suma:
Sí Sí Sí
El orden de los factores no altera el
producto:
Sí Sí Sí
6
Existencia
de elemento
neutro
Existe un elemento e tal que:
Para todo en el conjunto y
Sí Sí Sí
Existe un elemento tal que:
Para todo el conjunto y
Sí Sí Sí
Existencia
de un
elemento
simétrico
Para cada elemento existe un
tal que:
No Sí Sí
Para cada elemento diferente de
cero, existe tal que:
No No Sí
Distributiva
Al multiplicar un número por la
adición de otros, se puede
multiplicar dicho número por cada
uno de los sumandos y luego se
suma el producto obtenido:
Sí Sí Sí
Nótese que cumple con las mismas propiedades tanto para la adición como para el
producto que , sin embargo la radicación está definida en los reales, mas no en los racionales.
Recta Real.
El conjunto de los números reales se representa así:
A cada
número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un número real. Ahora la recta
numérica esta completa y la llamaremos Recta Real.
También se dice que la recta real es ordenada; es decir, la posición de cualquier número
sobre esta recta se define en base al criterio del valor de dicho número con respecto al resto y en
relación al cero. Los números se ordenan desde cero hacia la derecha los números positivos en
orden creciente, y desde cero hacia la izquierda los números negativos, en orden creciente de sus
valores absolutos. La distancia de cualquier número al cero se denomina valor absoluto, se obtiene
tomando el valor numérico positivo del número estudiado y se denota con barras verticales. ( )
7
Orden en el conjunto R.
Un número real es mayor que otro número sí en la recta real se encuentra a la
derecha de .
Si y son números reales, decimos que:
.
En símbolos:
Se observa que si es mayor que entonces, es menor que .
Es decir:
Si y son números reales, decimos que:
es mayor o i ual ue a, s y sólo s , es mayor ue a o es i ual ue
En símbolos:
Se observa que si es mayor o igual que entonces es menor o igual que :
Propiedades de las desigualdades.
1) Dados dos números reales y , una sola de las siguientes posibilidades se cumple:
Esta propiedad reci e el nom re de “Tricotom a”.
2) Dados tres números reales a , , se cumple que:
Si y entonces
Esta propiedad recibe el nom re de “Transitiva”.
Ejemplo:
Si y entonces
8
3) Si a los miembros de una desigualdad se le suma o resta un mismo número real, la
desigualdad no cambia de sentido.
En símbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces es decir
4) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real positivo, la
desigualdad no cambia de sentido.
En simbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces , es decir
5) Si multiplicamos los dos miembros de una desigualdad por un número real negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
En símbolos:
Si y entonces
Ejemplo:
Si y entonces , es decir
Intervalos Reales
Un intervalo es un par ordenado que denota todos los números comprendidos en un
determinado sector de la recta real.
Intervalo Abierto
Intervalo Cerrado
9
Intervalo Semiabierto
Intervalo No Acotado
Operaciones con Intervalos Reales
Unión
La unión de dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los elementos comunes y no comunes entre los intervalos A y B.
Ejemplo: Hallar la unión de los intervalos y
Intersección
La intersección de dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los elementos comunes a ambos intervalos A y B.
Ejemplo: Hallar la intersección de los intervalos y
10
Diferencia
La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo compuesto por todos los
elementos de A que no están en B.
Ejemplo: Hallar la diferencia menos
Complemento
El complemento de un intervalo A, es otro intervalo compuesto por todos los elementos
de la recta real que no están en el intervalo A.
Ejemplo: Hallar el complemento del intervalo
Potenciación en el conjunto de los números reales.
La potenciación es una multiplicación abreviada. Con la notación , queremos indicar un
producto de factores iguales a Luego: Si es un número real y un número entero positivo,
tenemos:
El número o expresión se llama base de la potencia. El número se llama exponente de la
potencia. El número o expresión se llama n-ésima potencia de .
11
Propiedades de la potenciación en .
1. Multiplicación de potencias de igual base.
Si y , entonces . En efecto:
Ejemplos:
a)
b)
2. División de potencias de igual base.
Si , entonces
Ejemplos:
a)
b)
3. Potencia de un producto.
Si , entonces . En efecto:
Ejemplos:
a)
b)
4. Potencia de un cociente.
Si , entonces
. En efecto:
12
Ejemplo:
a)
b)
5. Potencia con exponente cero.
Si es diferente de cero tenemos que:
a)
b)
(por ser el numrador igual al denominador)
Igualando a) y b) obtenemos
Ejemplos:
a)
b)
6. Potencias con exponentes enteros negativos.
Si , entonces
, con diferente de cero.
Ejemplos:
a)
b)
7. Potencia de una potencia.
Si , entonces .
Ejemplos:
a)
b)
13
Radicación en el conjunto de los números reales.
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Consiste en determinar la base,
conocidas la potencia y el exponente.
Si es un número real y un entero positivo, entonces la radicación consiste en hallar un
número tal que
El número reci e el nom re de “ra z n-ésima de a” y se denota:
En forma simbólica:
donde, se denomina índice
se denomina cantidad subradical
se denomina signo radical
se denomina raíz n-ésima de a
Nota:
a) Si es un número positivo y un entero, entonces la raíz n-ésima de es un numero real.
b) Si es un número negativo y es número entero impar, entonces la raíz n-ésima de es un
número real.
c) Si es un número negativo y es un entero par, entonces la raiz n-ésima de no es un número
real.
Potencias con exponente fraccionarios y radicales.
Si y son números enteros con diferente de cero y un número real, entonces:
Ejemplos:
a)
b)
14
Propiedades de la radicación.
1. Raiz de un producto.
La raíz de un producto es igual al producto de las raices.
Ejemplos:
2. Raíz de un cociente.
La raíz de un cociente es igual al cociente de las raíces.
Ejemplos:
a)
b)
3. Raíz de una raíz.
Para calcular una raíz a una raíz se multiplican los índices y se conserva la cantidad
subradical.
Ejemplos:
a)
b)
15
Racionalización
Racionalizar una función cuyo denominador es irracional consiste en obtener una equivalente
a ella cuyo denominador es racional.
Caso a: El denominador de la fracción contiene un monomio bajo el signo radical.
Regla: Se multiplican el numerador y denominador de la fracción por un radical del mismo índice del
radical que aparece en el denominador y los exponentes de los factores de la nueva cantidad
subradical deben ser multiplos del índice.
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso.
a)
b)
Caso b: El denominador de la fracción es un binomio en el cual uno de sus términos contiene raíces
cuadradas.
Regla: Se multiplican tanto el numerador como el denominador por la expresión conjugada del
denominador.
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso.
a)
b)
Caso c: El denominador de la fracción contiene un binomio en el cual uno de los términos contiene
raíces cúbicas.
Regla:
1. Si el binomio tiene la forma entonces se multiplican tanto el numerador como el
denominador por la expresión
2. Si el binomio tiene la forma entonces se multiplican tanto el numerador como el
denominador por la expresión .
16
Ejemplo: Racionalice el denominador en cada caso:
a)
b)
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD I.
1) Coloque el símbolo 0 según corresponde:
3/2 0,1 2,12345…
π 4,25 0,167
2) Efectuar las siguientes operaciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
3) Calcular los siguientes productos:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
4) Efectúe aplicando la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
5) Determine en cada caso el cociente (c) y el residuo (r):
A.
B.
C.
D.
E.
F.
17
6) Efectúe aplicando propiedad distributiva para la división:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
7) Calcular el mínimo común de:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
8) Simplifique las siguientes fracciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
9) Efectuar las siguientes adiciones de fracciones:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
18
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
U.
10) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
11) Aplique la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
19
12) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
13) Aplique la propiedad distributiva:
A.
B.
C.
Operaciones con intervalos reales. Unión.
La unión de dos intervalos A y B, es otro
intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes y no comunes entre los intervalos A y B.
Intersección.
La intersección de dos intervalos A y B, es otro
intervalo (A B) compuesto por todos los elementos comunes a ambos intervalos A y B.
Conjunto B [1,3]
Conjunto A (2, 4)
Conjunto B [1,3]
Conjunto A (2, 4)
(A B)
(A B)
20
Diferencia.
La Diferencia entre dos intervalos A y B, es otro intervalo (A - B) compuesto por todos los elementos de A que no están en B.
Complemento.
El complemento de un intervalo A, es otro intervalo (AC) compuesto por todos los elementos de la recta real que no están en el intervalo A.
14) Dados los siguientes intervalos reales, se pide hallar: AB, AC, BC, AB, AC, BC, A-B, B-
A, A-C, C-A, B-C, C-B, AC, BC, CC, BC-CC, CC-B, B-AC, ACBC, AC
CC, (CC-B)(AC-C), (C-BC)(A-BC):
Conjunto B [1,3]
Conjunto A (2, 4)
Conjunto A (2, 4)
(A - B)
(AC)
21
15) Efectuar:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
22
Q.
R.
S.
16) Dado los números racionales:
Determine aproximaciones, de defecto y por exceso, con error máximo de una milésima de:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
17) Calcular las siguientes potencias, utilizando las propiedades:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
23
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
18) Simplificar las siguientes fracciones y expresar el resultado sin exponentes negativos:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
19) Resolver aplicando las propiedades:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
24
Q.
R.
20) Resolver:
A.
B.
C.
D.
21) Escribir cada una de las siguientes expresiones según su radical equivalente:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
22) Transformar cada uno de los siguientes radicales en su potencia correspondiente:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
23) Simplificar las siguientes expresiones.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
25
24) Resolver:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
25) Efectúe las siguientes operaciones con radicales de diferentes índices:
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
26) Introducir en la cantidad subradical.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
27) Extraiga los factores de los siguientes radicales.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
26
28) Efectuar y simplificar.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
29) Simplifique las siguientes expresiones.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
27
30) Efectuar.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
31) Racionalice.
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
28
32) Racionalice (Denominador)
A.
B.
C.
D.
E.
F.
G.
H.
I.
J.
K.
L.
M.
N.
O.
P.
Q.
R.
S.
T.
U.
V.
W.
X.
33) Simplificar y racionalizar el denominador (cuando sea necesario)
A.
B.
C.
D.
E.
F.
29
UNIDAD II POLINOMIOS Y OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Polinomios
Se denomina polinomio en una variable x a una expresión algebraica de la forma
siguiente:
anxn + an-1x
n-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0
siendo n un número natural.
Elementos de un polinomio.
a) Los números an, an-1, . . . a2, a1, a0 se denominan coeficientes del polinomio.
b) En un polinomio, cada sumando se denomina término del polinomio.
c) Se denomina grado del i-ésimo término de un polinomio, al exponente de la
potencia de x de ese término.
d) El término de grado cero se denomina término independiente.
e) Se denomina grado de un polinomio al mayor exponente de las potencias de
x con coeficientes no nulo.
Ejemplo:
P(x) = 6x5 + 3x4 – 2x3 + x2 – x + 4
Término Coeficiente Grado
6x5 6 5
3x4 3 4
-2x3 -2 3
x2 1 2
- x -1 1
4 4 0
Grado del polinomio: 5
30
Polinomios Especiales.
Polinomio nulo:
Es un polinomio que tiene sus coeficientes nulos. Este polinomio carece de grado
y se designa con el número cero.
P(x) = 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 0
coeficientes: 0, 0, 0, 0,0
variable: x
término independiente: 0
Polinomio Constante:
Es un polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos excepto el del término
independiente. Cualquier número no nulo es un ejemplo de polinomio constante.
Ejemplos:
a) P(x) = 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 1 P(x) = 1
b) P(y) = 0y4 + 0y3 + 0y2 + 0y - ½ P(y) = - ½
Monomio:
Es un polinomio de un solo término con coeficiente no nulo. ( 3x3 , - ½ a )
Binomio:
Es un polinomio de dos términos con coeficientes no nulos. ( a + b , 6x2 – 3x )
Trinomio:
Es un polinomio de tres términos con coeficientes no nulos.
( x2 – 3x – 9 , -7y3 + 2y -7/8 )
Valor Numérico de un polinomio.
Al sustituir en: P(x) = anxn + an-1x
n-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0
la variable x por un número racional fijo q, obtendremos el valor numérico del
polinomio p(x) cuando x “vale”
Ejemplo:
Sea P(x) = x3 + 2x2 +3x – 1
Hallemos el valor numérico para x = -1
P(-1) = (-1)3 + 2(-1)2 + 3(-1) - 1 = -1 + 2 – 3 – 1 = -3
31
Términos Semejantes.
Se denomina términos semejantes en polinomios de una misma variable, a
aquellos términos que tienen igual grado.
En los polinomios:
P(x) = 5x3 - 4x2 + 7x - 10
Q(x) = 7x3 + 8x2 – 15
Los términos semejantes son:
5x3 y 7x3
-4x2 y 8x2
7x y 0x
-10 y -15
Polinomios en dos o más variables:
Un término de un polinomio, en dos o más variables, es un producto de un número
y de las potencias de las variables. El número se denomina coeficiente y el
producto de potencias se denomina parte literal.
El grado de un término es dado por la suma de los exponentes de las variables.
Los términos semejantes en un polinomio de dos o más variables son aquellos
que tienen igual parte literal (iguales las variables e iguales sus exponentes).
Ejemplo: En los polinomios
5x3 – 3x2y + 0,5xy2 – y4
y
2x4 + 5x2y – 2/3xy2 + 5y4
los términos semejantes son:
-3x2y y 5x2y
0,5xy2 y -2/3xy2
-y4 y 5y4
Observa que –3x2y y -2/3xy2 no son términos semejantes.
32
Operaciones con polinomios.
Adición de polinomios.
La suma de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio S(x) que se obtiene
sumando los coeficientes de los términos semejantes de los polinomios dados.
El polinomio suma S(x) es denotado por P(x) + Q(x).
Los polinomios P(x) y Q(x) se denominan sumandos.
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = 3x7 – 4x6 + x – 2x3 + 1 y Q(x) = 2x2 + 4x3 – 3 + 2x6 – 5x7 + x8
Procedimiento:
1. Ordenamos los polinomios en forma decreciente ( también se pueden ordenar
en forma creciente)
P(x) = 3x7 –4x6 – 2x3 + x + 1
Q(x) = x8 – 5x7 + 2x6 + 4x3 + 2x2 – 3
2. Se colocan los polinomios uno debajo del otro de forma tal que los términos
semejantes queden en una misma columna (si es necesario se completa con
ceros)
0x8 + 3x7 – 4x6 – 2x3 + 0x2 + x + 1
x8 – 5x7 + 2x6 + 4x3 + 2x2 + 0x – 3
3. Se suman los coeficientes de los términos semejantes:
P(x) + Q(x) = x8 – 2x7 – 2x6 + 2x3 + 2x2 + x - 2
Adición de polinomios en dos o más variables.
La suma de polinomios en dos o más variables se obtiene en forma similar a los
de una variable, reduciendo los términos semejantes de los polinomios dados, así:
2x3 + 5x2y – 7xy2 – y3
-7x3 + 4x2y
-5x3 + 9x2y – 7xy2 – y3
Sustracción de polinomios.
La diferencia de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que se obtiene
sumando a P(x) el opuesto de Q(x), es decir:
33
P(x) – Q(x) = P(x) + [-Q(x)]
Ejemplo:
Si P(x) = 5x4 + 8x3 + 3x – 7
Q(x) = 3x3 + 4x2 – 3x + 9
P(x) – Q(x) será:
P(x) = 5x4 + 8x3 + 0x2 + 3x – 7
- Q(x) = 0x4 - 3x3 - 4x2 + 3x – 9
P(x) – Q(x) = 5x4 + 5x3 – 4x2 + 6x – 16
Multiplicación de polinomios.
Para facilitar la comprensión de la multiplicación de polinomios consideremos tres
casos:
Multiplicación de dos monomios:
El producto de dos monomios es otro monomio tal que:
a) Su coeficiente es el producto de dos coeficientes.
b) La variable tiene un exponente igual a la suma de exponentes.
(3x6).(-8x3) = [3.(-8)] . (x6 .x3) = -24x9
Multiplicación de un monomio por un polinomio.
El producto de un monomio por un polinomio se obtiene multiplicando el monomio
por cada término del polinomio.
Recordemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición; dicha
propiedad la aplicaremos en este caso.
Sean P(x) = -2x3 y Q(x) = 4x2 - 5x + 3
P(x) . Q(x) = (-2x3).(4x2 - 5x + 3) = (-2x3 ) . (4x2) + (-2x3) . (-5x) + (-2x3 ) . (3)
P(x) . Q(x) = -8x5 + 10x4 - 6x3
Multiplicación de dos polinomios.
Para multiplicar dos polinomios aplicamos también la propiedad distributiva.
El producto de dos polinomios no nulos, P(x) y Q(x) se obtiene multiplicando cada
término de Q(x) por el polinomio P(x) efectuando la suma de los polinomios
34
obtenidos.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores.
P(x) . Q(x) = 3x2 + 4x - 5
P(x) . Q(x) = 3x - 4
-12x2 - 16x + 20
9x3 + 12x2 - 15x
P(x) . Q(x) = 9x3 - 31x + 20
División de polinomios.
Para facilitar la comprensión de la división de polinomios consideremos tres casos:
División de dos monomios.
Para dividir dos monomios se dividen los coeficientes y luego se dividen las
variables aplicando el cociente de potencias de igual base.
426
2
6
25
10
5
10xx
x
x
División de un polinomio entre un monomio.
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio
entre el monomio. Es decir, se aplica la propiedad distributiva de la adición
respecto a la división.
342
17
2
6
2
8
2
17
2
6817 22323
xxx
x
x
x
x
x
x
xxx
División de dos polinomios.
Para hallar el cociente entre dos polinomios seguimos el siguiente procedimiento:
1) Se completa el polinomio dividendo y se ordena en forma decreciente
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor
para obtener el primer término del cociente.
3) Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta este
producto del dividendo. Recuerda que para restar debes sumar el opuesto.
4) Consideramos la diferencia obtenida como un nuevo dividendo y repetimos los
pasos 2) y 3) para obtener el segundo término del cociente.
35
5) Repetimos el proceso hasta que el resto o residuo sea el polinomio nulo o un
polinomio de menor grado que el divisor.
DIVIDENDO RESÍDUOCOCIENTE
DIVISOR DIVISOR
Ejemplo:
Sean P(x) = 5x3 + x – 8 y Q(x) = x – 3
Hallemos el cociente P(x) / Q(x)
5x3 + 0x2 + x – 8 x – 3
-5x3 + 15x2 5x2 + 15x + 46
15x2 + x - 8
-15x2 + 45x
46x - 8
-46x + 138
130
x 2
x
P 1305x 15x 46
Q x 3
NOTA
Es importante mencionar que si el residuo es el polinomio nulo, se dice que la
división es exacta.
Se dice un polinomio P(x) es divisible por otro Q(x) si la división de P(x) / Q(x) es
exacta, o sea si existe otro polinomio C(x) tal que:
P(x) = Q(x) . C(x)
Otra forma de expresar esta propiedad es diciendo que P(x) es un múltiplo de Q(x),
o que Q(x) es un divisor de P(x).
Un polinomio se dice que es primo si no admite otros divisores que sí mismo y las
constantes.
Raíz o cero de un polinomio
Una raíz o cero de un polinomio P(x) es un valor particular de la variable para el
cual el valor numérico del polinomio es cero.
36
Un cero o raíz del polinomio:
P(x) = 3 + x es x = -3, ya que:
P(x) = 3 + (-3) = 0
Productos Notables.
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo
resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la
multiplicación.
Veamos algunos de ellos:
Cuadrado de un binomio.
El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble
del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.
(a b)2 = a
2 2ab + b
2
Ejemplos:
a) (x + 5)2 = x2 + 2x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
b) (x - 3)2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6x + 9
Cubo de un binomio.
El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo.
(a b)3 = a
3 3a
2b + 3ab
2 b
3
Ejemplos:
a) (x + 2)3 = x3+ 3x22 + 3x(2)2 + (2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (y – 5)3 = y3 – 3y25 + 3y52 – (5)3 = y3 – 15y2 + 75y – 125
Producto de una suma de dos términos por su diferencia (binomios
conjugados)
El producto de dos binomios conjugados es igual al cuadrado del primer término
menos el cuadrado del segundo término.
(a + b).(a – b) = a2 – b
2
37
Ejemplos:
a) (x + 6).(x – 6) = x2 – 62 = x2 – 36
b) (y2 – 3/2).(y2 + 3/2) = (y2)2 – (3/2) = y4 – 9/4
Producto de dos binomios que tienen un término en común.
El producto de dos binomios que tienen un término en común es igual al cuadrado
del término en común más la suma de los términos no comunes por el término
común, más el producto de los términos no comunes.
(a + b).(a + c) = a2 + (b + c).a + b.c
Ejemplos:
a) (x + 4).(x + 3) = x2 + (4 + 3).x + 4.3 = x2 + 7x + 12
b) (x + 7).(x - 2) = x2 + (7 – 2).x + 7.(-2) = x2 + 5x - 14
Binomio de Newton.
Es el desarrollo del binomio (a + b)n.
n n n 1 n 2 2 2 n 2 n 1 n
n n n na b a a b a b ... a b ab b
1 2 n 2 n 1
NOTA: los números combinatorios se resuelven según
n n!y n! n. n 1 . n 2 ...2.1
m n m !m!
Ejemplo: (x + 3)5 = x5 + 5x43 + 10x332 + 10x233 + 5x34 + 35
(x + 3)5 = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243
Factorización.
Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de factores primos. A
continuación estudiaremos algunos casos de factorización.
Factor común.
Este caso tiene la forma
a.m + a.n + a.p = a.(m + n + p)
Consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la
38
adición.
Ejemplo: Factorizar 6ax3 + 9a2x2 – 18a3x
Observe que cada coeficiente es divisible por 3 y la parte literal es divisible por ax.
Luego el factor común es 3ax y factorizamos así:
6ax3 + 9a2x2 – 18a3x = 3ax(2x2 + 3ax – 6a2)
Factorización por agrupación de términos
Las propiedades asociativas de la adición conjuntamente con la propiedad
distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de sus términos.
Ejemplos:
a) mx + ny + my + nx = (mx + my) + (nx + ny) = m(x + y) + n(x + y) = (x + y)(m + n)
b) y2 – x2 + y –x2y = (y2 + y) – (x2y + x2) = y( y+ 1) – x2( y + 1) = (y + 1)(y - x2)
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Un polinomio de la forma a2 ± 2ab + b2 se denomina trinomio cuadrado
perfecto, y su factorización es (a ± b)2
En un trinomio de esta forma se cumple:
a) Dos de sus términos son cuadrados perfectos (positivos).
b) El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab, ( que puede ser
positivo o negativo ).
Ejemplo: Factoricemos:
a) x2 + 10x + 25
Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ).
x2 es el cuadrado de x.
25 es el cuadrado de 5.
El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab.
10x = 2.x.5
Por lo que se trata del cuadrado de una suma, luego
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
b) 16x4 - 8x2y3 + y6
Dos de sus términos son cuadrados perfectos ( positivos ).
39
16x4 es el cuadrado de 4x2.
y6 es el cuadrado de y3.
El otro término es el doble producto de a y b, esto es 2ab.
-8x2y3 = -2.(4x2).(y3)
Por lo que se trata del cuadrado de una diferencia, luego
16x4 - 8x2y3 + y6 = (4x2 - y3)2
Factorización de una diferencia de cuadrados
Este caso tiene la forma:
(a2 - b2) = (a + b).(a – b)
El binomio a2 – b2 es una diferencia de cuadrados de dos monomios a y b. Es
factorizable en dos factores, la suma (a + b) y la diferencia (a – b).
Ejemplos: Factorizar
a) X2 – 9 = (x + 3).(x – 3)
b) 25x4 – 81y2 = (5x2 + 9y).(5x2 – 9y)
Factorización de un trinomio del tipo ax2 + bx + c
Solamente trataremos el caso de trinomios que provienen del producto de dos
binomios con un término común, esto es:
ax2 + bx + c = (px + m).(px + n)
Analizaremos dos casos:
1. Cuando a = 1
Sí a = 1 entonces: p = 1, y así:
x2 + bx + c = (x + m).(x – n) = x2 + (m + n).x + m.n
Luego:
1) El término común x de cada binomio es la raíz cuadrada del primero.
2) Los segundos términos: m y n, son dos números tales que sumados
dan b y multiplicados dan c, es decir:
m + n = b y m.n = c
Los números m y n los determinamos mediante los divisores de c.
3) De las relaciones: b = m + n y c = m.n, se tiene:
40
a) Si c es positivo, entonces m y n tienen el mismo signo que b
(ambos positivos o ambos negativos)
b) Si c es negativo, entonces m y n tienen diferentes signos.
El divisor de c (m ó n) de mayor valor absoluto tiene el signo de b.
Ejemplo: Factorizar:
X2 + 5x + 4 Debemos hallar dos números tales que
su producto sea 5 y su suma sea 4
X2 + 5x + 4 = (x )(x ) escribimos x (raíz Cuadrada x2)
en cada factor
= (x + )(x + ) Como el producto 4 es positivo,
los números buscados tienen el mismo
signo. Como la suma 5 es positiva los
números buscados son positivos.
Seleccionamos entre divisores de 4 al 1
y al 4, Ya que: 1 + 4 = 5 y 1.4 = 4
= (x + 4).(x + 1) los números buscados son 4 y 1
2. Cuando a es un cuadrado perfecto.
Este caso tiene la forma:
ax2 + bx + c = (px + m).(px + n) = p2x2 + [(m + n).p] x + m.n
Luego el término común px de cada binomio es la raíz cuadrada del primer
término ax2 del trinomio.
Para factorizar un trinomio de este tipo, se procede en la forma siguiente:
1) Se descompone el coeficiente b de x en un producto tal que uno de
sus factores sea la raíz cuadrada de a.
Sea b = dp, donde p = a
2) Se forma el trinomio: ax2 + d.(px) + c
3) Se procede como en el caso anterior, buscamos entre los divisores de
c, dos números cuya suma sea d.
41
Ejemplo: Factorizar:
4x2 – 16x – 20 como la raíz de 4 es 2,
descomponemos: -16 = (-8).2, luego:
4x2 – 16x – 20 = 4x2 – 8.(2x) – 20
Debemos hallar dos números tales que
su producto sea –20 y su suma –8
4x2 – 16x – 20 = (2x ).(2x ) escribimos 2x (raíz cuadrada de 4x2)
en cada factor.
= (2x + ).(2x - ) como el producto -20
es negativo, los números buscados
tienen diferente signo. Como la suma
-8 es negativa, el número de mayor
valor absoluto es negativo.
= (2x + 2).(2x - 10) Los números buscados son: -10 y 2
Factorización de un polinomio que es un cubo perfecto.
Este caso tiene la forma:
a3 ± 3a
2b + 3ab
2 ± b
3 = (a ± b)
3
y se cumple que:
a) Tiene cuatro términos.
b) El primer término a3 es el cubo de a.
c) El cuarto término b3 es el cubo de b.
d) El segundo término 3a2b es el triple de a2 por b
e) El tercer término 3ab2 es el triple de a por b2.
Ejemplo: Factorizar X3 + 6x2 + 12x + 8
Observemos que dicho polinomio:
a) Tiene cuatro términos.
b) El primer término x3 es el cubo de x.
c) El cuarto término 8 es el cubo de 2.
d) El segundo término 6x2 = 3x2.2
e) El tercer término 12x = 3.x.22.
Y como los términos son positivos, es el cubo de la suma:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
42
Regla de Ruffini para factorizar polinomios.
Para factorizar un polinomio p(x) = anxn + an-1x
n-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0,
utilizando la regla de Ruffini seguiremos los siguientes pasos:
a) Hallaremos los divisores positivos y negativos del término independiente a0.
b) En caso de que la raíz sea fraccionaria, el numerador es divisor del término
independiente y el denominador es divisor del coeficiente del término de
mayor grado.
c) Llamaremos a los divisores enteros y fraccionarios hallados en a) y b).
d) Se va probando por división sintética por (x – ).
e) Si el residuo es cero entonces es raíz del polinomio.
f) Luego, se escribe el polinomio p(x) como producto de factores (x – ).
Ejemplo: Factorizar los siguientes polinomios
a) p(x) = x4 – 5x2 + 4 Calculemos los divisores de 4: 1, 2, 4
1 0 -5 0 4
1 1 1 -4 -4
1 1 -4 -4 0
-1 -1 0 4
1 0 -4 0
2 2 4
1 2 0
-2 -2
1 0
Así, las raíces del polinomio son: 1, -1, 2, -2.
Luego p(x) = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)
b) q(x) = 15x4 + 26x3 – 17x2 – 20x - 4
Los divisores de 4 son: 1, 2, 4
Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15
43
15 26 -17 -20 -4
1 15 41 24 4
15 41 24 4 0
-2 -30 -22 -4
15 11 2 0
-2/5 -6 -2
15 5 0
-1/3 -5
15 0
Así, las raíces del polinomio son: 1, -2, -2/5, -1/3.
Luego q(x) = 15.(x - 1).(x + 2) .(x + 2/5).(x + 1/3)
q(x) = (x - 1).(x + 2) .(5x + 2).(3x + 1)
Máximo Común Divisor de Polinomios.
El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es la expresión
algebraica de mayor coeficiente numérico y de mayor grado que esta contenida
exactamente en cada una de ellas.
Ejemplo:
a) El M.C.D. de 10a2b y 20a3 es 10a2
b) El M.C.D. de 8a3n2, 24an3 y 40a3n4p es 8an2
Al hallar el M.C.D. de dos o más polinomios puede ocurrir que los polinomios
puedan factorizarse fácilmente o que su descomposición no sea sencilla. En el
primer caso se halla el M.C.D. factorizando los polinomios dados; en el segundo
caso se halla el M.C.D. por divisiones sucesivas.
M.C.D. por descomposición de factores.
Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. El M.C.D. es el
producto de los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplos: Hallar el M.C.D. de
a) 4a2 + 4ab y 2a4 – 2a2b2
Factorizando las expresiones:
4a2 + 4ab = 4a(a + b)
44
2a4 – 2a2b2 = 2a2(a2 – b2) = 2a2(a + b)(a – b)
Los factores comunes son: 2, a y (a + b), luego:
M.C.D. = 2a(a + b)
b) x2 – 4, x2 – x – 6 y x2 + 4x
Factorizando las expresiones:
x2 – 4 = (x + 2).(x - 2)
x2 – x – 6 = (x + 2).(x – 3)
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
El factor común es (x + 2 ) y se toma con su menor exponente, luego:
M.C.D. = (x + 2)
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios.
El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es la expresión
algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible
exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Ejemplos:
a) El m.c m. de 4a y 6a es 12a
b) El m.c.m. de 2x2, 6x3 y 9x4 es 18x4
El m.c.m. de dos o más expresiones algebraicas, es el producto de los factores
primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo:
a) Hallar el m.c.m. de 4ax2 – 8axy + 4ay2 y 6b2x – 6b2y
Descomponiendo:
4ax2 – 8axy + 4ay2 = 4a(x2 – 2xy + y2) = 22a(x – y)2
6b2x – 6b2y = 6b2(x – y) = 2.3b2(x - y)
m.c.m. = 22.3.a(x – y)2 = 12ab2(x – y)2
b) Hallar el m.c.m. de x3 + 2bx2, x3y - 4b2xy, x2y2 + 4bxy2 + 4b2y2
Descomponiendo:
x3 + 2bx2 = x2(x + 2b)
x3y - 4b2xy = xy(x2 - 4b2) = xy(x + 2b)(x - 2b)
x2y2 + 4bxy2 + 4b2y2 = y2(x2 + 4bx + 4b2) = y2 (x + 2b)2
m.c.m. = x2y2(x + 2b)2(x – 2b)
45
Operaciones con Fracciones Algebraicas
Adición.
Para sumar dos o más fracciones algebraicas, esta se reduce al común
denominador.
Ejemplo: Sumar; 2 2
2x 1 4 5x
x 2x 2x x 4
a) Hallamos el m.c.m. de los denominadores;
x2 + 2x = x(x + 2) x – 2 = x – 2 x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
m.c.m. = x(x + 2)(x – 2) Denominador común
b) Factorizando los denominadores y dividimos el m.c.m. entre el denominador de
cada fracción y multiplicamos cada cociente por el correspondiente numerador
5x2x 1 4
x(x 2) x 2 (x 2)(x 2)
=
(x 2)(2x 1) ( 4)x(x 2) 5x.x
x(x 2)(x 2)
= 2 2 22x x 4x 2 4x 8x 5x
x(x 2)(x 2)
= 23x 13x 2
x(x 2)(x 2)
Multiplicación.
El producto de dos fracciones algebraicas es una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y el denominador es el producto de los
denominadores de las fracciones dadas.
5 3 3 5 2 3 3 2 5 3 3 3
7 2 7 2 2 2 2 7 4 4
8.x 9.y 2 .x .3 y 2 .3 .x .y 2.3.x 6.x.
5.y 12.x 5y .3.2 .x 5.3.2 .x .y 5.y 5.y
División.
El cociente de una fracción algebraica entre otra, se obtiene multiplicando la
primera por la inversa de la segunda.
2 3 2 2 3 2 2
5 5 3 2 5 3 2 3
24.x .y 5.x .y 24.x .y 14.z 2 .3.x .y.2.7.z 48.
14.z7.z 7.z 5x .y 7.z . 5.x .y 5.x.y.z
46
Simplificación de Fracciones Algebraicas
El proceso de hallar fracciones equivalentes dividiendo numerador y denominador
por un mismo polinomio no nulo, se denomina simplificación de fracciones
algebraicas.
Luego, simplificar una fracción algebraica es dividir numerador y denominador por
un divisor común no nulo y diferente de uno.
Fracciones Algebraicas Irreducibles.
Una fracción algebraica (x )
(x )
p
q, se dice, que es irreducible si el máximo común
divisor de sus términos es uno.
En consecuencia, no se puede simplificar.
La fracción 3x 1
5x
es irreducible porque M.C.D. (3x – 1 y 5x) = 1
En cambio, la fracción 2
3
28x
16x no es irreducible porque M.C.D. (28x2 y 16x3) = 4x2
diferente de 1. En consecuencia, se puede simplificar por 4x2 y obtener así una
fracción irreducible.
Ejercicios Propuestos. Unidad II
1.- Dados los polinomios:
p(x,y) = x3 - 3x2y + 2xy2 q(x,y) = x2 - xy - y2
g(x,y) = x4 - x3y + x2y2 + 2x2y - 2xy2 + 2y3
h(x,y) = 2x3a + 1y2b – 3 - 4x3ay2b - 2 - 28x3a – 2y2b + 30x3a – 3y2b + 1
i(x,y) = -xa + 2yb – 1 - 3xayb + 1 + 4xa + 1yb
r(a,b) = a2 - 3ab + b2 l(a,b) = -5ab + a2 - b2
k(a,b) = 8ab - b2 - 2a2 w(a,b) = a3 - 4ab2 - 5a2b
m(a,b) = 3a5 + 10a3b2 + 64a2b3 - 21a4b + 32ab4
d(x,y,z) = x2 - 4y + 5z f(x,y,z) = -5x2 + 10y - 6z
y(x) = 3x5 - x4 - 8x3 - x2 - 3x + 12 c(x) = -x2 + x + 1
s(x) = x4 - x2 + 5 z(x) = 3x3 - x2 + x - 4
j(x) = 4x5 - 2x4 - 3x3 + 4x2 - x - 1
47
t(x) = 38
3
3
2 3 xx u(x) = xxx4
3
6
5
5
3 34
Calcular: p+q, p-q, p+g, q+g, g-q, p.q, p.g, q.g, g/q, h+i, h-i, h.i, h/i, r+l, r+k,
r+w, r+m, l+k, l-k, r.l, r.k, r.w, k.w, k.l, m/w, d+f, d-f, d.f, y+c, y+z, y-u, s-z, j-t,
s.c, z.t, u.s, y/c, y/s, y/z, j/t, j/u, j/y, j/z, (j-u)+(t-z), (s.z)-(j.c), (u-t).(z-c), (y.c)/(j-z)
2.- Resuelva utilizando la fórmula de productos notables, donde sea posible:
a) (10x3 – 9xy5)2 b) (a + b)(a – b)(a2 – b2)
c) ))(( nxnx baba d) )9)(8( 11 aa xx
e) )4)(4()6)(6( xxxx f) 2)1()12( xyxyxy
g) m + 1 - n2 h) (8x2y + 9m3)3
i) 3
6z x 3y j) 3 x 5yz 3 x 5yz
k) (2y - 3x2)5 l) (xa + 3 + 5ya + 1)(xa + 3 - 2ya + 1)
m) 6
2x 2y n) 3
2 22 2 2 22x y 4x y
o)
32 3
3 2
a 2b
b a
p)
2 22 x 3 x
3 y 4 y
q) (x + 1)3 - (x - 1)3.(x + 1).(x – 1) r) (x + 4y).(x – 4y) + (3x + 2y)2 - (x – 4y)2
3.- Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones de polinomios:
a) 3 22 2812 3 2 642 xx x xx
b) 52 3 34 2 1xx x x
c) 4 2 6 5 44 6 6 4 4 4 62x x x x x x
d) 3 2 21 2 6 2 1x x x x
e) 4 3 210 21 19 15 6 5 3 1x x x x x x
f) 5 4 2 23 9 7 34 2x x x x x x
g) 1x2x2x2xx33457
h) 3 25 24 6 1 2 110 230 3 x x xx xx x
i) 24 23 254 167 xxx x xx
48
4.- Hallar el valor de m para que el polinomio p(x) = mxmx 33 sea divisible
por 12 x .
5.- Hallar los valores de m y n para que el polinomio p(x) =3mx5 +nx2+3 sea
divisible por ( x2 –1 ).
6.- Factorizar los siguientes polinomios:
2 4
2
2
2 2
2
2
2
4 3 2
2
2
2
4 3 2
4 3 2
) 30
) ( ) 18( ) 65
) 14 5
) 12
) ( 1) 16( 1) 64( 1)
) 3 18
) 4 8 3
) 2 35 47 15
) 12 8
) 12 11
) 20 21
) 12 4 16
) 4 14 4 26 12
a y y
b c d c d
c n n
d x y xy
e x z z z
f x x
g x x
h p p p p
i n n
j m m
k a a
l x x x x
m x x x x
2
2
2
2 2
4 2 2 4
2
2
2
2
4
4 2
4 3 2
4 3 2
) 17 60
) (5 ) 13(5 ) 42
) (2 ) 4(2 ) 3
) 21 98
) 6
) 5 13 6
) 4 15 9
) 20 1
) 20 9 20
) 16
) 4 37 9
) 2 35 47 15
)9 12 21 12 12
n x x
o x x
p x x
q a ab b
r a a b b
s x x
t a a
u y y
v n n
w x
x x x
y x x x x
z x x x x
7.- Simplifique las siguientes fracciones:
a) 2
23
2
2
pp
pp
b)
2
23
)mn(
nmn
c)
22
22
44
103
nmmn
mnnm
d)
9
27122
2
x
xx
e) 32 22
3
axa
ab
f)
9
962
2
y
yy g)
1
134
3
aaa
a h)
2
2
3x
2x x
i) 2x 4x 4
x 2
j)
2 2
6ax 3bx 2ay by
9x 6xy y
k)
2 2
2 2
4a 4ab b
4a b
l)
2
2
x 6x 9
x x 6
m) 3 2
3
x x 5x 3
x 3x 2
n)
3 2
3 2
3x 4x 17x 6
3x 16x 23x 6
o)
3 2 2 3
3 2 2 3
a ab a b b
a 3a b 3ab b
p) 2
2
x 7x 10
x 9x 20
q)
3 2
3 2
x 6x 7x
x 7x
r)
2
2
4x 8x 4
x 1
s)
8
2
x 1
x 1
49
8.- Simplifique las siguientes fracciones empleando los métodos de
factorización o racionalización según sea el caso:
2
2
2) ; 2
4 4
x xa x
x x
21 1) ; 0
x x xb x
x
2
2
7 10) ; 5
25
x xc x
x
3 5) ; 4
1 5
xd x
x
3
2
1) ; 1
1
xe x
x
4 23 2 6 28) ; 2
3 3 5 1
x x xf x
x x
3 2
3 2
3 9 5) ; 1
1
x x xg x
x x x
2 3) ; 3
3 6
x xh x
x
3 2
2
2 3) ; 0
4 3 4
x xi x x
x x
33 2) ; 2
2
xj x
x
4
2
1) ; 1
1
xk x
x
2
3 3) ;
ax al x a
x x a a
2
2
3 17 20 9) ; 4
4 25 36 4
x xm x x
x x
2
2
6 5 4 1 3) ;
4 4 3 2 2
x xn x x
x x
3 2
3 2
4 4 3 3 1) ;
18 27 2 3 2 3
x x xo x x
x x x
3 2
2
4 4 3) ; 1
2 3 2
x x xp x x
x x
9.- Efectúe las operaciones indicadas en cada caso:
a) 6
12
6
36122
x
x
x
xx b)
1
1
1
1
t
t
t
t c)
4
4
2
3
2
22
ppp
d) 2
2
2x 5 4x 2x
x 2 x 2x 4
e)
2
2 2
x x 1 x 2
x 1x 1 x x
f)
2
2 2
x 2 4x 1 x
x 3x 9 3x x
g) 2
5y 2y 3
1 2y 2y 1 4y 1
h)
2 2
3 3
1 1 a b
a a b ab a b ab
i)
2 2
5 3 2 2 4 4
xy 2 5x 3y 3xy 1
x y 4x y 2x y
j) 2x
2
9x
x
6x5x
122
k) 2 4 2 3 2
2 2
x 2x 1 x 2x x 4x 4x
x 1x 4 x 3x 2
l) 2 2 3 3
4x y 3x y
6x y 5x y
m) 2
2
x 2 x 4
x 2 x x 2
n)
2y 2y 2 y 64
y 8 y 8 y 1
50
o) 3 2 2 2 2
2 2 2 2
a a b ab a 2ab b
a b a ab b
p)
2 2 2 2
2 3 3
a ab b a 2ab b
bab b a b
q) 2 2
2
x 5x 6 6x x 25
3x 15 2x 4x x 30
r)
2 2
2 2
x 2x 80 x 9x 10
x 100 x 4x 32
s) 2 2
2 2
a 13a 40 a 25
a 144 a 11a 12
t)
4 3 2 4 2
2 2
b 2b b b b
b 2b 3 b 9
u) 2
6xy 4xy
x 4 x 16
v)
2 2
3 2
x x 2 x 4x 4
x x x x
w)
2 2
2 2
n mn 1
n m n m
x)
2
2
3 2 2x 7x 3
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1
y) 2
2 2
4 2 5 x 4
1 x x 1x 1 x 3x 2
z) 2
1 3 3
x 2 x 2x 4
)
2 2y xx y
x y x y
)
a b a b ab
a b a b a b
) 4
2 2 2 2
x 1 1 1 11
x 1 x 1 x 1 x
)
2
2 41 1
z z
)
2 2
2 2
a b a b
b ab a
) 2 2
2 2
x y x y
x y x y
x xy y1
x y
) 2
5
4
2x1
1 x
2x 22x
1 x
)
6x 12x 1
x 2
x 511x 22
x 4x 2
x 7
10.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 11
3
p
p
b) 053
4
x
c) 2x 5 3x 6
45 3
d) 2
x31
3
x2
e) 2
5
12
2 xxx
f) 2x x 7
3x5 10 4
g) 10x 1 16x 3
4 4x6 4
51
h)
3
6
4
3
5
1
3
2 xx
i) 4
5
6122
2
xxx
j) 3x 2 9x 14
54 12x
k) 8x - 65 = -x2
l) 2x2 + 7x - 4 = 0
m) (x+4)2 = 2x(5x–1)-7(x–2)
n) (x - 2)3 - (x - 3)3 = 37
o) 21
6
1
3
1
5
xxx
p) 2
2
2 6x 2
3 3x 19x 1
q) 11x
x1
2
r) zz 4 2
s) 0672 pp
t) 13
2
19
6
3
22
2
xx
x
u) 2 x 1 3 2x 152x 5 3
2x 6 x 3 8 4x 12
v) 3x33x5
w) 1x2x22
x) 5 x 5 3 7
y) x 2 x 2 2x
z) 2x 5 1 x 3
aa) 3 62x 1 x 1
bb) 3x 2
x 2
cc) 4 10 x 6 4 x
dd) 24x 15 2x 1
ee) x 4 x 1 5
ff) x 7 x 1 2 x 2
gg) 2
x 4 x 1x 1
hh) 6
x 14 x 7x 7
ii) 2 2 2
4x 5 2x 3 2x 5
15x 7x 2 12x 7x 10 20x 29x 5
52
UNIDAD III SISTEMAS DE ECUACIONES E
INECUACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ecuaciones de Primer Grado.
Sea la expresión ax + b = c
La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de primer grado y la letra x se
llama incógnita. Cada una de las expresiones que se encuentran al lado del signo
igual se llaman miembros de la ecuación. La expresión que está a la izquierda
del signo igual se llama primer miembro y la que está a la derecha se llama
segundo miembro.
Resolver una ecuación es hallar el número que la convierte en una igualdad
numérica. Una solución de la ecuación ax + b = c, es un número que
sustituyéndolo por x convierte la ecuación en una igualdad numérica.
Problemas Resueltos
1.- Las edades de Julián y José suman 75 años. Si Julián tiene tres años más que
José ¿Cuántos años tiene cada uno?
Solución: Sea x = edad de José; entonces la edad de Julián es x + 3,
Luego: (edad de José) + (edad de Julián) =75
x + (x + 3) = 75 x + x + 3 = 75
2x + 3 = 75 2x = 75 – 3
x = 72/2 x = 36
José tiene 36 años y Julian 39 años
2.- La suma de tres números consecutivos es 24. ¿Cuáles son los números?
Solución: Sea w = número menor, luego, los otros números son:
W + 1 y w + 2 w + (w + 1) + (w + 2) = 24
w + w + 1 + w + 2 = 24 3w + 3 = 24
3w = 24 - 3 3w = 21 w = 7
Los números consecutivos son: 7, 8 y 9
53
Ecuación de Segundo Grado
La ecuación ax2 + bx + c = 0, donde a y b son números reales con a 0,
se denomina ecuación de segundo grado de variable x.
Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Resolver una ecuación de
segundo grado es encontrar los dos valores de la incógnita que la satisfacen. A
estos valores se les denomina raíces o ceros de la ecuación. Aún cuando las
raíces de una ecuación de segundo grado pueden no pertenecer a , en este
texto asumiremos que las raíces son reales.
Las ecuaciones de segundo grado pueden resolverse mediante uno de los
siguientes métodos:
1. Método de Factorización.
La ecuación ax2 + bx + c = 0. puede resolverse factorizando, según las
técnicas estudiadas con anterioridad.
Ejemplo: Resolver la ecuación x2 + 5x + 6 = 0
La expresión x2 + 5x + 6 puede escribirse como el producto de dos binomios:
(x + 3) y (x + 2); así:
x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) = 0
Entonces: (x + 3) = 0 ó (x + 2) = 0
x = -3 ó x = -2
Luego, para x2 + 5x + 6 = 0 las soluciones o raíces son: x1 = -3 y x2 = -2
2. Método de la Fórmula General de la Ecuación de Segundo Grado o
de la Resolvente.
La fórmula general, o resolvente, para resolver ecuaciones de segundo grado
parte de la forma general, ax2 + bx + c, de la ecuación cuadrática, para
llegar a una expresión que permite agilizar el proceso de obtener la solución.
Considera la ecuación:
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Si dividimos toda la ecuación por a: 02 a
cx
a
bx
Pasando el término independiente al segundo miembro: a
cx
a
bx 2
54
A fin de formar un cuadrado perfecto en el primer miembro, sumamos la mitad del
coeficiente del segundo término elevado al cuadrado:
2
2
2
2222
a4
bac4
a4
b
a
c
a2
b
a
c
a2
bx
a
bx
La expresión anterior es equivalente a:
2
22
4
4
2 a
acb
a
bx
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros:
a
acb
a
bx
2
4
2
2
Despejando a x:
a
acb
a
bx
2
4
2
2
Finalmente se obtiene: a2
ac4bbx
2
que es la fórmula general, para resolver una ecuación de segundo grado.
Ejemplo:
Resolver la Ecuación 792 2 xx = 0 usando la fórmula general.
Solución:
En esta ecuación tenemos: a = 2 , b = 9 , c = 7
Sustituimos estos valores en la forma original.
22
72499 2
.
..x
4
56819 x
4
259 x
4
59 x
14
4
4
591
x ^
2
7
4
14
4
592
x
es decir, las raíces o soluciones de la ecuación, son:
x1 = -1 ^ x2 = -7/2 Compruébalo!
55
Discriminante de la Ecuación de Segundo Grado:
Consideremos la ecuación de segundo grado 02 cbxax , donde a es
diferente de cero, y la formula general:
a2
ac4bbx
2
Se denomina discriminante de la ecuación de segundo grado a la cantidad
subradical:
D = b2 - 4ac
Veamos como son las raíces de la ecuación según cual sea el discriminante:
1. Positivo D = b2 – 4ac > 0
2. Cero D = b2 – 4ac = 0
3. Negativo D = b2 – 4ac < 0
Caso 1: b2 – 4ac > 0
Si el discriminante b2 – 4ac, es positivo, su raíz cuadrada es un número real.
Por tanto, las raíces de la ecuación son reales y distintas.
Caso 2: b2 – 4ac = 0
Si el discriminante b2 – 4ac, es cero, la raíz cuadrada es cero. Por tanto, las
raíces de la ecuación son reales e iguales.
Caso 3: b2 – 4ac < 0
Si el discriminante b2 – 4ac, es negativo, su raíz cuadrada no es un número
real y por consiguiente las raíces de la ecuación no son números reales.
Como hemos visto, b2 – 4ac permite “discriminar” la naturaleza de las ra ces.
De allí que se justifique el nombre que se le ha dado.
Aplicaciones de la ecuación de segundo grado.
Hallar dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea – 60.
Solución:
Llamamos x e y a dichos números, entonces:
11 yx
60xy
56
Despejemos y en la primera ecuación: xy 11 , sustituyámoslo en la
segunda ecuación:
6011 )x(x 6011 2 xx
060112 xx 060112 xx
resolviendo la ecuación:
a
acbbx
2
42
12
60141111 2
.
).(.)()(x
2
24012111 x
2
36111x
2
1911x
152
30
2
19111
x ^ 4
2
8
2
1911
x
Así, si x = 15 entonces y = -4 y si x = -4 entonces y = 15
Ecuaciones con Radicales:
Ecuaciones tales como:
31 1; 2 3; 3 1 2 1 0x x x x
son llamadas ecuaciones con radicales.
Para resolver una ecuación con radicales se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se “despeja” un radical en un miem ro.
011 x 11 x
2. Se elevan ambos miembros a un exponente igual al índice del radical
despejado.
22
11 x 11 x
3. Si existen más radicales se repiten los pasos 1 y 2.
4. Se resuelve la ecuación:
2x11x
5. Por cuanto al elevar a un exponente pueden introducirse “soluciones extrañas”,
es necesario comprobar el valor encontrado en la ecuación original. Si la satisface,
ésa será la solución.
57
011 x sustituimos x por 2
0112 1 – 1 = 0 ¡ 0 = 0 !
Ejemplo: Resuelva la ecuación 0243 xx
1. Despejamos un radical
xx 243
2. Elevamos cada miembro al cuadrado
22
243 xx
3. Resolvemos la ecuación
4 = 4x - 3x 4 = x
4. Comprobamos
042443 ).( 022412 .
0416 ¡ 4 - 4 = 0 !
.
Sistema de dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas y
aplicaciones
Se denomina sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas a la reunión de
dos ecuaciones de primer grado en X e Y, así:
0
0
222
111
CyBxA
CyBxA
es un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La solución de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas que
satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Ejemplo: Resolver el sistema:
054
01332
yx
yx
La solución del sistema es: x = 2, y = 3, comprobando:
0532.4
0133.32.2
Los métodos de solución de sistemas de ecuaciones mas usuales son: método de
sustitución, de igualación y de reducción o de suma y resta, los cuales se explican
a continuación.
58
Método de sustitución
Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x,
en una de las ecuaciones. Luego, sustituirla en la otra ecuación y obtenemos una
sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor,
nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
II 01325
I 063
yx
yx
1.) Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, digamos x en la
ecuación ( I ), así:
63 yx
2.) Sustituir la expresión obtenida en la ecuación ( II ):
0132635 yy
3.) Resolver la ecuación obtenida y despejar la incógnita (y):
1
1717
01323015
y
y
yy
4.) La solución obtenida, la sustituimos en la expresión despejada en 1.) y
obtenemos la otra incógnita:
3613 x
5.) Finalmente la solución (x, y) del sistema de ecuaciones es:
1 3,
1y 3
ó
yx
Método de igualación
Este método consiste en despejar una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x,
en ambas ecuaciones. Luego, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad
obtenemos una sola ecuación con una incógnita (y), la cual despejamos y
tenemos su valor, nuevamente por sustitución sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
II 086
I 01157
yx
yx
1.) Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, por ejemplo x:
59
86 :(II)
7
115 :(I)
yxde
yxde
2.) Se igualan las dos expresiones obtenidas:
867
115
y
y
3.) Se resuelve la ecuación obtenida:
1
5757
1564215
5642115
867115
y
y
yy
yy
yy
4.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo
la expresión obtenida en el paso 1.) de la ecuación (II):
2
86
816
86
x
x
x
yx
5.) Se escribe la solución del sistema:
1- 2,-
1y 2
ó
yx
Método de reducción
Este método consiste en transformar las ecuaciones, de tal manera de igualar los
coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Luego,
sumamos ó restamos las ecuaciones y obtenemos una sola ecuación con una
incógnita (y), la cual despejamos y tenemos su valor, nuevamente por sustitución
sabemos el valor de la incógnita x.
Ejemplo:
II 043
I 02
yx
yx
1.) Se busca el m.c.m. de los coeficientes de una de las incógnitas, por ejemplo
(y): m.c.m. (1, 3) = 3
2.) Se divide el m.c.m. entre cada coeficiente de la incógnita seleccionada:
60
En (I) 3 : 1 = 3 En (II) 3 : 3 = 1
3.) Se multiplica cada ecuación por el resultado obtenido:
II 043
I 02
1
3
yx
yx
043
0633
yx
yx
4.) Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la
incógnita seleccionada tiene igual signo:
5
102
010 2
043
0633
x
x
x
yx
yx
5.) Se sustituye la solución obtenida en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo
la ecuación (I), y se despeja la otra incógnita:
3
03
025
02
y
y
y
yx
6.) Se escribe la solución del sistema:
3 5,
3y 5
ó
yx
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en la
resolución de problemas
Los sistemas de ecuaciones pueden utilizarse para resolver muchos problemas
prácticos. El proceso radica en transformar el planteamiento de dicho problema en
ecuaciones lineales. Básicamente, se deben seguir estos lineamientos:
a) Identificar las incógnitas y los datos.
b) Expresar mediante ecuaciones los planteamientos del problema.
c) Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
d) Verificar que las soluciones obtenidas, satisfagan las condiciones del
problema planteado.
61
Ejemplo: El perímetro de una parcela rectangular es 400 metros, si uno de los
lados es 50 metros mayor que el otro lado.¿Cuánto mide cada lado?
Solución:
a) Identificamos las incógnitas y los datos:
Incógnitas:
Sean: x = longitud de uno de los lados
Y = longitud del otro lado
Datos:
El perímetro es: 400 m
La diferencia de los lados es: 50 m
b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema:
50
40022
yx
yx
c) Resolvamos el sistema: (método de sustitución)
(II) 50
(I) 40022
yx
yx
De (II), se despeja x: yx 50
Se sustituye en (I):
754
300y
100-4004y
4002y2y100
4002502
yy
Se obtiene la otra incógnita de (II): 125
7550
x
x
d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema:
5075125
4007521252
Respuesta: El rectángulo tiene: 125 metros de base (x) y 75 metros de altura (y).
x
y
62
Ejemplo: Un productor compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514 en total y otro
compró 8 vacas y 9 caballos por $ 818 en total. ¿Cuál es el costo de cada vaca y
caballo?
Solución:
a) Identificamos las incógnitas y los datos:
Incógnitas:
Sean: x = costo de cada vaca
Y = costo de cada caballo
Datos:
4 vacas mas 7 caballos cuestan $ 514
8 vacas mas 9 caballos cuestan $ 818
b) Expresamos mediante ecuaciones los datos del problema:
81898
51474
yx
yx
c) Resolvamos el sistema: (método de reducción)
(II) 81898
(I) 51474
yx
yx
Se busca el m.c.m. de x: m.c.m. = (4, 8) = 8
En (I), se multiplica por: 8 : 4 = 2
En (II), se multiplica por: 8 : 8 = 1
818 98
028.1148
81898
51474
1
2
yx
yx
yx
yx
Se restan las ecuaciones, para simplificar la incógnita x:
42
5
210
210 5
818 98
028.1148
y
y
y
yx
yx
63
Se obtiene la otra incógnita de (I): 51474 yx
554
220
2945144
5144274
x
x
x
d) Verificamos que las soluciones satisfacen las condiciones del problema:
818429558
514427554
Respuesta: cada vaca cuesta $ 55 (x) y cada caballo $ 42 (y).
Sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas
Se denomina sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas a la reunión de
tres ecuaciones de primer grado en X, Y y Z, así:
3333231
2232221
1131211
DzCyBxA
DzCyBxA
DzCyBxA
es un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Para resolver este
sistema, aplicaremos cualquiera de las técnicas estudiadas para la solución de los
sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas:
Ejemplo:
III 1z2yx2
II 1zy2x
I 4zyx
1.- Se busca eliminar dos variables, usando el método de reducción:
III 1z2yx2
II 1zy2x
I 4zyx
III 1z2yx2
II 1zy2x
I 4zyx
2.- Se restan término a término las ecuaciones resultantes, debido a que la
incógnita seleccionada tiene igual signo:
64
3z6 z2-
III 1z2yx2
II 1zy2x
I 4zyx
3.- Se sustituye la solución obtenida en el sistema de ecuaciones:
III 5yx2
II 4y2x
I 1yx
4.- Se asocian dos ecuaciones para obtener el valor de una incógnita y luego con
la tercera se obtiene el valor de la otra incógnita:
Por ejemplo, sumando (I) y (III) se obtiene: 3x = 6 x = 2
Sustituyendo en la ecuación (II) -2y = 2 y = -1
Inecuaciones lineales y no lineales
Es una desigualdad que tiene una variable en su enunciado. La solución de esta
inecuación es el conjunto (intervalos) de valores de la variable que hacen cierta la
desigualdad planteada.
Sea la función f(x) = ax + b, con a > 0 y b R. Tenemos que f(x) = 0, si a
bx .
Además como f es una función creciente f(x) < 0, si a
bx y f(x) > 0, si
a
bx .
Esto lo podemos resumir en la siguiente tabla de variación de signos.
),(a
b
),(
a
b
Signo de (ax + b) - +
La tabla nos da la siguiente información:
f(x) = ax+b < 0, si x )a
b,(
f(x) = ax+b 0, si x a
b,(
f(x) = ax+b > 0, si x ),a
b(
65
f(x) = ax+b 0, si x ),a
b
Ejemplo: Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones.
a) 5x + 4 > 2x + 6
5x + 4 > 2x + 6 5x - 2x > 6 - 4 3x > 2 x > 2/3
Solución: 2 2
, x / x3 3
b)
x 30
x 3
x + 3 0 x -3 x - 3 0 x 3
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.
x 3 x 3
x 3
x 3
Solución: , 3 3 , x / x 3 x 3
Para resolver la inecuación
f(x) = ax2 + bx + c, a > 0, b, c números reales. Tenemos tres casos:
1° caso: Sean m < n las raíces reales de f(x), esto nos permite factorizar al
polinomio f(x), así
f(x) = a (x – m)(x – n) para construir la tabla de variación de signos, si a > 0,
tenemos:
( - , m ) ( m, n ) ( n , )
Signo de a + + +
Signo de ( x – m) - + +
Signo de ( x – n) - - +
Signo de f(x) + - +
La tabla nos da la siguiente información
66
f(x) < 0, si x ( m , n )
f(x) 0, si x m , n
f(x) > 0, si x (- , m ) ( n , )
f(x) 0, si x (- , m n , ).
2° caso: Sean m = n las raíces reales de f(x), a > 0, entonces 2
)x( )mx(af , así:
f(x) > 0, para x (- , m ) ( m , )
f(x) 0, para x R
f(x) < 0, para x
f(x) = 0, para x = m
3° caso: Sean m y n las raíces imaginarias de f(x), entonces m = c + di y n = c – di,
donde i es la unidad Imaginaria.
Así f(x) = a( x – (c + di))( x – ( c – di)) = a((x –c) – di)((x –c) + di) = a((x –c)2 - (di)2) =
a((x –c)2 + d2) > 0, para todo x en R. En conclusión: Un polinomio de segundo
grado f(x), con primer coeficiente positivo y raíces imaginarias, es positivo para
cualquier valor real de x.
Lo expuesto anteriormente nos permite resolver las siguientes inecuaciones:
0)2x)(1x(
)2
1x()1x(2
f02xx2x
1x4x5x2f
2
2
)x(23
23
)x(
.
Estudiemos los signos de f(x), mediante la siguiente tabla de variación de signos:
(- , - 2)
2
1,2
1,
2
1
),1(
Signo de 2 + + + +
Signo de 2)1x( + + + +
Signo de )
2
1( x
- - + +
Signo de )1x( 2 + + + +
Signo de (x + 2) - + + +
Signo de f(x) + - + +
67
Luego la solución de la inecuación es
2
1,2S , es decir, si x
2
1,2
entonces f(x) < 0.
2.
3
1,
3
1:sol01x3x9x27 23
Sistemas de Inecuaciones en una variable
Resolver el sistema es hallar el conjunto (intervalos) solución de cada una de las
inecuaciones planteadas e intersectarlas; es decir, hallar el conjunto (intervalos)
de valores de la variable que satisface simultaneamente a todas y cada una de las
inecuaciones que forman parte del sistema.
Ejemplo: Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.
2
2
2
x 5 x 3 2x0 I
x 2 x 2 x 4
x 5 xII
4 4x 1
Procedemos a resolver cada una de las inecuaciones y luego intersectamos sus
soluciones, para hallar el conjunto solución del sistema.
(I) 2
2
x 5 x 3 2x0
x 2 x 2 x 4
2
2
x 5 x 2 x 3 x 2 2x0
x 4
8x 40
x 2 x 2
8x 40
x 2 x 2
8x + 4 = 0 x = - ½ x + 2 0 x -2 x - 2 0 x 2
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.
68
12x 2 x x 2
x 2
8x 4
x 2
Solución: (I) = 1 12 2( 2, 2 , x / 2 x x 2
(II) 2x 5 x
4 4x 1
2x 5 x0
4 4x 1
2x 5 4x 1 4x0
4 4x 1
19x 50
4 4x 1
19x - 5 0 x 5/19 4x - 1 0 x ¼
Los valores obtenidos los llevamos a la recta real y realizamos un estudio de
signos. Este nos permitirá conocer en cual(es) intervalo(s) real se cumple la
desigualdad planteada.
514 19x x
4x 1
19x 5
Solución: (II) = 5 51 14 19 4 19, x / x
La solución del sistema viene dada por la intersección de las soluciones (I) y (II); lo
cual da como resultado un conjunto vacio; ya que las soluciones parciales no
tienen elementos comunes.
(I) (II) = 51 12 4 19( 2, 2 , ,
Valor absoluto de un número real.
El VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL x es un número denotado porx
y definido así:
0,
0,
xsix
xsixx
69
Algunas propiedades del valor absoluto.
1. 0x0x 2. x,0x 3. xx 4. yxxy
5. y
x
y
x 6. yxyx 7. xyyx 8. yxyx
9. Para r 0, se tiene que: rxrrx
10. Para r > 0, se tiene que: rxrxrx .
EJERCICIOS PROPUESTOS. UNIDAD III
PROBLEMAS EN UNA VARIABLE LINEAL.
1.- Que número aumentado en sus 6
5 equivale a su triple disminuido en 14.
2.- El triple de un número excede en 48 al tercio del mismo. Hallar el número.
3.- La diferencia de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 324.
Hallar los números.
4.- La suma de dos números es 9 y su producto es 20.¿Cuál es el valor de la
suma de sus inversos?.
5.- Después de vender los 5
3 de una pieza de tela quedan 40m. ¿Cuál era la
longitud de la pieza?
6.- Si el inverso de p+1 es p-1, ¿Cuánto vale p?
7.- Al multiplicar un número por 8 y sumarle 12, resultó 16. ¿Cuál es el número?
8.- La suma de 3 números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.
9.- Dividir 196 en tres partes tales que la segunda sea el duplo de la primera y la
suma de las dos primeras exceda a la tercera en 20.
10.- En un terreno rectangular de 240 metros de ancho, se plantan 1600000 matas
de coco. Se estima una mata por cada 1,5 m2. ¿Cuantos kilómetros de largo tiene
el terreno?
11.- De las 120 aves que tengo, el número de gallinas es el triple que el de gallos
y el número de patos es la semisuma de los gallos y las gallinas. ¿Cuántas aves
de cada especie tengo?
70
12.- Si a los ¾ de mi edad le sumo la mitad de la misma, obtengo la edad que
tendré dentro de 4 años. ¿Qué edad tengo?
13.- La edad de un padre es el triple de la de su hijo. La edad que tenía el padre
hace 5 años era el duplo de la edad que tendrá su hijo dentro de 10 años. Hallar
las edades.
14.- Julia tiene 48 años y su hija mayor 18. Halla el número de años que deben
transcurrir para que Julia tenga el doble de la edad de su hija.
15.- Un padre tiene 60 años y sus dos hijos 16 y 14 años. ¿Dentro de cuantos
años la edad del padre será igual a la suma de las edades de los hijos?
16.- Armando tiene 2/3 de lo que tiene Melva y Jesús tiene 3/5 que lo que tiene
Armando. Si juntos tienen 24800 bolívares, entonces ¿cuánto tiene Jesús?
17.- Para coser un traje, una costurera toma un hilo de 37 cm de longitud y lo pica
en tres pedazos, de manera que cada hilo que pica tiene una longitud de ¼ menos
que la longitud del hilo anterior. ¿Cuáles son las longitudes de cada trozo de hilo?
18.- Un comerciante vendió los ¾ de una pieza de tela y regaló los 2/5 de la tela
que quedaba. ¿Cuántos m2 media la tela inicialmente si al final sobraron 18 m2?
29.- Una sociedad de 12 personas había de pagar 1224 mil bolívares. Un grupo no
pagó y los demás han pagado cada uno 34 mil bolívares más de lo que les
correspondía para cubrir la parte del grupo que no pagó. ¿Cuántas personas
constituyen el grupo que no pagó?
20.- A un trozo de cable se le ha cortado su tercera parte, su quinta parte y su
sexta parte. ¿Cuánto cable resta?
21.- Un sistema de cableado eléctrico requiere de tres secciones de cable, donde
cada una de las secciones debe ser 2/3 más larga que la sección que la precede.
Si se tienen 588 metros de cable, ¿cuál es la medida de la sección más larga?
22.- Una persona efectúa 5 pagos de un préstamo. Si cada pago es el doble del
anterior, y si en total se pagaron 465 mil bolívares. ¿Cuánto fue el primer pago?
23.- Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres diferentes. La tercera parte del
número de reyes llevó el primero de esos nombres, la cuarta parte el segundo
nombre, la octava parte el tercer nombre, la doceava parte el cuarto nombre y
71
cada uno de los nombres restantes lo llevó un solo rey. ¿De cuantos reyes
constaba la dinastía?
24.- Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos mas por
el mismo precio, cada caballo la habría costado 10 bs menos. ¿Cuánto le costó
cada caballo?
25.- Seis personas iban a comprar una casa, contribuyendo por partes iguales;
pero dos de ellas desistieron del negocio. Por esto cada una de las restantes tuvo
que contribuir con 200 bs más. ¿Cuál es el valor de la casa?
PROBLEMAS EN UNA VARIABLE CUADRÁTICA.
26.- La suma de dos números consecutivos elevada al cuadrado es 49. ¿Cuáles
son los números?
27.- El cuadrado de la suma de dos números consecutivos es 2025. ¿Cuál es el
mayor de los dos números?
28.- La mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números pares
consecutivos es 162. Hallar los números.
29.- La base de un rectángulo es el cuádruple de su altura y su área es igual a
2500 cm2. Hallar el perímetro del rectángulo.
30.- Un salón rectangular tiene 1 metro de largo más que de ancho. Si se
aumentan ambas dimensiones en 2 metros, el área aumenta en 10 m2. ¿Cuáles
eran las dimensiones originales del salón?
31.- La edad de Ana incrementada en 6 años da un cuadrado perfecto. Su edad
disminuida en 6 años da la raíz cuadrada del cuadrado perfecto. ¿Qué edad tiene?
32.- Se desea fabricar una caja sin tapa, de base cuadrada, cortando cuadrados
de 3 centímetros de lado en las esquinas de una lámina cuadrada y doblando
hacia arriba los lados. Para que la caja tenga un volumen de 48 cm3, ¿cuánto
debe medir el lado de la lámina?
33.- El cuadrado de un número positivo menos el doble del número es igual a 48.
Encuentre el número.
34.- El ancho de un rectángulo es 5 cm menos que su largo. El área es 24 cm2.
Encuentre las dimensiones.
72
35.- En un patio rectangular se construye una piscina de 11 m por 8 m. El área del
patio es de 1120 m2. Si el piso alrededor de la piscina tiene un ancho constante,
¿cual es este ancho?.
PROBLEMAS CON RADICALES.
36.- La fórmula h2,1V es una ecuación radical que aproxima la distancia (V)
en millas que una persona puede ver al horizonte desde una altura de h pies.
Elabora una fórmula para aproximar la altura. ¿A qué altura se encuentra una
persona que puede ver a 72 millas en el horizonte?.
37.- La fórmula 22
hrrS permite calcular el área de superficie de un cono,
dados su radio (r) y su altura (h). Resuelve la fórmula para h. ¿Cuánto vale h
cuando S = 15 y r = 3?.
38.- La fórmula sg2v representa la velocidad (v) de un objeto que ha caído a
una distancia de s pies, donde g es la aceleración debida a la gravedad.
Resuelve la fórmula para s y calcula s para un objeto que cae con una velocidad
de 32g.
39.- El radio de un generador Van de Graaff que puede reunir una carga máxima
de Q coulombs en su superficie está dado por Q10826,1R2
. Resuelve la
fórmula para Q, y encuentra Q para un generador con un radio de 1,5 m.
PROBLEMAS EN VARIAS ECUACIONES Y VARIABLES.
40.- Un hacendado compró 4 vacas y 7 caballos por $ 514, y más tarde a los
mismos precios, compró 8 vacas y 9 caballos por $ 718. Hallar el costo de una
vaca y de un caballo.
41.- Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es
316, y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83.
Hallar los números.
42.- El doble de la edad de A excede en 50 años a la edad de B, y ¼ de la edad
de B es 35 años menor que la edad de A. Hallar ambas edades.
43.- Antes de una batalla, las fuerzas de dos ejércitos estaban en la relación de 7
a 9. El ejército menor perdió 15000 hombres en la batalla y el mayor 25000
73
hombres. Si la relación ahora es de 11 a 13, ¿cuántos hombres tenía cada ejército
antes de la batalla?
44.- En una granja se crían gallinas y conejos. Si en total hay 30 animales y 76
patas, ¿cuántos animales hay de cada especie?
45.- Una cafetería compra 42 litros de leche en botellas de 1 y de 2 litros. Si se
compran igual número de botellas de 1 y 2 litros, ¿cuántas botellas se compran?
46.- En un almacén hay dos tipos de lámparas. La lámpara tipo A que utiliza 3
bombillos y la lámpara tipo B que utiliza 4 bombillos. Si en el almacén hay 60
lámparas y 220 bombillos, entonces, si se armaran todas las lámparas utilizando
todos los bombillos, ¿cuántos bombillos se usarían en las lámparas tipo A?
47.- En una tarde asistieron a un museo 600 personas. La entrada para adultos
vale 500 bs y la de niños vale 200 bs. Si la recaudación fue de 195000 bs,
¿cuántos niños asistieron al museo?
48.- A le dice a B: si me das un bolívar tendremos igual cantidad. B le dice a A: si
me das un bolívar tendré el doble que tu. ¿Qué cantidades tienen?
49.- En una prueba de 30 preguntas, cada pregunta bien resuelta se califica con 3
puntos; mal resuelta resta 2 puntos. Si la puntuación final es de 25 puntos, ¿cuál
fue el número de respuestas buenas?
50.- Se tienen un matraz y un tubo de ensayo. Al pasar 2 cc de agua del matraz al
tubo, ambos quedan con la misma cantidad de líquido. Pero al pasar 2 cc de agua
del tubo al matraz, este queda con el doble de líquido que el tubo. ¿Cuál es el
contenido original de agua del matraz?
51.- Un caballo transportaba una pesada carga al lado de una mula y vencido por
el peso se lamenta a. “¿De ué te uejas? Dijo la mula: si yo tomase uno de tus
sacos, mi carga sería el doble de la tuya y, si tu llevases uno de los míos, mi carga
ser a entonces i ual a la tuya”. ¿Cuántos sacos cargaba cada animal?
52.- El año pasado la edad de Rosa Elena era 10 veces la edad de su hija y dentro
de 15 años será el doble. ¿Cuántos años tiene cada una actualmente?
53.- Un coleccionista de pinturas compra en una subasta un total de 35 unidades,
unas le costaron 10000 bs c/u y otras a 35000 bs c/u. Si hace una venta por un
74
monto total de 1760000 bs, ganándose el 10% sobre el valor de la compra,
¿cuántas pinturas de cada una vendió?
54.- En una venta de empanadas se venden las de chorizo en 5 bs y las de
pabellón en 7 bs. La venta de 90 empanadas ha generado 566 bs. ¿Cuántas
empanadas de chorizo se vendieron?
55.- Un señor tiene 3600000 bs en dos clases de bonos. Unos le generan el 11% y
los otros el 9% de interés anual. Si recibe 324000 bs en intereses al año, ¿qué
cantidad está colocada a cada tipo de interés?
56.- En un examen de 60 preguntas, Julio omite 4 de ellas. Si la tercera parte de
las preguntas que contestó correctamente es igual al número de las que contestó
incorrectamente, ¿en cuantas preguntas se equivocó Julio?
57.- Una empresa vende 48 paquetes de producto A y 24 paquetes de producto B
por un valor total de 600000 bolívares. Si el producto B cuesta la mitad del valor
del producto A. ¿Cuánto cuesta el producto A?
58.- El doble de un número es igual al triple del otro, si al multiplicar los números
se obtiene 72; ¿cuáles son los números?
59.- En una ferretería 12 galones de pintura y 6 brochas cuestan 400 bs. Si el
dueño del local aplica un descuento de 30% sobre el costo de los galones de
pintura, el precio final es de 364 bs. ¿Cuál es el valor original de los galones de
pintura?
60.- La diferencia en la medida del largo de dos rollos de tela es 125 metros y el
cociente entre esas longitudes es de 6 metros. ¿Cuál es la longitud de cada rollo?
61.- La suma de tres números es 105. El tercero es 11 menos que diez veces el
segundo. Dos veces el primero es 7 más que tres veces el segundo. Calcula los
números.
62.- La suma de tres números es 57. El segundo es 3 más que el primero. El
tercero es 6 más que el primero. Encuentra los números.
63.- La suma de tres números es 5. El primer número menos el segundo más el
tercero es 1. El primero menos el tercero es 3 más que el segundo. Calcula los
números.
75
64.- La suma de tres números es 26. Dos veces el primero menos el segundo es 2
menos que el tercero. El es el segundo menos tres veces el primero. Calcula los
números.
65.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están trabajando
producen 222 trajes por dia. Si A y B trabajan, pero C no, producen 159 trajes por
dia. Si B y C trabajan, pero A no, producen 147 trajes por dia. ¿Cuál es la
producción diaria de cada máquina?.
66.- En una fábrica hay tres máquinas pulidoras, A, B y C. Cuando las tres están
en operación se pueden pulir 5700 lentes en una semana. Cuando solo A y B
están en operación, se pueden pulir 3400 lentes en una semana. En cambio,
cuando solo B y C trabajan, se pueden pulir 4200 lentes en una semana.
¿Cuántos lentes puede pulir cada máquina en una semana?.
67.- En una fábrica hay tres máquinas, A, B y C. Cuando las tres están en
operación, producen 287 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y C
funcionan, producen 197 tornillos por hora. Cuando solo las máquinas A y B están
en operación producen 202 tornillos por hora. ¿Cuántos tornillos por hora puede
producir cada máquina por separado?.
68.- Las sierras de agua A, B y C pueden producir 7400 metros cuadrados de
tabla en un dia. A y B juntas pueden producir 4700 metros cuadrados, mientras
que B y C pueden producir 5200 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados
puede producir cada sierra de agua por separado?.
69.- Cuando las bombas A, B y C operan a un mismo tiempo, pueden bombear
3700 litros por hora. Cuando solo las bombas A y B están trabajando, se pueden
bombear 2200 litros por hora. En cambio, cuando solo las bombas A y C están en
operación, se pueden bombear 2400 litros por hora. ¿Cuál es la capacidad de
cada bomba?.
70.- David y Carla pueden soldar 27 metros lineales por hora cuando trabajan
juntos. Tomas y David, juntos, pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras
que Tomas y Carla, juntos, pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuantos
metros lineales por hora puede soldar cada uno de ellos por separado?.
76
71.- Los trabajadores A y B pueden producir 59 paneles de circuitos por hora,
cuando trabajan juntos. Cuando A y C trabajan juntos, pueden producir 58 paneles
de circuitos por hora, mientras que si B y C trabajan juntos pueden producir 55
paneles de circuitos por hora. ¿Cuántos paneles por hora produce cada uno?.
72.- En una empresa se cuenta con tres impresoras. Cuando las impresoras A y B
trabajan juntas, imprimen 2900 páginas por hora, mientras que B y C operando
juntas, imprimen 3050 páginas por hora. En cambio cuando solo A y C trabajan,
imprimen 2550 páginas por hora. ¿Cuantas páginas por hora imprime cada una?.
73.- Patricia recogió fresas durante tres dias. En total recogió 87 Kg. El martes
recogió 15 Kg más que el lunes. El miércoles recogió 3 Kg menos que el martes.
¿Cuántos Kg recogió en cada dia?
74.- Gina vende revistas. El jueves, viernes y sábado vendió en total 66 bolívares.
El jueves vendió 3 bolívares más que el viernes. El sábado vendió 6 bolívares más
que el jueves. ¿Cuánto vendió en cada dia?.
75.- Cristina obtuvo un total de 225 puntos en tres exámenes. La suma de las
calificaciones del primero y el tercero de ellos excede su tercera calificación en 61
puntos. Su primera calificación supera a la segunda en 6 puntos. Encuentra las
tres calificaciones.
76.- Una compañía de carga transportó tres tipos de flete en su transporte aéreo
ligero. El espacio requerido por cada unidad de los tres tipos de carga era de 5, 2
y 4 pies cúbicos, respectivamente. Cada unidad de los tres tipos de carga pesó
2, 3 y 1 kilogramo, respectivamente; mientras que los valores unitarios de los
tres tipos de carga fueron $ 10, $ 40 y $ 60, respectivamente. Determine el
número de unidades de cada tipo de carga transportada si el valor de la carga fue
de $ 13500, ocupó 1050 pies cúbicos de espacio y pesó 550 kilogramos.
77.- Usted invirtió un total de 20000 $ en tres inversiones al 6%, 8% y 10%. El
ingreso anual, por intereses, fue de 1624 $ y el ingreso, por intereses, de la
inversión al 10% fue dos veces el de la inversión al 6%. ¿Cuánto dinero invirtió a
cada interés?
78.- Un contratista dispone de 5000 horas – hombre de mano de obra para tres
proyectos. Los costos por hora hombre de los tres proyectos son de 8, 10 y 12 $,
77
respectivamente, y el costo total es de 53000 $. Si el número de horas – hombre
para el tercer proyecto es igual a la suma de las horas – hombre requeridas por
los primeros dos proyectos, calcule el número de horas – hombre de que puede
disponerse en cada proyecto.
79.- Un comerciante de café desea mezclar tres tipos de grano (A, B, C) en 10000
libras de una mezcla final. Los tres componentes cuestan 2,40 $, 2,60 $ y 2 $ por
libra respectivamente. El fabricante desea que la mezcla total cueste 21000 $. Al
mezclar el café una restricción establece que las cantidades usadas de los granos
componentes A y B sean iguales. ¿Cuántas libras debe usar de cada tipo de café?
80.- Una cafetería estudiantil tiene mesas de 4 asientos, 6 asientos y 10 asientos;
para un total de 24 mesas y 148 asientos. Con motivo de una fiesta estudiantil
especial, se emplearán la mitad de las mesas de 4 asientos, una cuarta parte de
las mesas de 6 asientos y una tercera parte de las mesas de 10 asientos, para un
total de 9 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo posee la cafetería?
81.- Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y
C. Cada onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de
grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3
unidades de proteína, 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada
onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2
unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25
unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos,
¿Cuántas onzas de cada comida se necesitan?
82.- Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina
C y 25 unidades de vitamina D por un total de $ 17,50; 200 unidades de
vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $
45,00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades
de vitamina D por $ 64,00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las
vitaminas A, C y D.
83.- Una compañía minera extrae x toneladas de cobre, y toneladas de plomo y
z toneladas de zinc al mes. En Abril vendió el 48% de su mineral de cobre, el 23%
de su mineral de plomo y el 20% de su mineral de zinc, con un total de 35963
78
toneladas, fuera del país. En Mayo vendió 15%, 68% y 12% de sus minerales de
cobre, plomo y zinc, respectivamente, fuera del país, y en Junio las cifras fueron
5%, 7% y 18%. Determine x, y, z si la compañía vendió al extranjero 30992
toneladas en Mayo y 9143 en Junio.
84.- Un distribuidor de productos agrícolas recibe tres pedidos de sus tres
productos, siendo especificados por la tabla siguiente:
Producto
Cliente
Semillas
(Kg)
Fertilizantes
(Kg)
Insecticida
(Unidad)
A 30 12000 50
B 25 10000 40
C 40 15000 55
El pedido del Sr. A es por la cantidad de 25620 $, el del Sr. B es por 21300 $ y el
del Sr. C por 31810 $. Calcular el precio de cada producto.
85.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
12 5 6 0
5 712
3 6
x y
x y
b)
7
6 3 24
5
2 6 12
x y y x
x x y
c)
3 4 30
6 23
9 63
3 37
x y
x y
x y
x y
d)
7 7
2 3 6 3 2 1
6 10
4 2
x y x y
x y y
e)
4 1 2 5
9 3
3 2 18
7 10
x yx
y xy
f)
3( 3 ) 21
5 6 17
4 72
2 1
x y
x y
x y
y
g)
0y5x4
5y2x3
h)
3x3
1xy
5y
7y
2x
2x
79
i)
11y
2
x
1
2y
1
x
2
j)
2y
1x
1y
x
1y2x
k)
13y4x3
8y3x2
l)
1yxy9x9
y4x4yx
m) 1 2
1 2
2x x 3
4x 5x 7
n)
4x3x2
9x6x3
21
21
o)
3 2 1
4 28
2 3 43
x y
z x
x y z
p)
27z6yx
38z5y2x3
35z4y3x7
q)
17z2yx
1zy2x
1zyx3
r)
5c6b5
3a3b4
2ca2
s)
5 3 11
10 10
15 2 7
x y z
x y z
x y z
t)
6 3 2 12
9 4 37
10 5 3 22
x y z
x y z
x y z
u)
3z2yx
6zy2x
3zyx2
v)
24
5
46
2
75
3
yx z
zy x
xz y
w)
0zyx
4zyx
2zyx
x)
0zyx
4zyx
2zyx
y)
5z2yx3
4zy4x
1zy3x2
z)
5x2x3
2xx
7xx
21
31
32
aa)
2zy2x3
9z7y5x2
6zy4x
bb)
2z3y4x4
0z9y8x10
3z3y4x2
80
cc)
31z
6
y
5
x
6
3z
4
y
2
x
3
6z
2
y
4
x
1
dd)
33z3y2x6
30z4y3x3
6z5yx4
ee)
5z2y12x15
3z2y9x5
7zy6x10
ff)
1zyx
1z6y6x4
4z12y3x2
gg)
3z2y3x6
1zyx2
4zyx4
hh)
2z3y5x
2zy3x7
1zy2x
86. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) 6 – 5x 7 b) 5x – 2 5 + 3x c) 1 + 3x 2x + 5
d) 1 + 2x < 6x e) x + 2 5 – 2x f) x + 4 > 2 – x
g) 3x – 1 < 9x 4
2
h)
x 2x 12x
2 3 12
i)
3x 2
2
+ 1 > -x
j) 4x 1
2
- 1 > 6x k) 8 – 2x – x2 > 0 l) 3x2 – 8x + 7 < 2x2 – 3x +1
m) 5x – x2 – 4 0 n)
3
x 1 < 6 o) 2x2 – 6x + 13 x2 +2x + 6
p) x 3
6 5x
2 q)
x 5
3x 1
> 4 r)
x 4
2 3x
< 5
87. Hallar el conjunto solución de los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) 3x 5 2x
4x 1 6
b)
4 x 54x 2x
2
2x 11 2
3
c)
3x 1 2 x 2
2 3 3
x 3x 2
2
81
d) 3x 4 x 1
2x 5 x 4
e)
10 5x 5
3 2x 1
f)
2 x 5x 2x
3 4
2 x3xx 8
4 5
g)
3x 5 2x
4 3
4x 1 6
h)
x4x 5 3x 4
3
4x 3 3 x5x 4 5
2 4
i)
105
x
42
x 2
j)
3x 4 3 7x
2 4
84
x 5
k)
2 43 1
x x
5x 3 2x 3
l)
4x3
x 2
16x 1 2x
3
m)
x 4 2 x
x 32
6 5x
n)
x 54
3x 1
2x 1 x 7
o)
2x 3 1
x 2 3
3x 2 4 x
p)
x 21
3 x
2 x1
x
q) 2x 7x 12 0
4x 5 2x 7
r)
3 2 3 2
3x 5 4x 8
x 5x 5x 3 x 6x x 6
82
UNIDAD IV: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Ángulos
Si se tiene un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la posición
estándar de ángulo se obtiene al tomar el vértice en el origen y hacer que el lado
inicial, l1, coincida con el eje x positivo. Si se gira l1, en sentido contrario a las
agujas del reloj hasta la posición terminal l2, el ángulo formado por las dos rectas
será positivo; mientras que si se gira en sentido contrario a las agujas del reloj,
será negativo.
Medida en grados
Se toma un círculo y se divide su circunferencia en 360 partes. El ángulo con
vértice en el centro determinado por una de estas partes tiene una medida de un
grado (escrito 1). Esta manera de medir ángulos se debe a los antiguos
babilonios; así como la subdivisión de un grado en sesenta minutos y cada minuto
en sesenta segundos. Una forma mas práctica de medir ángulos con mas
precisión que un grado es usando decimales en lugar de los minutos y segundos.
Por ejemplo se usa 40,5 en lugar de 40 30’.
A un ángulo de medida 90 se le llama ángulo recto. Un ángulo es agudo si
mide entre 0 y 90, y obtuso si mide entre 90 y 180. Dos ángulos son
complementarios si sus medidas suman 90 y suplementarios si suman 180.
83
Medida en radianes
Otras medidas sumamente útiles de los ángulos son los radianes. Si se considera
un círculo unitario, su radio es igual a 1, este tiene una circunferencia igual a 2,
en vista de que la circunferencia de un círculo es 2r. Una rotación de 360 (una
revolución) mide 2 radianes. La mitad de una vuelta es una rotación de 180, o
radianes. Un cuarto de vuelta es una rotación de 90, o /2 radianes y así
sucesivamente. Esto es,
902
180
3270
2
2 360
radianes
radianes
radianes
radianes
Cuando una rotación se indica en radianes, la pala ra “radianes” es opcional y a
menudo se omite. Así cuando no se indica ninguna unidad para una rotación, se
entiende que esta se da en radianes.
Ejemplo: convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso.
a) 35° a radianes
Solución: 180
35 ?
radianes
? 35° * 180
radianes =
36
7 0,1944
b) 726° a radianes
Solución: 180
726 ?
radianes
? 726° * 180
radianes =
30
121 4.0333
84
c) 16
3 a grados
Solución:
180
3?
16
radianes
radianes
? 3
16radianes *
radianes
180
= 33,75°
d) 0,35 a grados
Solución: 180
0,35 ?
radianes
radianes
? 0,35 radianes * radianes
180
= 63°
Ángulos Notables.
Llamamos ángulos notables a una serie de valores angulares, en los que se divide
el plano, que nos facilita el trabajo con las razones trigonométricas. Estos ángulos
son el resultado de dividir cada cuadrante en tres porciones (división en tramos de
30°) o en dos porciones (división en tramos de 45°). Algunos de estos ángulos
notables son: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°.
Razones Trigonométricas
85
Las razones trigonométricas circulares del ángulo se originan de las relaciones
existentes entre la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de una
circunferencia y el radio de la misma.
En la figura podemos apreciar cómo se forma un triángulo rectángulo con el radio
de la circunferencia y los segmentos de recta cuyas longitudes son la abscisa y la
ordenada del punto P que pertenece a la circunferencia.
Las seis razones trigonométricas de se definen como sigue:
r
y
hipotenusa
opuestocateto
radio
ordenadasenSeno
r
x
hipotenusa
adyacentecateto
radio
abscisacosCoseno
x
y
adyacentecateto
opuestocateto
abscisa
ordenadatanTangente
sen
1
y
r
opuestocateto
hipotenusa
ordenada
radiocscantesecCo
cos
1
x
r
adyacentecateto
hipotenusa
abscisa
radiosecSecante
tan
1
y
x
opuestocateto
adyacentecateto
ordenada
abscisacotgentetanCo
Estas relaciones son ciertas para los ángulos agudos de cualquier triángulo
rectángulo.
Volviendo a la circunferencia, se puede observar que las coordenadas del punto P
son positivas; así como el radio que siempre es positivo, por tanto todos los
cocientes que presentamos son positivos. Si el punto P se ubica en alguno de los
otros tres cuadrantes, las razones trigonométricas tienen diferentes signos según:
86
Signos de las razones trigonométricas.
Cuad Grados Radianes signo
(x,y) sen
r
y cos
r
y tan
r
y csc
r
y sec
r
y cot
r
y
I 0° - 90° 0 - /2 (+ , +) + + + + + +
II 90°-180° /2 - (- , +) + - - + - -
III 180°-270° - 3
/2 (- , -) - - + - - +
IV 270°-360° 3/2 - 2 (+ , -) - + - - + -
Razones trigonométricas de los ángulos notables.
La definición y los signos por cuadrante permiten calcular las razones
trigonométricas de los ángulos notables:
0 /6
/4
/3
/2 3
/2
Seno 0 2
1 2
2 2
3 1 0 -1
Coseno 1
23
22 2
1 0 -1 0
Tangente 0
33
1 3 - 0 -
Cosecante - 2 2 3
32 1 - -1
Secante 1
332 2 2 - -1 -
Cotangente - 3 1
33
0 0 0
Reducciones de ángulos al primer cuadrante.
Las funciones trigonométricas de un ángulo en cualquier cuadrante, pueden
expresarse en función de los valores obtenidos para las funciones de ángulos del
primer cuadrante según las siguientes expresiones:
Ángulos del segundo cuadrante
sen = sen(180° - ) cos = - cos(180° - ) tan = - tan(180° - )
csc = csc(180° - ) sec = - sec(180° - ) cot = - cot(180° - )
87
Ángulos del tercer cuadrante
sen = - sen( - 180°) cos = - cos( - 180°) tan = tan( - 180°)
csc = - csc( - 180°) sec = - sec( - 180°) cot = cot( - 180°)
Ángulos del cuarto cuadrante
sen = - sen(360° - ) cos = cos(360° - ) tan = - tan(360° - )
csc = - csc(360° - ) sec = sec(360° - ) cot = - cot(360° - )
Cuando un ángulo de una función trigonométrica sea menor que 0° o mayor
que 360°; se descompone según:
= + (n)(360°) , donde n es un número entero
Esta descomposición permite obtener el valor de las funciones trigonométricas de
cualquier ángulo al ubicarlas en un ángulo de la primera circunferencia; es decir,
sen = sen + (n)(360°) = sen cos = cos + (n)(360°) = cos
tan = tan + (n)(360°) = tan sec = sec + (n)(360°) = sec
csc = csc + (n)(360°) = csc cot = cot + (n)(360°) = cot
Veamos algunos ejemplos:
a) sen225° = - sen(225° - 180°) = - sen45° = - 2
2
b) sec150° = - sec(180° - 150°) = - sec30° = - 3
32
c) cot240° = cot(240° - 180°) = cot60° = 3
3
d) cos330° = cos(360° - 330°) = cos30° = 2
3
e) sen720° = sen0° + (2)(360°) = sen0° = 0
f) csc(-390°) = csc330° - (2)(360°) = csc330° = -csc(360° - 330°) = -csc30° = -2
g) tan2565° = tan45° + (7)(360°) = tan45° = 1
h) tan(-3750°) = tan210°-(11)(360°) = tan210° = tan(210°-180°) = tan30° = 3
3
88
Triángulos y aplicaciones.
Las definiciones de las razones trigonométricas dadas sobre un triángulo
rectángulo, las podemos usar para determinar valores de razones trigonométricas
de ángulos no notables y para resolver situaciones prácticas en las que el uso de
estos polígonos es de ayuda.
Determine los valores de las seis funciones trigonométricas de los ángulos , ,
y ; si:
a) b)
c) Sen = 3
1 d) Tan = 3
Solución:
a) Según el teorema de Pitágoras
(hip)2 = ( 3 )2 + ( 5 )2 = 34 hip = 34
sen = 34
343
34
3 cos =
34
345
34
5 tan =
5
3
csc = 3
34 sec =
5
34 ctg =
3
5
b) Según el teorema de Pitágoras
( 6 )2 = ( 2 )2 + ( cat. ady. )2 cat. ady. = 2432
sen = 3
1
6
2 cos =
3
22
6
24 tan =
4
2
24
2
csc = 2
6 = 3 sec =
4
23
24
6 ctg = 22
2
24
89
c) Sen = 3
1 =
hipotenusa
opuestocateto
Según el teorema de Pitágoras
( 3 )2 = ( 1 )2 + ( cat. ady. )2 cat. ady. = 228
sen = 3
1 cos =
3
22 tan =
4
2
22
1
csc = 3 sec = 4
23
22
3 ctg = 22
d) Tan = 3adyacentecateto
opuestocateto
Según el teorema de Pitágoras
( hip. )2 = ( 1 )2 + ( 3 )2 = 10 hip. = 10
sen = 10
103
10
3 cos =
10
10
10
1 tan = 3
csc = 3
10 sec = 10 ctg =
3
1
Veamos unos ejemplos de cómo el conocimiento de los valores de las razones
trigonométricas nos puede ayudar en la solución de situaciones prácticas:
Ejemplo 1
Un cable de suspensión se
adhiere a un poste de 28
pies de largo, formando un
ángulo de 60° con el suelo.
Encuentra:
90
a.- La distancia de A al poste.
b.- La longitud del cable.
Solución:
El cable forma un triángulo rectángulo con el suelo y el poste; por tanto
a.- b = cateto adyacente
3
32860cot28.ady.cat
28
adyacentecateto
opuestocateto
adyacentecateto60cot
b.- Longitud del cable = hipotenusa
Según el teorema de Pitágoras
( hip. )2 = ( 28 )2 + (3
328)2 =
3
3136 hip. =
3
356
3
56
3
3136
El cable mide 33,323
356 pies
Ejemplo 2
Un observador se encuentra a 120 metros de
un árbol y descubre que la línea de visión de
la punta del árbol forma un ángulo de 30° con
la horizontal. Encuentra la altura del árbol
sobre el nivel de los ojos del observador.
Solución:
Como se observa en la figura, podemos asumir que la altura del árbol es el cateto
opuesto del triángulo rectángulo formado por las líneas de visión del observador y
dicho árbol; asi que, para calcular la altura del árbol, podemos usar la función
tangente, ya que conocemos el cateto adyacente (distancia horizontal del
observador al árbol) y la incógnita es el cateto opuesto (altura del árbol)
91
3403
312030tan120.op.cat
120
opuestocateto
adyacentecateto
opuestocateto30tan
La altura del árbol, sobre los ojos del observador, es de 28,69340 metros
Identidades Trigonométricas
Identidades Fundamentales
En una circunferencia de centro en el origen y radio igual a uno; resulta muy útil
representar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo de hipotenusa
unitaria y catetos x e y; como se ilustra en la siguiente figura:
y1
y
hipotenusa
opuestocateto
radio
ordenadasenSeno
x1
x
hipotenusa
adyacentecateto
radio
abscisacosCoseno
x
y
adyacentecateto
opuestocateto
abscisa
ordenadatanTangente
sen
1
y
1
opuestocateto
hipotenusa
ordenada
radiocscantesecCo
92
cos
1
x
1
adyacentecateto
hipotenusa
abscisa
radiosecSecante
tan
1
y
x
opuestocateto
adyacentecateto
ordenada
abscisacotgentetanCo
Como primera consecuencia obtenemos:
1cscsen 1seccos 1cottan
cos
sen
x
ytan
sen
cos
y
xcot
Luego, de la ecuación de la circunferencia:
x2 + y2 = 1 1cossen 22 (1)
Esta es la llamada primera identidad fundamental de la trigonometría; aún hay dos
identidades fundamentales más que se derivan de la anterior y de las relaciones
previas:
1tansec 22 (2)
1cotcsc 22 (3)
Además de estas identidades, existen otras muy útiles que combinan razones
trigonométricas y operaciones básicas, tanto a nivel de razones como de ángulos.
Sumas y restas de senos y cosenos
2cos
2sen2sensen (4)
2sen
2cos2sensen (5)
2cos
2cos2coscos (6)
2sen
2sen2coscos (7)
93
Sumas y restas de ángulos
cossencossensen (8)
cossencossensen (9)
sensencoscoscos (10)
sensencoscoscos (11)
tantan1
tantantan (12)
tantan1
tantantan (13)
Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades:
a) senx secx cotx = 1
senx secx cotx = senx senx
xcos
xcos
1 = 1
b) sen2x sec2x - sec2x = -1
sen2x sec2x - sec2x = (1 - cos2x)sec2x - sec2x = sec2x - cos2xsec2x - sec2x
= xsecxsec
1 2
2 = -1
c) (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2 = 2
(senx+cosx)2+(senx-cosx)2 = sen2x +2senxcosx +cos2x + sen2x -2senxcosx +cos2x
= sen2x + cos2x + sen2x + cos2x = 1 + 1 = 2
d) xcsc2xcos1
senx
senx
xcos1
senxxcos1
xsenxcosxcos21
senxxcos1
xsenxcos1
xcos1
senx
senx
xcos12222
xcsc2
senx
2
senxxcos1
xcos12
senxxcos1
xcos22
94
e) xcos1
xsec
xsen
senxxtan3
xxsencos
xcos1
xxsencos
xcos1senx
xxsencos
xcossenxsenx
xsen
senxxcos
senx
xsen
senxxtan23333
xcos1
xsec
xcos1xcos
1
xcos1xcos1xcos
xcos1
xcos1xcos
xcos12
f) sen(x + y)sen(x – y) = sen2x - sen2y
sen(x + y)sen(x – y) = (senxcosy + senycosx)( senxcosy - senycosx)
= sen2xcos2y - senxcosysenycosx + senxcosysenycosx - sen2ycos2x
= sen2xcos2y - sen2ycos2x = sen2x(1 - sen2y) - sen2y(1 - sen2x)
= sen2x - sen2xsen2y - sen2y + sen2ysen2x = sen2x - sen2y
g) ytanxtanycosxcos
)yx(sen
ytanxtanycos
seny
xcos
senx
ycosxcos
xcosseny
ycosxcos
ycossenx
ycosxcos
xcossenyycossenx
ycosxcos
)yx(sen
Ángulo doble
sen2 = 2 sen cos (14) sen2 =
2
2cos1 (16)
cos2 = cos2 - sen2 (15) cos2 =
2
2cos1 (17)
tan2 =
2tan1
tan2 (18)
Ángulo medio
2
cos1
2sen
(19)
2
cos1
2cos
(20)
cos1
sen
sen
cos1
2tan (21)
95
Con la ayuda de estas identidades vamos a demostrar las siguientes igualdades:
a) cos4x - sen4x = cos2x
cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x + sen2x) = cos2x - sen2x = cos2x
b) x2sen2
11
xcossenx
xcosxsen 33
xcossenx1
xcossenx
xcosxcossenxxsenxcossenx
xcossenx
xcosxsen 2233
x2sen2
11xcossenx2
2
11
c)
2
xcos
xtan2
senxxtan 2
2
xcos
2
xcos1
senx2
xsenxcossenx
xcos
senx2
senxxcos
senx
xtan2
senxxtan 2
Teorema del Seno
En todo triángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos:
a
b
c
a b c
sen sen sen
Ejemplo
96
Dado el triángulo (figura anterior) en el cual .
Calcule b y
Teorema del Coseno
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el
coseno del ángulo que forman:
a
bc
2 2 2 2 cosc a b ab
Ejemplo:
Un automóvil sale de una ciudad y circula en línea recta durante 20 minutos
a una velocidad media de 90 Km/h. A continuación sigue por otra carretera, que
forma con la anterior un ángulo de 120°, durante 10 minutos a la misma velocidad
media. ¿A qué distancia se encuentra de la ciudad de la que salió?
Sol: El automóvil está a 39.69km de la ciudad de la que salió.
Funciones trigonométricas inversas
Las funciones inversas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante.
Dice Denota
seno inverso de x arc sen x o sin-1x
97
coseno inverso de x arc cos x o cos-1x
tangente inversa de x arc tan x o tan-1x
cotangente inversa de x arc cot x, o arc ctg x o cot-1x
secante inversa de x arc sec x o sec-1x
cosecante inversa de x arc csc x, o arc cosec x o csc-1x
Ya que sen 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sen 0.5 = 30°
98
xxy arctantan 1
99
Ecuaciones trigonométricas.
Las ecuaciones trigonométricas son igualdades que combinan números con
funciones trigonométricas de ángulos desconocidos y que se cumplen para un
determinado conjunto de valores de esta incógnita.
La solución de estas ecuaciones no es más que hallar esos valores del ángulo
incógnita que satisfacen la igualdad planteada. Esto se logra con la ayuda de las
identidades trigonométricas estudiadas en la sección anterior y con los
conocimientos algebraicos manejados en las primeras semanas de este curso.
Vamos a resolver algunos ejemplos:
nota: en todos los casos trabajaremos con ángulos de la primera circunferencia.
Ejemplos:
a)
factorizando:
Esto es posible si:
Ya que el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante. Por tanto debemos
hallar el ángulo x del primer cuadrante para el cual el coseno vale y a
partir de él, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en cada
cuadrante.
Finalmente, las soluciones de la ecuación son:
100
b)
Usando la identidad: , se despeja, y se
sustituye, así:
Se simplifica:
La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes, y es negativa en el
segundo y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar el ángulo del primer
cuadrante para el cual la tangente vale
y a partir de él, usando las fórmulas
de reducción, hallamos el valor de x en cada cuadrante.
si
si
c) tan2x = secx + 1
sec2x - 1 = secx + 1 sec2x - secx - 2 = 0 (secx + 1)(secx – 2) = 0
secx + 1 = 0 secx = -1 x =
La secante es positiva en el primer y cuarto cuadrantes. Por tanto debemos hallar
el ángulo x del primer cuadrante para el cual la secante vale 2 y a partir de el,
usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en el cuarto cuadrante.
secx - 2 = 0 secx = 2 x = 3
ó x =
3
5
d) cos2x = cosx
cos2x = cosx cos2x - sen2x = cosx
cos2x – (1 - cos2x) = cosx 2cos2x – cosx - 1 = 0
101
cosx = 4
31
22
1241)1(2
cosx = 1 x = 0
El Coseno es negativo en el segundo y tercer cuadrantes. Por tanto debemos
hallar el ángulo x del primer cuadrante para el cual el coseno vale ½ y a partir
de el, usando las fórmulas de reducción, hallamos el valor de x en el segundo y
tercer cuadrantes.
cosx = 2
1 x =
3
2 ó x =
3
4
Logaritmos
Logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número
llamado base para obtener el número dado. Cualquier número positivo se puede
tomar como base de un sistema de logaritmos.
bacbLogc
a
Por ejemplo:
0
1
2
3
5 1
5 5
5 25
5 125, .etc
Luego, siendo la base 5, el logaritmo de 1 (que se escribe 5log 1) es 0, porque 0 es
el exponente a que hay que elevar la base 5 para que dé 1; el 5log 5 es 1; el
5log 25 es 2; el 5log 125 es 3, etc.
Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquier número
positivo, el número de sistemas es ilimitado. No obstante, los sistemas usados
generalmente son dos: el sistema de logaritmos vulgares o de Briggs (denotados
simplemente como log), cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o
neperianos creados por Napier, cuya base es 2.71828182845...e (denotados
simplemente como ln)
102
Son de importancia las siguientes propiedades de los logaritmos:
a. La base de un sistema de logaritmo no puede ser negativa, por que si fuera
negativa sus potencias pares serían positivas y las impares negativas, por
lo que se tendría una serie de números alternativamente positivos y
negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo.
b. Los números negativos no tienen logaritmo porque siendo la base positiva,
todas sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca
negativas.
c. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1, porque siendo
b la base, tendremos: 1 log 1bb b b
d. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero (0), porque siendo b la base,
tendremos: 0 1 log 1 0bb
e. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como
potencias de b y en su forma logarítmica:
i. logx
bm b x m
ii. logy
bn b y n ;
Multiplicando miembro a miembro i) y ii) resulta:
x y x ymn b b b , tomando logaritmo a esta expresión nos queda:
logb mn x y . Sustituyendo x e y por sus valores, tenemos:
log log logb b bmn m n
En conclusión: el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores.
f. Sean m y n dos números reales cualesquiera que los escribimos como
potencias de b y en su forma logarítmica:
i. logx
bm b x m
ii. logy
bn b y n ;
Dividiendo miembro a miembro i) y ii) nos queda:
103
o sea x
x y x y
y
m b mb b
n b n
Tomando logaritmo tenemos
log log logb b b
mm n
n
En conclusión: el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del
dividendo menos el logaritmo del divisor.
g. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y
en su forma logarítmica:
i. logx
bm b x m
Elevando a la potencia n la expresión i) nos queda:
nn x
n nx
m b
m b
tomando logaritmo tenemos:
log
log log
n
b
n
b b
m nx
m n m
Conclusión: el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmos
de la base de dicha potencia.
h. Sea m un número real cualquiera que lo escribimos como potencia de b y
en su forma logarítmica:
i. logx
bm b x m
Tomando la raíz n – ésima a los dos miembros de la ecuación i) se tiene:
x
n xn nm b b y tomado logaritmo: log
log n bb
mm
n
Conclusión: el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo la parte subradical
dividido por el índice de la raíz.
Ejemplo 1: Hallar loga x en la expresión 2
3
abx
c
logax log
aab2
c3 loga
ab2 logac3 log
aa log
bb2 log
ac3
1 2log 3loga ab c
Ejemplo 2: Hallar loga x en la expresión 2 34x m b mb
logax log
am2 b
logam 3log
ab
4
104
Ejemplo 3: ¿Cual es el resultado del log2(64)?
log2(64) = x 2x = 64
2x = 26 x = 6
Ejemplo 4: Dado que log(2) = 0,301 y log(3) = 0,477 Calcular:
a) log(3/8) = log(3) - log(8) = log(3) - log(23) = log(3) - 3 log(2) = - 0,426
b) log(5) = log(10/2) = log(10) - log(2) = 1 - 0.301 = 0,699
Ejemplo 5: Hallar el valor de x en las ecuaciones siguientes:
a) log4(x+3) + log4(x-3) = 2 log4(x2-9) = 2 42 = (x2-9) x2-25 = 0
x = 5 al probar en la ecuación los valores se observa que x = 5 es la solución
b) 33 43 2
2lnxlnxln
ln(8x2) = 0 e0 = 8x2
81x
Exponenciales.
Llamaremos exponencial a toda aquella expresión cuya base sea un número real
o una expresión de una(s) variable(s) real(es), y cuya potencia sea una expresión
de una(s) variable(s) real(es).
Estas expresiones cumplen con las propiedades de las potencias, tratadas en la
unidad I; es decir:
i.- ax . ay = ax + y ii.- ax/ay = ax – y iii.- (ax)y = ax.y
iv.- (a.b)y = ay.by v.- (a/b)y = ay/by
Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones que tienen expresiones exponenciales. Ellas se resuelven usando
las propiedades de las potencias, para reducir el problema a la comparación de los
exponentes; o usando logaritmos y sus propiedades para descomponer las
potencias en productos y así despejar las incógnitas según lo visto en la Unidad II.
Ejemplo: Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 1xx525625
2
2x2x45555552562522x2x41x2x41xx
22
2
Al resolver la ecuación de segundo grado resultante, se obtiene: x = 1 ^ x = -½
105
b) 52x – 1 = 7x + 2
ln(52x – 1) = ln(7x + 2) (2x – 1) ln(5) = (x + 2) ln(7)
2x ln(5) - x ln(7) = 2 ln(7) + ln(5) 7ln5ln2
5ln7ln2x
c) 322124xx
082420322122322124xxx2xxx
8242xx
3x2282
2x2242
SOLUCIÓN
3xx
2xx
Ejercicios Propuestos Unidad IV
1.- Convierte de grados a radianes o de radianes a grados, según el caso:
a. 1
b. 25
c. 150
d. 135
e. –1815°
f. 1215°
g. –33°
h. 625°
i. 212°
j. 378°
k. 0,28
l. 0.36
m. 0,25
n. – 6,5
o. 7
2
p. 3
q. 4
13
r. 5
14
s. 5
14
t. 25
24
u. – 0,57
2.- Determine los valores de las razones trigonométricas dadas, usando
fórmulas de reducción al primer cuadrante.
1. sen(3930°)
2. cos(3
13 )
3. ctg(210°)
4. csc(-9,25)
5. cos(1950°)
6. sen(4
39 )
7. tg(-1680°)
8. sec(3
26 )
9. csc(765°)
10. tg(630°)
11. sec(3120°)
12. ctg(-390°)
106
3.- Determine los valores de las seis razones trigonométricas de los ángulos
, , y ; en cada caso:
a.
b.
6
5
c.
3
3
d.
1
2
5
4
e.
f.
g.
h.
i.
j.
107
k. 2
3sen
l. 3
5sec
m. 3
5sen
n. 7,0cos
o. tan 6
p. 10csc
q. 3,0ctg
r. 91
9110tg
s. 7
cos4
t. 7
76sec
u. 62ctg
v. csc 5
4.- Desde la punta de un faro a 120 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de
depresión (ángulo hacia abajo desde la horizontal) en dirección a un barco a la
deriva en el mar es de 30°. ¿A qué distancia está el barco de la base del faro?
5.- Cuando el ángulo de elevación (el ángulo hacia arriba desde la horizontal) del
sol es de 30°; en Paris, la Torre Eiffel forma una sombra horizontal de 1800 pies
de largo. ¿Qué altura tiene la torre?
6.- Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 pies por encima del
suelo. Si la cometa está a 200 pies por arriba del suelo y la cuerda del cometa
forma un ángulo de 45° con la horizontal. ¿Cuántos pies de cuerda está usando?
7.- Un obrero se encuentra a 6 metros de un poste de electricidad y, por efecto de
la luz de este, proyecta una sombra de 1 metro. Si la estatura del obrero es 1,8
metros, ¿cuál es la altura del poste?
8.- Una persona de estatura 1,80 metros proyecta una sombra de 1,50 metros
cuando se encuentra a una distancia de 15 metros de un poste de iluminación.
¿Cuál es la altura del poste?
9.- Un árbol arroja una sombra de 5 metros al tiempo que un poste próximo a el
proyecta una sombra de 2 metros. Si el árbol y el poste forman ángulo recto con el
suelo, ¿Cuál es la altura del árbol si el poste mide 6 metros de altura?
10.- Dos postes de alturas 30 y 15 metros, están separados una distancia de 50
metros. Si se unen los postes mediante dos cables atando, a la vez, el extremo
108
superior de uno con el extremo inferior del otro, ¿ a qué altura sobre el suelo se
cruzan dichos cables?
11.- Para encontrar la distancia entre dos puntos A y B un topógrafo elige un punto
C que está a 1125 m de B. Si el ángulo en B mide 30° y en C 90°, calcule la
distancia entre A y B.
12.- Dos automóviles parten del mismo punto y viajan sobre dos carreteras que se
desvían en 90°. ¿Cuál será la distancia que hay entre los dos, después de 20
minutos, si sus velocidades son 60 y 45 Km/h, respectivamente?.
13.- Un observador, desde una plaza, mira la azotea de un edificio con un ángulo
de inclinación de 30°. Si se desplaza en dirección al edificio, el ángulo de
inclinación de su visual con respecto a la azotea cambia a 45° cuando ha
avanzado 40 m. Se pide la altura del edificio y la distancia que los separaba.
14.- Una persona se encuentra a 120 m de un árbol, y observa que su línea visual
con la punta del árbol forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula la altura
del árbol sobre el nivel de los ojos de la persona.
15.- En la navegación aérea, las direcciones se especifican en grados siguiendo el
sentido de las manecillas del reloj a partir del norte. Un avión sale de un
aeropuerto y viaja 100 Km en una dirección de 300°. ¿A qué distancia al norte y al
oeste se encuentra el avión del aeropuerto?
16.- La cuerda de una cometa forma un ángulo de 30° con el piso y tiene una
longitud de 455 m. ¿A qué altura se encuentra la cometa?.
17.- Un helicóptero está fumigando un campo sembrado de cambures a una altura
constante de 30 metros. El dueño del campo supervisa la tarea y observa que al
iniciar la aspersión, el ángulo de elevación de su visual al helicóptero es de 60° y
al terminar la aspersión, volando en línea recta, el ángulo a variado a 30°. Si el
conoce que su campo mide 45 m, ¿puede usted indicarle si la fumigación se hizo
en toda la longitud del campo o no?
18.- Desde su oficina, ubicada en el tercer piso del edificio administrativo, a 30 m
del silo principal de la planta; el gerente general observa a un operador en la
azotea del silo, con un ángulo de elevación de 45°, y a otro operador en la base
del silo, con un ángulo de 30°. ¿Qué altura tiene el silo?.
109
19.- Un obrero está asperjando un cultivo de mandarinas con una asperjadora
manual. La tarea la realiza moviendo la boquilla de arriba hacia abajo y viceversa,
con movimientos verticales de su mano. Si el se encuentra a 2 m del árbol y su
mano se mueve hacia arriba con un ángulo de 60° y hacia abajo con un ángulo de
30°, ¿qué altura tiene el árbol?.
20.- Desde una avioneta a 15000 pies, el piloto observa hacia el frente, el canal de
un sistema de riego desde la derivación en el embalse, con un ángulo de
depresión de 60°, en línea recta hasta la descarga en su finca, con un ángulo de
depresión de 30°. ¿Qué distancia hay desde el embalse hasta la finca?.
21.- Al encontrarse sobre la derivación en el embalse, el piloto del problema
anterior disminuye su altura y observa el final del canal en la finca con un ángulo
de depresión de 45°. ¿A qué distancia está del final del canal y cuál es su altura?.
22.- Demuestre las siguientes identidades:
a. 1 cos
tan2
x x
senx
b. 2
2
2
csccot
1 tan
xx
x
c. 2
2
cos csc
tan 1 cos
senx x x
x senx x
d. (senx + cosx)2 = 1 + sen2x
e. 3 3cos 1
1 2cos 2
sen x xsen x
senx x
f. 2
2
1 tancos 2
1 tan
xx
x
g. x2cscctgx2
xctg12
h. 1 cos 2
cot2
xx
sen x
i. 43 1 1cos 2 cos 4 cos
8 2 8x x x
j. 2ctgxxcsc
1xsec
1xsec
k. 2
2 tan2
1 tan2
x
senxx
l. 3
tan 2cos cos3
senx sen xx
x x
m. 2
2
1 cos 42cos 2
tan
xx
x
n. 1 2 cos 2
cot1 2 cos 2
sen x xx
sen x x
o. 2
2
secsec2
2 sec
xx
x
p.
2
422
cos
sensentg
q. 2cossencos44
r. ycsctgy1
ycscysec
110
s. (sec + tg)(1-sen) = cos
t. ycos
ysen1ytgysec
2
244
u.
tgbtgabcosacos
batgbacos
v.
tg
coscos
sensen
w. tgyy2cos1
y2sen
x. x2cosx2tgtgx1
1
y. sen(x+y)sen(x-y)=sen2x–sen2y
z. ctgxsenxxcsctgx
ctgxsenx
aa. ysecycos2ycos
y2cos
bb. ycscycos
y2sen
seny
y2cos
cc. 2ycos
y3cos
seny
y3sen
dd.
tgtg1
coscos
cos
ee. tgy1
1
tgy1
1y2tg
23.- Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno
24.- Dado el trianguloABC:
111
Resolver:
25.- Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar.
Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 m, desde los puntos A y C se
dirigen visuales a B, que forman con el segmento b angulos A=53,7º y C=64º. Hallar
la distancia c. Sol: 43,24 m
26.- En una plazoleta de forma triangular, los lados a, b y c miden 60 m, 75 m y 50 m.
respectivamente. ¿Qué ángulos se forman en las esquinas de la misma?
27.- Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8
metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte
superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte inferior, con un ángulo de
depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.
28.- En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo,
mientras ue α, β y son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados,
respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:
a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º
b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.
c) c = 10 cm. β = 40º α = 70º
d) a = 12 cm. b = 16 cm β= 43º
e) α = 53º β = 75º c = 30,5 cm.
f) α= 48º = 68º c = 47,2 mm.
29.- Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y
tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.
30.- Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que
forman un ángulo de 35º. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué
distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.
31.- Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que
forman un ángulo de 35º. Uno va a 20 km/hr y el otro a 30 km/hr. Determina a qué
distancia se encuentran separados después de 90 minutos de viaje.
32.- Un automóvil sale de una ciudad y circula en línea recta durante 30 minutos a
una velocidad media de 90 Km/h. A continuación sigue por otra carretera, que
112
forma con la anterior un ángulo de 120°, durante 20 minutos a la misma velocidad
media. ¿A qué distancia se encuentra de la ciudad de la que salió?
33.- Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos
los lados m y n, y el ángulo a entre ellos.
34.- Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas: (0 x < 2)
a. 2senx + 3 = 0
b. 2cos2x + 3 = 0
c. 3 tgx + 1 = 0
d. (tgx + 1)( 3 ctgx - 1) = 0
e. 2cos2x = 1
f. 4sen2x - 1 = 0
g. 1 cos 3x senx
h. 22sen x senx
i. 22 1 0sen x senx
j. 2tan tan 0xsenx x
k. sen2x ctgx - 2 cosx = 0
l. sen2xsenx - cos2xcosx = -cosx
m. sen2xcosx – senxcos2x = 1
n. cos2xcosx + sen2xsenx = 1
o. sen2x + senx + 2cosx + 1 = 0
p. cos2x + cosx = - 1
q. 2cos sec 3x x
r. 2cosx + 2senx = 8
s. 2senx - cscx = 1
t. senx = secx - cosx
u. 22tan sec 0x x
v. 2sen2x + 3cosx = 0
w. 01senx2senx
x. 2 3 1 0sen x senx
y. cos2x + 2cosx = 3
z. 2sen2x + 6senx = -4
aa. cos sec sec tanx senx x x x
bb.
xcsc2senx
1xsecxsec
cc. sen2x – 2senxcosx – cos2x = 0
dd. 2sen2x+ 4senxcosx– 4cos2x =1
ee. 2(1 – cosx) = senx tgx
ff. 2(senx + cosx) = secx
gg. tg2x + 3secx + 3 = 0
hh. tg2x - 2 = 2sec2x + tgx
ii. 3ctg2x - 6ctgx + 3 = 0
jj. 16cos4x - 16cos2x + 3 = 0
kk. sen9x + sen5x + 2sen2x = 1
ll. tan 2 3tanx x
mm. 34 4 cos 0senx sen x x
nn. 1xcos2
xcos
oo. 4
3xcossenx
pp. (1 – cosx) (1 + cosx) = ½
qq. 0xcosxsecx2
sen
113
rr. 1x2
cosxsen
ss. 12
xsenxcos
tt. 0xcosx2
sen22
uu. xsecxcos3xcos
x2cos
vv. x2tg2xcos
x3cos
senx
x3sen
35.- Hallar el valor de x usando la definición de logaritmo:
a) log2(64) = x
b) log5(625) = x
c) log7(323) = x
d) log6(216) = x
e) log4(x) = 3/2
f) log2(x) = - 3
g) log10(x) = - 2
h) log91(x) = 0
i) logx(4) = ½
j) logx(8) = 3
k) logx(1111) = 1
l) logx(9) = 2/3
36.- Dado que log2 = 0,301 y log3 = 0,477; resolver:
1. log(8/9)
2. log(1/27)
3. log(54)
4. log(36)
5. log(0,09)
6. log 4 72
7. log(30)
8. log(300)-1
9. log(0,006)
37.- Aplicar los logaritmos y sus propiedades para descomponer las
siguientes expresiones en sumas de logaritmos:
a) 3 2 3
4a b x a b
c x
b)
2
2 22
2
1ba
c a b a ba b c
c) 3
35
a b a b
a b
d) 2 33 4
3 1
a b a ba a b
a b b
a
e) 3
22
1
3
qp
srqp
sr
qp
f) 423
532
cba2ba
g) 4
5 23
32
52
c
bm
c
bm
h) 3 32
4 2
5 432
mpba
bca
pnm
i) 53
5 43
762
25
ba
pnnm
pnm
cba
114
j)
33 2 5
3
1a b
a baba
a a b
k) 83
45
63 2
3
pr
tqp3
tr
qp
l) 5
542
24 3
532
s2z6
yx23
sz
yx
m) 4
323
x
ba
c
xba
n)
3
324
3
b
a1
babx
ba
baa
o) 3
3
xba
b23x
p)
25
2
2
2
22
2
b
1
b
a
a
1
b
a3
cxa
ba
1
c
ba
38.- Aplicar los logaritmos y sus propiedades para escribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo:
a) ½logx + 3logy - 2logz
b) ln3x + 2(ln2x - lnx)
c) 5logx - 3logy + 5
3
wlog2zlog5
d) 2logx + 3log(x + 2) - log(x2 + 5)
e) (- 2/3)logx + (5/2)log(2x2 + 3)
f) 4
slog6rlog2
1
qlog3
5plog3
g) 4
tlnzln3yln
2
7xln5
h) nln4baln3mln2
1aln2
5
1xln
i) mlogp4klog3plog23xlog
39.- Calcular logx en la siguientes expresiones:
a) 2
3 43a
a x xx
b)
35
24
2
2 3
3
a bx
x bx
xa
c) 57
23
2
22
2
c
b10
cxa
ba
1
c
ba
d) x
b10
sz
yx43
24 3
532
e)
ba
1c
ba
c
xba
2
2
52
323
f) 5
542
635
18
s2z6
yx23
zs
yx
g) 4
569
22
5
z9
yx32
xy
z
h)
32 1
2
x ax
a
i) 710
5242
245
332
s81z16
zxt
yx
ts
q) 762
25
4 2
5 34
32
pxm
cba
bca
pxm
r) 53
5 43
3
5
3 32
ba
pnnm
n
px
mpba
115
40.- Calcular el valor de x en las siguientes expresiones:
a) dlog3clog5blog4alog2xlog
b) pln5nln2mlnxln
c) 35logalog2xlog
d) 11logblog35log102xlog
e) 1a3log53
1xlog
f) 2log
log 7log 2log 6log3 5 5
k a cx a
g)
2log5log
3log2log
5
cb
ka
x
h) 3log 5 2log 3logx x a
i) log 3
3log 2log3 log2 2
x xa
j) 2log log 2
log 13
xx
41.- Calcular el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a) log5(2x + 3) = log5(11) + log5(3)
b) log4(x + 3) + log4(x - 3) = 2
c) log3(x + 7) - log3(x - 1) = 2
d) log(x - 2) - log(2x + 3) = 0
e) logx + log(x - 15) = 2
f) log(x2 - 49) = log(9x + 63)
g) log3(13x + 3) - log3(x + 1) = 2
h) log5(x2 + 21x – 10)– log5(5x– 1)= 1
i) 2(log4x)2 + 3log4x - 2 = 0
j) (logx8)2 - logx8 - 6 = 0
k) log5(2x - 1) = 2
l) log10 log(logx - 10) = 1
m) log8log4(log2x) = 0
n) 12x
2xlog 2
o) 03x2
2xlog 4
p)
21xlog
1xlog
2
2
q)
2
x5log
x11log2log2
r) 33 43 2
2lnxlnxln
s) 4
5
27
1log3log3log x
5
xx
t) 1622logx
u) 16xxlog2
v) 64 x + 1 = 22x + 5
w) 2x2
x36x2
749343
x) 1xx525625
2
y) 3x + 1 +3x + 2 +3x + 3 +3x + 4 = 120
z) 52x + 1 = 6x – 2
aa) 43x – 2 = 15
116
bb) 102x + 3 = 200
cc) 122x + 5 = (55) (73x)
dd) xlnx = x
ee) xln(x + 3) = (x2)ln(x + 1)
ff) 843
1x
gg) 4x - 21(2x) + 80 = 0
hh) 2(4x + 1) + 31(2x) - 4 = 0
ii) 9x – ½ + 3x = 36
jj) 5x + 55 - x = 150
kk) 52x + 1 - 126(5x) + 25 = 0
ll) 077849xx
mm)
3324
6254xx
x1x
UNIDAD V: MATRICES Y DETERMINANTES
Matrices. Definición:
Un arreglo rectangular de números que consiste en m filas y n columnas,
Es llamado matriz de m*n o matriz de orden m*n. Para la entrada , llamamos i el
subíndice de la fila y j el subíndice de la columna. Por brevedad, una matriz de m*n puede
ser denotada por el símbolo [aij]m*n o de manera más sencilla [aij], donde el orden se entiende
que es el apropiado para el contexto dado. Esta notación sólo indica qué tipos de símbolos son
utilizados para denotar la entrada general.
Una matriz que tiene exactamente una fila, tal como la matriz de orden 1*4
A = [ 1 7 12 3],
es llamada matriz fila, o vector fila. Una matriz que consiste en una sola columna tal como la
matriz de orden 5*1
117
16
9
15
2
1
,
es llamada matriz columna, o vector columna.
Matrices Especiales:
Tipo Forma Ejemplo
Matriz Fila o Vector Fila
Matriz Columna o Vector Columna
Matriz Cuadrada
Matriz Diagonal
Matriz Identidad
Matriz Nula
Igualdad de Matrices
Las matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y aij = bij para cada i
y cada j ( esto es, entradas correspondientes son iguales).Por tanto
03*2
2211 =
06
12,
118
pero [1 1]
1
1y [1 1] [1 1 1] (diferentes tamaños).
Algebra de matrices
Suma de Matrices
Sean las matrices y
. Luego, la matriz es
de orden y se obtiene como sigue:
Por ejemplo, sean
412
203A y
521
635B .
Como A y B son del mismo tamaño (2*3), su suma está definida. Tenemos
C113
438
)5(42112
62)3(053BA
Ejemplos: Sean:
a. Demostrar que A + B = B + A.
Solución:
A + B =
231
331; B + A =
231
331.
Por tanto, A + B = B + A.
b. Demostrar que A + (B + C) = (A + B) + C.
Solución:
Propiedades para la suma de matrices A + B = B + A (Propiedad conmutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad asociativa)
A + O = O + A = A (Propiedad del neutro aditivo)
119
A + (B + C) = A +
251
122 =
351
241,
(A + B) + C =
231
331 + C =
351
241.
c. Demostrar que A + O = A.
Solución: A + O =
102
121 +
000
000 =
102
121 = A.
Multiplicación por un escalar
Sean la matriz y el escalar . Luego, la matriz es de orden
y se obtiene como sigue:
Por ejemplo,
-3
412
201 =
)4(3)1(3)2(3
)2(3)0(3)1(3 =
1236
603.
Sean A =
24
21, B =
17
43, O =
00
00.
Calcular lo siguiente,
a) 4A
4A = 4
24
21 =
)2(4)4(4
)2(4)1(4 =
816
84.
b) –2/3 B
3
2
3
143
82
)1(3
2)7(
3
2
)4(3
2)3(
3
2
17
43
3
2
3
2B .
c) ½ A + 3B
223
112
19
321
129
12
12
1
17
433
24
21
2
13
2
1BA .
d) 0A
0A = 0
24
21 =
00
00 = O.
e) kO
120
kO = k
00
00 =
00
00 = O.
Resta de Matrices
Sean las matrices y
. Luego, la matriz
es de orden y se obtiene como sigue:
Multiplicación de Matrices
Sean las matrices y
. Luego, la matriz es de
orden . Para efectuar la multiplicación de matrices debemos tener matrices conformables. Es decir, que, el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B y se obtiene como sigue:
Así:
Ejemplo: Sean las matrices
y
Luego el
número de columnas de A es igual al número de filas de B (p=3), por lo que se puede hallar el producto AB de orden 2x3
121
Así,
Tres puntos concernientes a la definición anterior de AB deben ser completamente
comprendidos. Primero, la condición de que A sea de m*n y B sea de n*p, es
equivalente a decir que el número de columnas de A debe ser igual al número de filas
de B. Segundo, el producto será una matriz de orden m*p; tendrá tantas filas como A
y tantas columnas como B.
Tercero, la definición se refiere al producto AB, en ese orden; A es el factor izquierdo
y B el factor derecho. Para AB decimos que B está premultiplicado por A, o bien que
A está posmultiplicado por B. repasemos el ejemplo anterior:
AB =
112
240
301
231
612.
A B = C
m * n n * p m * p
Deben ser iguales
Tamaño del producto
122
La matriz A tiene tamaño 2*3 (m*n) y la matriz B tiene tamaño 3*3 (n*p). El número de
columnas de A es igual al número de filas de B (n=3), de modo que el producto C está
definido y será una matriz de 2*3 (m*p):
C =
232221
131211
ccc
ccc.
La entrada c11 es obtenida sumando los productos de cada entrada en la fila 1 de A
por la “correspondiente” entrada en la columna 1 de B. Así
En este paso tenemos
112
240
301
231
612 =
232221
131214
ccc
cc.
De manera similar, para c12 usamos las entradas de la fila 1 de A y las de la columna
2 de B:
Ahora tenemos
112
240
301
231
612 =
232221
13214
ccc
c.
Para las restantes entradas de AB obtenemos
C13 = (2) (-3) + (1) (2) + (-6) (1) = -10. C21 = (1) (1) + (-3) (0) + (-6) (-2) = -3. C22 = (1) (0) + (-3) (4) + (-6) (1) = -10. C23 = (1) (-3) + (-3) (2) + (-6) (1) = -7.
Entradas de la fila 1 de A
C11 = (2) (1) + (1) (0) + (-6) (-2) = 14.
Entradas de la columna 1 de B
Entradas de la fila 1 de A
C11 = (2) (0) + (1) (4) + (-6) (1) = -2.
Entradas de la columna 2 de B
123
Así
AB =
112
240
301
231
612 =
7103
10214.
Observe que si invertimos el orden de las matrices, el producto no es conformable, ya
que el número de columnas de B (3) no es igual al número de filas de A(2):
Ejemplos:
1) Sean las matrices: A
,
y
Comprobar que:
A (BC) =
43
21
11
20
01
211
103 =
43
21
43
12 =
196
94.
(AB)C =
211
103
43
21
11
20
01
=
1145
521
11
20
01
=
196
94.
Por tanto,
2) Verificar que A(B + C) = AB + AC si
A =
32
01, B =
31
02, y C =
20
12.
A(B + C) =
32
01
20
12
31
02 =
32
01
51
12 =
175
14.
Propiedades de la multiplicación de matrices
A(BC) = (AB)C (Propiedad asociativa)
A(B + C) = AB + AC (Propiedad distributiva)
(A + B)C = AC +BC
Am*n In = A ; In Bn*p = B ; An*n, entonces AI = IA = A
Am*n On*p = Om*p
124
AB + AC =
32
01
31
02 +
32
01
20
12 =
175
14
84
12
91
02
Por tanto, A(B + C) = AB + AC.
Matriz Traspuesta:
Sea la matriz de orden mxn. Se llama Matriz Traspuesta de A y
se denota AT, a aquella cuya i-ésima fila es la i-ésima columna de A. Esto es,
de orden nxm
Ejemplo: Sea
, encontrar AT
Solución: La matriz A es de 2*3, de modo que AT es de 3*2. La columna 1 de A se
convierte en la fila 1 de AT, la columna 2 se convierte en la fila 2 y la columna 3 se
convierte en la fila 3:
AT = .
63
52
41
Observe que las columnas de AT son las filas de A. Debe darse cuenta de que si
tomamos la traspuesta de nuestra respuesta, obtendremos la matriz original A. Esto
es, la operación traspuesta tiene la propiedad de que: (AT)T = A.
Determinantes. Definición
Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con A
exactamente un número real llamado determinante de A. Denotado el determinante
de A con IAI
Si: es una matriz cuadrada de orden 1, entonces:
Ejemplo: Si: , entonces:
Si:
es una matriz cuadrada de orden 2, entonces
Ejemplo:
125
Definición:
Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea la matriz de orden
que se obtiene de A al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima de A. se denomina ij-
ésimo menor de A.
El ij-ésimo cofactor de A denotado por es:
Ejemplo:
Hallar el determinante de A:
Así:
Tomamos la primera fila para determinar los cofactores:
Donde:
Determinante de una matriz cuadrada
Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden
n (n>2), seleccione cualquier fila (o columna) de A y multiplique cada
entrada en la fila (columna) por su cofactor. La suma de estos productos
será el determinante de A, llamado determinante de orden n.
126
De aquí,
Se puede evaluar un determinante de orden 3 como sigue. Copie la primera y
la segunda columnas a la derecha como se muestra a continuación.
Así:
Matriz Adjunta. Definición
La matriz adjunta de una matriz cuadrada , es la matriz traspuesta
de la matriz de cofactores de la matriz A. Se denota por: , es decir:
Dada la matriz
;
Donde:
Ejemplo: Hallar la matriz adjunta de A, si:
127
Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones
La regla de Cramer es una técnica que permite la solución de sistemas de ecuaciones
lineales, mediante el uso de determinantes.
Una incógnita es igual a una fracción que tiene por denominador el determinante
formado por los coeficientes de las incógnitas, el cual llamamos determinante del
sistema () y por numerador al determinante anterior, sustituyendo la columna
correspondiente a la incógnita por la columna de los términos independientes (j).
Resolución de un determinante de segundo orden:
Un determinante de segundo orden es una cantidad representada por un
ordenamiento en cuadro de 22 cantidades, llamadas elementos, ordenadas en 2 filas y
2 columnas. La solución se obtiene calculando los productos de las diagonales y
restándolos. A la diagonal que se traza de izquierda a derecha se le llama diagonal
principal, y al producto de sus elementos se le resta el producto de la llamada
diagonal principal, la cual se traza de derecha a izquierda.
128
82416)6)(4()8)(2(86
42
Un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas puede escribirse como:
Si el determinante denotado por es diferente de cero ( 0), entonces el sistema
tiene una solución única dada por:
Donde es la matriz ue se o tiene sustituyendo la columna “i” por el vector D de
constantes, así:
Resolución de un determinante de tercer orden:
Un determinante de tercer orden es una cantidad representada por un ordenamiento
en cuadro de 32 cantidades, llamadas elementos, ordenadas en 3 filas y 3 columnas.
El modo más sencillo de hallar el valor de un determinante de tercer orden es
aplicando la Regla de Sarrus. Explicaremos esta sencilla regla práctica con un
ejemplo.
Resolver:
1 2 3
4 2 1
5 1 3
, por la regla de Sarrus.
Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas y tenemos:
129
124
321
315
124
321
124
321
315
124
321
Los productos de los números que hay en la diagonales trazadas de izquierda a
derecha (diagonales principales) se escriben con signo (+) y los productos de los
números que hay en la diagonales trazadas de derecha a izquierda (diagonales
secundarias) se escriben con signo (-). Entonces:
1 2 3
4 2 1 1.2.3 4 . 1 . 3 5. 2 .1 3 .2.5 1. 1 .1 3. 2 . 4
5 1 3
6 12 10 30 1 24
16 7 16 7 9
Ejemplo: resolver el sistema dado, aplicando la regla de Cramer:
130
La solución del sistema es: x = 3 ; y = 2 ; z = -1
Ejercicios Propuestos. Unidad V
1. Dadas las matrices:
204
123A
124
230B
321
042C
14
10
21
D
44
12
31
E
28
73
06
F
210
512
651
312
G
30
45
01
H
423
310
201
J
132
101
521
K
7
4
2
L
1
2
4
M
Realizar, si son posibles, las operaciones que se piden a continuación:
A + B A –B E + F
C – B + A (H – D) + (E – F) 4L – EM
3D + 5H – 4(E + F) G + K 3J + 2K
(1/2)G CD DC
CM GH JK
AD + BH + CF (GD)A (KL) – 6M
KG [J(E + H)] – F
131
2.- Calcular la matriz adjunta de las siguientes matrices.
a.
27
311 b.
24
36 c.
214
321
112
d.
111
012
101
e.
987
654
321
f.
211
111
013
g.
489
012
531
3.- De los ejercicios propuestos en la Unidad III, resolver los sistemas de ecuaciones y
los problemas conducentes a sistemas de ecuaciones, usando la regla de Cramer.
132
BIBLIOGRAFÍA AYRES, F. 1978. Fundamentos de Matemáticas Superiores. Editorial McGraw – Hill.
México.
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3ra. Edición. Prentice may. México.
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Agronomía. Universidad Central de Venezuela. Maracay.
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M4_teorema_seno_coseno.doc&ei=2QwWU8eVHIerkQe42IDoAQ&usg=AFQjCNFR5V0Dyq
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