Transformaciones a coordenadas curvilneas generales FMM-1.7H1. V1.1, 8-marzo-2004 Consideremosunsistemadecoordenadascartesianasx1,x2,x3convectoresbase i 1, i 2, i 3{ }. Transformamos a un sistema de coordenadas curvilneas 1, 2, 3 con vectores de la base natural{ }. g 1, g 2, g 3g 1 g 2 g 33 1 2 i 3 x3 i 1 x2 i 2r x1 Notas: 1.Planteamosunatransformacindecartesianasacurvilneasparaexaminarlas propiedadesdelsistemadecoordenadascurvilneas;losresultadospertenecenal sistema de coordenadas y no a la transformacin. 2.Engeneralhaycuatrobasesimportantesparaunsistemadecoordenadas curvilneas: Base natural{ } g 1, g 2, g 3Base natural fsicae 1, e 2, e 3{ } = base natural normalizada Base recproca Base recproca fsica = base recproca normalizada 3.Los vectores de la base natural son tangentes a las coordenadas. 4.La notacin correcta consiste en utilizar superndices para coordenadas y utilizar, para ndices repetidos (que implican suma), una pareja de superndice y subndice. Estoes,vk g kparaindicarsuma,i.e.v um g m k g k= v1 g 1+ v2 g 2+ v3 g 3.Enesta clasesimplificamosysloutilizamossuperndicesparalabaserecprocay componentes contravariantes en la seccin 3.5. 5.El objetivo de este desarrollo es derivar el resultado, para coordenadas curvilneas ortogonales,J=h1h2h3dondeJeseljacobianoyh1,h2,h3sonlosfactoresde escala.AdemssedemostrarquedV= J d1d2d3.Porotrapartesediscutir eldiferencialdelongituddearcoysurelacinaltensormtricofundamental; todo lo anterior a partir de los componentes cartesianos de los vectores de la base natural. 2 Consideremos la transformacin: Tx : Cart Curv Tx : Curv Cart1=1(x1, x2, x3)2=2(x1, x2, x3)3=3(x1, x2, x3)x1= x1(1,2,3)x2= x2(1,2,3)x3= x3(1,2,3) Elprimerpasoeneldesarrolloesobtenerlosvectoresdelabasenatural;paralograrlo consideramos el radio vector r (que va desde el origen hasta un punto P en el espacio): r = x1 i 1+ x2 i 2+ x3 i 3= xk i kk=1,3= xk i k en donde se puede omitir la sumatoria si se considera que los ndices repetidos implican suma. Ntese que podemos obtener los vectores de la base si sacamos parciales del radio vector con respecto a las coordenadas: i k=rxkk =1,2,3. Si consideramos el radio vector como funcin de las coordenadas curvilneasr =1g 1+2g 2+3g 3=kg k obtenemos g k=rkk =1,2,3, enestecasopensamosqueelradiovectoresfuncindelascoordenadascurvilneas;si aplicamos la ecuacin anterior al radio vector que depende de las coordenadas cartesianas utilizamos la regla de la cadena g k=r(x1, x2, x3)k=r(x1, x2, x3)xmxmk=xmk i mk =1,2,3 en donde el ndice repetido m implica suma tomando valores 1,2 y 3. Con esto se puede verqueloscomponentes(cartesianos)delosvectoresdelabasenaturaldelsistema curvilneoseobtienenapartirdelatransformacindecoordenadascurvilneasa cartesianas J x( )=x11x12x13x21x22x23x31x32x33| \ | . | | | | | Componentes cartesianos deg 1g 2g 3g k=xmk i mk =1,2,3 Se puede ver que los componentes de estn dados por la primera columna de la matriz del jacobiano de la transformacin; esto es, las columnas de la matriz del jacobiano nos dan los componentes cartesianos de los vectores de la base natural. g 13 A partir de este punto nos restringimos a sistemas de coordenadas curvilneas ortogonales (OG);enestossistemas,losvectoresdelabasenaturalsonortogonalesaunqueno necesariamente ortonormales (ON). El segundo paso en el desarrollo consiste en normalizar los vectores de la base natural y obtenerlabasenaturalfsica{ .Sedefinealosfactoresdeescala h e 1, e 2, e 3}mcomola magnitud de los vectores de la base natural; esto es hm g m= g m g m=x1m| \ | . | 2+x2m| \ | . | 2+x3m| \ | . | 2m =1,23 Con esto podemos definir los vectores (ortonormales; ON) de la base natural fsica e m g mhmm =1,23 (sinsuma)1. Cabe hacer notar que estos vectores son adimensionales, mientras que los vectores de la base natural pueden tener dimensiones; en particular, si una coordenada es un ngulo, el vector (de la base natural) asociada a esa coordenada tendr dimensiones de longitud. Lo anterior se puede ver de la ecuacin del radio vector que tiene dimensiones de longitud; portantolossumandostienendimensionesdelongitudysiunacoordenadanotiene dimensiones entonces las dimensiones (de longitud) las tendr el vector que multiplica a esa coordenada. El producto interno de los vectores de la base natural fsica se puede expresar en trminos de la delta de Kronecker: e k e m=km=1 si k = m0 si k m Es de uso comn denotar los vectores de la base natural fsica por las coordenadas en vez denmeros;estoes{ seescribe e 1, e 2, e 3} e r, e , e z{ }encoordenadascilndricaso en coordenadas esfricas.e r, e , e { }Unresultadoquenosserdegranutilidadposteriormenteeselclculodeljacobiano (J=determinantedelamatrizdeljacobiano)entrminosdelosfactoresdeescala; considerandoelproductodelatranspuestadelamatrizdeljacobianoporlamatrizdel jacobiano tenemos que JT J = g 1 g 2g 3| \ | . | | | g 1 g 2 g 3( )= g i g j ( )= g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 3 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g 3g 3 g 1g 3 g 2g 3 g 3| \ | . | | | =h120 00 h2200 0 h32| \ | . | | | = TMFdondelaltimamatrizesdiagonal(paracoordenadasOG)ysedenominaeltensor mtricofundamental(TMF;regresaremosalTMFposteriormente).Puestoquela determinantedeunproductodematriceseselproductodelosdeterminantesyel 1 Ntese que la m del factor de escala est subrayada para indicar que en este caso m no est repetida y no hay suma; esto es,e 1= g 1h1, etc. 4 determinantedelatranspuestadeunamatrizesigualaldeterminantedelamatriz, tenemos que, si sacamos determinantes de la ecuacin anterior, JT J = J2= J2= h12h22h32= h1h2h3( )2J = h1h2h3 Estoes,paraunsistemadecoordenadascurvilneasOG,eljacobianoestdadoporel producto de los factores de escala. El tercer paso en el desarrollo es el clculo de la longitud de arco dl; para un camino en el espacio tenemos que sir =kg k entoncesdr = dkg k. Con esto2 dl2= dr2= dr dr = dkg k dmg m= g k g m( )dkdm Elproductointernodelosvectoresdelabasenaturalsonlos componentesdeltensormtricofundamental(TMF)yse denominan gkm. Con esto escribimos drdlrTMF = gkm( ) g k g m( )= JT J =h120 00 h2200 0 h32| \ | . | | | en donde la ltima expresin slo es vlida en coordenadas OG. Finalmente, obtenemos una expresin para la longitud de arco: dl2= gijdidj= h12d12+ h22d22+ h32d32 De nuevo, la ltima expresin es vlida en coordenadas OG. El ltimo paso en el desarrollo es el clculo del volumen del elemento diferencial, el cual se puede escribir utilizando el triple producto escalar: g 1d1 g 2d2 g 3d32 3 1 dV= g 1d1 g 2d2( ) g 3d3= g 1 g 2( ) g 3d1d2d3 Considerando el triple producto escalar de los vectores, g 1 g 2( ) g 3=dxkd1 i kdxld2 i l| \ | . | dxmd3 i m= i k i l( ) i mdxkd1dxld2dxmd3 se puede ver quei k i l=kln i n en dondekln=1 si kln son permutacin par de {1,2, 3}1 si kln son permutacin impar de {1,2, 3}0 si kln estn repetidos entonces, i k i l i m=kln i n i m=klnnm=klm, y con esto g 1 g 2( ) g 3=klmdxkd1dxld2dxmd3. 2 Ntese la doble sumatoria sobre k y m. 5 Ahorabien,delatriplesumatoriasobrelosndices k,l,mtenemos27sumandosdelos cuales 21 sumandos son cero (ndices repetidos), tres son positivos (klm= +1) y tres son negativos(klm= 1).Conesto,hacemoslaexpansindelaecuacinanteriory obtenemos g 1 g 2( ) g 3=dx1d1dx2d2dx3d3+dx2d1dx3d2dx1d3+dx3d1dx1d2dx2d3dx1d1dx3d2dx2d3dx3d1dx2d2dx1d3dx2d1dx1d2dx3d3 Examinando la ecuacin anterior, vemos que g 1 g 2( ) g 3=dx1d1dx1d2dx1d3dx2d1dx2d2dx2d3dx3d1dx3d2dx3d3= J Finalmente,sustituyendoesteresultadoenlaexpresindelvolumendiferencial, obtenemos dV= g 1 g 2( ) g 3d1d2d3= Jd1d2d3= h1h2h3d1d2d3 En donde el ltimo resultado se aplica a coordenadas OG. Cabe hacer notar que todos los resultados en donde no aparecen los factores de escala se pueden utilizar en coordenadas curvilneas generales; slo cuando aparecen los factores de escala, el resultado se limita a coordenadas curvilneas OG. El ltimo resultado se puede aplicar a diferenciales de rea cuando las coordenadas son 2D; esto es, cuando la transformacin es del tipo Tx : Cart Curv 2D Tx : Curv 2DCart1=1(x1, x2)2=2(x1, x2)3x3x1= x1(1,2)x2= x2(1,2)x33 en este caso, dA12= Jd1d2= h1h2d1d2. Denuevo,elprimerresultadoesgeneral,mientrasqueelsegundoseaplicaa coordenadas 2D OG. Sistemasdecoordenadas2DincluyenelsistemaCartesiano,Cilndrico,Elptico-Cilndrico,Parablico-CilndricoyBipolar;sistemas3DOGincluyenelEsfrico3, Paraboidal, Cnico, Toroidal, Biesfrico, etc. 3 En FMM tomaremos las coordenadas esfricas como {r, , } (como se definen en el paquete Calculus`VectorAnalysis` de Matemtica y en el libro de Narasimhan), a diferencia de {r, ,} como se definen en otros libros.