Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327ISBN 980-345-249-5

Prologo

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del octavo semestre, refleja en

forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de Matemática.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes

un instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

Contenido

.- Números decimales, notación científica..............5,6,7,8,9,10

.- Regla de tres............11,12,13,14,15,16,17

.- Producto Cartesiano de dos conjuntos..........18

.- Gráfico de una relación..........18

.- Dominio y rango de una relación.......18,19

.- Relación de orden........20

.- Propiedad simétrica, transitiva y antisimétrica............21,22

.- Ley de composición interna.............22

.- Clasificación de las funciones.............23,24,25

.- Nociones elementales de Informática........26,27,28,29,30,31,32

.- Ejercicios............33

.- Fracción generatriz.........34

.- Geometría: circunferencias, construcción de triángulos, cuadriláteros, polígonos,

calculo de áreas, medidas de capacidad, poliedros, calculo de volúmenes, polie-

dros......................35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53

.- Ejercicios..........54,55,56,57,58,59

.- Bibliografía..........60

4

Expresión decimal de fracciones:

Centena Decena Unidad Décima Centésima Milésima

100 10 1 0,1 0,01 0,001

Ejemplos:

a) 2/4 = 0,5 se lee cinco décimas

b) 3/2 = 1,5 se lee una unidad con cinco décimas

c) 5/4 = 1,25 se lee una unidad con veinte y cinco centésimas

d) 6/8 = 0,75 se lee setenta y cinco centésimas

Notación científica:

Ejemplos:

a) 42,45 = 4245 x 10 –2 b) 34,678 = 34678 x 10 –3

c) 346,6986 = 3466986 x 10 –4 d) 0,3456 = 3456 x 10 –4

e) 0,0456 = 456 x 10 –4 f) 7540 = 754 x 10 1

5

Adición de Números Decimales :

Ejemplos:

1) Sumar 29,039 + 0,42 + 1,80 29,039

0,42

+ 1,80

31,259

2) Sumar 23,5 + 2,35 + 0,235 23,5

2,35

+ 0,235

26,085

Problemas:

1) En una tienda hay una lista de calorías por alimento: arroz 3,58 k, huevos

1,60 k, chicharrón 6,87 k, harina 3,40 k, gallina 2,46 k, guanábana 0,77 k,

lechuga 0,16 k. Si compramos arroz, gallina, guanábana y lechuga. ¿Cuántas

calorías vamos a consumir?

6

2) En una escuela rural, los alumnos están recogiendo dinero para comprar un

equipo de sonido que cuesta 210.000 Bs. Cada grado del 1ro al 6to deben

recoger cada uno 35.000 Bs. pero lo recogido por cada uno es el siguiente:

1ro recogió 3/5 partes 4to recogió 3/8 partes

2do “ 2/6 “ 5to “ 2/6 “

3ro “ 1/5 “ 6to “ 3/7 “

¿ Cuánto recogieron?

Sustracción de N° decimales:

Ejemplos:

1) Hallemos la diferencia en: 29,079 – 5,129 29,079

- 5,129

23,950

2) Hallemos la diferencia en : 45,9 – 0,777 45,900

- 0,777

45,123

7

Problemas:

1) Por cada 100 partes de aire aspirado tenemos que, aproximadamente:

4,5 partes son anhídrido carbónico

16 partes son oxígeno

0,5 partes son otros elementos

x partes son nitrógeno

¿ Cuantas partes de nitrógeno hay?

2) Carlos mide 1,56 mts. y su hermanito que tiene dos años, mide 0,89 mts. Carlos

piensa que si coloca a su hermanito sobre el banco que mide de alto 0,64 mts.,

logrará su misma altura.

Multiplicación de N° decimales:

Para multiplicar números decimales, se procede de la misma manera que en la

multiplicación de números naturales, pero colocando la coma de tal manera que

puedan estar separados de derecha a izquierda tantas cifras decimales tengan los

factores.

8

Problemas:

1) Venaluz C.A expone los precios para velas y velones:

Velones: tipo 1.........330 grs........Bs. 1.200

tipo 2.........440 grs........ Bs. 1400

tipo 3..........500 grs........ Bs. 1.500

Velas: tipo 160.......30 grs..........Bs. 200

tipo 80.........60 grs..........Bs. 400

¿ Cuanto hay que pagar por?: 5 velones del tipo2, 6 velones del tipo 3, 30 velas

del tipo 160 y 15 velas del tipo 80.

División de N° decimales:

a) El dividendo es un número natural y el divisor un número decimal.

b) El dividendo es un número decimal y el divisor un número natural.

c) Tanto el dividendo como el divisor son números decimales.

Ejemplo:

1) Dividir 0,019 : 0,004 0,019 x 1000 = 19

0,004 x 1000 = 4

19 4

30 4,75

20

9

Problemas:

1) La señora Juana desea comprar ½ kilo de chuletas y ¼ kilo de lomito. Si el kg de

chuleta es 3.500 Bs. y el kg de lomito es 4.000 Bs. ¿ Cuánto tiene que pagar?

EJERCICIOS

Expresa el decimal de cada fracción y escribe en letras el resultado:

a) 2/6 b) 4/6 c) 5/3 d) 7/9

e) 6/9 f) 1/6 g) 5/2 h) 3/8

Expresa en notación científica el decimal:

a) 4,3457 b) 0,348 c) 12,345

d) 243,45 e) 77,645 f) 8400

Sumar los decimales:

a) 3,45 + 3,450 b) 0,348 + 3,45 + 1,20

c) 4,30 + 2,864 d) 3,454 + 1,203 + 2,34

e) 34,756 + 7,6789 + 23, 856 f) 456,98 + 9,67 + 4,7123

10

Restar los decimales:

a) 24,34 – 3,4 b) 5,348 – 0,28 c) 64,63 – 42,1

d) 345,32 – 2,23 e) 34,3 – 28,12 f) 746,325 – 226,23

Multiplicar y dividir los decimales:

a) 2,34 . 2,5 b) 45,2 . 6,2 c) 34,26 . 1,3

d) 25,3 : 2,3 e) 0,054 : 0,04 f) 0,564 : 0,034

Regla de tres simple:

Tiene por objeto, dados tres términos de una proporción, hallar el cuarto. Es

decir, nos proporciona tres cantidades conocidas para determinar un cuarta

desconocida.

La regla de tres simple puede ser:

a) Directa.

b) Inversa.

No puede ser ambas a la vez.

Directa: cuando le corresponden cantidades directamente proporcionales que

aumentan o disminuyen de más a más o de menos a menos.

11

Cómo resolver una regla de tres simple directa:

Hay que hallar el valor de la incógnita (cuarta cantidad desconocida),

formaremos dos razones. La primera razón con las dos cantidades homogéneas

conocidas, y la segunda con la tercera cantidad conocida como antecedente

(numerador), y como consecuente (denominador), tendrá la incógnita. Seguidamente

con ambas razones formaremos una proporción.

Ejemplos:

1) Si 8 artículos nos cuestan Bs. 4.000. ¿ Cuánto nos costarán 38 artículos?

8 art.___________4.000 Bs

38 art____________ x x = 38 art. . 4.000 Bs

8 art.

x = 152.000 Bs x = 19.000 Bs.

8

2) Si 20 obreros producen 200 artículos. ¿ Cuántos artículos producirán 50 obreros?

20 ob._________________200 art

50 ob._________________ x x = 50 ob. . 200 art.

20 ob.

x = 10.000 art. x = 500 art.

20

12

Inversa: cuando le corresponden cantidades inversamente proporcionales que

aumentan o disminuyen de más a menos o de menos a más.

Cómo resolver la regla de tres simple inversa:

Se forman dos razones. La primera con la inversa de las dos cantidades

homogéneas conocidas y la segunda con la tercera cantidad conocida como

antecedente (numerador), y como consecuente (denominador), tendrá la incógnita.

Con ambas razones se formara una proporción.

Ejemplos:

1) Si un móvil va a una velocidad de 80 km/h, necesita 6 horas para recorrer la

distancia entre dos puntos. ¿ Cuánto tiempo necesitará si aumentamos su velocidad a

120 km

80 inversa 120

120 80

120 km_______________6 horas x = 80 km . 6 horas

80 km_______________ x 120 km

x = 4 horas

13

Regla de tres compuesta:

Estará formada por dos o más reglas de tres simples. Puede ser directa, inversa o

mixta, es decir puede estar formada por:

a) Dos o más reglas de tres simples directas.

b) Dos o más reglas de tres simples inversas.

c) Una o más reglas de tres directas y una o más reglas de tres inversas.

Directa: está formada por dos o más reglas de tres simples directas cuyas

cantidades pueden variar en forma de más en más o de menos a menos.

Ejemplo:

1) Si 30 obreros trabajando 10 horas diarias, durante 20 días han producido 60

unidades de un artículo.¿ Cuántas unidades producirán 40 obreros trabajando 8

horas diarias, durante 30 días?

30 . 10 . 20 = 60 unid. 6000______________60 unid.

40 . 8 . 30 x 9600______________ x

x = 9600 . 60 unid. X = 96 unidades

6000

14

Inversa: estará formada por dos o más reglas de tres simples inversas cuyas

cantidades pueden variar en forma de más a menos o de menos a más.

Ejemplo:

1) Si 15 obreros trabajando 6 horas diarias, realizaron una obra en 40 días.

¿ Cuántos días tardarán en realizar la misma obra 20 obreros trabajando 4 horas

diarias ?

15 ob_________6 h____________40 días

20 ob_________ 4 h____________ x días

20

15 inversa 20 6 inversa 4

20 15 4 6

entonces 20 ob . 4 h = 40 días 80 = 40

15 . 6 x 90 x

x = 90 . 40 x = 90 . 40 x = 45 días

80 80

15

EJERCICIOS

Resuelve los problemas por regla de tres simple directa:

1) Si 30 camas nos cuestan Bs. 80.000. ¿ Cuánto nos costarán 20

camas?.

2) Si 5 hombres procesan 20 kg de azúcar en una hora.¿ Cuántos

hombres procesarán 36 kg ?

3) Si 4 kg de oro nos cuestan Bs. 1.200.000. ¿ Cuánto nos costarán 5 kg?.

4) Si 60 albañiles construyen una obra en 32 días. ¿ Cuántos días tarda-

rán 50 albañiles?.

Resuelve los problemas por regla de tres simple inversa:

1) Si un carro va a una velocidad de 100 km/h necesita 4 horas para

recorrer la distancia entre dos ciudades. ¿ Cuánto tiempo necesitará

si aumentamos su velocidad a 110 km?.

2) Si 36 personas necesitan 45 días para asfaltar una carretera.

¿ Cuántos días necesitarán si se emplean 30 personas?.

16

Resuelve los problemas aplicando la regla de tres compuesta:

1) Si 26 personas laborando 8 horas diarias durante 15 días, han

pintado 45 mts. de pared. ¿ Cuántos mts. de pared pintarán 30 perso-

nas laborando 6 horas diarias, durante 20 días.?

2) Si 16 trabajadores en 6 horas diarias, realizaron una en 25 días.

¿ Cuántos días tardarán en realizar la misma obra 22 trabajadores

en 5 horas diarias?.

17

Producto Cartesiano de dos Conjuntos:

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina producto cartesiano de A y B

al conjunto formado por los pares ordenados que tienen como primera componente

un elemento del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto B.

Se anota: A x B

Ejemplo: Dados los conjuntos A= 1,2,3 y B= a,b,c . Hallar A x B.

A x B = (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)

Ejercicios: Hallar el producto cartesiano en los siguientes conjuntos:

1.- A = a, b, c B = x, y, z 3.- X = a,1,c Y = 1,2,3

2.- B = x , y D = 1,2,3 4.- A = a ,x,5 B = 1,2,3,4

Gráfico de una Relación:

Si entre dos conjuntos A y B se ha definido una relación R, se denomina gráfico

de dicha relación al conjunto formado por los pares ordenados que cumplen la

relación R.

Dominio de una Relación:

Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que

cumplen la relación R. Se anota Dom. ( R ).

18

Rango de una Relación:

Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que

cumplen la relación R. Se anota Rgo ( R ).

A B

Dom.(R) Rgo.(R)

• *

• *

• *

Ejemplo: Dados los conjuntos A= 1,2,3 y b= 2,3,4 y la relación R; “no es

igual” definida de A en B, hallar: a.- Imágenes; b.- Pares; c.- Gráfico; d.- Dominio

y rango; e.- Representación gráfica sagital y tabular.

Imágenes: 1”no es igual a” 2,3,4 Pares: (1,2),(1,3),(1,4)

2 “ “ “ “ 3,4 (2,3),(2,4)

3 “ “ “ “ 2 ,4 (3,2), (3,4)

gráfico= (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4) Dom.R= 1,2,3

Rgo.R = 2,3,4

19

Gráfica Sagital Gráfica Tabular

A B B

1 2 4 * * *

2 3 3 * *

3 4 2 * *

1 2 3

Relación de Orden: una relación R definida en un conjunto A, es una

relación de orden, si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Relación de Equivalencia: una relación definida sobre un conjunto A, es una

relación de equivalencia, si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

Propiedad Reflexiva: una relación R, definida en un conjunto A, es reflexiva, si

todo elemento de A está relacionado consigo mismo.

A

1

2

3

20

Propiedad Simétrica: una relación R, definida en un conjunto A es simétrica, si

todo elemento de A está relacionado consigo mismo y con los otros elementos.

A

2

1

Propiedad Transitiva: una relación R definida en un conjunto A, es transitiva si

para cualquier terna de elementos a ∈ A; b ∈ A y c ∈ A se cumple: Si a R b y b R

c entonces

a R c.

A

A a b c

3

1 2

21

Propiedad Antisimétrica: una relación R definida en un conjunto A, es

antisimétrica si para cualquier par de elementos de A; a ∈ A y b ∈ A, diferentes, se

cumple la relación R;

a R b pero b R a.

A A

a b 1 2

c

4 3

Ejemplo de Ley de Composición Interna:

1.- Dado A = a, b, c . Hacer la tabla de composición. (a * b)= b

* a b c

a a b c

b a b c

a a b c

Ejercicios: Hacer la tabla de composición a cada conjunto: (a * b)= b

22

a.- A = 1,2,3 b.- B = 1,2,3,a c.- X = a,1,b,2,c

d.- C = a, x, b, y, r, e e.- X = 1,q, z f.- A = a, b, c, d

Clasificación de las Funciones:

Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina función o aplicación de A en

B, a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento de B y

nada más que uno.

Se anota: f:A B , y se lee “aplicación o función del conjunto A en el

conjunto B mediante f”.

Función Sobreyectiva: Se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva,

cuando el rango y el conjunto de valores(llegada) son iguales, ó también cuando

todos los elementos de B tienen una o varias contraimágenes.

23

A f B

1 a

2 b

3 c

4 d

5

Función Inyectiva:Se dice que la función es inyectiva, cuando a elementos

diferentes de A le corresponden elementos diferentes de B, o también cuando los

elementos de B tienen una o ninguna contraimagen.

A B A B

1 a 1 a

2 b 2 b

3 c c

Función Biyectiva o Biunívoca: Se dice que la función es biyectiva, cuando es a la

vez sobreyectiva e inyectiva, ó también cuando todos los elementos de B tienen nada

mas que una contraimagen cada uno.

24

A B

1 x

2 y

3 z

Ejercicios: Representa en gráfico sagital y determina el tipo de función:

a.- f: (1,a),(2,b),(3,c) b.- f: (x,1),(y,2),(z,1)

c.- f: (3,5),(4,6),(5,6) d.- f : (1,2),(1,3),(2,4),(2,5)

d.- f: (a,1),(b,2),(c,3),(d,3) e.- f: (x.*),(y,+),(z,&),(r,&)

Nociones elementales de Informática:

25

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una

manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o

procedimiento manual o automatizado.

b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a

un hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan

origen al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no

permiten verificar todas las transacciones.

c) Procesamiento de datos: son dispositivos conectados a las computadoras,

capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se

trate de una lectura o de una escritura.

e) Formas de procesamiento de datos:

.- Medios perforados.

.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.

cintas perforadas.

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético.

26

cintas magnéticas.

disco magnético.

.- Medios ópticos.

.- Terminales de teclado-pantalla.

.- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está

formada por:

a) Monitor o pantalla.

b) Teclado.

c) C .P.U

d) Impresora.

e) Mouse.

f) Fax.

g) Scanner.

27

28

Características de los computadores:

a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:

.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.

.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por

medio de lenguajes de programación.

b) Tienen gran velocidad de cálculo.

c) Tienen gran capacidad de almacenamiento.

d) Tienen gran precisión.

e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos

Tópicos.

f) Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores:

29

Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los

trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el

nombre de ofimática.

Tareas administrativas del computador:

a) Gestión de personal.

b) Proceso de nóminas.

c) Control de inventarios.

d) Gestión de almacén.

e) Facturación y contabilidad.

f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.

g) Información de productores, partes y materiales.

h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales:

a) Control de procesos industriales.

b) Robótica industrial.

c) Diseño.

d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico:

a) Predicciones meteorológicas.

b) Control ambiental.

c) Control de comunicación satelital.

30

d) Programas de simulación (vuelos).

e) Otros.

Aplicaciones médicas:

a) Control clínico del paciente.

b) Mantenimiento de hospitales.

c) Tomografía computarizada.

d) Otros.

Concepto de algoritmo:

El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente

especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema

específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones)

ordenadas lógicamente.

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso salida - entrada

Operación

31

Manual decisión

Inicio-fin introducción

manual

magnetic-tape

documento punched

card

Representación gráfica de algoritmos :

1) Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a

la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada si buscar la introducir la con llave? Llave llave en la cerradura

32

darle vuelta a

la llave

dar vuelta no ¿ Se abrió

al pomo la puerta

abrir comple- salir tamente la puerta

fin

EJERCICIOS

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4) Representar el algoritmo para levantarse.

Expresión Decimal y Científica:

Calcula: a) 4 = 0,4 b) 8 = c) 486 = d) 5789 = e) 44,567 10 100 1000 10 100

Escribe en Notación Científica:

33

Calcula: a) 1.600.000 = 1,6 x 10 6 b) 1.470.000 = c) 45.200.000.000

d) 0,00083 = e) 0,3478 = f) 172 = g) 12,347

Escribe en forma decimal:

Calcula: a) 3,2 x 104 = 3,2 x 10.000 = 32.000 b) 1,3 x 103 = c) 1,26 10-4 =

d) 3,55 x 10-6 = e) 45 x 10-1 = f) 1,26 x 10-2 = g) 684 x 102 =

Fracción Generatriz:

A,BCDE..... A= unidad 1 B= décima 0,1 C= centésima 0,01 D= milésima 0,001 E= décima de mil 0,0001 Etc.......

Dado el decimal: 8,3 5 dónde: 8 es la parte entera 3 es el ante período 5 es el período

a) Dado f: 3 4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5 -10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5

90f = 311

f= 311

90

34

Resolver: a) 4,3 4 = b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95,3 6 = e) 10,58 =

f) 7,4 4 = g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546 =

Geometría :

Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia

del centro.

Elementos de la Circunferencia:

35

a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con

cualquier punto de ella.

b) Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

d) Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

e) Tangente: cuando la recta es tangente a la circunferencia es decir, cuando

tienen un

punto común denominado punto de tangencia, es decir, su intersección es un

punto.

f) Secante: cuando la recta es secante a la circunferencia, es decir, cuando tienen

dos

puntos comunes, o sea, cuando su intersección es el conjunto formado por dos

puntos.

g) Angulo central: es todo ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia.

h) Círculo: es la región del plano formada por los puntos de la circunferencia y los

puntos interiores a ella.

i) Sector circular: es la porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco

correspondiente.

Radio Arco

Cuerda Diámetro

36

Fórmula de la Circunferencia: C = 2 . π . r

Calcular: a) C = x b) C = x c) C = x d) C = x r = 4 cm r = 3 cm r = 2 cm r = 6 cm

Construir circunferencias de:

a) 5 cm de diámetro.b) 2.5 cm de diámetro.c) 4 cm de radio.d) 3 cm de radioe) 20 mm de radio.f) 30 mm de diámetro.

Triángulos: Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados,

vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.

Clasificación de los triángulos:

37

Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno

Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo

a b c d

e f

Ángulos Internos: A α A + α B + α C = 180°

Ejercicios: 1) Dado : Hallar : x

2) Dado Hallar : x

38

Ángulos Externos : B ∝A + ∝ B + ∝ C = 360°

C

A

1.- Dado 120°

Hallar: X X 80°

X

2.- Dado

Hallar: X

100°

120°

Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Según sus lados:

a) Trapecio recto: es el que tiene dos ángulos interiores rectos.

b) Trapecio isósceles: es el que tiene los lados no paralelos

c) Trapecio escaleno: es el trapecio cuyos lados no paralelos no son

39

congruentes.

Según sus ángulos:

a) Paralelogramo: es el que tiene los ángulos opuestos congruentes.

b) Rectángulo: es el paralelogramo cuyos ángulos interiores son todos

rectos.

c) Cuadrado: es el paralelogramo cuyos ángulos interiores son rectos

y sus lados congruentes.

d) Rombo: es el paralelogramo que tiene los lados congruentes y su

Ángulos internos opuestos congruentes.

Paralelogramo Rectángulo Rombo

a b e f s

v td c g h

u

Trapecio Isósceles Trapecio rectángulo Trapecio escaleno

40

Construir los siguientes cuadriláteros:

1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.

2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.

3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.

4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en ‘el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.

Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal

cerrada y sus puntos interiores.

Polígono regular Polígono irregular b b a c c a

e d e d

Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma

circunferencia.

a

41

b e

d

c

Polígonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma

circunferencia.

.

42

Nombre de los Polígonos:

3 lados : triángulo4 lados: cuadrilátero5 Lados: pentágono

6 lados: exágono7 lados: heptágono8 lados: octógono9 lados: eneágono10 lados: decágono

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:

a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.

b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.

c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.

d.- Exágono y uno de sus lados 4 cm

Cálculo de Áreas :

a.- A (triángulo) = b . h b.- A(rectángulo) = b . h c.- A(cuadrado)= L² 2

d.- A(paralelogramo) = b . h e.- A(trapecio)= B1 + B2 . h

2

f.- A(rombo) = D1 . D2

2

43

Ejercicios:

a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm.

b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la

altura 2 cm.

c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm.

d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5

cm.

e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra

diagonal mide 4 cm.

Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es el litro.

44

Kl-hl-dal-l-dl-cl-ml

Kl= kilo-litro hl= hecto-litro dal= decalitro l= litro dl= decilitro

Cl= centrilitro ml= mililitro

Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a

menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 2.- Transformar 267 l a cl

3.- Transformar 1280 cl a dal 4.- Transformar 34 dl a hl

Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual

forma. De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³

Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³

3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³

5.- Transformar 12345 mm³ a km³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³

Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe

entre dos cuerpos.

Km-hm-dam-m-dm-cm-mm

45

Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro

cm= centímetro mm= milímetro

Transformar: a.) 3,4m a cm b.) 0,456 dam a mm c.) 4876 m a hm

d.) 28 dam a dm e.) 24546 mm a cm f.) 7463 h a Km

Identificar Poliedros:

Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.

Cubo Prisma

Paralelopipedo Tetraedro

46

Bipirámide

Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan.

Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los

segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.

Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o

los puntos de intersección de sus aristas.

Volumen: entendemos por volumen de un cuerpo a la cantidad de espacio que

ocupa.

Unidades de volumen:

km3 = kilómetro cúbico dm3 = decímetro cúbico

hm3 = hectómetro cúbico cm3 = centímetro cúbico

dam3 = decámetro cúbico mm3 = milímetro cúbico

m3 = metro cúbico

47

Las unidades de volumen aumentan y disminuyen de 1000 en 1000, es decir, de

103 en 103.

km3 divide

hm3

dam3

m3

multiplica dm3

cm3

mm3

Calcular el volumen de poliedros:

1) Volumen del cubo : se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura, pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado2.

Fórmula: V = (lado)3

2) Volumen del paralelepípedo : se calcula multiplicando la superficie de la base

por la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale:

A = largo x ancho.

48

a Fórmula: V = l . a . h h

l = largo

l a = ancho h = altura

3) Volumen del cilindro : se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C = π . r2

Fórmula: V = π . r2 . h

r = radio

h h = altura

4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la

base por la altura.

Fórmula: V = p . a . h 2

49

5) Volumen de la esfera: fórmula. V = 4 . π . r 3 3

r

6) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base

por la altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = b . h

3

50

7) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su

altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = π . r 2 . h 3

51

EJERCICIOS

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 3,4 m3 a cm3 b) 0,042 dam3 a mm3

c) 4876 m3 a hm3 d) 0,086 cm3 a dam3

e) 4 km3 a mm3 f) 18742 cm3 a dam3

Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son:

a) l = 6 m b) l = 5 cm c) l = 3 cm

d) l = 7 m e) l = 4 m f) l = 8 cm

Calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyos datos son:

a) l = 3 m b) l = 4 m c) l = 5 cm

a = 2,5 m a = 3 m a = 3 cm

h = 1,8 m h = 2 m h = 6 cm

d) l = 5 m e) l = 6 cm f) l = 7 m

a = 4 m a = 4,5 cm a = 8 m

52

h = 8 m h = 7 cm h = 10 m

Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son:

a) r = 12 cm b) r = 10 m c) r = 8 cm

h = 45 cm h = 7 m h = 5 cm

π = 3,14 π = 3,14 π = 3,14

d) r = 23 cm e) r = 14 m f) r = 9 cm

h = 30 cm h = 14 m h = 14 cm

π = 3,14 π = 3,14 π = 3,14

Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son:

1) b = 240 cm2 2) b = 124 cm2

h = 14 cm h = 16 cm

3) b = 24 m2 4) b = 45 cm2

h = 6 m h = 5 cm

Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son:

1) r = 3 cm 2) r = 4 m 3) r = 5 cm

π = 3,14 π = 3,14 π = 3,14

Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son:

53

1) r = 6 m 2) r = 8 cm 3) r = 7 m

h = 4 m h = 6 cm h = 5 m

π = 3,14 π = 3,14 π = 3,14

EJERCICIOS

Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de las si- guientes fracciones:

a) 4/10 = b) 8/100 = c) 486/1000 = d) 39/10.000 = e) 765/100 =

f) 34,2/10 = g) 2,45/100 = h) 0,0078/1000 = i) 8765/100 =

j) 78/1000 = k) 24537/10 = l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =

Determinar la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:

a) 2, 35 = b) 34, 24 = c) 4, 786 = d) 76, 345 = e) 54, 8976 =

54

f) 5, 7 6 5 = g) 45,9 87 = h) 876,98 65 = i) 9,567 87 =

Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:

a) r = 2 cm b) r = 6 cm c) r = 2,4 cm d) r = 10 cm

e) r = 3,5 cm f) r = 34 mm g) r = 45 mm h) r = 5 mts.

Dibujar los triángulos cuyos lados se dan a continuación:

a) ab = 2 cm b) ab = 19 mm c) ab = 23 mm d) ab = 4 cm ac = 2,2 cm ac = 20 mm ac = 20 mm ac = 6 cm

bc = 2 cm bc = 23 mm bc = 26 mm bc = 7 cm

Construir circunferencias de :

a) 3 cm de radio b) 23 mm de radio c) 5,3 cm de diámetro

d) 45 mm de diámetro e) 3,3 cm de radio f) 8 cm de diámetro

Construir los siguientes cuadriláteros:

55

a) Un paralelogramo :ab = 4 cm ; ad = 2 cm

b) Un rectángulo : ab = 6 cm ; ad = 2 cm

c) Un rombo :diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm

d) Un trapecio isósceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm

e) Un trapecio rectángulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm

f) Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm

Construir polígonos, cuyas circunferencias son:

a) Un triángulo, en una circunferencia de 5 cm de diámetro.

b) Un cuadrilátero, en una circunferencia de 4 cm de diámetro.

c) Un pentágono, en una circunferencia de 6 cm de diámetro.

d) Un exágono, en una circunferencia de 7 cm de diámetro.

Calcular las siguientes áreas:

a) De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm

b) De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm

c) De un cuadrado: l = 3 cm

56

d) De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm

e) De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm

f) De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm

Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a

Continuación:

a) αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm

b) αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm

c) αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm

d) αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm

e) αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm

Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:

a) 75° b)

x 45°

57

x

52°

c) 56°

x

52° 82°

En cada una de las siguientes figuras calcular el área sabiendo que:

a) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 m2.

b) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.

c) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 km2.

a) b)

c)

58

Calcular el área de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas)

a) Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm.

b) Un triángulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm.

c) Un rectángulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm.

d) Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm.

e) Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm.

f) Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 2,6 m3 a ml3 b) 0,0003 hl3 a cl3 c) 456,74 l3 a mm3

d) 3,53678 dal3 a ml3 e) 1234,65 kl3 a dl3 f) 2,4 x 102 dal3 a hl3

59

Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud:

a) 45 km a hm b) 456,3 m a km c) 1,245 mm a m d) 0,786 m a km

e) 984 dam a dm f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E…………………………………Matemática 7mo Grado. Distribuidora

Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, F ............. . Matemática 7mo Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

.

60

61