curso de probabilidad resuelto resuelto 2012-1 (1)

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS PROFESIONALES. AREA: ESTADISTICA INFERENCIALPERIODO ACADEMICO: I-2012PROBABILIDADNOMBRE:

GRADO COD: FECHA

1. INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD.Es el estudio de experimentos o fenómenos aleatorios o de libre determinación o de libre ocurrencia.Históricamente, la Teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales como dados, cartas, ruletas y otros, para un determinación de cómo serian sus resultados para ganar o perder.La probabilidad de un evento A se define:

P(A) = ¿ A¿ S

1. ESPACIO MUESTRAL: Regularmente se representa con una letra mayúscula S, pero de igual manera usted puede utilizar otra diferente.Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento o un fenómeno.Ej. Se lanza un dado y se analiza su resultado: Observamos que el dado puede caer en 1, 2, 3, 4, 5, o 6., por lo tanto el espacio muestral será:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. EVENTO: Un evento es un conjunto de resultados posibles del fenómeno a analizar. Es un subconjunto del espacio muestral.Dado el evento de que el dado pueda caer en una cifra par, entonces los posibles resultados en que puede caer el dado serán: dos, cuatro y seis, por lo tanto el evento será:A = { 2, 4, 6 }La combinación de los eventos se puede dar para formar nuevos eventos:1. A U B si y solo si A o B suceden o ambos.2. A ∩ B si y solo si A Y B suceden simultáneamente.3. Ac Complemento de A, si y solo si A no sucede.

3. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: Se llaman mutuamente exclusivos, si son disyuntos, ósea que la intersección de los conjuntos sea vacía. A ∩ B = φ ( No pueden suceder simultáneamente )

Ejemplo No 1: Se S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } un espacio muestral, de las posibilidades de salir un numero al ser lanzado un dado y los eventos A = {2, 4, 6} de salir un numero par. B = {1, 3, 5} de salir un número impar. C = {2, 3, 5}A ∩ B = φ, Observamos que no hay elementos comunes, por lo tanto los eventos son mutuamente exclusivos.Determinando la probabilidad de cada uno de los eventos.

P(A) = ¿ A¿ S

= 36

= 0.5 o equivalente a un 50%

P(B) = ¿B¿S

= 36


P(A) = ¿C¿S

= 36


P(S) = ¿S¿S

= 66

= 1 o equivalente a un 100%

P(C) = ¿C¿S

= 36


Formando nuevos eventos con la combinación de los eventos anteriores A, B y C:A U B = { 2, 4, 6, 1, 3, 5}A U C = { 2, 4, 6, 3, 5 }B ∩ C = { 3, 5 }CC = { 1, 4, 6 }Las probabilidades de los nuevos eventos serán:

P(AUB) = ¿(AU B)

¿ S = 66

= 1 o equivalente a un 100%

P(AUC) = ¿(AUC)

¿S = 56


P(B∩C) = ¿C¿S

= 26


P(Cc) =

¿Cc

¿ S = 36


2. AXIOMAS DE PROBABILIDAD.

Si consideramos el espacio muestral S y los eventos A y B, cuyas funciones de probabilidad son P(S) probabilidad de S. P(A) probabilidad del evento A. P(C

c)

probabilidad del evento Cc. Se cumplen los siguientes axiomas:P1 Para todo evento A, se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1P2 P(S) = 1P3 Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces se cumple que P(AUB) = P(A) + P(B) .Para el ejemplo No 1, observamos que:1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. Observamos que el valor de cada una de las probabilidades

es menor que 1 y mayor que 0.2. P(S) = 1. Se ve fácilmente que la probabilidad del espacio muestral S es 1.3. P (AUB) = P(A) + P (B). La probabilidad de cada evento es P (A) = 0.5 P(B) = 0.5

y la probabilidad de P(AUB) = 1.03. TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD.Estos teoremas se deducen de los axiomas:T1. La probabilidad del conjunto vacio es 0. P(ϕ ) = 0T2. Si Ac es el complemento del evento A, entonces P(A

c) = 1 - P(A)

T3. Si A c B, entonces P(A) ≤ P(B)

T4. Si a y b son dos eventos, entonces P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

T5. Si A y B son dos eventos, entonces P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) EJEMPLO No2: Sea S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, el espacio muestral de los resultados del fenómeno dado y los eventos A = {0, 1, 2, 4, 6, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.La grafica del conjunto será: U A B 0 1 3 6 2 4 5 8 7

9 Calculado:A U B = { 0, 1, 2, 4, 6, 8, 3, 5 }A ∩ B = { 1, 2, 4 }Ac = { 3, 5, 7, 9 }Bc = { 0, 6, 7, 8, 9 }A – B = { 0, 6, 8 }B – A = { 3, 5 }Los cardinales de cada uno de los conjuntos:#A = 6, #B = 5, #(AUB) = 8, #(A∩B) = 3, #(Ac) = 4, #(Bc) = 5 #(A-B) = 3 #(B-A) = 2.Calculando las probabilidades.

P(A) = ¿ A¿ S

= 610

= 35

= 0.6 equivalente en porcentaje 60%

P(B) = ¿B¿S

= 510

= 12


P(AUB) = ¿(AUB)

¿ S = 810

= 45


P(A∩B) = ¿(A ∩ B)

¿S = 310


P(A-B) = ¿(A−B)

¿S = 310


P(B-A) = ¿(B−A)

¿S = 210


P(AC

) = ¿(Ac)¿ S

= 410


P(Bc) =

¿(Bc)¿S

= 510


Si aplicamos los teoremas obtenemos:T2. P(A

C) = 1 - P(A) = 1 - 0.60 = 0.40

T2. P(BC

) = 1 - P(B) = 1 - 0.50 = 0.50T4. P(A-B) = P(A) - P(A∩B) = 0.60 - 0.30 = 0.30

T5. P(B-A) = P(B) - P(B∩A) = 0.50 - 0.30 = 0.20

T6. P (AUB) = P(A) + P (B) + P(A∩B) = 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80

T6. P (AUB) = P(A-B) + P (B-A) + P(A∩B) = 0.30 + 0.20 + 0.30 = 0.804. ESPACIOS FINITOS DE PROBABILIDAD.Sea un espacio muestral finito tal que S = { a1, a2, a3, ……. an }la probabilidad del espacio muestral será la suma de las probabilidades parciales e igual a 1.P(S) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ……………… + P(an) = 1

EJEMPLO No 3. Lanzamos cuatro monedas una a una y observamos los números de sellos que pueden salir en cada lanzamiento.El espacio muestral sería así:

1. Que no salga ningún sello. 0SCCCC

2. Que salga un sello y tres caras. 1SSCCC, CSCC, CCSC, CCCS.

3. Que salgan dos sellos y dos caras. 2S.SSCC, CSSC, CCSS, SCSC, CSCS, SCCS.

4. Que salgan tres sellos y 1 cara. 3SSSSC, CSSS, SCSS, SSCS.

5. Que salgan cuatro sellos y o caras. 4SSSSS.

El conjunto S = { 0, 1, 2, 3, 4 } de los posibles resultados de caer las monedas.Observamos que existen 16 posibilidades de salir los resultados.Si calculamos las siguientes probabilidades.

1. La probabilidad de que salgan 4 caras o no salga un sello.

P(0) = 116

= 0.0625

2. La probabilidad de que salga un sello.

P(1) = 416

= 0.25

3. La probabilidad de que salgan dos sellos.

P(2) = 616

= 38

= 0.375

4. Probabilidad de que salgan 3 sellos.

P(3) = 416

= 14

= 0.25

5. Probabilidad de que salgan 4 sellos.

P(4) = 116

= 0.0625

P(S) = P(0) + P(0) + P(0) + P(0) + P(0)

= 116

+ 14

+ 38

+ 14

+ 116

= 1

6. La probabilidad de que por lo menos salga un sello.Los resultados son C = { 1S, 2S, 3S, 4S }

P(C) = P(1S) + P(2S) + P(3S) + P(4S)

= 14

+ 38

+ 14

+ 116

= 1516

7. Sea D el evento de que salgan todos sellos o todas caras.Los resultados de D = { 4S, 4C }

P(D) = P(4C) + P(4S)

= 116

+ 116

= 216

= 18

EJEMPLO No 4. Cuatro caballos A, P, S, Q, intervienen en una carrera. Si A tiene el doble de probabilidades de ganar que P, y P el doble de probabilidades de ganar que S, S el doble de probabilidades de ganar que Q. Cuáles son las respectivas probabilidades de ganar cada uno de los caballos.Sea p la probabilidad de ganar el menos factible.Q = pS = 2Q = 2pP = 2S = 2(2Q) = 4Q = 4pA = 2P = 2(2S) = 2(2(2Q))) = 8Q = 8pComo el valor total de una probabilidad de un espacio muestral debe ser uno, entonces.P(A) + P(P) + P(S) + P(Q) = 1 8p + 4p + 2p + p = 1 15p = 1

P = 115

Los valores de la probabilidad de ganar cada caballo es de:

P(A) = 8p = 8 x 115

= 815

P(P) = 4p = 4 x 115

= 415

P(S) = 2p = 2 x 115

= 215

P(Q) = 1p = 1 x 115

= 115

Cuál es la probabilidad de que A o P ganen la carrera.El evento es F = { A, P }P(F) = P(A) + P(P)

= 815

+ 415

= 1215

= 45

= 0.80

La probabilidad de que A o P ganen es de 45

o de 0.80, o también equivale a

decir que tienen el 80% de probabilidades de ganar, que es equivalente a decir que tienen el 20% de probabilidades de perder.EJEMPLO No 5. Se lanzan 2 dados al mismo instante, pero sin identificarlos y se observan cada uno de los resultados.El espacio muestral de los posibles resultados seria:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)(3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)(4, 4) (4, 5) (4, 6)(5, 5) (5, 6)(6, 6)El total de posibilidades de caer los dados son S = 211. Cuál es la probabilidad de que la suma sea 6.

A = {La suma sea 6 } = { (1, 5), (2, 4), (3, 3) }

P(A) = 321

= 17

2. La probabilidad de B = { La suma sea 5 } = { (1, 4), (2, 3) }

P(B) = 221

3. La probabilidad C = {Salgan pares} Los números sea iguales.C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) }

P(C) = 621

= 27

4. La probabilidad D = { La suma sea impar }D ={(1, 2),(1, 4),(1, 6),(2, 3),(2, 3), (3, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 6)}

P(D) = 921

= 37

5. La probabilidad de E = { La suma sea 7 } = { (1, 6), (2, 5), (3, 4) }

P(E) = 321

= 17

6. La probabilidad de F = { La suma sea par }7. La probabilidad de G = { Los dos dados sean números impares }8. La probabilidad de H = {Uno de los dados sea un número impar }EJERCICIO No 1.Qué pasaría si los dados están identificados posiblemente con un color, en el cual uno es verde y el otro es rojo.

1. Cuál sería el espacio muestral.S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), ………(6,6)} = 36

2. Probabilidad de que la suma sea 6.E={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5

P(A )=ES= 536

=0.1388≡13.88%

3. Probabilidad de que la suma de los dados sea 5.E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4

P(A )=ES= 436

=0.1111≡11.11%

4. Probabilidad de que ambos sean iguales (pares o cenas).E = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} = 6

P(A )=ES= 636

=0.1666≡16.66%

5. Probabilidad de que la suma sea 7.E= {(1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6

P(A )=ES= 636

=0.1666≡16.66%

6. La probabilidad de que la suma de los dados sea par.E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3), (4,5), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)} = 18

P(A )=ES=1836

=0.5000≡50%

7. La probabilidad de que los dos dados sean números impares.E = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)} = 10

P(E)=ES

=1036

=0.2777≡27.77%

8. La probabilidad de que uno de los dados sea un número impar.E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,3), (6,5)} = 27

P(E)=ES

=2736

=0.7500≡75%

9. Compare los resultados y que concluye.Diferentes resultados.

5. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES.Es un espacio muestral S finito de probabilidad, donde cada punto muestral tiene la misma probabilidad.

P(A) = as

EJEMPLO No 6. Selecciónese una carta al azar de una baraja Española corriente de 52 cartas. Determínese la probabilidad de:

1. Que al sacar una carta sea una espada. Evento A2. Que sea una figura, J, Q, K. Evento B3. Hallar la P(A) - P(B) - P(AUB) - P(A∩B)

El evento A = {As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }. Tenemos que son 13 cartas diferentes de espadas, de un total de 52 cartas de la baraja.

P(A) = 1352

= 14

= 0.25 = 25%

El evento B = {Que sea una figura}. Las figuras que se encuentran en la baraja son:ESPADAS: J Q KCOPAS: J Q KOROS: J Q KBASTOS: J Q KEl total de cartas son 12 posibles, de un total de 52 cartas.

P(B) = 1252

= 313

= 0.2307 = 23.07%

A∩B = {Que la carta sea una Espada y Figura}. Son un total de 3 cartas de 52 posibles.

P(A∩B) = 352

= 0.0576 = 5.76%

AUB = {Sea Espada o Figura}. ESPADA: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, KOROS: J, Q, KESPADAS: J, Q, KBASTOS: J, Q, KHay un total de 22 posibilidades de un total de 52 cartas.

P(AUB) = 2252

= 1126

= 0.4230 = 42.30%

EJERCICIOS:1. Sean 2 Boliches escogidos al azar de un grupo de 12, de los cuales 4 de

estos son o están en mal estado y sea:A={Dos boliches en mal estado} = 2B={Dos boliches en buen estado} = 21. El espacio muestral serán los posibles grupos de 2 boliches que se

pueden formar de los 12 posibles.

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10!2 !

=12 x11 x10 !10! x 2 x1

=12 x112x 1

=66

2. De los 4 boliches en mal estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

C(4,2 )=4 !

(4−2 )! 2!= 4 !2 !2 !

=4 x 3x 2!2 ! x2 x1

=4 x32 x1

=6

3. La probabilidad de A será: P(A) =

P(A )=ES= 666

= 111

=0.0909≡9.09%

4. De los 8 boliches en buen estado se pueden formar grupos de 2 boliches.

C(8,2)=8!

(8−2 ) !2!= 8 !6 !2 !

=8 x7 x 6 !6 ! x 2 x1

=8 x72 x1

=28

5. La probabilidad de B será: P(B) =

P(A )=ES=2866

=1433

=0.4242≡42.42%

6. Probabilidad de que por lo menos un boliche este en mal estado.Halla uno malo o halla dos malos.

C(4,1 )C(12,1)+C(4,2)=4 x 12+6=48+6=54

C(4,1 )=4 !

(4−1 )!1 != 4 !3 ! x1 !

= 4 x 3 !3 ! x1 !

=41=4

C(12,1)=12!

(12−1 ) !1!= 12!11! x 1!

=12 x11!11! x1 !

=121

=12

P(A )=ES=5466

= 911

=0.8181≡81.81%

EJERCICIOS:1. Una moneda está cargada (aumentada de peso) de modo que la

posibilidad de salir cara (C), sea el doble que la de salir el sello (S). Hallar

la probabilidad P(C) y P(S).La probabilidad de salir cara es el doble de la de salir sello.

P(C )=2P(S )Por el teorema fundamental de la probabilidad, tenemos que:

P(C )+P(S )=12 P(S )+P(S )=13 P(S)=1

Despejando la P(S), tenemos que:

P(S)=13

Como la probabilidad de

P(C )=2P(S )=2( 13 )=232. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un numero cuando

es lanzado el dado es proporcional a dicho numero (Por ejemplo la probabilidad de salir 3 es la mitad de salir 6). Sea A={Un numero par} B={Numero primo} C={Número impar} D={Numero par y primo} E={Número impar y primo}.La probabilidad de salir cada número es:

P(1 )=p ,P(2)=2 p ,P(3)=3 p , P(4 )=4 p ,P(5)=5 p ,P(6)=6 pPor teorema fundamental de probabilidad, tenemos que:

P(1 )+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6 )=1p+2 p+3 p+4 p+5 p+6 p=1

21 p=1

p= 121

a.) El evento A={2,4,6}

P(A )=P(2)+P(4 )+P(6 )=2( 121 )+4 ( 121 )+6 ( 121 )

221

+ 421

+ 621

=2+4+621

=1221

b.) El evento B={3,5}

P(B)=P(3)+P(5 )=3( 121 )+5( 121 )321

+ 521

=3+521

= 821

c.) El evento numero C={1,3,5}

P(C )=P(1)+P(3)+P(5)=( 121 )+3 ( 121 )+5( 121 )121

+ 321

+ 521

= 921

=37

d.) El evento D={2}

P(D )=P(2)=2( 121 )= 221

3. Determínese la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos finitos equiprobables.1. Que salga un número par al lanzar un dado normal.

Hallamos el espacio muestral:

S= {1,2,3,4,5,6 }=6El evento es {2,4,6} = 3La probabilidad es:

P(par )=ES

=36=0.5≡50%

2. Que resulte un Rey al sacar una carta de una baraja Española.El espacio muestral es la baraja española, que tiene en cada pinta:As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sota, caballo y rey.Son cuatro pintas: Oros, copas, espadas y bastos.S = 48El evento es: Hay 4 reyes, uno por cada pinta.E = 4

P(Rey)=ES= 448

=0.0833=8.33%

3. Que aparezca por lo menos un sello al lanzar tres monedas normales.S = {CCC, CCS, SSC, SSS} = 4E = {CCS, SSC, SSS} = 3

P(UNS )=ES=34=0.75≡75%

4. Sacar un 4 en una baraja de póker.Espacio muestral.

4 pintas: Trébol, pica, corazones y diamantes.As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K., Son 13 cartas por pinta.S = 13x4 = 52El evento:Hay 4 cuatros en la baraja de póker.E = 4

P(4)=ES= 452

=0.0769≡7.69%

5. Que resulte una figura al sacar una carta de una baraja de Póker.S = 52E = 3x4 = 12

P(FIGURA)=ES=1252

=0.2307≡23.07%

6. Que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.S = Todas las bolas = 4+3+5 = 12E = Las bolas blancas = 4

P(blanca )=ES= 412

=0.3333≡33.33%

7. Sacar un As de una baraja Española, en un solo intento en una carta.S = Todas las cartas = 4pintas x 12 cartas = 48E = Las pintas x As = 4x1 = 4

P(AS )=ES

= 448

=0.0833≡8.33%

4. Se sacan dos cartas al azar de una barja Española. Hallar la probabilidad p de que:1. Las dos cartas escogidas sean Espadas.

S = Grupos de a dos, formados de las 48 cartas.

C(48,2)=48 !

(48−2 ) !2 != 48 !46 !2 !

=48 x 47 x 46 !46 ! x 2!

=48 x 472 x1

=1.128

E = Grupos formados de a dos cartas de las 12 espadas.

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10! x 2!

=12 x11 x 10 !10! x 2!

=12x112 x1

=66

P(2espadas )=ES

= 661.128

=0.0585≡5.85%

Otro método.

P(2espadas )=( 1248 )( 1147 )= 1322.256

= 661.128

=0.0585≡5.85%

2. Las dos cartas escogidas al azar sean el mismo número.S = 1.128E = Grupos de 4(As)+Grupos de 4(2)+ +Grupos de 4(Reyes)=

12C(4,2)=124 !

(4−2 ) ! x2 !=12 4 !

2 ! x2 !=12 4 x 3x 2 x1

2 x1 x2 x1=12x 6=72

P(2 iguales)=ES= 721.128

=0.0638≡6.38%

Otro método.

P(Nsiguales)=12( 448 )( 347 )= 1442.256

= 721.128

=0.0638≡6.38%

3. Las dos cartas sean figuras.E = 3 Figuras x 4 pintas = 3x4 = 12. Formar grupos de 2 cartas.

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10! x 2!

=12 x11 x 10 !10! x 2!

=12x112 x1

=66

P(2 figuras)=ES= 661.128

=0.0585=5.85%

Otro método.

P(2 figuras)=( 1248 )( 1147 )= 1322.256

= 661.128

=0.0585≡5.85%

4. La una sea Espada y la otra Bastos.E = De cada pinta se escoge de una.

C(12,1)=12!

(12−1 ) !1!= 12!11! x 1!

=12 x11!11! x1 !

=121

=12

= 12x12 = 144

P(Espadaybasto)=ES= 1441.128

=0.1276=12.76%

Otro método.

P(1 E,1B )=2( 1248 )( 1247 )=2x 1442.256

= 1441.128

=0.1276≡12.76%

5. Las dos sean Ases.E = Grupos de a dos ases.

C(4,2 )=4 !

(4−2 )! 2!= 4 !2 ! x2 !

=4 x3 x2 !2 ! x2 !

=4 x 32 x1

=6

P(2ases)=ES= 61.128

=0.0053=0.53%

Otro método.

P(2 A )=( 448 )( 347 )= 122.256

= 61.128

=0.0053≡0.53%

6. Las dos sean Oros o Figuras.E= Los grupos de a dos Oros + Grupos de 2 figuras.

C(10,2)=10 !

(10−2 )!2 != 10 !8 ! x2 !

=10 x9 x 8!8 ! x2 !

=10 x 92x 1

=45

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10! x 2!

=12 x11 x 10 !10 ! x2 x1

=1322

=66

E = 45+66 = 111

P(2O, 2F )=ES

= 1111.128

=0.0984=9.84%

Otro método.

P(2O, 2F )=( 1048 )( 947 )+( 1248 )( 1147 )= 902.256

+ 1322.256

= 2222.256

1111.128

=0.0984≡9.84%

5. De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:Hallamos el espacio muestral. Grupos de r=2 cartas de n=48 posibles.

S=

C(48,2)=48 !

(48−2 ) !2 != 48 !46 !2 !

=48 x 47 x 46 !46 ! x 2!

=48 x 472 x1

=1.128

1. Las dos Sean copas.El evento. Son grupos de r=2, de n=12 posibles.

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10! x 2!

=12 x11 x 10 !10! x 2!

=12x112 x1

=66

P(2C)=ES

= 661.128

=0.0585=5.85%

Otro método.

P(2C)=( 1248 )( 1147 )= 1322.256

= 661.128

=0.0585≡5.85%

2. Al menos una sea copas.E=Grupos de r=2 cartas en orden, de n=12 posibles.E= Las dos sean copas + Una copa y otra cualquiera.

C(12,2)=12 !

(12−2 ) !2 != 12 !10! x 2!

=12 x11 x 10 !10! x 2!

=12x112 x1

=66

C(12,1)=12!

(12−1 ) !1!= 12!11! x 1!

=12 x11!11! x1 !

=121

=12

C(36,1)=36 !

(36−1 )!1 != 36 !35 ! x1 !

=36 x35 !35 ! x 1!

=361

=36

E = 66+12x36 = 66+432 = 498

P(ALMENOS 1C )=ES

= 4981.128

=0.4414=44.14%

Otro método.

P(ALMENOS 1C )=( 1248 )( 1147 )+2( 1248 )( 3647 )= 1322.256

+ 8642.256

9962.256

= 4981.128

=0.4414≡44.14%

Otro método.

P(ALMENOS 1C )=1−P(NOCOPA)=¿

P(ALMENOS 1C )=1−( 3648 )( 3547 )=1− 12602.256

=2.256−1.2602.256

9962.256

= 4981.128

=0.4414≡44.14%

3. Una sea copa y la otra espada.E = (Copa, Espada). Se cumple para cada una de las pintas.

C(12,1)=12!

(12−1 ) !1!= 12!11! x 1!

=12 x11!11! x1 !

=121

=12

E= 12x12 = 144 = 288

P(COPA , ESPADA)=ES= 1441.128

=0.0124=1.24%

6. Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos Han elegido francés como asignatura optativa.Organizamos un diagrama de Venn que nos muestre la situación de los estudiantes

El espacio muestral del problema.E = Chicos + Chicas = 10 + 10 = 201. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea

chico o estudio francés?El evento es: Chico o Estudie francés. E = 10 + 5 Chicas que estudian francés = 15

P(H oF )=ES=1520

=0.75=75%

2. ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?El evento. E = 5 chicas que no estudian francés.

P(M o F )=ES

= 520

=0.25=25%

7. En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:Se hace el llenado de la tabla para determinar el espacio muestral y el evento.

8. Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas diferentes, salgan:El espacio muestral de lanzar las dos monedas.S = {CC, SS, CS, SC} = 41. Dos caras.E = {CC} = 1

P(2C)=ES

=14=0.250=25%

2. Dos sellos.E = {SS} = 1

P(2S )=ES=14=0.250=25%

3. Una cara y un sello.E = {CS, SC} = 2

P(2C)=ES

=24=0.50=50%

9. Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

10. Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:1. La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.2. La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

11. Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:1. La probabilidad de que salga el 7.2. La probabilidad de que el número obtenido sea par.3. La probabilidad de que el número sea múltiplo de tres.

12. Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:1. Salga 6 en todos.2. Los puntos obtenidos sumen 7.

13. Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:El espacio muestral es:S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

1. Un número par.E = {2, 4, 6} entonces 3.

P(PAR)=ES

=36=0.5=50%

2. Un múltiplo de tres.E = {3, 6} entonces 2.

P(PAR)=ES

=26=0.6666=66.66%

3. Mayor que cuatro.E = {5, 6} entonces 2.

P(MAYOR A4 )=ES

=26=0.6666=66.66%

4. Menor que 4.E = {1, 2, 3} entonces 3.

P(MENOR )=ES

=36=0.5=50%

5. Múltiplo de tres, en pares.E = {6} entonces 1.

P(MULT 3 EN PARES )=ES

=16=0.1666=16.66%

14. Se sacan dos bolas de una urna que se compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Describir el espacio muestral cuando:1. La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.S= {BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV, NN} = 16

a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.El evento.E = {BB, RR, VV, NN} = 4

P(iguales )=ES

= 416

=0.250=25%

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.El evento.E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

P(iguales )=ES

=1216

=0.750=75%

2. La primera bola no se devuelve.El espacio muestral está formado por todas las posibilidades que existen de combinar dos bolas.S= {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

a. Probabilidad que las sacadas sean iguales.El evento.E = { } = 0

P(iguales )=ES

= 016

=0.000=0%

b. Probabilidad que las sacadas sean diferentes.El evento.E = {BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR, NV} = 12

P(iguales )=ES

=1212

=1.00=100%

15. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarilla y 7 verdes. Se extrae una al azar, Cual es la probabilidad de que:Espacio muestral es la suma de todas las bolas.S = 8+5+7 = 201. Sea roja.

E = 8

P(ROJA )=ES

= 820

=0.40=40%

2. Sea verde.E = 7

P(VERDE)=ES= 720

=0.350=35%

3. Sea amarilla.E = 5

P(ROJA )=ES

= 520

=0.25=25%

4. No sea roja.E = Son amarillas o verdes = 5 + 7 = 12

P( ROJA)=ES=1220

=0.60=60%

5. No sea amarilla.E = Que sea verde o roja = 8 + 7 = 15

P(ROJA )=ES

=1520

=0.750=75%

16. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de:

S = {RR, RB, BB, BR},1. Extraer las dos bolas Rojas con reemplazamiento.

P(RR)=( 310 )( 310 )= 9100

=0.09

2. Extraer las dos bolas Blancas con reemplazamiento.

P(RR)=( 710 )( 710 )= 49100

=0.49

3. Extraer una bola Roja y otra Blanca con reemplazamiento.

P(RB)=( 310 )( 710 )= 21100

=0.21

4. Extraer una bola Blanca y otra Roja con reemplazamiento.

P(RR)=( 710 )( 310 )= 21100

=0.21

5. Extraer las dos bolas Rojas sin reemplazamiento.

P(RR)=( 310 )( 29 )= 690

=0.066

6. Extraer las dos bolas Blancas sin reemplazamiento.

P(RR)=( 710 )( 69 )=4290=0.4667. Extraer una bola Roja y otra Blanca sin reemplazamiento.

P(RB)=( 310 )( 79 )=2190=0.2338. Extraer una bola Blanca y otra Roja sin reemplazamiento.

P(RR)=( 710 )( 39 )=2190=0.23317. Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de

extraer:El espacio muestral serán todos los grupos de r=5 cartas de n=52 posibles.S =

C(52,5)=52 !

(52−5 )! x 5!= 52 !47 ! x5 !

=52x 51x 50 x 49x 48 x 47 !47 ! x 5 x4 x3 x2 x1

=¿

S = 311.875.200

120=2.598 .960

1. 4 ases.

E = C(4,4 )x C(48,1)=1 x 48=48

C(4,4 )=4 !

(4−4 ) ! x 4 != 4 !0 ! x 4 !

=1

C(48,1)=48 !

(48−1 ) ! x1 != 48 !47 ! x 1!

=48x 47 !47! x1 !

=48

P(4 A)=ES

= 482.598 .960

= 154.146

=0.000018

2. 4 ases y un rey.

E = C(4,4 )x C(4,1)=1x 4=4

C(4,4 )=4 !

(4−4 ) ! x 4 != 4 !0 ! x 4 !

=1

C(4,1 )=4 !

(4−1 )! x 1!= 4 !3 ! x 1!

= 4 x3 !3 ! x1 !

=4

P(4 A)=ES

= 42.598 .960

= 1649.740

=0.0000015

3. 3 cincos y 2 sotas.

E = C(4,3 )x C(4,2)=4 x 6=24

C(4,3 )=4 !

(4−3 ) ! x3 != 4 !1 ! x3 !

= 4 x 3 !1! x 3 !

=4

C(4,2 )=4 !

(4−2 )! x2 != 4 !2! x 2!

=4 x3 x 2!2 ! x 2!

=6

P(4 A)=ES

= 242.598 .960

= 1108.290

=0.0000092

4. Un 9, 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.E =

C(4,1 )xC (4,1)x C(4,1) xC (4,1)x C(4,1)=4 x 4 x 4 x 4 x 4=1024

C(4,1 )=4 !

(4−1 )! x 1!= 4 !3 ! x 1!

=4 x3 !3 ! x1

=4

P(4 A)=ES

= 10242.598 .960

= 1162.435

=0.000394

5. 3 de un palo cualquiera y 2 de otro.Hay 4 formas de elegir el primer palo y 3 de elegir el segundo palo.

E = 4C(13,3)x 3 xC(13,2)=4 x286 x3 x 78=267.696

C(13,3)=13 !

(13−3 )! x 3 != 13 !10! x 3 !

=13x 12x 11 x10 !10 ! x 3x 2

=286

C(13,2)=13 !

(13−2 )! x 2!= 13 !11! x 2!

=13 x12 x11!11! x2 !

=78

P(4 A)=ES

= 267.6962.598 .960

= 4294.165

=0.103

6. Al menos un as.Sera igual a 1 – los que no tienen ningún as.E =

2.598 .960−C (48,5)=2.598 .960−1.712.304=886.656

C(48,5)=48 !

(48−5 )! x 5!= 48 !43 ! x5 !

=48 x 47 x 46 x 45x 44 x 43 !43! x 5 x4 x3 x2

=¿

1.712 .304

P(4 A)=ES

= 886.6562.598 .960

=18.47254.145

=0.3411

18. Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 12 bombillas, de las cuales hay cinco fundidas; en la segunda hay ocho bombillas, estando tres de ellas fundida, y la tercera caja hay cinco bombillas fundidas de un total de quince. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la primera caja, esté fundida?

P (C1F )=13 ( 512 )= 5

362. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la

segunda caja, esté buena?

P (C2B )=13 ( 58 )= 5

243. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de la

segunda caja, esté fundida?

P (C2F )=13 ( 38 )= 3

24=18

4. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

P (C F )=13 ( 512 )+ 13 ( 38 )+ 13 ( 515 )= 5

36+ 324

+ 545

=38

5. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena?

P (CB )=13 ( 712 )+ 13 ( 58 )+ 13 (1015 )= 7

36+ 524

+ 1045

=58

6. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté buena o esté fundida?

P (CFOCB )=38+ 58=88=1

19. En una casa matriz de venta de carros se realiza un sorteo de un vehículo entre sus clientes y se selecciona por sorteo a uno de ellos y se le introducen tres llaveros A, B y C, para poder abrir la puerta del vehículo y así ser el ganador: El primero llavero con cinco llaves y dos abren el auto, el segundo con siete y tres abren el auto y el tercero con ocho y 6 bloquean el auto. Se escoge al azar un llavero. Cuál es la probabilidad de que:A. Sea el ganador con el primer llavero.B. Abra el carro con cualquiera de los llaveros.C. No abra con el tercer llavero.D. Con cuál de los llaveros tiene mayor probabilidad de ganar.

20. En una urna hay 3 monedas, con las siguientes características. La primera es una moneda normal, la segunda es una moneda que tiene dos caras y

URNA

CAJA1-12

CAJA2-8

CAJA3-15

FB

FB

FB

57

35

510

la tercera es una moneda cargada, en la cual la probabilidad de salir cara

es 13

de la probabilidad de salir sello.

Si se saca una moneda al azar, cuál será la probabilidad de que al lanzarla salga:A. Cara.B. Sello.

21. En una competencia ciclística, donde solo hay cuatro corredores, que tienen la opción de ganar. Si Metelón tiene el cuádruplo de probabilidad de ganar que Sobarrón, y Sobarrón tiene el doble de probabilidad de ganar que Pedalero y Pedalero el doble de Cipriano.A. Determinar la probabilidad de ganar cada uno.Se plantean las probabilidades de cada uno de los ciclistas en función de los demás y se halla la probabilidad de cada uno de ellos.

P(M )=4 P(S), P(S)=2P(P), P(P)=2P(C)

P(M )=4 P(S)=4 (4 P( C ) )=16P(C)

P(S)=2(2P¿¿(C))=4 P(C)¿

Aplicamosel teorema fundamental de las probabilidadesP(M )+P(S)+P(P)+P(C)=1

16 P(C )+4 P(C)+2P(C)+P(C )=123 P(C )=1

P(C )=123

P(M )=16 P(C)=16 X123

=1623

P(S)=4 P(C )=4 x123

= 423

P(P)=2P(C)=2 x123

= 223

B. Quien ganara la carrera, según el estudio de la probabilidad?

Gana La carrera el de mayor probabilidad que es Metelón con 1623

.

22. En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. Al elegir un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

23. Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

Eléctrico Mecánico Chapas TotalMañana 3 8 3 14

Tarde 2 3 1 6Total 5 11 4 20

A. Cuál es la probabilidad de que atiendan un carro y sea de la jornada de la tarde:

P(TARDE )=ES= 620

=0.30=30%

B. Cuál es el porcentaje de los carros que acuden por problemas mecánicos. Recuerde que hallar el porcentaje y la probabilidad son operaciones equivalentes.

P(MECANICOS)=ES=1120

=0.55=55%

C. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana:

P(M /E)=ES=35=0.60=60%

D. Calcular la probabilidad de que atiendan un automóvil con problemas mecánicos acuda por la tarde:

P(T /M )=ES

= 311

=0.2727=27.27%

24. En un aula de clases hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y 15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso.

Gafas Sin Gafas TotalHombres 15 25 40Mujeres 15 45 60

Total 30 70 100A. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

P(MY G )=ES

= 45100

=0.45=45%

B. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y use gafas?

P(MYG)=ES

= 15100

=0.15=15%

C. Hallar el porcentaje de los estudiantes que usan gafas

P(G )=ES

= 30100

=0.30=30%

D. La probabilidad de que un estudiante con gafas sea mujer.

P(M /G )=ES

=1530

=0.50=50%

E. Probabilidad de que un estudiante sin gafas sea hombre.

P(M /G )=ES

=2570

=0.25=25%

F. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea hombre?

P(H / G)=ES=2570

= 514

=0.3571=35.71%

G. Sabemos que el estudiante seleccionado no usa gafas, ¿Qué probabilidad hay de que sea mujer?

P(H / G)=ES=4570

= 914

=0.6428=64.28%

25. En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, ¿cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

F B 0.30 0.10 0.20

0.40

A. Juegue ni futbol, ni baloncesto.B. Juegue sólo al fútbol:C. Juegue sólo al baloncesto.D. Practique uno solo de los deportes:E. Que practique baloncesto:F. Si en total en la escuela hay 80 estudiantes practicando Deportes.

Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol?G. De total de estudiantes de la escuela Deportes. Cuál es el número

de estudiantes que practica Baloncesto?H. Si del total estudiantes practicando Deportes se quiere hallar el

número de estudiantes que practica solo Futbol?I. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol y Baloncesto?J. Cuál es el número de estudiantes que practica Futbol o Baloncesto?

ESTADISTICA INFERENCIAL.1. La inferencia estadística o estadística Inferencial es una parte de la

Estadística que comprende y da los métodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencias) de una población, a partir de una pequeña parte de la misma (muestra).

2. Es un proceso de análisis que consiste en inferir las propiedades de una población con base en la caracterización de la muestra.

Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental basándose en información incompleta.Genera modelos probabilísticos a partir de un conjunto de observaciones.Del conjunto de observaciones que van a ser analizadas, se eligen aleatoriamente sólo unas cuantas, que es la muestra, y a partir de dicha muestra se estiman:1. Los parámetros del modelo.2. Se contrastan las hipótesis establecidas, con el objeto de determinar si el

modelo probabilístico es el adecuado al problema real que se ha planteado.

La utilidad de la inferencia estadística, consiste en que si el modelo se considera adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la realización de las previsiones convenientes.La inferencia estadística parte de un conjunto de observaciones de una variable, y a partir de estos datos “infiere” o genera un modelo probabilístico; por tanto es la consecuencia de la investigación empírica, cuando se está llevando a cabo, y como consecuencia de la ciencia teórica, cuando se están generando estimadores, o métodos, con tal o cual característica para casos particulares. La inferencia estadística es, en consecuencia, un planteamiento inductivo.TECNICAS DE MUESTREO.Para realizar un análisis estadístico, se puede efectuar:

1. Toda la población.2. Una parte de la población.

Si estudiamos toda la población, podemos conocer e identificar exactamente la distribución que presenta la variable o las variables estudiadas en dicha población. Por ejemplo, en la mayoría de los casos, los censos son inviables o como mínimo innecesarios. Los censos son lentos y caros (hay que examinar

una gran cantidad de individuos, lo cual requiere tiempo y dinero) y poco flexibles (debido a su complejidad, es muy difícil modificarlos cuando se han puesto en marcha). Tratar una gran cantidad de individuos, para ser estudiados requiere disponer de personal entrenado, instalaciones (laboratorios, centros de tratamientos de datos, recopilación...), recursos, en estos casos, un censo puede ser irrealizable, o bien puede realizarse sin los recursos necesarios, de modo que, los datos obtenidos pueden contener errores y por tanto, no necesariamente van a proporcionar una buena información.Una alternativa a los censos será la medición de estas variables en una parte de la población, es decir, en una muestra. Trabajar con una muestra de la población tiene la ventaja de que:

1. Es más rápido.2. Más barato.3. Los resultados obtenidos pueden ser más precisos,

De modo que, si la muestra se elige correctamente, la información que obtenemos permite una estimación razonable de la situación de la población.Cuando nos planteamos tomar una muestra, surgen dos preguntas:

1. ¿Qué individuos o datos debo incluir en la muestra?2. ¿Cuántos individuos o datos debo tomar?

Para un ejemplo en particular, 1. Cuando el objetivo es conocer la cantidad de enfermedad o cuando

queremos realizar un estudio epidemiológico cuyos resultados debemos extrapolar a la población general, un requisito indispensable es que la muestra sea representativa de la población general, por tanto la muestra debe tomarse al azar.

2. Cuando el objetivo es conocer si una enfermedad existe o no en una población, también podemos tomar una muestra aleatoria, pero en la mayoría de los casos, lo más apropiado será tomar una muestra sesgada, de modo que analizaremos aquellos individuos que tienen mayor posibilidad de estar enfermos.

La mejor opción para obtener una muestra representativa es:1. Elegir los individuos al azar mediante un muestreo aleatorio, es decir,

seleccionando los individuos de manera que todos ellos tenga la misma probabilidad de formar parte de la muestra.

2. Cuando estos no es posible la alternativa será elegir a los individuos según un muestreo de conveniencia.

El método para elegir la muestra recibe el nombre de muestreo.MUESTREO.Es una herramienta de la investigación científica. Su función básica es que parte de una realidad en estudio (población o universo) debe examinarse con la finalidad de hacer inferencia sobre dicha población.El error que se comete debido a hecho de que se obtienen conclusiones sobre cierta realidad a partir de la observación de solo una parte de ella y se denomina error de muestreo.Obtener una muestra adecuada significa lograr una versión simplificada de la población, que reproduzca de algún modo sus rasgos básicos.Nos da las herramientas, técnicas y métodos, para realizar una investigación científica, de procesos estadísticos para la selección de una muestra.1. FUNCIONES:

A. DETERMINACION DE LOS DATOS.1. Cuáles.2. Cuantos. Para el estudio y la inferencia.

B. AHORRO.1. Tiempo.2. Dinero.3. Personal.4. Espacio.

C. PROPIEDADES.1. Cuantitativa: Representativa. Cantidad.2. Cualitativa: Características de la población. Propiedades.

2. TIPOS DE MUESTREO.A. PROBABILISTICO O ALEATORIO.

Propiedades de los elementos de la población cumple:1. Misma probabilidad de escogencia.2. Probabilidad de escogencia conocida.3. Probabilidad con reemplazo o sin él.4. El error se da en forma de probabilidad.

A.1. ALEATORIO SIMPLE.Sus elementos:1. Se ordenan en tablas:

Asignar números a los elementos de la población. Se escogen con balotas o tablas especiales.

2. Escogencia al azar.

VENTAJAS. Sencillo. Fácil comprensión. Calculo fácil y rápido.

Varianza. Media. Desviación estándar.

Basada en la teoría estadística.Uso de software.Análisis de datos.

DESVENTAJAS. Listados de la población.

Poblaciones pequeñas. Fácil.Poblaciones grandes. Extenso y complicado.

Muestras pequeñas no es representativo.A.2. SISTEMATICO.

Sus elementos se escogen para muestras grandes:1. Primer elemento al azar: 2. Los demás condicionados por el primer elemento.

PROCEDIMIENTO. Listado de elementos de la población. Determinar tamaño de la muestra. Definir constante de elevación o k de salto.

k=Nn

= Poblacionmuestra

Elegir numero de arranque (1, K). Seleccionar elementos.VENTAJAS. Fácil aplicación. No siempre es necesario listado de elementos. Población ordenada asegura cobertura. DESVENTAJAS. Estimaciones sesgadas.

A.3. ESTRATIFICADO.Sus elementos o población se divide en:1. Clase.2. Grupos de estudio, que sean:3. Todos aportan a la muestra.

Homogéneos. Iguales condiciones. De las mismas características de variables. Ejemplos de

Variables.1. Sexo.2. Peso.3. Edad.4. Ciudad, etc.

PROCEDIMIENTO. Proporcional.

Grupos.Porcentaje.

Optima.Escogen de grupos más variables.

VENTAJAS. La muestra representa la población por la variabilidad. Estimaciones más precisas.DESVENTAJAS. Distribución de las variables en la población. Análisis más complicados por la diversidad de grupos. Más cantidad de variables a analizar.

A.4. CONGLOMERADO.Sus elementos de la población se divide en:1. N Grupos.2. Todos los grupos deben ser:

Variados. Completos. Representativos.

3. La variación en cada grupo es menor que la variación entre los

POBLACION

MUESTRA

POBLACION

MUESTRA

POBLACION = N

MUESTRA = n

grupos.1. Sexo.2. Peso.3. Edad.4. Ciudad, etc.

PROCEDIMIENTO. Proporcional.

Grupos.Porcentaje.

Optima.Escogen de grupos más variables.

VENTAJAS. Es más eficientes para poblaciones:

Grandes.Dispersas.

Reduce costos. Listados cortos, no necesario el completo de la población.DESVENTAJAS. El error estándar es mayor, que en los otros procesos. Calculo de error estándar es mas complejo

B. NO PROBABILISTICO O NO ALEATORIO.Propiedades de los elementos de la población cumple:1. Diferente probabilidad de escogencia.2. Probabilidad de escogencia desconocida.3. No es representativa la muestra.4. El error no se da en forma de probabilidad.5. Muestra es costosa.6. El investigador debe conocer el tema. Especialista.

Consiste en la elección por métodos no aleatorios de una muestra cuyas características y condiciones sean similares a las de la población objetivo. En este tipo de muestreos la “representatividad” la determina el investigador de modo subjetivo, siendo este el mayor inconveniente del método ya que no podemos cuantificar la representatividad de la muestra.Presenta casi siempre sesgos y por tanto debe aplicarse únicamente cuando no existe alternativa.1. MUESTREO ALEATORIO.

Simeón Cedano RojasProfesor de la materiaPROBABILIDAD INTRODUCCION.CECEP

POBLACION = N

MUESTRA = n

curso de probabilidad resuelto resuelto 2012-1 (1)

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