Unitat 8

Moviment dels ions.

Fonons

Fsica de lEstat Slid

Grau de Fsica

Universitat de Barcelona

Facultat de Fsica

1

8. MOVIMENT DELS IONS. FONONS

8.0. INTRODUCCI

8.1. MODES DE VIBRACI ACSTICS EN 1D

A. Modes normals de vibraci en un cristall 1D amb base monoatmica

B. Relaci de dispersi

C. Velocitat de grup i superposici de modes de vibraci. Velocitat del so

8.2. MODES DE VIBRACI PTICS EN 1D

A. Modes normals de vibraci en un cristall 1D amb base diatmica

B. Relaci de dispersi

C. Modes acstics i ptics

D. Enumeraci de modes doscillaci

8.3. MODES DE VIBRACI EN 3D

A. Soluci general

B. Xarxa amb base monoatmica

C. Condicions peridiques de contorn

D. Xarxa amb base poliatmica

2

8.4. FONONS

A. Oscillador harmnic 1D. Tractament quntic

B. Oscillacions en un cristall. Tractament quntic. Fonons

C. Quantitat de moviment dels fonons

D. Interacci dels fonons amb altres partcules i quasipartcules

E. Observaci experimental de la dispersi inelstica de neutrons per

fonons

F. Estadstica de Bose-Einstein

G. Energia mitjana dun mode normal doscillaci

H. Densitat de modes

3

8.0. INTRODUCCI

A qualsevol temperatura, fins i tot al zero absolut, els toms que formen un slid

real NO es troben esttics a les seves posicions dequilibri, corresponents a

lestructura cristallina que hem vist fins ara, sin que oscillen constantment al

voltant daquestes.

Aquests moviments atmics donen lloc a oscillacions collectives de la xarxa,

lestudi de les quals constitueix lobjectiu daquest tema.

El model que considerarem per estudiar les vibracions de la xarxa es basa en dues

hiptesis de carcter general:

i) La posici dequilibri dun tom correspon a la posici que ocuparia a

lestructura cristallogrfica ideal (mnim denergia potencial).

Per aquesta ra, les posicions atmiques dedudes de lestructura

cristallogrfica sn, en realitat, posicions mitjanes i NO posicions fixes

instantnies.

ii) Les amplituds doscillaci dels toms al voltant daquestes posicions

dequilibri sn molt ms petites que les distncies interatmiques.

La primera hiptesi justifica lexistncia duna estructura cristallina en els

slids, associada a les posicions mitjanes dels toms, encara que, en realitat, els

toms oscillin contnuament.

La segona hiptesi s raonable en la majoria de casos i permet assegurar que noms

es produeixen deformacions petites en el cristall, com a conseqncia de les

vibracions de la xarxa.

4

Tot plegat fa acceptable considerar lanomenada aproximaci harmnica, que es

basa en les segents hiptesis:

i) Lenergia elstica del cristall s noms una funci quadrtica del

desplaament relatiu de dos toms qualssevol del slid.

ii) Es menyspreen tots els termes dordre superior al quadrtic, encara que a

temperatures prou altes poden tenir fora influncia i donar lloc a efectes que es

coneixen amb el nom defectes anharmnics.

De fet, hi ha moltes propietats trmiques del slid que noms es poden explicar

en el marc duna teoria anharmnica:

Dilataci trmica Existncia de resistncia trmica Dependncia amb la temperatura de la calor especfica a volum constant, a

temperatures elevades, ...

iii) El slid es comporta com si els toms estiguessin lligats entre si per forces

harmniques.

En el marc de laproximaci harmnica, el moviment dels toms es pot reduir a un

problema clssic de modes normals doscillaci:

Sn modes collectius doscillaci dels toms amb k i definits, semblant al cas duna ona sonora que es propaga per un slid.

Si signoren friccions o interaccions anharmniques, si sexcita un mode normal en el slid, aquest es mant en el temps.

[En un slid real, aix passa amb un grau daproximaci ms o menys bo,

segons quina sigui laplicabilitat de la teoria harmnica.]

5

8.1. MODES DE VIBRACI ACSTICS EN 1D

A. MODES NORMALS DE VIBRACI EN UN CRISTALL 1D

AMB BASE MONOATMICA

Considerem una xarxa unidimensional, de parmetre de xarxa a i longitud total L,

formada per N toms iguals (L = Na), de massa m, que estan units entre si per

molles de constant recuperadora C, com sindica a lesquema adjunt.

Resoldrem aquest model considerant dues hiptesis:

i) Les forces recuperadores, que tornen els toms a les seves posicions

dequilibri, actuen noms entre primers vens.

ii) Els desplaaments es produeixen noms en la direcci de la cadena; es parla,

aleshores, dones longitudinals.

Si la primera hiptesi es generalitza a interaccions ms llunyanes, sobtenen

resultats molt semblants, per ms complexos matemticament.

Si es consideren desplaaments en la direcci perpendicular a la cadena, apareixen

ones transversals amb altres constants de fora.

mC

aus-1 us us+1

6

EQUACI DE MOVIMENT DE LTOM s

Anomenem us el desplaament de ltom situat a la cella s respecte a la seva

posici dequilibri, en la direcci de la cadena (vegeu lesquema a la pg. anterior).

En el marc de laproximaci harmnica a primers vens, lenergia potencial elstica

del slid unidimensional vindr donada pel sumatori

( ) ,2

21 = +

sss uu

CV

i, per tant, la fora que actua sobre ltom s tindr lexpressi

( ) ( )[ ]sssss

s uuuuCuVF +== + 11

En aquesta aproximaci clssica, lequaci de moviment de ltom situat a la cella

s vindr donada per la segona llei de Newton per a aquest tom:

[ ]ssss uuuCdtud

m 21122

+= +

Si cerquem solucions que corresponguin a modes collectius doscillaci, tots els

toms han doscillar amb la mateixa dependncia temporal, s a dir, amb la

mateixa freqncia, :

us(x, t) = us(x) eit

Si substitum aquesta dependncia temporal en la segona llei de Newton, calculem

la derivada segona i simplifiquem termes, obtenim

m2us = C [us+1 + us1 2 us]

7

Aquesta s una equaci en diferncies finites del desplaament dels toms i admet

solucions en forma dones que es propaguen pel slid, lexpressi de les quals s

us = u exp(iksa),

on a s el parmetre de xarxa, i sha tingut en compte que la posici, x, no pot

prendre qualsevol valor, sin que est fixada all on hi ha toms, s a dir, pels

nusos de la xarxa: x = sa.

Aix permet reduir el problema de resoldre N equacions, una per a cada tom, a

resoldren una de sola, per a una s qualsevol.

Substituint aquesta mena de solucions a la darrera equaci de la pg. anterior sobt

m2u eiska = Cu [ei(s+1)ka + ei(s1)ka 2 eiska]. Simplificant el factor u eiska, lequaci queda com segueix:

2m = C [eika + eika 2] Allant i emprant la relaci entre el cosinus i les exponencials imaginries, assolim

2 = (2C/m) (1 coska)

Si tenim en compte que sin2(ka/2) = (1 coska)/2, obtenim finalment la relaci de dispersi de les ones elstiques, us = u ei(ksa t), que descriuen modes normals

(modes collectius) doscillaci dels toms que formen el slid unidimensional:

=2

sin4 kamC

8

CONDICIONS PERIDIQUES DE CONTORN

Encara que dentrada hem dit que tenem una cadena de longitud L, en la resoluci

de lequaci de moviment hem considerat una cadena dtoms infinita, s a dir, NO

hem considerat cap condici de contorn especfica.

Com en el cas de lestudi dels estats electrnics, adoptarem condicions peridiques

de contorn per minimitzar lefecte de la superfcie del slid sobre les propietats

daquest.

Per a un slid format per una cadena finita de N toms, de longitud L = Na, aquesta

mena de condicions implica que els desplaaments atmics verifiquin la relaci

u(sa) = u(sa + L)

Com hem vist, la soluci per al desplaament atmic corresponent a un mode

normal doscillaci es pot representar per una ona plana amb un vector dona

definit, us = u exp(iksa).

Per aquesta ra, de la mateixa manera que ja passava per als estats electrnics, la

relaci anterior simplement limitar els valors permesos del vector dona:

eiksa = eik(sa + L) eikL = 1 kL = 2n

s a dir, els vectors dona corresponents a ones planes, compatibles amb condicions

peridiques de contorn, sn de la forma

on N s el nombre de celles primitives del cristall.

)(22 ZnNa

nL

nkn ==

9

B. RELACI DE DISPERSI

Com hem vist, la funci que proporciona la dependncia temporal del desplaament

de ltom s s simplement una ona plana, de la forma

us = u ei(ksa t),

si suposem que el sistema oscilla seguint un mode normal doscillaci.

En conseqncia, tots els toms amb un valor de k fixat oscillen seguint un

moviment harmnic de la mateixa freqncia, , amb un desfasament que depn de la posici de cada tom a la cadena (ksa).

La relaci de dispersi dels modes normals doscillaci (que hem assolit al final de

la pgina 7) s una funci peridica del vector dona k, amb la periodicitat de la

xarxa recproca (2/a).

k /a-/a 0

mC4

=2

sin4 kamC

10

Per tant, qualsevol interval de lespai de vectors dona, damplada 2/a (que s la mida duna cella primitiva), proporciona totes les freqncies possibles

corresponents als modes normals doscillaci del sistema.

A ms, el moviment de les ones elstiques (modes normals) noms est definit

sobre les posicions atmiques, us, ja que la cadena que estem tractant NO s un

medi continu.

Per aquesta ra, s suficient utilitzar vectors dona que corresponguin a longituds

dona ms grans que 2a per tenir en compte tots els desfasaments relatius possibles

entre toms vens.

Aix ho podem veure amb un exemple en qu, per claredat, shan representat

desplaaments transversals:

En un cert instant de temps, les amplituds doscillaci dels toms sn iguals per a

lona amb longitud dona 1 > 2a i per a lona amb longitud dona 2 < 2a. s a dir, hi ha moltes representacions possibles del mateix desplaament atmic,

amb la mateixa freqncia, per cadascuna est associada a un perode diferent del

grfic (k). Cadascuna de les representacions possibles ha de tenir el mateix valor de .

11

Com que les ones es poden propagar cap a la dreta o cap a lesquerra de la cadena,

hem de fer servir valors positius i negatius del vector dona k, de manera que s

ms convenient utilitzar linterval /a < k /a, en lloc de linterval 0 < k 2/a, per definir els valors possibles del vector dona k corresponents als modes normals

doscillaci.

PRIMERA ZONA DE BRILLOUIN

Linterval /a < k /a cobreix tots els valors independents de la fase relativa entre dos toms vens.

Demostraci:

Suposem que k s un vector dona fora de la primera zona de Brillouin (|k| > /a). Sempre podem trobar un nombre enter, m que faci que el vector k definit com

k' = k m(2/a)

pertanyi a la primera zona de Brillouin (|k| < /a).

Una ona elstica que es propagui pel slid unidimensional, amb vector dona k,

produeix un desfasament relatiu en els desplaaments de dos toms vens igual a

us+1/us = eika = ei2m ei(ka 2m) = eika

Per tant, sempre es pot trobar un vector dona, k, contingut a la primera zona de

Brillouin, lona elstica corresponent al qual produeix els mateixos desplaaments

relatius dels toms que lona elstica corresponent a un altre vector dona, k, fora de

la primera zona de Brillouin.

12

Per a k = /a (s a dir, en extrems de la primera zona de Brillouin), la soluci us = u eiksa no representa una ona mbil, sin que correspon a una ona estacionria.

Aix s aix perqu, en els lmits de zona, es verifica

us = u exp(is) = u (1)s, i, en conseqncia, dos toms consecutius oscillen amb fases oposades, que

depenen del fet que s sigui un nombre parell o senar.

s a dir, si un tom es mou en un sentit i ltom adjacent es mou en sentit oposat,

amb la mateixa amplitud, NO hi ha cap moviment net, de manera que lona no es

propaga.

ENUMERACI DE MODES NORMALS DOSCILLACI

Cada mode normal doscillaci est descrit per lona elstica

us = u ei(ksa t),

on els valors permesos de k sn noms aquells que sn compatibles amb les

condicions peridiques de contorn (vegeu la darrera equaci a la pgina 8):

)(22 ZnNa

nL

nkn ==

13

Aix suposa que, si considerem una cella primitiva entre 0 i 2/a el valor mnim que pot prendre k s 2/Na i el valor mxim que pot prendre k s 2/a:

,2,2)1(,,6,4,2aNa

NNaNaNa

k = K

o b,

LN

LN

LLLk = 2,2)1(,,6,4,2 K

[No comptem k = 0 perqu representa el mateix estat que k= 2/a.]

Si ens limitem, per, a la primera zona de Brillouin, s a dir, a linterval /a < k /a, els valors possibles del vector dona k sn

,,21,,2,0,2,,21aaNNaNaaN

k

= KK

que es poden escriure de manera compacta com

aaNNaNak

= ,21,,4,2,0 K ,

o b com

( )L

NL

NLL

k = ,2,,4,2,0 K

Hi ha, per tant, N valors diferents del vector dona dins de la primera zona de

Brillouin, on N s el nombre de celles primitives del cristall.

[No comptem lestat k = N/L perqu representa el mateix estat que k = N/L.] k = 0 correspon al mode uniforme, per al qual tots els toms oscillen en fase:

us (k = 0) = u eit, s

14

C. SUPERPOSICI DE MODES DE VIBRACI I VELOCITAT DE GRUP

La soluci general per al desplaament dun tom qualsevol s una superposici

dels modes normals doscillaci, de la forma

( )[ ],exp =k

kks tksaiAu

que es coneix amb el nom de moviment multiperidic.

La velocitat de transmissi dun daquests paquets dones s la velocitat de grup,

que es defineix com

,0kk

g dkdv

==

on k0 s el valor corresponent al centre del paquet.

[La generalitzaci al cas 3D de la velocitat de grup dna lexpressi vg = k(k).]

Aplicant aquesta definici a la relaci de dispersi sobt la segent expressi:

Per a k = /a, ja hem dit que lona elstica s estacionria, i la velocitat de

propagaci del paquet dona s zero:

vg = 0

En aquest cas, NO hi ha transmissi neta

denergia elstica. k /a-/a 0

vg

=2

cos kamCavg

15

LMIT DE LONGITUDS DONA LLARGUES. VELOCITAT DEL SO

La relaci de dispersi no s una simple relaci lineal entre la freqncia angular i el vector dona k; per tant, s com si les ones elstiques en el slid es propaguessin

en un medi dispersiu.

No obstant aix, per a valors de |k| petits (longituds dona llargues), la relaci (k) s prcticament lineal (no hi ha dispersi), ja que

16

Si ens fixem en la representaci de la relaci de dispersi a la figura adjunta,

podem veure que aquesta velocitat correspon, a ms, a la velocitat mxima de

propagaci de les ones elstiques en el medi.

Laproximaci de baixes freqncies (longituds dona llargues) s aplicable fins a

freqncies de lordre de 1012 Hz (THz, terahertz).

Daltra banda, en la mateixa figura veiem que hi ha un valor lmit per a la

freqncia de propagaci de lona, una freqncia de tall de la xarxa, que est

determinada per lespaiat de la xarxa, i que val

Ones elstiques de freqncia ms gran que mx no es poden transmetre pel cristall.

Els modes de vibraci estudiats en aquest apartat donen lloc a les anomenades

branques acstiques de lespectre doscillacions collectives del slid.

av

mC so

mx24 ==

k /a-/a 0

mC4

mCav =so

max

branca acstica

17

8.2. MODES DE VIBRACI PTICS EN 1D

A. MODES NORMALS DE VIBRACI EN UN CRISTALL 1D

AMB DOS TOMS AMB DESPLAAMENTS DIFERENTS

Considerem una xarxa unidimensional de parmetre de xarxa a, amb una base

atmica formada per dos toms diferents, de masses m i M (m < M), que estan units

entre si per molles de constant recuperadora C, com sindica a lesquema adjunt.

Resoldrem aquest model considerant dues hiptesis:

i) Les forces recuperadores, que tornen els toms a les seves posicions

dequilibri, actuen noms entre primers vens.

ii) Els desplaaments es produeixen noms en la direcci de la cadena (ones

longitudinals).

Anomenem respectivament us i vs els desplaaments dels toms de massa M i m

pertanyents a la cella primitiva s, respecte a les seves respectives posicions

dequilibri, en la direcci de la cadena (vegeu lesquema anterior).

M mC

a

us-1 vs-1 us vs

18

EQUACIONS DE MOVIMENT DELS TOMS A LA CELLA PRIMITIVA s

En el marc de laproximaci harmnica a primers vens, la fora que actua sobre

cada tom situat a la cella primitiva s tindr lexpressi

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ] [ ]

+=+==

+=+==

++

ssssssss

sv

ssssssss

su

vuuCvuvuCvVF

uvvCuvuvCuVF

2

2

11

11

En aquesta aproximaci clssica, lequaci de moviment corresponent a cada tom

segons la segona llei de Newton ser la segent:

[ ][ ]

+=

+=

+

ssss

ssss

vuuCdt

vdm

uvvCdt

udM

2

2

12

2

12

2

Cerquem solucions que corresponguin a modes collectius doscillaci, amb la

forma duna ona elstica amb k i definits, que adopta una amplitud doscillaci diferent sobre cada mena dtom de la base atmica:

us = u ei(ksa t) vs = v ei(ksa t)

Si substitum aquestes expressions a la segona llei de Newton, calculem la derivada

segona i simplifiquem termes, obtenim un sistema homogeni de dues equacions, on

les variables sn u i v:

2Mu = Cv [1 + eika] 2Cu 2mv = Cu [1 + eika] 2Cv

19

Arreglant el sistema, obtenim

(M2 2C) u + C[1 + eika] v = 0 C[1 + eika] u + (m2 2C) v = 0

Perqu aquest sistema tingui soluci diferent de la trivial (u = v = 0) cal que el

determinant dels coeficients sanulli:

( )( ) 021

12

2

2

=+

+

CmeC

eCCM

ika

ika

Desenvolupant el determinant i agrupant termes sobt la segent equaci:

Mm4 2C (m + M) 2 + 2C2 (1 coska) = 0

Resolent aquesta equaci de segon grau en 2, obtenim la relaci de dispersi:

En contrast amb la xarxa monoatmica, la relaci de dispersi duna xarxa

diatmica proporciona dos valors possibles de (noms els valors positius de tenen sentit fsic) corresponents a un valor determinat del vector dona k.

La representaci daquests dos valors possibles en funci de k determina dues

branques, +(k) i (k), per a la relaci de dispersi, que reben els noms histrics de branca ptica i branca acstica, respectivament.

Com en el cas de la cadena monoatmica, (k) s una funci peridica amb la periodicitat de la xarxa recproca, 2/a.

( ) 2/122 cos12

+

+=

mMka

mMMmC

mMMmC

20

B. RELACI DE DISPERSI

VALORS EXTREMS DE LES BRANQUES ACSTICA I PTICA

(i) Lmit k 0 (|k|

21

En aquest lmit (k 0), +(k) no depn de k i, per tant, la velocitat de grup sanulla i la velocitat de fase es fa infinita:

0; ===dkdv

kv gf

Branca acstica:

;)(2/)()(2

11)( 2222 ka

MmCka

MmmM

mMMmC

mMMmCk +

+

+

+

En aquest lmit, la branca acstica presenta una relaci lineal, cosa que indica que

el medi s molt poc dispersiu.

Daltra banda, lexpressi s molt semblant a la que ja vam obtenir per a una

cadena monoatmica [mono(k) = (C/m)1/2 kamono]. De fet, si les dues masses sn iguals (m = M), considerant que adia = 2amono, les dues expressions coincideixen

exactament.

Per tant, com en el cas de la xarxa monoatmica, la velocitat de grup (vg = d/dk) i la velocitat de fase (vf = /k) coincideixen en aquest lmit:

2/12/

+== Mm

Cavv gf

2/1

2)(

++ mMMmCk

kaMm

Ck2/12/)(

+

22

(ii) Lmit k = /a (extrems de la primera zona de Brillouin)

En aquest lmit, coska = 1 i la relaci de dispersi es redueix simplement a

,42/12

2

+=

+

+=

mM

mMCmM

MmCmMmM

MmCmM

MmCa

que t com a solucions

Apareix, aix, una regi de freqncies prohibides que separa les dues branques,

en la qual no hi ha solucions permeses:

(2C/M)1/2 < < (2C/m)1/2

En aquesta regi, les solucions per a real corresponen a valors de k complexos, que donen lloc a ones elstiques que sesmorteeixen rpidament al propagar-se.

)(2;2 MmMC

amC

a

23

C. MODES ACSTICS I MODES PTICS

La diferncia de significat fsic entre les dues branques que han aparegut a la

relaci de dispersi, i lorigen dels noms histrics que sels dna, es comprn ms

b fent una anlisi de la relaci entre les amplituds doscillaci dels dos toms

continguts a la cella primitiva s, en el centre de cada branca (k 0).

De la 1a equaci de moviment (vegeu la pgina 19) sobt la segent relaci:

202 22

21

+=

MCC

vu

MCeC

vu

k

ika

(i) Branca acstica

Al centre de la branca, s a dir, per a k 0 i 0, la relaci damplituds anterior s simplement

1vu

Aix vol dir que els toms de la base atmica es mouen en fase i la cella primitiva

es desplaa com un tot, de manera semblant a com ho fa una ona acstica en un

medi continu i elstic.

Per aquesta ra, a aquesta branca se lanomena histricament branca acstica.

[N.B. No sn celles consecutives.]

24

(ii) Branca ptica

Al centre de la branca, s a dir, per a k 0, ja hem vist abans lexpressi de la relaci de dispersi,

,2)(2/1

++ mMMmCk

de manera que la relaci damplituds s

mvMuMm

mMMmCMC

Cvu =+

)2(2

2

Aix vol dir que els dos toms de la base atmica, continguts a cada cella

primitiva, oscillen en oposici de fase (en sentits oposats), amb amplituds

inversament proporcionals a les seves masses.

En conseqncia, el centre de masses de cada cella no es desplaa:

0CM ++=

MmmvMuu

[N.B. No sn celles consecutives.]

25

Per entendre lorigen del nom daquesta branca, considerem un cristall inic, en el

qual els dos toms de la base tenen crregues oposades.

En aquests cristalls, el moviment dels toms quan segueixen un mode ptic de k

petita crea un moment dipolar elctric

que varia al llarg del cristall amb una longitud dona llarga, i que interacciona fortament amb ones electromagntiques de la mateixa

freqncia.

Com que aquestes ones cauen en la part de linfraroig de lespectre (la freqncia a

k 0 s duns THz), aquesta branca sanomena histricament branca ptica.

(iii) k 0.

Per a un valor qualsevol de k, NO hi ha una distinci simple entre els modes

doscillaci a cadascuna de les dues branques, encara que la denominaci de

modes acstics i ptics es conserva en tot el rang de valors de k.

Exemple: Modes ptic i acstic per a una ona elstica transversal.

Mode ptic

Mode acstic

26

D. ENUMERACI DE MODES NORMALS DOSCILLACI

Quan simposa que les ones elstiques verifiquin condicions peridiques de

contorn,

u(sa) = u(sa + L) v(sa) = v(sa + L),

ja vam veure en el cas de la xarxa monoatmica que els vectors dona k permesos

sn de la forma

)(22 ZnNa

nL

nkn ==

Per tant, a la primera zona de Brillouin (/a < k /a, on no hi incloem el valor k = /a, perqu representa el mateix estat que el valor k = /a), hi ha N valors permesos del vector dona k, on N s el nombre total de celles primitives del

cristall:

( )L

NL

NLL

k = ,2,,4,2,0 K

Com que per a cada valor de k, hi ha dos modes de vibraci (un dacstic i un

dptic), el nombre total de modes normals doscillaci s 2N.

s a dir, el nombre de modes normals doscillaci s igual al nombre total

dtoms.

[De fet, tamb hi ha tantes equacions de moviment con toms en el cristall, 2N.]

27

8.3. MODES DE VIBRACI EN 3D

A. BASE MONOATMICA

En aquest apartat, estendrem la formulaci anterior al cas de slids tridimensionals.

A ms, considerarem interaccions entre tots els toms, no noms a primers vens.

La component de la fora, Fs, exercida sobre ltom situat a la cella primitiva s per tota la resta del cristall, en laproximaci harmnica, es pot escriure com

{ }zyxursFr

rs ,,,;),( ,, =

En aquesta expressi:

El sumatori sobre lndex r sestn sobre les N celles primitives del slid, incloent-hi la cella s.

El sumatori sobre suma sobre les tres coordenades cartesianes, {x, y, z}. (s, r) s la constant de fora per a la interacci entre els toms situats a

les celles primitives s i r, quan els desplaaments daquests toms es

donen en les direccions cartesianes i , respectivament.

Les constants de fora depenen de la naturalesa de les interaccions atmiques (tipus

denlla), i algunes sn negatives, com vam veure en els casos 1D precedents.

Aquestes constants es poden calcular a partir de lenergia potencial dinteracci del

slid, V, per a petits desplaaments dels toms de les seves posicions dequilibri

(aproximaci harmnica), de la manera segent:

=,,

2),(

rs uuVrs

28

La segona llei de Newton per a un tom a la cella primitiva s sescriu com

{ }zyxursdtud

mr

rs

s ,,;),( ,2,

2

=

Per tant, tenim tres equacions diferencials per descriure el moviment de cada tom.

La component del desplaament de latom s, us,, quan aquest oscilla seguint un mode normal doscillaci, es pot escriure com

us, = us,(k) eit

Substituint aix a la 2a llei de Newton, de la qual ha de ser soluci, sobt

= r rss

ursum )(),()( ,,2 kk ,

que es pot reescriure com

[ ] 0)(),( ,2 =

r

rsrr umrs k

Quan es consideren les equacions anteriors per als N toms del slid, tenint en

compte que lndex s recorre les N celles primitives i, per tant, tots els toms,

sobt un sistema homogeni de 3N equacions en les components dels

desplaaments atmics, ur,(k).

Perqu aquest sistema tingui soluci no trivial, el determinant dels coeficients sha

danullar:

[ ] 0),(Det 2 = srrmrs Resolent aquest determinant, sobt un polinomi de grau 3N en 2 (3 equacions N celles), que t 3N solucions per a amb sentit fsic, ja que noms estan permesos valors positius de . El sistema t, per tant, 3N modes normals doscillaci.

29

Considerem que cada tom del cristall t massa m.

Si explicitem el desplaament de ltom s, un mode normal doscillaci daquest

sistema t la forma

( )tis

set = RkAu )( on A s el vector que defineix lamplitud del moviment segons els tres eixos

cristallins i Rs s la posici dequilibri de ltom s (s un vector de la xarxa de

Bravais respecte a un cert origen pres sobre un nus de la xarxa).

Substituint aquesta expressi a la segona llei de Newton, sobt

[ ] 0),( 2 = r

isr

reAmrs kR

Ara b, dos toms amb posicions dequilibri R1 i R1 + Rd interaccionen amb la

mateixa constant de fora que uns altres dos toms situats a les posicions R2 i R2 +

Rd, ja que en ambds casos, els dos toms considerats es troben desplaats lun

respecte a laltre segons el vector de translaci Rd.

Si definim, en general, el vector Rd com

Rd = Rr Rs ,

i multipliquem els dos membres de lequaci anterior per sie Rk , obtenim

[ ] 0)( 02 = d id deAmd kR , on el sumatori sobre lndex r, que recorre tots els toms del slid, sha substitut

per un sumatori sobre tots els vectors de translaci, Rd, que connecten ltom s amb

tota la resta dtoms del cristall, i es considera que si r = s, llavors Rd R0 = 0.

30

Definim la matriu dinmica del sistema com una matriu 33 de la forma

d

i dedm

D kRk )(1)(

Daquesta manera, la darrera equaci de la pgina anterior es converteix en

[ ] 0)( 2 =

AD k

Considerant els tres valors possibles de , aquesta equaci s en realitat un sistema homogeni de tres equacions, on les incgnites sn les components del vector

amplitud, A.

Perqu aquest sistema tingui soluci diferent de la trivial, cal que el determinant

dels coeficients sanulli:

02

2

2

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

DDDDDDDDD

El polinomi caracterstic, de grau 3 en 2, proporciona 3 solucions fsicament acceptables de valors positius per a .

Per tant, per a cada vector dona k perms, hi haur una matriu dinmica del

sistema que donar lloc a un polinomi caracterstic, del qual sobtindran com a

soluci tres modes normals doscillaci diferents, un per a cada valor de la

freqncia .

Laparena qualitativa de les tres branques que sobtenen en aquest cas 3D general

s molt semblant a la de la branca acstica dels exemples unidimensionals, com es

pot comprovar a lesquema de la pgina segent.

31

Observacions:

i) Si k est dirigit al llarg dun eix de simetria del cristall, sobtenen dos modes

transversals (T), el vector amplitud, A, dels quals s perpendicular a la direcci

de propagaci de lona associada a k, i un mode longitudinal (L), el vector

amplitud del qual s parallel a la direcci del vector dona.

ii) Per a direccions arbitrries de k, els modes doscillaci NO sn ni

transversals purs ni longitudinals purs (A no s ni parallel ni perpendicular a k).

iii) Quan k 0 (modes de longitud dona llarga), depn linealment de k (medi no dispersiu) per a cada branca, com en el cas unidimensional.

Es pot definir, aleshores, la velocitat del so a partir daquestes regions lineals,

entesa com la velocitat mxima a qu es pot propagar una ona elstica pel slid,

per a una branca determinada.

Per a k 0, un mode doscillaci s sempre longitudinal o transversal pur, independentment de la direcci de propagaci de lona (k).

iv) En un cristall les constants de fora de cisalla (entre plans cristallins)

acostumen a ser ms petites que les constants de fora de compressi (dins dun

mateix pla), de manera que els modes transversals sn ms lents que els modes

longitudinals.

k

L

T

32

B. CONDICIONS PERIDIQUES DE CONTORN

Les condicions peridiques de contorn per als desplaaments atmics segons els

eixos cristallogrfics ( = 1, 2, 3) sescriuen de la forma

),,(),( ,, tutNu ssss RaR =+

on N s el nombre de celles primitives del cristall en la direcci de leix .

Considerant que la component del desplaament de ltom s ve donada per lexpressi ( )tiss seAtu = RkR , ),( , els vectors dona k compatibles amb les condicions peridiques de contorn tenen la forma

ZmNm = =

;3

1bk

on b1, b2 i b3 sn els vectors primitius de la xarxa recproca.

Per tant, a la primera zona de Brillouin hi ha N1 N2 N3 = N valors permesos de

vectors dona k, on N s el nombre total de celles primitives del cristall.

Com en el cas 1D, amb aquests N vectors dona continguts a la primera zona de

Brillouin nhi ha prou per representar totes les ones elstiques que corresponen a

modes doscillaci diferents.

Demostraci:

Si k s un vector fora de la primera zona de Brillouin, sempre s possible trobar un

vector de la xaxa recproca, G, de manera que k = k + G sigui un vector contingut

a la primera zona de Brillouin, el mode doscillaci del qual sigui el mateix que el

mode corresponent a k:

( ) ( ) ( )titiitis

sssss eeeet + === RkRGRkRGRk AAAu ')(

33

C. BASE POLIATMICA

Sigui un cristall amb una base atmica que cont p toms per cella primitiva.

Un mode normal doscillaci daquest cristall sescriur com

( )[ ],)( tiisi iset += RkAu on s s lndex de la cella primitiva, i s lndex de ltom dins de la cella

primitiva s, Rs s el vector de la xarxa de Bravais que assenyala lorigen de la cella

primitiva s, i i s el vector de posici de ltom i dins la cella primitiva s.

El determinant secular que sobt quan se substitueix el mode doscillaci anterior

en la segona llei de Newton s un polinomi en 2, de grau 3p (ja que hi ha p toms a la base atmica), que t 3p solucions positives per a . s a dir, per a cada valor del vector dona k hi ha 3p modes doscillaci.

Daquests 3p modes doscillaci, nhi ha 3 que donen lloc a branques acstiques

i 3p 3 que donen lloc a branques ptiques. [Ra simple: noms hi ha 3 maneres diferents doscillar en fase, una segons cada

direcci cristallogrfica, i aquestes corresponen a les branques acstiques.]

k

modes acstics

modes ptics

2=p:Ex.

34

8.4. FONONS

A. OSCILLADOR HARMNIC UNIDIMENSIONAL.

TRACTAMENT QUNTIC

Lhamiltoni dun oscillador harmnic unidimensional de massa m ve donat per

lexpressi

,21

2H 2

2kx

mp +=

on p s loperador quantitat de moviment i k s la constant de fora de loscillador,

que est relacionada amb la freqncia doscillaci com k = m2.

A partir dels operadors anihilaci, a, i creaci a+, definits com

,2

12

,2

12

pm

ixma

pm

ixma

+

+hh

hh

lhamiltoni es pot reescriure com

+= +21H aah

35

Els valors propis daquest hamiltoni sn

),(21 NnnE

+= h

i les funcions prpies, |n, es caracteritzen pel valor del nombre quntic principal, n.

Les energies i els estats propis corresponents que hem obtingut es poden interpretar

en termes dun model simple:

Lestat propi |n de loscillador s equivalent a lestat dun sistema amb un nic nivell denergia h en qu es colloquen n partcules independents.

A lenergia total daquest nivell se li ha de sumar lenergia del punt zero, (1/2)h, perqu els dos models sigui equivalents.

En aquesta interpretaci, els operadors anihilaci i creaci simplement destrueixen

i creen, respectivament, una partcula en el nivell denergia h.

36

B. OSCILLACIONS EN UN CRISTALL.

TRACTAMENT QUNTIC. FONONS

Lhamiltoni dun cristall unidimensional, de parmetre de xarxa a, amb N celles

primitives i longitud L (L = Na), amb base monoatmica (vegeu lesquema a la

pgina 5), es pot escriure de la forma

( ) ,21

2H 21

2

+= +s

sss uuCm

p

on m s la massa de ltom de la base, C s la constant de fora de la molla que

uneix dos toms situats en celles adjacents, ps s loperador quantitat de moviment

que actua sobre ltom situat a la cella primitiva s, us s el desplaament daquest

tom respecte a la seva posici dequilibri, i el sumatori sestn sobre tots els toms

del cristall.

Es pot demostrar que aquest hamiltoni s separable en N hamiltonians

independents, un per a cadascun dels N modes doscillaci clssics (N valors

permesos del vector dona k) que hem estudiat a lapartat 8.1, i t la forma de

lhamiltoni de loscillador harmnic simple

+==

+Ni

kki ii aak1 21)(hH

En aquest esquema, els operadors +ika i ika sn respectivament els operadors de

creaci i anihilaci dun quasipartcula anomenada fon en el mode doscillaci ki

que correspon a la freqncia (ki), que ve donada per la relaci de dispersi clssica.

37

Els estats propis daquest hamiltoni sn de la forma

Nkk nn ,,1 K ,

on NnnNkk ,,1 K i sn els nombres quntics principals associats als modes

doscillaci caracteritzats pels vectors dona k1, ..., kN.

Lenergia prpia daquests estats s simplement la suma de les energies prpies

dels N hamiltonians equivalents als doscilladors harmnics de freqncies (ki):

+==N

iik knE i1)(

21 h

Generalitzant el model dun nic nivell denergia h, ocupat per n partcules independents, que hem utilitzat per interpretar els resultats obtinguts per a un

oscillador harmnic en el subapartat anterior,

podem introduir unes quasipartcules independents denergia h(ki), que anomenarem fonons,

que ocuparan els N nivells que corresponen als N modes doscillaci del slid, en un nombre ms gran o ms petit, depenent del grau dexcitaci

energtica daquests modes.

h(k1)

h(kN)

38

Els fonons dun slid sn quasipartcules, ja que sels pot assignar una energia

h(ki) i un quasimoment hki.

Per a un cristall tridimensional real, amb N celles primitives i p toms per cella

primitiva, hi ha 3pN modes doscillaci, distributs en 3p branques (3 dacstiques

i 3(p1) dptiques).

Lenergia del mode i-sim ser

iii nE

+= h21

i lenergia total del cristall en lestat |n1 . . . n3pN ser

+==

pN

iiinE

3

1 21 h ,

on ni s el nombre de fonons amb energia hi en el mode i-sim, i el sumatori sestn sobre els 3pN modes doscillaci del cristall.

Quan un cristall en lestat quntic ni crea o anihila (emet o absorbeix) un fon,

passa a lestat quntic ni + 1 o ni 1, respectivament.

fon Quntum dexcitaci dun mode normal doscillaci del slid

39

C. QUANTITAT DE MOVIMENT DELS FONONS

[A partir daqu, farem servir q per presentar el vector dona dun fon.]

Un fon de vector dona q interacciona amb altres partcules i quasipartcules

(fotons, neutrons, electrons, etc.) com si tingus un moment hq.

No obstant aix, un fon NO transporta cap quantitat de moviment fsica, ja que el

seu origen s el moviment relatiu entre toms (excepte per a q = 0).

Aquesta s la ra per la qual hq s un quasimoment i, en realitat, el fon s una quasipartcula.

Els modes normals doscillaci dun cristall NO impliquen variaci del centre de

masses de tot el cristall.

Per aquesta ra, hq NO s un veritable moment.

Per a q = 0, S que hi ha moviment del centre de masses del cristall, ja que aquest

es mou com un tot.

En aquest cas, per, hq = 0.

40

D. INTERACCI DELS FONONS AMB ALTRES PARTCULES

I QUASIPARTCULES

En els cristalls hi ha regles de selecci per als vectors dona permesos per a

transicions entre estats quntics.

Ja vam veure que la dispersi elstica dun fot de raigs X per un cristall est

governada per la segent regla de selecci (condici de Bragg):

k' = k + G,

on G s un vector de la xarxa recproca i k i k sn els vectors dona dels fotons

dispersat i incident, respectivament.

Com a conseqncia daquest procs de reflexi, el cristall en conjunt retrocedeix

amb una quantitat de moviment hG.

Si la dispersi del fot s inelstica i en el procs es crea (semet, signe +) o

sanihila (sabsorbeix, signe ) un fon de vector dona q, es compleix la relaci

En realitat, lequaci anterior s la regla general de selecci dels vectors dona,

vlida tamb per a la interacci entre els fonons del cristall i altres partcules

(electrons, neutrons, etc.).

k' q = k + G

41

E. OBSERVACI EXPERIMENTAL DE LA DISPERSI INELSTICA

DE NEUTRONS PER FONONS

Les relacions de dispersi dels fonons dun cristall, (q), es determinen sovint mitjanant experiments de dispersi inelstica de neutrons amb emissi (creaci) o

absorci (anihilaci) de fonons.

Els neutrons interaccionen principalment amb els nuclis dels toms i la cinemtica

de la dispersi est governada per una regla de selecci com la que hem vist a la

pgina anterior.

En aquest cas, k i k sn respectivament els vectors dona dels neutrons incident i

dispersat, q s el vector dona del fon ems i absorbit, i G s qualsevol vector de

la xarxa recproca.

A ms, en aquest procs de dispersi, es compleix lequaci de conservaci de

lenergia total,

,2

'2 n

22

n

22= hhh

Mk

Mk

on h s lenergia del fon creat (ems, signe +) o anihilat (absorbit, signe ).

Estudiant lenergia dels neutrons dispersats en funci del vector de dispersi, k k, i utilitzant les equacions de conservaci del moment i de lenergia, es pot

determinar experimentalment la relaci de dispersi fonnica dun slid, (q).

A les pgines segents es poden veure exemples de relacions de dispersi

fonniques obtingudes daquesta manera per a diferents metalls (Pb, Al, Cu).

[En aquests experiments es fan servir neutrons trmics, amb energies de lordre de

meV, perqu les seves longituds dona sn similars a lespaiat de la xarxa, i aix la

diferncia de moment dels neutrons sadequa al moment dels fonons.]

42

Observacions:

i) Els valors da (parmetre de xarxa) i m (massa de lelectr) es troben en

taules.

ii) El valor de la constant de fora a primers vens, , sobt a partir del mxim ms alt de (q), utilitzant mx = 2(/m)1/2 com a aproximaci unidimensional duna direcci concreta. El fet que sigui un valor molt gran vol dir que

laproximaci harmnica (corbes puntejades) s prou bona per ajustar les dades.

(10

12 ra

d/s)

k (-1)

43

La constant de fora a primers vens no s tan gran com en el cas del coure, i aix

es reflecteix en el fet que les dades experimentals es desvien de les corbes teriques

corresponents a laproximaci harmnica.

(10

12 ra

d/s)

k (-1)

44

La constant de fora a primers vens en aquest cas s relativament petita, la qual

cosa es reflecteix en el fet que les dades experimentals es desvien moltssim de les

corbes teriques corresponents a laproximaci harmnica.

Aix suposa que shagin dintroduir interaccions amb toms que van ms enll dels

primers vens, perqu noms amb aquests no nhi ha prou per descriure les dades

experimentals correctament.

(10

12 ra

d/s)

k (-1)

45

F. ESTADSTICA DE BOSE-EINSTEIN

Els fonons es comporten com si fossin bosons, ja que no hi ha cap limitaci sobre

el nombre mxim de fonons que hi pot haver en un mateix mode doscillaci, s a

dir, amb els mateixos nombres quntics.

De fet, els operadors de creaci i anihilaci, a+ i a, compleixen les mateixes regles

de commutaci per a fotons i per a fonons.

Per aquesta ra, locupaci mitjana del mode doscillaci de freqncia s i vector dona k a la branca s, nks, a una certa temperatura T, es calcula mitjanant lestadstica de Bose-Einstein:

[ ][ ]

=

=

=

0

0

/)(exp

/)(exp

nBs

nBs

sTkn

Tknnn

k

kk

h

h,

on s(k) s la relaci de dispersi fonnica.

Si introdum z exp[hs(k)/kBT] i tenim en compte

111

11

)1(

,)1(1

1

,1

12

200

0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

zz

zz

n

zz

zdzdzz

dzdzzn

zz

s

n

n

n

n

n

n

k

locupaci mitjana adopta la segent expressi:

[ ] 1/)(exp

1= Tkn Bss kk h

46

G. ENERGIA MITJANA DUN MODE NORMAL DOSCILLACI

Lenergia mitjana dun mode doscillaci es calcula de la manera segent:

[ ] 1/)(exp)(

)( ==

TknE

Bs

ssss k

kkkk hhh

(i) Lmit de temperatures baixes

En aquest cas, hs(k) >> kBT, de manera que

nks exp[hs(k)/kBT]

La probabilitat que sexcitin fonons s petita i lenergia mitjana dun mode

doscillaci s

Eks hs(k) exp[hs(k)/kBT]

(ii) Lmit de temperatures altes

En aquest cas, hs(k)

47

H. DENSITAT DE MODES

Anem a introduir la funci densitat de modes per unitat de freqncia a la

branca s, Ds(), de manera que Ds()d sigui el nombre de modes a la branca s amb freqncies entre i + d.

Farem la deduci per a un cristall cbic (3D) daresta L, amb xarxa cbica simple.

En aquest cas, els valors de k compatibles amb les condicions peridiques de

contorn sn de la forma

),,(,,4,2,0 zyxiL

NLL

ki == K

Per tant, en el volum (2/L)3 de lespai de vectors dona hi ha un sol valor perms de k i la densitat destats en aquest espai s

3

3

82 =

VL

El nombre de modes corresponents a vectors dona k amb mdul ms petit que un

cert valor k (s a dir, els modes continguts dins duna esfera de radi k) s

32

33 63

48

kVkVN =

=

En conseqncia, la densitat de modes per unitat de freqncia a la branca s,

Ds(), ve donada per lexpressi segent:

=== d

dkVkddk

dkdN

ddNDs 2

2

2)(

48