Autor: Luis . E . CamachoProfesor de Matemática

Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327

ISBN 980-345-249-5

1

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 4to semestre de Ciencias,

refleja en forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

AGRADECIMIENTOS:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

CONTENIDO

.- Sistema de coordenadas en el espacio.............4,5

.- Vectores.............6

.- Operaciones con vectores.............7,8

.- Combinación lineal de vectores..............9,10

.- Vectores linealmente dependientes e independientes............11,12

.- Dimensión y espacio vectorial..............12

.- Producto escalar de vectores.............13

.- Distancia entre dos puntos...............13,14

.- Ecuación de la recta en el espacio..............14,15,16

.- Ecuación del plano en el espacio............16,17

.- Adición y producto de matrices.............17,18

.- Clasificación de matrices.............18,19,20,21

.- Regla de Sarrus................21,22

.- Característica de una matriz..............22,23

.- Teorema Rouche-Frobenius...............23

.- Regla de Cramer..................24,25

.- Cónicas................26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37

.- Probabilidad Estadística. ..............38,39,40,41,42,43,44,45

.- Bibliografía................46

4

Sistema de Coordenadas en el espacio:

Sea E el espacio ordinario y sea R3 = {(a, b, c)/a, b, c;ε R/} donde R es el

conjunto de los números reales.

: E R3 / p (a, b, c)

Donde se va a representar a R3, con tres rectas llamadas r, s, t , donde junto con

la función , lo llamaremos sistema de coordenadas en el espacio, y a las rectas se

llamarán ejes de coordenadas. Si las tres rectas son perpendiculares entre sí,

diremos que constituyen un sistema rectangular de coordenadas.

Eje r = eje de las x

Eje s = eje de las y

Eje t = eje de la z

Z

(t)

(s) y

( r ) a

x

5

Puntos en el Espacio:

Ejemplo: Dadas las rectas paralelas A1 y A2 . (A1 // A2) y las paralelas

horizontales B1 y B2 . (B1 // B2) secantes con las primeras. Donde a, b, c, d son

puntos de corte. Representarlo gráficamente.

A1 A2

a b B1

c d B2

ab = paralelo cd y ac paralelo bd

Ejercicios:

1) Dada la recta paralela x1 y x2 y la paralela y1 secante con la primera. Donde a

y b son puntos de corte.

2) Dadas las rectas paralelas P1 y P2 y la horizontal Q1 secante con las primeras,

donde a y b son puntos de corte.

3) Dadas las paralelas R1 , R2 , R3 y las paralelas horizontales T1 y T2 Donde a, b , c,

d, e, f son puntos de corte.

6

Vector Ligado:

Llamamos vector ligado ab al segmento de la recta de4 origen a y extremo

b.

segmento

a b

Un vector ligado está determinado por:

a) Dirección ; b) Sentido ; c) Origen ; d) Módulo.

Cuando el módulo es igual a 1 se llama vector unitario y cuando es igual a cero,

vector nulo.

Componentes de un vector ligado:

El componente de un vector es el punto que tiene como abscisa la diferencia de

las abscisas y como ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que

forman el extremo y el origen.

Ejemplo: Calcular a = ( –4,7) ; b = (3,8)

ab = ( a2 – a1 , b2 – b1 ) ab = ( 3 – (-4) , 8 – 7)

ab = ( 7 , 1 )

Ejercicios:

1) a = ( 4,-7) ; b = (-5,-7) 2) a = ( 5,8) ; b = (-6,9)

3) a = ( -4,-7) ; b = (-5,9) 4) a = ( 12,8) ; b = (-6,-9)

7

Vector Libre:

Se define el vector ab al conjunto formado por todos los vectores equipolentes

ab forman la clase de dicho vector.

Vector Equipolente:

Son los que tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo.

Geométricamente son iguales.

Vector Posición:

Llamamos vector posición ab al vector de origen a, ligado al mismo origen.

Adición de Vectores:

Se define como la adición de a con b y se anota a + b el vector libre S de

componente igual a la suma de los componentes.

S = ( x1 + x2 ,y1 + y2 ) ; S = a + b = x1 + x2 , y1 + y2

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,9) ; c = (-4,6) ; d = (-4,8)

e = (-5,-7).

1) a + b 2) a + b + c 3) a + b + d

4) b + c + e 5) a + c + e 6) b + d + e

7) a + d + c 8) b + e 9) b + e + d

8

Sustracción de Vectores:

Se define la diferencia como la suma de a con el opuesto de b.

Se anota : a - b = a + (-b)

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,9) ; b = (8,5) ; c = (-6,11) ; d = (6,4)

1) a - b 2) a – c 3) a – d 4) b – c

5) b – d 6) c - d 7) c – a 8) d – b

Producto de un vector por un número real:

Dado un vector a = (x , y) un número real K, llamamos producto del número real

por el vector a, a otro vector cuyas componentes del vector por el mismo número

real K . a = (K . x , K . y).

Ejemplo: Dado el vector a = (3,-1). Hallar 3 . a ; -2 . a

3 . a = {3 . 3 , 3 . (-1)} = (9,-3)

-2 . a = {-2 . 3 , -2 . (-1)} = (-6,2)

Ejercicios: Dados los vectores a = (-4,8) ; b = (-5,8) ; c = ( 3/2 , 6/5 ) ;

d = (-4/2,-3). Hallar .

1) 3 . a 2) -5 . b 3) 3/6 . c 4) 8 . d

5) –4/5 . b 6) 2 . c 7) –4 . d 8) 7 . a

9

Combinación Lineal:

Un vector u se dice que es combinación lineal de los vectores a y b si existen

números reales p y q tales que: u = p . a + q . b

Un vector puede ser combinación lineal de más de dos vectores.

Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) y b = (-1,3). Hallar los componentes del

vector 3 . a + 2 . b

3 . a = (3 . 3, 3 . 2) = (9,6)

2 . b = ( 2 . (-1), 2 . 3 ) = (-2,6)

3 . a + 2 . b = {9+(-2),6+6} = U = (7,12)

Ejercicios:

1) Dados a = (-4,8) ; b = (3,2). Hallar: 3 . a – 4 . b

2) Dados p = ( -4,7) ; q = (3,6). Hallar: 5 . p + 4 . q

3) Dados x = (5,4) ; y = (-5,2). Hallar: 3 . x + y

4) Dados a = (3,9) ; b = (-2,-8). Hallar: 6 . a – 4 . b

Vectores Colineales:

Son los que tienen la misma dirección y por lo tanto sus componentes son

proporcionales es decir: uno es combinación lineal del otro.

10

Ejemplo: Dado el vector a = (3,4) y los vectores no colineales b = (-1,0) y c = (-3,5)

expresar a como una combinación lineal de b y c.

a = p . b + q . c (3,4) = p(-1,0) + q(-3,5)

(3,4) = (-p-3q,0 +5q) = 3 = -p- 3q despejamos q: 4 = 5q

4 = 0+ 5q q = 4/5

despejamos p: 3 = -p-3q--------- 3 = -p-3(4/5)

3 = -p –12 -------- p = -12 – 3 = p = -27

5 5 5

empleamos una combinación: a = - 27 b + 4 c

5 5

Ejercicios:

1) Expresar a = (3,5) como combinación lineal de b = (4,3) y c = (-2,1)

2) Expresar c = (-3,2) como combinación lineal de z = (2,1) y t = (3,5)

3) Expresar h = (-4,3) como combinación lineal de a = (2,3) y b = (-3,-1)

4) Expresar a = (3,7) como combinación lineal de b = (5,4) y c = (-3,5)

11

Vectores Linealmente Dependientes:

Son vectores linealmente dependientes, ya que existe una relación directa entre

dos vectores dados inicialmente, con dos escalares no nulos ambos, por lo tanto, si

en algún caso existe un escalar no nulo, son linealmente dependientes.

Ejemplo: Demostrar que x + y – 3 z , x + 3 y – z , y + z son

dependientes.

Son dependientes si existen escalares 1 , 2 , 3 no todos nulos.

1 (x + y -3 z ) + 2 ( x + 3 y - z ) + 3 ( y + z )

1 x + 1 y - 31 z + 2 x + 32 y - 2 z + 3 y + 3 z = 0

Se asocian los vectores x , y , z , luego se eliminan los vectores x, y, z

1 + 2 = 0

1 + 32 + 3 = 0

-31 - 2 + 3 = 0

Se verifica si son dependientes sustituyendo por varios valores en las ecuaciones

dadas.

1 = - 2 3 = - 1 - 32 2 = 31 - 33

12

Vectores Linealmente Independientes:

Son vectores linealmente independientes, ya que en un sistema de dos ecuaciones

y tres incógnitas, por ejemplo, es determinado, es decir, admite únicamente una

solución y formar una base de R3.

Ejercicios: Demostrar los vectores linealmente dependientes e independientes:

1) x + y +2 z , 4 x – 3 z , 2 x + 7 y

2) 2 x + 3 y – z , 3 y – 4 z , x + y - z

3) 4 x – 2 y + 3 z , 5 x + 4 y - z

4) x - y - z , 2 x + 3 y + 2 z , x + z

Dimensión y base de un espacio vectorial:

Como cualquier vector en el plano puede expresarse como una combinación

linealmente independiente, en caso contrario no forman una base de R3.

Vectores Ortogonales:

Se dice que dos vectores no nulos x e y son ortogonales si x . y = 0.

Vectores Unitarios:

Un vector x se dice que es unitario si / x / = 1.

13

Producto escalar o interior de vectores:

Sean x = ( x1, x2, x3) e y = (y1, y2,y3) vectores de R3. Definimos como producto

escalar de dos vectores x e y , y lo denotamos por x . y al numero

x . y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .

Distancia entre dos puntos en R3:

Sean p y q dos puntos de R3 si p, tiene coordenadas (x1, y1, z1) y q tiene

coordenadas (x2, y2, z2 ) entonces pq = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) y se define la

distancia entre p y q por:

d(p, q) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 + (z2 – z1)2

Ejemplo: Ubica los puntos en el plano y calcula el perímetro de:

y

2 P1(3,2)

1

P3(3,0)

0 1 2 3 x

-1 P2(1,-1)

d(P1,P2) = (1-3)2 + (-1-2)2 = (-2)2 + (-3)2 = 13

14

d(P2,P3) = (3-1)2 + (0+1)2 = 22+ 12 = 5

d(P3,P1) = (3-3)2 + (2-0)2 = 02+ 22 = 2

Ejercicios:

1) P1(2,4) P2(2,5) P3(2,5) 2) P1(3,-2) P2(-2,4) P3(-1,2)

3) P1(-3,6) P2(2,1) P3(-3,6) 4) P1(-4,7) P2(-4,8) P3(2,4)

5) P1(5,8) P2(1,2) P3(-4,7) 6) P1(5,6) P2(3,5) P3(-1,4)

Ecuación de la recta en el espacio:

Se llama recta que pasa por el punto P0(x0 , y0, z0) y de dirección a = (a1, a2, a3)

y se denota por L a (P0) al conjunto.

L a (P0) = { P R3 / OP = OP + a , con R }

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas 3x – 2y = 0 y 4x + 3y + 17 = 0 y por el punto (3,4)

3x – 2y = 0 3 3x – 2y = 0 9x – 6y = 0

4x + 3y = -17 2 4x + 3y = -17 8x + 6y = -34

17x = -34

x = -34/17

x = -2

15

3x – 2y = 0 3(-2) – 2y = 0 -6 – 2y = 0

y = 6/-2 y = -3

Cálculo de la ecuación: y – y1 = y2 – y1 (x – x1)

x – x1

x1 = -2

x2 = - 3 y – (-3) = 4 – (-3) (x – (-2))

y1 = -3 3 – (-2)

y2 = 4 y + 3 = 4 + 3 (x + 2) y + 3 = 7 (x + 2)

3 + 2 5

5y + 15 = 7x +14

5y – 7x = 14 – 15

5y – 7x – 1 = 0

Ejercicios:

a) 2x + y = 4 b) 2x + y = 4

3x + 2y = 1 3x + 2y = -1

c) 2x + 4y = 2 d) 3x – y = 5

x + 2y = 4 2x + y = 10

16

2) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 3 y pasa por la

intersección de las rectas 2x + y + 2 = 0 y x + 3y + 11 = 0.

2x + y = -2 2x + y = -2

-2 x + 3y = -11 -2x – 6y = 22

-5y = 20

y = 20 = y = -4

-5

2x + y = -2 2x + (-4) = -2 x = -2 + 4

2

x = 2 x = 1 punto: (1 , -4)

2

m = 3 y – y1 = m(x – x1) y – (-4) = 3(x – 1)

x1 = 1 y + 4 = 3x - 3

x2 = - 4 3x – y – 7 = 0

Ecuación del plano en el espacio:

El plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0) y tiene vector normal n = (a, b, c)

Se denota por π n (P0) y es el conjunto π n (P0) = { P ε R3 : P0P . n = 0 }

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – zo) = 0

ecuación general: ax + by + cz = d

d = ax0 + by0 + cz0

17

Ejemplo: Reducir la ecuación 3x + 4y – 6 = 0 a forma normal.

Ax + Bx + C

± A2 + B2 ± A2 + B2 ± A2 + B2

32 + 42 = 25 = 5

entonces: 3x + 4y - 6 = 0

5 5 5

Ejemplo: Hallar la distancia desde el origen a la recta 3x – 4y + 6 = 0

p = - C p = - 6

± A2 + B2 32 + 42

p = - 6 p = 6/5

25

Adición y Producto de Matrices:

Llamamos matriz rectangular, a un cuadro de números puestos en filas y

columnas.

Menor de un Matriz:

Son las matrices cuadradas que podemos formar con los elementos de la matriz

rectangular desde el orden 1 hasta el máximo orden que permita la matriz.

Las determinantes formadas por un menor más otra fila y otra columna se llaman

determinantes “orlados”.

18

Característica de una Matriz o Rango:

Es el número que representa el orden máximo del menor no nulo.

Cálculo:

1) Se eliminan todas las líneas que sean combinación lineal de otras.

2) Se toma la 1ra fila como referencia y se estudia la segunda formada

determinantes de segundo orden. Si aparece uno de ellos diferentes de cero se

pasa a estudiar la 3ra fila, pero si todos los determinantes que se puedan

formar con los elementos de la segunda fila son nulos, esta segunda fila es

combinación lineal y se tacha.

3) Se desarrollan determinantes de 3er orden “orlando” el 2do no nulo. Si alguno

de los de 3er orden resulta diferente de cero se pasa a estudiar la 4ta fila, pero

si todos los de 3er orden son nulos, esta fila es combinación lineal y se tacha.

4) La característica será el número que representa el orden máximo del menor

no nulo.

Matriz Fila: es una matriz de orden 1 x n . O sea de la forma M = (a11,a12...an)

Matriz Columna: es una matriz de orden m x 1 . O sea de la forma:

a11

M = a12

an

19

Matriz Cuadrada: son las que tienen el mismo número de filas y columnas. Son

del orden m x n / m = n,0.

Matriz Diagonal: es una matriz cuadrada, donde aij = 0 para i ≠ j.

1 0 0

M = 0 4 0 matriz diagonal de orden 3.

0 0 -2

Matriz Identidad: es una matriz cuadrada tal que aij = 1 si i = j ; aij = 0

Para i ≠ j.

1 0 0 ....0

0 1 0.....0

I = 0 0 1..... 0

0 0 0 1

Adición de Matrices:

Sean las matrices M, N ε Mmxn tales que:

a1 a2 .....an1 b1 b2…..bn1

M = a2 a4.....an2 N = b2 b4…..bn2

am1 am2 amn bm1 bm2 bmn

20

Se define la suma de cada uno de los números de ambas matrices, respetando

estrictamente el orden de colocación, fila y columna de ambas matrices.

a1 + b1 a2 + b2 ......an1 + bn1

M + N = a2 + b2 a4 + b4.......an2 + bn2

am1 + bm1 am2+bm2 amn + bmn

Ejemplo: Hallar la suma de las matrices.

2 2 2 2 1 2

M = 3 2 1 N = 1 3 2

4 1 3 1 1 2

2+2 2+1 2+2 4 3 4

M + N = 3+1 2+3 1+2 M + N = 4 5 3

4+1 1+1 3+2 5 2 5

Ejercicios: Dadas las siguientes matrices:

3 5 -2 -3 6 5 -3 5 7

A = 2 4 0 B = 0 2 9 C = -2 -2 9

2 7 -1 1 3 9 6 3 0

-4 3 8 0 7 4 -8 5 3

D = 7 5 1 E = -1 3 -5 F = 9 0 6

5 4 0 9 0 1 1 2 3

21

Hallar:

1) A + B 2) A + C 3) A + D 4) A + E

5) A + F 6) B + C 7) B + E 8) B + F

9) C + D 10) C + E 11) C + F 12) D + F

Regla de Sarrus:

Regla: se escriben ordenadamente la primera y segunda fila o columna al lado del

determinante dado.

El resultado es igual a la suma algebraica del producto de los elementos de las

diagonales principales menos la suma algebraica del producto de las diagonales

secundarias.

Ejemplo: Calcular el valor de la determinante.

3 5 1

2 6 2

1 3 2

3 5 1 3 5

2 6 2 2 6 = 3 . 6 . 2 + 5 . 2 . 1 + 1 . 2 . 3 – { 1 . 6 . 1 + 2 . 3 . 3 +

1 3 2 1 3 5 . 2 . 2}

= 36 + 10 + 6 – (6 + 18 +20) = 52 – 44 = 8

22

Ejercicios. Calcular el valor de las siguientes determinantes:

1) 2 4 -3 2) -1 2 8 3) -4 5 8

2 1 0 9 4 2 0 3 -3

4 9 1 7 1 4 4 2 1

4) -1 2 7 5) 4 9 0 6) -2 -6 7

2 4 7 2 0 1 9 4 7

6 8 2 2 1 6 6 8 2

Característica de una Matriz:

1 1 -1 2 referencia primera fila: (1 1 -1 2) 1er orden

2 3 1 -1 estudiamos 2da fila. 1 1 = 3 – 2 = 1 ≠ 0

3 1 0 3 2 3

2do orden diferente de cero, pasamos a la 3ra fila.

1 1 -1 se aplica Sarrus: 1 1 -1 1 1

2 3 1 2 3 1 2 3 =

3 1 0 3 1 0 3 1

(1 . 3 . 0 + 1 . 1 . 3 – 1 . 2 . 1) – (-1 . 3 . 3 + 1 . 1 .1 + 1 . 2 .0)=

0 + 3 – 2 – (- 9 + 1 + 0) = 1 + 9 – 1 + 0 = 9 ≠ 0

Como no se puede formar de 4to orden la característica es 3.

23

Ejercicios: Hallar la características de las Matrices:

1) 6 0 3 2) 5 -1 8 3) 0 6 3

-3 1 2 8 2 4 -5 2 6

2 5 7 -5 8 2 0 7 1

4) 1 2 7 5) 7 1 -5 6) 9 1 0

2 -4 5 0 2 7 2 5 1

2 6 -1 9 -2 2 0 6 1

Teorema Rouche-Frobenius:

La condición necesaria y suficiente para que un sistema formado por “n”

ecuaciones lineales (de primer grado) con “m” incógnitas sea compatible es que la

matriz formada por los coeficientes de las incógnitas y la matriz ampliada con los

términos independientes tengan la misma característica.

.- Cuando las características de las matrices son iguales el sistema es compatible.

.- Si las características son iguales y coinciden con el número de incógnitas es

determinado.

.- Si las características son iguales pero menores que el número de incógnitas es

indeterminado.

.- Si las características ampliada es mayor que la de los coeficientes es incompatible.

24

Teorema de Cramer:

Un determinante es igual a la suma algebraica de los productos de cada uno de

los elementos de una de sus líneas por sus adjuntos respectivos. El adjunto de un

elemento es el menor complementario de dicho elemento afectado del signo más o

menos según la suma de los números que indican la fila y la columna sean par o

impar.

Ejemplo: Desarrollar el siguiente determinante por los adjuntos de la primera

columna.

3 1 3 1 2 -1 2 1 3 1

-1 2 -1 2 (3) -1 2 3 + (- 1) - -1 2 3

2 -1 2 3 4 5 2 4 5 2

3 4 5 2 1 3 1 1 3 1

+ (2) 2 -1 2 + (3) - 2 -1 2 =

4 5 2 -1 2 3

3{-3 + 4 –6 – (1 + 18 + 4)} = 3(-62) + (18) + 2(14) – 3(-28) =

-186 +18 + 28 + 84 = - 56

25

Ejercicios:

1) 4 2 4 1 2) 1 2 6 0 3) 2 4 8 0

-1 2 6 7 0 -4 6 4 -3 7 1 5

3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1

1 6 -2 8 1 6 -2 8 1 6 -2 8

4) 2 -1 6 7 5) 0 5 1 9 6) -3 9 0 5

0 3 1 4 0 3 1 4 0 3 1 4

1 3 5 3 8 1 2 8 1 9 0 1

-7 2 7 1 -7 2 7 1 -7 2 7 1

26

Lugar Geométrico: Sea f(x , y) una función de dos variables definida en un sistema

de coordenadas XY. Se ha de comprobar que al resolver la ecuación f(x , y) = 0 se

obtiene un conjunto de puntos del plano que definen una curva en el mismo.

El conjunto de los puntos del plano que satisfacen la ecuación f(x , y) = 0, recibe

el nombre de lugar geométrico y a la ecuación f(x , y) = 0 se le denomina ecuación

del lugar geométrico.

Secciones Cónicas: Se llama sección cónica al conjunto de puntos que forman la

intersección de un plano como un cono de revolución de dos mantos.

L

α

P

27

a.- Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es un punto o una

circunferencia según el plano pase o no pase por el vértice del cono.

L

Circunferencia

b.- Si el plano no es perpendicular al eje, pero corta a todas las generatrices, la

intersección es una elipse. L

Elipse

28

c.- Si el plano es paralelo a una generatriz y corta a todas las demás generatrices, la

intersección es una parábola.

L

Parábola

d.- Si el plano corta a los dos mantos del cono y no pasa por el vértice, la

intersección es una hipérbola. L

Hipérbola

29

La Circunferencia: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del

plano que están a una distancia “r” de otro punto dado C . r es el radio de la

circunferencia y el punto C es el centro de la misma.

y

P(x,y)

r

C(h,k)

X

dcp = (x – h)2 + (y – k)2 Esta distancia es igual a r:

r = (x – h)2 + (y – k)2 Elevando al cuadrado obtenemos:

(x – h)2 + (y – k)2 = r2

30

Ejercicios: Dibuja la gráfica de la ecuación.

a.- (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9

y

r = 3

2 * (3,2)

1

3 x

Las coordenadas del centro son (3,2) y el radio es r = 9 = 3

31

b.- x2 + (y + 1)2 – 7 = 0 y

r = 7

(0,-1) x

32

La Elipse: La elipse es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la

suma de las distancias a dos puntos dados de dicho plano, llamados focos, es

constante.

Ejercicios:

a.- Dada la ecuación de la elipse x2 + y2 = 1 , determina sus vértices, sus focos, la 9 4

longitud de sus ejes y la excentricidad. Dibuja la gráfica de la curva.

A2 = 9 a = ± 3 b2 = 4 b = ± 2

Los vértices son A(3,0) ; A’ (-3,0) ; B(0,b) y B’(0,-b)

a2 – c2 = b2 donde c2 = a2 – b2 o sea c2 = 9 – 4 c = ± 5

los focos son F( 5 , 0) y F´ ( - 5 , 0)

La excentricidad es e = c = 5 a 3

y

B(0,2)

A(-3,0) F’ F A(3,0) x

B(0,-2)

33

b.- La ecuación de una elipse es: 9y2 + 25x2 = 225

y2 + x2 = 1 A(0,5) A´ (0,-5) B(3,0) B´(-3,0)9 25

y

A(0,5)

B´(-3,0) B(3,0) x

A´(0,-5)

34

La Hipérbola : La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano que

cumplan con la condición de que el valor absoluto de la diferencia de distancias a

dos puntos fijos F y F´, llamados focos de la hipérbola, es una constante positiva.

Ejercicio: Determina la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ± 2 y sus

vértices son V(0,4) y V´(0,-4). La ecuación de la hipérbola es de la forma:

y2 – x2 = 1 b = a b = 4/2 b = 2 a2 b2 2

y2 – x2 = 1 donde: c2 = 16+4 = 20 c = ± 20 c = ± 2 516 4

Focos: F(0, 2 5 ) F´(0, -2 5)

y

Y = 2x

V

a = 4

b = 2 x

V´

y = -2x

35

La Parábola: La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a

una misma distancia de un punto dado F llamado foco y de una recta dada L llamada

directriz.

Ejercicio: Determina la ecuación de la parábola que cumple con las condiciones

dadas.

a) Vértice en el origen y foco en F(3,0)

b) Vértice en el origen y directriz y – 1 = 0

.

a) y2 = 4 . 3x y2 = 12x la ecuación de la directriz es y = -3

x 1 2 3

y ± 2 √ 3 ± 2 √6 ± 6

36

y

8

7

6 y2 = 12x

5

4

3

2

1

F(3,0)

y =3

37

b.- Calculo de la directriz: y = 1

p = - 1 F(0,-1) x2 = 4py x2 = -4y

y -1 -2 -3 -4

x ±2 ± 2 √ 2 ± 2 √ 3 ± 4

y y = 1

x

-1 F(0,-1)

-2

-3

x2 = -4y

38

Probabilidad Estadística:

1.- Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20

azules y 15 naranjas. Halle la probabilidad de que sea:

a.- Naranja: p(N) = 15 p(N)= 0,20 p(N)= 20% 75

b.- No sea roja o azul: p ( R ) ó p(A)

p R = 10 75

p(A)= 20 p R ó p(A) = 10 + 20 = 30 = 40% 75 75 75

c.- No Azul: p(A) = 20 = 0,26 = 26.6%

75

d.- Blanca : p(B) = 30 = p(B) = 40% 75

e.- Roja, blanca o azul : p ( R ) ó p (B) ó p(A) = 60

75

39

Distribución Binomial:

2.- ¿ Cuál es la probabilidad de contestar correctamente al menos 6 de las 10

preguntas de un examen verdadero o falso?

x ≥ 6 p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

P(contestar) = 6 ---------60% p= 0,60 n = 10 n – x = 4

P( no contestar) = 4 ---- 40% q= 0,40

P(x=6) = (10/6) . (0,60)6 . (0,40)4

C10,6 = 10! C 10,6 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! =

6! 4! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

C10,6 = 210 p (x=6) = 210 . (0,046656). (0,0256)

p(x=6) = 0,2508226

p(x=7) = C10,7 . (0,70)7 . (0,30)3

p = 7----0,70 C10,7 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! = 120q= 3-----0,30 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=7) = 120. (0,70)7 .(0,30)3

P(x=7) = 120 . (0,0823543).(0,027) = P(x=7)= 0,2668279

40

P(x= 8) = C10,8 . (0,80)8 . (0,20)2

P = 8----0,80 C10,8 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! = 45

q=2----0,20 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=8) = 45 . (0,167772)8 . (0,04)2

P(x=8) =0,3019896

P(x=9)= C10,9 .(0,90)9 . (0,10)1

p=9---0,90 C10,9 = 10! 9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! = 10q=1---0,10

9! 8! 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1!

P(x=9) = 10 . (0,387420) . (0,10)P(x=9) = 0,387420

P(x=10)= C10,10 . (1)10 . (1)0

C10,10 = V10,10

= 1 p(x=10) = 1 . 1 .1 p10

p(x=10) = 1

p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+p(x=10)= 0,2508226+0,2668279+

0,3019896+0,387420 = p(x ≥ 6) = 2,207

41

3.- Halle la probabilidad de: a.- 2 ó más caras; b.- menos de 4 caras en un

lanzamiento de 6 monedas.

a.- 2 ó más caras: p(x ≥ 2)

p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10

p=2--- 0,16 C 12,2 = 12! 11! = 66q=10---0,84

2! 1!

P(x=2)= 66 . (0,0256). (071490)P(x=2)= 0,29551

P(x=3) = C12,3 . (0,25)3 . (0,75)9 C 12,3 = 12! 11! 10! = 220

3! 2! 1!p(x=3) = 0,25808

P(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8

p=4---0,33q=8---0,67 C12,4 = 12! 11! 10! 9! = 495 4! 3! 2! 1!

P(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)

P(x=4) = 0,23833

42

P(x=5)= C12,5 . (0,42)5 . (0,58)7 p=5---0,42 q=7---0,58

p(x=5)= 792 . (0,01306) . (0,02207)

p(x=5)= 0,22828

p(x=6)= C12,6 . (0,50)5 . (0,50)7 p=6---0,50 q=6---0,50

p(x=6)= 924 . (0,015625) . (0.015625)

p(x=6)= 0,22558

p(x=7)= C 12,7 . (0,58)7 .(0,42)5

p(x=7)= 792 . (0,02207) . (0,01306) p=7---0,58q=5---0,42

p(x=7)= 0,22828

p(x=8)= C12,8 . (0,66)8 . (0,34)4

p(x=8)= 495 . (0,03600) . (0,01336)

p(x=8)= 0,23813

P(x=9)= C 12,9 . (0,75)9 . (0,25)3

p(x=9)= 220 . (0,07508) . (0,015625)

p(x=9)= 0,25808

43

P(x=10)= C12,10 . ( 0,83)10 . (0,17)2

p(x=10)= 66 . (0,15516) . (0,0289)

p(x=10)= 0,29595

p(x=11)= C12,11 . (0,92)11 . (0,08)1

p(x=11)= 12 . (0,39963) . (0,08)

p(x=11)= 0,38364

P(x=12)= C12,0 . ( 1)12 . (0)0

p(x=12)= 1 . 1 .0

p(x=12)= 0

p(x=2)+p(x=3)+p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)+p(x=7)+p(x=8)+p(x=9)+

p(x=10)+p(x=11)+p(x=12)

p(x ≥ 12) = 2,649

b.- Menos de 4 caras: p(x < 4)

p(x=4)= C12,4 . (0,33)4 . (0,67)8

p(x=4)= 495 . (0,011859) . (0,04060)

p(x=4)= 0,23833

44

p(x=3)= C 12,3 . (0,25)3 . ( 0,75)9

p(x=3)= 220 . (0,015625) . (0,07508)

p(x=3)= 0,25808

p(x=2)= C12,2 . (0,16)2 . (0,84)10

p(x=2)= 66 . (0,0256) . (0,17490)

p(x=2)= 0,29551

p(x=1)= C12,1 . (0,08)1 . (0,92)11

p(x=1)= 12 . (0.08) . (0,39963)

p(x=1) = 0,38365

p(x=4)+p(x=3)+p(x=2)+p(x=1) = 0,23833+0,25808+0,29551+0,38365 = 1,17

4.- El 30% de piezas producidas por una máquina presentan defectos.

Halle la probabilidad de que 5 piezas elegidas al azar:

a.- 1 p(x=1)= C5,1 . (0,30)1 . (0,70)4

n =5p(defectuosos)= 30%---p C = 5! = 5 5,1!p(no defectuosos)=70%--q

45

P(x =1)= 5 . (0,30) . (0,2401)

P(x =1)= 0,3601b.- Ninguna: p(x =0)= 1 . (0)0 . (1)5

p =0 p(x =0)= 1.0.1 p(defectuosas)=0---0%q=5n=5 p(x=0)= 0 p(no defectuosas)=5---1%

c.- A lo sumo 2 piezas defectuosas:

p(x=2)+p(x=1)+p(x=0)

p(x=2)= C . (0,40)2 . (0,60)3

5,2

C = 5! 4! = 10 5,2 2! 1!

P(x=2)= 10 . (0,16) .(0,216)

P(x=2)= 0,3456

P(x=0)= 1 . (0)0 . (1)5

P(x=0)= 0

46

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E………………………………….900 Problemas Resueltos para 5to Año

Distribuidora Zacarias. Caracas.

Venezuela. 1980.

FIGUERA YIBIRIN, Júpiter.........................Matemática 2do Diversificado.

Ediciones CO-BO. Caracas.

Venezuela. 1996