62

UNIDAD

Dinámica3

n la Unidad anterior hemos estudiado el movimiento sin tener en cuenta las causas que

lo producen o lo alteran. En ésta abordaremos las interacciones existentes entre los

cuerpos que se manifiestan por fuerzas más o menos intensas y que son la causa de la

alteración de su estado de reposo o de movimiento.

Estudiaremos las leyes de Newton que justifican matemáticamente el modo en que actúan las

fuerzas. También conoceremos dos magnitudes físicas directamente relacionadas: el impulso

mecánico y el momento lineal; y la importantísima relación existente entre éstas, descubierta tam-

bién por Newton, y que constituye el Principio fundamental de la dinámica según su enunciado

original.

Conoceremos la Ley de la Gravitación Universal, también debida a Newton, que consiguió

obtener la expresión matemática definitiva basándose en las teorías de Kepler y Galileo.

También estudiaremos las fuerzas de rozamiento, presentes en la práctica totalidad de los

movimientos que observamos diariamente, y el modo en que actúan.

Asimismo, veremos que las fuerzas pueden deformar los cuerpos y conoceremos la ley de

Hooke por la que se rige la deformación de los cuerpos elásticos.

Por último, haremos un estudio de la dinámica del movimiento circular donde se aplicarán

algunos de los conceptos que habremos aprendido a lo largo de esta interesante Unidad.

Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:

1. Identificar las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, como resultado de interacciones entre

ellos.

2. Explicar los principios de Newton y aplicarlos en la resolución de problemas.

3. Aplicar el principio de conservación de la cantidad de movimiento.

4. Definir la Ley de la Gravitación Universal.

5. Comprender la importancia de las fuerzas de rozamiento y de las fuerzas elásticas.

6. Conocer la dinámica del movimiento circular.

E

63

LA DINÁMICA

FUERZAS

MOVIMIENTOY SUS VARIACIONES

DEFORMACIÓN EN LOS CUERPOS

Fuerzas de rozamiento

Ley de Hooke

LEYES DE NEWTON

Ley de la Gravitación Universal

Principiode

Inercia

Principio Fundamental de

la Dinámica

Principio de Acción y Reacción

Principio de Conservación del Momento Lineal

Igualdad entre el Impulso Mecánico y el Momento Lineal

su estudio se

basa en las

estudia las

que se rige

por la

que pueden ser

afectados por

de la Dinámica:

equivalente al establece la

como causa de

1. LA FUERZA COMO INTERACCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642. LEYES DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1. Primera ley: Principio de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.2. Segunda ley: Principio fundamental de la dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3. Tercera ley: Principio de acción y reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. IMPULSO MECÁNICO Y MOMENTO LINEAL. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684. INTERACCIÓN GRAVITATORIA. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715. FUERZAS DE ROZAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736. FUERZAS ELÁSTICAS. LEY DE HOOKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777. DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

64

1. La fuerza como interacciónHemos visto que si la velocidad de un cuerpo en movimiento varía es debido a la existencia

de una aceleración. Ahora bien, ¿cuál es la causa de que se produzca una aceleración? La causa

es siempre una interacción con uno o más cuerpos y la intensidad de esta interacción es lo que

conocemos con el nombre de fuerza. Así pues, desde el punto de vista dinámico, podemos definir

la fuerza como una medida de la intensidad de la interacción entre los cuerpos capaz de alterar

sus estados de reposo o de movimiento.

A primera vista, la interacción entre dos cuerpos puede producirse por contacto o a distancia.

Podemos observar multitud de ejemplos de los dos tipos de interacción en nuestra vida cotidiana.

Los más sencillos de interpretar son los que se producen por contacto, por ejemplo, cuando se

empuja un objeto para cambiarle de sitio, se le da un golpe para enviarle a un sitio concreto,

etc. Sin embargo las interacciones a distancia son menos intuitivas aunque no por ello dejan de

ser evidentes como la atracción entre un imán y un trozo de hierro, o entre la Tierra y la Luna, o

las fuerzas que se manifiestan entre las cargas eléctricas ya sean de atracción o de repulsión.

A pesar de la multitud de formas en que podemos observar las interacciones, en el fondo

éstas son manifestaciones, aisladas o conjuntas, de los cuatro tipos de interacciones fundamentales

que existen:

Nuclear fuerte: Es la más intensa de todas, aunque de muy corto alcance, sus efectos sólo

se manifiestan dentro del núcleo atómico, y es la que permite mantener confinados en su interior

a los protones y neutrones.

Nuclear débil: Es de intensidad mucho menor y su alcance también está limitado al interior

del núcleo. Contribuye a mantener el equilibrio de éste y está relacionada con los fenómenos

radiactivos.

Electromagnética: Es una interacción intensa a corta distancia, aunque menos que la nuclear

fuerte. Puede ser de atracción o de repulsión y permite mantener a los electrones en la corteza

de los átomos y a su vez a éstos formar moléculas. Puede transmitirse a enormes distancias por

medio de ondas electromagnéticas como en el caso de la luz, ondas de radiofrecuencia, etc.

Gravitatoria: Es siempre de atracción, alcanza hasta el infinito, es la menos intensa y permite

a los astros permanecer en sus órbitas manteniendo el equilibrio del Universo. Esto es posible,

a pesar de su baja intensidad, porque el valor de la fuerza ejercida está en relación directa con

las enormes masas que interactúan, según veremos más adelante en esta Unidad.

Uno de los mayores retos a los que se enfrentan en la actualidad los físicos y matemáticos

es la búsqueda de leyes que relacionen entre sí estas fuerzas fundamentales en el afán de

encontrar un modelo de interacción universal que justifique la estructura y organización del Universo,

además de otros fenómenos físicos de difícil interpretación en la actualidad.

DINÁMICA

3UNIDAD

65

2. Leyes de NewtonSe tardó mucho tiempo conocer el modo en que actúan las fuerzas sobre los cuerpos así

como las definiciones cuantitativas de masa y de fuerza, tan íntimamente relacionadas. Fue Sir

Isaac Newton (1643-1727) quien, en su obra Principios Matemáticos de la Filosofía Natural,también llamada Principia, enunció las tres leyes en las que se fundamenta el estudio de la

dinámica, y que siguen siendo válidas en la actualidad.

2.1. Primera ley: Principio de inercia

De esta definición podemos deducir que todos los cuerpos tienen una tendencia a permanecer

en el estado de reposo o de movimiento en que se encuentran. Esto lo observamos a diario;

por ejemplo cuando estamos en un vehículo parado y arranca, notamos como si algo nos empujara

hacia atrás y sin embargo no es así; sencillamente es la propia inercia de la masa de nuestro

cuerpo que se opone a iniciar el movimiento. Asimismo cuando el vehículo frena notamos una

fuerza hacia adelante; es debido a que nuestra masa “intenta” mantener la velocidad que llevaba.

De esto podemos deducir que la fuerza de inercia es proporcional a la aceleración y, por otra

parte, es evidente que cuanto mayor sea la masa del cuerpo mayor será la fuerza de inercia que

aparece sobre él al variar su velocidad. En consecuencia, podemos decir que la fuerza de inercia que

aparece sobre un cuerpo al cambiar su velocidad es igual al producto de su masa por la aceleración

que ha recibido. Es decir:

r rF m ai = − ⋅

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme mientras no actúe ninguna fuerza sobre él.

Un curioso ejemplo que pone claramente de manifiesto la fuerza de inercia lo podemos ver en el siguien-

te experimento: colocamos una hoja de papel encima de una mesa y encima de ella una moneda; a continua-

ción tiramos lentamente de la hoja y veremos que la moneda se mueve solidariamente con ella. Si por el con-

trario damos un fuerte tirón observamos que la moneda no se mueve del lugar que ocupaba.

En el primer caso, resulta que la aceleración proporcionada a la moneda es muy pequeña y por lo tanto

la fuerza de inercia que aparece en ella también lo será y no podrá superar a la de rozamiento que existe entre

la moneda y la hoja, por lo que será arrastrada.

En el segundo caso, la aceleración es mucho mayor y por lo tanto la fuerza de inercia que se crea sobre

la masa de la moneda es muy superior a la de rozamiento, por lo que no será arrastrada.

E j e m p l o

66

Nótese el signo menos que aparece en la fórmula; significa que la fuerza de inercia siempre

tiene el sentido contrario al de la aceleración, aunque en la misma dirección.

En el razonamiento anterior nos hemos acercado un poco más al concepto de masa; es algo

que tienen todos los cuerpos, en mayor o menor cantidad, que presenta una inercia a cambiar su

estado de reposo o de movimiento; por eso, desde esta perspectiva, se la denomina masa inerte.

2.2. Segunda ley: Principio fundamental de la dinámica

Nótese que esta fórmula es la misma que hemos visto en el primer principio, sin el signo

menos.

En realidad el enunciado original de la segunda ley fue: El cambio de movimiento es proporcionala la fuerza motriz impresa y se realiza según la línea recta en la que se imprime esa fuerza.

Si comparamos este enunciado con el que vimos al principio, podemos observar que en éste

no se nombra la masa ni la aceleración ¿por qué? Newton hablaba de cambio de movimiento.

Podemos entender que hacía referencia a la variación en el tiempo de lo que se conoce como

cantidad de movimiento o momento lineal y que se define como el producto de la masa de un

cuerpo por su velocidad:

Según esto la expresión matemática de la segunda ley de Newton, tal como él la enunció, es:

r r r r

F pt

F mvt

= ⇒ =ΔΔ

ΔΔ( )

r rp m v= ⋅

r rF m a= ⋅

La aceleración que adquiere un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza que actúa sobre él.

DINÁMICA

3UNIDAD

1. ¿Por qué cuando viajamos en un vehículo y toma una curva, notamos una fuerza que nos hace

inclinarnos hacia un lado?

2. Calcula el valor de la fuerza que ejerce una persona de 60 Kg de masa sobre el suelo de un

ascensor cuando:

a) Arranca con una aceleración de 1 ms -2

b) Sube con velocidad constante de 4 ms -1

c) Al final del trayecto frena con una aceleración de - 0,5 ms -2

A c t i v i d a d e s

67

Si la masa no varía, podemos escribir: , o lo que es lo mismo:

Con esto podemos concluir que la definición actual es una consecuencia inmediata de la

realizada por Newton, más fácil de interpretar y aplicar en muchos problemas aunque en ningún

caso la podemos considerar de mayor trascendencia. La segunda ley de Newton, según él la

enunció, constituye posiblemente el razonamiento más importante de toda la Física.

Podemos definir ahora la unidad de fuerza, que en el SI es el Newton, y se define como la

fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le proporciona una aceleración de 1 metro por segundo

al cuadrado.

Su ecuación de dimensiones es:

Toda fuerza tiene un punto de aplicación, una intensidad, una dirección y un sentido por lo

que es una magnitud vectorial.

El momento lineal no tiene una unidad específica, se expresa en función de la masa y de la

velocidad (en el SI se mide en kg.m.s

-1

). Su ecuación de dimensiones

será: y también es una magnitud vectorial.

2.3. Tercera ley: Principio de acción y reacción

Recordemos las dos primeras leyes y fijémonos en lo siguiente: en la primera se hacía referencia

a la fuerza que aparece sobre una masa frente a una aceleración y la segunda se refiere a la

aceleración que un cuerpo adquiere al recibir una fuerza. Es decir la segunda ley trata sobre la

fuerza que actúa sobre una masa (acción) y la primera a la fuerza con la que ésta reacciona

(reacción) y, según las fórmulas obtenidas, estas dos fuerzas son del mismo valor, pero de sentido

contrario. Luego el tercer principio es una consecuencia inmediata de los dos primeros.

r rF m a= ⋅

r rF m v

t= Δ

Δ

p MLT[ ] = ⎡⎣ ⎤⎦−1

F MLT[ ] = ⎡⎣ ⎤⎦−2

Si sobre un cuerpo actúa una fuerza (acción), éste se opone con otrafuerza igual y de sentido contrario (reacción).

3. Sobre un cuerpo de 2 Kg de masa, inicialmente en reposo, actúa una fuerza de 6 N. Calcula:

a) La aceleración que adquirirá. b) La velocidad que tendrá al cabo de 5 segundos.

A c t i v i d a d e s

Vamos a intentar comprender mejor el significado de este principio apoyándonos en unos sen-

cillos ejemplos.

Un libro que está situado encima de una mesa ejerce una fuerza sobre ella que es su propio

peso y la mesa ejerce una fuerza hacia arriba igual al peso del libro, de lo contrario éste caería al

suelo. Esta fuerza que la mesa ejerce es la fuerza de reacción y su dirección es perpendicular al

plano del tablero sobre el que está apoyado el libro.

E j e m p l o s

68

3. Impulso mecánico y momento lineal.Principio de conservación

Del segundo principio de Newton, según él lo enunció, se desprenden dos de las conclusiones

más relevantes para el estudio de la dinámica que son la relación existente entre el impulso

mecánico y el momento lineal y la conservación de éste en ausencia de fuerzas exteriores.

Si en la ecuación del segundo principio de Newton pasamos Δt al primer miembro obtenemos:

⇒

La expresión que aparece en el miembro izquierdo de la ecuación anterior es lo que

conocemos como impulso mecánico ( ) que es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa:

También podemos ver que en el miembro derecho de la ecuación aparece la variación del

momento lineal. Esta expresión se aplica con mucha frecuencia en la resolución de problemas

r rI F t= ⋅ Δ

r rF t p⋅ =Δ Δ

r rF t m v⋅ = ⋅Δ Δ

rI

rF t⋅ Δ

DINÁMICA

3UNIDAD

Una lámpara que cuelga del techo ejerce una fuerza hacia abajo sobre la cadena o cable que

la sujeta igual a su peso y el cable ejerce sobre la lámpara una fuerza igual hacia arriba. Esta fuer-

za de reacción que ejercen los cables, cuerdas, etc. se denomina tensión y en los casos prácticos

puede aplicarse en cualquier punto de ellos ya que todos sus puntos están sometidos a la misma

fuerza independientemente de donde actúe su extremo.

Podríamos buscar muchos más ejemplos y llegaríamos siempre a una conclusión: las fuerzas

actúan siempre por parejas (una de acción y otra de reacción).

4. El motor de una grúa proporciona a la carga una aceleración de 2 ms -2

al comenzar la subida.

Si la tensión máxima que soporta el cable es de 4000 N, ¿cuál será el mayor peso que puede

subir sin que éste se rompa?

A c t i v i d a d e s

o b ` r b o a^

T La fuerza es la intensidad de la interacción entre los cuerpos.

T En la naturaleza existen cuatro tipos de fuerzas fundamentales.

T Los cuerpos tienden a permanecer en su estado de reposo o de movimiento debido a la fuerza

inercia que aparece al variar este estado.

T La fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración.

T A toda fuerza (acción) se opone otra igual y de sentido contrario (reacción).

69

de dinámica y podemos enunciarla como: El impulso mecánico es igual a la variación delmomento lineal.

Dicho de otro modo: el impulso mecánico aplicado a un cuerpo se invierte en variar su cantidad

de movimiento.

Si no actúa ninguna fuerza, el impulso mecánico vale cero, por lo tanto la variación del momento

lineal o cantidad de movimiento es nula, es decir:

Lo que demuestra que si no actúa ninguna fuerza, la velocidad no varía. Esto es, según hemos

visto, lo que afirma el primer principio de Newton que también puede enunciarse así: En ausenciade fuerzas exteriores, el momento lineal se mantiene constante.

Este enunciado también constituye el principio de conservación del momento lineal o dela cantidad de movimiento.

Hasta el momento hemos realizado el estudio sobre un cuerpo. Sin embargo, este

importantísimo principio adquiere su mayor relevancia cuando se trata de la interacción entre

varios cuerpos o, en adelante, masas.

Si un sistema está formado por varias masas, éste puede considerarse, frente a las fuerzas

exteriores a él, como una masa única cuyo valor es la suma de las masas que le componen por

lo que todo lo que hemos visto hasta ahora lo podemos hacer extensivo al sistema.

Dicho esto, vamos a aplicar el principio de conservación del momento lineal a un sistema aislado

de masa total m formado por dos masas m1 y m2 que sí pueden interactuar entre ellas sin alterar

por ello la condición de aislamiento. El momento lineal total será la suma de los momentos lineales

de las masas que lo forman, es decir:

Supongamos ahora que las masas m1 y m2 interactúan entre sí, ya sea por un choque o por fuerzas

de atracción o de repulsión, esto hará que sus momentos lineales cambien, pero no el del sistema.

Después de la interacción, el momento lineal será: . De donde se deduce

que: ,o bien:

Análogamente si el sistema estuviera formado por n masas tendríamos:

que es el modo más frecuente de utilizar este

principio en la resolución de problemas con interacciones entre masas.

Al igual que el momento lineal, el impulso mecánico no tiene una unidad propia y se expresa

en función de la fuerza y del tiempo (N.s en el SI). Tiene las mismas dimensiones que el momento

lineal:

m v m v v m v m v v v⋅ = ⇒ − = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =Δr r r r r r r

0 0

2 1 2 1 2 1

( )

r r rp p p= +

1 2

m v m v m v m v m v m vn n n n1 1 2 2 1 1 2 2

r r r r r r+ + + = ′ + ′ + + ′

... ...

r r r rp p p p

1 2 1 2

+ = ′ + ′ m v m v m v m v1 1 2 2 1 1 2 2

r r r r+ = ′ + ′

r r rp p p= +

1 2

I MLT[ ] = ⎡⎣ ⎤⎦−1

70

DINÁMICA

3UNIDAD

1. Un futbolista lanza una falta y el balón, que tiene una masa de 2 kg, sale disparado con una

velocidad de 72 kilómetros por hora. Si el tiempo que ha estado en contacto el pie con el balón

es de 0,2 s ¿cuál es el valor de la fuerza media que se ha aplicado sobre el balón durante el

disparo?

Solución:

Sabemos que el impulso mecánico se invierte en variar la cantidad de movimiento. Es decir

En primer lugar pasamos la velocidad a unidades del SI:

Prescindimos de la notación vectorial ya que nos piden sólo el valor de la fuerza y no su direc-

ción ni sentido.

Despejamos F que es lo que nos interesa calcular:

2. Un patinador de masa 60 Kg se mueve sobre una pista de hielo a una velocidad de ,

alcanza a una patinadora de 50 kg que se desplaza a y la pareja continúa

patinando unida. ¿Qué velocidad tendrá inmediatamente después del encuentro?

Solución:

Aplicamos el principio de conservación del momento lineal.

Momento lineal antes del encuentro:

Momento lineal después del encuentro:

donde v’ es la velocidad con la que sale la pareja y es precisamente lo que queremos cono-

cer. Igualando las dos expresiones y despejando v’:

72 72

1000

3600

20

1

Kmh

ms

m s= = ⋅ −

′ =++

= ⋅ + ⋅+

= ⋅ −vm v m v

m mm s1 1 2 2

1 2

1

60 5 50 3

60 50

4 1,m v m v m m v1 1 2 2 1 2

r r r+ = +( ) ′

r r′ = +( ) ′p m m v1 2

r r rp m v m v= +

1 1 2 2

3

1m s⋅ −5

1m s⋅ −

F m vt

N= = =ΔΔ

2

20

0 2

200

,

r rF t m v⋅ = ⋅Δ Δ

E j e m p l o s

o b ` r b o a^

T La cantidad de movimiento o momento lineal de un cuerpo es el producto de su masa por su

velocidad.

T El impulso mecánico es el producto de la fuerza por el tiempo que actúa.

T El impulso mecánico es igual a la variación de la cantidad de movimiento.

T En un sistema aislado, el momento lineal permanece constante.

71

4. Interacción gravitatoria. Ley de lagravitación universal

En el primer apartado de esta Unidad hemos visto que la interacción gravitatoria es una de

las cuatro interacciones fundamentales que existen en la naturaleza. Fue también Isaac Newton

quien basándose en descubrimientos de Galileo, Descartes, Copérnico y Kepler llegó a la conclusión

de que entre cada planeta y el Sol se ejerce una fuerza atractiva proporcional al producto de las

masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Con esta afirmación

dio sentido matemático a las leyes que rigen los fenómenos gravitatorios.

Si bien Newton se refería inicialmente a las fuerzas existentes entre el Sol y los planetas, sus

conclusiones son generalizables de modo que dos cuerpos cualesquiera se atraen por el hecho

de tener masa. Estas fuerzas de atracción se manifiestan en los dos cuerpos y son de igual módulo

y de sentido contrario de acuerdo con el principio de acción y reacción.

La Ley de la Gravitación Universal establece que la fuerza con que se atraen dos masases directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadradode la distancia existente entre sus centros.

donde G es la constante de la gravitación universal, cuyo valor es el mismo en todo el Universo

y su valor es:

12

F

m

1

m

2

21

F

2112

FF -=

Fígura 1: Ley de la Gravitación Universal

F Gm m

r=

⋅1 2

2

G N mKg

= ⋅ ⋅−6 67 10

11

2

2

,

5. La pareja de patinaje del ejemplo anterior ha ido disminuyendo su velocidad hasta y en

ese momento se separan, empujándose mutuamente. La patinadora continúa en la misma dirección

y sentido que llevaba, pero con una velocidad de . ¿A qué velocidad se moverá el patinador?1

1m s⋅ −

3

1m s⋅ −

A c t i v i d a d e s

72

Dado que el valor de G es muy pequeño, la fuerza gravitatoria sólo tiene efectos apreciables

cuando, al menos, una de las masas es muy grande. Por esto también decíamos al principio que

es una interacción poco intensa.

El modo más inmediato de observar la manifestación de esta fuerza de atracción es fijándonos

en el peso de los cuerpos. Si tenemos un cuerpo cualquiera cercano a la superficie de la Tierra,

entre la masa de ésta (MT

) y la masa del cuerpo (m) existirá

una fuerza de atracción cuyo valor será:

Esta fuerza es precisamente el peso del cuerpo, que por otra parte sabemos que es igual al

producto de su masa por la aceleración de la gravedad: P = m ·g

Igualando las dos expresiones obtenemos: ; dividiendo por m en ambos

miembros: donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra

cuyo valor podemos calcular con sólo sustituir los datos que son todos conocidos:

Este valor se ha calculado tomando el valor promedio del radio de la Tierra pero sabemos

que éste es un poco menor en los polos que en el ecuador por lo cual el valor de la gravedad

en los polos es algo mayor que en el Ecuador.

Anteriormente, al estudiar la primera ley de Newton vimos que la masa era una constante de

los cuerpos que presentaba una inercia a cambiar su estado de reposo o de movimiento y la

llamábamos “masa inerte”. Ahora estamos viendo la masa desde otra perspectiva, es una constante

que tiene un peso porque otra masa, más grande, la atrae. Entendida así se la denomina masapesante; en ambos casos, su valor es exactamente el mismo: la masa de un cuerpo es constante

en todo el Universo.

No ocurre lo mismo con el peso ya que éste depende del valor de la aceleración de la gravedad

en el punto donde se mida. Así un cuerpo situado en la superficie de la Luna, en la que el valor

de la gravedad es, aproximadamente, 6 veces menor que en la Tierra, tendrá un peso 6 veces

menor del medido aquí.

F GM m

RT

T

=⋅2

m g GM m

RT

T

⋅ =⋅2

g GMR

T

T

=2

g N mKg

Kgm

m s= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅( ) = ⋅− −

6 67 10

5 98 10

6 38 10

9 8

11

2

2

24

6 2

2

,

,

,

,

DINÁMICA

3UNIDAD

o b ` r b o a^

T La fuerza con que se atraen dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

T El peso de un cuerpo es el producto de la masa de un cuerpo por la gravedad que exista en

el lugar donde se encuentre.

T La masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del Universo independientemente de la

gravedad que exista.

73

5. Fuerzas de rozamientoSi lanzamos un cuerpo de modo que deslice sobre una superficie horizontal comprobamos

que termina deteniéndose al cabo de un cierto tiempo, dependiendo del grado de rugosidad o

aspereza de las superficies en contacto. Esto es debido a la resistencia que el cuerpo encuentra

para moverse; esta fuerza de resistencia es lo que conocemos como fuerza de rozamiento. Como

toda fuerza producirá una aceleración y en este caso su sentido es siempre contrario al del

movimiento.

También sabemos, por experiencia, que cuando empujamos un objeto pesado para cambiarlo

de posición, hay que realizar una fuerza mayor al comenzar el movimiento que para mantenerle.

Se debe a que las fuerzas de rozamiento no actúan igual cuando el cuerpo está en reposo que

cuando está en movimiento. En el primer caso actúa la fuerza de rozamiento estático y en el

segundo, la fuerza de rozamiento dinámico, siendo ésta menor que la primera.

Es evidente que cuanto más pesado sea el cuerpo mayor será la fuerza de rozamiento, es

decir, cuanto mayor sea la fuerza que ejerza la superficie de un cuerpo perpendicularmente contra

la del otro, mayor será la fuerza de rozamiento. Esta fuerza perpendicular entre las superficies

en contacto es lo que se conoce como fuerza normal.

Es fácil comprobar experimentalmente que la fuerza de rozamiento no depende del tamaño

de las superficies en contacto ni de la velocidad con la que se desplacen mutuamente.

Así pues, podemos afirmar que la fuerza de rozamiento entre dos superficies es directamente

proporcional a la fuerza normal que ejerce una superficie contra la otra. Es decir: donde

μ es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de rozamiento que depende de la

naturaleza de las superficies y que, según hemos visto anteriormente, puede ser estático (μe

) o

dinámico (μ), cumpliéndose que μe >

μ.

r rF Nr = ⋅μ

6. Calcula la fuerza con que se atraen dos barcos de 200.000 Kg de masa cada uno cuando están

anclados en un puerto de modo que entre sus centros de gravedad existe una distancia de 40

metros. ¿A qué se debe un resultado tan pequeño?

7. Calcula el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. ¿Cuánto pesará

allí (en Newtons) un astronauta que en España tiene un peso, según el lenguaje común, de 72

kilos?

Datos: ML = 7,34 ·10

22

Kg

RL = 1,74 ·10

6

m

A c t i v i d a d e s

74

Fuerzas y movimiento en una superficie horizontal

Supongamos que intentamos arrastrar un objeto sobre una superficie horizontal tirando de

él. Al principio comenzamos a tirar cada vez con más fuerza hasta que comienza a moverse; en

ese instante la fuerza con la que tiramos habrá superado a la fuerza de rozamiento estático y a

partir de ahí ésta deja de actuar entrando en juego la fuerza de rozamiento dinámico que es de

menor intensidad. Entonces podemos hacer tres cosas:

1. Continuar ejerciendo la misma fuerza que hicimos al principio por lo que la velocidad del

objeto aumentará ya que la fuerza ejercida es mayor que la de rozamiento dinámico y,

según la segunda ley de Newton, la diferencia entre estas dos fuerzas (resultante) causará

una aceleración.

2. Disminuir la fuerza con la que tiramos hasta conseguir un movimiento uniforme; en este

momento la fuerza ejercida será igual a la fuerza de rozamiento dinámico.

3. Aumentar la fuerza con lo que se conseguirá una aceleración aún mayor al incrementarse

la fuerza resultante sobre el cuerpo.

DINÁMICA

3UNIDAD

Un caballo ha de arrastrar en una llanura de la taiga un trineo cuya masa, incluida la carga, es

de 120 Kg. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el trineo y la nieve es μe

= 0,12 y el coefi-

ciente de rozamiento dinámico es μ = 0,10. Calcular:

a) La fuerza con la que ha de tirar el caballo para conseguir arrancar.

b) La aceleración que mantendría el conjunto caballo-trineo si hubiera continuado ejerciendo

la misma fuerza que fue necesaria para arrancar.

c) La fuerza que habrá de hacer para mantener una velocidad constante después de haber

iniciado el movimiento.

Solución:

a) En primer lugar calculamos el valor de la fuerza normal entre el trineo y el suelo que,

al ser horizontal, coincide con su peso:

La fuerza que ha de ejercer el caballo será igual a la de rozamiento estático:

b) La aceleración obtenida, sería a consecuencia de la fuerza resultante que es la dife-

rencia entre la fuerza de rozamiento estático y la fuerza de rozamiento dinámico.

Calculamos el valor de la fuerza de rozamiento dinámico:

;

c) Para continuar con velocidad uniforme, la fuerza resultante debe ser nula, por lo que

la fuerza que ejerce el caballo debe ser igual a la fuerza de rozamiento dinámico, que

ya hemos calculado y vale Fr = 117,6 N.

a Fm

m s= = = ⋅ −23 52

120

0 196

2

,

,

F N Nr = ⋅ = ⋅ =μ 0 10 1176 117 6, , F F F Nre r= − = − =14112 117 6 23 52, , ,

F N Nre e= ⋅ = ⋅ =μ 0 12 1176 14112, ,

N m g N= ⋅ = ⋅ =120 9 8 1176,

E j e m p l o

75

Fuerzas y movimiento en un plano inclinado

Los fundamentos en este apartado son los mismos que en el anterior, pero ahora el peso

no es perpendicular a la superficie de contacto por lo que tendremos que descomponerlo en

dos fuerzas: una perpendicular a la superficie de contacto (fuerza normal) y otra en la dirección

del movimiento (fuerza tangencial).

En la figura podemos ver cinco fuerzas:

El peso, siempre presente, vertical y hacia abajo, de valor p = m ·g

La fuerza normal, perpendicular al plano, de valor Fn = m ·g ·cos α

La reacción del plano (N) igual a la fuerza normal

La fuerza tangencial, de valor Ft = m ·g ·sen α

La fuerza de rozamiento, de valor Fr = μ ·Fn

Además pueden existir otras fuerzas aplicadas, que pueden estar en la dirección del movimiento

(en un sentido u otro), o en otra dirección, en cuyo caso habría que descomponerlas en las

direcciones tangencial y normal al movimiento. Todo esto se comprenderá mejor en el siguiente

ejemplo:

P = mg

F

t

=mg ·senα

F

n

= mg ·cos α

F

r

= Fn

·μ

α

N Fn

Fígura 2: Fuerzas en un plano inclinado

8. ¿Que fuerza debería ejercer el caballo del ejemplo anterior para conseguir una aceleración de

0,3 ms-2

?

A c t i v i d a d e s

76

DINÁMICA

3UNIDAD

Un niño cuya masa es de 20 kg, está situado en un tobogán de 30º de inclinación, agarrado a

las barandillas y en un momento determinado se suelta. Si el coeficiente de rozamiento entre el

niño y el tobogán es μ = 0,1 ¿con qué aceleración bajará?

Solución:

En la figura podemos ver que

Ahora hallamos la fuerza de rozamiento:

La fuerza resultante en el sentido del movimiento será:

Calculamos la aceleración:a F

mm s= = = ⋅ −81 03

20

4 05

2

,

,

F F F Nt r= − = − =98 16 97 81 03, ,

F N Nr = ⋅ = ⋅ =μ 0 1 169 74 16 97, , ,

F P sen m g sen sen Nt = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =α α 20 9 8 30 98, º

N P m g N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =cos cos , cos º ,α α 20 9 8 30 169 74

P = mg

F

t

=mg ·senα

F

n

= mg ·cos α

F

r

= Fn

·μ

α

N Fn

E j e m p l o

o b ` r b o a^

T La fuerza de rozamiento depende de la naturaleza de las superficies en contacto y es proporcional

a la fuerza normal ejercida sobre la superficie.

T La fuerza de rozamiento no depende de la velocidad ni del tamaño de las superficies en contacto.

T El valor de la aceleración de un cuerpo es el cociente entre la fuerza resultante en la dirección

del movimiento y su masa.

9. Un tractor sube una pendiente de 15º de inclinación arrastrando un bloque de piedra de 5000

Kg. Calcula la tensión del cable de enganche si el coeficiente de rozamiento entre la piedra y

el suelo es μ = 0,3.

A c t i v i d a d e s

77

6. Fuerzas elásticas. Ley de HookeLa estructura interna de los cuerpos varía mucho de unos a otros; cada uno tiene su

comportamiento frente a las acciones externas que recibe, unos no se deforman (cuerpos rígidos)

como el granito, y otros se adaptan a la acción, bien deformándose permanentemente (cuerpos

plásticos) como la plastilina o recuperando su forma inicial (cuerpos elásticos) como las gomas,

los muelles, etc...

Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo elástico éste sufre una deformación que

responde a la ley de Hooke: La deformación que experimenta un cuerpo elástico es

proporcional a la fuerza aplicada sobre él.

Expresado matemáticamente: donde K es la constante elástica que depende el

cuerpo en cuestión y x es la deformación que ha experimentado.

Los cuerpos elásticos, al contraerse o estirarse almacenan energía que se manifiesta ejerciendo

una fuerza en sentido contrario a la elongación y de valor: . Esto da lugar a movimientos

armónicos –de gran interés en el estudio de las ondas y, en general, de la física moderna– de los

cuales, el más sencillo es el movimiento armónico simple que estudiaremos en el curso siguiente.

Aunque es interesante que conozcamos ahora la aceleración en este tipo de movimientos.

Según el segundo principio de Newton: . Igualando las dos expresiones:

y despejando:

La aceleración que tiene un cuerpo animado de un movimiento armónico simple es proporcional

a la constante elástica e inversamente proporcional a la masa de cuerpo y tiene sentido contrario

a la elongación.

7. Dinámica del movimiento circular

Ya vimos en la Unidad anterior que cualquier punto de un cuerpo que gira describe un

movimiento circular y que en éste siempre existe una aceleración debida al cambio de dirección

que experimenta la velocidad.

r rF K x= ⋅

r rF K x= − ⋅

m a K x⋅ = − ⋅r r r r

a Km

x= −

r rF m a= ⋅

10. Se desea colgar del techo de una habitación un muñeco de peluche de 50 gramos de masa;

para ello se adquiere un muelle de 40 cm de longitud cuya constante elástica es K = 5N·m-1

.

¿Cuál será la longitud del muelle después de colgar el muñeco?

A c t i v i d a d e s

78

Según el principio de inercia si sobre un cuerpo en movimiento no se ejerce ninguna fuerza,

su movimiento será rectilíneo y uniforme, por tanto si un cuerpo o una partícula describe un

movimiento curvilíneo, en general, es porque existe una fuerza que le obliga a cambiar

constantemente de dirección, esta es la fuerza centrípeta, causante de la aceleración centrípeta

que hemos visto en la Unidad 2 cuyo valor es

. Por la segunda ley de Newton , obtenemos que

Del mismo modo que podíamos expresar la aceleración centrípeta en función de la velocidad

angular también podemos expresar la fuerza centrípeta en función de ésta: .

La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y sentido que la aceleración centrípeta, es decir

va siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria que, en el caso del movimiento circular, es

el centro de la circunferencia que describe el móvil.

Al estudiar el principio de acción y reacción vimos que las fuerzas siempre van en parejas,

acción y reacción, iguales y de sentido contrario. La fuerza centrípeta es la acción y la reacción

es la llamada fuerza centrífuga. Ésta es una fuerza virtual porque existe en virtud de la fuerza

centrípeta por lo cual si la fuerza centrípeta es nula, no existe fuerza centrífuga.

Para comprobar esto podemos realizar la siguiente experiencia:

� Si atamos un pequeño objeto al extremo de una cuerda y lo hacemos girar sujetando por el

otro extremo, seguirá una trayectoria circular debido a la existencia de una fuerza centrípeta,

que es la proporcionada por la tensión de la cuerda. Durante el giro notamos que el objeto

parece querer escapar de esta trayectoria hacia fuera ejerciendo a su vez una fuerza que

se transmite a nuestra mano a través de la cuerda; ésta es precisamente la fuerza centrífuga.

Si soltamos la cuerda, podemos observar que el objeto no sale despedido en la dirección

de la cuerda, que era lo que parecía intentar, sino perpendicular a ella, en dirección tangente

a la trayectoria y se debe a que, en el mismo instante que soltamos, deja de actuar la fuerza

centrípeta y, por lo tanto, también lo hará la centrífuga, ya que ésta sólo existe mientras exista

la fuerza centrípeta.

F m r= ⋅ ⋅ω2

rr

a vrc =2 r r

F m ac c= ⋅r rF m v

rc =2

DINÁMICA

3UNIDAD

o b ` r b o a^

T Para que haya un movimiento circular es necesario que exista una fuerza centrípeta.

T La fuerza centrífuga sólo existe si hay fuerza centrípeta y es del mismo valor que ésta.

79

¿Cuál debe ser el peralte de una curva de radio de curvatura r para que un vehículo de masa

m que circula a una velocidad v no derrape en caso de mala adherencia de las ruedas a la carre-

tera por causa de hielo, nieve, etc.?

Las fuerzas que actúan sobre el automóvil son el peso y la reacción de la carretera; la resultan-

te de estas dos fuerzas debe ser igual a la fuerza centrípeta necesaria para mantener al coche en

la trayectoria de la curva.

Sabemos que

En la figura podemos ver que , por lo que α =

⋅arctg v

g r

2

tagFp

m vm g r

vg r

cα = = ⋅⋅ ⋅

=⋅

2 2

F m vrc =2

α

α

FC

N

P

E j e m p l o

11. Un niño da vueltas a una pelota de 20 g de masa atada al extremo de una cuerda de 30 cm de

longitud que puede soportar una tensión máxima de 40 N. ¿Cuál será la velocidad angular máxi-

ma que puede soportar la cuerda antes de romperse?

12 ¿Qué velocidad angular deberá adquirir una noria de 8 metros de radio para que una persona

de masa m tenga la sensación de no pesar nada al pasar por la parte más alta? ¿Qué fuerza

soportará su asiento cuando pase por el punto más bajo?

A c t i v i d a d e s