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Curso de BioestadísticaParte 16
Regresión lineal
Dr. en C. Nicolás Padilla RaygozaDepartamento de Enfermería y ObstetriciaDivisión Ciencias de la Salud e Ingenierías
Campus Celaya-SalvatierraUniversidad de Guanajuato México
Presentación
Médico Cirujano por la Universidad Autónoma de Guadalajara. Pediatra por el Consejo Mexicano de Certificación en Pediatría. Diplomado en Epidemiología, Escuela de Higiene y Medicina
Tropical de Londres, Universidad de Londres. Master en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic
International University. Doctorado en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic
International University. Profesor Asociado B, Facultad de Enfermería y Obstetricia de
Celaya, Universidad de Guanajuato. [email protected]
Competencias
Conocerá como trazar una línea de regresión Sabrá como probar hipótesis acerca de la
línea de regresión Sabrá como realizar un análisis ANOVA
Introducción
Cuando se piensa que una variable depende de la otra, se debe cuantificar la relación entre ellas.
Al hacer esto, podemos estimar el valor de una variable, si conocemos el valor de la otra.
Este método se llama regresión.
Regresión lineal
La gráfica de puntos dispersos muestra la relación entre edad y presión arterial sistólica de 37 mujeres.
La presión arterial cambia con la edad.
Relación entre edad y presión arterial sistólica
050
100150200250
0 50 100
Edad (años)
Ten
sió
n a
rteri
al
sis
tólica (
mm
Hg
)
Trazando una línea de regresión
Nuestro objetivo es trazar una línea, que mejor describa la relación entre X y Y.
Se puede trazar una línea con una regla, que una los puntos, pero es improbable que obtengamos una misma línea y cada una de ellas, da diferente descripción de la relación entre X y Y.
Relación entre edad y hemoglobina
05
101520
0 20 40 60 80
Edad (años)
Hem
og
lob
ina
(gr/
dl)
Trazando una línea de regresión
Cada distancia vertical es la diferencia entre el valor observado para la variable dependiente (en el eje y) y el valor de la línea trazada para el correspondiente valor del eje x.
La distancia vertical entre los valores observados y los trazados es conocida como residual. Llamamos a cada uno de los residuales e1.
Relación entre edad y hemoglobina
0
5
10
15
20
0 20 40 60 80
Edad (años)
Heo
blo
bin
a (
gr/
dl)
Residuales e1
Trazando una línea de regresión La línea que mejor traza los datos se le conoce como línea de
regresión. Da una estimación del valor promedio de y por algún valor de x.
En general decimos que es una regresión de y sobre x. Se puede pensar en la línea de regresión como una línea que
une los valores medios de y por cada valor de x.
0
5
10
15
20
0 5 10 15
Trazando una línea de regresión
La expresión matemática para la línea de regresión es la ecuación:
y= α + βx
donde α es la intersección de la línea con el eje y, β es la pendiente de la línea.
Regresión de los cuadrados mínimos da una línea de mejor trazo con una intersección y una pendiente determinada.
Trazando una línea de regresión
Podemos trabajar sobre la pendiente de la línea tomando dos puntos a lo largo de la línea.
Por ejemplo, tomamos los puntos 1 y 2 de la gráfica de abajo. Punto 1 tiene los valores x=4, y= 16 Punto 2 tiene los valores x=8, y=22
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15
1
2
Trazando una línea de regresión Esta gráfica corresponde
a un valor fijo de a= 10 y un valor de b diferente.
Muestra tres líneas que corresponden a un valor fijo de a y un valor diferente de y.
Esta gráfica corresponde a un valor fijo de b y un valor diferente de a.
210.5
a=10
20
10
5
Interpretando una línea de regresión
Una vez que se obtiene la línea de regresión, podemos usarla para dar un resumen de la relación entre la variable explicativa y respuesta (independiente, dependiente).
Podemos decir: Por una unidad de incremento en x, y se incrementa por un cierto valor (el valor de b). y = a + bx
Relación entre edad y hemoglobina
0
5
10
15
20
0 20 40 60 80
Edad (años)
Hem
og
lob
ina
(gr/
dl)
y = 7.9 + 0.136x
Interpretando una línea de regresión
Inferencias con una línea de regresión
Hasta ahora hemos visto sólo la descripción de la relación entre dos variables con una línea de regresión, donde a (la intersección) y b (la pendiente) son estimadas de los puntos de los datos de la muestra.
La ecuación de regresión describiendo la relación entre dos variables en la población se escribe: y = a + bx Así, a es una estimación de α y b es una estimación de β.
Población MuestraIntercepción α aPendiente β b
Inferencias con una línea de regresión
La línea de regresión da una estimación de la relación entre las dos variables x y, y en la población.
De la misma forma que hemos usado la inferencia para hacer conclusiones acerca de medias y proporciones, usaremos la línea de regresión para llegar a conclusiones acerca de la relación entre dos variables cuantitativas en la población.
Si tomamos diferentes muestras de la población, con cada muestra podemos obtener una línea de regresión trazada por el método de los cuadrados mínimos.
En la población hay una relación lineal entre dos variables y cada muestra puede ser ligeramente diferente.
Inferencias con una línea de regresión
En la muestra y = a + bx. En la población y =α + βx. Hay tres suposiciones subyacentes en el
método de regresión lineal:
1. La variable respuesta, y, tiene una distribución Normal en cada x
2. La variabilidad de y deberá ser la misma a través de x
3. La relación entre x y deberá ser lineal.
Inferencias con una línea de regresión
La pendiente b es de fundamental interés en el análisis de regresión.
Nos da la más importante información acerca de la relación entre x y, esto es, el cambio promedio en y por una unidad de cambio en x.
Obteniendo el error estándar de b, podemos calcular el intervalo de confianza y realizar una prueba de hipótesis sobre b.
Ejemplo
La ecuación de regresión para la relación entre altura y madurez ósea es:
Estatura = 97.9 + 0.215 x edad gestacional al nace
020406080
100120140
0 20 40 60
Edad gestacional al nacer (semanas)
Esta
tura
(cm
)
Ejemplo
Cuando esos valores fueron analizados usando un programa de computación los siguientes valores para la intersección, pendiente y sus errores estándar fueron calculados: a = 97.9, b = 0.215, ES(a) = 3.20, ES(b) = 0.0781.
Note que cuando edad gestacional fue de 0, la estatura es de 97.9 cm. ¿Es posible esto?
Intervalos de confianza para b
La gráfica sugiere una relación lineal razonable entre estatura y edad gestacional al nacer.
¿Pero es debido al valor de b que hemos obtenido en estos 21 niños?
Podemos calcular el intervalo de confianza para b para obtener un rango de valores que podemos tener la confianza contiene la verdadera pendiente de β.
Un intervalo de confianza al 95% para la pendiente b es calculado usando la distribución t. b ± t0.05ES(b)
donde t es a n-2 grados de libertad.
Intervalos de confianza para b
Para la relación entre altura y edad gestacional:
b = 0.215,n - 2 = 21 - 2 = 19,t19, 0.05 = 2.093,ES(b) = 0.0781 Entonces el intervalo de confianza al 95%
para b es: 0.052 a 0.378 Esto sugiere que la verdadera inclinación en
la población no es cero.
Prueba de hipótesis para b
Podemos calcular la prueba de hipótesis acerca de la verdadera pendiente β, la pendiente de la relación lineal entre dos variables en la población. Hipótesis nula
La hipótesis nula es que la pendiente en la población es cero.
Esto está implícito cuando decimos que no hay relación lineal entre altura y madurez ósea.
Ho: b = 0 Hipótesis alternativa
La hipótesis alternativa es que la pendiente en la población no es cero. Si esto es verdad, podemos decir que hay una relación lineal entre estatura y madurez ósea.
H1: b ≠ 0
Prueba de hipótesis para b
Para probar la hipótesis nula dividimos la estimación de b entre su error estándar y comparamos el resultado en la distribución t con n - 2 grados de libertad. En este ejemplo, b = 0.215, ES(b) = 0.0781 Ahora, refiriéndonos a las tablas de la distribución t
con (n - 2) = (21 - 2) = 19 grados de libertad, el valor de p es 0.01< P < 0.02.
¿Qué concluimos de este resultado? Rechazamos la hipótesis nula y decimos que hay
evidencia de que la pendiente de la relación entre estatura y madurez ósea en la población no es cero.
Análisis de varianza (ANOVA)
Evaluación de un análisis de regresión involucra la comparación de la varianza de los residuales y la variación en los datos explicada por la línea de regresión.
Esto se puede mostrar en una tabla de análisis de varianza.
Este análisis se le llama ANOVA.
Análisis de varianza (ANOVA)
Regresión La gráfica muestra la relación entre x y, con
cuatro puntos. Se traza la línea de regresión y se analiza las
diferentes partes de la variación en la relación entre x y, para evaluar la regresión
0
24
68
10
1214
16
0 1 2 3 4 5
1
1
1
1
Línea de la hipótesis nula
Residuales para suma total de cuadrados3.5 – 2.5 – 0.5 - 5.5
La diferencia entre la suma total de cuadrados y la suma de los cuadrados de los residuales (la variación que permanece después de que es trazada una línea a través de los puntos) es la variación que es explicada por la regresión de y sobre x.
En el ejemplo: La suma de los cuadrados de los residuales
es 4 La suma total de cuadrados es 49.
Análisis de varianza (ANOVA)
¿Qué es la suma de cuadrados de regresión? La línea de regresión trazada explica la
proporción de la variabilidad en la variable respuesta mientras que los residuales indican la cantidad de variabilidad sin explicación.
Una línea de regresión que describe bien los datos y explica la mayoría de la variación es preferible.
Análisis de varianza (ANOVA)
La suma de cuadrados muestran cuanto de la variación es explicada por la línea de regresión y cuánto es explicada por los residuales.
Esto se muestra en un análisis de varianza a través de la tabla ANOVA.
Análisis de varianza (ANOVA)
Tabla de análisis de varianza (ANOVA)
Análisis de varianza (ANOVA)
Fuente Suma de cuadrados Grados de libertad Media de suma de cuadrados F Valor de p
Regresión 45 1 45 22.5 0.042
Residual 4 2 2
Total 49 3
El enfoque del análisis de varianza es comparar las dos fuentes de variación (regresión y residual) para saber cuál explica mejor la variación en la variable respuesta. Para hacer esto, usamos una prueba que compara la variación en regresión y la variación residual, conocida como la prueba F.
La razón de usar una prueba F es que la razón de dos varianzas tiene una distribución de muestreo conocida como distribución F. La suma de cuadrados debido a la línea de regresión
tiene un grado de libertad. La suma de cuadrados debido a la variación residual
(inexplicable) tiene n-2 grados de libertad. Para tomar en cuenta los grados de libertad,
calculamos la media de la suma de cuadrados, dividiendo la suma de cuadrados entre los grados de libertad.
Media de la suma de cuadrados = Suma de cuadrados/grados de libertad
Análisis de varianza (ANOVA)
Podemos calcular el valor de F como la razón de la media suma de cuadrados: F = Media de suma de cuadrados de regresión/ media de suma de cuadrados de residuales = 45/2 = 22.5
La prueba F, basada en ANOVA, es una forma alternativa de probar la hipótesis nula, β = 0.
Es equivalente al cuadrado de la prueba de t sobre la pendiente b.
La prueba F y la prueba t son para probar la hipótesis nula de que x no tiene relación con y.
El valor de F es referido a las tablas de la distribución F con 1 y n-2 grados de libertad, para obtener el valor correspondiente de p. p = 0.042
Análisis de varianza (ANOVA)
¿Qué concluimos del valor de p? El valor de p nos dice la probabilidad de
observar una relación lineal en la muestra si la hipótesis nula fuera verdad y no hubiera relación lineal en la población.
Así, para un valor de p bajo podemos rechazar la hipótesis nula y decir que hay una relación lineal en la población y la línea de regresión traza bien los datos.
Análisis de varianza (ANOVA)
R2 Hemos trabajado en casi todos los términos de una
tabla ANOVA. Sólo falta calcular el porcentaje de la variación total
explicada por la línea de regresión. Es una forma general de evaluar qué bien la línea de
regresión traza los datos. ¿Cuánto de la variación total de la variable respuesta
puede ser explicada por la línea de regresión? Llamamos a este valor R² y lo calculamos como la
razón de la suma de cuadrados de la regresión dividida entre la total suma de cuadrados.
R2 = Suma de cuadrados de regresión/Total suma de cuadrados x100
Análisis de varianza (ANOVA)
Suposiciones para la regresión Recuerde las suposiciones que están
subyacentes al método de regresión lineal: La variable respuesta deberá estar normalmente
distribuida La variabilidad de y deberá ser la misma a través
de todos los valores de x Deberá haber una relación lineal entre x y.
¿Cuándo es válido usar la regresión?
Precauciones Es posible obtener una línea de regresión de
cualquier gráfica de puntos dispersos pero una regresión lineal deberá sólo ser aplicada donde existe una relación lineal.
Una asociación lineal entre dos variables no significa que una causa a la otra.
Puede ser necesario ajustar para confusores potenciales.
¿Cuándo es válido usar la regresión?
Bibliografía
1.- Last JM. A dictionary of epidemiology. New York, 4ª ed. Oxford University Press, 2001:173.
2.- Kirkwood BR. Essentials of medical ststistics. Oxford, Blackwell Science, 1988: 1-4.
3.- Altman DG. Practical statistics for medical research. Boca Ratón, Chapman & Hall/ CRC; 1991: 1-9.