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Departamento: Física Aplicada IIIMecánica Racional (Ingeniería Industrial) Curso 2007-08

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Coordenadas Curvilíneas

1. Introducción a. Objetivo: Generalizar los tipos de coordenadas conocidos

i. Cartesianas ii. Cilíndricas , Esféricas, etc.

b. Utilidad: Adaptar la descripción matemática a la geometría. c. Ejemplos de descripción de movimientos

Sobre superficie esférica: C. esféricas Sobre superficie cónica: C. esféricas Sobre superficie cilíndrica: C. cilíndricas

2. Concepto de C. curvilínea a. C. cartesianas: Intersección de tres planos coordenados b. Generalización: Intersección de tres familias de superficies c.

qi= qi(x1,x2,x3), i= 1, 2, 3

O

X

Y

P

q1

q2

c. Correspondencia biunívoca: P(x1,x2,x3) ↔ P(q1,q2,q3 ) Ejemplo (planas): q1 Distancia a un punto q2 Distancia a una recta

d. Condiciones: i. Existen xi= xi (q1,q2,q3 ),

qi= qi (x1,x2,x3) (i=1,2,3) ii. Son funciones continuas con derivadas

continuas iii. |J| ≠ 0, |J’| ≠ 0

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

0i

j

x x xq q q

x x x xJ

q q q qx x xq q q

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= = ≠∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

, ' 0i

j

qJ

x∂

= ≠∂

3. Elementos coordenados

q =cte1

q =cte2

q =cte3

e 2

e 1

e 3

e1ee 2

e 3

línea q1

línea q 2

Elementos coordenados

a. Superficies (2 coordenadas independientes) i. Cartesianas: xi= cte.

ii. Curvilíneas: qi= cte. iii. Ejemplos:

Familia de superficies esféricas q x 2 2 2

12y z= + +

Familia de planos 1q A x B y C z= + + b. Lineas (1 coordenada independiente)

q1≡ (q2= cte) ∩ (q3= cte), q2≡ (q1= cte) ∩ (q3= cte), q3≡ (q1= cte) ∩ (q2= cte)

Departamento Física Aplicada III Coordenadas curvilíneas

c. Ejercicio propuesto: Un sistema de coordenadas viene dado por q1: distancia al eje OZ, q2: distancia al eje OY, q3: distancia al plano z=0.

Determinar el dominio de definición y los elementos coordenados (superficies y líneas) a) Dibujar en un espacio tridimensional cartesiano las coordenadas

indicadas. b) Determinar las superficies coordenadas 1 2 3( , , )i iq q x x x= , 1 2 3( , , )i ix x q q q= . c) Determinar las líneas coordenadas. d) Calcular el jacobiano y determinar el dominio de definición

4. Bases vectoriales contravariantes: { }ei

a. Definición: rei qi

∂=∂

b. Propiedades i. Locales: Dependen del punto

ii. Tangentes en P a las líneas coordenadas iii. Forman base vectorial local

( )

31 2

1 1 1

31 21 2 3

2 2 2

31 2

3 3 3

0

xx xq q q

xx xe e e Jq q q

xx xq q q

∂∂ ∂∂ ∂ ∂

∂∂ ∂⋅ × = = ≠

∂ ∂ ∂∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

iv. En general no son ortogonales v. En general no son unitarios i ie h ui=

1e h= 1 Factor de escala contravariante

{ }iu unitarios: Base física contravariante c. Consecuencias

i. Expresión de un vector 1 2 3

1 2 3A A e A e A e= + +e dq1 1e dq1 1

e dq2 2

e dq3 3 ds

iiA A e= (convenio de Einstein)

ii. Elemento de arco i idr ds dq e= =

iii. Elemento de volumen 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )d ol dq e dq e dq e dq dq dq e e e dq dq dq Jν = ⋅ × = ⋅ × =

5. Base vectorial covariante: { }ie

a. Definición: 1 21 2

i i ii

q q q3

3

ii i ie qx x x∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

b. Propiedades i. Locales: Dependen del punto

ii. Normales en P a las superficies coordenadas iii. Forman base vectorial local

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( )

1 1 1

1 2 3

1 2 3 2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

' 0

q q qx x xq q qe e e Jx x xq q qx x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⋅ × = = ≠∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

iv. En general no son ortogonales v. En general no son unitarios i ie h u= i

ie h= i : Factor de escala covariante

{ }iu unitarios: Base física covariante c. Expresión de un vector:

1 2 31 2 3A A e A e A e= + +

iiA Ae= (convenio de Einstein)

6. Reciprocidad de las bases.

ii

req∂

=∂

, 1 2 31 2 3

i i ii

r r rdr dq dq dq e dq e dqq q q∂ ∂ ∂

= + + = =∂ ∂ ∂ ∑ i i idr e dq=,

jje q= ∇ , 1 2

1 2 3

j j jj q q qe i i 3ix x x

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

, 1 21 2

j jj q q qe dr dx i i3

3

j

x x x∂ ∂ ∂

⋅ = + +∂ ∂ ∂

, jjdq e dr=

jj i idq e e dq=

Como {qi} son independientes, habrá de ser {0,

1,,j j j ii i ie e δ δ j

i j≠=⋅ = = , δ: delta de Kronecker

7. Componentes de un vector a. Contravariantes: 1 2 3

1 2 3A A e A e A e= + + ( )1 2 31 2 3

j jA e A e A e e A+ + ⋅ = , j jA A e= ⋅

b. Covariantes: 1 2 31 2 3A A e A e A e= + + , ( )1 2 3

1 2 3 i i ie A e A e e A Ae+ + ⋅ → = A

8. Cambios de base

a. De covariante a contravariante ,j

i i je g e= (índices: j mudo, i fijo)

- combinación lineal de ie je - 1 2

,1 ,2 ,3i i i ie g e g e g e= + +

- ( ),i jG g= : Matriz de Gram covariante.

b. De contravariante a covariante: ,i i jje g e=

- combinación lineal de ie je

- ,1 ,2 ,31 2 3

i i i ie g e g e g e= + +

- ( ),' i jG g= : Matriz de Gram contravariante

c. Propiedades de la matriz de Gram i. Elementos: Productos escalares de los vectores de las bases

( ),k

i i k je g e e= ⋅ → ,i j i jg e e , = ⋅

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( ),j

i kk

ie g e e= ⋅ → ,i j i jg e e= ⋅

ii. Simetría: , ,i j j i i g je e e e g g⋅ = ⋅ → = i

i

j=

, ,i j j i i j je e e e g g⋅ = ⋅ → =

iii. Reciprocidad: δ ,,

j ki i kg g

( ) ,, ,

k j j j k j ki i k i i i k i ke g e e e e g e e g gδ⋅ = → = ⋅ = = ,

j

ii

9. Producto escalar de dos vectores: i j

i jA B Ae B e A B⋅ = ⋅ = i

iA B A B⋅ =

10. Coordenadas ortogonales a. Concepto: e (i≠j) i je⊥

,

b. Superficies y líneas coordenadas ortogonales → ,

,

i ji j

i ji j

e e e e

u u u u

⊥ ⊥

⊥ ⊥

c. Matrices de Gram diagonal: i. Superficies coordenadas, ortogonales →

, ,i j i j i i j j i j i jg e e h u h u h h δ= ⋅ = ⋅ = ,i j i j i jg h h δ= , (si i=j ( )2ii ig h= , si i≠j 0ijg = )

ii. Líneas coordenadas ortogonales → , ,i j i j i i j j i j i jg e e h u h u h h δ= ⋅ = ⋅ =

, ,i j i j i jg h h δ=

d. Bases físicas idénticas

e dq1 1e dq1 1

e dq2 2

e dq3 3 ds

i. , → e( )2i ii ii ie g e h e= = ei

i → u uii =

ii. Factores de escala recíprocos 11i i i i

i i i i i ie e h u h u h h hh

⋅ = ⋅ = = → = (i no sumatorio)

e. Elemento de arco: General: i idr ds dq e= =

j

2

( )2,i j i j i j ids dq dq e e dq dq g= ⋅ =

C. Ortogonales: ( ) ( ) ( )2 2i ids h dq=

f. Elemento de volumen:

1 2 3d vol J dq dq dq=

1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) (J e e e h u h u h u h h h u u u= ⋅ × = ⋅ × = ⋅ × )

( )1 2 3 1u u u⋅ × = , 1 2 3J h h h= d v 1 2 3 1 2 3ol h h h dq dq dq=

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11. Componentes de la velocidad v a. Contravariantes, : iq

i i i i ir q eti

r de dr dq e vq d∂

= → = → = =∂ i iq e; v =

b. Covariantes, iqτ∂

∂ :

, ,, ,ji i i i j j i i jv q e v q g e V q g= = → =

Energía cinética específica: τ=½v2

2, ,

1,2i i j j i j i j i j i jv q e q e q q g q q gτ= ⋅ = =

Sea α un valor del índice (1, 2 ó 3)

, ,1 12 2j j i iq g q g

q α αα

τ∂= +

∂

Como los índices i y j son mudos y además G es simétrica, podemos denominarlo i y escribir

,i iq gq αα

τ∂=

∂, es decir V

qαα

τ∂=∂

i

i

v eqτ∂

=∂

12. Componentes covariantes de la aceleración a

a. En base natural covariante: i i

j j i j iA a e Ae e A jδ= ⋅ = ⋅ = → j jA a e= ⋅ ,

j jdvA edt

= ⋅

Teniendo en cuenta que ( )j j

j

d v e dedv e vdt dt dt⋅

= ⋅ + ⋅ resulta

( )j jJ

d v e deA v

dt dt⋅

= − ⋅

Cálculo de ( )jd v e

dt⋅

( )ji

j ji j

d v e dv e e eq q dt dt q j

τ τ τ⋅∂ ∂⋅ = ⋅ = → =

∂ ∂∂∂

Cálculo de jdev

dt⋅

j

j

de d rdt dt q

∂=

∂ Para coordenadas del tipo geométrico

xi=xi(q1,q2,q3), que no dependen explícitamente de las velocidades generalizadas ni del tiempo. puede permutarse el orden de derivación:

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j

j j

de d r dr vdt dt q q dt q

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ j

,

j

j j

de vv vdt q q

τ∂ ∂= =

∂ ∂

En conclusión

jj j

dAdt q q

τ τ∂ ∂= −

∂ ∂

b. En base física

,i i i ii i i i ia Ae A h u a a u a A h= = = → = i

ii

i i

da hdt q q

τ τ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

en coordenadas ortgonales 1

ii i

dah dt q qi

τ τ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

13. Aplicación a coordenadas cilíndricas

a. Trasformaciones i. De cilíndricas a cartesianas

cos , ,x y sen z zρ φ ρ φ= = = ii. De cartesianas a cilíndricas

2 2 , tan ,yx y arc g zx

ρ φ ⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Cilindro cte.ρ =

Semiplano cte.φ =

ρ

zφ

Plano z=cte.

uρ

uθ

k

línea ρ

línea

z

línea φ P

XY

Z

Elementos coordenados en c. cilíndricas

z

b. Dominios de definición:

i. 0i

j

xJq∂

= ≠∂

cos 0

cos 0

0 0

x x xsenz

y y yJ senz

z z zz

φ ρ φρ φ

1

φ ρ φρ φ

ρ φ

∂ ∂ ∂= = − =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = = =∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

ρ

0J ≠ → Transformación definida excepto en ρ=0 (Eje OZ)

c. Superficies coordenadas i. Superficie ρ=cte.:

Cilindro de radio ρ y eje de simetría OZ ii. Superficie φ= cte.:

Semiplano que contiene al eje OZ y forma un ángulo φ con el y=0

iii. Superficie z= cte.: Plano paralelo al OXY a distancia z

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d. Líneas coordenadas

i. Líneas ( ) ( )cte z cteρ φ≡ = =∩ Solo cambia ρ Línea radial que pasa por (0,0,z) y P(x,y,z).

ii. Líneas ( ) ( )cte z cteφ ρ≡ = =∩

Solo cambia φ Circunferencia de centro (0,0,z), que pasa por P

iii. Líneas ( ) ( )z cte cρ φ≡ = =∩ te Solo cambia z Recta paralela a OZ que pasa por P

e. Base contravariante

1 2, cos

1;

re e i sen

h e u e

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

iφ φρ∂⎧ = = +⎪ ∂⎨

⎪ = = =⎩

1 2

1 2

, c

; c

re e sen i

h e u sen i i

φ φ

φ φ φ

os

os

iρ φ ρ φφ

ρ φ φ

∂⎧ = = − +⎪ ∂⎨⎪ = = = − +⎩

1,z

z z z z

e k

h e u e k

⎧ =⎪⎨

= = = =⎪⎩

f. Base covariante

, 1 22 2 2 2yxe e i

x y x y

ρ ρρ= ∇ = ++ +

i

Sustituyendo x,y se obtiene

1 2cos

1,

e i sen i

h e u e e

ρ

ρ ρ ρ ρρ

φ φ⎧ = +⎪⎨

= = = =⎪⎩

1 2

1

1, ( cos

1 , c

e e sen i

h e u sen i

u u

φ φ

φ φ φ

φφ

φ φρ

)

os

i

i

φ

φ φρ

⎧ = ∇ = − +⎪⎪⎪ = = = − +⎨⎪⎪ =⎪⎩

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1, ;

z

z z z z

e k

h e u e k

⎧ =⎪⎨

= = = =⎪⎩

g. Matriz de Gram

( )( )

( )

21

2 22

23

0 0 1 0 00 0 0

0 0 10 0

h

G h

h

ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

0

( )( )

( )

21

222

23

0 0 1 0 01' 0 0 0 0

0 0 0 0 1

h

G h

hρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

h. Arco elemental

1 1 1 2 2 2 3 3 3,i i i i ids dq e e h u ds h dq u h dq u h dq u

ds d u d u dz kρ φρ ρ φ

= = → = + +

= + +

e

i. Volumen elemental

1 2 3 1 2 3d vol h h h dq dq dqd vol d d dzρ ρ φ

==

j. Velocidad en base contravariante

i i

z

v q e

v e e zρ φρ φ

=

= + +

k. Velocidad en base física

, ,i i i i i

z

v q e q h u

e u e u e k

v u u zkρ ρ φ ρ

ρ φ

ρ

ρ ρφ

= =

= = =

= + +

( )2 2 2 21 12 2

v zτ ρ ρ φ= = + + 2

Obsérvese que estas componentes pueden obtenerse por inspección del dibujo del elemento de arco en estas coordenadas: v uρ ρρ= : cuando solo cambia ρ (Líneas ρ) v

v uρφ φφ= v: cuando solo cambia φ (Movimiento circular en la

línea φ)

zv zk= : cuando solo cambia z vObsérvese que en este caso los factores de escala hi son los que acompañan a i iq u

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l. Velocidad en base covariante Puede obtenerse mediante la energía cinética específica

i

i

v eqτ∂

=∂

También puede obtenerse cambiando la base en la expresión de la velocidad en base física

, , ,i i iii i i

i

ue h u u h e u e u e k eh

ρ φρ φ ρ= = → = = = = z

2 zv e e z eρ φρ ρ φ= + +

m. Aceleración en base covariante 2;dA A

dtρ ρτ τ ρ ρφρ ρ∂ ∂

= − = −∂ ∂

;z zdA Adt z z

zτ τ∂ ∂= − =

∂ ∂

n. Aceleración en base física

, , ,ii z

i

AAa a A a ah

φρ ρ φ ρ

= = = =

ρθφ

X

Y

Z

uθ

Uφ

uρ

P

Coordenadas esféricas

( ); 2dA Adtφ φ

τ τ ρ ρφ ρφφ φ∂ ∂

= − = +∂ ∂

zA

( ) ( )2 2a u uρ φρ ρφ ρφ ρφ= − + + + zk

14. Aplicación a coordenadas esféricas a. Transformaciones

i. De cartesianas a esféricas 2 2

2 2 2 , t , t x yyx y z arc g arc gx z

ρ φ θ⎛ ⎞+⎛ ⎞= + + = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ii. De esféricas a cartesianas cos , , cosx sen y sen sen zρ θ φ ρ θ φ ρ= = = θ

b. Dominio de definición

i

j

xJq

⎧ ⎫∂⎪ ⎪= ⎨ ⎬∂⎪ ⎪⎩ ⎭

2

cos cos cos

cos cos

cos 0

x x xsen sen sen

y y yJ sen sen sen sen sen

z z zsen

θ φ ρ θ φ ρ θ φρ θ φ

θ φ ρ θ φ ρ θ φ ρρ θ φ

θ ρ θρ θ φ

∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = = = =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= =− =

∂ ∂ ∂

θ

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J=0 → ρ=0, ó θ=0; La trasformación queda definida excepto en el eje OZ

c. Superficies coordenadas

i. ρ=cte. Superficie esférica de centro (0,0,0) y radio ρ ii. θ=cte. Superficie cónica de vértice (0,0,0) y semiángulo θ

iii. φ =cte. Semiplano que contiene al eje OZ y forma un ángulo φ con el y=0

ρθ

φ

d. Líneas coordenadas Línea ρCono θ= ctei. Líneas ( ) ( )cte cteρ θ φ≡ = =∩

Solo cambia ρ Líneas radiales que pasan por (0,0,0) y P(x,y,z)

Línea φLínea θ

Esfera ρ=cte

Semiplano φ=cte.

Elementos coordenados en c. Esféricas

ii. Líneas ( ) ( )cte cteθ ρ φ≡ = =∩

Solo cambia θ Meridianos ó circunferencias que pasan por los polos y P.

iii. Líneas ( ) ( )cte cteφ ρ θ≡ = =∩

Solo cambia φ Paralelos ó circunferencias en el plano paralelo a OXY que pasan por P

e. Bases

i. Contravariante

1 2, cos c

1,

re e sen i sen sen i

h e u e

ρ ρ

ρ ρ ρ

3os iθ φ θ φρ

ρ

∂⎧ = = + +⎪ ∂⎨⎪ = = =⎩

θ

1 2, (cos cos cos

,

re e i sen i sen i

eh e u

θ θ

θθ θ θ

3)ρ θ φ θ φ θθ

ρρ

∂⎧ = = + −⎪ ∂⎪⎨⎪ = = =⎪⎩

1 2

1 2

, ( cos )

, c

re e sen sen i sen i

eh e sen u sen i i

sen

φ φ

φφ φ φ

ρ θ φ θ φφ

osρ θ φρ θ

∂⎧ = = − +⎪ ∂⎪⎨⎪ = = = = − +⎪⎩

φ

ii. Base natural covariante ( calculada a partir de la anterior)

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( )21, ,i i i i i i i i

ii i i

u ee h u u u h eh h h

⎛ ⎞= = = → = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

e eρρ=

( )1 2

2cos cos cos,e i sene e

hθ θθ

θ

3i sen iθ φ θ φ θρ

+ −= =

1 2cos,e sen i ie eh seφφ φ

φ nφ φρ θ

− += =

f. Matriz de Gram (ρ, θ, φ): gi,j=hi hj δi,j

2

1 0 00 00 0

Gsen

ρρ θ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

g. Arco elemental

i ids dq eds d e d e d e

ds d u d u sen d uρ θ φ

ρ θ φ

ρ θ φ

ρ ρ θ ρ θ φ

== + +

= + +

h. Volumen elemental:

1 2 3 1 2 32

d vol h h h dq dq dq

d vol sen d d dρ θ ρ θ φ

=

=

i. Velocidad en base contravariante

i iv q e

v e e eρ θ φρ θ φ

=

= + +

j. Velocidad en base física

Puede obtenerse expresando la ecuación anterior en la base física mediante los factores de escala hi

1, ,i i ie h u

h h h senρ θ φρ ρ θ== = =

También se puede proceder al contrario obteniendo la velocidad en la base física mediante la expresión del elemento de arco. En este caso los factores de escala son los que acompañan a iqu en la expresión de la velocidad v u u sen uρ θ φρ ρθ ρ θ φ= + +

( )2 2 2 2 2 212

senτ ρ ρ θ ρ θ φ= + +

k. Velocidad en base covariante

Puede obtenerse mediante la expresión de la energía cinética específica

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i

i

v eqτ∂

=∂

También puede obtenerse cambiando la base en la expresión de la velocidad en base física

i i iii i i

i

ue h u u h eh

= = → = (índice i no es sumatorio)

, ,u e u e u sen eρ θ φρ θ φρ ρ= = = θ

2 2 2v e e sen eρ θ φρ ρ θ ρ θ φ= + + l. Aceleración en base covariante

2 2;dA Adtρ ρ

2senτ τ ρ ρθ ρ θ φρ ρ∂ ∂

= − = − −∂ ∂

2 2; 2 ¨ cosdA A sendtθ θ

2τ τ ρρθ ρ ϑ ρ θ θ φθ θ∂ ∂

= − = + −∂ ∂

2 2 2 2; 2 2 cosdA A sen sen sendtφ φ

τ τ ρρ θ φ ρ θ θ θ φ ρ θφ φ∂ ∂

= − = + +∂ ∂

φ

m. Aceleración en base física

, , ,ii

i

AA Aa a A a ah s

φθρ ρ θ φ enρ ρ θ

= = = =

2 2 2

2

, ,

2 cos2 2 cos

u u u

sena sen

sen senρ θ φ

ρ ρθ ρ θ φρθ ρϑ ρ θ θ φ

ρ θ φ ρ θ θ φ ρ θ φ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟

= + −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

15. Algoritmo para el cálculo de v y a en bases físicas ortogonales a. Obtener el elemento de arco ó la velocidad en forma vectorial, mediante

la inspección gráfica de las líneas y del triedro coordenado i i i i i ids dq h u v q h u= → =

b. A partir de los datos anteriores deducir i. Factores de escala hi

ii. Energía cinética específica τ= ½ v2 c. Obtener las expresiones de las componentes de la aceleración en la base

física: 1

ii i

dah dt q qi

τ τ⎛ ⎞∂ ∂= −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

16. Algoritmo para el cálculo de v y a en bases covariantes ó contravariantes ortogonales.

a. Obtener v y factores de escala en la base física , ab. Efectuar el cambio de base aplicando:

, iii i

i

eiu h e

h= =u (i no sumatorio)

Bibliografía: “Cuadernos de Mecánica: Cinemática y tensores”. Pablo Hervás Burgos, Marcelo Rodríguez Danta, José Martínez García

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