Curso de BioestadísticaParte 11

Comparación de dos proporciones

Dr. en C. Nicolás Padilla RaygozaDepartamento de Enfermería y ObstetriciaDivisión Ciencias de la Salud e Ingenierías

Campus Celaya-SalvatierraUniversidad de Guanajuato México

Presentación

Médico Cirujano por la Universidad Autónoma de Guadalajara. Pediatra por el Consejo Mexicano de Certificación en Pediatría. Diplomado en Epidemiología, Escuela de Higiene y Medicina

Tropical de Londres, Universidad de Londres. Master en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic

International University. Doctorado en Ciencias con enfoque en Epidemiología, Atlantic

International University. Profesor Asociado B, Facultad de Enfermería y Obstetricia de

Celaya, Universidad de Guanajuato. padillawarm@gmail.com

Competencias

Aplicará prueba de Z para obtener inferencias de dos proporciones.

Obtendrá intervalo de confianza para dos proporciones.

Introducción

Con frecuencia, hacemos comparaciones de dos proporciones en muestras independientes.

En la clase anterior aprendimos a calcular los intervalos de confianza y la prueba de hipótesis, para una proporción; podemos utilizar los mismos métodos para hacer inferencias de proporciones, si el tamaño de la muestra es grande.

Para una muestra grande podemos usar una aproximación Normal a la distribución binomial.

Ejemplos

En un estudio de infección de vías urinarias no complicadas, los pacientes fueron asignados para ser tratados con trimetoprim / sulfametoxazol o fosfomicina / trometamol.

92% de los 100 tratados con fosfomicina/ trometamol mostraron curación bacteriológica mientras que el 61% de los 100 manejados con trimetoprim / sulfametoxazol se curó la infección.

Introducción

Cuando comparamos proporciones de muestras independientes, debemos primero calcular la diferencia en proporciones.

El análisis para comparar dos proporciones independientes es similar al usado para dos medias independientes. Calculamos un intervalo de confianza y una

prueba de hipótesis para la diferencia en proporciones.

Notación

La notación que usamos para el análisis de dos proporciones es el mismo que para una proporción.

Los números inferiores son para distinguir los dos grupos.

Parámetros Población

1 2

Muestra

1 2

Proporción π1 π2 p1 p2

Desviación estándar

√π1(1-π2) √π2(1-π2) √p1(1-p1) √p2(1-p2)

Inferencias de dos proporciones independientes El cuadrado del error estándar de una

proporción es conocido como la varianza de la proporción.

La varianza de la diferencia entre las dos proporciones independientes es igual a la suma de las varianzas de las dos proporciones de las muestras.

Las varianzas son sumadas debido a que cada muestra contribuye al error de muestreo en la distribución de las diferencias.

Inferencias de dos proporciones independientes ES = √p(1-p)/n Varianza = p(1-p)/n p1(1- p1) p2(1- p2)

Varianza(p1-p2)= varianza de p1 + varianza de p2 = --------- + ----------

n1 n2

El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es dado por la raíz cuadrada de la varianza.

ES(p1-p2)= √[p1(1-p1)/n1 + p2(1-p2)/n2]

Intervalos de confianza para dos proporciones independientes Para calcular el intervalo de confianza

necesitamos conocer el error estándar de la diferencia entre dos proporciones.

El error estándar de la diferencia entre dos proporciones es la combinación del error estándar de las dos distribuciones independientes, ES (p1) y ES (p2).

Hemos estimado la magnitud de la diferencia de dos proporciones de las muestras; ahora calcularemos el intervalo de confianza para esa estimación.

Intervalos de confianza para dos proporciones independientes La fórmula general para el intervalo de

confianza al 95% es:

Estimado ±1.96 x ES La fórmula para 95% IC de dos proporciones

sería:

(p1-p2) ± 1.96 ES(p1-p2)

Intervalos de confianza para dos proporciones independientes En el estudio de infección de vías urinarias,

la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61 Diferencia en proporciones = 0.92-0.61=0.31 ES = √[(0.92(1-0.92)/100 + 0.61(1-0.61)/100]

= 0.056 El intervalo de confianza al 95% sería:

0.31 ± 1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42

Intervalos de confianza para dos proporciones independientes El intervalo de confianza al 95% sería:

0.31 ± 1.96 (0.056) = 0.31±0.11 = 0.2 a 0.42 Tengo 95% de confianza de que la diferencia

en las proporciones en la población estaría entre 0.2 y 0.42.

Como la diferencia no incluye 0, estamos confiados que en la población la proporción de curados con fosfomicina/trometamol es diferente que con trimetoprim sulfametoxazol.

Prueba de hipótesis para dos proporciones independientes Una prueba de hipótesis usa la diferencia observada

y el error estándar de la diferencia. Sin embargo, usamos un error estándar ligeramente

diferente para calcular la prueba de hipótesis. Esto se debe a que estamos evaluando la

probabilidad de que los datos observados asumen que la hipótesis nula es verdad.

La hipótesis nula es que no hay diferencia en las proporciones de las dos poblaciones y ambas grupos tienen una proporción común, π.

Prueba de hipótesis para dos proporciones independientes El mejor estimado que podemos obtener de π es la

proporción común, p, de las dos proporciones de la muestra.

P=r1+r2/n1+n2 Donde:

r1 y r2 son los números de respuestas positivas en cada muestra

n1 y n2 son los tamaños de muestra en cada muestra. La proporción común siempre estará entre las dos

proporciones individuales.

Prueba de hipótesis para dos proporciones independientes El error estándar puede ser calculado

sustituyendo p, por p1 y p2. ES(p1-p2)=√p(1-p)(1/n1 +1/n2)

Esto se conoce como error estándar agrupado.

Ejemplo

En el estudio de infección de vías urinarias, la proporción en el grupo de fosfomicina/ trometamol fue 0.92 y para trimetoprim/ sulfametoxazol fue 0.61

Fueron 100 intregrantes en cada grupo. Proporción común, p= 92 + 61/100+100 =

153/200 = 0.765 ES(p1-p2)=√0.77(1-0.77)(1/100 +1/100)=

√0.1771 x 0.002 = 0.019

Ejemplo

Si asumimos una aproximación a la Normalidad para la distribución Binomial, calculamos la prueba de z , como antes.

Para calcular la prueba de hipótesis, debemos:

1.- Señalar la hipótesis nula Ho

2.- Señalar la hipótesis alternativa H1

3.- Calcular la prueba de hipótesis z.

Ejemplo

Hipótesis nula: cuando comparamos dos proporciones de poblaciones

independientes es usualmente que las dos proporciones son iguales.

Ho: π1 = π2 Es lo mismo que si la diferencia en las proporciones de las dos

poblaciones es igual a 0. Ho: π1 - π2 = 0

Hipótesis alternativa: es usualmente que las dos proporciones no son iguales.

H1: π1 ≠ π2 Es lo mismo que la diferencia en proporciones no es igual a

cero. H1: π1 – π2 ≠ 0

Prueba estadística de Z

La fórmula general para la prueba de z es la misma que para la diferencia en dos medias.

(p1-p2) – 0

z= --------------

ES(p1-p2)

Cuando la hipótesis nula es que la diferencia en dos proporciones es igual a cero calculamos:

(p1-p2) – 0 p1-p2

z= -------------- = --------

ES (p1-p2) ES (p1-p2)

Ejemplo

0.92 de éxito para fosfomicina/trometamol y 0.61 para trimetoprim/sulfametoxazol

ES = 0.019

(p1-p2) – 0 0.31 - 0

z= -------------- = -----------= 16.32

ES(p1-p2) 0.019

P<0.05

Bibliografía

1.- Last JM. A dictionary of epidemiology. New York, 4ª ed. Oxford University Press, 2001:173.

2.- Kirkwood BR. Essentials of medical ststistics. Oxford, Blackwell Science, 1988: 1-4.

3.- Altman DG. Practical statistics for medical research. Boca Ratón, Chapman & Hall/ CRC; 1991: 1-9.