cuarta practica calificada (2)

Laboratório de Cálculo por Elementos Finitos UNI – FIM

Índice

Enunciado del Problema....................................................................2

Solución (Cálculos previos)................................................................3

Análisis...............................................................................................4

Modelado del Cuerpo Real………......................................................7

Matriz de rigides…………………………………………………………8

Diagrama de Flujo..............................................................................11

Uso de Matlab....................................................................................13

Ejecución del Programa.....................................................................14

Conclusiones................................................................................... 18

Armaduras Planas 1


CUARTA PRACTICA CALIFICADA

(ARMADURA ESPACIAL)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Dada la siguiente armadura tridimensional, sometido a las fuerzas que se muestran en la figura. Piden:

Calcular las reacciones en los apoyos de la pluma de la grúa Calcular los esfuerzos en todas las barras de la pluma

DATOS DEL PROBLEMA:

Material: E=3.1*105 N/mm2

Carga: P=30 000 NAngulo de inclinación: β=60°Secciones de todas las barras: tubo de 100mm

GRÁFICO:

1. CÁLCULOS PREVIOS:

Armaduras Planas 2


Las dimensiones se muestran a continuación, en la siguiente grafica:

Armaduras Planas 3


Armaduras Planas 4


2. ANÁLISIS:

Armaduras Planas 5

Figura 1

Figura 2


Armaduras Planas 6

Figura 3


3. MODELADO DEL CUERPO REAL:

Tabla de conectividad:

Armaduras Planas 7

e NODOS GDL A (mm ) E (N/mm )1 1 2 1 2 3 4 5 6 900 * 3.1 x 102 1 3 1 2 3 7 8 9 900 * 3.1 x 103 2 3 4 5 6 7 8 9 900 * 3.1 x 104 1 4 1 2 3 10 11 12 900 * 3.1 x 105 1 6 1 2 3 16 17 18 900 * 3.1 x 106 1 5 1 2 3 13 14 15 900 * 3.1 x 107 4 6 10 11 12 16 17 18 900 * 3.1 x 108 4 5 10 11 12 13 14 15 900 * 3.1 x 109 5 6 13 14 15 16 17 18 900 * 3.1 x 10

10 2 6 4 5 6 16 17 18 900 * 3.1 x 1011 2 5 4 5 6 13 14 15 900 * 3.1 x 1012 3 6 7 8 9 16 17 18 900 * 3.1 x 1013 6 7 16 17 18 19 20 21 900 * 3.1 x 1014 3 10 7 8 9 28 29 30 900 * 3.1 x 1015 2 9 4 5 6 25 26 27 900 * 3.1 x 1016 5 8 13 14 15 22 23 24 900 * 3.1 x 1017 3 7 7 8 9 19 20 21 900 * 3.1 x 1018 2 10 4 5 6 28 29 30 900 * 3.1 x 1019 2 8 4 5 6 22 23 24 900 * 3.1 x 1020 5 7 13 14 15 19 20 21 900 * 3.1 x 1021 2 7 4 5 6 19 20 21 900 * 3.1 x 1022 9 8 25 26 27 22 23 24 900 * 3.1 x 1023 8 7 22 23 24 19 20 21 900 * 3.1 x 1024 10 7 28 29 30 19 20 21 900 * 3.1 x 1025 9 10 25 26 27 28 29 30 900 * 3.1 x 1026 9 7 25 26 27 19 20 21 900 * 3.1 x 1027 9 11 25 26 27 31 32 33 900 * 3.1 x 1028 8 11 22 23 24 31 32 33 900 * 3.1 x 1029 7 11 19 20 21 31 32 33 900 * 3.1 x 1030 10 11 28 29 30 31 32 33 900 * 3.1 x 10


4. DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA: (similar al de armaduras planas)

Armaduras Planas 8

INICIO

Leer datos de entrada.

Para i=1 hasta Nº de nodos

Ingresar coordenadas de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de cond_contorno(CC1)

Para i1 hasta 3x Nº de nodos

Cont0

Para j=1 hasta Nº de filas de cond_contorno(CC1)


Armaduras Planas 9

Si iCC(i,

1)

Cont=1, C2CC1(i,2)C1CC1(i,1)

SI

Si cont1

CC(i,1)=C1;CC(i,2)=C2

SI

NO

CC(i,1)=0;CC(i,2)=0

Para i=1 hasta Nº elementos

Calcula Le, l, m, las posiciones de la matriz de rigidez global y su valor.


Armaduras Planas 10

Para i=1;3xNº nodos

Si i==CC(i,1

)

Calcula las reaccionesr=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);

R=[R;r i];

Para i=1 hasta Nº de elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos, reaciones y esfuerzos


5. USO DEL MATLAB:

DIGITACION DEL PROGRAMA

%finitos03.mclcclear%datosA=input('Ingrese el vector area de cada elemento finito en mm2 ')E=input('Ingrese el vector modulo de young de cada elemento finito en N/mm2 ')x=input('Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm ')y=input('Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm ')F=[-5000;0;0;-2000;0;0;0;0;0;-3000];%la posiciones del 5 al 8 son incognitas pero los he puesto como ceros para que los pueda leer el matlab %calculo de los elementos faltantes de la tabla de conectividadNODOS=[1,2;2,3;3,4;3,5;4,5;5,2;5,1];GDL=[1,2,3,4;3,4,5,6;5,6,7,8;5,6,9,10;7,8,9,10;9,10,3,4;9,10,1,2];for i=1:7L(i)=sqrt((x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))^2+(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))^2);l(i)=(x(NODOS(i,2))-x(NODOS(i,1)))/L(i);m(i)=(y(NODOS(i,2))-y(NODOS(i,1)))/L(i);end%calculo de la matriz de rigidezk=zeros(10);aux=zeros(10);for i=1:7 aux(GDL(i,1:4),GDL(i,1:4))=E(i)*A(i)/L(i)*[l(i)^2,l(i)*m(i),-l(i)^2,-l(i)*m(i);l(i)*m(i),m(i)^2,-l(i)*m(i),-m(i)^2;-l(i)^2,-l(i)*m(i),l(i)^2,l(i)*m(i);-l(i)*m(i),-m(i)^2,l(i)*m(i),m(i)^2];k=k+aux;aux=zeros(10);end %calculo de QQ=inv(k([1:4,9,10],[1:4,9,10]))*F([1:4,9,10]);Q=[Q(1:4);0;0;0;0;Q(5:6)]; %calculo del vector FF=k*Q; %calculo de esfuerzosfor i=1:7 esf(i)=E(i)/L(i)*[-l(i),-m(i),l(i),m(i)]*Q(GDL(i,1:4));end %esfuerzosdisplay('Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son: ')esf %reaccionesdisplay('Las reacciones en los apoyos en N son')F(5:8) %gràfico de la armadura sin fuerzas externas

Armaduras Planas 11


xx=[x,x(1),x(2),x(5),x(3)];yy=[y,y(1),y(2),y(5),y(3)]; xxx=[x+Q(1:2:9)',x(1)+Q(1),x(2)+Q(3),x(5)+Q(9),x(3)+Q(5)];yyy=[y+Q(2:2:10)',y(1)+Q(2),y(2)+Q(4),y(5)+Q(10),y(3)+Q(6)]; plot(xx,yy,xxx,yyy,'r')

6. EJECUCION DEL PROGRAMA:

Ingrese el vector área de cada elemento finito en mm2 [1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495,1963.495]

A =

1.0e+003 *

Columns 1 through 6

1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635 1.9635

Column 7

1.9635

Ingrese el vector modulo de Young de cada elemento finito en N/mm2 [3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5,3.1e5]

E =

Columns 1 through 5

310000 310000 310000 310000 310000

Columns 6 through 7

310000 310000

Ingrese el vector abscisa de cada nodo en mm [0,1500,1500*2,1500*2,1500]

x =

0 1500 3000 3000 1500

Armaduras Planas 12


Ingrese el vector ordenada de cada nodo en mm [1500,1500,1500,0,0]

y =

1500 1500 1500 0 0

Los esfuerzos de cada elemento finito en N/mm2 son:

esf =

2.5465 2.5465 0 3.6013 -2.5465 -1.0186 0

Las reacciones en los apoyos en N son

ans =

1.0e+004 *

1.0000 // EJE X DEL NODO (3) 0.5000 // EJE Y DEL NODO (3) -0.5000 // EJE X DEL NODO (4) 0 // EJE Y DEL NODO (4)

-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

x

y

Figura 1

Armaduras Planas 13


Aplicando 1000 veces las fuerzas para notar las deformaciones:

-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Figura 2

Para visualizar las nuevas posiciones de los nodos ampliamos la figura en la parte de los nodos.Línea azul: posición inicialLínea roja: posición final

Figura 3

Armaduras Planas 14


Figura 4

Figura 5

Armaduras Planas 15


7. CONCLUSIONES

El elemento finito 7 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero es muy importante para la estabilidad de la estructura ya que dentro de su cuerpo se cancelan los desplazamientos de los nodos 1 y 5.

El esfuerzo en la barra 7 es cero debido a que no hay una fuerza vertical en el nodo 1.

La orientación del elemento finito 7 antes era de -45° Luego de aplicar las fuerzas externas su orientación cambio y su longitud se mantuvo constante.

El elemento finito 3 (vea la figura 2) su esfuerzo es cero pero también es importante para asegurar que la estructura este en un plano horizontal.

Los elementos finitos 5 y 6 (vea la figura 2) están en compresión. El elemento finito 4 (vea la figura 2) es el que soporta el mayor esfuerzo

3.6013 N/mm2 esto es debido a que uno de sus extremos están empotrados en la pared y prácticamente toda la fuerza recae sobre él. Con este elemento habría que hacer el diseño.

Este problema es imposible para la estática (hiperestático) ya que tiene 4 incógnitas y solo tres ecuaciones de equilibrio. Es posible su solución mediante los métodos finitos.

Las reacciones encontradas 10000N (eje x del nodo (3)) 5000N (eje y del nodo (3) -5000N (eje x del nodo (4)) y 0N (eje y del nodo (4)) cumplen con las tres condiciones de equilibrio por lo tanto están bien.

Todos los problemas de armaduras planas tienen como mínimo 2 apoyos rígidos pero también pueden tener más de dos apoyos. En este tipo de problemas podemos distinguir dos tipos de incógnitas las de desplazamientos y las de fuerzas, si el número de apoyos rígidos aumentan entonces las incógnitas de fuerzas aumenta y disminuyen las incógnitas de desplazamientos y por lo tanto se mantiene constante el número de incógnitas totales que para nuestro problema es 10.

Armaduras Planas 16

cuarta practica calificada (2)

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