8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

1/12

 ρ C  p V d T out 

dt   + ρ C  p Q T out = ρ C  p Q T ¿+ Ú A c (T c (0 )−T out )

Análisis dimensional

[( kgm3 )(

  kJ 

kg∙K  )( m3 )( K s )

][( kgm3 )(   kJ k g ∙K   )(m

3

s )( K )] [( kgm3 )(   kJ kg∙K  )(m3

s )( K ) ][(   kW m2∙ K  )( m2) ( K )

][ kW  ] [ kW ] [ kW ] [ kW ] ρ C  p V 

d T out 

dt   + ρ C  p Q T out = ρ C  p Q T ¿+ Ú A c (T c (0 )−T out )

Dividendo toda la expresión entre  ρ C  p Q .

 ρC  pV 

 ρC  pQ

d T out 

dt   +

 ρ C  p Q

 ρ C  p Q T out =

 ρ C  p Q

 ρ C  p Q T ¿+

Ú Ac

 ρC  p Q (T c (0 )−T out )

Definiendo:

θ=tQ

V 

 H =Ú Ac

 ρ C  p Q

 

Modelo de lazo abierto (sin ningún control)

Balance de energíad T out ( θ )

d θ  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H T c (0 )(1)

T c=T c (0 )−k  P e (θ )−k  I (V Q )∫0

θ

e (θ ) dθ−k  Dde

dθ

e ( θ )=T out (θ )−T setpoint 

T c

=T c

 (0 )−k  P (

T out 

 (θ )−T setpoint )

−k  I 

(V 

Q

)∫0

θ

(T 

out 

 (θ )−T setpoint )

dθ−k  D

d ( T out  (θ )−T setpoint  )

dθ  (2)

Sustituimos la Ec. (2 en la Ec. (!

d T out ( θ )d θ

  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H {T c (0 )−k  P (T out (θ )−T setpoint )−k  I (V Q )∫0

θ

(T out  (θ )−T setpoint ) dθ−k  Dd (T ou

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

2/12

d T out ( θ )

d θ  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H T c (0 )− H k  P ( T out (θ )−T setpoint )− H k  I (V Q )∫

0

θ

( T out  (θ )−T setpoint ) dθ− H k  D

  Modelo dinámico con lazo cerrado (PD)

d T out ( θ )

d θ  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H T c (0)− H k  P ( T out (θ )−T setpoint )− H k  D

d (T out  (θ )−T setpoint )dθ

d T out ( θ )

d θ  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H T c (0 )− H k  P ( T out (θ )−T setpoint )− H k  D

d T out ( θ )

dθ  + H k  D

d T setpoint 

dθ

d T out ( θ )

d θ  +[1+ H ] T out  (θ )=T ¿ (θ )+ H T c (0)− H k  PT out  (θ )+ H k  PT setpoint − H k  D

d T out  (θ )

dθ  + H k  D

d T setpoint 

dθ

"earreglando

d T out (θ )

d θ  + H k  D

d T out (θ )

d θ  + [1+ H ] T out + H k  P T out =T ¿ (θ )+ H T c (0 )+ H k  P T setpoint + H k  D

d T setpoint 

dθ

[1+ H k  D ] d T out  (θ )

d θ  + [1+ H  ]T out + H k  P T out =T ¿ (θ )+ H T c (0 )+ H k  P T setpoint + H k  D

d T setpoint 

dθ

Primera simplificación

T setpoint =cte

[1+ H k  D ] d T out  (θ )

d θ  + [1+ H  ]T out + H k  P T out =T ¿ (θ )+ H T c (0 )+ H k  P T setpoint 

"estando el estado estacionario

−{[1+ H  ]T out (0 )=T ¿ (0 )+ H T c (0 ) }

[1+ H k  D ] d T out  (θ )

d θ  + [1+ H  ] (T out −T out (0 ) )+ H k  P T out =(T ¿−T ¿ (0 ) )+ H k  P T setpoint 

Segunda simplificación

T setpoint =T out  (0 )

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

3/12

[1+ H k  D ] d T out  (θ )

d θ  + [1+ H  ] (T out −T out (0 ) )+ H k  P T out =(T ¿−T ¿ (0 ) )+ H k  P T out (0 )

[1+ H k  D ] d T out  (θ )

d θ  + [1+ H  ] (T out −T out (0 ) )+ H k  P (T out −T out  (0 ) )=(T ¿−T ¿ (0 ) )

Definiendo las varia#les de desviación

T out '  =T out −T out (0 )

T ¿' =T ¿−T ¿ (0 )=∆ T ¿ ∙   ( t )

Entonces

[1+ H k  D ] d T out 

' 

d θ  +[1+ H  ] (T out 

'  )+ H k  P (T out '  )=( T ¿'  )

[1+ H k  D ] d T out 

' 

d θ  +[1+ H + H k  P ] (T out 

'  )=(T ¿'  )

Definiendo

! out '  ( s)= " {T out '  }

! ¿'  ( s)= " {T ¿'  }

$ransformando % aplicando propiedades de la transformada de &aplace.

[1+ H k  D ] (s ! out '  −T out 

'  )+[1+ H + H k  P ] (! out '  )=! ¿' 

'or definición:

T out '  =0

'or lo tanto:

[1+ H k  D ] s ! out '  + [1+ H + H k  P ] (! out 

'  )=! ¿' 

Agrupando trminos:

! out '  {s [1+ H k  D ]+[1+ H + H k  P ]}=! ¿' 

Función de transferencia

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

4/12

! out ' 

! ¿'   =

  1

[1+ H k  D ]s+[1+ H + H k  P ]

De#emos encontrar los polos de la función

[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]=0

)riterio de esta#ilidad

 #e$% {s1 }

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

5/12

Sustitu%endo en la función de transferencia:

! out ' =

  & T ¿

[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]

Aplicando teorema de valor final

T out '  (( )= lim

s )0

s ∙ ! out ' 

lims )0

s ∙[   &T ¿[1+ H k  D ]s+[1+ H + H k  P ] ]¿ lim

s )0

s ∙ & T  ¿

[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]

Aplicando propiedades de los límites

¿lims )0

s ∙ & T  ¿

lims )0

[1+ H k  D ] s+ lims )0

[1+ H + H k  P ]

Así *ue:

T out '  (( )=0

'or lo tanto:

T out (( )=T out '  (( )+T out (0 )

T out (( )=T out  (0 )

2. 'ertur#ación tipo escalón en T ¿' 

T ¿' = & T ¿ ∙   ( θ )

T ¿' = & T ¿ ∙ U  (θ )

Aplicando la trasformada

! ¿' = &T ¿ ∙

 1

*

Sustitu%endo en la función de transferencia.

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

6/12

! out ' 

 & T ¿ ∙1

s

=  1

[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]

! out '  =

 &T ¿

∙1

s[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]

Aplicando el teorema del valor final

T out '  (( )=lim

s )0

s ∙ ! out ' 

lims )0

s ∙

1

s ∙ & T ¿

[1+ H k  D ]s+[1+ H + H k  P ]

¿ lims )0

 & T ¿

[1+ H k  D ] s+[1+ H + H k  P ]

Aplicando propiedades de los límites

¿lims )0

 & T ¿

lims )0

[1+ H k  D ] s+ lims )0

[1+ H + H k  P ]

'or lo tanto:

T out '  (( )=

  & T ¿

[1+ H + H k  P ]

A-ora en la función de transferencia:

! out ' 

! ¿'   =

  1

[1+ H k  D ]s+[1+ H + H k  P ]

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

7/12

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

8/12

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

9/12

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

10/12

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

11/12

8/18/2019 CSE Control Proporcional-Derivativo

12/12