cuestioneslogicasysoluc iones

LÓGICALA LÓGICA. Es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero

sintiéndote contento contigo mismo.

1. SILENCIO. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia?

2. LA NOTA MEDIA. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados?

3. LOS CUATRO ATLETAS. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. ¿Podría Vd. calcular el orden de llegada?

4. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, podría Vd. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás.

5. LOS CUATRO PERROS. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener?

6. TENIS DE CATEGORÍA. En un partido del prestigioso torneo de tenis de Roland Garros se enfrentaron Agasy y Becker. El triunfo correspondió al primero por 6-3 y 7-5. Comenzó sacando Agasy y no perdió nunca su saque. Becker perdió su servicio dos veces. Agasy rompió el servicio de su rival en el segundo juego del primer set y, ¿en qué juego del segundo set?

7. SERPIENTES MARINAS. Un capitán en el Caribe fue rodeado por un grupo de serpientes marinas, muchas de las cuales eran ciegas. Tres no veían con los ojos a estribor, 3 no veían nada a babor, 3 podían ver a estribor, 3 a babor, 3 podían ver tanto a estribor como a babor, en tanto que otras 3 tenían ambos ojos arruinados. ¿Cuál es el mínimo número de serpientes necesarias para que con ellas se den todas esas circunstancias?

8. EL PARO AUMENTA. Con motivo de realizar un estudio estadístico de los componentes de una población, un agente analizó determinadas muestra de familias. El resultado fue el siguiente: 1) Había más padres que hijos. 2) Cada chico tenía una hermana. 3) Había más chicos que chicas. 4) No había padres sin hijos. ¿Qué cree Vd. que le ocurrió al agente?

9. PARTIDO DE TENIS. Santana ganó a Orantes un set de tenis por 6-3. Cinco juegos los ganó el jugador que no servía. ¿Quién sirvió primero?

10. CABALLOS. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más lento y cuál el más claro?

En ocasiones, ciertas personas se encuentran en una situación crítica, y sólo por su agudeza e inteligencia pueden salir de ella.

11. EL EXPLORADOR CONDENADO. Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas, se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a su funesta suerte?

12. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?

13. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES. Imaginemos que hay tres puertas y tres guardias, dos en las condiciones anteriores y el tercero que dice verdad o mentira alternativamente. ¿Cuál es el menor número de preguntas que debe hacer para encontrar la libertad con toda seguridad?

14. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

15. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

16. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. Cuarenta cortesanos de la corte de un sultán eran engañados por sus mujeres, cosa que era claramente conocida por todos los

demás personajes de la corte sin excepción. Únicamente cada marido ignoraba su propia situación. El sultán: «Por lo menos uno de vosotros tiene una mujer infiel. Quiero que el que sea la expulse una mañana de la ciudad, cuando esté seguro de la infidelidad». Al cabo de 40 días, por la mañana, los cuarenta cortesanos engañados expulsaron a sus mujeres de la ciudad. ¿Por qué?

17.

18. EL CONDENADO A MUERTE. En los tiempos de la antigüedad la gracia o el castigo se dejaban frecuentemente al azar. Así, éste es el caso de un reo al que un sultán decidió que se salvase o muriese sacando al azar una papeleta de entre dos posibles: una con la sentencia "muerte", la otra con la palabra "vida", indicando gracia. Lo malo es que el Gran Visir, que deseaba que el acusado muriese, hizo que en las dos papeletas se escribiese la palabra "muerte". ¿Cómo se las arregló el reo, enterado de la trama del Gran Visir, para estar seguro de salvarse? Al reo no le estaba permitido hablar y descubrir así el enredo del Visir.

19. LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una?

20. SILOGISMOS. Ejemplo que está en todos los manuales de lógica elemental. El silogismo: «Los hombres son mortales, Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal». es indudablemente conocido e inevitablemente válido. Qué ocurre con el siguiente: «Los chinos son numerosos, Confucio es chino. Luego, Confucio es numeroso».

21. EL TORNEO DE AJEDREZ. En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador?

22. LAS TRES CARTAS. Tres naipes, sacados de una baraja francesa, yacen boca arriba en una fila horizontal. A la derecha de un Rey hay una o dos Damas. A la izquierda de una Dama hay una o dos Damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. Dígase de qué tres cartas se trata.

23. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. Tres parejas de jóvenes fueron a una discoteca. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus acompañantes vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando el chico de rojo, pasando al bailar junto a la chica de verde, le

habló así: Carlos: ¿Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color. Con esta información, ¿se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo?

24. BLANCO, RUBIO Y CASTAÑO. Tres personas, de apellidos Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en una reunión. Poco después de hacerse las presentaciones, la dama hace notar: "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco Rubio y Castaño, y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello" "Sí que lo es -dijo la persona que tenía el pelo rubio-, pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido." "¡Es verdad!" -exclamó quien se apellidaba Blanco. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el cabello de Rubio?

25. LOS CIEN POLÍTICOS. Cierta convención reunía a cien políticos. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. Se dan los datos: a) Al menos uno de los políticos era honesto. b) Dado cualquier par de políticos, al menos uno de los dos era deshonesto. ¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos?

26. COMIENDO EN EL RESTAURANTE. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que: - Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. - Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. - A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. - No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?

27. SELLOS DE COLORES. Tres sujetos A, B y C eran lógicos perfectos. Cada uno podía deducir instantáneamente todas las conclusiones de cualquier conjunto de premisas. Cada uno era consciente, además, de que cada uno de los otros era un lógico perfecto. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos, dos amarillos y tres verdes. A continuación, se les taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente; los cuatro sellos restantes se guardaron en un cajón. Cuando se les destaparon los ojos se le preguntó a A: -¿Sabe un color que con seguridad usted no tenga? A, respondió: -No. A la misma pregunta respondió B: -No. ¿Es posible, a partir de esta información, deducir el color del sello de A, o del de B, o del de C?

28. LA LÓGICA DE EINSTEIN. Problema propuesto por Einstein y traducido a varios idiomas conservando su lógica. Einstein aseguraba que el 98% de la población mundial sería incapaz de resolverlo. Yo creo que Vd. es del 2% restante. Inténtelo y verá como tengo razón. Condiciones iniciales: - Tenemos cinco casas, cada una de un color.

- Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente. - Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente. - Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro. Datos: 1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul. 2. El que vive en la casa del centro toma leche. 3. El inglés vive en la casa roja. 4. La mascota del Sueco es un perro. 5. El Danés bebe té. 6. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca. 7. El de la casa verde toma café. 8. El que fuma PallMall cría pájaros. 9. El de la casa amarilla fuma Dunhill. 10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. 12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua. ¿Quién tiene peces por mascota?

29. COLOCANDO NÚMEROS (1). Colocar un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que:

a) 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b) 5, 7, 9, están en la horizontal inferior. c) 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha.



31. LA BARAJA ESPAÑOLA. En una mesa hay cuatro cartas en fila: 1. El caballo esta a la derecha de los bastos. 2. Las copas están mas lejos de las espadas que las espadas de los bastos. 3. El rey esta mas cerca del as que el caballo del rey.

4. Las espadas, mas cerca de las copas que los oros de las espadas. 5. El as esta mas lejos del rey que el rey de la sota. ¿Cuáles son los cuatro naipes y en qué orden se encuentran?


a) 4, 5, 6, están en la horizontal superior. b) 7, 8, están en la horizontal inferior. c) 2, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical izquierda. d) 1, 5, 6, 7, 8, 9, no están en la vertical derecha.

33. EN EL ASCENSOR. Cuatro jugadores de rugby entran en un ascensor que puede trasportar un máximo de 380 kilos. Para que no suene una alarma, que detendría al elevador por exceso de carga, tiene usted que calcular su peso total con gran rapidez. Pero, ¿cuanto pesa cada jugador? He aquí los datos: Pablo es quien pesa más: si cada uno de los otros pesara tanto como el, la alarma detendría el ascensor. Carlos es el mas ligero: ¡el ascensor podría subir a cinco como el¡ Renato pesa 14 kilos menos que Pablo, y solo seis menos que Jesús. Jesús pesa 17 kilos mas que Carlos. Los peces de Pablo y de Carlos son múltiplos de cinco.



35. LA ORUGA Y EL LAGARTO. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo? (Original de Lewis Carroll)

36. LOS TRES DADOS. Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA, ESA, ATE, CAE, SOL, GOL, REY, SUR, MIA, PIO, FIN, VID, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY, RIN. ¿Cuáles son las letras de cada dado?

37. ¿SON MENTIROSOS? Andrés: Cuando yo digo la verdad, tú también. Pablo: Cuando yo miento, tu también. ¿Es posible que en esta ocasión uno mienta y el otro no?

38. PASTELES PARA NIÑOS. Un niño y medio se comen un pastel y medio en un minuto y medio. ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora?

39. LA BODA. Cuando María preguntó a Mario si quería casarse con ella, este contestó: "No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos". María se mareó. ¿Puede ayudarla diciéndola si Mario quiere o no quiere casarse?

40. EL ENCUENTRO. Ángel, Boris, César y Diego se sentaron a beber. El que se sentó a la izquierda de Boris, bebió agua. Ángel estaba frente al que bebía vino. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. El del café y el del anís estaban frente a frente. ¿Cuál era la bebida de cada hombre?

41. EL NÚMERO. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. - Ninguna cifra es impar. - La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera. - La segunda es la menor de todas. - La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta.

42. LA HILERA DE CASAS. En una hilera de cuatro casas, los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de los Bruce. Si los Bruce no viven al lado de los Jones, ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los Jones?

43. COMPLETANDO. Completar la oración siguiente colocando palabras en los espacios: Ningún pobre es emperador, y algunos avaros son pobres: luego: algunos (.........) no son (.........).

44. EXAMEN DE HISTORIA. De las siguientes afirmaciones. ¿cuáles son las dos que. tomadas conjuntamente, prueban en forma concluyente que una o más niñas aprobaron el examen de historia? a) Algunas niñas son casi tan competentes en historia como los niños. b) Las niñas que hicieron el examen de historia eran más que los niños. c) Más de la mitad de los niños aprobaron el examen. d) Menos de la mitad de todos los alumnos fueron suspendidos.

45. CONDUCTORES Y SU SEXO. Las estadísticas indican que los conductores del sexo masculino sufren más accidentes de automóvil que las conductoras. La conclusión es que: a) Como siempre, los hombres, típicos machistas, se equivocan en lo que respecta a la pericia de la mujer conductora. b) Los hombres conducen mejor, pero lo hacen con más frecuencia. c) Los hombres y mujeres conducen igualmente bien, pero los hombres hacen más kilometraje. d) La mayoría de los camioneros son hombres. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión.

46. GASOLINA. Si al llegar a la esquina Jim dobla a la derecha o a la izquierda puede quedarse sin gasolina antes de encontrar una estación de servicio. Ha dejado una atrás, pero sabe que, si vuelve, se le acabará la gasolina antes de llegar. En la dirección que lleva no ve ningún surtidor. Por tanto: a) Puede que se quede sin gasolina. b) Se quedará sin gasolina. c) No debió seguir. d) Se ha perdido. e) Debería girar a la derecha. f) Debería girar a la izquierda.

47. NEUMÁTICOS. Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros. c) S¾lo algunos neumáticos son de goma. d) Todos los neumáticos son flexibles. e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros.

48. OSTRAS. Todas las ostras son conchas y todos los conchas son azules; además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. Según los datos suministrados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todas las ostras son azules. b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras. c) a) y b) no son ciertas. d) a) y b) son ciertas las dos.

49. PUEBLOS. A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises; los Azules no viven al lado de los Grises. ¿Quiénes son pues los vecinos de los Grises?

50. EL TEST. Tomás, Pedro, Jaime, Susana y Julia realizaron un test. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás, Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana, y Pedro logró menos puntos que Tomás. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta?

SOLUCIONES DE LÓGICA

1. SILENCIO. Más bajo.

2. LA NOTA MEDIA. Ocho.

3. LOS CUATRO ATLETAS. B-C-D-A.

4. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. En coche.

5. LOS CUATRO PERROS. El galgo.

6. TENIS DE CATEGORÍA. En el juego número once.

7. SERPIENTES MARINAS. Había 3 serpientes totalmente ciegas y 3 con ambos ojos sanos.

8. EL PARO AUMENTA. El agente pasó a engrosar la lista de parados, por incompetente, al haber llegado a la conclusión primera de que había más padres que hijos.

9. PARTIDO DE TENIS. Quienquiera que sirviese primero sirvió cinco juegos, y el otro jugador sirvió cuatro. Supóngase que quien sirvió primero ganó x de los juegos que sirvió, e y del resto de los juegos. El número total de juegos perdidos por el jugador que los sirvió es, entonces, 5-x+y. Esto es igual a 5 (se nos dijo que la que no sirvió ganó cinco juegos); por tanto, x=y, y el primer jugador ganó un total de 2x juegos. Porque sólo Santana ganó un número par de juegos, él debió ser el primero en servir.

10. CABALLOS. El más viejo el de Mac, el más lento el de Jack y el más claro el de Smith.

11. EL EXPLORADOR CONDENADO. El condenado dijo: «MORIRÉ EN LA HOGUERA». Si esta frase es cierta, el condenado debe morir envenenado. Pero en ese caso ya es falsa. Y si es falsa, debe morir en la hoguera, pero en este caso es verdadera. El condenado fue indultado.

12. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. El prisionero pregunta a uno de los dos servidores: «SI LE DIJERA A TU COMPAÑERO QUE ME SEÑALE LA PUERTA DE LA LIBERTAD, ¿QUÉ ME CONTESTARÍA?» En los dos casos, el guardián señala la puerta de la esclavitud. Por supuesto elegiría la otra puerta para salir de la celda.

13. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES.

14. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El primer preso (el que no ve ninguna boina) averigua el color de su boina: Como el tercer preso, que ve las dos boinas, no dice nada, no puede ver dos boinas negras. Si el segundo viera una boina negra en el primero, sabría que él tiene una blanca ya que no oye al tercero decir que tiene una blanca. Entonces el primer preso tiene una boina blanca.

15. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). Si uno cualquiera de ellos tuviera una boina negra, los otros dos sabrían que tiene una boina blanca; si no, el tercero diría inmediatamente que tiene una boina blanca. Luego cada preso tiene una boina blanca.

16. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. Si hubiera sólo un marido engañado, habría expulsado a su mujer la primera mañana, puesto que no conocería ninguna mujer infiel y sabría que hay por lo menos una. Si hubiera dos maridos engañados, cada uno sabría que el otro era engañado, y esperaría que éste último expulsase a su mujer la primera mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que el otro espera lo mismo, y por tanto que hay dos mujeres infieles una de las cuales es la suya. Los dos maridos expulsan pues a sus mujeres la segunda mañana.

De la misma manera, si hubiera tres maridos engañados, cada uno sabría que los otros dos lo son, y esperaría que expulsaran a sus mujeres la segunda mañana. Como eso no tiene lugar, cada uno deduce que una tercera mujer infiel, que no puede ser otra más que la suya. Los tres maridos expulsan pues a sus mujeres la tercera mañana. Y así sucesivamente; los cuarenta maridos expulsan a sus cuarenta mujeres a los cuarenta días, por la mañana.

17. EL REY Y EL MINISTRO. El ministro cogió uno de los papeles sin mirarlo, hizo con él una bola y se lo tragó. Como el papel que quedaba decía CESADO, el rey quedó obligado a reconocer que el papel elegido, y tragado, contenía la opción SEGUIR.

18. EL CONDENADO A MUERTE. Eligió una papeleta y, con gesto fatalista, como correspondía a un árabe, se la tragó. El sultán hubo de mirar la que quedaba, para saber lo que decía la elegida por el reo, con lo que su salvación quedó asegurada merced al Gran Visir y a su propio ingenio.

19. LAS DEPORTISTAS. Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz.

21. EL TORNEO DE AJEDREZ. Veamos primero el número de jugadores en cada grupo. Sea x el número de jugadores del primer grupo. (30-x)(29-x)/2 - x(x-1)/2 = 87 870 - 59x + x² - x² + x = 174 ===> 58x = 696 ===> x = 12. Luego hubo 12 jugadores en el primer grupo y 18 jugadores en el segundo grupo. Cada jugador del primer grupo jugó 11 partidas y como el ganador totalizó 7'5 puntos, sin perder ninguna partida, tenemos, llamando y al número de partidas en las que hizo tablas: y 0'5 + (11-y) 1 = 7'5 ===> 0'5y = 3'5 ===> y = 7 partidas.

22. LAS TRES CARTAS. Los dos primeros enunciados sólo pueden satisfacer mediante dos disposiciones de Reyes y Damas: RDD y DRD. Los dos últimos enunciados sólo se cumplen con dos combinaciones de corazones y picas: PPC y PCP. Los dos conjuntos pueden combinarse de cuatro maneras posibles: RP, DP, DC - RP, DC, DP - DP, RP, DC - DP, RC, DP El último conjunto queda excluido por contener dos Damas de picas. Como los otros tres conjuntos están compuestos del Rey de picas, la Dama de picas y la Dama de corazones, tenemos la seguridad de que éstas son las tres cartas que están sobre la mesa. No podemos saber la posición de cada naipe en concreto, pero sí podemos decir que el primero ha de ser de picas y el tercero una Dama.

23. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. El chico de rojo tiene que estar con la muchacha de azul. La chica no puede ir de rojo, pues la pareja llevaría el mimo color, y tampoco puede ir de verde, porque el chico de rojo habló con la chica de verde cuando estaba bailando con otro amigo. El mismo razonamiento hace ver que la chica de verde no puede estar ni con el chico de rojo ni con el de verde. Luego debe bailar con el chico vestido de azul. Así pues, nos queda la chica de rojo con el muchacho de verde.

24. BLANCO, RUBIO Y CASTAÑO. Suponer que la dama se apellida Castaño conduce rápidamente a una contradicción. Su observación inicial fue replicada por la persona de pelo rubio, así que el pelo de Castaño no podrá ser de ese color. Tampoco puede ser castaño, ya que se correspondería con su apellido. Por lo tanto debe ser blanco. Esto implica que Rubio ha de tener el pelo castaño, y que Blanco debe tenerlo rubio. Pero la réplica de la persona rubia arrancó una exclamación de Blanco y, por consiguiente, éste habría de ser su propio interlocutor. Por lo que antecede, la hipótesis de que la dama sea Castaño debe ser descartada. Además, el ,pelo de Blanco no puede ser de este color, ya que coincidirían color y apellido, y tampoco rubio, pues Blanco replica a la persona que tiene ese cabello. Hay que concluir que el pelo de Blanco es castaño. Dado que la señora no tiene el pelo castaño, resulta que ésta no se apellida Blanco, y como tampoco puede llamarse Castaño, nos vemos forzados a admitir que su apellido es Rubio. Como su pelo no puede ser ni rubio ni castaño, se debe concluir que es blanco. Si la señora Rubio no es una anciana, parece justificado que estamos hablando de una rubia platino.

25. LOS CIEN POLÍTICOS. Una respuesta bastante corriente es "50 honestos y 50 deshonestos". Otra bastante frecuente es "51 honestos y 49 deshonestos". ¡las dos respuestas son equivocadas! La respuesta es que uno es honesto y 99 deshonestos.

26. COMIENDO EN EL RESTAURANTE. La mujer de Dionisio. Siguiendo el sentido de las agujas del reloj, la colocación es la siguiente: Armando, mujer de Dionisio, Basilio, mujer de Armando, Carlos, mujer de Basilio, Dionisio y mujer de Carlos.

27. SELLOS DE COLORES. El único cuyo color puede determinarse es C. Si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo al pensar: "Si mi sello fuera también rojo. A, al ver dos sellos rojos, sabría que su sello no es rojo. Pero A no sabe que su sello no es rojo. Por consiguiente, mi sello no puede ser rojo." Esto demuestra que si el sello de C fuera rojo, B habría sabido que su sello no era rojo. Pero B no sabía que su sello no era rojo; así que el sello de C no puede ser rojo. El mismo razonamiento sustituyendo la palabra rojo por amarillo demuestra que el sello de C tampoco puede ser amarillo. Por tanto, el sello de C debe ser verde.

28. LA LÓGICA DE EINSTEIN.

CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5

Noruego Amarillo

Agua Dunhill Gatos

Danés Azul Té

Blend Caballos

Inglés Rojo Leche

PalMall Pájaros

Alemán Verde Café

Prince PECES

Sueco Blanco

Cerveza BlueMaster

Perro

29. COLOCANDO NÚMEROS (1).

8 3 6

4 1 2

5 9 7


9 5 3

8 1 4

7 2 6

31. LA BARAJA ESPAÑOLA. Según lo declarado en los números 3 y 5, la distancia entre rey y sota es inferior a la que separa al rey del as, que a su vez es menor de la que media entre rey y caballo. Como solo hay cuatro naipes, el rey debe estar junto a la sota, y el rey y el caballo en ambos extremos. En forma similar, la distancia entre espadas y bastos es menor de la que hay entre espadas y copas, que a su vez es inferior a la distancia entre espadas y oros. Por tanto, las espadas están junto a los bastos, y espadas y oros se encuentran en los extremos. Puesto que el caballo esta a la derecha de los bastos, no puede estar en el extremo izquierdo. De modo que tenemos, de izquierda a derecha: el rey de oros, la sota de copas, el as de bastos y el caballo de espadas.


6 5 4

1 9 3

7 8 2

33. EN EL ASCENSOR. Pablo pesa 100 kilos; Carlos, 75; Renato, 86; y Jesús, 92. Se nos dice que Pablo pesa mas de 95 kilos, y Carlos no mas de 76 y, además, que los pesos de Pablo y de Carlos son múltiplos de 5.


5 2 6

1 9 3

8 4 7

35. LA ORUGA Y EL LAGARTO. El lagarto está cuerdo, la oruga loca.

36. LOS TRES DADOS. 1º) O-M-E-F-U-V. 2º) S-G-C-I-T-Y. 3º) A-D-L-P-N-R.

37. ¿SON MENTIROSOS? No es posible. La falsedad de la afirmación de Andrés implica la falsedad de la afirmación de Pablo y viceversa.

38. PASTELES PARA NIÑOS. En minuto y medio un niño se come un pastel. En tres minutos dos pasteles. En 30 minutos 20 pasteles. Para comerse 60 en media hora se necesitan 3 niños.

39. LA BODA. Mario se quiere casar.

40. EL ENCUENTRO. Ángel: agua. Boris: café. César: anís. Diego: vino.

41. EL NÚMERO. El número buscado es el 204.862.

42. LA HILERA DE CASAS. Los Brown.

43. COMPLETANDO. EMPERADORES. AVAROS.

44. EXAMEN DE HISTORIA. b) y d).

45. CONDUCTORES Y SU SEXO. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión.

46. GASOLINA. a) Puede que se quede sin gasolina.

47. NEUMÁTICOS. d) y e).

48. OSTRAS. a).

49. PUEBLOS. Los verdes.

50. EL TEST. Julia.

51. ...

MENTALESProblemas para resolver mentalmente, sin lápiz ni papel y en un tiempo

prefijado, generalmente unos pocos segundos.

1. PERROS, GATOS Y LOROS. ¿Cuántos animales tengo en casa, sabiendo que todos son perros menos dos, todos son gatos menos dos, y que todos son loros menos dos?

2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. En el Libro del Delirium Tremens se habla de una raza de gigantes muy especial. Da la casualidad que la altura media de estos gigantes es diez metros más que la mitad de su altura. Sin pensarlo dos veces, ¿cuánto miden?

3. EL PESO DE UN LADRILLO. Si un ladrillo se equilibra con tres cuartos de ladrillo más una pesa de tres cuartos de kilo, ¿cuánto pesa un ladrillo?

4. LA CUADRILLA. Una cuadrilla de segadores está compuesta por sus tres cuartas partes más tres cuartos de hombre. ¿Cuántos hombres componen la cuadrilla?

5. ACABÓ LA GUERRA. De 138 soldados vueltos del frente, casi el 43% perdió un ojo y el 50% de los restantes perdió ambos ojos. ¿Cuántos ojos quedaron?

6. PROPINAS AL ACOMODADOR. En un cine hay 1.300 espectadores. El 13% de ellos le ha dado 5 ptas. de propina al acomodador. Del 87% restante, la mitad le ha dado 10 ptas. y la otra mitad, nada. ¿Cuánto dinero recibe el acomodador?

7. ¿CUANTOS NUEVES? En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números a todas las casas del uno al cien; éste tendrá que encargar los números para hacer el trabajo. ¿Cuántos nueves necesitará?

8. ¿CUANTO BENEFICIO? Un comerciante compró un artículo por 7 ptas., lo vendió por 8, lo volvió a comprar por 9 y lo vendió finalmente por 10. ¿Cuánto beneficio sacó?

9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. ¿Cuánto valen 10 agujas de coser a 1000 ptas. el millar?

10. PILOTO DE FORMULA 1. Un piloto de Fórmula 1 completó una vuelta del circuito del Jarama en un minuto veintitrés segundos. A este ritmo, ¿cuánto habrá de tardar en completar 60 vueltas?

11. LOS TANTOS POR CIENTO. ¿Qué es más, el 25% de 75 o el 75% de 25?

12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. Una botella de vino cuesta 10 dólares. El vino cuesta nueve dólares más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella?

13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. Una botella cuesta 30 ptas. más que su tapón. Los dos juntos cuestan 50 ptas. ¿Cuánto cuesta cada uno?

14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. Una botella y su tapón pesan 1 Kg. y 10 gramos. La botella pesa 1 Kg. más que el tapón. ¿Cuánto pesa la botella? ¿Y el tapón?

15. EL MISMO DINERO. Arturo y Benito tienen la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tiene que dar Arturo a Benito para que Benito tenga 10 ptas. más que Arturo?

16. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: «Si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas». ¿Cuántas ovejas tenía cada uno?

17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio y Pedro se encuentran teniendo cada uno de ellos una carga de limones. Antonio: Si me das tres limones,

tendremos cada uno la misma carga. Pedro: Si tú me das seis limones, tendré el doble de los que te quedan. ¿Cuántos limones llevaba cada uno?

18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Un viajante recorrió en coche 5000 Km., permutando regularmente las ruedas (incluida la de repuesto) para que todas sufrieran igual desgaste. Al terminar el viaje, ¿durante cuántos kilómetros ha sido utilizada cada rueda?

19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total?

20. ¿CUANTA TIERRA? Cierto pequeño granjero no tenía dinero para pagar sus impuestos. Como consecuencia, el recaudador real de impuestos le quitó un décimo de sus tierras. Al granjero le quedaron 10 Ha. ¿Cuánta tierra tenía al principio?

21. DOMINÓ. Del juego del dominó se separan las fichas que tienen un 6. Quieres colocar sobre la mesa las 21 fichas que quedan siguiendo las reglas del juego, es decir el 2-3 puede ir empalmado con el 3-5, éste con el 5-4, etc,... ¿podrás hacerlo?

22. LA AMEBA. Una ameba se divide en dos (y así se reproduce) exactamente cada minuto. Dos amebas en un tubo de ensayo pueden llenarlo por completo en dos horas. ¿Cuánto tiempo le llevará a una sola ameba llenar otro tubo de ensayo de la misma capacidad?

23. MANOS Y DEDOS. En una mano hay 5 dedos, en 2 manos hay 10 dedos, ¿Cuántos dedos hay en 10 manos?

24. ¿QUÉ HORA SERÁ? ¿Qué hora será, si quedan del día la tercera parte de las horas que han pasado?

25. DOCENAS DE HUEVOS. Hallar la diferencia entre media docena de docenas de huevos y seis docenas de huevos.

26. EL PRECIO DEL OBJETO. Por un objeto se pagan 9 duros más la mitad de lo que vale. ¿Cuánto vale el objeto?

27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Si un pastor tiene 15 ovejas y se le mueren todas menos nueve, ¿cuántas le quedan?

En muchos problemas es muy importante comprender exactamente lo que se pide hallar, antes de intentar calcularlo. Si una primera interpretación de un problema conduce a contradicciones, o bien la pregunta carece de solución, o bien el problema no se ha comprendido correctamente.

28. OTRO LADRILLO. Si un ladrillo pesa 2 kg. y medio ladrillo. ¿Cuánto pesa un ladrillo y medio?

29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. ¿Qué altura tiene un árbol, que es 2 metros más corto que un poste de altura triple que la del árbol?

30. ENTRE PASTORES. Un pastor le dijo a otro: si te regalo una de mis ovejas, tú tendrás el doble de las que yo tengo. Pero si tú me das una de las tuyas, tendríamos las mismas. ¿Cuántas ovejas tenía cada uno?

31. DÍAS Y SEGUNDOS. ¿Cuántos días hay en 43.200 segundos?

32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro tiene la estatura que tendrá Juan cuando crezca lo que le falta a Antonio para tener la estatura de Pedro. ¿Qué relación hay entre las estaturas de Pedro, Juan y Antonio?

33. PINTANDO UN CUBO. ¿Cuál es el mínimo número de colores para pintar un cubo de forma que dos caras adyacentes no tengan el mismo color?

34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan: Si me das 3 ptas. tendré tantas como a ti te quedan. Pedro: Si tú me das 6 tendré el doble de las que a ti te quedan. ¿Cuánto dinero tienen Juan y Pedro?

35. EL CUBO PINTADO. Un cubo de madera de 30 cm. de lado se pinta completamente de rojo; luego se sierra en 27 cubitos de 10 cm. de lado cada uno. ¿Cuántos serán los cubitos serrados que presentarían sólo dos caras pintadas?

36. EL CEREZO. A un cerezo subí, que cerezas tenía, ni cerezas toqué, ni cerezas dejé. ¿Cuántas cerezas había?

37. OTRO CEREZO. A un cerezo trepé, que con cerezas hallé, yo cerezas no comí, mas cerezas no dejé. ¿Cuántas cerezas había?

38. JUGANDO AL AJEDREZ. Tres amigos jugaron al ajedrez. En total jugaron tres partidas. ¿Cuántas partidas jugó cada uno?

39. LO DE LA SARDINA. A real y medio la sardina y media, ¿cuánto costarán siete sardinas y media?

40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Docena y media de huevos cuestan dieciséis duros y medio. ¿Cuánto costarán 18 huevos?

41. LO DE LOS ARENQUES. Si un arenque y medio cuesta tres medios peniques, ¿cuánto costarán doce arenques?

42. PAN, PAN Y PAN. Pan, pan y pan, pan y pan y medio, cuatro medios panes, y tres panes y medio, ¿cuántos panes son?

43. MEDIAS MEDIAS. Cuatro medios pares de medias medias, ¿cuántos pares de medias son?

44. LAS CERVEZAS. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, ¿cuántas cervezas beberán seis hombres en seis días?

45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio pueden tatuar dos sirenas y media, en los brazos de dos marineros y medio en dos horas y media. ¿Cuántos

tatuadores se necesitarán para tatuar 24 sirenas, en los brazos de 24 marineros en 24 horas?

46. NIÑOS Y MOSCAS. Si tres niños cazan tres moscas en tres minutos. ¿Cuánto tardarán treinta niños en cazar treinta moscas?

47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores consumen 3 cajetillas diarias. ¿Cuántos fumadores de las mismas características serán necesarios para consumir 90 cajetillas en 30 días?

48. LA TORRE EIFFEL. La torre Eiffel tiene 320 metros de altura y pesa 7.000 toneladas. Si construyéramos un modelo perfectamente a escala, con el mismo material y que tuviera la mitad de su altura, ¿cuánto pesaría?

49. MILÍMETROS CUADRADOS. Supongamos un cuadrado de un metro de lado, dividido en cuadraditos de un milímetro. Calcule mentalmente qué longitud se obtendría si colocásemos todos los cuadraditos en línea, adosados unos a otros.

50. LAS 16 CERVEZAS. Cuatro amigos se reúnen en un bar y consumen entre todos 16 cervezas. Cuando piden la cuenta pretenden pagar cada uno lo suyo. ¿Cuántas cervezas debe pagar cada amigo sabiendo que cada uno de ellos tomó dos cervezas más y/o dos cervezas menos que otro?

51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 4 cm. ¿Qué longitud deberá tener el tercer lado para conseguir que el triángulo tenga la máxima área posible?

52. LOS GATOS DE MARGARITA. Cuando se le pregunta a la vieja Margarita con cuántos gatos vive, responde melancólicamente: "Con los cuatro quintos de mis gatos más cuatro quintos de gato." ¿Con cuántos gatos vive Margarita?

53. LAS FOCAS DEL ZOO. Estuve el otro día en el zoológico. Vi focas pero no había muchas. Sólo siete octavos de las focas más siete octavos de foca. ¿Cuántas focas había?

54. CONEJOS Y PALOMAS. En una jaula con conejos y palomas, hay 35 cabezas y 94 patas. Con estos datos, ¿cuántas aves hay exactamente?

55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? Entre Pedro, Luis y Antonio tienen 500 ptas. Sabiendo que Antonio tiene doble que Luis y éste tres veces más que Pedro, ¿cuánto tiene Pedro?

56. MULAS Y BURROS. Se han vendido 9 burros y 7 mulas y se ha cobrado por ellos 75.000 duros. Sabiendo que los burros los pagan al doble que las mulas, ¿a qué precio se vendieron cada uno de ellas?

57. EL TIRO AL BLANCO. Cada vez que un tirador da en el blanco gana 500 puntos, y cada vez que falla pierde 300. Sabiendo que después de 15 disparos obtuvo 2.700 puntos, ¿cuántas veces hizo diana exactamente?

58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Un caracol tarda una hora y veinte minutos en recorrer un circuito en sentido horario, pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 80 minutos. ¿A qué se debe esa diferencia?

59. CURIOSA PELÍCULA. Mi amigo Bonifacio, rabioso aficionado al cine descubrió que una película de Buñuel duraba una hora y veinte minutos, los días pares, y sólo ochenta minutos, los impares. ¿A qué será debido?

60. EL GRAN CHOQUE. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 km. por minuto y la otra a 12 km/minuto. Suponiendo que en este momento están exactamente a 5.000 km. de distancia, ¿cuánto distarán una de otra un minuto antes de estrellarse?

61. TRABALENGUAS. Con cada bote de detergente la casa fabricante incluye un cupón de regalo. Una vez reunidos 10 cupones, el cliente puede canjearlos por un nuevo bote de detergente. ¿Cuántos cupones vale un bote de detergente?

62. LA GALLINA PONEDORA. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?

63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? La tripulación de un barco hundido tenía agua sólo para trece días, un litro al día por persona. El quinto día se derramó algo de agua sin querer y murió uno de los hombres. El agua duró exactamente lo que se esperaba. ¿Cuánta agua se derramó?

64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. En un rectángulo, el largo es el doble del ancho y el perímetro es de 360 m. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

65. LOS CHICOS DE LA FERIA. A la feria benéfica de la escuela cada chico debía concurrir con un adulto. Los adultos pagan 2 dólares y los chicos 1 dólar de entrada. Se recaudaron 180 dólares. ¿Cuántos chicos fueron a la feria?

66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. Tengo igual cantidad de monedas de 5 ptas. que de 1 pta. y entre las dos tengo 90 ptas. ¿Cuántas monedas de cada clase tengo?

67. MITOLOGÍA. ¿Cuántas extremidades tienen 3 centauros?

68. EN DOS DADOS. ¿Cuántos puntos hay en total en un par de dados?

69. ¿SABES DIVIDIR? Supón que divides once millares, once cientos y once entre tres. ¿qué resto te queda?

70. PARES CONSECUTIVOS. La suma de dos números pares consecutivos es 66. ¿Cuáles son esos números?

71. BOLI Y LÁPIZ. Si un bolígrafo cuesta 30 ptas. más que un lapicero y las dos cosas juntas cuestan 100 ptas., ¿cuánto cuesta cada una?

72. LOS OCHOS. En cierta localidad castellana existe una calle que tiene cien casas. Quieren numerarlas en la fachada con los números del uno al cien. ¿Cuántos ochos habrá que pintar?

73. EL ÁRBOL. El tronco de un árbol mide 20 metros más que la mitad de su altura. ¿cuánto mide en total?

74. FAMILIA COMIENDO. Una familia se reúne para comer. Si cada miembro de la familia come seis chorizos, sobrarán cinco, pero si cada uno come siete faltarán ocho. ¿Cuántos miembros componen la familia?

75. EL PALO Y LA VARA. ¿Qué altura tiene un palo que es cinco metros más corto que una vara de doble altura que el palo?

76. LAS CAJAS. Se tienen tres cajas, individuales y separadas de igual tamaño. Dentro de cada caja hay otras dos más pequeñas y en cada una de éstas otras cuatro aún menores. ¿Cuántas cajas hay en total?

77. AÑOS BISIESTOS. ¿Cuántos años bisiestos hay entre el año 1000 y el año 2000 ambos inclusive?

78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. ¿Cuál es el área del triángulo de lados 94, 177 y 83?

79. PIENSE DESPACIO. ¿Qué número multiplicado por 3 es los 3/4 de 120?

80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. Si Vd. divide 30 por un medio y le suma al resultado 10, ¿cuánto le da?

81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Un pastor tiene 17 ovejas; si todas menos 9 se le escapan del corral, ¿cuántas le quedan en el corral?

82. BUSCANDO, BUSCANDO. Buscar un número que multiplicado por el doble de 3 nos dé 5.

83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Un ganadero tiene pienso para alimentar una vaca durante 27 días y si fuera una oveja para 54 días. ¿Para cuántos días tendría si tuviese que alimentar a la vaca y a la oveja?

84. MULTIPLICANDO. ¿Qué dos números naturales que hay que multiplicar entre sí para que su producto sea 47?

85. DOCENAS DE SELLOS. Si en una docena hay doce sellos de seis centavos, ¿cuántos sellos de dos centavos hay en una docena?

86. MÚLTIPLOS PRIMOS. De todos los múltiplos de un número primo, ¿cuántos son primos?

87. EN ROMANOS. Operando en números romanos, ¿cuánto vale C - LXXIX?

88. LA HORA. ¿Qué hora es cuando faltan 90 minutos para la una?

89. PROBABLE COLISIÓN. Dos lentos trenes van por la misma vía en sentido contrario, uno al encuentro del otro. Les separa una distancia de 87 km. Un tren va a 25 km/h y el otro a 35 km/h. ¿A qué distancia estarán un minuto antes de colisionar?

90. PRODUCTO TOTAL. Si AxB=24; CxD=32; BxD=48 y BxC=24, ¿Cuánto vale AxBxCxD?

91. LOS MÚLTIPLOS. ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 1000 y 2000 ambos inclusive?

92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Piensa un numero del 2 al 9. Multiplícalo por 9. Suma los dos dígitos del resultado. Réstale 5. ¿Qué resultado se obtendrá?

93. PAR O IMPAR. El cuadrado de un nº natural impar, ¿es par o impar?

94. MEDIO METRO. ¿Qué es mayor medio metro cuadrado o la mitad de un metro cuadrado?

95. CON CUATRO NUEVES. ¿Cómo se deberían colocar 4 nueves para que sumen 100?

96. CON CUATRO UNOS. ¿Cuál es el mayor número que puede escribirse con cuatro unos?

97. CON SEIS UNOS. Escribe 24 con seis unos y las operaciones elementales.

98. GASTANDO. Tenía 57 ptas. y me he gastado todas menos 12. ¿Cuántas me quedan?

99. CONTESTE MUY RÁPIDO. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al segundo, ¿en qué lugar se colocaría?

100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Imagínese participando en una carrera ciclista. Si en un momento determinado adelanta Vd. al último, ¿en qué lugar se colocaría?

101. BEBIENDO. Seis hombre beben cerveza en un bar. En total bebieron 21 vasos. Si cada uno de ellos ha bebido distinto número de vasos. ¿Cuántos ha bebido cada uno?

102. HOYOS Y CANICAS. El otro día jugando a las canicas me sucedió lo siguiente: si ponía una canica en cada hoyo me sobraba una canica y si ponía dos canicas en cada hoyo me faltaban dos canicas. Ya no recuerdo cuántas canicas tenía ni cuántos hoyos había en el suelo, ¿me podría ayudar Vd.?

103. 120 CON 4 OCHOS. ¿Sabría Vd. escribir 120 con ocho ochos?

104. CUMPLEAÑOS. ¿Cuántos "cumpleaños" puede celebrar una persona que viva 50 años?

105. LAS 3 PASTILLAS. Un médico le receta a Vd. 3 pastillas y le dice que se tome una cada media hora, ¿cuántos minutos le duran a Vd. las pastillas?

106. BORRANDO CIFRAS. Borra 10 cifras del número 12345123451234512345 de manera que el número que quede sea lo más grande posible.

107. LOS TORNILLOS. En un saco hay 24 kg. de tornillos, ¿cómo podemos pesar 9 kg. usando una balanza?

108. ARRANCANDO HOJAS. A mi hijo de cuatro años le ha dado últimamente por arrancar tacos de hojas de los libros. El otro día, la primera página que arrancó estaba numerada con el 183 y la última con un número escrito con las mismas cifras en otro orden. ¿Cuántas páginas, no hojas, arrancó?

109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. En un mes de enero de cierto año hay exactamente cuatro VIERNES y cuatro LUNES, ¿En qué día de la semana cae el 20 de enero?

110. ¿CUÁNTOS GATOS? Una habitación tiene cuatro rincones. En cada rincón hay sentado un gato. Frente a cada gato hay sentados tres gatos. En cada rabo hay sentado un gato. ¿Cuántos gatos hay en total en la habitación?

111. SIN PAPEL NI BOLI. ¿Cuál es el valor de 19 x 13 + 13?

112. LAS FLORES. ¿Cuántas docenas salen con 180 flores?

113. EDAD DE LUIS. El cuadrado de la edad de Luis es la cuarta parte del cuadrado de la edad de Juan que es la mitad de 20. ¿Cuál es la edad de Luis?

114. EL CUADRADO. Un cuadrado tiene 144 m2. de área. ¿Cuál es su perímetro?

115. MINUTOS. ¿Cuántos minutos son 6 horas y media, 25 minutos y 120 segundos?

116. PRODUCTO DE DEDOS. Tome el número de sus dedos de las manos, multiplíquelo por el número de dedos de sus pies, divida el resultado por 1/2 y sume el número de meses del año. ¿Qué número obtiene?

117. LA FAMILIA. Una madre y un padre tienen 6 hijos y cada hijo tiene una hermana. ¿Cuántas personas componen la familia?

118. NARANJAS. Juan compró un kilo de plátanos el lunes y se comió la tercera parte de ellos. El martes se comió la mitad de los que le quedaban. El miércoles se comió los dos que le quedaban. ¿Cuántos plátanos compró el lunes?

119. BUÑUELOS. A Carlos le encantan los buñuelos. Puede comerse 32 en una hora. Su hermano se comería los 32 en 3 horas. ¿En cuánto tiempo se comerían 32 buñuelos entre los dos?

120. GRANDE, GRANDE. ¿Cuál es el mayor número que se puede escribir solamente con dos dígitos?

121. EL FRUTERO. El frutero vendió en el mercado, la mitad de los melones que llevaba más medio melón. Después se comió el melón que le quedó. ¿Cuántos melones llevó al mercado.

122. EL TONEL. Un tonel, lleno de vino tiene un peso de 35 kg. Cuando está lleno hasta la mitad, pesa 19 Kg. ¿Cuánto pesa el tonel vacío?

123. LAS NUECES. Alicia, Benito, Carlos, David y Enrique conjeturaban sobre el numero de nueces que había en un tarro. Alicia decía que 30, Benito pensaba que 28, Carlos conjeturaba que 29, David conjeturaba que 25, y Enrique decía que 26. Dos se equivocaron en una nuez, uno se equivoco en 4, y otro en 3. Pero uno acertó. ¿Cuántas nueces había en el tarro?

124. EL ESTABLO. En un establo hay gallos y caballos. Entre todos hay 22 cabezas y 72 patas. ¿Cuántos gallos y cuántos caballos hay en el establo?

125. EDADES. Las edades del padre y del hijo suman 66. La edad del padre es la edad del hijo invertida. ¿Qué edades tienen? (3 soluciones posibles)

126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Todos los animales domésticos de mi vecina son perros menos uno, y todos son gatos menos uno. ¿Cuántos perros y gatos tiene mi vecina?

127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 2ª cifra menor que la 4ª. La 4ª 2/3 de la 1ª. La 1ª 2/3 de la 3ª. La 3ª triple que la 2ª.

128. LOS PASEOS DEL PERRO. Mi hermano saca a pasear a su perro tres veces al día. Cada paseo dura 13 minutos. ¿Cuántas veces saca a pasear al perro en un año?

129. LOS GATOS. En una habitación cuadrada hay 2 gatos en cada rincón. Enfrente de cada gato hay 2 gatos y al lado de cada gato hay un gato. ¿Cuántos gatos hay en la habitación?

130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. Halla el número de cuatro cifras tal que: La 1ª cifra es 1/3 de la 2ª. La 3ª es la suma de la 1ª y la 2ª. La 4ª es tres veces la 2ª.

131. SUMA DE CONSECUTIVAS. ¿Qué tres números consecutivos suman 9.000?

132. PANES Y HORAS. ¿Qué es mayor, los panes que hay en 13 docenas o las horas de una semana?

133. LOS CERDOS. Juan y Benito tienen cerdos. Juan: Si me das 2 cerdos tuyos tendremos el mismo número de cerdos. Benito: Si me los das tú a mí, yo tendré el doble. ¿Cuántos cerdos tiene cada uno?

134. LOS TRESES. Si escribimos todos los números comprendidos entre 300 y 400, ¿cuántas veces aparece el dígito 3?

135. QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 de la mitad de 1/4 de 240?

136. MÁS QUEBRADOS. ¿Qué número es 2/3 del doble del triple de 5?

137. LOS SALUDOS. Cuatro personas se saludan con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

138. LOS PINTORES. Un pintor puede pintar una habitación en 4 horas, otro pintor puede pintarla en horas. ¿Cuánto tiempo tardarían si la pintasen trabajando juntos?

139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. Para estimular a su hijo en el estudio de las matemáticas, un padre acuerda pagar a su hijo 8 céntimos de euro por cada problema solucionado correctamente. También le quitará 5 céntimos por cada incorrecto. Al final de los 26 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas solucionó el hijo correctamente?

140. LA TELA COLOREADA. Un trozo de tela se colorea como sigue: 3/4 partes de negro, los 80 cm restantes de rojo. ¿Cuanto mide el trozo de tela?

141. LARGO PRODUCTO. ¿Cuál es el producto de todos los números enteros no negativos menores que 10?

142. OTRO NÚMERO. Halle el número que es la mitad de 1/4 de 1/10 de 400.

143. CUADRADOS PERFECTOS. ¿Cuántos números que sean cuadrados perfectos hay entre 1 y 1.000.000, ambos incluidos? Ejemplos: 16=4*4, 121=11*11

144. MENUDA ESCAVADORA. Si un hombre tarda una hora en cavar un agujero de dos metros de largo por dos metros de ancho por dos metros de profundo, ¿cuánto tiempo tardaría el mismo hombre en cavar un agujero de cuatro metros de largo por cuatro metros de ancho por cuatro metros de profundo? Se asume que cava a la misma velocidad.

145. LOS NEUMÁTICOS. Antonio recorrió con su bicicleta 300 km. Tres neumáticos fueron utilizados por igual para recorrer dicha distancia. ¿Cuántos kilómetros fue utilizado cada neumático?

146. HALTEROFILIA. Fernando puso un disco de 25 kg. en cada extremo de la barra, otro disco de 10 kg. en cada extremo, y tres discos de 2 kg. en cada extremo. Después, tras unos segundos de concentración levantó todo el conjunto sobre su cabeza. ¿Qué peso total levantó Fernando sobre su cabeza?

147. MADERERO CORTADOR. El maderero cobra 5 euros por cortar un tronco de madera en dos pedazos. ¿Cuánto cobrará por cortarlo en cuatro pedazos?

148. LA RUEDA DE LA BICI. Una rueda de mi bicicleta tiene 21 radios. ¿Cuántos espacios hay entre los radios?

149. CERDOS Y PALOMAS. En una jaula del zoo hay un total de 30 ojos y de 44 patas. ¿Cuántos cerdos y palomas hay en la jaula?

150. UN EURO. ¿Cómo se puede conseguir exactamente un euro con 50 monedas?

151. EL CUENTAKILÓMETROS. El cuentakilómetros de mi coche muestra 72927 km. que es un número palíndromo. ¿Cuántos km. debo recorrer, como mínimo para poder ver otro palíndromo en el cuentakilómetros?

152. BOLSAS DE CARAMELOS. Mi hermano tiene cinco bolsas de caramelos. Cuatro bolsas tienen un total de 84 caramelos. La 5ª bolsa contiene cuatro caramelos menos que el promedio de las cinco bolsas. ¿Cuántos caramelos hay en la 5ª bolsa?

153. EMPACHO DE MANZANAS. Yo comí 6 manzanas, mi hermano comió 4, mi primo comió 8 y tiramos 2 que estaban malas. Habíamos comprado 2 bolsas con 18 manzanas cada una, y dejamos las más grande para mi mamá. ¿Cuántas podemos comer todavía cada uno?

154. LAS MUÑECAS. Tres personas están haciendo muñecas de papel. Benito tarda 30 minutos en hacer cada una. Teresa 60 minutos y Andrés 90 minutos. Comienzan a la vez, y descansan cuando terminan al mismo tiempo de hacer cada uno su respectiva muñeca. ¿Cada cuánto tiempo descansan?

155. DOBLE Y MITAD. ¿Cuál es el doble de la mitad del doble de 2?

156. EN UN MILENIO. ¿Cuántos siglos hay en un milenio?

157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. Carmen pulsa 50 caracteres cada 10 segundos mientras Rosa no pulsa más que 40 en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo emplearán entre las dos para pulsar 360 caracteres en total?

158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. El precio de un artículo estaba rebajado un 20% para su venta. ¿Qué tanto por ciento debe aumentarse el precio del artículo para que de nuevo tenga el precio original?

159. ...

SOLUCIONES DE MENTALES

1. PERROS, GATOS Y LOROS. Un perro, un gato y un loro.

2. MENUDA RAZA DE GIGANTES. 20 metros.

3. EL PESO DE UN LADRILLO. Como ya tenemos en un platillo 3/4 de ladrillo, la pesa representará el cuarto que falta. Por tanto bastará multiplicar por 4 el valor de la pesa para tener el resultado. El ladrillo entero pesa 3 kilos.

4. LA CUADRILLA. Las tres cuartas partes de hombre es el cuarto que le falta a la cuadrilla. Entonces: 4 x 3/4 = 3 hombres.

5. ACABÓ LA GUERRA. 138 ojos.

6. PROPINAS AL ACOMODADOR. 1.300 duros.

7. ¿CUANTOS NUEVES? Veinte.

8. ¿CUANTO BENEFICIO? 2 ptas.

9. EL PRECIO DE LAS AGUJAS. 10 ptas.

10. PILOTO DE FORMULA 1. Una hora y 23 minutos. Al multiplicar por 60, los segundos pasan a ser minutos y los minutos, horas.

11. LOS TANTOS POR CIENTO. Igual.

12. EL PRECIO DE LA BOTELLA. La botella 50 centavos. El vino 9 dólares y 50 centavos.

13. LA BOTELLA Y EL TAPÓN. La botella 40 ptas. El tapón 10 ptas.

14. OTRA BOTELLA Y OTRO TAPÓN. La botella 1 Kg. y 5 gramos. El tapón 5 gramos.

15. EL MISMO DINERO. 5 ptas.

16. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7.

17. ANTONIO, PEDRO Y LOS LIMONES. Antonio 24 y Pedro 30 limones.

18. EL DESGASTE DE LAS RUEDAS. Cada cubierta se utiliza 4/5 partes del tiempo total. Por tanto, cada una ha sufrido un desgaste de 4/5 de 5000 Km., es decir, 4000 Km.

19. ESCRIBIENDO A MAQUINA. 40 segundos.

20. ¿CUANTA TIERRA? 100/9 Ha. En efecto: 100/9 - 10/9 = 90/9=10 Ha.

21. DOMINÓ. No.

22. LA AMEBA. Dos horas y un minuto. Transcurrido sólo un minuto, ya se ha dividido en dos, y sabemos que dos amebas llenan el tubo en dos horas.

23. MANOS Y DEDOS. 50. Es frecuente que se conteste 100.

24. ¿QUÉ HORA SERÁ? Las 6 de la tarde.

25. DOCENAS DE HUEVOS. 72 - 72 = 0.

26. EL PRECIO DEL OBJETO. 18 duros.

27. LA EPIDEMIA DE LAS OVEJAS. Nueve.

28. OTRO LADRILLO. 6 Kg.

29. LA ALTURA DEL ÁRBOL. x=altura del árbol. x=3x-2, x=1 metro.

30. ENTRE PASTORES. El primero 5 y el segundo 7.

31. DÍAS Y SEGUNDOS. Medio día.

32. ESCALA DE ESTATURAS. Pedro es el más alto. Juan y Antonio tienen igual estatura, pues le falta lo mismo para llegar a la de Pedro.

33. PINTANDO UN CUBO. Tres colores. Las caras opuestas se pintan del mismo color.

34. DINERO DE JUAN Y PEDRO. Juan 24 ptas y Pedro 30 ptas.

35. EL CUBO PINTADO. 12.

36. EL CEREZO. 2 cerezas.

37. OTRO CEREZO. 2 cerezas.

38. JUGANDO AL AJEDREZ. Cada uno jugó dos partidas: A-B, A-C y B-C.

39. LO DE LA SARDINA. Siete reales y medio. Precisa ser propuesto de palabra y dicho con rapidez, para encubrir su evidencia. Sin embargo, siempre había el

caso de quien, al descubrirle la solución, tras haber sido incapaz de hallarla, se excusaba diciendo: "¡Ah, sardinas! Yo te había entendido salmonetes".

40. LO DE LA SARDINA PERO CON HUEVOS. Dieciséis duros y medio.

41. LO DE LOS ARENQUES. 12 peniques (1 chelín).

42. PAN, PAN Y PAN. 11 pares.

43. MEDIAS MEDIAS. Depende de cómo hayan sido los cortes. Si hechos al azar pueden darse tres casos: a) Puede que sean cuatro medias medias sueltas, que no encajan para formar ni siquiera una media porque las medias medias sean todas punteras, o talones, o mitades superiores (musleras), o inferiores (calcetas), o cualesquiera mezclas heterogéneas pero incoherentes de estas dichas. b) Pueden ser una media y dos medias medias, si tiene Vd. la suerte de que dos de ellas encajen para venir a darle una media, pero las otras dos medias medias no, cómo en el caso a), más desgraciado. c) Si está Vd. de mucha suerte, y encajan las cuatro medias medias dos a dos, puede llegar a ser dueño (o dueña) de un par de medias. En este caso, si quiere ponerse el par, tendrá que coser.

44. LAS CERVEZAS. 24 cervezas. Si un hombre y medio beben una cerveza y media en un día y medio, seis hombres beberán seis cervezas en el mismo tiempo, es decir, en un día y medio, y en seis días beberán cuatro veces más, que son las veces que un día y medio está contenido en seis días.

45. LOS TATUADORES. Dos tatuadores y medio.

46. NIÑOS Y MOSCAS. Tres minutos.

47. A MODO DE CHIMENEAS. Dos fumadores.

48. LA TORRE EIFFEL. 875 toneladas. No sólo se reduce la altura de la torre, sino también su ancho y su profundidad, por lo que su peso disminuye a un octavo del peso original.

49. MILÍMETROS CUADRADOS. En un metro cuadrado hay un millón de milímetros cuadrados. Cada mil mm², dispuestos uno junto al otro, constituyen un metro; mil millares formarán mil metros. Por lo tanto, la línea formada tendrá un kilómetro de longitud.

50. LAS 16 CERVEZAS. 1, 3, 5 y 7 cervezas.

51. TRIÁNGULO ISÓSCELES DE MAYOR ÁREA. Como el área de un triángulo es máxima cuando sea máxima la altura, considerando como base uno de los lados iguales, la altura máxima se conseguirá cuando el otro lado esté perpendicular al anterior; es decir la altura mide 4 cm. El tercer lado entonces será la hipotenusa, es decir, 32=5'65 cm.

52. LOS GATOS DE MARGARITA. Sea n el número de gatos. Tenemos: n=4/5·n+4/5 ===> n=4. Margarita vive con 4 gatos.

53. LAS FOCAS DEL ZOO. Sea n el número de focas. Tenemos: n=7/8·n+7/8 ===> n=7. Había 7 focas en el zoológico.

54. CONEJOS Y PALOMAS. 23 palomas.

55. ¿CUÁNTO TIENE PEDRO? 50 ptas.

56. MULAS Y BURROS. A 15.000 ptas.

57. EL TIRO AL BLANCO. Nueve veces.

58. ¡OJO QUE ES UN CIRCUITO! Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos.

59. CURIOSA PELÍCULA. Una hora y veinte minutos es lo mismo que 80 minutos.

60. EL GRAN CHOQUE. El dato de 5.000 km. es irrelevante, pues se pide la distancia a la que se encuentran antes de chocar, pero un minuto antes de chocar. La distancia será: 8 + 12 = 20 km.

61. TRABALENGUAS. Nueve cupones. Siendo B=coste en cupones de un bote de detergente. Por 10 cupones, el cliente recibe un bote de detergente con el cupón correspondiente, no lo olvidemos. Así: 10=B+1, B=9.

62. LA GALLINA PONEDORA. Cada gallina tiene que poner 6 huevos, lo que se consigue al cabo de 9 días.

63. ¿CUANTA AGUA SE DERRAMÓ? El quinto día, antes de que se derramara el agua, quedaba agua para ocho días. El agua derramada le habría durado ocho días al hombre que murió, así que se derramaron ocho litros.

64. LAS DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO. Largo 120 m., ancho 60 m.

65. LOS CHICOS DE LA FERIA. 60 chicos.

66. MONEDAS DE 5 Y 1 PTA.. 15 de cada clase.

67. MITOLOGÍA. Tres centauros tienen 3x6 = 18 extremidades.

68. EN DOS DADOS. 42.

69. ¿SABES DIVIDIR? El resto es cero. No hay que cometer el error de escribir 11.111, lo cual es once millares, ciento once. En este caso el resto es dos. La cifra dada se debía haber escrito: 11.000 + 1.100 + 11 = 12.111 que es exactamente divisible por tres.

70. PARES CONSECUTIVOS. 32 y 34.

71. BOLI Y LÁPIZ. El boli 65 y el lápiz 35.

72. LOS OCHOS. Veinte.

73. EL ÁRBOL. 40 metros.

74. FAMILIA COMIENDO. Trece.

75. EL PALO Y LA VARA. Cinco.

76. LAS CAJAS. Hay 33 cajas: 3 grandes, 6 medianas y 24 pequeñas.

77. AÑOS BISIESTOS. 250 años.

78. DECEPCIÓN TRIANGULAR. Cero.

79. PIENSE DESPACIO. 30.

80. DIVIDIENDO Y SUMANDO. 70.

81. LAS OVEJAS DEL CORRAL. Nueve.

82. BUSCANDO, BUSCANDO. El 5/6.

83. EL GANADERO Y EL PIENSO. Para 18 días.

84. MULTIPLICANDO. El 1 y el 47.

85. DOCENAS DE SELLOS. 12.

86. MÚLTIPLOS PRIMOS. Ninguno.

87. EN ROMANOS. XXI.

88. LA HORA. Las once y media.

89. PROBABLE COLISIÓN. Si se acercan a 25 y 35 km/h respectivamente. La velocidad relativa de acercamiento es de 60 km/h, o sea, 1 km/min. Por tanto, un minuto antes de colisionar estarán a 1 km de distancia.

90. PRODUCTO TOTAL. 768.

91. LOS MÚLTIPLOS. 251.

92. SUPERTRUCO DE MAGIA. Un 4.

93. PAR O IMPAR. Impar.

94. MEDIO METRO. Es mayor la mitad de un metro cuadrado.

95. CON CUATRO NUEVES. 99 + 9/9 = 100

96. CON CUATRO UNOS. El mayor número es 11 elevado a 11.

97. CON SEIS UNOS. 24 = 11+11+1+1.

98. GASTANDO. 12.

99. CONTESTE MUY RÁPIDO. En el 2º lugar.

100. CONTESTE EN 2 SEGUNDOS. Al último nunca se le puede adelantar. Es él el que puede adelantar.

101. BEBIENDO. 1+2+3+4+5+6=21.

102. HOYOS Y CANICAS. Cuatro canicas y tres hoyos.

103. 120 CON 4 OCHOS. (8+8)x8-8=120.

104. CUMPLEAÑOS. 50.

105. LAS 3 PASTILLAS. Algo más de 60 minutos.

106. BORRANDO CIFRAS. 12345123451234512345.

107. LOS TORNILLOS. Separando 12 y 12. Separando 6 y 6. Separando 3 y 3.

108. ARRANCANDO HOJAS. 138 y 318 inclusive, abarcan 136 páginas. Solución única.

109. CUATRO LUNES, CUATRO VIERNES. Domingo o lunes.

110. ¿CUÁNTOS GATOS? 4 gatos. Uno en cada rincón sentado sobre su propio rabo. Delante de cada gato hay otros tres, uno en cada rincón, sentado sobre su propio rabo.

111. SIN PAPEL NI BOLI. 19 x 13 + 13 = 19+1 x 13 = 20 x 13 = 260.

112. LAS FLORES. 15 docenas.

113. EDAD DE LUIS. 5 años. 52 = 25 = 100/4.

114. EL CUADRADO. 48 m.

115. MINUTOS. 417 minutos.

116. PRODUCTO DE DEDOS. 212. 10 x 10 : 1/2 = 200 + 12 = 212.

117. LA FAMILIA. Nueve.

118. NARANJAS. Seis. Cada día se comió dos.

119. BUÑUELOS. Carlos come 3 veces más rápido que su hermano. Comerían 24 y 8. Es decir, tardarían 45 minutos.

120. GRANDE, GRANDE. 99 = 9x9x9x9x9x9x9x9x9 = 387.420.489.

121. EL FRUTERO. 3.

122. EL TONEL. 35-19=16 (es la cantidad de vino sacado). Luego 35-(16x2) = 3 kg.

123. LAS NUECES. Había 29 nueces en el tarro.

124. EL ESTABLO. 14 caballos y 8 gallos.

125. EDADES. 51 y 15; 42 y 24; 60 y 06.

126. ANIMALES DOMÉSTICOS. Un gato y un perro.

127. NÚMERO DE 4 CIFRAS. El 6394.

128. LOS PASEOS DEL PERRO. 3x365 = 1095. Los 13 minutos no importan.

129. LOS GATOS. 8 gatos.

130. OTRO NÚMERO DE 4 CIFRAS. 1349.

131. SUMA DE CONSECUTIVAS. 2999, 3000 y 3001.

132. PANES Y HORAS. Horas 168. Panes 156.

133. LOS CERDOS. Juan 10. Benito 14.

134. LOS TRESES. 120 veces.

135. QUEBRADOS. 20.

136. MÁS QUEBRADOS. 20.

137. LOS SALUDOS. 6.

138. LOS PINTORES. 80 minutos.

139. PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS. 10.

140. LA TELA COLOREADA. 3 m. 20 cm.

141. LARGO PRODUCTO. Cero. Está el cero entre ellos.

142. OTRO NÚMERO. Cinco.

143. CUADRADOS PERFECTOS. Hay 1.000. 12=1, 22=4, ..., 9992=998,001, 10002=1,000,000

144. MENUDA ESCAVADORA. Ocho horas. En el primer agujero: 2m x 2m x 2m = 8 metros cúbicos. En el segundo agujero, 4m x 4m x 4m = 64 metros cúbicos.

145. LOS NEUMÁTICOS. 200 km. Entre los tres neumáticos recorrieron 600 km.

146. HALTEROFILIA. Levantó 82 kg. más el peso de la barra.

147. MADERERO CORTADOR. 15 euros (3 cortes). También valdría 10 euros (2 cortes).

148. LA RUEDA DE LA BICI. 21. La mayoría de la gente contesta que 20.

149. CERDOS Y PALOMAS. 7 cerdos y 8 palomas.

150. UN EURO. 40 de 1 céntimo, 2 de 10 céntimos, y 8 de 5 céntimos.

151. EL CUENTAKILÓMETROS. 110 km. para ver el 73037.

152. BOLSAS DE CARAMELOS. 16.

153. EMPACHO DE MANZANAS. 18x2 - (6+4+8+2+1) entre 3 = 5.

154. LAS MUÑECAS. Cada 180 minutos. Benito 6 muñecas en los 180 minutos. Teresa 3 muñecas en los 180 minutos. Andrés 2 muñecas en los 180 minutos.

155. DOBLE Y MITAD. 4.

156. EN UN MILENIO. 10.

157. ESCRIBIENDO A MÁQUINA. 40 segundos.

158. OTRA VEZ EL ORIGINAL. Un 25%.

159. ...

MÓVILES - DISTANCIAS - VELOCIDADES

La mayor parte de la gente se hace con facilidad un lío en los problemas relativos a velocidades medias. Hay que tener mucho cuidado al calcularlas.

La velocidad media de cualquier viaje se calcula siempre dividiendo la distancia total por el tiempo total.

1. AL CAMPO DE MERIENDA. El otro día, cuando fuimos al campo de merienda, el viaje de ida lo hice a una velocidad media de 60 km/h. y el de vuelta, a 30 km/h. ¿Qué velocidad media conseguí en el viaje completo?

2. UN ALTO EN EL CAMINO. Los Gómez y los Arias, acuerdan realizar un viaje al alimón. Parten a la vez de Madrid, y fijan el lugar de la primera parada. Llevaban esperando media hora los Gómez, cuando llegó el coche de los Arias. Estos fueron con una velocidad media de 60 km/h. y los Gómez con una velocidad media de 70 km/h. ¿A cuántos kilómetros de Madrid estaba situada la primera parada?

3. EL ESQUIADOR FRUSTRADO. Un esquiador sube en telesilla a 5 km/h. ¿A qué velocidad tendrá que descender esquiando para conseguir una velocidad de 10 km/h. en el recorrido total?

4. EL AVIÓN Y EL VIENTO. Un avión vuela en línea recta desde el aeropuerto A hasta el aeropuerto B, y a continuación regresa también en línea recta desde B hasta A. Viaja con aire en calma, manteniendo el motor siempre en el mismo régimen. Si soplara un fuerte viento de A hacia B, y el número de revoluciones se mantiene como antes, ¿sufrirá alguna modificación el tiempo invertido en el trayecto de ida y vuelta?

5. EL BÓLIDO Y LOS TRES MOJONES. Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número kilométrico AB. Una hora después pasa frente al mojón BA, una hora más tarde frente al mojón A0B. ¿Qué números tienen los mojones y cuál es la velocidad (constante) del automóvil?

6. PROMEDIANDO. Una persona camina al ritmo de 2 km/h al subir una cuesta, y al de 6 km/h al bajarla. ¿Cuál será la velocidad media para el recorrido total? (Se supone, claro está, que tan pronto alcanza la cima, inicia el descenso)

7. DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA. Dos ciclistas situados a 60 Km. de distancia entre sí corren en línea recta al encuentro mutuo, ambos a una velocidad de 30 Km/h. Ambos parten a la vez y en el momento de partir, una mosca sale de la frente del primer ciclista a una velocidad de 45 Km/h. Al llegar a la frente del segundo ciclista, vuelve a la misma velocidad hasta que al tocar la frente del primer ciclista vuelve al encuentro del segundo y así sucesivamente hasta que ambos ciclistas la aplastan al chocar sus frentes. ¿Cuál será la distancia recorrida por el infortunado insecto?

8. ¿COGIÓ EL TREN? Un hombre tenía que ir en bicicleta a la estación, que estaba a 12 kilómetros, a coger el tren. Pensó lo siguiente: "Tengo una hora y media para coger el tren. Cuatro kilómetros son cuesta arriba, y tendré que hacerlos a pie, a cuatro kilómetros por hora; hay cuatro kilómetros cuesta abajo, que haré a doce kilómetros por hora; cuatro kilómetros son de carretera llana, que podré hacer a ocho kilómetros por hora. La media es de ocho kilómetros por hora, así que llegaré justo a tiempo." ¿Estaba razonando como es debido?

9. ¿LOGRO COGER EL TREN? Un tren salió de una estación con once minutos de retraso, y fue a diez kilómetros por hora hasta la siguiente estación que estaba a un kilómetro y medio, y donde hacia una parada de catorce minutos y medio. Un hombre llegó a la primera estación doce minutos después de la hora normal de salida del tren, y se dirigió andando a la siguiente estación, a cuatro kilómetros por hora, con la esperanza de poder coger el tren allí. ¿Lo logró?

10. ADELANTAMIENTO Y CRUCE DE TRENES. Un tren de pasajeros lleva una velocidad de 90 Km/h, tarda doble tiempo en pasar a un tren de carga cuando lo alcanza que cuando se cruza con él. Cuál es la velocidad del tren de carga.

11. VIAJE DE IDA Y VUELTA. Un automovilista ha ido a una ciudad que está a 300 Km. de distancia. Al volver, su velocidad media ha sido 10 Km superior a la velocidad de ida y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos invertidos en la ida y en la vuelta.

12. LOS ANUNCIOS DE CERVEZA DE LA AUTOPISTA. Carlos conducía su automóvil a velocidad prácticamente constante. Iba acompañado de su esposa. -¿Te has dado cuenta - le dijo a su mujer - de que los anuncios de la cerveza parecen estar regularmente espaciados a lo largo de la carretera? Me pregunto a cuánta distancia estarán unos de otros. La señora echó un vistazo a su reloj de pulsera y contó el número de anuncios que rebasaban en un minuto. -¡Qué raro! -exclamó Carlos-. Si se multiplica ese número por diez se obtiene exactamente nuestra velocidad en kilómetros por hora. Admitiendo que la velocidad del coche sea constante, que los anuncios estén igualmente espaciados entre sí, y que al empezar y terminar de contar el minuto el coche se encontraba entre dos anuncios, ¿qué distancia los separa?

13. ¿A QUE DISTANCIA ESTA EL COLEGIO? Una mañana un niño tenía que ir al colegio. El padre dijo al niño, "Si no te das prisa llegarás tarde al colegio". El chico contestó "Sé perfectamente lo que voy a hacer: Si ando a una media de cuatro kilómetros por hora, llegaré con cinco minutos de retraso, pero si ando a cinco kilómetros por hora llegaré diez minutos antes de la hora de entrada." ¿A qué distancia está el colegio?

14. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS. Una tarde mi amigo Andrés remó en barca desde su pueblo hasta el pueblo más cercano y después regresó otra vez hasta su pueblo. El río estaba en calma como si de un lago se tratase. Al día siguiente repitió el mismo recorrido, pero esta vez el río bajaba con cierta velocidad, así que primero tuvo que remar contra corriente pero durante el regreso remaba a favor. ¿Empleó más, menos o el mismo tiempo que el día anterior en dar su acostumbrado paseo en barca?

15. EL ENCONTRONAZO. Un camión circula a 65 km/h. Tres kilómetros por detrás le sigue un coche a 80 km/h. Manteniendo las respectivas velocidades, si el coche no adelanta al camión es seguro que chocará contra él. ¿A qué distancia estará el coche del camión un minuto antes del choque?

16. LAS NAVES ESPACIALES. Dos naves espaciales siguen trayectorias de colisión frontal. Una de ellas viaja a 8 kilómetros por minuto y la otra a 12. Supongamos que en este instante estén separadas exactamente 5000 kilómetros. ¿Cuánto distarán una de la otra un minuto antes del choque?

17. EL TREN Y EL HELICÓPTERO. Un tren sale de Oviedo a las 8 horas con destino a Burgos. Su velocidad media durante el recorrido es de 80 kilómetros por hora. Un helicóptero parte a la misma hora de Burgos, sobrevolando la vía férrea, al encuentro del tren. Su velocidad media es de 400 kilómetros por hora. En el instante en que se encuentran, el helicóptero vuelve a Burgos. Al llegar a esta ciudad cambia el rumbo y se dirige otra vez hacia el tren. Cuando lo encuentra, regresa de nuevo a Burgos. Estos viajes de ida y vuelta los repite el helicóptero sucesivamente hasta que el tren llega a Burgos. Sabiendo que la distancia Oviedo-Burgos es de 320 km. y suponiendo que el helicóptero no pierde velocidad en los cambios de dirección, ¿cuántos kilómetros recorre el helicóptero?

18. DEVORANDO KILÓMETROS. Entre las ciudades A y B se estableció, desde el 1 de enero de 1981, un servicio regular de autobuses. Los cuatro vehículos que diariamente partían de A tenían, respectivamente, los siguientes horarios de salida: 8 h, 10 h, 16 h y 20 h. A las mismas horas, salían de B otros tantos autobuses con destino a la ciudad A. En cubrir la distancia entre A y B, cada autobús empleaba 3 días. El 4 de marzo de 1981, Carlos subió al autobús de las 8 h, que en ese instante partía de la ciudad A. ¿Con cuántos autobuses se habrá cruzado durante el trayecto hasta llegar a la ciudad B?

19. GANANDO TIEMPO. Los participantes en una carrera ciclista estaban preparados en la línea de salida. Al darse la señal, el corredor con el dorsal 25 advirtió una avería en la máquina, empleando sus técnicos 4 minutos en subsanarla. A pesar del retraso, este ciclista ganó la carrera, llegando a la meta 1 hora y 4 minutos después de iniciar su salida en solitario. Si el tiempo del que llegó en último lugar fue de 1 hora y 12 minutos, ¿cuántos minutos tardó el ganador en dar alcance al "farolillo rojo"? Debe suponerse que las velocidades de cada ciclista son uniformes.

20. ENTRE CIUDADES. Navegando a favor de la corriente, un vapor desarrolla 20 Km/h navegando en contra, sólo 15 Km/h. En ir desde el embarcadero de la ciudad de Anca hasta el embarcadero de la ciudad de Bora, tarda 5 horas menos que en el viaje de regreso. ¿Qué distancia hay entre Anca y Bora?

21. LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO. Un gato y un perro entrenados corren una carrera de 100 metros y luego regresan. El perro avanza 3 metros a cada salto y el gato sólo 2, pero el gato da 3 saltos por cada 2 del perro. ¿cuál es el resultados de la carrera?

22. LA VELOCIDAD DEL TREN. Una joven sube al último vagón de un tren. Como no encuentra asientos libres, deja las maletas en la plataforma y empieza a

buscar sitio. En ese momento está pasando frente a la fábrica de "Calzados Pisaplano". La chica va recorriendo el tren a velocidad constante; cinco minutos más tarde ha llegado al vagón de cabeza y, no encontrando asiento, decide dar la vuelta, regresando al mismo paso hasta su equipaje. En ese momento se encuentra frente a un almacén de pelucas, "Cocoliso, S. L.", que dista exactamente 5 kilómetros de los "Calzados Pisaplano". ¿A qué velocidad viaja el tren?

23. VIENTO EN CONTRA. Un ciclista recorre 1 Km. en 3 minutos a favor de viento, y regresa en 4 minutos con viento en contra. Suponiendo que siempre aplica la misma fuerza en los pedales, ¿cuánto tiempo le llevaría recorrer una distancia de 1 Km. si no hubiera viento?

24. INFATIGABLES CORREOS. Dos correos salen simultáneamente, uno de Madrid a Zaragoza el otro de Zaragoza a Madrid. Cada uno lleva una velocidad uniforme. Desde el momento en que se cruzan el primero tarda 9 horas en llegar a Zaragoza y el segundo tarda 16 horas en llegar a Madrid. ¿Cuál es la duración del viaje de cada correo?

25. LOS DOS CICLISTAS. Dos ciclistas, Juan y Alberto se dirigen al mismo punto. Juan corre a 10 Km/h y Alberto a 12 Km/h. Si Juan sale dos horas antes que Alberto y, sin embargo, éste le alcanza al llegar ambos a su destino, ¿cuánto tiempo ha corrido Alberto y qué distancia en total?

26. SIGUIENDO SU CAMINO. El presidente de una sociedad que vivía fuera de la ciudad en que se encontraba su despacho, tenía por costumbre tomar el tren de cercanías y que el chófer le recogiese en la estación terminal, trasladándose al despacho en automóvil. Un día cogió un tren anterior al habitual y llegó a la estación con una hora de adelanto. Como, lógicamente, el chófer no estaba, decidió ir andando por el camino habitual hasta encontrarse con su coche cuando fuese a buscarle. Así lo hizo, y de esta forma llegó al despacho con 20 minutos de adelanto. Suponiendo que el chofer llegaba cada día a la estación en el preciso momento de la llegada del tren, se trata de saber cuánto tiempo estuvo andando.

27. LOS DOS VAPORES Y EL RÍO. Dos vapores parten simultáneamente de las orillas opuestas de un río, en dirección normal a dichas orillas que, por supuesto son paralelas. Al cabo de un cierto tiempo se cruzan a 200 metros de la orilla derecha. Continúan viaje y al llegar a la orilla opuesta cada vapor permanece parado 10 minutos, tras lo cual vuelve a salir en dirección opuesta, cruzándose esta vez a 100 metros de la orilla izquierda. ¿Qué anchura tiene el río?

28. VIAJE BIEN PLANEADO. Un padre y un hijo han de recorrer una distancia de 50 km. Para ello cuentan con un caballo que puede viajar a 10 km/h, pero no puede llevar más que una persona. El padre camina a razón de 5 km/h y el hijo a 8 km/h. Alternadamente caminan y cabalgan. Cada uno ata el caballo a un árbol, tras cabalgar, para que lo recoja el otro, y continua a pie. De esta forma llegan a la mitad del camino al mismo tiempo, donde reposan media hora y repiten después la misma combinación para llegar simultáneamente al final del trayecto. ¿A qué hora llegarán a su destino si salieron a las 6 de la mañana?

29. RETRASO EN LA ENTREGA. El encargado de transportes de la sociedad estaba de mal humor. «No voy a poder enviar a tiempo el cargamento. Tengo dos camiones averiados, y como se me han llevado todos los demás, excepto uno, con éste solamente me retrasaré mucho. Si no me hubiesen retirado el resto de la flota de camiones hubiese tardado 8 días, uno más de lo previsto inicialmente, con la totalidad de los camiones, esto es, incluidos los dos averiados. Pero, insisto, con un solo camión me retrasaré... muchas semanas». ¿Cuántas semanas se retrasará?

30. CUESTA ABAJO EN MI RODADA. Dos pueblos se hallan a una distancia de 10 Km y la carretera que los une es llana, por lo que un automóvil se traslada de uno a otro con velocidad uniforme de 80 km/h, tardando una hora y cuarto en hacer el recorrido. Otros dos pueblos se encuentran, asimismo, a 100 km de distancia, pero 50 son de subida y 50 de bajada, por lo que el mismo automóvil recorre los primeros a 40 km/h y los segundos a 120 km/h. ¿Tardará más o menos en hacer este recorrido que en el primer caso? ¿O tardará igual?

31. UNA CIUDAD CON TRANVÍAS. Un hombre camina a una velocidad de 6 km/h a lo largo de una calle, por la que circula una cierta línea de tranvías, y cuenta que mientras 4 tranvías le adelantan, 6 se cruzan con él. Suponiendo que el espaciado entre tranvías, así como su velocidad, son uniformes, calcula la velocidad de los tranvías.

32. EL NADADOR EN EL RÍO. Un nadador tarda 10 minutos en nadar entre dos islas de un río, ayudado por la corriente. Al regresar, nadando contra corriente, tarda 30 minutos. ¿Cuánto tardaría si no hubiese corriente alguna?

33. VAYA CAMINATA. Dos ancianas comienzan a andar al amanecer a velocidad constante. Una marcha de A a B y la otra de B a A. Se encuentran a mediodía y, sin parar, llegan respectivamente a B a las 4 de la tarde y a A a las 9 de la noche. ¿Cuándo amaneció aquel día?

34. LUCAS Y SU PAPÁ. El papá de Lucas lo espera todos los días a la salida de la escuela y lo lleva en auto a la casa. Ayer las clases terminaron 1 hora antes y como Lucas no le pudo avisar al padre, empezó a caminar hacia su casa hasta que se encontró con su padre. Tardó 1 minuto en subir al auto y girar. Con todo esto, llegó a su casa 9 minutos más temprano que de costumbre. El papá de Lucas maneja siempre a 55 km/h. ¿A qué velocidad camina Lucas?

35. EL ATLETA MATUTINO. Un atleta sale a correr en su práctica matutina y lo hace a velocidad constante. A las 9:00 horas ha cubierto 1/6 de la distancia total y a las 11:00 horas le falta cubrir 1/3 del total. ¿Qué fracción de la distancia ha recorrido a las 10:30 horas?

36. LA VUELTA A LA MANZANA. Diego dio una vuelta a una manzana de base cuadrada: Por el primer lado caminó a 4 km/h, por el siguiente caminó a 5 km/h, por el tercero trotó a 10 km/h y por el cuarto corrió a 20 km/h. ¿Cual fue la velocidad promedio de la vuelta completa?

37. DESAFÍO 1. Un ómnibus con turistas sale de Perdiz Renga en dirección norte. Viaja a 50 km/h y no se detiene hasta llegar a Liebre Tuerta. Otro ómnibus, sale de Perdiz Renga dos horas más tarde que el primero y viaja a 65 km/h. Este ómnibus llega a Liebre Tuerta al mismo tiempo que el primero. ¿Qué distancia hay entre Perdiz Renga y Liebre Tuerta?

38. LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR. Una fila de maratonianos, de 1 km de largo, trota (uno detrás del otro) a lo largo de una larguísima playa, a velocidad constante. Desde el fondo de la fila, sale corriendo a velocidad constante el entrenador hasta alcanzar al primero de fila, hecho lo cual vuelve hasta el último puesto. En ese tiempo, la fila avanzó 1 km, o sea que el último hombre ocupa la posición que ocupaba el primero al empezar la carrera del entrenador. ¿Cuántos metros corrió el entrenador?

39. LA CORRIENTE DEL RÍO. Un barco se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo entre dos ciudades. De vuelta, avanza contracorriente (con su marcha ordinaria y sin detenerse) durante 7 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?

40. LA PALOMA Y LOS DOS TRENES. Dos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas: uno a 70, y el otro, a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma vuela de la locomotora del primer tren al segundo, nada más llegar da media vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora en locomotora. Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido la paloma cuando los dos trenes se encuentran? Ayuda: ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma?

41. LOS TRENES QUE SE CRUZAN. Cada hora sale un tren de la ciudad A a la ciudad B y otro de B a A, y todos los trenes tardan 5 horas en cubrir la distancia entre ambas ciudades. Un viajero que tome uno cualquiera de los trenes, ¿con cuántos trenes se cruzará a lo largo de su viaje? Ayuda: Imagínese al viajero saliendo de A. En ese momento llega un tren de B.

42. EL TREN PUNTUAL. Mi tren sale a las diez en punto. Si voy a la estación caminando a una velocidad de 4 kilómetros por hora, llego cinco minutos tarde. Si voy corriendo, a 8 kilómetros por hora, llego con diez minutos de adelanto. ¿A qué distancia estoy de la estación? Ayuda: Yendo al doble de velocidad se tarda quince minutos menos.

43. EL CICLISTA PLAYERO. Un esforzado ciclista se dirige desee una población del interior a la playa, cuesta abajo, a una velocidad de 30 km/h. Al volver a su casa, cuesta arriba, va a 10 km/h. ¿Cuál es la velocidad media del ciclista en el trayecto de ida y vuelta? Ayuda: Téngase en cuenta que tarda más en volver que en ir; luego la velocidad media es simplemente la media de las velocidades.

44. ...

SOLUCIONES: MÓVILES - DISTANCIAS - VELOCIDADES

1. AL CAMPO DE MERIENDA. Como no sabemos le distancia recorrida, partamos del supuesto que fuese de 60 km. En este caso, hubiera tardado 1 hora en el viaje de ida y 2 horas en el de vuelta, por lo que la velocidad media sería: v = (60+60) km. / (1+2) h. = 120 km. / 3 h. = 40 km/h. En general, llamando d a la distancia recorrida en cada uno de los viajes de ida y de vuelta, el tiempo total de viaje sería: t = d/60 + d/30 = 3d/60 = d/20 y la velocidad media: v = 2d/[d/20] = 40d/d = 40 km/h.

2. UN ALTO EN EL CAMINO. El coche de los Gómez le saca al de los Arias 10 km. de ventaja por cada hora de viaje. A la velocidad de 60 km/h., el coche de los Arias recorre 30 km. durante la media hora que los Gómez estuvieron esperándole. Estos 30 km. representan la ventaja total de un coche sobre otro. Para obtenerla, el coche de los Gómez tuvo que circular durante 3 horas, pues en cada hora conseguía la ventaja de 10 km. Por tanto, el trayecto fue de: 70 km/h. x 3 h. = 210 km. Madrid estaba a 210 km. de distancia de la primera parada.

3. EL ESQUIADOR FRUSTADO. Cuesta creerlo, pero la única forma de que el promedio de subida y bajada alcanzase los 10 km/h. ¡sería descender en tiempo nulo! Al principio puede parecer que habrá que tener en cuenta las distancias recorridas al subir y bajar la ladera. Sin embargo, tal parámetro carece de importancia en este problema. El esquiador asciende una cierta distancia, con una cierta velocidad. Desea descender con tal velocidad que su velocidad media en el recorrido de ida y vuelta sea doble que la primera. Para conseguirlo tendría que hacer dos veces la distancia primitiva en el mismo tiempo que invirtió en el ascenso. Como es obvio, para lograrlo ha de bajar en un tiempo cero. Como esto es imposible, no hay forma de que su velocidad media pase de 5 a 10 kilómetros por hora.

4. EL AVION Y EL VIENTO. Como el viento aumenta la velocidad del avión en la mitad del recorrido en la misma cantidad en que la disminuye en el trayecto de regreso, resulta tentador suponer que el tiempo total invertido en el viaje de ida y vuelta no sufrirá modificación. Sin embargo, éste no es el caso, pues el tiempo durante el cual la velocidad del avión se incrementa es menor que el tiempo durante el cual sufre retardo, así que el efecto total es de retraso. El tiempo total de vuelo con viento, de cualquier fuerza y dirección con tal de que permanezcan constantes, es siempre mayor que si no hubiera viento.

5. EL BOLIDO Y LOS TRES MOJONES. BA - AB = A0B - BA. 10B + A - 10A - B = 100A + B - 10B - A. A, diferente de 0 no puede ser sino 1. B=6. Los números que llevan los mojones son: 16, 61, 106. Velocidad del bólido: 45 Km/h.

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_movile.htm

6. PROMEDIANDO. Llamando D a la longitud de la cuesta, el tiempo empleado en subir será: D/2 y en bajar D/6. El total, por consiguiente, es: T = D/2 + D/6 = 2D/3. La velocidad media: Vm = 2D/T = 3 km/h.

7. DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA. 45 Km. Los ciclistas chocan al cabo de una hora.

8. ¿COGIÓ EL TREN? El ciclista cometió la equivocación de sacar la media de las distancias en lugar de la del tiempo. Si hubiera empleado el mismo período de tiempo yendo a cuatro kilómetros por hora, a ocho y a doce, la media sí que habría sido ocho kilómetros por hora, pero tardó más tiempo en subir la cuesta y menos en bajarla. Es fácil calcular cuánto tardó en llegar: Tardó una hora en subir la cuesta, media hora (treinta minutos) en ir por carretera llana, y un tercio de hora (veinte minutos) en ir cuesta abajo. Todo esto suma una hora y cincuenta minutos, por lo que llegó con veinte minutos de retraso.

9. ¿LOGRO COGER EL TREN? Cuando el hombre llegó a la primera estación, el tren había salido hacía un minuto. Diez kilómetros por hora es un kilómetro en 6 minutos, o un kilómetro y medio en 9 minutos. Así que el tren llegó a la segunda estación 8 minutos después de que el hombre llegara a la primera estación. El tren para 14 minutos y medio en la segunda estación, así que el hombre tiene 22 minutos y medio para coger el tren en la segunda estación. Cuatro kilómetros por hora es un kilómetro en 15 minutos, o kilómetro y medio en 22 minutos y medio, por lo que el hombre llegó justo a tiempo de coger el tren.

10. ADELANTAMIENTO Y CRUCE DE TRENES. Siendo "v" la velocidad del tren de carga y "d" la longitud de éste: d/(90-v) = 2.d/(90+v) ; (90+v)/(90-v) = 2 ; 90/v = 3. Luego la velocidad del tren de carga es v = 30 Km/h

11. VIAJE DE IDA Y VUELTA. ..................

12. LOS ANUNCIOS DE CERVEZA DE LA AUTOPISTA. Lo curioso de este problema es que para calcular la distancia que los separa no es preciso conocer la velocidad del automóvil. Llamemos x al número de carteles que se dejan atrás en un minuto. En una hora, el automóvil habrá rebasado 60x anuncios. Por otra parte, se sabe que la velocidad del coche es de 10x km/h. Así pues, en 10x km. el coche habrá rebasado 60x anuncios, y, por tanto, en 1 km. habrá pasado frente a 10x/60x anuncios, es decir, hay 6 anuncios por kilómetro. Por consiguiente, los anuncios están separados 1/6 de kilómetro, o sea, unos 167 metros.

13. ¿A QUE DISTANCIA ESTA EL COLEGIO? La diferencia entre llegar con 5 minutos de retraso y llegar 10 minutos antes de la hora es de 15 minutos, así que el chico ganará 15 minutos si anda a una media de 5 kilómetros por hora en lugar de a 4 kilómetros por hora. Cinco kilómetros por hora es un kilómetro en 12 minutos, y 4 kilómetros por hora es un kilómetro en 15 minutos, de modo que al andar más deprisa gana 3 minutos en cada kilómetro, que son 15 minutos en 5 kilómetros. Así que el colegio está a 5 kilómetros.

Comprobémoslo: Si anda a 5 kilómetros por hora, tardará una hora. Si anda a 4 kilómetros por hora, tardará una hora y cuarto (una hora para los primeros 4 kilómetros y un cuarto de hora para el último kilómetro), que hace una hora y 15 minutos. Así que hay una diferencia de 15 minutos.

14. EL PASEO DE MI AMIGO ANDRÉS. Cuanto más deprisa corra el río, más tardará en realizar el recorrido de ida y vuelta. El efecto de retraso al remar contra el río dura más tiempo que el efecto de avance al remar a su favor.

15. EL ENCONTRONAZO. Aunque el problema puede resolverse algebraicamente, por las malas, se termina mucho antes reconstruyendo los hechos a partir del choque. Como el camión rueda a una velocidad constante de 65 km/h., y el coche a 80 km/h., su velocidad con respecto al camión es de 15 km/h., o sea, 1500 metros, por hora, equivalentes a 250 metros por minuto. Por consiguiente, un minuto antes de la colisión, el coche se encontrará a 250 metros detrás del camión. La información de tres kilómetros por detrás es irrelevante para el problema; en la solución no interviene la distancia inicial entre los vehículos.

16. LAS NAVES ESPACIALES.Al igual que antes, la distancia inicial es completamente irrelevante. Mucha gente se despista, creyendo necesario considerar las posiciones iniciales y haciendo transcurrir el tiempo. La solución, casi trivial, consiste en darse cuenta de que si las naves se aproximan a razón de 20 kilómetros por minuto, un minuto antes del encuentro estarán separadas 20 kilómetros.

17. EL TREN Y EL HELICÓPTERO. El helicóptero estará volando durante 4 horas (tiempo que el tren tarda en llegar a Burgos). Por lo tanto, habrá recorrido: 400 km/h. x 4 h. = 1.600 km.

18. DEVORANDO KILÓMETROS. Cuando Carlos inicia el viaje, llega un autobús a la estación A: el que salió el 1 de marzo, a las 8 h, de la ciudad B. En el trayecto se cruza con los 11 autocares que partieron de B los días 1, 2 y 3 de marzo. Además se deben contar los 12 que salieron de la ciudad B durante los tres días que Carlos invirtió en el recorrido. En total se cruzó con 23 autobuses. También se podría considerar que se cruzó con 25 autobuses, si a los 23 anteriores se les añade el que llegó a la estación A cuando Carlos partía y el que, en el momento de la llegada, salía de la ciudad B.

19. GANANDO TIEMPO. La diferencia entre los tiempos del primero y el último es de 8 m. Si hubieran salido a la vez, el ganador habría sacado 4 minutos de ventaja al último en la primera mitad del recorrido. Justamente esos 4 minutos perdió el ganador en la salida, por lo que alcanzó al último a mitad de carrera; o sea, a los 32 minutos.

20. ENTRE CIUDADES. Navegando a favor de la corriente, el vapor recorre 1 Km. en 3 minutos; cuando navega contra la corriente, 1 Km. en 4 minutos. En el primer caso, el vapor gana 1 minuto en cada kilómetro, y como en todo el

recorrido gana 5 horas, o 300 minutos, se deduce que desde Anca hasta Bora hay 300 Km. Efectivamente: 300/15 - 300/20 = 20 - 15 = 5 horas.

21. LA CARRERA DEL PERRO Y EL GATO. Gana el gato. Tiene que dar exactamente 100 saltos para recorrer esa distancia y regresar. El perro, por el contrario, está obligado a recorrer 102 metros y regresar. Su salto número 33 lo lleva a la marca de los 99 metros, por lo que se hace necesario un salto más, que lo lleva 2 metros más allá de la última marca. En total, el perro debe dar 68 saltos para recorrer el trayecto. Pero como salta con 2/3 de la velocidad del gato, cuando este último completa los 100 saltos el perro no llega a los 67.

22. LA VELOCIDAD DEL TREN. No hace falta saber la velocidad con que camina la joven, ni tampoco, la distancia que recorre. Si en hacer el recorrido de ida y vuelta por los pasillos ha tardado en total 10 minutos, las maletas habrán recorrido 5 kilómetros durante ese tiempo. Por tanto, el tren lleva una velocidad de medio kilómetro por minuto, o sea, de 30 Km/h.

23. VIENTO EN CONTRA. La respuesta popular para problemas de este tipo es dividir en dos partes el tiempo total para obtener la velocidad promedio, suponiendo que el viento ayuda al ciclista en una dirección tanto como lo retarda en dirección opuesta. Es incorrecto, porque el viento ha ayudado al ciclista solamente durante 3 minutos, y lo ha retardado durante 4 minutos. Si puede recorrer 1 Km. en 3 minutos con viento a favor, puede recorrer 1 Km. más 1/3 en cuatro minutos. Regresa con viento en contra en los mismos cuatro minutos, por lo que podría recorrer 2 Km. más 1/3 en 8 minutos con el viento a favor la mitad del tiempo y en contra la otra mitad. Por lo tanto, el viento puede ser ignorado y concluimos que sin viento podría recorrer 2 Km y 1/3 en 8 minutos, luego 1 Km. en 3 minutos y 3/7.

24. INFATIGABLES CORREOS. Sean H=horas en encontrarse, M=velocidad en km/h del correo que sale de Madrid, Z=velocidad en km/h del correo que sale de Zaragoza. ZxH = 9xM, MxH = 16xZ, de donde, multiplicándolas miembro a miembro, H=12 horas. El viaje, pues, dura 21 horas para correo de Madrid y 28 horas para el de Zaragoza.

25. LOS DOS CICLISTAS. 10 horas y 120 Km.

26. SIGUIENDO SU CAMINO. ESTACIÓN ¦-------D------¦---------------------¦ DESPACHO Si llega 20 minutos antes de lo previsto, quiere decirse que encuentra a su automóvil a una distancia D, tal que éste hubiese tardado ese mismo tiempo, es decir, 20 minutos, en hacer el doble recorrido desde el punto de encuentro a la estación y vuelta. O sea que lo encuentra 10 minutos antes de la hora normal de llegada a la estación. Ha caminado, por lo tanto, 50 minutos.

27. LOS DOS VAPORES Y EL RÍO. La anchura es 500 metros. En efecto, el tiempo de parada no interviene. Siendo v1 y v2 las velocidades de los vapores, t1 el tiempo que están navegando los vapores hasta el primer encuentro y t2 el tiempo que están navegando los

vapores entre el primer encuentro y el segundo, tendríamos: v1t1 + 200 = d v2t1 = 200 ===> v1/v2 = (d-200)/200 v1t2 = 200 + (d-100) = d+100 v2t2 = (d-200) + 100 = d-100 ===> v1/v2 = (d+100)/(d-100) Finalmente: (d-200)/200 = (d+100)/(d-100) ===> d2 - 200d - 100d + 20000 = 200d+20000 ===> d=500.

28. VIAJE BIEN PLANEADO. Independientemente de las veces que cambie el jinete si llamamos d a la distancia a pie por el padre, tendremos: t = d/5+(50-d)/10 = d/10+(50-d)/8 siendo t, el tiempo empleado en recorrer la mitad del trayecto d=10 km, t=6 horas. El tiempo total empleado es: 2x6 + 0'5 = 12'5 horas. Y la hora de llegada las 18'5, es decir, las seis y media de la tarde.

29. RETRASO EN LA ENTREGA. Con un camión tardará D días. Con todos los actualmente útiles, a los que llamaremos x, tardará: D/x=8 días. Y con todos los útiles más los dos averiados, habría tardado: D/(x+2)=7 días. Por consiguiente: D=7 D/8+14, así: D=112 días = 16 semanas.

30. CUESTA ABAJO EN MI RODADA. Tardará más, ya que solamente en la primera parte del recorrido tardará la hora y cuarto que empleaba para ir de un pueblo a otro cuando el trayecto era llano. La mayor velocidad de bajada no puede compensar la pérdida de tiempo de la subida.

31. UNA CIUDAD CON TRANVÍAS. Llamando v a la velocidad de los tranvías, la velocidad relativa entre el caminante y los tranvías que circulan en una y otra dirección es proporcional al número de los que le adelantan (en un caso) o al de los que se cruzan con él (en el otro). Así: v+6=6k, v-6=4k (v+6)/(v-6)=6/4 v=30 km/h.

32. EL NADADOR EN EL RÍO. Llamando D a la distancia que ha de recorrer, V a la velocidad con que nada y v a la velocidad de la corriente, tenemos: D/(V+v)=10, D/(V-v)=30 (V+v)/(V-v)=3 v=0'5V Sustituyendo el valor de v en la primera ecuación: D/(1'5V)=10 D/V=15 minutos. Como D/V es, precisamente, el tiempo que tardaría el nadador si no hubiese corriente, la solución es 15 minutos.

33. VAYA CAMINATA. Amaneció a las 6 de la mañana. Sean: A = Anciana que va de A a B. B = Anciana que va de B a A. a = Velocidad de A en km/h. b = Velocidad de B en km/h. x = Espacio en km. que recorre A hasta las 12. y = Espacio en km que recorre B hasta las 12. t = Tiempo en horas empleado por B en todo el recorrido. t + 5 = Tiempo en horas empleado por A en todo el recorrido. A por la tarde: y = 9a. B por la tarde: x = 4b. A por la mañana: x = at'. B por la mañana: y = bt'. Luego: x/a = y/b, ===> bx = ay. Por lo tanto: 4b2 = 9a2 ===> b = 3a/2 A en todo el recorrido: x + y = a(t+5). B en todo el recorrido: x + y = bt. Luego: a(t+5) = bt. Por lo tanto: a(t+5) = 3at/2 ===> t=10

Si B estuvo andando 10 horas y llegó a las 4 de la tarde es que salió a las 6 de la mañana.

34. LUCAS Y SU PAPÁ.

35. EL ATLETA MATUTINO.

36. LA VUELTA A LA MANZANA.

37. DESAFÍO 1.

38. LOS MARATONIANOS Y EL ENTRENADOR.

39. LA CORRIENTE DEL RÍO.

40. LA PALOMA Y LOS DOS TRENES. Puesto que los trenes viajan en direcciones contrarias a 50 y 70 km/h respectivamente, se acercan el uno al otro a la velocidad relativa de 120 km/h; luego tardarán media hora en recorrer los 60 kilómetros que los separan al iniciar la paloma su vaivén. En esa media hora, la paloma, cuya velocidad es de 80 km/h, habrá recorrido 40 kilómetros.

41. LOS TRENES QUE SE CRUZAN. Imaginemos a nuestro viajero saliendo de A. El primer tren que se cruza es el que llega en ese momento y que salió de B hace 5 horas. El último que se cruce será el que salga de B en el momento en que él llegue allí, 5 horas después. O sea, que el viajero se cruzará todos los trenes que hayan salido de B en un intervalo de 10 horas comprendido entre dos salidas, es decir, 11 trenes.

42. EL TREN PUNTUAL. Yendo a 4 km/h se tarda el doble que yendo a 8 km/h, y según los datos del problema yendo a 4 km/h se tarda quince minutos más; luego andando se tarda media hora, o lo que es lo mismo, se tarda quince minutos corriendo, por lo que la estación está a 2 kilómetros.

43. EL CICLISTA PLAYERO. Un lector apresurado tal vez conteste 20 km/h, que es la media aritmética entre 30 y 10. Pero hay que tener en cuenta que tarda más en volver que en ir, o sea, que pasa más tiempo yendo a 10 km/h que a 30 km/h. Si llamamos x a la distancia en kilómetros que lo separa de la playa, al ir tardará x/30 y al volver x/10, en total, x/30 + x/10 = 2x/15, como la distancia total de ida y vuelta es 2x, la velocidad media será de 2x: 2x/15 = 15 km/h

ESTRATEGIAS - JUEGOS

1. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. Los números del 1 al 15 están escritos en tres filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último pierde. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. Los números del 1 al 16 están escritos en cuatro filas como se muestra más adelante. El juego, que es para competir dos jugadores entre sí, consiste en tomar alternativamente cada jugador los que quiera de una fila solamente. El que se lleve el último gana. ¿Cuál es la estrategia ganadora?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16

3. LLEGAR A 50. Es un juego para dos jugadores. Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 5, y los suman a los números elegidos anteriormente. El primer jugador que consigue sumar exactamente 50 es el ganador. Veamos una partida:

Primer jugador 3 4 1 5 4 5 1

Segundo jugador 5 4 3 5 4 1 5

Suma total 3 8 12 16 17 20 25 30 34 38 43 44 45 50

¡Gana el segundo jugador! Después de jugar algunas partidas, ¿puedes encontrar alguna estrategia ganadora?

4. UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:

O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O

Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?

5. LA MESA Y LAS MONEDAS. Tenemos una mesa cuadrada, rectangular, redonda, etc. y monedas iguales en abundancia. Dos jugadores empiezan a colocar alternadamente, sobre la mesa, monedas una a una; esto es, el primer jugador

coloca una moneda; acto seguido coloca otra moneda el 2º jugador; de nuevo el primero, y así sucesivamente. Pierde el que se vea forzado a colocar una moneda que sobresalga de la mesa. Y no vale solaparlas. La solución general es que pierde el jugador que tenga que hacer su movimiento a partir de una posición simétrica, ya que el adversario podrá siempre restablecer la simétrica sin perder. ¿Qué estrategia ha de seguir el primer jugador para estar seguro de ganar?

6. FORMANDO TRIÁNGULOS. Con tres rectas en el plano, el número máximo de triángulos que se pueden formar es uno. Investiga, cuál es el número máximo de triángulos que se pueden formar con 4, 5, 6, ..., n rectas.

7. QUITAR DEL MONTÓN. Este es un juego para dos jugadores, A y B. Se coloca un montón de 45 piedrecillas sobre la mesa. Juega A y puede quitar entre 1 y 7 piedras. Juega B y puede quitar entre 1 y 7 piedras. Juega A... Gana el que se lleve la última piedra. ¿Hay alguna estrategia para alguno de los jugadores, de modo que esté seguro de ganar? ¿Cómo varía la situación cuando se varía el número de piedras? ¿Y si pierde el que se lleve la última?

8. LOS POLLOS DEL MAIZAL. En una granja de New Jersey había dos pollos que siempre se metían en el jardín, prestos a desafiar a cualquiera que intentara atraparlos.

¿En cuántos movimientos el buen granjero y su esposa pueden apresar a las dos aves? El campo está dividido en 64 cuadrados, delimitados por las plantas de maíz. Para poder atrapar a los pollos se puede ir de arriba a abajo o de izquierda a derecha. Primero el granjero y su esposa se desplazan cada uno un cuadrado y luego cada uno de los pollos hace también un movimiento. Se prosigue por turnos hasta acorralar y capturar a los pollos. La captura se produce cuando el granjero o su esposa pueden irrumpir en un cuadrado ocupado por una de las aves.

9. UN CALENDARIO CON DOS CUBOS. Para señalar el día se colocan los cubos de manera que sus caras frontales den la fecha. En cada cubo, cada una de las caras porta un número del 0 a 9, distribuidos con tanto acierto que siempre podemos construir las fechas 01, 02, 03, ..., 31 disponiéndolos adecuadamente.

¿Sabe Vd. cuáles son los cuatro dígitos no visibles en el cubo de la izquierda, y los tres ocultos en el de la derecha?

10. SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS. Utilizaremos para ello una hoja mensual de calendario.A fin de simplificar, elegimos una hoja de un mes de abril que tiene cinco jueves. Se trata de adivinar la suma de 5 días del mes, elegidos al azar, uno de cada semana y sólo conociendo en el día de la semana en qué caen.

En el ejemplo de la figura, hay que adivinar la suma de los cinco tachados con el único dato de que uno cae en lunes, dos en miércoles, uno en jueves y otro en sábado. ¿Sabría Vd. emplear algún procedimiento para poder adivinar dicha suma con las condiciones exigidas? 11. RECTÁNGULOS OBSTINADOS. En una hoja de papel cuadriculado dibujamos un rectángulo formado por dos cuadrados. Trazamos una diagonal del rectángulo y observamos que corta a los dos cuadrados. Haciendo lo mismo con un rectángulo mayor, de dos por tres cuadrados, la diagonal corta a cuatro cuadrados. ¿Cuántos cuadrados cortará la diagonal de un rectángulo de seis por siete cuadrados? Se debe hacer sin dibujar el rectángulo y sin contar los cuadrados. ¿Se puede encontrar alguna regla? . 12. EL BIOP. El Biop es un juego para dos personas que juegan

alternativamente en un tablero cuadriculado de 5x5, cada jugada consiste en colocar en una casilla desocupada un número del 0 al 24, teniendo en cuenta que dos casillas adyacentes(al menos un punto en común) no pueden tener dos números consecutivos. No se puede repetir ningún número. Los extremos 0 y 24 se consideran consecutivos. Pierde el que no pueda efectuar una jugada legal. ¿Existe una estrategia que permite al primer jugador ganar siempre?

.13. LAS FICHAS DEL TABLERO. Sobre un tablero en forma de triángulo equilátero, como se indica en la figura, se juega un solitario. Sobre cada casilla se coloca una ficha. Cada ficha es blanca por un lado y negra por el otro. Inicialmente sólo una ficha, que está situada en un vértice, tiene la cara negra hacia arriba; el resto de las fichas tiene la cara blanca hacia arriba. En cada movimiento se retira sólo una ficha negra del tablero y se da la vuelta a cada una de las fichas que ocupan una casilla vecina. Casillas vecinas son las que están unidas por un segmento. Después de varios movimientos, ¿será posible retirar todas las fichas del tablero?

. CRUZANDO EL RÍO. En los (8) problemas propuestos a continuación, se trata de cumplir la tarea en la menor cantidad de travesías.

14. ZORRO, CABRA Y REPOLLO (1). Un hombre debe llevar un zorro, una cabra y un repollo al otro lado de un río. El bote sólo da cabida al hombre y a una de sus tres posesiones. Si lleva consigo al repollo, el zorro se manduca a la cabra. Si lleva el zorro, la cabra se manduca el repollo. Únicamente estando presente el hombre quedan la cabra y el repollo a salvo. ¿Cómo consigue el hombre cruzar el río con sus tres bienes?

15. EL BATALLÓN (2). Un batallón de soldados debe cruzar un río. En la orilla hay dos niños jugando en un bote. El bote es tan pequeño que sólo da cabida a los dos niños o bien a un soldado. Aún así, todos los soldados, que son muchos, logran cruzar el río en el bote. ¿Cómo? Supongamos ahora que son 100 los soldados. ¿Cuál es la menor cantidad de travesías requeridas para cruzar a los 100 soldados?

16. MARIDOS CELOSOS (3). Dos parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con el otro hombre. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

17. TRES PAREJAS (4). Tres parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

18. TRES MERCADERES Y TRES SERVIDORES (5). Tres mercaderes estaban de viaje con sus tres servidores. Los mercaderes eran muy ricos y temían que los servidores les asaltarían, apenas fuesen superiores en número. Llegaron a un río, donde, para atravesarlo, había disponible sólo una pequeña barca que podía llevar como máximo dos personas. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

19. CUATRO PAREJAS (6). Son ahora cuatro las parejas que van a cruzar el río. Las condiciones son exactamente iguales a las del problema de las tres parejas. A primera vista parece que esta nueva cuestión se resuelve "estirando" simplemente la solución de las tres parejas. Pero, ¡no se tire aún al río! Con cuatro parejas no hay solución. A menos que permitamos a los personajes hacer escala en una pequeña isla en medio del río. ¿Cómo cruzaron entonces?

20. TRES MARIDOS CELOSOS (7). Tres parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a tres personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

21. CINCO MARIDOS CELOSOS (8). Cinco parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a tres personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?

22. TRAVESÍAS POR PESO (9). Cinco personas que pesan 10, 20, 30, 40 y 50 kg. respectivamente, van a cruzar un río con un bote que sólo admite una carga de 50 a 70 kg. (ni menos de 50 ni más de 70). ¿Cómo cruzarán?

23. MOROS Y CRISTIANOS. Tras la batalla, el sultán Aben-Hazzar, mandó a su Gran Visir reunir a los 15 prisioneros cristianos y a otros 15 moros, con objeto de arrojar al mar a la mitad de ellos. "Colócalos en círculo y contando de 9 en 9, arroja al agua al que le toque cada vez". El Gran Visir, que odiaba a los moros, colocó a los 30 prisioneros de tal forma que salvó a los 15 cristianos. ¿Cómo los colocó?

24. ...

SOLUCIONES DE ESTRATEGIAS - JUEGOS

1. DE HOLA RAFFAELA EN TVE. La estrategia ganadora es: Coger primero un número de cualquiera de las filas. Así se consigue dejar al contrario para que elija: 6-5-3, 7-4-3 ó 7-5-2. Después, cuando volvamos a coger hay que dejar al

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_estrat.htm

contrario los siguientes números en cada fila: 1-1-1 ó 2-2-0 ó 3-3-0 ó 4-4-0 ó 5-5-0 ó 3-2-1 ó 5-4-1 ó 6-4-2.

2. DEL ESTILO DEL DE RAFFAELA. La estrategia ganadora es:

3. LLEGAR A 50. La estrategia ganadora es:

4. UNA MOSCA ANTOJADIZA. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así:

O O O O

Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil. Probemos con 3x3=9 monedas. Así:

O O O O O O O O O

Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible. Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido. ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas? Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:

(-1,1) (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0)

(-1,-1) (0,-1) (1,-1) Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares. Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:

Impar Par Impar Par ... Si terminase en impar, habría más vé rtices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar! Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.

5. LA MESA Y LAS MONEDAS. Colocar una moneda en el centro exacto de la mesa.

6. FORMANDO TRIÁNGULOS. Con n rectas: T(n)=n(n-1)(n-2)/6.

7. QUITAR DEL MONTÓN.

8. LOS POLLOS DEL MAIZAL. Se mueva como se mueva, el granjero nunca puede atrapar al gallo, ni su esposa a la gallina. Si el granjero va tras la gallina y

su esposa tras el gallo serán fácilmente capturadas. Una de ellas puede atraparse en el octavo movimiento, y la otra en el noveno.

9. UN CALENDARIO CON DOS CUBOS. En el de la izquierda: 0-1-2-6-7-8. En el de la derecha: 3-4-5-0-1-2. El 6 hace las veces de 6 y de 9.

10. SUMAR SIN CONOCER LOS SUMANDOS. Utilizaremos el siguiente esquema: L(+3) * M(+2) * X(+1) * J(0) * V(-1) * S(-2) * D(-3) En el ejemplo concreto: +3+1+1+0-2 = 3. 75 (clave) - 3 = 72 (Suma total de las cifras tachadas) Otro ejemplo. Si hubiéramos tachado: 26, 13, 7, 23, 4. +3+2+1-1-3 = 2. 75 (clave) - 2 = 73 (Suma total de las cifras tachadas) Otro ejemplo. Si hubiéramos tachado: 27, 22, 2, 10, 18. +2+0-1-2-3 = -4. 75 (clave) - (-4) = 79 (Suma total de las cifras tachadas)

11. RECTÁNGULOS OBSTINADOS. La diagonal corta a 12 cuadrados. Regla: base + altura - 1.

12. EL BIOP. El primer jugador ocupa la casilla central con un número K cualquiera. Responde a cada jugada del contrario ocupando la casilla simétrica, respecto del centro, con un número "Y" dado por la fórmula: Y (congruente con) 2K-X (módulo 25) donde X es el número del contrario.

13. LAS FICHAS DEL TABLERO. Asignamos a cada casilla un color. Si la casilla tiene ficha, el color asignado es, el de su ficha. Cuando se quita una ficha, ésta ha de ser de color negro, y el color que queda asignado a la casilla es el negro. A partir de ahí el color se cambiará cada vez que retiremos una de las fichas contiguas. De esta forma el color asignado a cada casilla al principio es el de su ficha, y cambiará cada vez que se retire una ficha contigua, haya o no ficha en la casilla. Llamaremos a las casillas de las esquinas de tipo 1; de tipo 2, a las de los bordes, y de tipo 3 a las interiores al triángulo. Todas ellas están rodeadas por un número par de casillas (2, 4, y 6 respectivamente) Si es posible retirar todas las fichas, el color de cada casilla habrá cambiado un número par de veces, con lo que todas quedarán como al principio y en consecuencia la casilla de la última ficha retirada quedará blanca, lo que es imposible, porque cada vez que se retira una ficha su color es negro, y el color que deja en la casilla después de ser retirada es el negro. Es imposible retirar todas las fichas del tablero.

14. ZORRO, CABRA Y REPOLLO (1). Siete travesías:

Orilla 1 Orilla 2

Situación inicial H Z C R - - - -

1 Cruza el hombre con la cabra - Z - R H - C -

2 Vuelve el hombre solo H Z - R - - C -

3 Cruza el hombre con el repollo - Z - - H - C R

4 Vuelve el hombre con la cabra H Z C - - - - R

5 Cruza el hombre con el zorro - - C - H Z - R

6 Vuelve el hombre solo -H - C - Z - R

7 Cruza el hombre con la cabra - - - - H Z C R .

15. EL BATALLÓN (2). Cruzan ambos niños. Regresa uno con el bote. Cruza un soldado. Regresa el otro niño. Y se repite el mismo procedimiento hasta pasar todos los soldados. Para cruzar 100 soldados se requieren 397 travesías. Cada soldado, salvo el último, requiere 4 travesías; o sea, 99x4=396 travesías. Y luego cruza el último soldado en un viaje. Por supuesto, los niños quedan en la orilla inicial, pero el bote queda del otro lado.

16. MARIDOS CELOSOS (3). Cinco travesías. Llamemos A, B a los tres hombres y a, b, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *. 1 - ab............ AB* 2 - abA*....... B 3 - a.............. BAb* 4 - Aa*......... Bb 5 - ................ ABab*

17. TRES PAREJAS (4). Once travesías. Llamemos A, B, C a los tres hombres y a, b, c, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *. 1 - BCbc.............. Aa* 2 - ABCbc*............ a 3 - ABC............... abc* 4 - ABCa*............. bc 5 - Aa................ BCbc* 6 - ABab*............. Cc 7 - ab................ ABCc* 8 - abc*.............. ABC 9 - c................. ABCab* 10 - Cc*............... ABab 11 - .................. ABCabc*

18. TRES MERCADERES Y TRES SERVIDORES (5). Once travesías. Llamemos M, M, M, a los tres mercaderes y s, s, s, a los servidores. El bote es el asterisco *. 1 - MMMs ss* 2 - MMMss* s 3 - MMM sss* 4 - MMMs* ss 5 - Ms MMss* 6 - MMss* Ms 7 - ss MMMs* 8 - Mss* MMs 9 - s MMMss*

10 - Ms* MMss 11 - MMMsss*

19. CUATRO PAREJAS (6). Diecisiete travesías. Sean A, B, C, D los hombres; a, b, c, d las damas: 1 - ABCDcd................ ab 2 - ABCDbcd............... a 3 - ABCDd........bc....... a 4 - ABCDcd.......b........ a 5 - CDcd.........b........ ABa 6 - BCDcd........b........ Aa 7 - BCD..........bcd...... Aa 8 - BCDd.........bc....... Aa 9 - Dd...........bc....... ABCa 10 - Dd...........abc...... ABC 11 - Dd...........b........ ABCac 12 - BDd..........b........ ACac 13 - d............b........ ABCDac 14 - d............bc....... ABCDa 15 - d..................... ABCDabc 16 - cd.................... ABCDab 17 - ...................... ABCDabcd

20. TRES MARIDOS CELOSOS (7). Cinco travesías. Llamemos A, B, C a los tres hombres y a, b, c, a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *. 1 - ABC abc* 2 - ABCa * bc 3 - a ABCbc* 4 - Aa * BCbc 5 - ABCabc*

21. CINCO MARIDOS CELOSOS (8). Trece travesías. Llamemos A, B, C, D y E a los cinco hombres y a, b, c, d y e a sus respectivas damas. El bote es el asterisco *.

1 - ABCDEde abc * 2 - ABCDEade * bc 3 - BCDEde Aabc * (A no sale de la barca) 4 - ABCDEde * abc 5 - DEde ABCabc * 6 - ADEade * BCbc 7 - ade ABCDEbc * 8 - Aade * BCDEbc 9 - de ABCDEabc * 10 - Dde * ABCEabc 11 - e ABCDEabcd * 12 - Ee * ABCDabcd 13 - ABCDEabcde *

22. TRAVESÍAS POR PESO (9). Nueve travesías: 1 - 10,30,40 50,20

2 - 10,30,40,50 20 3 - 10,50 30,40,20 4 - 10,20,30,50 40 5 - 10,30 50,20,40 6 - 10,30,50 40,20 7 - 30 10,50,20,40 8 - 40,30 10,20,50 9 - 10,20,30,40,50

23. MOROS Y CRISTIANOS. Está expuesta en el archivo Moros y cristianos.ppt, comprimido con Winzip en el archivo mor-

cris.zip.

24. ...

PARADOJAS

El término paradoja viene del griego (para y doxos) y significa "más allá de lo cre¡ble". En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera. 2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa. 3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.) 4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible. 5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Las paradojas no sólo plantean cuestiones, sino que también pueden responderlas.

http://users.servicios.retecal.es/jescudero/mor-cris.zip

1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿decía Epiménides la verdad?

2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Tenemos aquí tres enunciados falsos. ¿Será capaz Vd. de descubrir cuáles? 1. 2+2=4 2. 3x6=17 3. 8/4=2 4. 13-6=5 5. 5+4=9

4. APROBARÁ EL EXAMEN. El siguiente relato ocurrió en un examen oral. PROFESOR: De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta? ALUMNO: Sí. Me doy cuenta. PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará. ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme. PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal. ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé! PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen? ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo? PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple! La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

5. UNA DE LAS DOS. He aquí dos afirmaciones. Una de ellas es falsa. ¿Cuál?

6. ERRORES. En éste se cometen tres errores. París es la capital de Francia. Dos más dos es igual a cinco. América fue descubierta en 1.492. ¿Cuáles son los errores?

7. HORRORES. En éste se cometen dos errores. Roma es la capital de Italia. Dos por dos es igual a cinco.

Hillary escalé el Everest. ¿Cuáles son los errores?

8. PARADOJA MECÁNICA. ¿Por qué los camiones que transportan leche de vaca son una paradoja mecánica?

9. PARADOJA TEMPORAL. Un español en 1.987 llamó por teléfono a otro que se encontraba en 1.986, y le dijo: - Mañana te telefonearé de nuevo. - De acuerdo. ¡Hasta mañana! ¿Podría darse esta situación un tanto paradójica en la vida real?.

10. ...

SOLUCIONES DE PARADOJAS

1. LA PARADOJA DEL MENTIROSO.

2. UN ENUNCIADO Y SU CONTRARIO. ¡Es falso! La oración contraria: "Esta frase no consta de siete palabras." está formada exactamente por siete palabras. ¿Cómo resolver estos raros dilemas?

3. LOS TRES ENUNCIADOS FALSOS. Únicamente son falsos los enunciados 2 y 4. Por tanto, la afirmación de hay tres enunciados falsos es falsa. Tenemos así el tercero de los enunciados falsos. ¿No es verdad?

4. APROBARÁ EL EXAMEN. Supongamos que contestara que sí. En este caso el profesor podría suspenderle o aprobarle, como prefiriese. Si le suspendía y el alumno preguntaba por qué, el profesor podría decir "Contestaste mal la última pregunta, después de todo dijiste que ibas a aprobar y no fue así, y como la última pregunta estaba mal, tienes que suspender". Pero el profesor podría igualmente aprobarle y decir "Dijiste que aprobarías, y como ha sido así, tenías razón, así que contestaste bien la última pregunta, y por eso apruebas". Desde luego los dos razonamientos son circulares, pero ninguno de los dos es peor que el otro. En cambio, si el alumno contestara que no, el profesor no podría ni suspenderle ni aprobarle. Si le aprobaba, el alumno habría contestado mal y habría suspendido. Si le suspendía, el alumno habría contestado bien y habría aprobado. Así que el profesor no podía ni aprobarle ni suspenderle. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, contestó "No" y fastidió al profesor por completo.

5. UNA DE LAS DOS. La primera es cierta: hay dos afirmaciones, ella misma y la segunda. ¿Y la otra? Si fuese falsa, ella misma habría de decir que no hay ninguna falsa (al ser falsa) y si fuese verdadera, ¿dónde está la falsa? Por lo que nos introducimos en una clara contradicción.

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_parado.htm

6. ERRORES. Hay dos errores; uno es la frase que dice «Dos más dos es igual a cinco». El otro es: «En este acertijo se cometen tres errores».

7. HORRORES. Se trata de una paradoja. Si suponemos que el único error es «Dos por dos es igual a cinco», entonces la primera frase debe ser correcta; pero no puede serlo, porque afirma que los errores son dos. Y si suponemos que los errores son, efectivamente, dos, la primera frase debe estar equivocada; pero no puede estarlo, porque afirma precisamente que los errores son tantos como supusimos. Luego este acertijo no tiene solución lógica.

8. PARADOJA MECÁNICA. Porque cuánta más leche llevan, más despacio van.

9. PARADOJA TEMPORAL. Por paradójica que parezca es posible con la condición de que el primer español se encuentre en la Península y el otro en las Islas Canarias y que la llamada se realice en la Península después de las 12 de la noche del 31 de diciembre y antes de la una de la madrugada del día 1 de enero.

PESAS Y PESADAS Problemas relativos a pesas y pesadas. Suelen ser muy interesantes. En su

resolución se usan razonamientos matemáticos.

1. LAS PESAS DEL MERCADER. Un mercader tenía una pesa de 40 Kg. que se le cayó, rompiéndose en 4 pedazos cuyos pesos respectivos eran números exactos de kilos, y por medio de los cuales podía pesar cualquier carga que fuese; asimismo, un número exacto de kilos comprendido entre 1 y 40 ambos inclusive. Determinar el peso de cada uno de los 4 pedazos en que se rompió la pesa inicial.

2. LAS 30 MONEDAS DE ORO. Como cada año, un rey espera que cada uno de sus 30 vasallos le entregue 30 monedas de oro. Pero sabe que uno de ellos ha adoptado la triste costumbre de darle monedas de 9 gr. y no de 10 como él ordena. ¿Cómo podrá, con una sola pesada, identificar al culpable, con el fin de cortarle la cabeza?

3. CON SÓLO DOS PESAS. El juego de pesas de una balanza consta sólo de dos pesas, una de 10 gramos y la otra de 40 gramos. En sólo tres pesadas, separa 1.800 gramos de semillas en dos bolsas de 400 y 1.400 gramos.

4. ENGAÑANDO A LA BALANZA. Cinco gruesas niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose de a una por vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda. Encontraron que de a pares pesaban 129 kilos, 125, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Descubrir el peso de cada una por separado.

5. LAS 9 BOLAS. Se tienen 9 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante dos pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas. (Dos pesadas comparativas)

6. LAS 27 BOLAS. Se tienen 27 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante tres pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas. (Tres pesadas comparativas)

7. LAS 81 BOLAS. Se tienen 81 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas. (Cuatro pesadas comparativas)

8. OLVIDÓ LAS PESAS. Un ciudadano vendedor, se encuentra en el mercado con una balanza de dos brazos para pesar sus ventas, pero infortunadamente se ha dejado las pesas olvidadas en su casa. Sin embargo, entre sus enseres se encuentra con que dispone de los siguientes elementos: - Una barra de hierro de 80 cm de longitud y 40 kilos de peso. - Una cinta métrica. - Una sierra para metales. ¿Cómo hará con no más de tres cortes un sistema de pesas que le permita pesar, kilo por kilo, todos los pesos desde uno hasta cuarenta kilos?

9. ORDENANDO POR PESO. Cinco objetos, todos con pesos distintos, deben ordenarse por pesos crecientes. Se dispone de una balanza, pero no de pesas. ¿Cómo se pueden ordenar los objetos correctamente con no más de siete pesadas separadas? Dos objetos se ordenan por peso con una sola pesada. Tres objetos requieren tres pesadas. La primera determina que A es más pesado que B. Pesamos después B contra C. Si B es más pesado, hemos resuelto el problema en dos pesadas, pero si C es más pesado, se necesita una tercera pesada para comparar C con A. Cuatro objetos se pueden ordenar con no más de cinco pesadas. Con cinco objetos el problema deja de ser trivial. Hasta ahora, no se ha establecido todavía ningún método general para ordenar n objetos con un número mínimo de pesadas.

10. LA BALANZA DESEQUILIBRADA. Una balanza de dos platillos está desequilibrada. Si se coloca una sustancia en el platillo derecho pesa 9 gramos, si se coloca en el platillo izquierdo pesa 5 gramos. ¿Cuál es el peso de la sustancia?

11. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?

12. LOS CUATRO CUBOS. De un mismo material se han hecho cuatro cubos macizos de alturas distintas, a saber: 6 cm., 8 cm., 10 cm. y 12 cm. Hay que colocarlos en los platillos de una balanza de modo que los cubos queden en equilibrio. ¿Que cubos pondrá Vd. en un platillo y cuáles en el otro?

13. EL MONO, LA PESA LA SOGA Y LA POLEA. Si de una soga que pasa por una polea sin fricción alguna se suspende una pesa que equilibra exactamente a un mono colgado del otro extremo, ¿qué le pasa a la pesa si el mono intenta trepar por la soga? (Para tornar más preciso el problema, supongamos que tanto la soga como la polea no tienen peso ni sufren fricción)

.

14. EL HUEVO SORPRESA. Disponemos de una balanza con dos platillos en equilibrio y 12 huevos. Hay uno que tiene un peso diferente de los demás (huevo sorpresa), pero no sabemos si es más o menos pesado. Usando la balanza, ¿podemos obtener el huevo sorpresa y saber si es más o menos pesado en sólo tres pesadas?

15. ...

SOLUCIONES DE PESADAS

1. LAS PESAS DEL MERCADER. Observemos en primer lugar, que si tenemos un juego de pesas que nos permita pesar desde 1 hasta n, podemos mediante una nueva pesa de p=2n+1 Kg. aumentar el campo de pesada hasta 3n+1 Kg. En efecto, puesto que con las primitivas pesas podíamos pesar desde 1 hasta n, para pesar ahora cualquier carga que valga p+x ó p-x (siendo x un número de 1 hasta n), no tendremos más que poner el peso p en el platillo opuesto a la carga y añadir la combinación de pesas necesarias para compensar la diferencia x entre los dos platillos, lo que es siempre posible, pues equivale a pesar una carga comprendida entre 1 y n. Una vez visto esto, el resto es sencillo. Como el extremo de nuestro margen de medida es 40, pondremos: 3n+1=40, n=13, p=2n+1, p=27. Las tres restantes han de permitirnos pesar desde 1 hasta 13. No tendremos más que repetir el razonamiento, siendo ahora 13 el tope superior: 3n+1=13, n=4, p=2n+1, p=9. De la misma forma: 3n+1=4, n=1, p=2n+1, p=3. Debiendo ser la cuarta pesa p=n=1. La solución es, por tanto: 1, 3, 9 y 27 Kg. Incidentalmente, el camino seguido para hallar la solución nos permite ver rápidamente cuál sería la combinación de pesas en cada caso.

2. LAS 30 MONEDAS DE ORO. Es suficiente pesar un montón de monedas de oro formado por una pieza entregada por el primer vasallo, dos del segundo, tres del tercero,... y 30 del trigésimo. Si todos los vasallos hubieran entregado piezas de 10 gr., el montón pesaría: 10(1+2+3+...+30) = 10[30(30+1)/2] = 4650 gr. Si falta 1 gr., el culpable es el primer vasallo.

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_pesada.htm

Si faltan 2, es el segundo, etc. Si faltan 30, es el trigésimo.

3. CON SÓLO DOS PESAS. 1ª pesada: Se reparten los 1.800 gramos en dos bolsas de 900 gramos cada una. 2ª pesada: Una bolsa de 900 gramos se reparte en dos bolsas de 450 gramos. 3ª pesada: Con las dos pesas se retiran 50 gramos de una de las bolsas anteriores y en ella quedan 400 gramos. El resto de las semillas pesa 1.400 gramos.

4. ENGAÑANDO A LA BALANZA. Las niñas pesan 56, 58, 60, 64 y 65 kilos.

5. LAS 9 BOLAS. Hacemos tres grupos de tres bolas. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos.

6. LAS 27 BOLAS. Hacemos tres grupos de nueve bolas. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Hacemos tres grupos de tres bolas. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos.

7. LAS 81 BOLAS. Hacemos tres grupos de 27 bolas. Con una pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Hacemos tres grupos de nueve bolas. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Hacemos tres grupos de tres bolas. Con otra pesada seleccionamos el grupo en el que se encuentra la bola más pesada. Con otra pesada se obtiene la bola que buscamos.

8. OLVIDÓ LAS PESAS. Basta dividir la barra en segmentos de longitudes: 2, 6, 18 y 54 cm. El peso de estos trozos será entonces: 1, 3, 9 y 27 kg. Colocándolos convenientemente en los platillos de su balanza puede medir cualquier peso de un número entero de kilos. Por ejemplo: 23 kilos se pesan poniendo 27 en un platillo y 1 con 3 en el otro. Aritméticamente esta cuestión equivale a escribir los números en el sistema de base tres con las cifras 1 y -1.

9. ORDENANDO POR PESO. Para ordenar cinco objetos por su peso con una balanza basta con no más de siete pesadas: 1ª) Se pesa A contra B. Se supone que B es más pesado. 2ª) Se pesa C contra D. Se supone que D es más pesado. 3ª) Se pesa B contra D. Se supone que D es más pesado. Hemos ordenado ya tres objetos: D > B > C. 4ª) Se pesa E contra B. 5ª) Si E es más pesado que B, lo pesamos ahora contra D. Si es más ligero que B, lo pesamos contra A. En cualquiera de los casos E se introduce en la serie, de manera que obtenemos una lista ordenada de cuatro objetos. Se supone que el orden es D>B>E>A. Ya sabemos (Por la pesada 2ª) la relación entre el objeto C y el D. Por lo tanto; sólo tenemos que encontrar el lugar de C respecto a los otros tres. Esto siempre puede hacerse en dos pesadas. En este caso: 6ª) Se pesa C contra E. 7ª) Si C es más pesado que E, se pesa contra B. Si C es más ligero que E, se pesa contra A.

10. LA BALANZA DESEQUILIBRADA. Suma de pesos: 9 + 5 = 14 gramos. Como se hacen dos pesadas, el peso real de la sustancia es 14/2 = 7 gramos.

11. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Como 4 manzanas y 6 melocotones se equilibran con 10 melocotones, entonces una manzana pesa lo mismo que un melocotón. Por tanto una pera se equilibra con 7 melocotones.

12. LOS CUATRO CUBOS. En un platillo los tres pequeños y en el otro el grande. 6x6x6 + 8x8x8 + 10x10x10 = 12x12x12. 216 + 512 + 1000 = 1728.

13. EL MONO, LA PESA LA SOGA Y LA POLEA. Independientemente de cómo trepe el mono (rápido, despacio o a saltos) el mono y la pesa siempre quedan enfrentados. El mono no puede llegar por encima o por debajo de la pesa por más que se suelte de la soga, se deje caer y vuelva a asir la cuerda.

14. EL HUEVO SORPRESA. La solución está comprimida con Winzip en el archivo de Microsoft Excel H-SORPRE.ZIP (3 Kb) para poder entenderla mejor.

Si le interesa, pulse aquí:

15. ...

PROBABILIDADProblemas un poquito curiosos sobre probabilidad.

1. LOS INCONVENIENTES DE SER DESPISTADO. La siguiente historia da la casualidad de que es cierta: Es bien sabido que en cualquier grupo de al menos 23 personas, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es mayor del 50%. Bien, en cierta ocasión un profesor estaba dando clase de matemáticas a unos universitarios, y estaba explicando la teoría elemental de probabilidad. Explicó a la clase que con 30 personas en lugar de 23, la probabilidad de que al menos dos de ellos cumpliesen años el mismo día sería muchísimo mayor. Profesor: "Como en esta clase sólo hay diecinueve estudiantes, la probabilidad de que dos de vosotros cumpláis años el mismo día es mucho menor del 50%". En ese momento uno de los alumnos levantó la mano y dijo: Alumno: "Le apuesto que al menos dos de los que estamos aquí cumplen años el mismo día". Profesor: "No estaría bien que aceptase la apuesta, porque las probabilidades estarían claramente a mi favor". Alumno: "No me importa. ¡Se lo apuesto de todas maneras!" Profesor: "De acuerdo". El profesor aceptó la apuesta, pensando en dar al chico una buena lección. Procedió a llamar uno a uno a los estudiantes para que dijeran el día de su cumpleaños hasta que, cuando iban por la mitad, tanto la clase como el profesor estallaron en carcajadas motivadas por el despiste del profesor. El chico que con tanta seguridad había hecho la apuesta no sabía el día de

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/h-sorpre.zip

nacimiento de ninguno de los presentes, excepto el suyo propio. ¿Sabes por qué se mostraba tan seguro?

2. EL MISMO Nº DE PELOS. La densidad máxima de cabellos del cuero cabelludo humano es de 5 por mm² (generalmente es menor). Teniendo en cuenta que el número de españoles es 40 millones, ¿cuál es la probabilidad de que dos españoles, al menos, tengan el mismo número de pelos en la cabeza?

3. MAZO DE BARAJA COMPLETO. Tengo un mazo de la baraja francesa, completo, de 52 cartas. Las mezclo cuidadosamente y saco 11 cartas al azar. ¿Qué probabilidad tengo de que salga un comodín? ¿Y, si saco 17? ¿Y, si saco 26?

4. SOBRE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA. Sobre la superficie de una esfera marcamos tres puntos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres puntos queden en una misma semiesfera?

5. TRES BOLAS. Para elegir a un muchacho entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana. ¿Quién lleva más ventaja: el primero, el segundo o el tercero?

6. PARTIDAS DE AJEDREZ. Dos ajedrecistas de igual maestría juegan al ajedrez. ¿Qué es más probable: ganar dos de cuatro partidas o tres de seis partidas? (Los empates no se toman en consideración)

7. EL PENTÁGONO. Se toma al azar un punto situado a varios kilómetros del Pentágono. ¿Qué probabilidad hay de que desde él puedan verse tres lados del polígono?

8. LOS 5 JUGADORES. Durante un viaje 5 camaradas jugaron una partida diaria. Suponiendo que era un juego puramente de azar o, lo que es lo mismo, que los 5 jugadores eran igualmente hábiles, ¿cuál es la probabilidad de que Juan no ganase ninguna partida?

9. LA CARTA DE ARRIBA. Una baraja francesa de 52 cartas es mezclada concienzudamente, cortada y vuelta a apilar. Se extrae la carta superior del mazo, y se observa su color. La carta se devuelve a su lugar, el mazo de naipes vuelve a ser cortado, y vuelve a observarse el color de la carta situado en lo alto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos naipes sean del mismo color?

10. LAS HERMANAS DE LOS AJOS AZULES. Si nos encontráramos con dos de las hermanas Jones (lo que presupone que las dos anteriores sean extracciones al azar del conjunto de las hermanas Jones), hay un caso favorable en cada dos de que ambas chicas tengan los ojos azules. ¿Cuál es la predicción más razonable acerca del número de hermanas Jones que tienen los ojos azules?

11. ...

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_probab.htm

SOLUCIONES DE PROBABILIDAD

1. LOS INCONVENIENTES DE SER DESPISTADO. Cuando el profesor aceptó la apuesta del estudiante había olvidado por completo que dos de los estudiantes, que siempre se sentaban juntos, eran gemelos.

2. EL MISMO Nº DE PELOS. La probabilidad buscada es 1. Existe la certeza de que al menos dos españoles tienen el mismo número de cabellos. Dividiendo el nº de habitantes por 5 tendremos la superficie en mm² que habría que tener el cuero cabelludo para que no se repitan dos cabelleras, en cuanto a nº de pelos. Como 40 106/5 = 8 106 mm² = 8 m² es indudable que habría de ser muy cabezotas los españoles.

3. MAZO DE BARAJA COMPLETO. En los tres casos la probabilidad es cero. Un mazo completo de la baraja francesa de 52 cartas no tiene comodines.

4. SOBRE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA. Uno. Es un suceso seguro.

5. TRES BOLAS. p(1º) = 1/3. p(2º) = 2/3 1/2 = 1/3. p(3º) = 2/3 1/2 1 = 1/3. Luego los tres tienen la misma probabilidad.

6. PARTIDAS DE AJEDREZ. P(2 de 4) = 6/16. P(3 de 6) = 20/64 = 5/16. Luego es más probable ganar dos de cuatro partidas.

7. EL PENTÁGONO. La probabilidad es 1/2. Supongamos que la persona tuviera un doble situado directamente frente a él, a igual distancia y del otro lado, del centro del Pentágono. Si alguna de ambas personas viera tres lados, la otra solamente podría ver dos. Puesto que hay probabilidades iguales de que cualquiera de las personas se encuentre en uno o en otro lugar, la probabilidad de que vea tres caras es 1/2. Observación. Si la contaminación y la niebla de Washington se parecen en algo a las de Toronto, la probabilidad sería nula.

8. LOS 5 JUGADORES. Puesto que la probabilidad de ganar es la misma para cada jugador, esto es, 1/5, quiere decirse que la de no ganar Juan es 4/5. Como se jugaron 5 partidas, la probabilidad buscada de que Juan no ganase ninguna es: p=(4/5)5=0'32768.

9. LA CARTA DE ARRIBA. Cualquiera que sea el color de la primera carta cortada, esta carta no puede ocupar lo alto del mazo producido tras el corte. Con el segundo corte seleccionamos al azar una carta entre 51, de las que 25 son del mismo color que la primera. Por consiguiente, la probabilidad de que las dos cartas sean de colores iguales será 25/51, ligeramente inferior a 1/2.

10. LAS HERMANAS DE LOS AJOS AZULES. Lo más probable es que las hermanas Jones sean cuatro en total, de las que tres tendrían los ojos azules. Efectivamente, si hay n hermanas de las cuales b tienen los ojos azules, la probabilidad de que elegidas al azar dos de ellas resulten ambas de ojos azules es

b(b-1)/n(n-1). Como se nos dice que esta probabilidad es 1/2, el problema consiste en determinar los valores enteros de b y n que le dan a la expresión anterior el valor 1/2. Las soluciones mínimas son n=4 y b=3; las inmediatamente superiores son ya n=21 y b=15. Siendo extremadamente improbable que en una familia haya 21 hermanas, la mejor conjetura es suponer que las hermanas sean cuatro, y que tres de ellas tengan los ojos azules.

11. ...

RELOJES

Para la resolución de los problemas relativos a relojes se suelen usar razonamientos matemáticos.

1. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. Miro el reloj. A partir de ahora la aguja de las horas va a tardar justo el triple de tiempo que el minutero para llegar al número 6. ¿Qué hora es?

2. OJO AL MINUTERO. Entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche, ¿cuántas veces pasa el minutero sobre la aguja horaria?

3. SONÓ EL DESPERTADOR. Mi tío estaba tan cansado que se acostó a las 9 de la noche, con la intención de dormir hasta las 10 de la mañana del día siguiente. Para ello puso su despertador a las 10. Unos 20 minutos después de acostarse ya estaba dormido. ¿Cuánto pudo descansar antes de que el despertador sonase?

4. A LAS TRES Y DIEZ. Siendo las tres en punto, el ángulo formado por la aguja horaria y el minutero del reloj es de 90 . ¿Cuánto medirá el ángulo diez minutos después?

5. EL RELOJ DE PARED. Pepe tiene en casa un reloj de pared que toca la campana del siguiente modo: a la hora exacta, tantas campanadas como el número de la hora, (Ej. a las 4 da cuatro campanadas), a los 15, 30 y 45 minutos da una campanada. Un día Pepe vuelve a casa, al entrar oye una campanada, pasado un rato otra, pasado otro rato, otra, y así desde que entró; oye ocho veces una campanada, ¿Qué hora era cuando entró?

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/probabil.htm

6. RELOJES DE ARENA. Disponiendo de un reloj de arena de 7 minutos, y de otro de 11 minutos, ¿cuál es el método más rápido para controlar la cocción de un huevo, que debe durar 15 minutos?

7. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. ¿Cuál es el método más rápido para cronometrar 9 minutos, disponiendo de un reloj de 4 minutos y otro de 7 minutos?

8. LOS DOS RELOJES. Puse en marcha dos relojes al mismo tiempo y descubrí que uno de ellos se atrasaba dos minutos por hora y que el otro se adelantaba un minuto por hora. Cuando volví a fijarme, el que se adelantaba marcaba exactamente una hora más que el otro. ¿Durante cuánto tiempo habían estado funcionando estos dos relojes?

9. APAGÓN DE LUZ. Estando Vd. ausente, por ejemplo, 10 horas de su casa, conoce algún procedimiento rápido para saber si en ese período de tiempo se ha producido algún apagón de luz y en caso afirmativo a qué hora.

10. EL CAFÉ ESTÁ SERVIDO. El café se sirve entre la 1 y las 2, cuando las agujas del reloj forman un ángulo cuya bisectriz pasa por el centro del 12. ¿Qué hora es exactamente entonces?

11. EL RELOJ QUE SE PARABA. Un hombre no tenía reloj de pulsera ni de bolsillo, pero tenía un reloj de pared muy exacto que sólo se paraba cuando se olvidaba de darle cuerda. Cuando esto ocurría, iba a casa de un amigo suyo, pasaba la tarde con él y al volver a casa ponía el reloj en hora. ¿Cómo es posible esto sin saber de antemano el tiempo que tardaba en el camino?

12. LOS RELOJES DE ANTONIO Y JUAN. Antonio y Juan quieren tomar, con el tiempo justo, el tren de las once. El reloj de Antonio se atrasa 10 minutos, pero él cree que se adelanta 5. El reloj de Juan se adelanta 5 minutos, pero el cree que se atrasa 10. ¿Quién llegará antes a la estación?

13. ENTRE LAS 11, LAS 12 Y LA 1. La aguja grande de un reloj está entre las 11 y las 12 y la aguja pequeña entre las 12 y la 1. Las dos agujas forman con la dirección de las 12 el mismo ángulo. ¿Qué hora marca el reloj?

14. EN LA CANTINA. Los entremeses se sirven entre las 7 y las 8, cuando las dos agujas del reloj están equidistantes de la cifra 6. El postre llega cuando la aguja grande ha cogido a la pequeña. ¿Cuánto tiempo hay, en esta cantina, para comer los entremeses y el plato principal?

15. LAS AGUJAS DE MI RELOJ. Son más de las 3 h. y 20 m., pero no son las 3 h. y 25 m. Observo la situación de las agujas de mi reloj. Después giro las agujas sin romper el mecanismo y llego a poner exactamente la grande en el lugar anterior de la pequeña, mientras que ésta ocupa el lugar que la grande ocupaba anteriormente. ¿Qué hora es exactamente?

16. LAS TRES MANECILLAS DEL RELOJ. En un reloj con segundero, minutero y horario concéntricos, las tres manecillas coinciden a las 12 en punto.

¿Habrá algún otro momento en que las tres manecillas vuelvan a superponerse exactamente?

17. ¿QUIEN ES MAYOR ANA O CARLOS? Ana o Carlos nació en 1842, pero no os diré quién. El otro nació en 1843 ó en 1844. Ella nació en el mes de marzo. Cada uno de ellos tiene un reloj. Ninguno de los dos relojes funciona a la perfección. El de Ana se atrasa diez segundos cada hora, y el de Carlos se adelanta diez segundos cada hora. Un día de enero los dos pusieron sus relojes en hora exactamente a las doce del mediodía. Los relojes no volvieron a marcar la misma hora hasta el día que Ana cumplió 21 años. ¿Quién es mayor Ana o Carlos?

18. POLICÍA MATEMÁTICO. Transeúnte: Vaya mañana más fresquita que tenemos. ¿Puede Vd. decirme qué hora es? Policía: Sume un cuarto del tiempo que hay entre la medianoche y ahora a la mitad del tiempo que hay entre ahora y la medianoche, y sabrá usted la hora correcta. ¿Puede Vd. calcular la hora exacta en la que ocurrió esta intrigante conversación?

Hay problemas (los 3 siguientes) cuya solución no es la que parece evidente. Es decir, que lo que a primera vista se presenta como cierto es en realidad falso.

19. EL RELOJ DE CUCO. Un reloj de cuco tarda 5 segundos en dar las 6. ¿Cuánto tardará en dar las 12?

20. CAMPANADAS DE OTRO RELOJ. Un reloj tarda 6 segundos en dar las seis. ¿Cuánto tiempo tardará en dar las once?

21. DOS RELOJES. Ana tiene un reloj, y Carlos tiene otro. Los dos dan la hora. El de Ana da la hora más deprisa que el de Carlos; de hecho, el reloj de Ana da 3 campanadas en el mismo tiempo que el de Carlos da 2. Un día, a una determinada hora, los dos relojes comenzaron a sonar al mismo tiempo. Cuando el reloj de Ana hubo terminado de dar la hora, el reloj de Carlos dio dos campanadas más. ¿A qué hora ocurrió esto?

22. LA DIVISIÓN DE LA ESFERA. La esfera de un reloj se le divide en 1.500 partes iguales. A cada parte se le denomina "minuto nuevo", cada "hora nueva" estará constituida por "100 minutos nuevos". ¿Qué hora marcará el nuevo reloj cuando uno antiguo indique las 3 horas y 48 minutos?

23. ...

SOLUCIONES DE RELOJES

1. EL MINUTERO TRES VECES MENOS. La 5 y 15. El minutero tarda desde aquí 15 minutos en llegar al número 6, mientras que el horario tarda 45 minutos.

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/s_reloje.htm

2. OJO AL MINUTERO. Casi todo el mundo dice que 11 veces, pero la solución correcta son 10. Si no le parece cierto, échele un vistazo a su reloj.

3. SONÓ EL DESPERTADOR. Mi tío durmió solamente 40 minutos.

4. A LAS TRES Y DIEZ. 35.

5. EL RELOJ DE PARED. Eran las doce, al entrar oyó; la ultima campanada de las 12.

6. RELOJES DE ARENA. Se ponen a contar los dos relojes de 7 y 11 minutos, al mismo tiempo que echamos el huevo en el agua hirviente. Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos, le damos la vuelta y esperamos a que se agote el de 11. Entonces le damos la vuelta otra vez al reloj de 7 minutos. Cuando se agote también la arena habrán transcurrido 15 minutos. Aunque la solución anterior es la que menos tiempo requiere, obliga a dar dos vueltas a uno de los relojes. Hay otra solución más larga (que precisa de 22 minutos en total), pero más sencilla en el sentido de que sólo es necesario voltear una vez uno de los relojes. Se ponen ambos en marcha simultáneamente y, transcurridos los primeros 7 minutos se inicia la cocción del huevo. Cuando se agote la arena en el reloj de 11 minutos, le damos la vuelta. Al agotarse por segunda vez la arena de este reloj habrán transcurrido 15 minutos de cocción.

7. OTROS DOS RELOJES DE ARENA. Se ponen a contar los dos relojes a la vez. Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, le damos la vuelta (han pasado 4 minutos). Cuando se termine la arena en el reloj de 7 minutos, le damos la vuelta (han pasado 7 minutos). Cuando se termine la arena en el reloj de 4 minutos, por segunda vez le damos la vuelta (han pasado 8 minutos), el reloj de 7 minutos ha funcionado durante 1 minuto. Le damos la vuelta una vez más. Cuando se termine la arena, han transcurrido los 9 minutos.

8. LOS DOS RELOJES. Uno de los relojes se adelanta tres minutos con respecto al otro por cada hora, de modo que después de veinte horas estará una hora adelantado.

9. APAGÓN DE LUZ. Cuando se produce un apagón, los relojes radio-despertadores que abundan en las casas se ponen a cero. Solamente habrá que restar de la hora exacta la del reloj para saber a qué hora se produjo el apagón.

10. EL CAFÉ ESTÁ SERVIDO. Sea la 1 h. y x minutos la hora desconocida. Ángulo de la aguja pequeña con la bisectriz (en grados): 360/12 + x/60·360/12 = 30 + x/2. Ángulo de la aguja grande con la bisectriz: 360 - x·360/60 = 360 - 6x. De ahí la ecuación: 30 + x/2 = 360 - 6x. Es decir: x = 2/13·330 = 50 min. 46 seg.

El café se sirve a la 1 hora, 50 minutos, 46 segundos.

11. EL RELOJ QUE SE PARABA. Al salir de su casa el hombre dio cuerda al reloj y escribió la hora en un papel. Cuando llegó a casa de su amigo apuntó la hora que era en ese momento y cuando se fue volvió a apuntarla. Cuando llegó a su

casa miró el reloj y así pudo saber cuánto tiempo había estado fuera de casa. Restando de eso el tiempo que había estado en casa de su amigo pudo calcular lo que había tardado en ir y venir; sumando la mitad de ese tiempo a la hora que era cuando salió de casa de su amigo pudo averiguar la hora que era en cada momento.

12. LOS RELOJES DE ANTONIO Y JUAN. Juan llegará antes y a tiempo. Antonio perderá el tren.

13. ENTRE LAS 11, LAS 12 Y LA 1. Llamando x al número de minutos que indica la aguja grande, tenemos: x/60 = (60-x)/5 x=720/13 minutos. La hora indicada es: Las 12 h 55 m. 23,1 s

14. EN LA CANTINA.

15. LAS AGUJAS DE MI RELOJ.

16. LAS TRES MANECILLAS DEL RELOJ. Averigüemos en cuántos lugares de la esfera del reloj se superponen horario y minutero. Podrá pensarse que coinciden en 12 puntos, pero como ya sabemos, solamente sucede así en diez ocasiones comprendidas entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche. Añadida la coincidencia de las 12, tendremos un total de 11 diferentes lugares de coincidencia. Por un razonamiento análogo, el minutero y el segundero coincidirán en 59 puntos. Así pues, las coincidencias del minutero están separadas por 11 períodos iguales de tiempo, y las coincidencias de segundero y horario, por 59. Llamaremos A al número de arcos de circunferencia definidos por las coincidencias del primer tipo y B al número de arcos por vuelta correspondientes a las del segundo. Para que ambos tipos de coincidencia se presenten simultáneamente, A y B han de admitir algún divisor común mayor que 1. Ahora bien, 11 y 59 no pueden tener divisores comunes, pues son números primos. Por consiguiente, no puede haber ningún momento, entre las 12 del mediodía y las 12 de la noche en que ambos tipos de coincidencias sean simultáneas. Con otras palabras, las tres manecillas sólo están exactamente superpuestas a las 12 en punto.

17. ¿QUIEN ES MAYOR ANA O CARLOS? Primero tenemos que calcular cuántos días tienen que pasar para que los dos relojes vuelvan a marcar la misma hora. Como el reloj de Ana se atrasa tanto como el de Carlos se adelanta, los dos relojes volverán a marcar la misma hora cuando el de Carlos se haya adelantado seis horas y el de Ana se haya atrasado otras seis. (Entonces los dos relojes marcarán las seis, y, por supuesto, ninguno irá bien.) Pero, ¿cuántos días tendrán que pasar para que el reloj de Carlos se adelante seis horas? Un adelanto de diez segundos cada hora supone un minuto cada seis horas, que es 4 minutos al día, que es una hora cada 15 días, que es 6 horas en 90 días. De modo que al cabo de 90 días los relojes volverán a marcar la misma hora. Pero no nos han dicho en que día de enero se pusieron los dos relojes en hora. Si hubiera sido cualquier día excepto el 1 de enero, 90 días después no podía caer en marzo; tendría que caer en abril (o quizá en mayo). De modo que los relojes debieron ponerse en hora el 1 de enero. Pero aún así, 90 días después no caería en

marzo a no ser que fuera un año bisiesto. (El lector puede comprobarlo con un calendario. Noventa días después del 1 de enero es el 1 de abril de un año normal y el 31 de marzo de un año bisiesto). Esto demuestra que el veintiún cumpleaños de Ana cae en año bisiesto, por tanto debió nacer en 1843, y no en 1842 ó en 1844. (Veintiún años después de 1843 es 1864, que es año bisiesto). Se nos dice que uno de los dos nació en 1842, por tanto fue Carlos quién nació en 1842. Así que Carlos es mayor que Ana.

18. POLICÍA MATEMÁTICO. La conversación se llevó a cabo a las 9h y 36m, porque un cuarto del tiempo transcurrido desde la medianoche serían 2h y 24m, que sumado a la mitad del tiempo hasta la medianoche (7h y 12m), da 9h y 36m. Si no fuera por las primeras palabras del transeúnte, se podría suponer que era de tarde, y las 7h y 12m de la tarde podría ser una respuesta igualmente correcta.

19. EL RELOJ DE CUCO. Si un reloj de pared tarda 5 segundos en dar las 6, es que los intervalos entre campanadas son de un segundo. Por consiguiente, en dar las 12 tardará 11 segundos.

20. CAMPANADAS DE OTRO RELOJ. Si el reloj tarda 6 segundos en dar las seis, entonces cada intervalo entre campanadas será de 1'2 segundos. Al dar las once hay diez de esos intervalos, por lo que el tiempo total será de 12 segundos.

21. DOS RELOJES. La respuesta corriente (errónea) es a las 6, pero la respuesta correcta es a las 5.

1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5

Cuando el de Ana dio las 5, el de Carlos dio 3 campanadas. Luego dio 2 más.

22. LA DIVISIÓN DE LA ESFERA. Reloj nuevo 1.500 partes. Reloj antiguo 720 partes. Las 3 horas y 48 minutos abarcan 228 partes. Resolvemos la siguiente regla de tres simple: 720 ------- 1.500 228 ------- x x = 475. Es decir: las 4 horas y 75 minutos.

23. ...

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/relojes.htm

cuestioneslogicasysoluc iones

Documents