CAPTULO I

PAGE

VII.NMEROS COMPLEJOS1. UNIDAD IMAGINARIA :

i

Observacin :

Pot. Positivas

Pot. Negativas

i4k = 1

i 4k = 1

i4k+1 = i

i-(4k+1) = i1 = i

i4k+2 = -1

i-(4k+2) = i2 = -1

i4k+3 = -i

i-(4k+3) = i3 = i

2. NMERO COMPLEJO:.

Tienen una parte real y una parte imaginaria. Se representan por Z mayscula:

Z = a + bi = (a, b) ( a, b ( R

3. COMPLEJO PURO:

No tiene parte real.

Z = bi

4. COMPLEJO REAL:

No tiene parte imaginaria.

Z = a

5. COMPLEJO NULO:

No tiene ni parte real ni parte imaginaria.

Z = O

6. Conjugado de un Complejo ( )

Se cambia de signo la parte imaginaria.

Si : Z = a + bi ( = a bi

7. Complejo Opuesto:

Se cambian ambos signos.

z = a+bi ( -z = -a -bi

8. FORMA POLAR TRIGONOMTRICA DE UN COMPLEJO

|Z| = mdulo

( = argumento

Luego a = |Z| Cos( b = |Z| Sen( Z = a + bi

Z = |Z| (Cos( + Sen(i)

Clculo de |Z|:

|Z| =

Clculo de (:

9. OPERACIONES:

Sea : Z1 = |Z1| (Cos(1 + iSen(1)

Z2 = |Z2| (Cos (2 + iSen(2)

9.1. Multiplicacin :

Z=Z1.Z2=|Z1||Z2|[Cos((1+(2)+iSen((1+(2)]

9.2. Divisin:

Z =

9.3. Potenciacin: (n(Z+

Zn = |Z|n [Cos (n() + i Sen(n()]

9.4. Radicacin:

Z1/n = |Z|1/n [Cos +iSen

n ( Z+ y K = 0,1,2, ....., n-1

RESUMEN:

i =

(1 + i)2 = 2i

(1 - i)2 = -2i

i-n =

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Escribe en forma polar o trigonomtrica el siguiente complejo.

Z = 3 + 4i

Solucin:

|Z| =

Tg ( =

Luego : ( = 360 - 53 = 307

( Z = 3 4i = 5(Cos307+ iSen307)

2) Representa en su forma cartesiana:

Z = 2(Cos120 + iSen120)Solucin:

Cos120 = -Cos60= -

Sen120 = Sen60=

( Z=2(Cos120+iSen120)=

( Z = -1 + i

3) Suma:

S=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+(4+i4)+.+(4n+i4n)Solucin:S=(1+2+3+4+ .+4n) + (i+i2+i3+i4 +.i4n)

S =

S = 2n(4n+1)

4) Halla un complejo cuyo conjugado multiplicado por (1+i) da el complejo.

Solucin:Sea el complejo: Z = a + bi ( = a bi

Luego:

(a +bi) (1+i) =

a + ai bi + b =

(a + b) + (a-b)i = 33 39i

( a + b = 33

a b = -39

a = -3

b = 36

( Z = a + bi = -3 + 36i

5) Reduce:

Solucin:Recordando potencias naturales de i, tenemos:

W = 2 + i I

W = 26) Reduce:

Solucin:Multiplicamos en aspa:

Luego multiplicamos por su base conjugada:

7) Reduce:

Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8Solucin:Z =

Z = [2i]2 + [-2i]2 + [2i]4Z = 4i2 + 4i2 + 16i4Z = 4(-1) + 4(-1) + 16(1)

Z = -4 + -4 + 16

Z = 8

8) Halla la raz cuadrada de 3 + 4i

Solucin:

3+4i = x2 + 2xyi + y2+ i2 3+4i = (x2-y2)+2xyi

(x2-y2)2 = (3)2 (2xy)2 = (4)2x4-2x2y2+y4 = 9 +

4x2y2 = 16 sumamos

x4+2x2y2+y4=25

(x2+y2)2 = 25

x2 + y2 = 5

x2 - y2 = 3 sumamos

2x2 = 8

x2 = 4

x = (2

x2 + y2 = 5 restamos

x2 - y2 = 3

2y2 = 2

y = (1

(

9) Calcula el valor de: z = si es imaginario puro.

Solucin:Z =

Z =

Pero (condicin)

, luego: z =

PRCTICA DIRIGIDA N071) (3-4

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 52)+

a) 2

b) 2i

c) 2i

d) 2

e) N.A.

3)

a) 13

b) 14

c) 15

d) 18

e) 174)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 55)

a) 6

b) 5

c) 4

d) 3

e) 26)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 57) x 25 +29i

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 58) Representa en forma polar:

Z= i

...........................................................

9) Si Z1 = 16(cos60 + iSen60)

Z2 = 2(cos30 + iSen30)

Calcula :

a) Z1 x Z2b) Z1 ( Z2

10) Simplifica:

a) 1 b) 2

c) 1

d) 2e) -3

11) Simplifica:

a) 16

b) 2

c) 10

d) 8

e) 13

12) Calcula b para que el cociente sea real.

a) 2

b) 3

c) -4

d) 5

e) -6

13).- Sea el complejo z = 1 + i

Calcular z12a) 62

b) 64

c) -60

d) 58

e) -63

14).- Calcular el valor ms simple de :

N = donde i = (0; 1)

a) 2

b) 3

c) 7

d) 11

e) 915) Efecta:

P = (5+3i) (4-2i) (1+i) (6-7i)

a) 120

b) 240 c) 340

d) 440

e) N.A.

16).- Simplificar la expresin :

; a + b ( -1

a) z = a + i

b) z = b + i

c) z = b 2a + i

d) z = b i

e) N.A.17) Simplifica:

G = 2-50 (1+ i )101 + (1+i)

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) i

18) Simplifica:

a)

b) 1/16

c) 16

d) 1/32

e) 8

19) Simplifica:

a) 1

b) 2

c) i

d) 2i

e) 0

20).- Escribe en forma cartesiana el siguiente complejo:

a) +1b) - i c) +i

d) 2-i

e) N.A.

21).- Simplifica: Z =

a) 1

b) 8i

c) 2

d) Tg45n e) in22).- Efecta : W =

a)

b)

c) -i

d) i

e) N.A.23).- Resuelve :

Z = (1 + i)127a) 2120 (1+i)

b)

c) 263(a+i)

d) 256(1+i)

e) 2126(1+i)

24).- Simplificar :

a) 2i

b) I

c) -i

d) 3i

e) N.A

25).- El complejo:

es equivalente a:

a)

b)

c) 1 +

d) 4+4i

e) 2+2i26).- El mdulo de la siguiente operacin:

; es:

a) 1

b) 2

c)

d) 2

e) 14

27).- Calcula: M = (1 + i)4 + (1 - i)4a) 0

b) 8

c) 4i

d) 4i

e) 8

28).- Calcula: R =

a) 3

b) 2i

c) 2i

d) 2

e) 0

29).- Calcula: M =

a) 2ib) 5ic) 0d) 2e) 4

30).- Efecta:

A = i1 + i2 + i3 + i4 + i5 ++ i2003a) 0

b) 1

c) 1

d) I

e) -i

31).- Halla el valor de n[(1 + i)9 + (1 - i)9 ] n = 1024

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

32).- Dado los complejos:

Z1 = 4(Cos25 + iSen25)

Z2 = 2(Cos70 + iSen70)

Calcula:

a) (1 - i)

b) 2(1 + i)

c) 2(1 - i)

d) 1 + i

e) (1 + i)

33).- Efecta:

a) 1

b) i c) 1 i

d) i

e) 1 - i

34).- Si: |Z| = , halla el valor de:

R = |1 + Z|2 + |1 - |2

a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

CLAVES DE RESPUESTAS1) c

2) b

3) e

4) b

5) a

6) c

7) c

8) --

9) --

10)d

11)a

12)c

13)b

14)a

15)c

16)a

17)a

18)b

19)a

20)c

21)e

22)c

23)b

24)a

25)e

26)b

27)b

28)d

29)c

30)c

31)b

32)a

33)b

34)b

VIII.MATRIZ Y DETERMINANTES:1. MATRIZEs un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.

As una matriz tiene la siguiente forma general:

a11a12. . . . aij . . . . a1n

a21a22. . . . a2j . . . . a2n

a21a12. . . . aij . . . . a1n

am1am2. . . . amj . . . amnDonde : a11, a12, .... a21, a22,.....am1, am2....amnse llaman elementos de la matriz A.

aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.

1.1. Orden de la matriz :

Si una matriz tiene m filas y n columnas entonces se dice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (no se efecta)

As la matriz A se puede denotar :

Donde : m, n ( Z+

i = {1; 2; 3;...;m}

j = {1; 2; 3; ...; n}

Ejemplo : Escribir explcitamente la matriz :

A = (aij) 2x3 /aij = 2i-j

1.2. Matriz Columna :

Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir es de orden mx1.

Ejemplo : A =

1.3. Matriz Fila :

Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n.

Ejemplo : B = (2 4 6)1 x 31.4. Matriz Nula :

Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y se denota por (.

Ejemplo :( =

1.5. Matriz Cuadrada :

Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmero de columnas y se denota :

A = (aij)nxn A = (aij)nEjemplo :

A =

Traza de una matriz cuadrada : Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Sea la matriz : A =(aij) ( Traz(A) =

As en el ejemplo anterior :

Traz (A) = 3 + 2 + 1 = 6

1.6. Matriz Identidad :

Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por ln

ln = (aij) / aij =

Ejemplos:

l2 =

1.7. RELACIONES ENTRE MATRICES:

a) Igualdad de matrices : Dos matrices son iguales si y solo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales :

As dadas las matrices :

A = (aij)m x n ; B=(bij)m x nA = B ( aij = bij ; (i ; (j

Ejemplo : Calcula : x - y, si las matrices :

A = son iguales

Resolviendo obtenemos:

X = 5

Y = 1

X Y = 5 1 = 4

b) Transpuesta de una matriz : La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) , es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz A.

Ejemplo :

A =

c) Matrices Opuestas : Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y adems sus respectivos elementos son opuestos.

A=( su opuesta es: -A =

d) Matriz Simtrica : Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simtrica.

Ejemplo :

A = ( At =

como : A = At ( A es simtrica

e) Matriz Antisimtrica : Si una matriz es iguala al negativo de su transpuesta se llama antisimtrica.

Ejemplo :

A = ( At =

( -At =

Como : A = -At ( A es antisimtrica.

Obs.- Los elementos de la diagonal principal son iguales a cero.

1.8. oPERACIONES CON MATRICES :

a) Adicin de matrices :

Sean las matrices A = (aij) mxn y B=(bij) mxnLuego la matriz suma de A y B es :

A + B =(aij + bij) m x n

Ejemplos : sean :

A =

( A + B =

Obs :

A - B = A+(-B)

A + B = B + A

(A + B) + C = A + (B + C)

A +( = ( + A = A

b) Multiplicacin de matrices :

Multiplicacin de un escalar por una matriz:

Sea: A = (aij)m x n ( KA = (kaij) m x nEjemplo :

Sea :z

A = (8A

=

Multiplicacin de una matriz fila por una matriz columna .

Sean las matrices :

A = (a1 a2 a3 .....an( ; B =

( A x B = (a1b1 + a2b2 + .... + anbn) =

Ejemplo : sean :

A = (1 3 2( ; B =

( A x B = 1 x 4 + 3(-2) + 2 x 5 = ( 8 ( Multiplicacin de matrices :

Sean las matrices :

A = (aij)m x n ; B =(bjk)n x pEntonces se define : A x B = (cij)m x pdonde cij resulta de multiplicar la i-esima fila de A por la j-sima columna de B.

Obs. Slo se puede hallar el producto A. B si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.

Ejemplo . Sean las matrices :

A =

( C = A x B =

C11 = 3.4 + 2(-1) =10 C21=(-1)(4)+(4-1) = -8

C12 = 3.3 + 2.2 = 13 C22= (-1)(3) + 4.2 = 5

C13 = 3.1+2.2 =7 C23=(-1)(1)+4.2 = 7

Entonces :

AB =

PROPIEDADES :

1) ( A ( B )t = At ( Bt2) ( At ) t = A

3) ( AB )t = Bt At4) (KA)t = KAt5) K( A+B ) = KA+KB

6) A( B+C ) = AB + AC

( B + C )A = BA + CA

7) ( AB )C = A( BC )

8) En general AB son necesariamente igual a BA.

Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden entonces :

A y B conmutan o son conmutativos( AB=BA

A y B son anticonmutativos ( AB = -BA

9) AI = IA =A

10) ln = l

11) Si : AB = AC no implica que B=C

12) A es una matriz idempotente si A2 =A

13) A es una matriz involutiva si A2 = 1

14) A es una matriz nilpotente si A = (2. DETERMINANTES

2.1. Definicin :

Se llama determinante a un valor escalar que se le asocia a cada matriz cuadrada, y se denota por : |A| Det (A) para indicar el determinante de una matriz A.

2.2. Determinante de una matriz de orden 2x2.

Sea la matriz : A =

( | A | = = a11 a22 a21 a12Ejemplo : Sea : A =

( | A | = = 7.2 - 3(-4) = 26

2.3. Determinante de una matriz de orden 3x3

Sea la matriz :

A =

Ubicacin de signos :

Usando la fila I

|A| = a11-a12 + a13

Ejemplo : Hallar el determinante de :

A =

Usando la fila 1 :

|A| =

( |A| = 4-(-1) + 3(-4-10) = 5 + 3(-14)

( |A| = -37

2.4. PROPIEDADES :

Sea A una matriz cuadrada

1. Det (A) = Det(At)

2. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, entonces |A| =0.

3. Si 2 filas o 2 columnas son proporcionales, entonces |A| =0.

4. Si se intercambian 2 filas o columnas entonces el determinante cambia de signo.

5. Si a una fila o columna se le suma o se le resta un mltiplo de otra, el determinante no se altera.

6. El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal.

7. Si todos los elementos de una fila o columna tiene un factor en comn, dicho factor se puede extraer.

Sean A y B matrices cuadradas de orden n entonces :

8. |AB| = |A| |B|

9. Si : A = KB ( |A| = K|B|

10. |An| = |A|nObs: si |A| ( 0 , entonces A se llama matriz no singular.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Dadas las matrices :

A = [aij] 2 x 2 t.q aij =

B =

Si A = B ; calcular (x 2y)zSolucin :

A = (

Luego :

A =

Entonces :

3z-2 = 3 ( z - 2=1 ( z = 3

x + y = 3

2x y = 6

3x = 9( x = 3

( y =0

Luego :

(x 2y)z

(3 2(0))3

33 = 27

2) Sean A y B matrices de orden 2, tales que AB=BA, sabiendo que A = , calcular la traza de la matriz B. Si en B la suma de todos sus elementos es cero y el valor de su determinante es 36.

Solucin :

Si B = (AB ser :

Ahora BA :

Datos :

a + b + c + d + =0..........(1)

|B| = ad bc = 36(2)

Luego como AB = BA entonces :

a + 2c = a - 4b

( c = -2b

b + 2d = 2a + b

( a = d

En Ec. (1) tenemos :

a + b + c + d = 0

2a b =0

2a = b

Ahora en la Ec. (2) :

ad bc = 36

a2 + 2b2 = 36

a2 + 2(2a)2 = 36

9a2 = 36

a = 2

Luego :

a = 2 ; b = 4 ; c = 8 ; d = 2

( B =

La traza es la suma de la diagonal principal:

Tr (B) = 2 + 2 = 4

3) Halla la matriz x en :

Dar como respuesta la suma de todos sus elementos:

Solucin :

a + 2c = 3b + 2d = 5

3a + 4c = 53b + 4d = 9

Resolviendo los sistemas tenemos :

a = -1; b =-1; c = 2 ; d = 3

x = ( (kij = -1 1 +2 +3

= 3

PRCTICA DIRIGIDA N081).- Dadas :

A = ; B =2x2

C =

Adems A = B; calcula A + C y luego da como respuesta a21 x a12

a) 225

b) 199

c) 288

d) 280

e) 150

2).- Sean las matrices :

A =

B =

C =

Si : A = B ; halla : 3A + 2C y da como respuesta la raz cuadrada positiva de a22

a) 5

b) 3

c) 2

d) 4

e) 1

3).- Resolver la ecuacin :

3x-2

a)

b) c)

d)

e)

4).- Sean las matrices :

A = 2x2; B =

Tal que AB = BA

Calcula el valor de a + c

a)4 b)3 c)2 d)7 e)1

5).- Calcula el determinante de:

D =

a)10b)20c)30 d)50e) 40

6).- Halla x en:

a) -2b)2c)6 d)5e)10

7).- Halla x en:

a) 6b) 13c) 4 d) 8e) 58).- Si las matrices :

A = y

B =

Son iguales, halla el valor de xyz

a) 12 b) 12 c) 6 d) 6e) 24

9).-Halla el valor de xyuv si las matrices.

son iguales

a) 4b) -8c)8 d) 2e) -2

10).- Si la matriz es simtrica.

3x3Halla : x + y + z

a) 6b) 5c) 4 d) 10e) 4

11).-Dadas las matrices:

A=

Si A = B. Calcular la suma de los elementos de la matriz A.

a) 10b) 6c) 11 d) 9e) 12

12).- Dadas las matrices:

A =

Seala la suma de los elementos de la matriz x que se obtiene al resolver la ecuacin matricial.

3(x 2A) = 5(B-C) + 2(x-A-B)

a) 20b) 31c) 33 d) 37e) 47

13).- Si :

Calcula : x + y + z

a) 1 b) 8c) 3 d) 4 e) 5

14).- Calcula : (x - 15z)y si

A =

Es una matriz simtrica:a) 1b) 2c) 3 d) 4e) N.A.

15).- Sean las matrices:

tal que AB=BA

Calcular el valor de a y c.

a) 4 y 2b) 3 y 1

c) 3 y -2

d) 4 y 3e) 3 y 3

16).- Sabiendo que la matriz es simtrica, halla :

(x + y + z + 13)1/3

A =

a) 3b) 5c) d) 2 e) N.A.

17).- Sean las matrices :

Halle las matrices :

I. A+B

II. 3A-2B

III. A + 2B+3I

a) ; ;

b) ; ;

c) ; ;

d) ; ;

e) N.A.18).- Se da la siguiente matriz simtrica:

Calcula :

E = 2a + 3b + c

a) 10b) 12c) 13 d) 15e) 25/2

19).- Sean las matrices:

Halla :

I. A2 + B2II. AB

III. BA

IV. (A+B)2a) ; ; ;

b) ; ; ; 22

c) ; ; ; 36

d) ; ; ; 36

e) N.A.

20).- Calcula el determinante de:

B =

a) 71b) 63c) 87 d) 12e) 36

21).- Halla el determinante de:

M=

a) 100

b) 200

c) 300

d) 500

e) 0

22).- Calcula el determinante de:

C =

a) 1

b) Sen(

c) Cos(d) 5

e) 4

23).- Calcula el determinante de:

B =

a) 1

b) 1+t2

c) 1- t2d) 5

e) 4

24).- Calcula a, b, m. de modo que la siguiente sea una matriz identidad.

M =

Indique: a + b + m

a) 120

b) 125

c) 106

d) 104

e) 80

25).- Resuelve el sistema de ecuaciones:

x + y =

x y =

e indica la matriz xTya)

b)

c)

d)

e) N.A.26).- Calcula el determinante de:

B =

a) 1 b) 3c) 6 d) 12e) 36

27).- Dadas las matrices:

A= y B=

Calcula la suma de los elementos de la matriz:

AB + 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

CLAVES DE RESPUESTAS

1) c

2) b

3) c

4) e

5) e

6) a

7) e

8) b

9) c

10)a

11)a

12)e

13)b

14)a

15)d

16)a

17)d

18)d

19)c

20)c

21)a

22)a

23)a

IX.ECUACIONES LINEALESSon aquellas ecuaciones que despus de transformadas y simplificadas adoptan la siguiente forma:

Ax + b = 0 ( a, b, x ( R; a ( 0

de donde despejando la incgnita x se tendr:

DISCUSIN DE LA RAZ :

1. Si: a(0 ( b(0; la ecuacin es determinada y el valor de x es nico (x = -b/a)

2. Si: a(0 ( b = 0; la ecuacin es

determinada y la raz es nula (x =0).

3. Si: a=0 ( b(0; la ecuacin es absurda o incompleta (x=().

4. Si: a=0 ( b=0; la ecuacin es indeterminada y el valor de x es indeterminado (x=)

PROBLEMAS RESUELTOS1).- Calcula el valor de x en:

6x(2x 1) 4x(3x+2)=8(x+5)+4

Solucin.

12x2 6x 12x2 8x = 8x +40 + 4

-6x - 8x -8x = 40 + 4

-22x = 44

x = -2

2).- Resuelve :

(x+1)2+(x 3)2 = (x 4)2 + (x 2)2Solucin

x2 +2x + 1 + x2 6x + 9 = x2 8x + 16 + x2 4x + 4

2x 6x + 10 = -8x 4x + 20

2x 6x +8x +4x = 20 - 10

8x = 10

x = 5/4

3).-Halla x en:

Solucin. M.C.M = 12

8x - 4 + 9x + 3 = 6x - 2 + 12

11x = 11

x = 1

4).- Calcula x en: (x+5) (x 1) = (x 1)2Solucin

x2 + 4x 5 = x2 2x + 1

4x + 2x = 1 + 5

6 x = 6

x = 1

5).- Resuelve :

Solucin

13 x - 13 x = 22 - 22

0 x = 0

x = 0/0

El valor de x es indeterminado

6).- Resuelve la siguiente ecuacin:

Solucin

-4x = 300

x = 75

7).- Hallar el valor de x en:

Solucin

8).- Resuelve :

Solucin :

(x+3) (x-4) = (x+1) (x-2)

x2 x 12 = x2 x 2

ox = 10 Ecuacin incompatible

9).- Qu valor de x satisface la ecuacin :

Solucin :

MCM (4, 3, 6) = 12

3(3x 2) 4(5x 1) = 2(2x 7)

9x 6 20x + 4 = 4x 14

12 = 15x

x = 4/5

10).- Resuelve :

Solucin :

bx b(a+b) = ax ( bx - ax = b(a+b)

( x =

11).- Que valor de x satisface a la ecuacin :

5 +

Solucin :

Reduciendo trminos semejantes en ambos miembros obtenemos :

(x-1) (x-5) = (x-2) (x-3)

x2 6x + 5 = x2 5x + 6

-1 = x

PRCTICA DIRIGIDA N091).- Resuelve :

3x + (-5 + 2x) = 2x-(-2x + 3)

a) 1

b) 0

c) 2

d) Indeterminado e) 8

2).- Resuelve la ecuacin :

a) b) c)

d) e)

3).- Calcula x en : (x + 5) (x 1) = (x 1)2 a) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A.

4).- Si x1 es la solucin de la ecuacin:

5x(8 x) - 3x(5 3x) = -26 - 2x(7 2x)

el valor de E = es:

a) 3b) 4c) 6d) 8e) 12

5).- Halla el valor de x en:

y dar como respuesta 23x

a) -29 b) 39c) -49d) 59e) 57

6).- Halla el valor de x en :

y dar como respuesta

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

7).- Resuelve la siguiente ecuacin:

a) 15 b) 25 c) 55d) 65e) 75

8).- Halla el valor de x en:

a) a+b b) a/b c) a b d) b/ae) N.A.

9).- Calcula x en:

a) bb) cc) b+cd) bce) 2bc

10).- Resuelve :

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) incompatible

11).- Encuentra el valor de x en:

a) 3/5 b) 5/3 c) 5/7d) 7/5e) 3/7

12).- Halla x en:

a) 49 b) 1/49 c) 36

d) 1/36e) N.A.

13).- Resuelve :

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

14).- La siguiente ecuacin es de 1er. grado

2xn+5 + 3x + n = 0;

resuelvela sabiendo que : n es par.

a) 6b) 1c) 4/5d) 3e) 2

15).- Resuelve :

3x-1+

a) {5}

b) {4} c) x({4;5}

d) x((

e) x(R

16).- Resuelve :

a) {4}

b) {3} c) {2}

d) x((

e) x(R

17).- Al resolver: (2k-1)x+4(x-k)=3

Se obtuvo como solucin x=-2. Determina el valor de k.

a) 3/4

b) 9/8 c) 8/9

d) 3/4

e) 8/9

18).- Resuelve :

a) a+b

b) ab

c) b/a

d) a/b

e)

19).- Qu condiciones cumple n, si la ecuacin:

n(x+1)=2(x+n-1)

es indeterminada?

a) 1

b) 2

c) -2

d) 1

e) 0

20).- Resuelve :

Determina :

a) 1

b) 3

c) -2

d) 1

e) 3

21).- Al resolver en x:

(2n-3)x+5n(x-4)=3; se obtuvo: x=3

Halla :n

a) 7

b) 12

c) 6

d) 8

e) 6

22).- La ecuacin es de primer grado:

2xn-5 + 3xn-4 = 7n 3

Halla x

a) 39/5

b) 12

c) 8

d) 6

e) 10

23).- Resuelve :

a) {4}

b) {-2} c) {2}

d) x((

e) 3

24).- Resuelve :

a) 1

b) 2

c)

d)

e) N.A.

25).- Resuelve : x -

a) 5

b) 2c) Indeterminada

d) Incompatiblee) 0

26).- Halla el valor de x en :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

27).- Resuelve :

a) 27/31b) 56/25

c) 45/17

d) 66/35e) 25/56

CLAVES DE RESPUESTAS

1) e

2) e

3) a

4) d

5) c

6) c

7) e

8) c

9) c

10) a

11) d

12) b

13) b

14) c

15) b

16) a

17) b

18) d

19) b

20) c

21) b

22) e

23) a

24) d

25) a

26) c

27) b

X.SISTEMA DE ECUACIONES1. definIcin :

Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2

Constituyen un sistema de ecuaciones lineales. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones simultneamente, recibe el nombre de solucin del sistema.

Por ejemplo, la solucin del sistema :

x + y = 7 y x y = 3 es x= 5; y =2

2. MTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

2.1. METODO DE REDUCCIN.- Cuando se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por nmeros, de manera que los coeficientes de una de las incgnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los trminos de igual coeficiente son distintos, resuman las ecuaciones ; en caso contrario, se restan. Consideremos el sistema :

(1) 2x y = 4

(2) x + 2y = -3

Para eliminar y , se multiplica la Ec. (1)

Por 2 y se suma con la Ec.(2), obteniendo:

2 x (1) : 4x 2y = 8

(2) : ... x + 2y = -3

Suma: 5x = 5 ; o sea x = 1

Sustituyendo x = 1 en la ec. (1), se obtiene :

2 y = 4 , o sea y= -2.

Por tanto, la solucin del sistema es :

x = 1; y = -2

2.2 MTODO DE SUSTITUCIN.- Consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuacin. Ejemplo :

Segn el ejemplo anterior :

(1) : 2x y = 4

(2) : x + 2y = -3

Despejamos y en la ec. (1) y la reemplazamos en la ec. (2).

2x y = 4 ( y = 2x 4 .....(3)

En (2)

x + 2 (2x 4=) = -3

x +4x 8 = -3

5x = 5

x = 1

Luego en (3)

y = 2x - 4

y = 2(1) - 4

y = -2

2.3 MTODO DE IGUALACIN.- Se despeja la misma incgnita de cada ecuacin para luego igualarla.

Sea el sistema

(1) : 2x y = 4

(2) : x + 2y = -3

De (1) despejamos x :

x = ..........(()

De (2) despejamos x :

x = 3 2y .......(()

Luego : (() = (()

= - 3 2y

Resolviendo : y + 4 = -6 4y

5y = -10

y = -2

Reemplazando: x = 1

3. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES (de acuerdo a su solucin)

Se tiene :

a1x + b1y = c1 ....L1

ax + by = c .......L23.1 SISTEMA COMPATIBLES.- Aquellos que tiene solucin se subdividen en :

A) Determinados : Nmero de soluciones limitado.

B) Indeterminados : Nmeros de soluciones ilimitado.

3.2. SISTEMAS INCOMPATIBLES, IMPOSIBLES O ABSURDOS : Aquellos que no tienen solucin.

PROBLEMAS RESUELTOS

1) 5y = 3 2x

3x = 2y + 1

Halla (x + y)

Solucin :

y = (y =

(6 4x = 15x 5

11 = 19x ( =x

y =

y =

Luego : x + y =

2) Resuelve :

Halla y

Solucin :

2x - 4 + y + 1 = 12 ( x + 3 4y + 2 = 4

2x + y =15 x 4y = -1

Luego :

2x + y = 15 ............... ( 1 )

x 4y = -1 ................ ( 2 )

2x + y = 15

-2x+ 8y = 2

y = 17/9

3) Resuelve y halla x

Solucin :

a =

4a + 3b = 4 ..............(1)

2a 6b = -3 .............(2)

x 2 a (1)

8a + 6b = 8

2a 6b = -3

10a = 5

a =

( x = 2

4) Dado:

2x + ky = 5k

5x 4y = -27

Para que valor de k es incompatible.

Solucin:

Para que no exista solucin debe cumplirse que:

-5k 8 = 0

( k =

5) Halla x en:

; 3x + 4y = 31

Solucin:3(3x - 5) = 2y(20)

9x -15 = 40y

9x - 40y = 15

3x + 4y = 31 ............x10

9x 40y = 15

30x + 40y = 310

39x = 325

x =

6) Halla (x + y)2 , si

Solucin:

4x 3y = 3y + 18 ; x y = 20

Luego: 4x 6y = 18

x y = 20.......x 4

4x 6y = 18

4x 4y = 80

-2y = -62

y = 31

x 31 = 20

x = 51

(x+y)2 = (51+31)2 = 822(x+y)2 = 6724

7) Resuelve:

5x 3y = 11

4x 5y = 1

Solucin:

5x 3y = 11 ........x 5

4x 5y = 1 ........ x 3

25x 15y = 55

-12x + 15y = -3

13x = 52

x = 4

Ahora y

5(4) 3y = 11

20 11 = 3y

= y

3 = y

C.S. = {4; 3}

8).- Resuelve:-7x + 5y = -45

4x 3y = 26

Solucin:

Utilizando determinantes tenemos:

C.S = {5; -2}

9).- 5y = 3 2x

3x = 2y + 1

Halla (x + y)

Solucin :

y = (y =

( 6 4x = 15x 5

11 = 19x( = x

y =

y =

Luego : x + y =

10) Resuelve :

Halla : y

Solucin :

2x - 4 + y + 1 = 12 ( x + 3 4y + 2 = 4

2x + y =15 x 4y = -1

Luego :

2x + y = 15 ............... ( 1 )

x 4y = -1 ................ ( 2 )

Multiplicamos x 2 a la Ec.(2)

2x + y = 15

-2x+ 8y = 2

9y = 17 ( y = 17/9

11) Resuelve y halla : x

Solucin :

a =

4a + 3b = 4 ..............(1)

2a 6b = -3 .............(2)

x 2 a (1)

8a + 6b = 8

2a 6b = -3

10a = 5

a = 5/10 ( a =

x = 2

PRCTICA DIRIGIDA N101).- Resuelve : 5x y = 9

2x + 4y = 8

Indica :

a) 4 b) 6c) 5

d) 2 e) 3

2).- Resuelve :

x 7 = -y

z 8 = -x

y 3 = -z

Indica : xyz

a) 12 b) 15 c) 18

d) 36 e) 24

3).- Resuelve : 9x - 7y = -52

5x + 3y = -22

a) (0; 9)b) (-2, 7) c) (-1; 4)

d) (-5; 1)e) (-2; 0)

4).- Resuelve :

Indica : x + y

a) 9 b) 30 c) 34

d) 29 e) 7

5).- Calcula : si :

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

6).- Resuelve: 13x + 17y = 133

17x + 13y = 137

Indica: xy

a) 8 b) 18 c) 20

d) 21 e) 30

7).- Resuelve:

5x + y = 125

3x - y = 81

Indica :

a) 5 b) 2c) 7

d)-3 e)-2

8).- Resuelve:

2x y = 1

Indica el valor de y.

a) 1 b) 4 c) 6

d) 3 e) 2

9).- Resuelve :

3(x + 1) = 16 + 2(y - 1)

Indica el valor de

a) 5,5

b) 4,5

c) 1,5

d) 3,5

e) 2,5

10).- Resuelve :

Indica : y

a) 2

b) 1/3

c) -1

d) 1/2

e) 0

11).- Resuelve :

Indicando el valor de x.

a) 3 b) 1 c) 4

d) 3 e) 2

12).- Calcula : xyz; si :

x + y = 18 ; x + z = 23; y + z = 25

a) 360

b) 720 c) 1200

d) 2000e) 1000

13).- Si : yz = 24; zx = 10; xy = 15

Halla : x + y + z

a) 11/2

b) 9/2

c) 25/2

d) 7/2

e) 5/2

14).- Indica el menor valor para una de las variables:

x + y + z = 2

x + y + w = 8

y + z + w = 5

x + z + w = 3

a) 2 b) 4

c) 6

d) 1 e) 3

15).- Si : x = y en el sistema :

ax + 4y = 119

5x ay = 34

Halla a

a) 6

b) 7

c) 2

d) 3

e) 2

16).- Resuelve :

Indicando : 1/x2

a) 36

b) 16

c) 1/4

d) 4

e) 1/36

17).- Calcula x/y al resolver el sistema.

- y = 2

+3y = 5

a) 1 b) 2

c) 3

d) 4 e) 5

18).- Resuelve :

Indicando el valor de x + y

a) 8 b) 9 c) 11

d) 4 e) 6

19).- Dado el sistema:

Halla y/x

a) 2

b) 4

c) 16

d) 8

e) 10

20).- Resuelve:

a) {2; 3}b) {3; 2}

c) {-2; 3}

d) {2; 1}e) {-2; -3}

21).- Calcula : x y , si :

a) 2 b) 1 c) 2

d) 0 e) 1

22).- Calcula : x y al resolver :

a) 2 b) 3

c) 1

d) 1 e) -2

23).- Calcula xy en el sistema :

x + 1 =

x 1=

a) 1/4

b) 3

c) 12

d)

e) 1/4

24).- Calcula x al resolver :

a) 7

b) 5

c) 3

d) 2

e) 1

CLAVES DE RESPUESTAS

1) d

2) a

3) d

4) b

5) c

6) c

7) c

8) d

9) e

10)c

11)e

12)c

13)c

14)a

15)d

16)b

17)e

18)b

19)b

20)a

21)b

22)d

23)d

24)a

NOTA

Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas se resuelven eliminando una incgnita en 2 ecuaciones cualesquiera y a continuacin eliminando la misma incgnita en otras dos.

3x3

3

1

1

1

1

12

1

1

1

1

1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

3x3

3x3

2x2

2x2

2x2

3x3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

2x2

2X2

3x3

fila 1

2x2

2x2

2x3

2x3

2x3

2x2

1x1

3x1

1x3

mx1

1xn

2x2

2x2

3x2

3x2

3x2

3x3

3x3

2x3

3x2

A = (aij) m x n

Filas

Columnas

A =

-4

3

(

O

Im

R

a

Z

b

(

PAGE 112

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