tercera practica calificada finitos

5/17/2018 Tercera Practica Calificada Finitos - slidepdf.com

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Universidad Nacional de Ingeniería Cálculo por elementos Finitos

Facultad de Ingeniería Mecánica Armaduras

INDICE

Enunciado del Problema.....................................................................2

Solución (Cálculos previos)................................................................3

Coordenadas y GLN.............................................................................4

Matriz de Rigidez de los Elementos....................................................7

Matriz de Rigidez Estructural…………………......................................8

Cargas Nodales......................................................................................9

Ecuación de Rigidez..............................................................................9

Distribución de Esfuerzos.....................................................................9

Diagrama de Flujo.................................................................................11

Uso de Matlab.........................................................................................12

Algoritmo del Programa........................................................................12

Ejecución del Programa........................................................................14

Conclusiones.........................................................................................18

1





ARMADURA PLANA

PROBLEMA

Determinar la distribución de esfuerzos de una armadura plana, la cual es

sometida a cargas en ciertos nodos, despreciándose los efectos de

temperatura y de peso de cada viga de la armadura plana. Se tiene que el

Módulo de Elasticidad del material de cada viga es 3.1×105 MPa, así como el

diámetro de la sección constante de cada viga es 50 mm.

DATOS DEL PROBLEMA:

Módulo de Elasticidad: 3.1×105 MPa.

Diámetro de la sección constante de cada viga: 50 mm.

Carga P A: 5000 N.

Carga PB: 4000 N.

Carga PC: 3000 N.

Carga PE: 2000 N.

GRÁFICO:

2





SOLUCION:

1) ANALISIS (Métodos por elementos finitos)

2) TABLA DE CONECTIVIDAD.

NODO X(mm) Y(mm)1 0 02 1500 03 3000 04 1500 15005 0 1500

elemento NODOS(1) (2)

GDL1 2 3 4

Le(mm)

Ae(mm2)

Ee(N/mm2)

1 1 2 1 2 3 4 1500.00 1963.5 3.1x105

2 2 3 3 4 5 6 1500.00 1963.5 3.1x105

3 3 4 5 6 7 8 2121.32 1963.5 3.1x105

4 4 2 7 8 3 4 1500.00 1963.5 3.1x105

5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.5 3.1x105

6 4 5 7 8 9 10 1500.00 1963.5 3.1x105

7 5 1 9 10 1 2 1500.00 1963.5 3.1x105

3

Q5

Q6

Q9

Q10

Q2Q4

Q1Q3

Q8

Q7

2

6

43

1

5

123

4

5

X

Y

7





3) MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

=

=

0.0665

0.0246-

0.1633

0.0444

0.0714

0.0222

0

0

4000

5000

2000

0

6.9273 0 1.4347- 1.4347 4.0579- 0

0 6.9273 1.4347 1.4347- 0 0

1.4347- 1.4347 1.4347 1.4347- 0 0

1.4347 1.4347- 1.4347- 5.4926 0 4.0579-

4.0579- 0 0 0 4.0579 0

0 0 0 4.0579- 0 8.1158

10

8

7

6

5

4

3

8

7

6

5

4

3

5

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

RESULTADOS:

=

=

=

0

10000

6000-

15000-

0

5.0930-

4.3215

1.0186-

2.8810-

4.5837

4.5837

0

0

0.0665

0.0246-

0.1633

0.0444

0.0714

0.0222

0

0

10

9

2

1

7

6

5

4

3

2

1

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

R

R

R

R

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

4





4) DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA

5

INICIO

Leer datosdeentrada.

Para i=1

hasta Nº de

nodos

Ingresar coordenadas

de los nodos.

Calcular área, Nº de filas de

cond_contorno(CC1)

Para i=1 hasta

2veces Nº de nodos

Cont=0

Para j=1 hasta Nº de

filas de

cond_contorno(CC1)

1 23





6

1 2

Sii=CC(i,

1)

Cont=1,

C2=CC1(i,2)

C1=CC1(i,1)

SI

Si

cont=1

CC(i,1)=C1;

CC(i,2)=C2

3

SI N

O

CC(i,1)=0;

CC(i,2)=0

Para i=1

hasta Nº

elementos

Calcula Le, l, m, las

posiciones de la matriz de

rigidez global y su valor.

4





7

4

Para i=1 hasta 2veces

Nº elementos.

Si

i=CC(i,

1)

Q(i,1)=CC(i,2)Acumulamos

fuerzas

(FC=[FC;F(i)])

SI NO

Para

j=1;2*Nºnodos

Si

j≠ CC(j,1)

acuh=[acuh,Kij(i,j)]

acumula filas

SI

acuv=[acuv;acuh];

acumula columnas

Calcula losdesplazamientos generales

Q1=acuv\FC;

5





8

5

Para i=1;

2Nº nodos

Si

i==CC(i,

1)

Calcula las reacciones

r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);

R=[R;r i];

Para i=1 hasta

Nº de

elementos

Calcula esfuerzos

Imprime Desplazamientos,

reaciones y esfuerzos





5) DIGITACION DEL PROGRAMA EN MATLAB

%ARMADURAS PLANASformat longnd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS=');ne=input('INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=');

D=input('INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=');E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=');tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=');%EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]ni=[];for i=1:nd

disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);n(i,1)=input('N(X)= ');n(i,2)=input('N(Y)= ');

endF=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=');CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=');lm=[];

A=pi/4*D^2;krs=zeros(2*nd);Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[];le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[];[fc,cc]=size(CC1);for i=1:2*nd

cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1)

cont=1;c1=CC1(j,1);c2=CC1(j,2);

end end if cont==1

CC(i,1)=c1;CC(i,2)=c2;

elseCC(i,1)=0;CC(i,2)=0;

endendfor i=1:ne

le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2);l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i);m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i);ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2;krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2;Kij=Kij+E*A/le(i)*krs;krs=zeros(2*nd);

endfor i=1:2*nd if i==CC(i,1)

Q(i,1)=CC(i,2); else

FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1)

9





acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end

acuv=[acuv;acuh];acuh=[];

endQ1=acuv\FC;for i=1:2*nd if i~=CC(i,1)

Q(i,1)=Q1(1,1);[f,c]=size(Q1);

if f>=2Q1=Q1(2:f,1);

end endendfor i=1:2*nd if i==CC(i,1)

r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);R=[R;r i]; endendESF=[];for i=1:ne

ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2;ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)];

endformat shortdisp('=============');disp('RESULTADOS');disp('=============');

disp('LOS DESPLAZAMIENTOS');disp(Q);disp('LAS REACIONES');disp('REACCIÓN POSICIÓN');disp(R);disp('LOS ESFUERZOS');disp(ESF');

10





6) EJECUCIÓN DEL PROGRAMA

• Ingrese el numero de codos=5• Ingrese el nuemro de elementos=7• ingrese el diámetro de las secciones(mm)=50• Ingrese el modulo de elasticidad(N/mm^2)=3.1e5• Ingrese tabla de conectividad(solo nodos)=[1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1]

Ingrese las coordenadas del nodo (1)

N(X)= 0N(Y)= 0Ingrese las coordenadas del nodo (2)

N(X)= 1500

N(Y)= 0Ingrese las coordenadas del nodo (3)



N(X)= 0N(Y)= 1500Ingrese el vector columna de fuerzas=[0 0 0 2000 5000 4000 0 0 0 0]'Ingrese condiciones de contorno [posición valor]=[1 0;2 0;9 0;10 0]

6) RESULTADO

a) Los desplazamientos son:0

00.02220.07140.04440.1633-0.02460.0665

00

11





b) Las reacciones son:

REACCIÓN POSICIÓN1.0e+004 *

-1.5000 0.0001-0.6000 0.00021.0000 0.0009

0 0.0010

c) Los esfuerzos(MPas)4.58374.5837-2.8810-1.01864.3215

-5.09300

PROBANDO PARA OTRA ARMADURA PLANA

Problema desarrollado en el libro CHANDRUPATLA;E=29.5x106 psi; A=1.0 in2

12





ANÁLISIS

TABLA DE CONECTIVIDAD

NODO X(pulg.) Y(pulg.)1 0 0

2 40 03 40 304 0 30

elemento NODO(1) (2)

1 1 22 2 33 1 34 3 4

13





EJECUTAMOS EL PROGRAMA

INGRESE EL NUMERO DE NODOS=4INGRESE EL NUEMRO DE ELEMENTOS=4INGRESE EL DIÁMETRO DE LAS SECCIONES(mm)=2/sqrt(pi)

INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2=29.5e6INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)=[1 2;2 3;1 3;3 4]NODOS(1) (2)INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

1

N(X)= 0N(Y)= 0INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO

2


3


4

N(X)= 0N(Y)= 30INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS=[0 0 20000 0 0 -25000 0 0]'INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posición valor]=[1 0;2 0;4 0;7 0;80]

RESULTADO

=============RESULTADOS=============LOS DESPLAZAMIENTOS

00

0.02710

0.0056-0.0222

0

0

14





LAS REACIONESREACCIÓN POSICIÓN1.0e+004 *

-1.5833 0.0001

0.3125 0.00022.1875 0.0004-0.4167 0.0007

0 0.0008

LOS ESFUERZOS(MPas)1.0e+004 *

2.0000-2.1875

-0.52080.4167

15





CONCLUCIONES

El método por elementos finitos para el cálculo de armaduras en el planotiene una tiene una aproximación casi exacta, sólo se comete error por las cifras significativas que trabaja el MATLAB; al comparar losresultados en forma analítica con la de elementos finitos el error delcálculo es cero.

El método de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en elplano, para ello tenemos que ingresar la tabla de conectividad, queresultaría tedioso si la estructura consta de muchos elementos. Laventaja de este método es la facilidad de cálculo por medio del MATLAB,en nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fácil cálculo para unnúmero de elementos muy grade, que resultaría casi imposible deresolverlo analíticamente.

Al resolver un problema distinto que el dado por el profesor de clase(problema resuelto en el libro de CHANDRUPATLA), se obtuvoresultados similares, la diferencia de estos resultados se debe a que seutilizaron diferentes cifras significativas, con esto demostramos que elprograma hecho por el autor es aplicable a cualquier estructura en elplano, para ello tan solo se debe ingresar la conectividad de los nodos,dimensiones, material y las condiciones de contorno.

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