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102
UNIDAD
Electrostática5
a materia está formada por átomos y éstos, a su vez, están compuestos por protones y
neutrones que constituyen el núcleo, y electrones que forman la corteza. De estas tres
partículas, dos de ellas, los protones y los electrones, tienen carga eléctrica, todas en
la misma cantidad, pero en el caso de los protones es positiva mientras que la de los electrones
es negativa.
En esta Unidad estudiaremos las cargas eléctricas en reposo y las interacciones que se pro-
ducen entre ellas ejerciendo fuerzas de atracción o de repulsión debido al campo eléctrico que
cada una crea a su alrededor. Veremos cómo un campo eléctrico puede representarse median-
te líneas de fuerza que son tangentes en cada punto al valor del campo y muestran la dirección
y sentido del movimiento que tendría una carga positiva abandonada en ese punto y también
veremos que cada punto del campo tiene un potencial eléctrico cuyo valor es el de la energía
potencial que tendría una unidad de carga positiva situada en ese punto.
El potencial eléctrico nos va a permitir calcular el trabajo que es necesario realizar para mover
una carga de un punto a otro en función de la diferencia de potencial existente entre ellos y des-
cubriremos que existen superficies equipotenciales en las que se puede mover una carga sin
necesidad de realizar trabajo.
Por último, estudiaremos la capacidad eléctrica de los cuerpos y, más concretamente, de los
condensadores que pueden almacenar una gran cantidad de carga, lo que determina su aplica-
ción en multitud de circuitos eléctricos y, prácticamente, en todos los electrónicos.
Los objetivos que pretendemos alcanzar en esta Unidad son los siguientes:
1. Reconocer la naturaleza eléctrica de la materia.
2. Interpretar la interacción eléctrica y los fenómenos asociados.
3. Aplicar la ley de Coulomb en la resolución de problemas.
4. Comprender los conceptos de campo eléctrico, potencial eléctrico, diferencia de potencial
y líneas de fuerza.
5. Resolver problemas en los que intervengan cargas situadas en campos eléctricos.
6. Explicar la capacidad eléctrica de los conductores y condensadores.
7. Resolver problemas en los que intervengan varios condensadores asociados en serie o en
paralelo.
L
103
LA ELECTROSTÁTICA
CARGAS ELÉCTRICAS EN REPOSO
CAMPO ELÉCTRICO
POTENCIAL ELÉCTRICO
DIFERENCIA DE POTENCIAL
que interaccionan con otras
cargas debido al
estudia las
que crean a su alrededor, en el que
cada punto tiene un
que permite calcular el trabajo
necesario para mover una carga en
función de la
CAPACIDAD
que es muy alta en
los
CONDENSADORES
y pueden asociarse
EN PARALELO EN SERIE
que se almacenan en los
cuerpos según su
1. HISTORIA DE LA ELECTRICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042. INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053. LEY DE COULOMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074. CAMPO ELÉCTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.1. Intensidad del campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2. Energía potencial eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5. POTENCIAL ELÉCTRICO. DIFERENCIA DE POTENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126. CAPACIDAD ELÉCTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1. Condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2. Asociación de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Í N D I C E D E C O N T E N I D O S
104
1. Historia de la electricidadLos primeros conocimientos sobre la existencia de la electricidad se remontan a 600 años a.C.
cuando Thales de Mileto observó que el ámbar al ser frotado atraía objetos de pequeño tamaño.
El conocimiento de la electricidad fue evolucionando muy lentamente a través de observaciones
aisladas o especulaciones médicas como el uso de peces electrizados para aliviar algunas
enfermedades como la gota.
El primero en utilizar el término electricidad (del griego elektron = ámbar) fue Willian Gilbert en
el siglo XVI al estudiar los imanes para mejorar el funcionamiento de las brújulas, siendo este
trabajo la base fundamental para definir los fundamentos de la electrostática y del magnetismo.
En 1672 fue construida la primera máquina electrostática para producir cargas eléctricas.
Los primeros conocimientos formales de los fenómenos eléctricos no se consiguieron hasta
el siglo XVIII cuando algunos investigadores comenzaron a aplicar el método científico. Las
observaciones realizadas adquirieron relevancia con los descubrimientos de Benjamin Franklin
con el invento del pararrayos, lo que confirmó la naturaleza eléctrica de éstos, y de Charles-
Augustin de Coulomb, que en 1776 consiguió medir con exactitud la fuerza con la que se atraen
o repelen las cargas eléctricas utilizando para ello una balanza de torsión.
Alejandro Volta (1745-1827) construyó la primera celda electroquímica para producir corriente
eléctrica basándose en los estudios realizados por Luigi Galvani sobre las corrientes eléctricas
producidas en las contracciones musculares de los animales.
A comienzos del siglo XIX André-Marie Ampère, experimentando con conductores, determinó
que éstos se atraen si la corriente fluye en la misma dirección y se repelen en caso contrario, lo
que le sirvió para establecer los principios de la electrodinámica.
Georg Ohm en 1826 enunció la ley que lleva su nombre en la que establece la relación entre
la tensión y la corriente en un circuito.
Pocos años después Michael Faraday demostró que un conductor en movimiento dentro de
un campo magnético produce una corriente eléctrica.
Las primera aplicación de la electricidad a las telecomunicaciones se debe Samuel Morse con
el descubrimiento del telégrafo (1833).
El avance más significativo fue debido a Maxwel (1861-1865), que a través de sus ecuaciones
dio fundamento a la teoría que unifica la electricidad y el magnetismo.
Hasta el final del siglo XIX no se desarrollan las aplicaciones tecnológicas de la electricidad
favoreciendo el desarrollo alcanzado durante la segunda revolución industrial con los
descubrimientos de ingenieros como Tesla, Westinghouse, Siemens y Edison.
La generalización del uso de la electricidad dio lugar a un enorme cambio social, favorecido
por el alumbrado, las telecomunicaciones, el transporte, los procesos industriales, etc.
Las aplicaciones de la electricidad han ido en aumento durante todo el siglo XX de modo
que en la actualidad su utilización es indispensable. Ello trae consigo la necesidad de cantidades
cada vez mayores y, en consecuencia, la búsqueda de fuentes para producir energía eléctrica
(fundamentalmente energías renovables).
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
105
2. Interacción electrostáticaEn la Unidad 3 vimos que la masa es una propiedad intrínseca de la materia y que no varía,
independientemente del lugar donde la midamos. Su valor es la suma de todas las masas
elementales que la componen, es decir la suma de las masas de todas sus moléculas o,
profundizando más, la suma de las masas de las partículas elementales que componen sus
átomos. Todas ellas contribuyen, sumando, en la masa total del cuerpo, ya que todas las masas
son positivas.
La carga eléctrica es también una propiedad intrínseca de la materia; todos los protones tienen
la misma cantidad de carga positiva, todos los electrones tienen también la misma, y del mismo
valor absoluto que la de los protones, pero es negativa y, por último, los neutrones no tienen carga.
Un átomo, en estado neutro, tiene el mismo número de protones que de electrones, por lo
tanto la suma de todas sus cargas eléctricas es nula ya que hay igual número de cargas positivas
que de negativas y ambas tienen el mismo valor absoluto. Debido a esto, los cuerpos que
observamos habitualmente están en equilibrio eléctrico y no presentan una carga eléctrica neta.
Una vez conocido el concepto de carga eléctrica, podemos definir la electrostática como la
parte de la electricidad que estudia las cargas eléctricas y sus interacciones en estado de reposo.
Los antiguos griegos ya conocían el fenómeno de la electrización; conseguían electrizar
algunos cuerpos, como el ámbar, al frotarlos con lana o sencillamente con el cabello. Esta
electrización se manifiesta por la fuerza de atracción que ejerce el cuerpo electrizado sobre otros
de pequeña masa cuando se les acerca suficientemente.
Electrizar un cuerpo es hacer que éste tenga una carga eléctrica neta, ya sea positiva o
negativa. Para conseguirlo hay que hacer que el cuerpo coja electrones de otro o que los suelte;
si los coge, queda cargado negativamente, y si los suelta, positivamente. ¿Por qué no suelta o
coge protones? Los protones forman parte del núcleo atómico, y están tan fuertemente confinados
en él que solamente pueden desprenderse por una reacción nuclear con la consiguiente ruptura
del núcleo. Así pues, el vehículo de transmisión o intercambio de cargas eléctricas es siempre
el electrón.
Existen métodos para hacer que pasen electrones de un cuerpo a otro. El más sencillo, que
acabamos de comentar, es frotar unos cuerpos con tendencia a coger electrones, como el ámbar
o el plástico, con otros, como la lana o el pelo, que los sueltan con facilidad. Es lo que llamamos
electrización por contacto. Se puede comprobar, de un modo similar al que utilizaban los griegos,
frotando un bolígrafo con una prenda de lana; el plástico coge electrones de la lana y queda
cargado negativamente y si, a continuación, acercamos el bolígrafo a un trocito de papel, lo atrae.
Pero... desde el principio del curso hasta ahora, entre las fuerzas que actúan a distancia, sólo
hemos conocido y analizado fuerzas de atracción, ¿no se manifiestan en la naturaleza, también,
fuerzas de repulsión? La respuesta es sí y vamos a comprobarlo con un sencillo pero ilustrativo
experimento:
� Cortamos una tira de papel de aluminio de unos tres milímetros de ancho por unos ocho
centímetros de largo y la doblamos por la mitad. A continuación introducimos el extremo por
el que están unidas las dos mitades entre las páginas de un libro dejando libres los dos
extremos que han quedado sueltos. Hecho esto, frotamos un bolígrafo de plástico con una
prenda de lana o con el pelo y le acercamos a las dos puntas, observaremos que éstas se
abren como si quisieran “morder” al bolígrafo. Veamos por qué ocurre esto: al frotar el bolígrafo
se carga negativamente y al acercarlo al papel de aluminio, los electrones de éste se desplazan
en el sentido de alejarse del bolígrafo, por lo cual los dos extremos libres quedan cargados
positivamente y se repelen entre sí, pero, a su vez, son atraídos por el bolígrafo realizando
un desplazamiento que da lugar al curioso efecto.
Acabamos de ver que en el papel de aluminio se han desplazado cargas debido a la presencia
del bolígrafo. Análogamente, cuando acercamos un cuerpo cargado eléctricamente a otro que no
lo está, se genera un desplazamiento de cargas en este último por inducción electrostática.
Si a continuación conectamos a tierra la zona que contiene exceso de electrones, parte de éstos
pasarán a ella y el cuerpo quedará cargado positivamente. Este método se denomina electrización
por inducción.
La cantidad de carga que puede tener un cuerpo es siempre múltiplo de la del electrón ya
que ésta es la mínima cantidad de carga que puede pasar de un cuerpo a otro. Así pues, la unidad
natural o elemental de carga eléctrica es la carga del electrón.
La unidad de carga eléctrica en el Sistema Internacional es el culombio, que es la carga
eléctrica de un cuerpo que ha perdido 6,25·10
18
electrones desde su estado neutro. El culombio
se define en función de la intensidad de corriente eléctrica, como veremos en la siguiente Unidad.
Habitualmente utilizamos las unidades del Sistema Internacional, por ello, es interesante
conocer la carga del electrón (e) expresada en culombios:
Como podemos ver, la carga del electrón es muchísimo menor que el culombio; era de esperar.
No obstante, el culombio es una unidad muy grande por lo que habitualmente se emplean
submúltiplos de éste como el microculombio .
1 10
6μC C=( )−
e C= −⋅
= − ⋅ −1
6 25 10
1 6 10
18
19
,
,
106
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
1. ¿Cuál será la carga eléctrica, expresada en microculombios, de un cuerpo que tiene 1,25·10
15
más protones que electrones?
A c t i v i d a d e s
107
3. Ley de CoulombSabemos que las cargas eléctricas se atraen o se repelen, pero… ¿cuál es el valor de esta
fuerza?, ¿en qué dirección y sentido actúa? Fue Charles Auguste Coulomb quien en el siglo XVIII,
de modo experimental, llegó a conocer el modo de actuar de esta fuerza y su expresión matemática,
concluyendo que esta fuerza es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa y que actúa en la dirección de la recta que las une,
siendo de atracción si las cargas son de signo contrario y de repulsión si son del mismo signo.
Según esto:
Esta expresión determina el módulo de la fuerza, pero ésta es una magnitud vectorial por lo
que la expresión correcta será: donde es un vector unitario en la dirección
de la recta que une las dos cargas y su sentido es el de acercar una carga a la otra si éstas son
de signo contrario y el de alejarlas si son del mismo signo.
El valor de la constante es que depende del valor de ε que es la permitividad, o
constante dieléctrica, del medio en el que se encuentren las cargas. Si el medio es el vacío, ε=ε0
cuyo valor aproximado es: y el valor de la constante k sería:
Cuando se consideran más de dos cargas, se aplica el principio de superposición, según el
cual la fuerza sobre cualquier carga es la suma vectorial de las fuerzas debidas a cada una de
las demás, esto equivale a admitir que la interacción eléctrica entre dos cargas no depende de la
presencia de otras cargas.
k N m C≅ ⋅ ⋅9 10
9 2 2
εo C N m≅ ⋅ ⋅−8 85 10
12 2 2
,
k = 1
4πε
rur
r rF k Q Q
rur= ⋅ ⋅ ⋅'
2
F k Q Qr
= ⋅ ⋅ '
2
o b ` r b o a^
T La carga eléctrica es una propiedad intrínseca de la materia.
T Los cuerpos, en su estado natural, no presentan carga eléctrica porque tienen el mismo número
de cargas positivas (protones) que de cargas negativas (electrones).
T Un cuerpo se puede cargar eléctricamente por contacto o por inducción electrostática.
T Las cargas eléctricas que se mueven en un cuerpo o se intercambian con otros cuerpos son
siempre los electrones. Los protones no se mueven porque están confinados en núcleo atómico,
formando parte de él.
T Las cargas del mismo signo se repelen y las de distinto signo se atraen.
4. Campo eléctricoSi tenemos un cuerpo cargado en una posición fija y acercamos a éste otro cuerpo que también
tenga carga, se encontrará sometido a una fuerza de atracción o de repulsión según sea el signo
de su carga, esto es debido a que toda carga crea a su alrededor un campo eléctrico donde se
manifiesta la acción de dicha carga. En general podemos decir que un campo eléctrico es una región
del espacio en la que se ponen de manifiesto fenómenos de atracción o de repulsión sobre cargas
eléctricas.
Para representar esquemáticamente los campos eléctricos se emplean las líneas de campo,
también llamadas líneas de fuerza. Cada línea de fuerza indica la dirección y sentido de la fuerza
a la que estaría sometida una carga positiva que se situara sobre ella; por lo tanto, salen de las
cargas positivas y entran en las negativas. Las líneas de fuerza también indican la dirección y
sentido del movimiento de una carga positiva que se dejara libre en ese punto. Para una carga
108
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
Una bolita de médula de saúco de 1 g de masa, tiene una carga de 0,1 μC y está situada sobre
la superficie de una mesa. Encima de ella, a una distancia de 2 cm situamos una esfera cuya carga
podemos controlar. ¿Qué carga tendríamos que suministrar a ésta para que la bolita se levante?
Solución:
Para que la bolita se levante, debe ser atraída por la esfera con una fuerza igual a su peso,
por lo cual:
Según la ley de Coulomb: ; despejando Q que es el valor que buscamos, ten-
dremos: Q F rk Q
N m
N m C C= ⋅
⋅=
⋅ ⋅ ⋅( )⋅ ⋅ ⋅
= ⋅− −
−−
2
3 2 2 2
9 2 2 7
9 8 10 2 10
9 10 10
4 36 10
'
,
,
99C
F k Q Qr
= ⋅ ⋅ '
2
F m g Kg m s N= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− − −10 9 8 9 8 10
3 2 3
, ,
E j e m p l o
2. ¿Cuál será la fuerza de atracción entre un núcleo de helio (2 protones) y un electrón que gira a
su alrededor en una órbita de 10
-11 m de radio?, ¿a qué velocidad deberá moverse el electrón
para mantenerse en esta órbita?
Dato: Masa del electrón me
= 9,1·10
-31 Kg
3. Dos cargas eléctricas de 2 y -4 μC, respectivamente, se encuentran situadas
en los vértices A y C de un cuadrado de 5 cm de lado, según se muestra
en la figura. Hallar la fuerza resultante sobre una tercera carga de 3 μCsituada en el vértice B.
A c t i v i d a d e s
A B
C
2μC 3μC
- 4μC
109
aislada son radiales y su sentido es hacia el exterior de la carga si ésta es positiva y hacia el interior
si es negativa. En la siguiente figura podemos observar las líneas de fuerza de los campos creados
por una carga positiva, una negativa y un dipolo, respectivamente.
4.1. Intensidad del campo eléctrico
La intensidad de campo eléctrico en un punto es la fuerza ejercida sobre una unidad de carga
positiva situada en ese punto. Es una magnitud vectorial, dado que es la fuerza por unidad de
carga y se representa por , siendo su valor: donde Q’ es la carga testigo situada en el
punto.
En el caso de una carga puntual aislada (Q), el valor de la intensidad del campo que crea
en un punto cualquiera será:
La intensidad de campo eléctrico se expresa en N/C (newton/culombio).
Cuando el campo es creado por dos o más cargas, se aplica el principio de superposición
por lo cual el campo resultante en un punto cualquiera es un vector que viene dado por la suma
de los campos creados por cada una de las cargas. La intensidad de campo en un punto
cualquiera es un vector tangente a la línea de fuerza que pasa por ese punto.
++
Fígura 1: Líneas de fuerza
rE
rr
E FQ
='
Q1 Q2
1E
2EE
Fígura 2: Principio de superposición
rr
r rE F
QK Q Q
Q ru K Q
rur r= = ⋅ ⋅
⋅⋅ = ⋅ ⋅
'
'
'
2 2
110
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
Dos cargas eléctricas de 5 μC y de 2 μC, respectivamente, se encuentran situadas a una dis-
tancia de 8 cm. Hallar la intensidad del campo eléctrico en el centro de la línea que las une.
Solución:
La intensidad de campo será la suma de las intensidades de campo creado por cada una de
las dos cargas que, como vemos en la figura, tienen la misma dirección y sentido contrario:
r r r rE K
Qr
i i i2
2
2
2
9
6
2 2
7
9 10
2 10
4 10
113 10= − = − ⋅ ⋅ ⋅⋅( ) = − ⋅
−
−( ) ,
E2 E E1
Q1 = 5μC Q2 = 2μC
r r r r r rE E E i i i= + = ⋅ − ⋅ = ⋅
1 2
7 7 7
2 81 10 113 10 1 68 10, , ,
r r r rE K
Qr
i i i1
1
1
2
9
6
2 2
7
9 10
5 10
4 10
2 81 10= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅( ) = ⋅
−
−,
E j e m p l o
o b ` r b o a^
T Un campo eléctrico es una región del espacio en la que se manifiestan fenómenos eléctricos.
T El campo eléctrico se representa por medio de las líneas de campo o líneas de fuerza.
T Las líneas de fuerza son en todo punto tangentes a la dirección del campo, nacen en las cargas
positivas y mueren en las negativas.
T La intensidad del campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga positiva situada
en ese punto.
4. Una carga eléctrica de 2·10
-8 C está situada entre otras dos de 3μC y de -6μC, respectivamente,
a una distancia de 3cm de la primera y de 6 cm de la segunda. Hallar el valor del campo eléctrico
existente en el punto donde se encuentra y la fuerza que este campo ejerce sobre ella.
A c t i v i d a d e s
111
4.2. Energía potencial eléctrica
Imaginemos una carga testigo Q’, situada a una distancia r0 de otra carga fija Q y que se aleja
de ésta hasta un punto r muy cercano de modo que podamos considerar constante el valor del
campo eléctrico creado por la carga Q. En este movimiento, la fuerza que el campo ejerce
sobre la carga testigo realiza un trabajo: W = F(r - r0)
Acabamos de ver que la intensidad de campo ; sustituyendo el valor de
la fuerza: W = Q’ ·E(r -- r0)
Este trabajo se invierte en aumentar o disminuir la energía potencial de la carga testigo, según
que las dos cargas sean o no del mismo signo: W = Ep -- Ep0
Igualando las dos expresiones:
De esta expresión deducimos que la energía potencial que tiene la carga Q’ en un punto del campo
eléctrico creado por la carga Q es: E Q E r Q K Q
rr E k Q Q
rp p= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅' '
'
2
E E Q E r r Q E r Q E rp p− = ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅0
0 0
' ( ) ' '
rr
r rE F
QF Q E= ⇒ = ⋅
'
'
Una carga, QA, de 2 μC se encuentra en el punto de coordenadas (3 ,0) y otra, QB, de -4 μCen el punto (0,5). Hallar la intensidad del campo eléctrico creado por estas dos cargas en el ori-
gen de coordenadas.
Solución:
Representamos la posición de las cargas y calculamos el valor del campo creado por cada
una de ellas en el origen de coordenadas:
El campo eléctrico total:
r r r rE K
Qr
j j jBB
B
= ⋅ = ⋅ ⋅ =−
2
9
6
2
9 10
4 10
5
1440
r r r rE K
Qr
i i iAA
A
= ⋅ − = − ⋅ ⋅ = −−
2
9
6
2
9 10
2 10
3
2000( )
r r r r rE E E i jA B= + = − +2000 1440
E j e m p l o
QA
QB
E
EA
EB
5. Dos cargas eléctricas de 3 y -3 μC, respectivamente, se encuentran situadas, formando un
dipolo, en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y
4 cm. Hallar la intensidad del campo eléctrico en el vértice que forma el ángulo recto.
A c t i v i d a d e s
5. Potencial eléctrico. Diferencia de potencialEl potencial eléctrico en un punto de un campo eléctrico es una magnitud escalar que se
define como la energía potencial por unidad de carga positiva situada en ese punto.
La unidad de potencial eléctrico en el SI es el voltio que es el potencial que ha de existir
en un punto de un campo eléctrico para que una carga de un culombio situada en éste tenga la
energía de un julio.
Si en la expresión que define el potencial, sustituimos el valor de la energía potencial que
hemos obtenido en el apartado anterior, obtenemos que el potencial creado por una carga puntual,
Q, a una distancia r de ella, viene dado por:
Como podemos observar, el valor del potencial en un punto del campo eléctrico creado por
una carga puntual depende del valor de la carga y es inversamente proporcional a la distancia
existente entre el punto y la carga, de lo que se deduce que el potencial va disminuyendo a medida
que aumenta la distancia a la carga y por esta razón suele tomarse el origen de potencial (potencial
cero) en el infinito que es donde únicamente llegaría a ser nulo.
Según lo que acabamos de ver, todos los puntos que se encuentren a la misma distancia de la
carga tendrán el mismo potencial y, por esta razón, las superficies cuyos puntos se encuentran al
mismo potencial se denominan superficies equipotenciales. En el caso de una carga puntual son
esferas concéntricas con centro en la carga.
Hemos visto al principio de este apartado que al mover una carga dentro de un campo eléctrico
se realiza un trabajo, cuyo valor es igual a la variación de energía potencial de ésta. Supongamos que
una carga Q se encuentra en un punto A donde hay un potencial eléctrico VA y la desplazamos hasta
otro punto B de potencial VB. El trabajo que habrá de realizarse será: de
donde:
De esta expresión se deduce inmediatamente que el trabajo necesario para desplazar una
carga entre dos puntos de una superficie equipotencial es nulo, ya que VA = VB por lo que
VA - VB = 0 y, por tanto, WAB = 0
VEQ
k Q Qr Q
V k Qr
p= = ⋅ ⋅⋅
⇒ = ⋅'
'
'
VEQ
p='
W E E Q V Q VAB pA pB A B= − = ⋅ − ⋅
W Q V VAB A B= −( )
112
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
6. Dos cargas puntuales de 4μC y de 3μC, respectivamente, se encuentran a una distancia de 5
cm. ¿Cuál será el valor de la energía potencial de una de las cargas con respecto a la otra?
A c t i v i d a d e s
113
Una unidad de energía utilizada frecuentemente es el electronvoltio (eV) que es equivalente
al trabajo que se realiza para mover la carga de un electrón entre dos puntos cuya diferencia de
potencial es de un voltio. Su valor en julios será: 1 1 6 10 1 1 6 10
19 19eV C V J= ⋅ ⋅ = ⋅− −, ,
Una carga de 2 μC se encuentra en el origen de coordenadas. Hallar:
a) El potencial en los puntos A y B de coordenadas (3,0) y (0,2) respectivamente.
b) El trabajo necesario para llevar una carga de 0,5 μC desde el punto A hasta el punto B.
Solución:
El potencial en el punto A será:
En el punto B:
El trabajo realizado para llevar la la carga de A a B será:
W Q V V JAB A B= −( ) = ⋅ −( ) = − ⋅− −' ,5 10 6000 9000 1 5 10
7 3
V k Qr
VBB
= ⋅ = ⋅ ⋅ =−
9 10
2 10
2
9000
9
6
V k Qr
VAA
= ⋅ = ⋅ ⋅ =−
9 10
2 10
3
6000
9
6
E j e m p l o
2μC
B
A
o b ` r b o a^
T Toda carga situada en un campo eléctrico tiene una energía potencial eléctrica debida a la
posición que tiene dentro de él.
T Todos los puntos de un campo eléctrico tienen un determinado potencial, cuyo valor es el de
la energía potencial que tendría una unidad de carga positiva situada en dicho punto.
T La diferencia de potencial entre dos puntos equivale al trabajo que es necesario realizar para
desplazar la unidad de carga positiva desde un punto hasta el otro.
T Las superficies formadas por los puntos que se encuentran al mismo potencial se denominan
superficies equipotenciales.
T Entre dos superficies equipotenciales existe una diferencia de potencial que permite calcular
el trabajo necesario para mover una carga desde una superficie a otra.
T El trabajo necesario para mover una carga eléctrica en una superficie equipotencial es nulo.
7. Una carga eléctrica de 2·10
-9 C se encuentra en un punto de un campo eléctrico cuyo potencial
es de 200 V, ¿cuánto trabajo se realiza para llevarla hasta un punto cuyo potencial es de 300
V?
A c t i v i d a d e s
6. Capacidad eléctricaAl principio de la Unidad vimos que un cuerpo podía cargarse eléctricamente, pero… ¿dónde
está el límite? Cuando un cuerpo conductor se carga eléctricamente adquiere un determinado
potencial y si se pone en contacto con otro, pasan cargas eléctricas (electrones) del de menor
potencial al de mayor hasta que los dos adquieren el mismo potencial; en ese instante deja de
pasar carga de uno a otro.
La capacidad de un conductor es la relación que existe entre la carga que almacena y el
potencial que adquiere. Es decir:
La unidad de capacidad en el SI es el faradio (F) que es la capacidad de un conductor que
al recibir una carga de un culombio adquiere el potencial de un voltio. El faradio, al igual que el
culombio, es una unidad muy grande, por lo que generalmente se usan el microfaradio, el picofaradio
o el nanofaradio.
Capacidad de un conductor esférico
La superficie de un conductor esférico puede considerarse como una superficie equipotencial
en la cual el valor del potencial es:
Según acabamos de ver, la capacidad de un conductor es:
Sustituyendo el potencial tendremos:
Y como sabemos que, en el vacío, tenemos que
C QV
=
C QV
=
V k Qr
= ⋅
k = 1
4
0
πεC r= 4
0
πε
C Q
k Qr
rk
=⋅
=
114
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
8. Una carga Q’ de 0,2μC se encuentra en el punto A, a una distancia de 5cm de otra carga Q de
3μC que consideramos fija. Hallar el trabajo necesario para alejar la carga Q’ desde su posición
inicial hasta el punto B situado a una distancia de 9 cm de la carga Q.
9. Dos cargas puntuales de -3 μC y 5 μC, respectivamente, se hallan en
dos vértices de un triángulo equilátero de 6 cm de lado, según la figura.
Hallar:
a) El potencial eléctrico en los puntos A y B.
b) El trabajo necesario para llevar una carga de 2μC desde A hasta B.
A c t i v i d a d e s
A
B- 3μC 5μC
115
6.1. Condensadores
Un condensador es un sistema constituido para almacenar carga eléctrica. En consecuencia
también almacenará energía.
El condensador más común es el formado por dos placas conductoras enfrentadas entre las
que normalmente se intercala un material dieléctrico para aumentar su capacidad. Una
característica de este tipo de condensadores es que entre las dos placas existe un campo eléctrico
uniforme.
La capacidad de un condensador plano viene dada por siendo la
diferencia de potencial entre sus armaduras.
Veamos por qué para conseguir más capacidad se utilizan dos placas enfrentadas: Supongamos
que una de las placas se ha cargado con una carga Q y ha adquirido un potencial V, en función
de su capacidad. Cualquier punto próximo a su superficie tendrá ese mismo potencial. Si ahora
acercamos a esta placa otra cargada con signo contrario inducirá cargas en las proximidades de
la primera que harán disminuir su potencial por lo cual aumentará su capacidad (recordemos que
la capacidad de un conductor está en relación inversa al potencial que adquiere frente a una carga
determinada).
Nos preguntaremos por qué se introduce un dieléctrico entre las dos placas. Al introducir un
dieléctrico (material aislante) entre ellas, éste se polariza por inducción apareciendo en sus
dos caras cargas de signo contrario al de la placa más cercana haciendo que baje la diferencia
de potencial entre éstas, lo que hará que aumente la capacidad del condensador.
Aunque por más sencillez hemos estudiado el condensador plano, en realidad se utilizan
muy poco, generalmente, para conseguir mayor capacidad en menos espacio se construyen
condensadores cilíndricos enrollando una tira de papel parafinado entre dos hojas de papel de
aluminio. En la actualidad los más utilizados son los condensadores electrolíticos que consiguen
capacidades mucho más altas con el mismo tamaño, aunque soportan menos diferencia de
potencial.
C QV VA B
=− V VA B−
10. Hallar el radio de una esfera metálica cuya capacidad es de 10 picofaradios.
A c t i v i d a d e s
11. La diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador plano de 20 nanofaradios
de capacidad, es de 50 voltios. ¿Cuál es el valor de su carga en microculombios?
A c t i v i d a d e s
6.2. Asociación de condensadores
Los condensadores se pueden asociar en serie o en paralelo, aunque pueden coexistir ambas
denominándose en este caso asociación mixta.
Asociación en serie: Para asociar varios condensadores en serie, se une la placa positiva
de uno a la negativa del siguiente y así sucesivamente.
En esta situación todos los condensadores tienen la misma carga entre sus placas, es decir:
La suma de las diferencias de potencial existente entre cada par de armaduras es igual a la
diferencia de potencial aplicada a la asociación:
Como sabemos, en cada condensador tiene que cumplirse la relación o lo que es
equivalente: por lo tanto:
De donde se deduce que:
Lo que nos dice que varios condensadores asociados en serie se comportan como un único
condensador cuya capacidad viene dada por la expresión que acabamos de deducir.
V V V Vn= + + +1 2
...
Q Q Q Qn= = = =1 2
...
V
C1 C2 C3
Fígura 3: Asociación de condensadores en serie
1 1 1 1
1 2
C C C Cn= + + +...
V QC
= V QC
QC
QC C C C
Qn n
= + + + = + + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅
1 2 1 2
1 1 1
... ...
C QV
=
116
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
Tres condensadores de 2, 4 y 8 μF de capacidad, respectivamente, están asociados en serie.
Hallar la capacidad equivalente y la carga que adquiría el conjunto al conectarle a una diferencia
de potencial de 100 V.
Solución:
Para hallar la capacidad equivalente de tres condensadores asociados en serie utilizamos
la fórmula:
1 1 1 1
1 2 3
C C C C= + +
E j e m p l o
117
Asociación en paralelo: Para asociar varios condensadores en paralelo, se unen por un lado
todas las placas positivas y por el otro todas las placas negativas.
En este caso, la carga total es la suma de las cargas de todos los condensadores, es decir:
Todos ellos tienen la misma diferencia de potencial entre sus armaduras, ya que todas las
positivas están interconectadas y también lo están las negativas:
Como sabemos, por lo que la carga total almacenada será:
; de lo que sededuce que:
C C C Cn= + + +1 2
...
Q C V CV C V C V C C Cn n= ⋅ = + + + = + + +( )1 2 1 2
... ...
Q C V= ⋅
V V V Vn= = = =1 2
...
Q Q Q Qn= + + +1 2
...
VC1 C2 C3
Fígura 4: Asociación de condensadores en paralelo
Sustituyendo valores y realizando operaciones:
Despejando:
La carga que adquiriría el conjunto, bajo una diferencia de potencial de 100 V, sería:
Q C V C= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅− −114 10 100 114 10
6 4
, ,
C F= ⋅ = ⋅−
−8 10
7
114 10
6
6
,
1 1
2 10
1
4 10
1
8 10
4
8 10
2
8 10
1
8 10
7
8 10
6 6 6 6 6 6 6C=
⋅+
⋅+
⋅=
⋅+
⋅+
⋅=
⋅− − − − − − −
12. Hallar la diferencia de potencial que existe entre las armaduras de cada uno de los tres
condensadores del ejemplo anterior.
A c t i v i d a d e s
Según esto, varios condensadores asociados en paralelo se comportan igual que un único
condensador cuya capacidad es la suma de las capacidades de todos ellos.
118
ELECTROSTÁTICA
5UNIDAD
Tres condensadores de 3 nF, 5 nF y 8 nF, respectivamente, están asociados en paralelo.
Calcular la capacidad equivalente y la diferencia de potencial entre sus armaduras cuando la aso-
ciación tenga una carga de 5μC.
Solución:
La capacidad del conjunto de los tres condensadores asociados en paralelo, será:
En una asociación en paralelo, todos los condensadores tienen la misma diferencia de poten-
cial entre sus armaduras:
V QC
V= = ⋅⋅
=−
−5 10
16 10
312 5
6
9
,
C C C C F= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅− − − −1 2 3
9 9 9 9
3 10 5 10 8 10 16 10
E j e m p l o
o b ` r b o a^
T Cuando dos conductores que están a diferente potencial se ponen en contacto, pasan electrones
desde el de menor potencial al de mayor potencial hasta que éstos se igualan.
T La capacidad de un conductor es la relación que existe entre la carga que almacena y el potencial
que adquiere.
T Todos los puntos de la superficie de un conductor están al mismo potencial.
T Un condensador es un sistema constituido para almacenar carga eléctrica.
T Entre las dos placas de un condensador plano se introduce un dieléctrico para aumentar su
capacidad.
T Cuando se asocian varios condensadores en serie, todos adquieren la misma carga.
T Cuando se asocian varios condensadores en paralelo, todas las placas positivas están al mismo
potencial y todas las negativas también por lo que todos tienen la misma diferencia de potencial
entre sus armaduras.
119
13. Hallar la carga de cada uno de los tres condensadores del ejemplo anterior, expresada en
microculombios.
14. El circuito de la figura representa una asociación mixta de condensadores en la que los
condensadores C1 y C2 están asociados en paralelo, y esta asociación está en serie con el
condensador C3. Hallar la capacidad equivalente.
C1=4μF
C2=6μF
C3=8μF
A c t i v i d a d e s