®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos

1. Coordenadas curvil1. Coordenadas curvilííneasneas

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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1.1. Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneasIntroducción.Descripción del espacio físicoCoordenadas curvilíneas: propiedadesLíneas y superficies coordenadasElementos de geometría diferencial

2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales

I. FundamentosI. Fundamentos matemmatemááticosticos

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Magnitudes fMagnitudes fíísicassicasdescripción cuantitativa de las propiedades de los fenómenos (electromagnéticos)

susceptibles de medidacorrespondencia con entes matemáticos

necesidad de un álgebratipos de magnitudes:

escalarvectorialtensorial

Campos escalares y vectorialesCampos escalares y vectorialesdescriben magnitudes con valores distintos en cada punto del espacio (P∈ 3)

se pueden expresar como funciones de la posición:

T=T(r); v=v(r) (estacionarios)…y también del tiempo: T=T(r;t); v=v(r;t)

TT((PP;;tt)) vv((PP;;tt))

IntroducciIntroduccióónn

T T ∈∈v ∈∈ 33

W ∈∈ 33×× 33

OX Y

Z

vv((PP))

r

vv

P

TT((PP))TT

Temperatura (T) y velocidad (v) en un fluido

en movimiento

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O

R3

υ3

υ2υ1

P(x,y,z)

O

E3

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2P q1q2

q3r

y

zxP1

P3

P2

X

Y

Z

r(x,y,z)

{x,y,z}: Coordenadas cartesianas

Π3

P ∈ r ∈ , tal que r = OP

=y=x

=z

r =x+y+z =x υ1+y υ2 +z υ3

y

z

x

DescripciDescripcióón del espacio (I)n del espacio (I)

5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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O

Π3

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2 P

=z

= ϕ

= ρ

{ρ,ϕ,z}: Coordenadas cilíndricas

E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP

rz

xX

Y

Z

υ3υ2υ1

r =x+y+z =ρ cosϕ υ1

P(ρ,ϕ,z)

ρϕ

z

y

q1

q2

q3r(ρ,ϕ,z)

+ρ senϕ υ2+z υ3

O

R3

DescripciDescripcióón del espacio (II)n del espacio (II)

6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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O

Π3

Δ2

Δ1

Δ3Π1

Π2 P

=ϕ

{r,θ,ϕ}: Coordenadas esféricas

=θ

=rO

R3E3P ∈ r ∈ , tal que r = OP

z

x

υ3υ2υ1

yX

Y

Z

q1

q2

q3

r =x+y+z

(r,θ,ϕ)rr

ϕ

θ

=rsenθ cosϕ υ1+rsenθ senϕ υ2+r cosθ υ3

P(r,θ,ϕ)

r sen θ

DescripciDescripcióón del espacio (III)n del espacio (III)

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¿¿QuQuéé son?son?{q1, q2, q3}: terna de números reales (qi ∈ R)

valores de parámetros geométricos:

{υ1 ; υ2 ;υ3}, vectores ortogonales unitarios fijos

RequisitosRequisitosdescripción continua del espacio:

sólo si x (q1,q2,q3), y (q1,q2,q3), z (q1,q2,q3) son funciones continuas y derivables

descripción de todo entorno de P:ei(P)=[∂r/∂qi]P linealmente independientes

(no coplanarios):

= x(qq1, q, q22, q, q33) υ1 + y(qq1, q, q22, q, q33) υ2++z(qq1, q, q22, q, q33) υ3

r=r (qq1, q, q22, q, q33)Δr

Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (I)neas. Propiedades (I)

O

P ∈E3 OP=r ∈ R3

υ3

υ2υ1

XY

Z

r(q1,q2,q3)

P

P'r(q'1,q'2,q'3 )

Δr 1 2 31 2 3P P P

q q qq q q

∂ ∂ ∂Δ + Δ + Δ

∂ ∂ ∂r r r

1 2 3

0q q q

∂ ∂ ∂≠

∂ ∂ ∂r r r

z

xy

( )i i iq q q′ = + Δ

( 1, 2, 3)0i iq =Δ → 0⇒ Δ →r

8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Base fBase fíísicasica:

vectores ortogonales unitarios

Base natural. Sistema de referencia localBase natural. Sistema de referencia localtres vectores linealmente independientes (no coplanarios) son basebase de R3

en particular, dr=dq1e1+dq2e2+dq3e3

base natural y punto P forman sistema localsistema local

Coordenadas ortogonalesCoordenadas ortogonalessu base natural es ortogonal en todo P

factor de escala:

O

υ3

υ2υ1

XY

Z

r(q1,q2,q3)

[ ]1 2 3

1 2 3; ; ; ; P

Pq q q∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎣ ⎦

r r r e e e

1 2 3( , , )ii P

q q qq

′

′ ′ ′∂=

∂r e

1 2 3 1⊥ ⊥ ⊥e e e e

1 2 3( , , ) 1i ih q q q= ≠e

e3

e2e1e'3

e'1

e'2

r(q'1,q'2,q'3)

P'P

v

31 1 2 2 3 3

tal que ;v v v= + + ∀ ∈v e e e v

1 2 3( , , )ii P

q q qq

∂≠ =

∂re

2 00;

i i i

i j

hi j

⎧ = >⎪⇔ ⎨ = ≠⎪⎩

⋅⋅

e ee e

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) i i iq q q q q q h=u e

[ ]1 2 3 tal que; ;P

u u u

1; 0i i i i j= = =⋅ ⋅u u u u u

Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneas. Propiedades (II)neas. Propiedades (II)

9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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r(q1=a;q2=b;q3=c)

O

υ3υ2υ1

XY

Z

Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3

1

1Pq

∂

∂=

reCoordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales

[ ] [ ]i iP PΔ ⊥ Π

P(a,b,c)

LLííneaneacoordenadacoordenada

RectaRectatangentetangente

SuperficieSuperficiecoordenadacoordenada

PlanoPlanotangentetangente

2e 3e

LLííneas y superficies coordenadas (I)neas y superficies coordenadas (I)

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Coordenadas Coordenadas ortogonalesortogonales

Coordenadas curvilíneas {q1,q2,q3}: r(q1,q2,q3)0R3 P(q1,q2,q3)0E3

LLííneas y superficies coordenadas (II)neas y superficies coordenadas (II)

11Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Elementos geomElementos geoméétricostricosestudio local de magnitudes en torno a P∈ 3

elementos geométricos de dicho entorno

Diferencial de caminoDiferencial de caminovariación infinitesimal de vector posición, “dr”

elemento de arco ds:longitud de dr

ddrr1 1 2 2 3 3d dq dq dq= + +r e e e

{ } 1,2,3i i i iq q dq

=′ = +

ddrr22ddrr11

ddrr33

dsds

Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (I)a diferencial (I)

ds d d d= = ⋅r r r

12Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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Diferencial de superficieDiferencial de superficieparalelogramo con lados “dri”y “drj”; descrito por:

área y orientación:

Diferencial de volumenDiferencial de volumenparalelepípedo con aristas “dr1”, “dr2” y “dr3”:

ddrr11ddττ

ddrr33ddrr22

1 2 3d d d= ×S r r2 3 1d d d= ×S r r3 1 2d d d= ×S r r

ddSS11

Elementos de geometrElementos de geometríía diferencial (II)a diferencial (II)

sin

,i j k i

i j k

i j kd d d

d

θ≠ ≠

⎫= ⎪⎬

⊥ ⎪⎭

S r r

S e e

i id d dτ = ⋅r S( )1 2 3d d d dτ = ×r r ri

θθ11