Download - Ctalge5ºsiii Sr
CAPTULO I
PAGE
VII.NMEROS COMPLEJOS1. UNIDAD IMAGINARIA :
i
Observacin :
Pot. Positivas
Pot. Negativas
i4k = 1
i 4k = 1
i4k+1 = i
i-(4k+1) = i1 = i
i4k+2 = -1
i-(4k+2) = i2 = -1
i4k+3 = -i
i-(4k+3) = i3 = i
2. NMERO COMPLEJO:.
Tienen una parte real y una parte imaginaria. Se representan por Z mayscula:
Z = a + bi = (a, b) ( a, b ( R
3. COMPLEJO PURO:
No tiene parte real.
Z = bi
4. COMPLEJO REAL:
No tiene parte imaginaria.
Z = a
5. COMPLEJO NULO:
No tiene ni parte real ni parte imaginaria.
Z = O
6. Conjugado de un Complejo ( )
Se cambia de signo la parte imaginaria.
Si : Z = a + bi ( = a bi
7. Complejo Opuesto:
Se cambian ambos signos.
z = a+bi ( -z = -a -bi
8. FORMA POLAR TRIGONOMTRICA DE UN COMPLEJO
|Z| = mdulo
( = argumento
Luego a = |Z| Cos( b = |Z| Sen( Z = a + bi
Z = |Z| (Cos( + Sen(i)
Clculo de |Z|:
|Z| =
Clculo de (:
9. OPERACIONES:
Sea : Z1 = |Z1| (Cos(1 + iSen(1)
Z2 = |Z2| (Cos (2 + iSen(2)
9.1. Multiplicacin :
Z=Z1.Z2=|Z1||Z2|[Cos((1+(2)+iSen((1+(2)]
9.2. Divisin:
Z =
9.3. Potenciacin: (n(Z+
Zn = |Z|n [Cos (n() + i Sen(n()]
9.4. Radicacin:
Z1/n = |Z|1/n [Cos +iSen
n ( Z+ y K = 0,1,2, ....., n-1
RESUMEN:
i =
(1 + i)2 = 2i
(1 - i)2 = -2i
i-n =
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Escribe en forma polar o trigonomtrica el siguiente complejo.
Z = 3 + 4i
Solucin:
|Z| =
Tg ( =
Luego : ( = 360 - 53 = 307
( Z = 3 4i = 5(Cos307+ iSen307)
2) Representa en su forma cartesiana:
Z = 2(Cos120 + iSen120)Solucin:
Cos120 = -Cos60= -
Sen120 = Sen60=
( Z=2(Cos120+iSen120)=
( Z = -1 + i
3) Suma:
S=(1+i)+(2+i2)+(3+i3)+(4+i4)+.+(4n+i4n)Solucin:S=(1+2+3+4+ .+4n) + (i+i2+i3+i4 +.i4n)
S =
S = 2n(4n+1)
4) Halla un complejo cuyo conjugado multiplicado por (1+i) da el complejo.
Solucin:Sea el complejo: Z = a + bi ( = a bi
Luego:
(a +bi) (1+i) =
a + ai bi + b =
(a + b) + (a-b)i = 33 39i
( a + b = 33
a b = -39
a = -3
b = 36
( Z = a + bi = -3 + 36i
5) Reduce:
Solucin:Recordando potencias naturales de i, tenemos:
W = 2 + i I
W = 26) Reduce:
Solucin:Multiplicamos en aspa:
Luego multiplicamos por su base conjugada:
7) Reduce:
Z = (1 + i)4 + (1 - i)4 + (1 + i)8Solucin:Z =
Z = [2i]2 + [-2i]2 + [2i]4Z = 4i2 + 4i2 + 16i4Z = 4(-1) + 4(-1) + 16(1)
Z = -4 + -4 + 16
Z = 8
8) Halla la raz cuadrada de 3 + 4i
Solucin:
3+4i = x2 + 2xyi + y2+ i2 3+4i = (x2-y2)+2xyi
(x2-y2)2 = (3)2 (2xy)2 = (4)2x4-2x2y2+y4 = 9 +
4x2y2 = 16 sumamos
x4+2x2y2+y4=25
(x2+y2)2 = 25
x2 + y2 = 5
x2 - y2 = 3 sumamos
2x2 = 8
x2 = 4
x = (2
x2 + y2 = 5 restamos
x2 - y2 = 3
2y2 = 2
y = (1
(
9) Calcula el valor de: z = si es imaginario puro.
Solucin:Z =
Z =
Pero (condicin)
, luego: z =
PRCTICA DIRIGIDA N071) (3-4
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 52)+
a) 2
b) 2i
c) 2i
d) 2
e) N.A.
3)
a) 13
b) 14
c) 15
d) 18
e) 174)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 55)
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 26)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 57) x 25 +29i
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 58) Representa en forma polar:
Z= i
...........................................................
9) Si Z1 = 16(cos60 + iSen60)
Z2 = 2(cos30 + iSen30)
Calcula :
a) Z1 x Z2b) Z1 ( Z2
10) Simplifica:
a) 1 b) 2
c) 1
d) 2e) -3
11) Simplifica:
a) 16
b) 2
c) 10
d) 8
e) 13
12) Calcula b para que el cociente sea real.
a) 2
b) 3
c) -4
d) 5
e) -6
13).- Sea el complejo z = 1 + i
Calcular z12a) 62
b) 64
c) -60
d) 58
e) -63
14).- Calcular el valor ms simple de :
N = donde i = (0; 1)
a) 2
b) 3
c) 7
d) 11
e) 915) Efecta:
P = (5+3i) (4-2i) (1+i) (6-7i)
a) 120
b) 240 c) 340
d) 440
e) N.A.
16).- Simplificar la expresin :
; a + b ( -1
a) z = a + i
b) z = b + i
c) z = b 2a + i
d) z = b i
e) N.A.17) Simplifica:
G = 2-50 (1+ i )101 + (1+i)
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) i
18) Simplifica:
a)
b) 1/16
c) 16
d) 1/32
e) 8
19) Simplifica:
a) 1
b) 2
c) i
d) 2i
e) 0
20).- Escribe en forma cartesiana el siguiente complejo:
a) +1b) - i c) +i
d) 2-i
e) N.A.
21).- Simplifica: Z =
a) 1
b) 8i
c) 2
d) Tg45n e) in22).- Efecta : W =
a)
b)
c) -i
d) i
e) N.A.23).- Resuelve :
Z = (1 + i)127a) 2120 (1+i)
b)
c) 263(a+i)
d) 256(1+i)
e) 2126(1+i)
24).- Simplificar :
a) 2i
b) I
c) -i
d) 3i
e) N.A
25).- El complejo:
es equivalente a:
a)
b)
c) 1 +
d) 4+4i
e) 2+2i26).- El mdulo de la siguiente operacin:
; es:
a) 1
b) 2
c)
d) 2
e) 14
27).- Calcula: M = (1 + i)4 + (1 - i)4a) 0
b) 8
c) 4i
d) 4i
e) 8
28).- Calcula: R =
a) 3
b) 2i
c) 2i
d) 2
e) 0
29).- Calcula: M =
a) 2ib) 5ic) 0d) 2e) 4
30).- Efecta:
A = i1 + i2 + i3 + i4 + i5 ++ i2003a) 0
b) 1
c) 1
d) I
e) -i
31).- Halla el valor de n[(1 + i)9 + (1 - i)9 ] n = 1024
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
32).- Dado los complejos:
Z1 = 4(Cos25 + iSen25)
Z2 = 2(Cos70 + iSen70)
Calcula:
a) (1 - i)
b) 2(1 + i)
c) 2(1 - i)
d) 1 + i
e) (1 + i)
33).- Efecta:
a) 1
b) i c) 1 i
d) i
e) 1 - i
34).- Si: |Z| = , halla el valor de:
R = |1 + Z|2 + |1 - |2
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
CLAVES DE RESPUESTAS1) c
2) b
3) e
4) b
5) a
6) c
7) c
8) --
9) --
10)d
11)a
12)c
13)b
14)a
15)c
16)a
17)a
18)b
19)a
20)c
21)e
22)c
23)b
24)a
25)e
26)b
27)b
28)d
29)c
30)c
31)b
32)a
33)b
34)b
VIII.MATRIZ Y DETERMINANTES:1. MATRIZEs un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y columnas.
As una matriz tiene la siguiente forma general:
a11a12. . . . aij . . . . a1n
a21a22. . . . a2j . . . . a2n
a21a12. . . . aij . . . . a1n
am1am2. . . . amj . . . amnDonde : a11, a12, .... a21, a22,.....am1, am2....amnse llaman elementos de la matriz A.
aij es el elemento ubicado en la fila i, columna j.
1.1. Orden de la matriz :
Si una matriz tiene m filas y n columnas entonces se dice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (no se efecta)
As la matriz A se puede denotar :
Donde : m, n ( Z+
i = {1; 2; 3;...;m}
j = {1; 2; 3; ...; n}
Ejemplo : Escribir explcitamente la matriz :
A = (aij) 2x3 /aij = 2i-j
1.2. Matriz Columna :
Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir es de orden mx1.
Ejemplo : A =
1.3. Matriz Fila :
Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir es de orden 1 x n.
Ejemplo : B = (2 4 6)1 x 31.4. Matriz Nula :
Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero y se denota por (.
Ejemplo :( =
1.5. Matriz Cuadrada :
Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmero de columnas y se denota :
A = (aij)nxn A = (aij)nEjemplo :
A =
Traza de una matriz cuadrada : Es la suma de los elementos de su diagonal principal.
Sea la matriz : A =(aij) ( Traz(A) =
As en el ejemplo anterior :
Traz (A) = 3 + 2 + 1 = 6
1.6. Matriz Identidad :
Es una matriz escalar, cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y se denota por ln
ln = (aij) / aij =
Ejemplos:
l2 =
1.7. RELACIONES ENTRE MATRICES:
a) Igualdad de matrices : Dos matrices son iguales si y solo si son del mismo orden y todos sus respectivos elementos son iguales :
As dadas las matrices :
A = (aij)m x n ; B=(bij)m x nA = B ( aij = bij ; (i ; (j
Ejemplo : Calcula : x - y, si las matrices :
A = son iguales
Resolviendo obtenemos:
X = 5
Y = 1
X Y = 5 1 = 4
b) Transpuesta de una matriz : La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) , es una matriz denotada por At (de orden n x m) que se obtiene cambiando las filas por las columnas en la matriz A.
Ejemplo :
A =
c) Matrices Opuestas : Dos matrices son opuestas si son del mismo orden y adems sus respectivos elementos son opuestos.
A=( su opuesta es: -A =
d) Matriz Simtrica : Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matriz simtrica.
Ejemplo :
A = ( At =
como : A = At ( A es simtrica
e) Matriz Antisimtrica : Si una matriz es iguala al negativo de su transpuesta se llama antisimtrica.
Ejemplo :
A = ( At =
( -At =
Como : A = -At ( A es antisimtrica.
Obs.- Los elementos de la diagonal principal son iguales a cero.
1.8. oPERACIONES CON MATRICES :
a) Adicin de matrices :
Sean las matrices A = (aij) mxn y B=(bij) mxnLuego la matriz suma de A y B es :
A + B =(aij + bij) m x n
Ejemplos : sean :
A =
( A + B =
Obs :
A - B = A+(-B)
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A +( = ( + A = A
b) Multiplicacin de matrices :
Multiplicacin de un escalar por una matriz:
Sea: A = (aij)m x n ( KA = (kaij) m x nEjemplo :
Sea :z
A = (8A
=
Multiplicacin de una matriz fila por una matriz columna .
Sean las matrices :
A = (a1 a2 a3 .....an( ; B =
( A x B = (a1b1 + a2b2 + .... + anbn) =
Ejemplo : sean :
A = (1 3 2( ; B =
( A x B = 1 x 4 + 3(-2) + 2 x 5 = ( 8 ( Multiplicacin de matrices :
Sean las matrices :
A = (aij)m x n ; B =(bjk)n x pEntonces se define : A x B = (cij)m x pdonde cij resulta de multiplicar la i-esima fila de A por la j-sima columna de B.
Obs. Slo se puede hallar el producto A. B si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.
Ejemplo . Sean las matrices :
A =
( C = A x B =
C11 = 3.4 + 2(-1) =10 C21=(-1)(4)+(4-1) = -8
C12 = 3.3 + 2.2 = 13 C22= (-1)(3) + 4.2 = 5
C13 = 3.1+2.2 =7 C23=(-1)(1)+4.2 = 7
Entonces :
AB =
PROPIEDADES :
1) ( A ( B )t = At ( Bt2) ( At ) t = A
3) ( AB )t = Bt At4) (KA)t = KAt5) K( A+B ) = KA+KB
6) A( B+C ) = AB + AC
( B + C )A = BA + CA
7) ( AB )C = A( BC )
8) En general AB son necesariamente igual a BA.
Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden entonces :
A y B conmutan o son conmutativos( AB=BA
A y B son anticonmutativos ( AB = -BA
9) AI = IA =A
10) ln = l
11) Si : AB = AC no implica que B=C
12) A es una matriz idempotente si A2 =A
13) A es una matriz involutiva si A2 = 1
14) A es una matriz nilpotente si A = (2. DETERMINANTES
2.1. Definicin :
Se llama determinante a un valor escalar que se le asocia a cada matriz cuadrada, y se denota por : |A| Det (A) para indicar el determinante de una matriz A.
2.2. Determinante de una matriz de orden 2x2.
Sea la matriz : A =
( | A | = = a11 a22 a21 a12Ejemplo : Sea : A =
( | A | = = 7.2 - 3(-4) = 26
2.3. Determinante de una matriz de orden 3x3
Sea la matriz :
A =
Ubicacin de signos :
Usando la fila I
|A| = a11-a12 + a13
Ejemplo : Hallar el determinante de :
A =
Usando la fila 1 :
|A| =
( |A| = 4-(-1) + 3(-4-10) = 5 + 3(-14)
( |A| = -37
2.4. PROPIEDADES :
Sea A una matriz cuadrada
1. Det (A) = Det(At)
2. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, entonces |A| =0.
3. Si 2 filas o 2 columnas son proporcionales, entonces |A| =0.
4. Si se intercambian 2 filas o columnas entonces el determinante cambia de signo.
5. Si a una fila o columna se le suma o se le resta un mltiplo de otra, el determinante no se altera.
6. El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de todos los elementos de la diagonal principal.
7. Si todos los elementos de una fila o columna tiene un factor en comn, dicho factor se puede extraer.
Sean A y B matrices cuadradas de orden n entonces :
8. |AB| = |A| |B|
9. Si : A = KB ( |A| = K|B|
10. |An| = |A|nObs: si |A| ( 0 , entonces A se llama matriz no singular.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Dadas las matrices :
A = [aij] 2 x 2 t.q aij =
B =
Si A = B ; calcular (x 2y)zSolucin :
A = (
Luego :
A =
Entonces :
3z-2 = 3 ( z - 2=1 ( z = 3
x + y = 3
2x y = 6
3x = 9( x = 3
( y =0
Luego :
(x 2y)z
(3 2(0))3
33 = 27
2) Sean A y B matrices de orden 2, tales que AB=BA, sabiendo que A = , calcular la traza de la matriz B. Si en B la suma de todos sus elementos es cero y el valor de su determinante es 36.
Solucin :
Si B = (AB ser :
Ahora BA :
Datos :
a + b + c + d + =0..........(1)
|B| = ad bc = 36(2)
Luego como AB = BA entonces :
a + 2c = a - 4b
( c = -2b
b + 2d = 2a + b
( a = d
En Ec. (1) tenemos :
a + b + c + d = 0
2a b =0
2a = b
Ahora en la Ec. (2) :
ad bc = 36
a2 + 2b2 = 36
a2 + 2(2a)2 = 36
9a2 = 36
a = 2
Luego :
a = 2 ; b = 4 ; c = 8 ; d = 2
( B =
La traza es la suma de la diagonal principal:
Tr (B) = 2 + 2 = 4
3) Halla la matriz x en :
Dar como respuesta la suma de todos sus elementos:
Solucin :
a + 2c = 3b + 2d = 5
3a + 4c = 53b + 4d = 9
Resolviendo los sistemas tenemos :
a = -1; b =-1; c = 2 ; d = 3
x = ( (kij = -1 1 +2 +3
= 3
PRCTICA DIRIGIDA N081).- Dadas :
A = ; B =2x2
C =
Adems A = B; calcula A + C y luego da como respuesta a21 x a12
a) 225
b) 199
c) 288
d) 280
e) 150
2).- Sean las matrices :
A =
B =
C =
Si : A = B ; halla : 3A + 2C y da como respuesta la raz cuadrada positiva de a22
a) 5
b) 3
c) 2
d) 4
e) 1
3).- Resolver la ecuacin :
3x-2
a)
b) c)
d)
e)
4).- Sean las matrices :
A = 2x2; B =
Tal que AB = BA
Calcula el valor de a + c
a)4 b)3 c)2 d)7 e)1
5).- Calcula el determinante de:
D =
a)10b)20c)30 d)50e) 40
6).- Halla x en:
a) -2b)2c)6 d)5e)10
7).- Halla x en:
a) 6b) 13c) 4 d) 8e) 58).- Si las matrices :
A = y
B =
Son iguales, halla el valor de xyz
a) 12 b) 12 c) 6 d) 6e) 24
9).-Halla el valor de xyuv si las matrices.
son iguales
a) 4b) -8c)8 d) 2e) -2
10).- Si la matriz es simtrica.
3x3Halla : x + y + z
a) 6b) 5c) 4 d) 10e) 4
11).-Dadas las matrices:
A=
Si A = B. Calcular la suma de los elementos de la matriz A.
a) 10b) 6c) 11 d) 9e) 12
12).- Dadas las matrices:
A =
Seala la suma de los elementos de la matriz x que se obtiene al resolver la ecuacin matricial.
3(x 2A) = 5(B-C) + 2(x-A-B)
a) 20b) 31c) 33 d) 37e) 47
13).- Si :
Calcula : x + y + z
a) 1 b) 8c) 3 d) 4 e) 5
14).- Calcula : (x - 15z)y si
A =
Es una matriz simtrica:a) 1b) 2c) 3 d) 4e) N.A.
15).- Sean las matrices:
tal que AB=BA
Calcular el valor de a y c.
a) 4 y 2b) 3 y 1
c) 3 y -2
d) 4 y 3e) 3 y 3
16).- Sabiendo que la matriz es simtrica, halla :
(x + y + z + 13)1/3
A =
a) 3b) 5c) d) 2 e) N.A.
17).- Sean las matrices :
Halle las matrices :
I. A+B
II. 3A-2B
III. A + 2B+3I
a) ; ;
b) ; ;
c) ; ;
d) ; ;
e) N.A.18).- Se da la siguiente matriz simtrica:
Calcula :
E = 2a + 3b + c
a) 10b) 12c) 13 d) 15e) 25/2
19).- Sean las matrices:
Halla :
I. A2 + B2II. AB
III. BA
IV. (A+B)2a) ; ; ;
b) ; ; ; 22
c) ; ; ; 36
d) ; ; ; 36
e) N.A.
20).- Calcula el determinante de:
B =
a) 71b) 63c) 87 d) 12e) 36
21).- Halla el determinante de:
M=
a) 100
b) 200
c) 300
d) 500
e) 0
22).- Calcula el determinante de:
C =
a) 1
b) Sen(
c) Cos(d) 5
e) 4
23).- Calcula el determinante de:
B =
a) 1
b) 1+t2
c) 1- t2d) 5
e) 4
24).- Calcula a, b, m. de modo que la siguiente sea una matriz identidad.
M =
Indique: a + b + m
a) 120
b) 125
c) 106
d) 104
e) 80
25).- Resuelve el sistema de ecuaciones:
x + y =
x y =
e indica la matriz xTya)
b)
c)
d)
e) N.A.26).- Calcula el determinante de:
B =
a) 1 b) 3c) 6 d) 12e) 36
27).- Dadas las matrices:
A= y B=
Calcula la suma de los elementos de la matriz:
AB + 1
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
CLAVES DE RESPUESTAS
1) c
2) b
3) c
4) e
5) e
6) a
7) e
8) b
9) c
10)a
11)a
12)e
13)b
14)a
15)d
16)a
17)d
18)d
19)c
20)c
21)a
22)a
23)a
IX.ECUACIONES LINEALESSon aquellas ecuaciones que despus de transformadas y simplificadas adoptan la siguiente forma:
Ax + b = 0 ( a, b, x ( R; a ( 0
de donde despejando la incgnita x se tendr:
DISCUSIN DE LA RAZ :
1. Si: a(0 ( b(0; la ecuacin es determinada y el valor de x es nico (x = -b/a)
2. Si: a(0 ( b = 0; la ecuacin es
determinada y la raz es nula (x =0).
3. Si: a=0 ( b(0; la ecuacin es absurda o incompleta (x=().
4. Si: a=0 ( b=0; la ecuacin es indeterminada y el valor de x es indeterminado (x=)
PROBLEMAS RESUELTOS1).- Calcula el valor de x en:
6x(2x 1) 4x(3x+2)=8(x+5)+4
Solucin.
12x2 6x 12x2 8x = 8x +40 + 4
-6x - 8x -8x = 40 + 4
-22x = 44
x = -2
2).- Resuelve :
(x+1)2+(x 3)2 = (x 4)2 + (x 2)2Solucin
x2 +2x + 1 + x2 6x + 9 = x2 8x + 16 + x2 4x + 4
2x 6x + 10 = -8x 4x + 20
2x 6x +8x +4x = 20 - 10
8x = 10
x = 5/4
3).-Halla x en:
Solucin. M.C.M = 12
8x - 4 + 9x + 3 = 6x - 2 + 12
11x = 11
x = 1
4).- Calcula x en: (x+5) (x 1) = (x 1)2Solucin
x2 + 4x 5 = x2 2x + 1
4x + 2x = 1 + 5
6 x = 6
x = 1
5).- Resuelve :
Solucin
13 x - 13 x = 22 - 22
0 x = 0
x = 0/0
El valor de x es indeterminado
6).- Resuelve la siguiente ecuacin:
Solucin
-4x = 300
x = 75
7).- Hallar el valor de x en:
Solucin
8).- Resuelve :
Solucin :
(x+3) (x-4) = (x+1) (x-2)
x2 x 12 = x2 x 2
ox = 10 Ecuacin incompatible
9).- Qu valor de x satisface la ecuacin :
Solucin :
MCM (4, 3, 6) = 12
3(3x 2) 4(5x 1) = 2(2x 7)
9x 6 20x + 4 = 4x 14
12 = 15x
x = 4/5
10).- Resuelve :
Solucin :
bx b(a+b) = ax ( bx - ax = b(a+b)
( x =
11).- Que valor de x satisface a la ecuacin :
5 +
Solucin :
Reduciendo trminos semejantes en ambos miembros obtenemos :
(x-1) (x-5) = (x-2) (x-3)
x2 6x + 5 = x2 5x + 6
-1 = x
PRCTICA DIRIGIDA N091).- Resuelve :
3x + (-5 + 2x) = 2x-(-2x + 3)
a) 1
b) 0
c) 2
d) Indeterminado e) 8
2).- Resuelve la ecuacin :
a) b) c)
d) e)
3).- Calcula x en : (x + 5) (x 1) = (x 1)2 a) 1b) 2c) 3d) 4e) N.A.
4).- Si x1 es la solucin de la ecuacin:
5x(8 x) - 3x(5 3x) = -26 - 2x(7 2x)
el valor de E = es:
a) 3b) 4c) 6d) 8e) 12
5).- Halla el valor de x en:
y dar como respuesta 23x
a) -29 b) 39c) -49d) 59e) 57
6).- Halla el valor de x en :
y dar como respuesta
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
7).- Resuelve la siguiente ecuacin:
a) 15 b) 25 c) 55d) 65e) 75
8).- Halla el valor de x en:
a) a+b b) a/b c) a b d) b/ae) N.A.
9).- Calcula x en:
a) bb) cc) b+cd) bce) 2bc
10).- Resuelve :
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) incompatible
11).- Encuentra el valor de x en:
a) 3/5 b) 5/3 c) 5/7d) 7/5e) 3/7
12).- Halla x en:
a) 49 b) 1/49 c) 36
d) 1/36e) N.A.
13).- Resuelve :
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
14).- La siguiente ecuacin es de 1er. grado
2xn+5 + 3x + n = 0;
resuelvela sabiendo que : n es par.
a) 6b) 1c) 4/5d) 3e) 2
15).- Resuelve :
3x-1+
a) {5}
b) {4} c) x({4;5}
d) x((
e) x(R
16).- Resuelve :
a) {4}
b) {3} c) {2}
d) x((
e) x(R
17).- Al resolver: (2k-1)x+4(x-k)=3
Se obtuvo como solucin x=-2. Determina el valor de k.
a) 3/4
b) 9/8 c) 8/9
d) 3/4
e) 8/9
18).- Resuelve :
a) a+b
b) ab
c) b/a
d) a/b
e)
19).- Qu condiciones cumple n, si la ecuacin:
n(x+1)=2(x+n-1)
es indeterminada?
a) 1
b) 2
c) -2
d) 1
e) 0
20).- Resuelve :
Determina :
a) 1
b) 3
c) -2
d) 1
e) 3
21).- Al resolver en x:
(2n-3)x+5n(x-4)=3; se obtuvo: x=3
Halla :n
a) 7
b) 12
c) 6
d) 8
e) 6
22).- La ecuacin es de primer grado:
2xn-5 + 3xn-4 = 7n 3
Halla x
a) 39/5
b) 12
c) 8
d) 6
e) 10
23).- Resuelve :
a) {4}
b) {-2} c) {2}
d) x((
e) 3
24).- Resuelve :
a) 1
b) 2
c)
d)
e) N.A.
25).- Resuelve : x -
a) 5
b) 2c) Indeterminada
d) Incompatiblee) 0
26).- Halla el valor de x en :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) N.A.
27).- Resuelve :
a) 27/31b) 56/25
c) 45/17
d) 66/35e) 25/56
CLAVES DE RESPUESTAS
1) e
2) e
3) a
4) d
5) c
6) c
7) e
8) c
9) c
10) a
11) d
12) b
13) b
14) c
15) b
16) a
17) b
18) d
19) b
20) c
21) b
22) e
23) a
24) d
25) a
26) c
27) b
X.SISTEMA DE ECUACIONES1. definIcin :
Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:
a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2
Constituyen un sistema de ecuaciones lineales. Todo par de valores de x e y que satisfagan ambas ecuaciones simultneamente, recibe el nombre de solucin del sistema.
Por ejemplo, la solucin del sistema :
x + y = 7 y x y = 3 es x= 5; y =2
2. MTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
2.1. METODO DE REDUCCIN.- Cuando se pueden multiplicar las ecuaciones dadas por nmeros, de manera que los coeficientes de una de las incgnitas en ambas ecuaciones sea el mismo. Si los signos de los trminos de igual coeficiente son distintos, resuman las ecuaciones ; en caso contrario, se restan. Consideremos el sistema :
(1) 2x y = 4
(2) x + 2y = -3
Para eliminar y , se multiplica la Ec. (1)
Por 2 y se suma con la Ec.(2), obteniendo:
2 x (1) : 4x 2y = 8
(2) : ... x + 2y = -3
Suma: 5x = 5 ; o sea x = 1
Sustituyendo x = 1 en la ec. (1), se obtiene :
2 y = 4 , o sea y= -2.
Por tanto, la solucin del sistema es :
x = 1; y = -2
2.2 MTODO DE SUSTITUCIN.- Consiste en despejar una incgnita en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la otra ecuacin. Ejemplo :
Segn el ejemplo anterior :
(1) : 2x y = 4
(2) : x + 2y = -3
Despejamos y en la ec. (1) y la reemplazamos en la ec. (2).
2x y = 4 ( y = 2x 4 .....(3)
En (2)
x + 2 (2x 4=) = -3
x +4x 8 = -3
5x = 5
x = 1
Luego en (3)
y = 2x - 4
y = 2(1) - 4
y = -2
2.3 MTODO DE IGUALACIN.- Se despeja la misma incgnita de cada ecuacin para luego igualarla.
Sea el sistema
(1) : 2x y = 4
(2) : x + 2y = -3
De (1) despejamos x :
x = ..........(()
De (2) despejamos x :
x = 3 2y .......(()
Luego : (() = (()
= - 3 2y
Resolviendo : y + 4 = -6 4y
5y = -10
y = -2
Reemplazando: x = 1
3. CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES (de acuerdo a su solucin)
Se tiene :
a1x + b1y = c1 ....L1
ax + by = c .......L23.1 SISTEMA COMPATIBLES.- Aquellos que tiene solucin se subdividen en :
A) Determinados : Nmero de soluciones limitado.
B) Indeterminados : Nmeros de soluciones ilimitado.
3.2. SISTEMAS INCOMPATIBLES, IMPOSIBLES O ABSURDOS : Aquellos que no tienen solucin.
PROBLEMAS RESUELTOS
1) 5y = 3 2x
3x = 2y + 1
Halla (x + y)
Solucin :
y = (y =
(6 4x = 15x 5
11 = 19x ( =x
y =
y =
Luego : x + y =
2) Resuelve :
Halla y
Solucin :
2x - 4 + y + 1 = 12 ( x + 3 4y + 2 = 4
2x + y =15 x 4y = -1
Luego :
2x + y = 15 ............... ( 1 )
x 4y = -1 ................ ( 2 )
2x + y = 15
-2x+ 8y = 2
y = 17/9
3) Resuelve y halla x
Solucin :
a =
4a + 3b = 4 ..............(1)
2a 6b = -3 .............(2)
x 2 a (1)
8a + 6b = 8
2a 6b = -3
10a = 5
a =
( x = 2
4) Dado:
2x + ky = 5k
5x 4y = -27
Para que valor de k es incompatible.
Solucin:
Para que no exista solucin debe cumplirse que:
-5k 8 = 0
( k =
5) Halla x en:
; 3x + 4y = 31
Solucin:3(3x - 5) = 2y(20)
9x -15 = 40y
9x - 40y = 15
3x + 4y = 31 ............x10
9x 40y = 15
30x + 40y = 310
39x = 325
x =
6) Halla (x + y)2 , si
Solucin:
4x 3y = 3y + 18 ; x y = 20
Luego: 4x 6y = 18
x y = 20.......x 4
4x 6y = 18
4x 4y = 80
-2y = -62
y = 31
x 31 = 20
x = 51
(x+y)2 = (51+31)2 = 822(x+y)2 = 6724
7) Resuelve:
5x 3y = 11
4x 5y = 1
Solucin:
5x 3y = 11 ........x 5
4x 5y = 1 ........ x 3
25x 15y = 55
-12x + 15y = -3
13x = 52
x = 4
Ahora y
5(4) 3y = 11
20 11 = 3y
= y
3 = y
C.S. = {4; 3}
8).- Resuelve:-7x + 5y = -45
4x 3y = 26
Solucin:
Utilizando determinantes tenemos:
C.S = {5; -2}
9).- 5y = 3 2x
3x = 2y + 1
Halla (x + y)
Solucin :
y = (y =
( 6 4x = 15x 5
11 = 19x( = x
y =
y =
Luego : x + y =
10) Resuelve :
Halla : y
Solucin :
2x - 4 + y + 1 = 12 ( x + 3 4y + 2 = 4
2x + y =15 x 4y = -1
Luego :
2x + y = 15 ............... ( 1 )
x 4y = -1 ................ ( 2 )
Multiplicamos x 2 a la Ec.(2)
2x + y = 15
-2x+ 8y = 2
9y = 17 ( y = 17/9
11) Resuelve y halla : x
Solucin :
a =
4a + 3b = 4 ..............(1)
2a 6b = -3 .............(2)
x 2 a (1)
8a + 6b = 8
2a 6b = -3
10a = 5
a = 5/10 ( a =
x = 2
PRCTICA DIRIGIDA N101).- Resuelve : 5x y = 9
2x + 4y = 8
Indica :
a) 4 b) 6c) 5
d) 2 e) 3
2).- Resuelve :
x 7 = -y
z 8 = -x
y 3 = -z
Indica : xyz
a) 12 b) 15 c) 18
d) 36 e) 24
3).- Resuelve : 9x - 7y = -52
5x + 3y = -22
a) (0; 9)b) (-2, 7) c) (-1; 4)
d) (-5; 1)e) (-2; 0)
4).- Resuelve :
Indica : x + y
a) 9 b) 30 c) 34
d) 29 e) 7
5).- Calcula : si :
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
6).- Resuelve: 13x + 17y = 133
17x + 13y = 137
Indica: xy
a) 8 b) 18 c) 20
d) 21 e) 30
7).- Resuelve:
5x + y = 125
3x - y = 81
Indica :
a) 5 b) 2c) 7
d)-3 e)-2
8).- Resuelve:
2x y = 1
Indica el valor de y.
a) 1 b) 4 c) 6
d) 3 e) 2
9).- Resuelve :
3(x + 1) = 16 + 2(y - 1)
Indica el valor de
a) 5,5
b) 4,5
c) 1,5
d) 3,5
e) 2,5
10).- Resuelve :
Indica : y
a) 2
b) 1/3
c) -1
d) 1/2
e) 0
11).- Resuelve :
Indicando el valor de x.
a) 3 b) 1 c) 4
d) 3 e) 2
12).- Calcula : xyz; si :
x + y = 18 ; x + z = 23; y + z = 25
a) 360
b) 720 c) 1200
d) 2000e) 1000
13).- Si : yz = 24; zx = 10; xy = 15
Halla : x + y + z
a) 11/2
b) 9/2
c) 25/2
d) 7/2
e) 5/2
14).- Indica el menor valor para una de las variables:
x + y + z = 2
x + y + w = 8
y + z + w = 5
x + z + w = 3
a) 2 b) 4
c) 6
d) 1 e) 3
15).- Si : x = y en el sistema :
ax + 4y = 119
5x ay = 34
Halla a
a) 6
b) 7
c) 2
d) 3
e) 2
16).- Resuelve :
Indicando : 1/x2
a) 36
b) 16
c) 1/4
d) 4
e) 1/36
17).- Calcula x/y al resolver el sistema.
- y = 2
+3y = 5
a) 1 b) 2
c) 3
d) 4 e) 5
18).- Resuelve :
Indicando el valor de x + y
a) 8 b) 9 c) 11
d) 4 e) 6
19).- Dado el sistema:
Halla y/x
a) 2
b) 4
c) 16
d) 8
e) 10
20).- Resuelve:
a) {2; 3}b) {3; 2}
c) {-2; 3}
d) {2; 1}e) {-2; -3}
21).- Calcula : x y , si :
a) 2 b) 1 c) 2
d) 0 e) 1
22).- Calcula : x y al resolver :
a) 2 b) 3
c) 1
d) 1 e) -2
23).- Calcula xy en el sistema :
x + 1 =
x 1=
a) 1/4
b) 3
c) 12
d)
e) 1/4
24).- Calcula x al resolver :
a) 7
b) 5
c) 3
d) 2
e) 1
CLAVES DE RESPUESTAS
1) d
2) a
3) d
4) b
5) c
6) c
7) c
8) d
9) e
10)c
11)e
12)c
13)c
14)a
15)d
16)b
17)e
18)b
19)b
20)a
21)b
22)d
23)d
24)a
NOTA
Los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas se resuelven eliminando una incgnita en 2 ecuaciones cualesquiera y a continuacin eliminando la misma incgnita en otras dos.
3x3
3
1
1
1
1
12
1
1
1
1
1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
3x3
3x3
2x2
2x2
2x2
3x3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
2x2
2x2
2x2
2x2
2x2
2x2
2X2
3x3
fila 1
2x2
2x2
2x3
2x3
2x3
2x2
1x1
3x1
1x3
mx1
1xn
2x2
2x2
3x2
3x2
3x2
3x3
3x3
2x3
3x2
A = (aij) m x n
Filas
Columnas
A =
-4
3
(
O
Im
R
a
Z
b
(
PAGE 112
_1196489420.unknown
_1247375916.unknown
_1247378216.unknown
_1247378496.unknown
_1247378552.unknown
_1247378698.unknown
_1247379070.unknown
_1247379112.unknown
_1247379123.unknown
_1247379096.unknown
_1247379085.unknown
_1247378721.unknown
_1247378732.unknown
_1247379063.unknown
_1247378860.unknown
_1247378727.unknown
_1247378710.unknown
_1247378715.unknown
_1247378705.unknown
_1247378584.unknown
_1247378601.unknown
_1247378609.unknown
_1247378693.unknown
_1247378589.unknown
_1247378562.unknown
_1247378576.unknown
_1247378557.unknown
_1247378517.unknown
_1247378533.unknown
_1247378539.unknown
_1247378522.unknown
_1247378507.unknown
_1247378512.unknown
_1247378500.unknown
_1247378350.unknown
_1247378381.unknown
_1247378394.unknown
_1247378490.unknown
_1247378388.unknown
_1247378369.unknown
_1247378371.unknown
_1247378363.unknown
_1247378264.unknown
_1247378339.unknown
_1247378344.unknown
_1247378332.unknown
_1247378229.unknown
_1247378244.unknown
_1247378238.unknown
_1247378222.unknown
_1247378136.unknown
_1247378187.unknown
_1247378205.unknown
_1247378210.unknown
_1247378199.unknown
_1247378148.unknown
_1247378157.unknown
_1247378142.unknown
_1247375970.unknown
_1247375991.unknown
_1247378130.unknown
_1247375985.unknown
_1247375929.unknown
_1247375948.unknown
_1247375956.unknown
_1247375935.unknown
_1247375923.unknown
_1247374504.unknown
_1247375619.unknown
_1247375697.unknown
_1247375866.unknown
_1247375880.unknown
_1247375887.unknown
_1247375908.unknown
_1247375873.unknown
_1247375823.unknown
_1247375853.unknown
_1247375860.unknown
_1247375846.unknown
_1247375841.unknown
_1247375809.unknown
_1247375817.unknown
_1247375708.unknown
_1247375650.unknown
_1247375677.unknown
_1247375694.unknown
_1247375659.unknown
_1247375634.unknown
_1247375643.unknown
_1247375626.unknown
_1247375511.unknown
_1247375573.unknown
_1247375601.unknown
_1247375613.unknown
_1247375599.unknown
_1247375543.unknown
_1247375565.unknown
_1247375517.unknown
_1247374610.unknown
_1247375476.unknown
_1247375492.unknown
_1247375498.unknown
_1247375482.unknown
_1247374632.unknown
_1247374698.unknown
_1247375470.unknown
_1247374643.unknown
_1247374653.unknown
_1247374658.unknown
_1247374638.unknown
_1247374621.unknown
_1247374628.unknown
_1247374616.unknown
_1247374583.unknown
_1247374598.unknown
_1247374605.unknown
_1247374589.unknown
_1247374568.unknown
_1247374573.unknown
_1247374578.unknown
_1247374557.unknown
_1204780100.unknown
_1247374396.unknown
_1247374441.unknown
_1247374470.unknown
_1247374497.unknown
_1247374451.unknown
_1247374464.unknown
_1247374412.unknown
_1247374435.unknown
_1247374407.unknown
_1210627055.unknown
_1245761983.unknown
_1247374374.unknown
_1247374391.unknown
_1247373954.unknown
_1247373990.unknown
_1210627064.unknown
_1210627067.unknown
_1210627060.unknown
_1204782508.unknown
_1210627051.unknown
_1204781443.unknown
_1204550373.unknown
_1204550384.unknown
_1204550402.unknown
_1204550406.unknown
_1204550409.unknown
_1204550410.unknown
_1204550411.unknown
_1204550408.unknown
_1204550404.unknown
_1204550405.unknown
_1204550403.unknown
_1204550400.unknown
_1204550401.unknown
_1204550385.unknown
_1204550375.unknown
_1204550376.unknown
_1204550374.unknown
_1204550369.unknown
_1204550371.unknown
_1204550372.unknown
_1204550370.unknown
_1196489701.unknown
_1196492020.unknown
_1196489686.unknown
_1125253310.unknown
_1125515371.unknown
_1193483856.unknown
_1193561501.unknown
_1193561773.unknown
_1193561891.unknown
_1193562106.unknown
_1193562170.unknown
_1193640316.unknown
_1193641954.unknown
_1193562134.unknown
_1193561944.unknown
_1193561960.unknown
_1193562070.unknown
_1193561927.unknown
_1193561850.unknown
_1193561871.unknown
_1193561833.unknown
_1193561834.unknown
_1193561812.unknown
_1193561559.unknown
_1193561597.unknown
_1193561707.unknown
_1193561763.unknown
_1193561617.unknown
_1193561580.unknown
_1193561522.unknown
_1193561540.unknown
_1193561366.unknown
_1193561398.unknown
_1193561427.unknown
_1193485277.unknown
_1193483932.unknown
_1193483965.unknown
_1193483877.unknown
_1183708050.unknown
_1187367662.unknown
_1193482311.unknown
_1193483800.unknown
_1193483826.unknown
_1193483732.unknown
_1187369650.unknown
_1193481975.unknown
_1193482178.unknown
_1187378133.unknown
_1187378183.unknown
_1187367775.unknown
_1183719587.unknown
_1187352367.unknown
_1187357920.unknown
_1187353645.unknown
_1186504840.unknown
_1186505007.unknown
_1186503434.unknown
_1183709387.unknown
_1183719262.unknown
_1183708676.unknown
_1160470063.unknown
_1182769776.unknown
_1183706921.unknown
_1160470954.unknown
_1147087769.unknown
_1148693118.unknown
_1148693443.unknown
_1156166195.unknown
_1148693249.unknown
_1148692696.unknown
_1125516002.unknown
_1125516091.unknown
_1125708570.unknown
_1125515460.unknown
_1125254821.unknown
_1125256611.unknown
_1125257705.unknown
_1125260134.unknown
_1125260491.unknown
_1125260930.unknown
_1125261009.unknown
_1125260392.unknown
_1125258334.unknown
_1125258566.unknown
_1125257729.unknown
_1125257570.unknown
_1125257673.unknown
_1125256993.unknown
_1125255707.unknown
_1125255837.unknown
_1125256309.unknown
_1125255785.unknown
_1125255152.unknown
_1125255204.unknown
_1125254921.unknown
_1125253965.unknown
_1125254038.unknown
_1125254104.unknown
_1125254019.unknown
_1125253449.unknown
_1125253603.unknown
_1125253355.unknown
_1122145415.unknown
_1125250296.unknown
_1125251918.unknown
_1125253161.unknown
_1125253232.unknown
_1125252060.unknown
_1125250578.unknown
_1125251032.unknown
_1125251212.unknown
_1125251398.unknown
_1125250956.unknown
_1125250482.unknown
_1125250511.unknown
_1125250346.unknown
_1125164760.unknown
_1125250085.unknown
_1125250194.unknown
_1125165469.unknown
_1125249700.unknown
_1125165401.unknown
_1125163276.unknown
_1125163501.unknown
_1125104497.unknown
_1125162964.unknown
_1125160771.unknown
_1125104369.unknown
_1122139877.unknown
_1122142599.unknown
_1122142818.unknown
_1122143164.unknown
_1122143221.unknown
_1122142904.unknown
_1122142632.unknown
_1122140170.unknown
_1122141335.unknown
_1122141977.unknown
_1122140210.unknown
_1122140154.unknown
_1090054594.unknown
_1090055282.unknown
_1090055319.unknown
_1094110342.unknown
_1090055116.unknown
_1090053846.unknown
_1090054566.unknown
_1090053292.unknown
_1063182045.unknown