control en el espacio de estado

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Sergio Domnguez

Jos Mara Sebastin Agustn Jimnez

Pascual Campoy

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Control en el espacio de estado

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VALENCIA Prof Dr lAVIER ARACIL SANTONlA

Catedrtico de Ingemera de SIstemas y AutomtIca Prof Dr PEDRO ALBERTOS PREZ Catedrtico de Ingemera de SIstemas y AutomtIca CatedrtIco de Ingemera de SIstemas y AutomtIca Prof Dr SEBASTIN DORMIDO BENCOMO

CONSULTORES EDITORIALES

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

Control en el espacio de estadoSegunda edicin

Departamento de Automtica, Ingeniera Electrnica e Informtica Industrial Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politcnica de Madrid

Sergio Domnguez Pascual Campoy Jos Mara Sebastin Agustn Jimnez

,

PEARSON Prentice Hall

Madrid e Mxico e Santa Fe de Bogot e Buenos Aires e Caracas e Lima e Montevideo San Juan e San Jos e Santiago e Sao Paulo e White Plains

datos de catalogacin bibliogrfica CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO Domnguez, S.; Campoy, P.; Sebastin, J.M.; Jimnez, A. Pearson Educacin S.A., Madrid, ISBN

DERECHOS RE SERVADOS

Queda prohibida, salvo excepcin prevista en la Ley, cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica y transformacin de esta obra sin contar con autorizacin los titulares de propiedad intelectual. La infraccin de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Cdigo Penal).Formato: Pginas:

170

ISBNx

Materia: Ingenieria de Control Automtico,

240 mm.

10: 84-8322-297-3 13: 978-84-8322-297-3

2006

681.5

440

28042 Madrid

Ribera del Loira, 28

2006 por PEARSON EDUCACIN S.A..

CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO Domnguez, S.; Campoy, P.; Sebastin, J.M.; Jimnez, A. ISBN 13: 978-84-8322-297-3

ISBN 10: 84-8322-297-3

Deposito Legal: M-24794-2006

PRENTICE HALL es un sello editorial autorizado de PEARSON EDUCACIN S A

Equipo editorial Editor: Miguel Martn-Romo Tcnico editorial: Mata Caicoya Equipo de produccin: Director: 'Jos A. Ciares Tcnico: Mara Alvear Diseo de cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin S.A. Impreso por: Rigorma Grafic S.L.

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN

Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos

n dice gen era lIndice de figuras Presentacin Prefacio Prlogo1. 12a XI

XIII XVII XV

Prlogo a la

edicin

XXI

Sistemas continuos

Modelo de estado

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

1.8. 1.9.

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concepto de estado . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Propiedades de las variables de estado Ecuaciones del modelo de estado . . . 1.3.1. Sistemas dinmicos lineales . . 1.3.2. Sistemas dinmicos invariantes Transformaciones lineales . . . . . . . Representacin grfica de sistemas lineales . Funcin de transferencia modelo de estado . Mtodos de obtencin del modelo de estado . 1.7.1. Variables de estado como magnitudes fsicas . 1.7.2. Variables de estado como salida de los integradores . 1.7.3. Variables de estado de fase 1.7.4. Variables de Jordan . . 1.7.5. Estructuras compuestas Ejemplos adicionales Ejercicios resueltos . . . . . . .y v

3 4 7 9 12 13 14 15 17 19 20 22 27 28 30 33 45

31

VI 2.

NDICE GENERAL

1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Solucin de la ecuacin homognea. Matriz de transicin . 2.2.1. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Casos particulares de la matriz de transicin 2.3. Propiedades de la matriz de transicin 2.4. Solucin de la ecuacin completa . . 2.5. Clculo de la matriz de transicin . . 2.5.1. Mtodo de Cayley-Hamilton . 2.5.2. Mtodo de Jordan . . . . . . 2.5.3. Mediante la transformada inversa de Laplace 2.6. Ejemplos adicionales 2.7. Ejercicios resueltos 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . Definiciones . . . . . . . . . . . . . . Controlabilidad en sistemas lineales . 3.3.1. Clculo de la entrada en sistemas lineales Controlabilidad en sistemas lineales invariantes . 3.4.1. Invarianza de la controlabilidad ante cambio de base /:" Interpretacin geomtrica de la controlabilidad . Subespacio controlable . . . . . . . . . 3.6.1. Base del subespacio controlable 3.6.2. Estados alcanzables . . . . . . 3.7. Separacin del subsistema controlable 3.8. Controlabilidad de la salida 3.9. Ejemplos adicionales 3.10. Ejercicios resueltos . 3.11. Ejercicios propuestos 4.1. Introduccin . 4.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . 4.3. Observabilidad en sistemas lineales 4.3.1. Planteamiento . . . . . . . 4.3.2. Teorema . . . . . . . . . . 4.3.3. Determinacin del estado inicial en sistemas observables 4.3.4. Estados no-observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Sistemas lineales invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Invarianza de la observabilidad ante cambio de base.

Solucin de la ecuacin de estado de sistemas lineales

63

61

3.

Controlabilidad

109

63 64 64 65 68 70 72 72 75 78 79 89

4.

Observabilidad

175

109 112 113 116 122 125 125 128 130 130 131 134 137 152 171 175 177 177 177 178 181 183 185 187

NDICE GENERAL

4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9.5.

Interpretacin geomtrica de la observabilidad Subespacio no-observable . . . . . . . . . 4.6.1. Base del sub espacio no-observable . . . . Separacin del subsistema no-observable . . . . . Separacin de los subsistemas controlable observable 4.8.1. Clculo de la matriz de cambio de base . . . . /::,. Reduccin del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Valores singulares de Hankel realizaciones equilibradas . 4.9.2. Transformacin a la realizacin internamente equilibrada 4.9.3. Reduccin del modelo 4.10. Ejemplos adicionales 4.11. Ejercicios resueltos . . . . . .y y

/::,.

VII

6.

5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . 5.2. Realimentacin del estado . . . . . . . 5.3. Control de sistemas monovariables . . 5.3.1. Diseo del bucle de realimentacin 5.3.2. Obtencin de la matriz de transformacin a variables de fase 5.3.3. El problema de la ganancia . . 5.3.4. Diseo de servosistemas . . . . . . 5.4. /::,. Control de sistemas multivariables . . . 5.4.1. Diseo del bucle de realimentacin 5.4.2. Obtencin de la matriz de transformacin a variables de fase 5.5. Ejemplos adicionales 5.6. Ejercicios resueltos . 5.7. Ejercicios propuestos 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Definicin de observadores . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Comportamiento del conjunto sistema-observador . 6.3.1. Sin realimentacin del estado . . . . . . . . 6.3.2. Con realimentacin del estado . . . . . . . . 6.4. Clculo del observador en sistemas monovariables . 6.4.1. Clculo de la matriz de transformacin . . . 6.5. /::,. Clculo del observador en sistemas multivariables 6.5.1. Clculo de la matriz de transformacin . 6.6. Observadores de orden reducido . 6.7. Ejemplos adicionales 6.8. Ejercicios resueltos . 6.9. Ejercicios propuestosObservadores del estado

Control por realimentacin del estado

231

188 189 190 191 194 197 198 199 201 204 209 214 231 233 234 234 238 239 243 249 249 253 255 274 284 287 288 291 291 293 295 299 300 305 308 312 325 338

287

7.

VIII

JI

NDICE GENERALSistemas discretos 341

Modelo Discreto de Estado

7.1. 7.2. 7.3. 7.4.

8.

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definicin de estado para sistemas discretos Sistemas dinmicos discretos . . . . . . . . Obtencin de modelos discretos de estado . 7.4.1. Modelo de estado en variables de fase 7.4.2. Modelo de estado en variables de Jordan . 7.4.3. Transformaciones lineales . . . . . . . . . 7.5. Obtencin de la representacin externa a partir del estado 7.6. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Sistema discreto invariante equivalente . 7.6.2. Sistemas variantes . . . . . . . . 7.6.3. Sistemas hbridos . . . . . . . . . 7.6.4. Sistemas hbridos realimentados . 7.7. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . .Solucin de la ecuacin discreta de estado

343

8.1. 8.2. 8.3. 8.4.

9.

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solucin de la ecuacin homognea. Matriz de transicin . Propiedades de la matriz de transicin Clculo de la matriz de transicin . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Mtodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Mtodo de la matriz fundamental de soluciones 8.4.3. Mtodo de diagonalizacin de Jordan 8.4.4. Mtodo de Cayley-Hamilton . . 8.4.5. Mtodo de la matriz resolvente 8.5. Solucin de la ecuacin completa 8.6. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . 9.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Controlabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 9.3. Controlabilidad en sistemas discretos lineales invariantes . 9.4. Controlabilidad de la salida . . . . . . . . . 9.5. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Observabilidad en sistemas discretos lineales . . . . . . . 9.7. Observabilidad en sistemas discretos lineales invariantes 9.8. Controlabilidad y observabilidad en sistemas muestreados 9.9. Control de sistemas discretos por realimentacin del estado 9.10. Sistemas muestreados de control 9.11. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

365

343 344 344 346 347 348 350 351 352 352 354 355 356 357 365 365 366 367 367 368 370 370 372 374 375

Control discreto por realimentacin del estado

379

379 380 382 384 385 386 388 390 392 393 397

NDICE GENERAL IIIApndicesy

403

A. Valores

A.l. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Diagonalizacin de una matriz en cajas de Jordan A.3. Clculo del vector propio asociado a un valor propio

vectores propios

405

IX

.

Indice de materias Bibliografia

410

413

405 406 407

n dice de figu ras1.1. Evolucin temporal de las variables de estado . . . . . . . 1.2. Trayectoria del vector de estado en el espacio de estado. ... 1.3. Transitividad de estado . . . . 1.4. Bloque integrador. . . . . . . . 1.5. Multiplicacin por una matriz. 1.6. Bloque sumador . . . . . . . . . 1.7. Representacin grfica del modelo de estado. 1.8. Representacin grfica vectorial del modelo de estado. 1.9. Sistemas en serie . . . . . . . . . . . . . 1.10. Sistemas en paralelo . . . . . . . . . . . 1.11. Realimentacin constante de la salida. 1.12. Realimentacin del estado . . 3.1. Sistema no controlable. 3.2. Puntos alcanzables desde (0,0 ) . 3.3. Transicin del estado entre dos puntos, de forma directa (lnea continua) y con un punto de paso intermedio (lnea discontinua). . . . . . . 3.4. Superposicin de la evolucin libre con el subespacio controlable. 3.5. Representacin grfica del subsistema controlable. 4.1. Concepto de observabilidad. . . . . . . . . . . . . . 4.2. Sistema lineal con el conjunto de entradas de test . 4.3. Separacin de la parte no-observable. . . . . . . . . 4.4. Separacin simultnea de los subsistemas controlable y observable. 4.5. Separacin detallada de los subsistemas controlable y observable. 5.1. Sistema con realimentacin de estado. . . . . . . . 5.2. Transformacin de la matriz de realimentacin K. 5.3. Adicin del parmetro K. . . . . . . . . . 5.4. Realimentacin en sistema de tipo uno. . 5.5. Control proporcional del sistema anterior.XI

8 8 9 15 16 16 17 18 31 31 32 33 110 110 118 131 133 175 188 193 196 197 233 240 241 244 245

XII

NDICE DE FIGURAS

5.6. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6.

Conversin a sistema de tipo uno . . Concepto de observador. . . . . . . Sistema con observador realimentacin. Esquema del sistema con observador. . . . Sistema con observador realimentacin del estado. Esquema des sistema con observador en la forma cannica observable. Sistema con observador matriz de transformacin. . . . . . . . . . . Esquema des sistema con observador realimentacin en espacio de estado transformado. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema con observador de orden reducido. . Sistema continuo multivariable . . . . . . . . Sistema discreto equivalente. . . . . . . . . Sistema con parte discreta parte continua. . Sistema hbrido realimentado. Sistema muestreado . . . . . . Sistema discreto con realimentacin del estado. Sistema muestreado con realimentacin del estado. Sistema muestreado con tiempo de clculo nulo. . . Sistema muestreado con tiempo de clculo no nulo. Sistema con retardo no mltiplo entero del tiempo de muestreo . .y y y y y

246 287 288 292 293 297 300 301 310 352 353 355 357 390 392 393 394 395 396

Presen ta cinEn apenas cincuenta aos el Control Automtico ha irrumpido como una disciplina pujante y de gran inters no slo cientfico y tecnolgico, sino tambin econmico. Los sistemas de control automtico, que tienen sus orgenes en la ms remota antigedad, han sustentado sus races en las matemticas aplicadas y se estn convirtiendo, de manera cada vez ms creciente, en componentes esenciales y crticos de cualquier sistema dinmi co. El Control Automtico es una de las pocas disciplinas que trasciende las fronteras de los campos tradicionales de la ingeniera (mecnica, elctrica, qumica, nuclear, etc.). El Comit Espaol de Automtica de IFAC (CEA-IFAC), es una asociacin sin nimo de lucro que tiene como objetivo bsico servir de foro y ofrecer un marco para el desarrollo en nuestro pas de la Automtica. Es, asimismo, el miembro nacional de la Federacin Internacional de Control Automtico (IFAC) y canaliza las relaciones internacionales de nuestros tcnicos y cientficos con esta prestigiosa asociacin. Esta asociacin est abierta a todas aquellas personas e instituciones interesadas en los temas tericos y prcticos propios de la automatizacin, el control de procesos y todas las nuevas tecnologas que permiten la realizacin de los modernos sistemas de control automtico. Los fines del CEA-IFAC son, entre otros: promover el estudio, aplicacin y mejora de las tcnicas de la Automtica; promover la colaboracin entre socios, entidades, universidades y empresas, y aso ciaciones internacionales, en el rea de la Automtica: organizar y desarrollar cursos, conferencias, congresos, comisiones de trabajo y de elaboracin de normas; editar y divulgar publicaciones, informes, normas y monografas en el campo de la Automtica. De acuerdo con estos objetivos y en colaboracin con el Grupo Pearson se ha iniciado una nueva serie de monografas sobre Control Automtico e Informtica Industrial cuya finalidad es doble: de una parte servir como textos de referencia para nuestros estudiantes, y, de otra, tratar de llenar un hueco, que creemos que existe, con una coleccin de libros

XIII

en espaol dedicados tambin al profesional que trabaja en esta temtica que necesita de un reciclaje de conceptos, tcnicas procedimientos que demandasn las cada vez ms exigentes especificaciones de la automatizacin de procesos. La coleccin de libros Control Automtico e Informtica Industrial se plantea, pues, como un vehculo de comunicacin de doble sentido entre la comunidad acadmica el mundo industrial que est trabajando en el rea del Control Automtico. Esta coleccin de libros se ha estructurado en tres direcciones que tratan de abor dar los diferentes aspectos que configuran, en un sentido amplio, la automatizacin de procesos. Estas tres series son: Fundamentos Instrumentacin Robtica Este primer libro con el que se inicia la coleccin pertenece a la serie de lFunda mentosz trata sobre Control en el Espacio de Estado. Est escrito por un grupo de profesores, con una amplia experiencia docente, de la Escuela Superior de Ingenieros Industriales de la Universidad Politcnica de Madrid. En los meses sucesivos irn apare ciendo nuevos ttulos que tratarn de ir perfilando el alcance el sentido de esta coleccin, que inicia su andadura con el mejor de los deseos de ser til al lector interesado por este apasionante mundo del Control Automtico. Madrid, octubre de 2001y

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Consultores editoriales Profesores Pedro Albertos Javier Aracil Sebastin Dormido

XIV

Prefa cioA finales del siglo XIX H. Poincar, con su trabajo pionero sobre los Nuevos Mtodos de la Mecnica Celeste, intuy la significacin profunda de formular una teora general de los sistemas dinmicos en funcin de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden, e introdujo la ahora familiar idea de considerar el conjunto relevante de variables del sistema como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional. El enfoque de Poincar al estudio de problemas dinmicos rpidamente se populariz y se vino a conocer como mtodo del espacio de estado. As, el concepto de estado se hace dominante en el estudio de los sistemas dinmicos. Lo que es fundamental es que su conducta actual est influenciada por su historia previa y que su comportamiento no puede por lo tanto especificarse simplemente como una relacin instantneaZ entre conjuntos de variables de entrada y salida. Se necesita un conjunto extra de variables cuyo objetivo es tomar en cuenta la historia pasada del sistema; estas variables son las variables de estado. Las variables de estado representan pues la mnima cantidad de infor macin que nos resume todo el pasado dinmico del sistema y es todo lo que necesitamos conocer para poder predecir su evolucin futura frente a cualquier seal de entrada que le apliquemos. La utilizacin del tratamiento del espacio de estados condujo rpidamente a una compensacin ms profunda de los problemas cientficos y matemticos del Control Automtico y se puede considerar que su introduccin marca la emergencia de ste como una disciplina cientficamente madura. Hacia mediados de los aos 50 los trabajos de Pontryagin y Bellman, entre otros, dejaron claro la gran utilidad del concepto de estado en la formulacin y solucin de muchos problemas de decisin y control. La importancia creciente de los mtodos del espacio de estados lleva a R.E. Kalman a investigar la relacin entre las representaciones en el espacio de estado (representacin interna) y la funcin de transferencia (representacin externa) lo que motiv la introduc cin de dos conceptos estructurales fundamentales para la compensacin de los sistemas dinmicos: controlabilidad y observabilidad. La incorporacin de todos estos mtodos del dominio temporal tuvo un efecto profundo sobre el problema del control y dio lugar a contribuciones importantes para resolver los problemas de guiado del programa espacial que se haba iniciado a comienzo de los aos 60.xv

A partir de estas consideraciones el estudio de los sistemas lineales invariantes en el tiempo, tanto continuos como discretos, es sin lugar a dudas uno de los recursos que cualquier especialista en Control Automtico debe estudiar y por supuesto conocer. Este libro con el que se inicia la serie Fundamentos de la coleccin Control Automtico e Informtica Industrial tendr, estamos seguros, una muy buena acogida entre la amplia comunidad de personas que se dedica de una u otra forma a trabajar en este apasionante campo del Control Automtico. El texto est escrito en un estilo muy directo cuya lectura resultar de indudable valor de una parte a nuestros estudiantes y de otra al profesional que se dedica al ejercicio prctico de la Automtica para reforzar y mejorar su formacin en toda esta temtica. La significacin real de la introduccin de los mtodos del espacio de estado supone el comienzo de un nuevo, ms general, ms riguroso y profundo enfoque de nuestro campo. Ahora estamos empezando a ver que el Control Automtico es una disciplina muy vasta y que se requieren esfuerzos redoblados para ir enmarcando sus fundamentos tcnicos. Madrid, octubre de 2001 Consultores editoriales Profesores Pedro Albertos Javier Aracil Sebastin Dormido

XVI

PrlogoSi la informacin es poder y nuestro objetivo es poder controlar el comportamiento de un sistema, qu mejor que tener la mxima informacin posible sobre dicho sistema, para ser utilizada en su control? Esta es la idea bsica del Control en el Espacio de Estado. Es decir, contar con la mxima informacin posible del sistema con objeto de utilizarla para controlarlo mejor. Con esta idea bsica como objetivo principal, el libro se halla dividido en distintos captulos que abordan las diferentes fases hasta la consecucin del control de un sistema partiendo de la mxima informacin posible de ste, informacin que viene representada por el denominado "estado del sistema". As cada captulo aborda y resuelve cada una de las importantes cuestiones planteadas, que son: 1. Cul es la mxima informacin que determina e l comportamiento de un sistema? En el Captulo 1 se explicita que dicha informacin esta formada por un conjunto mnimo de variables que constituyen el denominado estado del sistema que, junto con la evolucin de las entradas al mismo, determinan el comportamiento de cualquiera de sus variables. La evolucin temporal del estado obedece a unas ecuaciones que, junto con la relacin entre sus variables y el resto del sistema, forman el denominado modelo de estado del sistema. 2. Cul es la evolucin temporal del sistema si conocemos las leyes de variacin de las entradas y la informacin de su estado en el instante inicial? La resolucin de esta pregunta, abordada en el Captulo 2, es crucial para relacionar las entradas con la evolucin del sistema y sta con sus salidas medibles. Estos resultados son explotados en los dos captulos posteriores para contestar a las preguntas fundamentales que a continuacin se enumeran. 3. Qu parte del sistema puede controlarse con las entradas disponibles? Esta pregunta se resuelve en el Captulo 3, en el que se separan claramente las variables que pueden controlarse con las entradas del sistema, que constituyen el denominado subsistema controlable, de aquellas variables cuya evolucin tempo ral es independiente de las entradas y est solamente relacionada con sus valores iniciales y la propia dinmica interna del sistema.XVII

4. Si las variables que constituyen el estado del sistema tienen toda la informacin necesaria de est en un instante dado cmo se puede conocer su valor? O dicho de forma ms precisa, cules son las variables que forman parte del estado Esta cuestin se resuelve en el Captulo 4, en el que se especifica que dicho conjunto de variables de estado constituye el denominado subsistema observable, puesto que su valor puede calcularse a partir de las salidas y las entradas del sistema, si se lo separa del resto de las variables de estado, cuya evolucin temporal no tiene ninguna repercusin sobre el comportamiento de las salidas del sistema. Llegado a este punto y al final de este captulo, se obtiene un subsistema deno minado controlable y observable, constituido por un subconjunto de variables formadas por combinacin lineal de las variables de estado del sistema original, tal que la informacin de su estado puede conocerse con mediciones externas de sus salidas y entradas y cuya evolucin temporal puede controlarse con el conjunto de entradas disponibles. ste es, por tanto, el subsistema que puede y va a ser utilizado en los captulos subsiguientes para efectuar el denominado Control en el Espacio de Estado o control por realimentacin del estado del sistema. 5. Si un sistema, o subsistema, puede ser controlado con sus entradas: cmo deben calcularse estas entradas en funcin del estado del sistema, para modi ficar su dinmica? Esta cuestin es abordada y resuelta en el Captulo 5, en el que se ve que en los sistemas controlables, no slo puede fijarse su evolucin temporal con una entrada adecuada, sino que su dinmica puede modificarse de forma sustancial (fijacin de sus polos) mediante una realimentacin del esta do del sistema. En este captulo se aborda y resuelve igualmente el problema del servoposicionador, en el que se consigue controlar el valor en rgimen permanente de la salida de un sistema, modificando adicionalmente su dinmica mediante la realimentacin de sus estados. 6. Si el captulo anterior resuelve la modificacin potestativa de la dinmica del sis tema a partir del conocimiento de su estado, surge de forma inmediata la importante cuestin: cmo es posible conocer el estado del sistema a partir de sus manifestaciones exteriores (es decir, sus entradas y salidas) para que pueda ser utilizado en la modificacin de la dinmica del sistema? Esta cuestin es resuelta en el Captulo 6 para el subsistema observable, mediante el diseo de los sistemas denominados observadores del estado del sistema. La reali zacin prctica de estos sistemas observadores impide que sus clculos se efecten mediante operaciones matemticas derivativas, difcilmente realizables en la prc tica, obligando por tanto a que estos observadores constituyan un sistema con su propia dinmica intrnseca en el clculo de su salida (es decir, variables de estado estimadas del sistema original) y en funcin de sus entradas (es decir, entradas y salidas del sistema original). En este captulo se resuelve el diseo de estos sistemasXVIII

del sistema, cuyo valor puede obtenerse a partir de las manifestaciones exteriores del comportamiento de ste (es decir, sus salidas y entradas)?

observadores del estado, imponindoles consecuentemente una dinmica mucho ms rpida que la de la evolucin de las propias variables de estado que se estiman. Este captulo supone la culminacin de la estructura completa de Control por Reali mentacin del Estado en sistemas continuos y como tal es abordada en los apartados correspondientes de dicho captulo. 7. Si el control del sistema se efecta mediante un dispositivo digital, en el que la in teraccin entre ambos se realiza en instantes de tiempo determinados y peridicos:

cuestiones son resueltas en el Captulo 7 mediante la obtencin de un modelo dis creto de comportamiento de los sistemas, tanto en el caso en el que vienen descritos por ecuaciones en diferencias, como en el caso de los sistemas muestreados, en los que se dispone inicialmente de unas ecuaciones diferenciales de su comportamiento, pero sobre los que se interacciona desde fuera slo en instantes concretos de tiempo y de forma peridica. 8. Una vez obtenido el modelo del comportamiento dinmico de los sistemas discretos ( al menos desde el punto de vista del sistema de control ) cul es la evolucin temporal del sistema a partir del instante en el que se conoce su estado y conocida la ley de variacin de las entradas? Esta cuestin es resuelta en el Captulo 8, obtenindose unas ecuaciones de evolucin del sistema completamente anlogas a las obtenidas en el Captulo 2 para modelos continuos, pero con un clculo ms sencillo a partir del modelo discreto, debido a la simplificacin que introduce en su resolucin la importante limitacin temporal de interaccin sobre el sistema. 9. Una vez vista la analoga entre las ecuaciones de los modelos discretos y continuos, surgen las mismas preguntas que las abordadas anteriormente para stos ltimos:

cul es el estado considerado ste desde el punto de vista del sistema digital de control? Y cul es el modelo que determina el comportamien to del sistema en los instantes de tiempo de interaccin con l? Estas

es posible controlar el estado de un sistema?, es posible calcular su estado a partir de la informacin de las entradas suministradas y de las salidas medidas? La respuesta a ambas preguntas lleva a los mismos conceptos

de controlabilidad y observabilidad de sistemas continuos, pero con la caracterstica diferenciadora de que en los sistemas discretos es importante determinar el nmero de valores de entrada o de salida que son necesarios tanto para controlar el sis tema como para observarlo, hecho diferenciador debido claramente a la importante limitacin temporal de interaccin con ellos. La determinacin de la controlabilidad y observabilidad del sistema lleva a la obten cin del subsistema que es simultneamente controlable y observable, y por tanto adecuado para efectuar su control por realimentacin del estado. Este control se realiza mediante una estructura anloga a la vista en sistemas continuos, que in cluye un sistema observador del estado y una realimentacin hacia la entrada delXIX

estado calculado por el observador. Todas las cuestiones anteriormente planteadas y su resolucin son abordadas de for ma progresiva en los distintos captulos de este libro. Para ello, en cada uno se avanza en la resolucin terica de las interrogantes planteadas, intercalando ejemplos que ilus tran su aplicacin en casos prcticos y de forma progresiva hasta cubrir los objetivos inicialmente planteados. Al final de cada captulo se recogen una serie de problemas resueltos, que ilustran la aplicacin de los nuevos avances expuestos, entremezclados con conocimientos adquiridos en captulos anteriores y aumentando en consecuencia la co herencia del conjunto. Por ltimo el alumno dispone en cada captulo de una serie de problemas planteados y no resueltos, que pueden ser utilizados para la autoevaluacin de sus conocimientos y su aplicacin a la resolucin de problemas prcticos. Madrid, octubre de 2001 Los autores Profesores Sergio Domnguez Pascual Campoy Jos Mara Sebastin Agustn Jimnez

xx

Prlogo a la 2a edicinHan pasado cinco aos desde la publicacin de la primera edicin de este libro, tiempo suficiente para que su utilizacin en clase haya puesto de manifiesto posibles vas para la actualizacin del texto. De entre todas ellas, finalmente se ha considerado atacar el problema de su mejora fundamentalmente a travs de dos caminos: la revisin y la ampliacin. El texto de la primera edicin se ha revisado profundamente, dando lugar a la reorde nacin de algunos conceptos para mejorar la claridad de la presentacin y la comprensin global de la materia. A la vez, se han incluido tambin multitud de nuevos ejemplos cuya intencin es ir ms all del uso de una determinada frmula; en su mayora, siguen una idea de profundizacin en los conceptos tericos a travs de su aplicacin prctica. El resultado es una serie de casos en los que se hace uso extensivo de la teora, revisando metdicamente sus posibilidades, peculiaridades y, sobre todo, los aspectos ms rele vantes de su utilizacin en situaciones reales. Dada la considerable extensin de algunos de ellos, se ha considerado como mejor solucin agruparlos en una seccin aparte de cada captulo, con la intencin de mejorar la legibilidad de la parte terica, evitando prolon gadas interrupciones. As, bajo el nombre de Ejemplos adicionales, el lector encontrar estos casos de uso extendidos; a diferencia de los ejercicios, tanto resueltos como pro puestos, que se incluyen en cada captulo y cuyo objetivo es facilitar la prctica de los conocimientos adquiridos, estos ejemplos se incorporan como una herramienta didctica de apoyo a la explicacin terica mediante la aplicacin y el anlisis de los resultados obtenidos con las tcnicas presentadas. El contenido del libro ha sido asimismo ampliado mediante la inclusin de nuevos conceptos tericos; todos ellos se fundamentan en las tcnicas presentes en la primera edicin, pero representan una lectura avanzada. Estos nuevos contenidos ataen funda mentalmente a controlabilidad y observabilidad, profundizando en su estudio terico y en los aspectos de su aplicacin en la prctica, y llegando, como consecuencia, a plantear la reduccin del modelo. En este sentido, el resultado de esta segunda edicin es un texto que se puede entender como estructurado en dos niveles: uno bsico y otro avanzado, como ya se ha dicho. El bsico constituye el contenido apropiado para un curso de ini ciacin a los conceptos y tcnicas del control mediante variables de estado, mientras que el avanzado incluye los contenidos accesibles para lectores familiarizados con lo anterior.XXI

Como en el caso de los ejemplos extendidos, se ha intentado que la inclusin de estos nuevos contenidos no interfiera con la lectura por parte de quienes toman contacto con el control con variables de estado por primera vez, de forma que se ha optado por marcar estos conceptos avanzados con el signo 6, visible tanto en el cuerpo del texto como en el ndice general. De esta forma, al comenzar una seccin cuya temtica se considera fuera del temario bsico, la presencia de este smbolo avisa al lector novel de que su contenido est orientado hacia personas con ms experiencia. Los autores deseamos aprovechar la oportunidad que ahora se nos presenta para mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas que han hecho posible la apari cin de esta segunda edicin; comenzando por todos aquellos que con sus comentarios y aportaciones han permitido la mejora del texto, siguiendo por los Consultores Editoriales de la coleccin de "Automtica y Robtica" y terminando, no por ello con menor efusin, por el Equipo Editorial de Prentice-Hall. Madrid, mayo de 2006 Los autores Profesores Sergio Domnguez Pascual Campoy Jos Mara Sebastin Agustn Jimnez

XXII

Parte 1 Sistemas continuos

1

11.1.

Modelo de esta doIntroduccin

La teora moderna de control est basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las variables que influyen en su dinmica. Estas variables constituyen el concepto de estado del sistema, que ser definido en este primer captulo, y establecen la piedra angular de dicha teora. El conocimiento de la evolucin de todas las variables que influyen en la dinmica del sistema permite efectuar un control ms potente de sta y abordar el control de sistemas ms complejos. La teora moderna de control se desarrolla para solventar algunos de los problemas en los que presenta fuertes limitaciones la denominada teora clsica, basada en el mode lado de la relacin entre una entrada y una salida de los sistemas dinmicos lineales de parmetros constantes. Las ventajas de la teora moderna de control, en contraposicin la teora clsica, son fundamentalmente las siguientes: Es aplicable a sistemas multivariables en los que existe un elevado grado de interac cin entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse bucles de control entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma independiente segn se aborda en la teora clsica. Es aplicable a sistemas con relaciones no-lineales entre las variables involucradas en su dinmica y cuyo comportamiento no puede ser aproximado por un modelo lineal, dentro del rango de valores que van a tomar sus variables. Es aplicable a sistemas cuyos parmetros varan en el tiempo a velocidades com parables con la evolucin de sus variables, para los que no se puede obtener, en consecuencia, un modelo de parmetros constantes vlido en el rango temporal necesario para efectuar el control. 3a

4

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

Es aplicable a sistemas complejos de control, con un gran nmero de variables internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La utilizacin de la realimentacin slo de la salida, segn el modelo clsico, empobrece la informacin disponible por el regulador para controlar la planta, lo que llega a impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones. Es aplicable a la optimizacin del comportamiento de sistemas, entendida sta como la minimizacin de una funcin objetivo que describe un ndice de costo que a su vez refleja la calidad en la consecucin de los objetivos de control. Las mencionadas ventajas diferenciadoras de la teora son abordadas por distintas ramas del control, denominadas respectivamente: control multivariable, control no-lineal, control adaptativo, control por asignacin de polos y control ptimo. Aunque cada una de estas ramas del control automtico utiliza tcnicas que le son propias, todas ellas confluyen en la necesidad de un modelo del comportamiento de sistemas dinmicos que incluya la evolucin de sus variables internas, que pueda aplicarse a sistemas multivaria bles y que pueda ser no-lineal y /o de parmetros no constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de estado del sistema, que se presenta y estudia en el presente libro. Si los sistemas multivariables a los que se aplica la teora moderna de control presentan un comportamiento dinmico que puede aproximarse por modelos lineales de parmetros constantes, se simplifica mucho su anlisis y el diseo de los reguladores multivariables. El estudio de estos sistemas lineales e invariantes es abordado en los apartados correspon dientes de cada uno de los captulos de este libro, estudindose en los ltimos captulos el diseo de reguladores para la asignacin directa de los polos del sistema multivariable, que fijan su comportamiento dinmico en cadena cerrada.

1.2.

Concepto de estado

La teora moderna de control se basa en la representacin matemtica de los sistemas dinmicos por medio del concepto de estado, en contraposicin con la teora clsica de control, que utiliza nicamente la relacin entre su entrada y su salida.Se define estado de un sistema como la mnima cantidad de informacin nece saria en un instante para que, conociendo la entrada a partir de ese instante, se pueda determinar cualquier variable del sistema en cualquier instante posterior.

Es comn emplear la nomenclatura de representacin interna, cuando se utiliza el es tado para representar un sistema, y representacin externa, cuando se emplea la relacin entrada-salida. Se diferencia entre ambas nomenclaturas para recalcar los distintos enfo ques. El Ejemplo 1.1 que se describe a continuacin pone de manifiesto las diferencias.

1.2.

CONCEPTO DE ESTADO

5q(t) = V(t)=

Ejemplo

1.1

El depsito de la figu ra recibe u n ca udal lq u ido q ue contiene, segn la expresin :

q(t)

que mod ifica el vol umen de

Ah(t)

h(t)

Ji -.....q(t)=

Entrada

J

SISTEMA Estado h t -

L

. _1III1t:h(t)

Salida

Su poniendo consta nte la seccin del depsito, la evolucin de la a ltura se puede ca lcular i ntegra ndo la a nterior expresi n :

A 1 h(t) -t00 q(T)dT

Para determinar la altura en cualq uier instante de tiempo, es necesario cono cer la evolucin del ca udal desde el comienzo de los tiem pos, lo que evidente mente obliga a u n conoci m iento de las condiciones q ue han actuado sobre el sistema , normal mente fuera de a lca nce. En la teora clsica de control se rea l iza-

6

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

ban a lgunas simplificaciones, como considerar que las condiciones i n iciales era n n u las. U na a lternativa a estos pla ntea mientos, sobre la q ue se basa la teora moderna de control, es considerar la informacin que resuma todo lo acontecido en el sistema hasta ese momento. Esta i nformacin , q ue si es la mn i ma se denomina estado, pod ra ser en el presente ejemplo la altura en u n determi nado insta nte to: h(to); de esta forma la evol ucin de la altura del depsito sera :

h(to) + h(t)

lJ!(t, to , h(to ) , q(r) ) ,

l.

to

t

A q(r)drto

1

a2 . El modelo de estado anterior puede particularizase para cada sistema. En concreto si se supone que los parmetros fsicos del sistema valen 8 1 = 0,3, 8 2 = 0,25, Al = 2 Y A 2 = 1 ,5 Y tomando como punto de linealizacin el estado de equilibrio determinado por el flujo de entrada FlO = 1, de las ecuaciones no lineales del sistema se obtienen los valores de las alturas en punto de equi librio, que valen h lO = 1 ,38 Y h 20 = 0,816. I ntroduciendo estos valores en las ecuaciones anteriores, se obtiene el siguiente modelo de estado para el sistema linealizado planteado:

Modelo de estado de un pndulo invertidoEjemplo

1.8

36

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

En la figura se representa el esquema de un pndulo invertido. Este sistema mecnico tiene como nica variable de entrada la fuerza u que se aplica al carro de masa M , dando lugar a su desplazamiento horizontal x. Sobre dicho carro se halla una barra rgida , que gira libremente sobre su punto de apoyo un ngulo () y cuya masa m se puede suponer concentrada en un punto situado a distancia l de su base sobre el carro. Este sistema del pndulo invertido presenta unas ecuaciones anlogas a las de un cohete propulsado en vertical , en el que su empuje lateral se efecta desde las toberas situadas por debajo de su centro de gravedad . Las ecuaciones del sistema se obtienen aplicando la ley de Newton sobre ambas masas, y proyectando sobre ambos ejes:m d2 (x + l sin ()) dt 2 d2 (l eos ()) m dt 2 Mx T sin () T eos () - mg u - T sin ()

siendo la variable T la fuerza que ejercen recprocamente entre s el carro y la barra . Eliminando dicha variable intermedia T, se obtienen las siguientes ecuaciones del sistema :u - Mx mx - ml sin ()iP + ml eos ()O -ml sin () eos ()02 - ml sin2 ()O u eos () - Mx eos () - mg sin ()

Derivando las expresiones indicadas se obtiene: stas son dos ecuaciones de segundo grado, por lo que el sistema tiene cuatro variables de estado, pudiendo elegirse las posiciones y velocidades de ambas masas, esto es () , O, x y x . Eliminando entre las dos ecuaciones anteriores O y x , respectivamente, se obtienen las siguientes dos ecuaciones de comportamiento del sistema :(M + m sin2 ())x l(M + m sin2 ())O ml sin ()02 - mg sin () eos () + u (M + m) 9 sin () - eos ()u - ml sin () eos ()02 u - Mx u eos () - Mx eos () - mg sin ()

1.8. EJEMPLOS ADICIONALES

En las que definiendo las siguientes variables de estado: X l = X, X 2 = X , X 3 = () y X4 = iJ se obtienen las siguientes ecuaciones que representan el modelo de estado no lineal: X2 ml sin X 3 X - mg sin X 3 cos X 3 + u M + m sin2 X 3 = X4 (M + m)g sin X 3 - COS X 3 U - ml sin x 3 COS X 3 X lM + lm sin2 X 3

37

Si suponemos que se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando en torno al estado definido por X l = X 2 = X 3 = X4 = O, las anteriores ecuaciones pueden linealizarse en torno a dicho punto de fun cionamiento, obtenindose el siguiente modelo lineal del sistema :_ !!.!1l M

O O

Si las variables de salida del sistema son (}(t) ecuacin de salida del modelo como:

(M+ m ) g 1M

y

x(t) , se puede escribir la

[Modelo de estado deEjemploun

O O O 1

sistema de masas mltiples

Se pretende obtener un modelo de estado para el sistema de la figura formado por dos muelles de coeficientes de elasticidad Kl y K2 respectivamente, y dos masas m l Y m 2 , que presentan una friccin viscosa de coeficientes {3l y {32 . La entrada es una fuerza F aplicada a la masa m2 Y las salidas son las distancias Yl e Y2 de las masas respecto a sus puntos de equilibrio. Se considera adems la variable intermedia T correspondiente a la tensin ejercida por el muelle K2 .

1.9

38

CAPTULO 1 . MODELO DE ESTADO

F

Las ecuaciones que determinan el comportamiento del sistema son : Es decir, dos ecuaciones diferenciales y una ecuacin algbrica. Aplicando el procedimiento descrito a 1 .74 se obtiene: (1 .75) s { (m l S + f3dYI } = T - KIYI ------.....-.Xl X l = (mI S + f3dYI T - KIYI Xl s (m l yd = X l -...X2 X2 X2 A partir de 1 .75: f3IYIT T F

m l ih + f3d l + KI YI K2 ( Y2 - Y d m 2 ih + f32Y2 + T

(1 . 74)

(1 . 76)

operando ahora con 1 . 76 :

-

m l YI X l f3IYI-


39 s { (m2S + ,82 ) Y2 } = F - T '-.....--" X3 (1 . 77)

y finalmente a partir de 1 . 77:

s(m 2Y2 ) = X 3 - ,82Y2 '-v--' X4 X4 X4 m 2Y2 X 3 - ,82Y2

Resumiendo, se han obtenido cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden: Xl = T - KI YI X2 = X l - ,8IYI X3 = F - T X 4 = X 3 - ,82Y2 y tres ecuaciones algbricas: (1 . 79) De estas ltimas se pueden despejar las variables de salida e intermedias: (1 . 78)

1 Y2 = -X4 m2 K2 K2 T = - X4 - - X 2 mI m2 n , finalme nte, las ecuacio nes del sistema : y sustitu yendo en 1 . 78 se obtiene KI K2 K2 - X4 - - X 2 - - X 2 = mI mI m2 K2 KI + K2 -- X 2 + - X 4 m2 mI

40

{JI X l - - X2 mI K2 k2 F - - X4 + m X 2 = m2 I K2 K2 - X 2 - - X4 + F mI m2 {J2 X 3 - -X4 m2-

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

Aunque es evidente que en este caso la resolucin directa presentada es la ms sencilla y adecuada , habr otros casos ms complejos donde la forma matricial resulte conveniente, ya que es ms sistemtica . La forma matricial del sistema de ecuaciones 1 .78 es: o O O -{J2 y el sistema 1 .79 queda : (1.81) A partir de 1 .81 se despejan las variables de salida e intermedias invirtiendo la correspondiente matriz:

-[ [;1

K2 -K2 -m I O O -m 2 1 mI O K2 mI O

O O O

O 1 O m2 K2 O m2

r[

O O O 1 O O O O 1

r 1

J

[ 1x,

X2 X3 X4

=

(1 .82)

1.8.

EJEMPLOS ADICIONALES

41

y sustituyendo en 1 .80 se obtiene:

o

+ K2 O O m2 f32 1 O O m2 La ecuacin de salida se obtiene ahora a partir de 1 .82, mediante la seleccin de las variables correspondientes: 1 O O O

[ 1

1

KI + K2 mI f3I mI K2 mI

O O

K2 m2 O

[ n [ ! 1

F

Modelos de estado de sistemas de orden reducidoEjemplo

1.10

u (t)

Si la dinmica del sistema se puede representar mediante la ecuacin dife-

42 rencial:


Ku = ::! + aXI el sistema posee una nica variable de estado, al ser de grado uno, que puede ser la salida del bloque. La ecuacin de estado es, por tanto: ::h = -aXI + Ku

u(t)

K 2 + as + b "" s

""

La dinmica del sistema de la figura viene dada por la ecuacin diferencial :

por l o que e l modelo de estado exige l a presencia d e dos variables de estado. Como primera puede tomarse la salida del bloque, mientras que la segunda puede ser la derivada de la salida: X2 = X l X l = X 2 = K u - aXI - bXI Las ecuaciones de estado son :

u (t)

Entre otros mtodos, se puede realizar descomponiendo el sistema en dos bloques, uno que contiene un polo y otro que contiene un par polo cero, teniendo en cuenta que el bloque que contiene un polo debe preceder al del par polo cero

'l1li

K(s + e) (s + a) (s + b)

1 .8. EJEMPLOS ADICIONALES

43

para garantizar la derivabilidad de ambas variables de estado:

u(t) s+a . X2(t) s+c Xl (t) s+b"" .. 1

K --

""

Se elige como segunda variable la representada entre los dos bloques. El sistema se comporta como:

Las ecuaciones de estado son :

Ku == X2 ++ aX2 Xl -bXI ++ CX2u + X2 = -bXI + -a)X2 + Ku X2 + CX2 Xl bXI X2 -aX2 K = -aX2 +Ku { xI = -bxI+ (c - a)X2+Ku X2u(t)

=?

=?

=

=

(e

Otra solucin a este mismo problema se puede encontrar descomponiendo el sistema en:

(s K(s+c)+ b) = + +a)(s s +a s+bSe elige como segunda variable de estado la salida de uno de los dos bloques, adems de la salida global del sistema : Las ecuaciones de estado quedan :

Bu = (s + b)(Xl -X2) = Xl -X2 + bXI - bX2 = Xl + bXI + (a -b)X2 -Au Xl -aX2 b { X2 -bXI ++ (Au-a)X2 + + B)u Xl(A y

44

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

u( ) y (t __t_'IIiI K(s + a) r-_).... .... s+b En sistemas con igual grado en el denominador y en el numerador, no es posible que la salida del sistema sea una variable de estado, pues una variacin brusca de la entrada implicara una variacin brusca del estado. En estos sistemas es necesario realizar una descomposicin del mismo, a fin de obtener un bloque en el que el grado del denominador sea mayor que el del numerador. Es necesario descomponerlo en:

u (t) K(a b) s+b-

y (t) x ( t )

Eligiendo como nueva variable de estado la salida del nuevo bloque:= :h

Las ecuaciones de estado quedan:y

K s+a =K + K s+as+- bs-b = K + K a- bb s+b s+ K(a -b)u + bXI { :i; = X-bXI + K(a -b) u = l +Ku

Diagramas ms complejos pueden ser resueltos descomponindolos en los an teriores o de forma similar. Ntese que en estos casos las condiciones iniciales del estado no se correspondern con las salidas de los integradores puros, debiendo ser calculados a partir de ellos.

1.9. EJERCICIOS RESUELTOS

45

Cuando se obtiene el modelo de estado a partir de un diagrama de bloques no se pueden realizar cancelaciones, ya que para modelar el comportamiento del sistema es necesario conocer todas las variables involucradas, con sus condiciones iniciales correspondientes. Adems, y como se vio en la teora clsica, puede enmascarar posibles inestabilidades. Por ejemplo, el sistema de la figura posee dos variables de estado, X l y X 2 .

u(t)

""Iii

---

s+a=} =}

1

X2 (t)

---

s+a s+b

!t .

Xl (t)

u = X 2 + aX 2 X2 + aX 2 = X l + bX l

Las ecuaciones de estado quedan : Xl X2 y

{

X2 = -aX 2 + u X l = -bX l + aX 2 + X2 = = -bX l + aX 2 - aX 2 + u = -bX l + U -bX l + U -aX 2 + u Xl

1.9.

Ejercicios resueltosHallar un modelo de estado del sistema de l a figura, sabiendo que h a de incluir el mayor nmero posible de las variables representadas.

1.

u(t)

46Y


Observando la figura, se aprecia que X2 X3 pueden ser variables de estado, ya que no van a sufrir discontinuidades ante cambios bruscos en las entradas del sistema. No sucede lo mismo con X l , pues una variacin brusca en la entrada u originara la aparicin de una variacin brusca en esta variable. Para este bloque, se precisa obtener dos variables de estado:

, S i X',

Se eligen como variables de estado X4 de derivabilidad necesarias:

[

- + X3 l. +2x, - 4u + 4X3X5

Y

X5 ,

dado que cumplen con las condiciones

]

3(u - X 3 ) - 4x,

;

X4 = X l - U + X 3 X5 = X4 + 2X I - 4u + 4X 3

resultando:X4 =X5 + 4u - 4X 3 - 2X4 - 2u + 2X 3 = =X5 - 2X4 - 2X 3 + 2u X5 =3(u - X 3 ) - 4X I = =3u - 3X 3 - 4X4 - 4u + 4X 3 = = - 4X4 + X 3 - U X2 = - X 2 + X l + V = = - X 2 + X4 + U - X 3 + V X 3 = - 3X 3 + X 2

Si se expresa todo el conjunto de ecuaciones en forma matricial:

1 .9 .

EJERCICIOS RESUELTOS

47

2. Para el sistema de la figura, indicar cules de las siguientes afirmaciones son vlidas:

Ug

+

11 12 C 13 U 1R L

14 C=r.U2 16 C .U3R

a) Iz puede ser variable de estado . b) h puede ser variable de estado. c) la puede ser variable de estado. d) l4 puede ser variable de estado. e) l6 puede ser variable de estado . f) U2 , l4 Ua pueden ser variables de estado a la vez. g) U4 U5 pueden ser variables de estado a la vez. h) U4 U5 pueden ser, cualquiera de las dos, variables de estado . i) U2 Ua pueden ser variables de estado a la vez. j ) h e ls pueden ser variables de estado a la vez. k) h e 19 pueden ser variables de estado a la vez. a) l2 no puede ser variable de estado, puesto que cambia bruscamente ante dis continuidades en la tensin de entrada Ug Estas discontinuidades en Ug se repiten en bornes de la primera rama (y de todas las dems ) , por lo que la tensin en bornes de alguno de sus componentes colocados en serie debe tam bin variar bruscamente, y puesto que la tensin en bornes de un condensador nunca puede hacerlo, es la tensin en bornes de la resistencia de esta primera rama la que absorbe la discontinuidad de la entrada, variando por tanto la intensidad que pasa por ella l2 tambin de forma brusca (segn la ley de Ohmy y y y

U4 C

L

U = Rl) .

48b) hy


e

)

d)e

f)

)

g)

h)

i)

j)

no puede ser variable de estado puesto que, ante cambios bruscos en la tensin de entrada Ug , la intensidad h vara bruscamente (segn el apartado a) , al ser h una componente de la intensidad 11 , sta tambin presentar una discontinuidad ante dichos cambios bruscos de la entrada. la s que puede ser variable de estado, puesto que es la intensidad que pasa por una bobina sta nunca puede variar de forma brusca (las discontinuidades en la tensin de entrada provocan saltos en la derivada de la intensidad la ) . 14 tambin puede ser variable de estado por los mismos motivos que los expli cados en c) . 16 no puede ser variable de estado, por los mismos motivos que los explicados en a) . U2 , 14 Ua s que pueden ser variables de estado a la vez, puesto que ninguna de ellas vara bruscamente ante discontinuidades de la entrada adems no son linealmente dependientes entre s. Desde un punto de vista fsico, esta tercera rama est compuesta de tres subsistemas de primer orden, cada uno de ellos lleva asociada una variable de estado, que es la magnitud fsica que no puede variar bruscamente: la tensin en los condensadores la intensidad en la bobina. U4 U5 no pueden ser a la vez variables de estado. Los dos condensadores estn conectados en paralelo, de manera que actan como un nico condensador ( de capacitancia 20) , siendo forzosamente la tensin en sus bornes siempre la misma, que es por tanto la nica variable de estado asociada a estos dos condensadores que se comportan como uno solo. U4 U5 s que pueden ser, cualesquiera de las dos por s solas, variables de estado, puesto que las dos son la misma tensin sta no puede variar bruscamente ante cambios bruscos de la entrada. U2 Ua s que pueden ser a la vez variables de estado, puesto que ninguna de ellas vara bruscamente ante cambios bruscos de la entrada adems, no son linealmente dependientes entre s. Podra parecer que, al ser la intensidad que circula por ambos condensadores la misma (por estar conectados en serie) , las tensiones de ambos condensadores estarn ligadas linealmente entre s (esto es, actan como un nico condensador de capacidad f) por tanto estas dos tensiones no podran ser a la vez variables de estado. El razonamiento an terior es vlido para unas tensiones iniciales dadas en ambos condensadores, pero nada impide que estas tensiones iniciales puedan tener valores arbitrarios cualesquiera en cada condensador, correspondiendo por tanto a variables de es tado independientes, asociadas a condensadores fsicamente distintos, aunque su evolucin temporal est ligada a partir de unas tensiones iniciales dadas. h e 18 no pueden ser variables de estado a la vez, debido a un razonamiento similar al que se ha hecho en el apartado g) con los condensadores de tensionesy y y y y y y y y y, y

.1.9. EJERCICIOS RESUELTOSy

49y

k)

U2 U3 En el presente caso, la intensidad que circula por los devanados de cada una de las bobinas es siempre la misma, independientemente de las condiciones iniciales de la evolucin de la entrada, por lo que slo se tiene una nica variable de estado. h e 19 s que pueden ser variables de estado a la vez, por un razonamiento an logo al del apartado i). En el presente caso, debido a la conexin en paralelo de las dos ramas con la misma impedancia, cualquier entrada dar lugar a que los incrementos de intensidades sobre los valores iniciales sean siempre los mismos en ambas ramas, pero los valores absolutos de las intensidades que circulan por cada una de ellas pueden ser completamente distintos, dependiendo de las condiciones iniciales. Por tanto, las intensidades que pasan por ambas ramas son variables fsicas distintas sin ligazn lineal entre s que, al no variar bruscamente ante cambios bruscos de la entrada, pueden ser consideradas ambas a la vez como variables de estado.y

3. Las ecuaciones de la trayectoria circular de una nave espacial en ingravidez son: w aw + Kwp cos O u _ pw 2 + Kp sin O u-

m i)

donde:

Variable w Ou

P

DescripcinRadio de giro de la trayectoria de la nave . Velocidad angular de la nave . ngulo de la tobera de propulsin. Consumo de combustible de propulsin .

Siendo a, m, Kw , Kp constantes del sistema, que valen respectivamente 1 , Kw = 0,01 , Kp = 1 . a) b) Obtener un modelo de estado del sistema no lineal original .

a = 1, m =

Obtener un modelo de estado del sistema linealizado en torno a la trayectoria de referencia definida por Wo = 0,01 radj s y Po = 100 m .

a)

Utilizando el operador derivada, las ecuaciones del sistema se pueden escribir como:-aw + Kwp cos O U _ pw 2 + Kp sin O u

50

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

Eligiendo como variables de estado la salida de los integradores en ambas ecuaciones, se obtiene:

Con lo que las ecuaciones de estado quedan:Xl . X2 X3b)

-aX I + Kw X 3 cos 8 u 1 . - -x 3 X 2 + Kp sm 8 u I m X2Y Ua

Calculando los valores de funcionamiento de las entradas para la trayectoria de referencia se obtiene: 80 = 7f / 4 = 0,01 y'2, con lo que las ecuaciones linealizadas del sistema en torno a estos valores de referencia son:w(t) p (t) -w(t) + O,OOOlp(t) + 1 u(t) - O,O IB (t) y'2 1 -O,OOOlp(t) - 2w(t) + u(t) + 0,0l8(t) y'2

Eligiendo las mismas variables de estado, se obtiene el siguiente modelo de estado lineal del sistema en torno a la trayectoria de referencia:1 U - 0,018 y'2 1 -2X I - 0,0001x 3 + u + 0,018 y'2 X2 -X l + 0,0001x 3 + 4. Se dispone de dos depsitos de agua de seccin constante A ly A 2 , respectivamente. Ambos estn alimentados por un caudal qe . En cada depsito el caudal de salida es proporcional con una constante a la altura del lquido, h, y ambos vierten a una misma tubera . Hallar un modelo de estado:

B

1 .9 .

EJERCICIOS RESUELTOS

51

a) A partir del sistema fsico. b) A partir del diagrama de bloques. c) Usando variables de fase. d) Usando variables de Jordan. Las ecuaciones fsicas del sistema son:qe - q S i = qS i = qs

A } B hi ih=qS l

' en ambos depSItoS+ qS 2

De aqu en adelante, para mayor claridad en el desarrollo, se omite la dependencia del tiempo de las variables. a) Se eligen como variables de estado: y sustituyendo en las ecuaciones fsicas:=

::::}

::::}

B . A Xl = --Xl + A1l Bl .X2 --X2 + A1 A2 2

- qe - qe

52

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

escrito en forma matricial:-

o

A2

B

Si en lugar de haber elegido estas variables de estado se hubiesen elegido los caudales de salida: entonces el desarrollo hubiera sido:qe qe

=

. A. A lhl + XI = El XI + XI . A2 . = A2 h2 + X2 = E X2 + X2o-

que escrito en forma matricial resulta:A2B

b)

A partir del diagrama de bloques:

Tomando transformadas de Laplace en las ecuaciones del sistema:

1.9. EJERCICIOS RESUELTOS

53

B -,--_

Eligiendo como variables de estado, por ejemplo: con lo que quedaran las ecuaciones:B B X. 2 + Al X2 = A l qe (Xl - X2 ) + 2 (X l - X2 ) = 2 qe

AiS _B = +_

s

+

Ai

B

= X l = qs = Y X2 qS l

JI..

para cada depsito

Ai

y expresado en forma matricial:

-2 [!

e)

Para utilizar las variables de fase, primero hay que hallar la funcin de trans ferencia del sistema:

A partir de esta funcin de transferencia, es posible obtener directamente las variables de fase, mediante el proceso:s qs

2

+ ( Al + A2 ) + AI A2 2 = ( Al + A2 ) + AI A2B Bs qs

B

qs

B

B

s qe

2B

54

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

Con lo que la expresin del modelo en forma matricial queda:y

=

d)

Para utilizar variables de Jordan, nuevamente se parte de la funcin de trans ferencia: ( )qsB A, --BS

[

o

1

=

A partir de esta funcin de transferencia se extraen las variables de Jordan:=

+ + -+A,S

A2 A2B

B

qe

5. Dado el sistema de la figura, escribir su representacin mediante ecuaciones deestado.

y poniendo todas las ecuaciones en forma matricial: [ : ] [ -!, _! ] [ ] + [ ] qe [ :, : J [ ]y

y

B B -Xl + -x2 A l A2

=

2

1.9. EJERCICIOS RESUELTOSy

55

El sistema precisa de cuatro variables de estado para su representacin, dos para el primer bloque, de segundo orden, una por cada uno de los bloques de primer orden. En el diagrama aparecen tres variables, las de salida de cada uno de los blo ques, que pueden ser tomadas como variables de estado; dadas estas tres variables, es necesario encontrar otra asociada al bloque de segundo orden. Esta variable se obtiene como:

con lo que las ecuaciones quedan: Xl -Xl + X2 - 3X3 - 3X4 + X2 -Xl - 3X3 - 3X4 + X3 Xl - X3 X4 2XI - X4 3X3 + 3X4 y que expresado en forma matricial es:U

U

6. Dado e l sistema d e l a figura, elegir u n modelo d e estado que contenga como variables de estado el mximo nmero posible del conjunto de variables [Xl> X 2 ] .

56

CAPTULO

1.

MODELO DE ESTADO

De las dos variables propuestas para ser incluidas en el modelo de estado, Xl podra utilizarse, pero X2 no, puesto que puede presentar discontinuidades ante variaciones bruscas de la entrada. Se necesitan cuatro variables de estado para representar el sistema se dispone solo de una Xl , por lo que ser necesario incluir otras tres. Una de ellas puede ser la salida del bloque de realimentacin, que se denotar por X3 que en ningn caso sufrir variaciones bruscas, por ser la salida de un bloque con una diferencia de un grado entre el denominador el numerador. Del primer bloque, de segundo orden:

de donde se obtienen las dos ecuaciones:X5 X l + 2X I=} y

=

82 + 28 + 3)X I 5 (u - X 3 ) = 8 ( 8 + 2)X I + 3X I 5 (u - X 3 ) - 3X I = 8 (X l + 2X I )5 (u - X 3 ) = (X5

y

Y

y

"-v--"

Xl = -2X I + X5 X5 = 5u - 5X3 - 3X Iy

Ntese que sera igualmente vlido, en este caso, tomar como X5 = X l , pues la diferencia de grados entre el denominador el numerador en el bloque considerado es de dos rdenes, por lo que se garantiza continuidad en la variable de salida en su derivada. Del bloque asociado a la entrada v: donde X4 representa la salida de dicho bloque, que no puede ser variable de estado:2v -; 3X 4 = S (X4 - v)X6

( + 2)v = ( + 3)X4

8

8

'-v--'

de donde se obtiene: Finalmente, del bloque de realimentacin: de donde se obtiene la ecuacin:5 (X4 + x ) 5 (X 6 + V + x )

1 .9. EJERCICIOS RESUELTOS

Por ltimo, falta calcular la ecuacin de la salida en funcin de las variables de estado:

X2 5(X4 + X) 5X6 + 5v + 5Xl Expresando el conjunto de ecuaciones en forma matricial:Y=

y

=

=

=

57

[ 1 [[5

-2

O 1 -1 O O -3 O O O -3

5

-5

O O

5l

7. En el sistema de la figura, deducir las ecuaciones de estado, tomando como variablescomo salidas el flujo

de estado el volumen y la concentracin de salida, concentracin, para el sistema linealizado.

[ n + [ o 5 l [ ly

i 1 p: 1 [ i 1 [X6 +0 -1

1y

la

Se plantean las ecuaciones fsicas de comportamiento del sistema: Balance de caudal: = Fl + F2 - F Flujo de salida: donde:

h('l I

F, C

F kv'h k

=

=

58

CAPTULO 1. MODELO DE ESTADO

depsito. representa la superficie del depsito, que supone constante. En el punto de equilibrio se cumplir que:

V representa el volumen de fluido en el depsito. H F2 representan los caudales de entrada. F representa el caudal de salida. Cl C2 representan las concentraciones de entrada, que se suponen constantes. C representa la concentracin de salida.h representa la altura de fluido en elSy y

Linealizando en torno a este punto de equilibrio:=

V Fl + F2 - F v + cv = Cl Fl + C2F2 - CF + V = H + - F - C k l _ a F _ y17Q V = 2FVa V 2 VS Teniendo en cuenta que: V = F Ul = Xl = C Yl = C U = Fl X2 Y2 2 F2 se vuelve a las ecuaciones linealizadas para formular el modelo de estado: Fa V. H + F2 - F = Ul + U2 - Yl Ul + U2 - -V 2Va C Ca Fa Ca C. Cl + -2 U2 - - F - -C - - V. Va Va Ca Va Va Cl C Ca F Ca Ca C. - - Ul + -2 U2 - - F - -a C - - Ul - - U2 + Ca F2a V Va Ca Va Va Va 2Va'*

Fa = FlO + F2a Cl FlO + C2F2a CFa Fa = KfYi=_ _

=

=

=

=

-Ul

=

--

Ecuaciones que expresadas en forma matricial quedan:

[ ] [ -r [ ] = [ o ] [ ]_

o 1 [ ] + [

-----v,;---C1 - CO

1

-----v,;---C2 - CO

1

1.9. EJERCICIOS RESUELTOS+

59

8. Obtener el modelo de estado linealizado del sistema representado por la siguienteecuacin diferencial:

Linealizarlo en torno a las trayectorias descritas por las variables de estado ante una entrada

u(t):

d2 y(t) (dy(t) ) 2 u (t) dt2 dt u(t)=

sabiendo que en este caso se obtiene una salida de

2+

=

4t 2

En primer lugar, se deben elegir las variables de estado, en este caso dos, por ser la ecuacin de segundo orden:

y t2=

Xl y X2 Y Se linealiza en torno a la trayectoria propuesta: jj + 2yoY u segn la trayectoria dada: X20 Yo 2t= = = = =

por lo que se puede escribir la ecuacin como:

Por lo que escribiendo las ecuaciones en forma matricial queda:

9. Hallar u n modelo d e estado del siguiente sistema:

[ ] [ - 4 ] [ ] [ ] u y [ 1 O ] [ ]=

+

Se trata de un sistema no lineal en el que la salida no presenta discontinuidades ante discontinuidades en la entrada y, consecuentemente, puede ser elegida como variable de estado. No sucede lo mismo con la derivada de la salida, y, que presenta las mismas discontinuidades que la entrada y, por tanto, no puede elegirse como variable de estado del sistema.

60


Para la eleccin de variables de estado, se va a utilizar la metodologa de elegir la salida de los integradores. La ecuacin propuesta puede escribirse como:s (iJy,

- u) = yu 2 - iJ 2

donde el trmino entre parntesis puede obtenerse como integracin del trmino de la derecha por tanto, elegirlo como variable de estado:X l = iJ + u

que, introducido en la ecuacin inicial, da como resultado la definicin de su dinmi ca:. X l = yu - y 2

En la ecuacin de definicin de la variable X l , se elige de nuevo como variable de estado la salida del integrador, esto es:X2 = y

que es la ecuacin de salida del sistema. Introduciendo este valor de y en la definicin de X l se obtiene:X2 = X l - U

e introduciendo los valores de y e iJ dados por las dos ltimas ecuaciones en la ecuacin de la dinmica de X l , se obtiene la siguiente ecuacin del modelo de estado:. X l = X2 U2 - ( X l - U ) 2

que, junto con la ecuacin de la dinmica de X2 la de salida, la definicin de X2 , forman las ecuaciones del modelo de estado no lineal del sistema.1 . 10. Ejercicios propuestos

Y

1 . Dado e l circuito elctrico de l a figura:

1 . 10.

EJERCICIOS PROPUESTOS

+

L

e

15

R

61'-----.----,

R

L

L

Tomando como entrada Ug , elegir un modelo de estado que contenga el mayor nmero posible de variables de estado entre l , h , h , 14 , 15 .

2. Obtener l a matriz d e funciones d e transferencia corrrespondiente a l sistema representado por el siguiente modelo de estado:-

y

[ - O1 O2 ] [ XX2l ] [ O1 11 ] [ UUI2 ] [ O 1 ] [ ] [ O 1 ] [ ]+ +Lrj;=

3. Obtener el modelo de estado linealizado respecto al punto de equilibrio del sistemarepresentado por las ecuaciones:9 (t ' to) dt A(t) + A(t)

Si se deriva la expresin genrica de la matriz de transicin, se tiene:=

t A(T)dTta

+

.

.

.

=

A(t)iJ> (t, to)

(2.17)

Como se observa, la derivacin cancela el primer integrando de todos los sumandos, por lo que la matriz A(t) puede ser extrada de todos los trminos como factor comn por la izquierda; despus de esta extraccin, lo que queda vuelve a ser la suma infinita que define a la matriz de transicin, como queda reflejado en la expresin. Adems, puede observarse que la matriz iJ> (t, to) cumple con la misma ecuacin diferencial que el estado (Ecuacin 2.2) , por lo que puede extraerse la conclusin de que cada uno de los vectores columna de la matriz de transicin cumple con dicha ecuacin diferencial homognea. Se puede demostrar adems que estas columnas forman un sistema generador del espacio de soluciones de la Ecuacin 2.2, lo que significa que cualquier solucin que se obtenga, dadas unas condiciones iniciales, se puede expresar como una combinacin lineal de dichos vectores columna.n

2. Valor de la matriz de transicin en to El valor de la variable x(t) para el instante t como condicin inicial, es decir xo , por lo quey

to coincide con el pecificado al particularizar la sohicin para este instante inicial, teniendo en cuenta que la ecuacin se cumple para cualquier estado inicial, se deduce que:=

x(to)

=

iJ> (to , to)x(to )

:::}

iJ>(to , to)

=

1

(2. 18)

es decir, que la particularizacin de la matriz de transicin para el instante inicial debe dar como resultado la matriz identidad de la misma dimensin. A esta conclusin se llega igualmente haciendo t to en la expresin de iJ>(t, to) mediante la serie de Peano-Baker (Ecuacin 2.8) , por lo que todas las integrales se anulan permaneciendo nicamente la matriz identidad.=

3. Transitividad de la solucin de la ecuacin homognea

Si se calcula la solucin de la ecuacin homognea para cualquier instante t2 , se obtiene:

2.3.

PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE TRANSICIN

69

Si se hace lo mismo para otro instante t i , se tiene:x(td=

(h , to)x(to )

Como la solucin de la ecuacin de estado es nica, se debe alcanzar el mismo estado para un instante determinado si se parte de las mismas condiciones iniciales, por lo que tambin se cumple: Para el caso de sistemas invariantes, dado un instante t y un intervalo de tiempo T, la solucin de la ecuacin homognea particularizada para el instante t + T es:(2. 19) (2.20) 4. Inversin de tiempos

por tanto, al ser vlido para cualquier estado inicial, se deduce:

Si en la ecuacin de transitividad se hace la suposicin de que t2 = to , se obtiene:

lo que, como consecuencia, permite afirmar que la matriz de transicin ha de ser no singular. Para el caso de matriz A invariante, esta propiedad se reduce a:(2.21) 5. Cambio de representacin del estado

Para cualquier cambio de representacin del estado, x(t) = T(t)x(t) con la condi cin de existencia de T - i (t) se verifica: (t, to) x(t)=

T - i (t) (t, to)T(to ) T(t)x(t)

(2.22)

En efecto, si en la solucin de la ecuacin homognea se sustituye x( t) por su valor:=}=

Despejando de esta ecuacin el valor de x(t) :=}

= (t, to)x(to)=

(t, to )T(to)x(to)=}

x (t) T - i (t) (t, to )T(to )x(to) ( t, to) T - i (t) ( t, to )T( to)=

702.4.

CAPTULO

2.

SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES

Solucin de la ecuacin completa

El objetivo de este apartado es la resolucin de la ecuacin completa, es decir, cuando existen condiciones iniciales no nulas y entrada:x(t)=

A (t)x(t) + B (t)u(t)

(2.23)

Para calcular la solucin de esta ecuacin se utiliza el mtodo de variacin de las constantes, segn el cual se va a suponer que existe una z(t) , tal que la solucin de la ecuacin completa se puede expresar de la forma:x(t)

hiptesis que se verificar a continuacin, calculando la z(t) que lo cumple. Si la hiptesis formulada es correcta, entonces esta expresin de x(t) debe verificar la ecuacin completa, por lo que sustituyendo en la Ecuacin 2.23 queda: (t, to)z(t) + cI> (t, to) z (t),

= cI> (t, to)z(t)=

(2.24)

cI> (t, to) z (t) + (t, to) - A(t) cI>(t, to) z(t)v

[

A(t) cI> (t, to)z(t) + B (t)u(t)= .1

donde el trmino entre corchetes se anula por la primera propiedad vista para la matriz de transicin y, como cI> (t, to ) es no singular, se puede despejar z (t) como:z (t)

o

]

(2.25) (2.26)

B (t)u(t)

que mediante integracin se resuelve, demostrando que existe la z(t) que cumple con la hiptesis formulada en principio:z(t)=

= cI> - l (t, to)B (t)u(t)+

(2.27)

donde al aplicar la propiedad de inversin de tiempos a la matriz cI> (t, to) , y teniendo en cuenta que z(to) x(to ) a partir de la ecuacin 2.28, se obtiene:z(t)

= z(to)

t ( cI> - l (T, to)B(T)U(T)dT ita t ( cI>(to , T)B(T)U(T)dT ita t ta

(2.28)

Si se sustituye esta expresin en la Ecuacin 2.24 se obtiene:x(t)=

= x(to)

+

(2.29)

cI>(t, to)xo + cI>(t, to) i( cI> (to , T)B(T)U(T)dT

(2.30)

En el segundo trmino aparece cI> (t, to ) fuera de la integral, pero como no depende de la variable de integracin puede introducirse dentro de la misma, y al producto entre sta

2.4.y

SOLUCIN DE LA ECUACIN COMPLETA

71

(to , T) aplicarle la propiedad de transitividad para reducirlo, de forma que al final queda la siguiente expresin de la solucin de la ecuacin completa: x(t)

Se observa que la solucin completa de la ecuacin de estado es una suma de dos trminos: El primero representa la evolucin libre del sistema propiciada por la situacin inicial de las variables de estado o, dicho de otro modo, debida a las condiciones iniciales cuando la entrada es nula. Como puede verse, este trmino existe si slo si existen condiciones iniciales no nulas. El segundo representa la evolucin forzada del sistema, debida a la accin producida por la entrada del sistema.

= (t, to )xo + i( (t, T)B (T)U(T)dTta t

(2.31)

y

Ejemplo 2 . 2

Determinar la evolucin del estado ante entrada escaln para el sistema definido por: o -2 x+ u O -1 -1 sabiendo que to

= 1 Xo = [1 - 1 =[ (t, to) =Y

eA ( t-t a l

e t-t a

l

[

2 ] T . Del Ejemplo 2 . 1 se sabe que:e- 2( t-t a l

O

l

O

as como la evolucin libre del sistema partiendo de las condiciones iniciales dadas, por lo que, aplicando superposicin , la evolucin del estado ante entrada escaln es:

72

CAPTULO

2.


Otro caso de clculo de la evolucin forzada del estado de un sistema se puede en contrar en el Ejemplo 2.6 al final del captulo.2.5. Clculo de la matriz de transicin

Por lo expresado en el apartado anterior, el clculo de la matriz de transicin de un sistema es equivalente al clculo de la exponencial de una matriz:(t, to)

Se van a estudiar tres mtodos para la obtencin del resultado de esta expresin.2.5. 1. Mtodo de Cayley- Hamilton

= eJ,'o

A (r) dr

Para los casos en que la matriz A(t) sea factorizable segn la Ecuacin 2.13, que incluye el caso invariante, la matriz de transicin se puede expresar mediante su desarrollo en serie, que no es sino un polinomio infinito que depende de M y de t:e M J,'o a(r)dr

donde:

= k=O00

L a k (t)M k

= Q(M, t)

(2.32)

(2.33)

Para el caso de matriz A invariante el planteamiento sera el mismo, salvo por el hecho de que la funcin a(t) es igual a uno. Como se ver a continuacin, por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio infinito particularizado en A(t) puede calcularse mediante un polinomio R(M, t) , de grado finito y menor que Llamando P(>') al polinomio caracterstico de la matriz M, cuyo grado coincide con el nmero de variables de estado se forma el cociente entre el desarrollo en serie de la matriz de transicin y ste, obtenindose la expresin:n. n,

Q (>., t)

donde C(>', t) es el polinomio cociente y R(>', t) es un polinomio de grado la divisin entre el polinomio infinito y el polinomio caracterstico:R(>', t)

= C(>', t)P(>.) =O

+

R(>', t)

Por el teorema de Cayley-Hamilton:

L = nj=-Ol hj (t)>.j

n

-

(2.34) 1 , resto de (2.35)

P(M)

(2.36)

2.5.

CLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIN

73

es decir, que el polinomio caracterstico de M se anula particularizado para s misma, por lo que, sustituyendo en la Ecuacin 2.34 A M, se puede deducir que: Q(M, t ) R(M, t) (2.37) Esta expresin presenta la ventaja de haber reducido el problema de obtener un polinomio de grado infinito al problema de obtener un polinomio de grado finito. Para obtener los coeficientes del polinomio R(M, t) se hace uso de la propiedad de que los valores propios anulan el polinomio caracterstico:= =

(2.38)

donde los Ai son los valores propios de la matriz M, por lo que: con lo que se obtiene un sistema de ecuaciones: n- 1 e Ai J:o Q{ r)dr R ( A i t ) L hj ( t)A{ que permitira obtener las incgnitas hj ( t).Ejemplo 2 . 3=

n

(2.39),

=

n

j= a

(2.40)

Calcular la matriz de transicin del sistema definido por la matriz: A= = = -

[ -22 13 ]

y

En primer lugar se calculan sus autovalores, comprobndose que sus valores son A l - 1 , A 2 - 4 . A continuacin, se plantea la ecuacin asociada a cada uno de ellos, sustituyendo en la Ecuacin 2 .40. con lo que resulta :

despejando este sistema resulta : ha=

por lo que la matriz de transicin resulta : ( t, ta )=

(4e- (t-to) - e-4 (t-to) ) , h 1 (e- (t-to)= =

e-(t-to) { e-4(t-to)

=

=

ha - h 1 ha - 4h 1

_

e-4(t -to) )

ha I+h 1 A

[ (2(e-(t-to) +e-4(t-to) )) e-(t-to) e-4(t-to)_

( e-(t-to) e-4(t-to) ) ( e-(t-to) + 2 e-4(t-to) )_

]

74

CAPTULO

2.


Otro caso de obtencin de la matriz de transicin haciendo uso de este mtodo para un sistema no invariante puede verse en el Ejemplo 2.7 al final de este captulo. En el caso de que la matriz M presente algn valor propio mltiple, para obtener ttas ecuaciones distintas como incgnitas, se deben utilizar las derivadas de la Ecuacin 2.34 hasta un orden inferior en una unidad a la multiplicidad del valor propio. Dado un valor propio Ai con multiplicidad mi , el polinomio caracterstico es de la forma:(2.41)

con lo que la expresin del cociente entre polinomios queda: Si se deriva esta expresin respecto a A, resulta:dQ(A, t) dA+

d

C(A, t)Pi (A)mi (A

C, t) Pi (A) (A _ Ai ) mi_

expresin en la que todos los trminos se anulan al particularizar para Ai salvo el ltimo, quedando:dQ (A, t) dAy

Esta igualdad entre la derivada de Q (A, t) la del polinomio R( A, t) se seguir cumpliendo hasta la derivada de orden mi - 1 inclusive. A partir de este orden aparecen sumandos que no dependen de (A - Ai ) que, por lo tanto, no se anularn cuando se particularice la derivada de orden superior de Q (A, t) en Ai .Ejemplo 2.4A =

I

A=

Y

=

Ai )

d ) (A C(A, t) m i - l + d , t)

+

y R

(2.42)

_

Ai ) m i (2.43)

dR(A, t) dA

I

A=

(2.44)

sabiendo que to = o. En primer lugar se determinan los valores propios de la matriz dada , com probndose que ambos coinciden en A l , 2 1 , es decir, un valor propio doble. Se cum ple que:

Obtener la matriz de transicin del sistema definido por:

[ -21 O1 ] =

2.5.

CLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIN

75

y, al ser el valor propio doble, se ha de cumplir tambin que: e t = ho + h 1 t e t = h 1 =} ho_ _

dQ (>., t) dR(>', t) t =} t e A - h 1 d>' - d>' De donde, sustituyendo >. por su valor, se tiene el sistema de ecuaciones:=

(1

-

t) e t tet (1 - t)

Sustituyendo en el polinomio resto queda :

]

2.5.2.

Mt o do de J ordan

Al igual que para el mtodo de Cayley-Hamilton, se parte de una forma de la matriz que permita su factorizacin de la forma que se expresa en la Ecuacin 2.13, con lo que la matriz de transicin del sistema toma la forma:A(t)

El mtodo de Jordan consiste en realizar una transformacin: que transforma a la matriz del sistema en:A(t) Ma(t)= = =

de manera que sea diagonal en cajas de Jordan, conocida como forma cannica de Jordan. Tal como se vio en el teorema de cambio de representacin de estado, si se consigue encontrar la matriz de transicin para el sistema en el nuevo sistema de referencia, (t, to) , es posible obtener la del sistema original mediante la transformacin: (t, to) T(t, to)T - 1 (2.47)

T - 1 A(t)T = T - 1 MTa(t)

(2.45)

(2.46)

Para el clculo de la matriz T se sabe que, en el caso de que todos los autovalores sean distintos, sta se compone, por columnas, de los vectores propios asociados a los valores propios de la matriz M. La ventaja de esta transformacin es que la exponencial de una matriz diagonal en cajas de Jordan se calcula de forma muy sencilla; la exponencial de una matriz en cajas

76

CAPTULO 2. SOLUCIN D E LA ECUACIN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES

de Jordan es una matriz en la que cada bloque de la diagonal es la exponencial de una caja:(t, to)

=

MI O O M2exp

O

t u(r)dr e M " It o"

O O Mi

O

O

O t M2 It o" u(r)dr e O

h a(T)dTto

O

- t u(r)dr e Mi It o"

O O

(2.48)

donde M i a(t) son cajas de Jordan I de la matriz (t) . La exponencial de algunas cajas de Jordan es la siguiente:Exponencial de una caja con valores propios distintos:

si la matriz es:

la exponencial es:e Ak

O O1:; u(r)dr

Valor propio mltiple:

si la matriz es:M i a(t)

i (t)

=

=

).

1 O O ). 1 O O ). O O O

O O O O

(2.49)

1 En el Apndice A de este libro , Seccin A.2, se muestra un mtodo para la obtencin de la matriz diagonal en caj as de Jordan

).

a(t)

2.5. CLCULO DE LA MATRIZ DE TRANSICIN

la exponencial es:-

= e A f: a(r)dr

- t to e 1'1 A i (r)dr = e Mi ftoi a(r)dr =O O O 1 O O

77

1 Jt: a(T)dT

Ut: a(T)dT) 2 2! Jt: a(T)dau1 O

Ut: a(T)dT) n - l Ut: a(T)dT) n - 2 (n 2 ) ! Utto a(T)dT) n - 3( n - 3) !-

(n - 1 ) !

(2.50)

1

De esta forma, segn el mtodo de Jordan, el clculo de la exponencial de una matriz se realiza en los siguientes pasos: Clculo de la matriz diagonal en cajas de Jordan, mediante el clculo previo de las matrices T T- l . Clculo de la exponencial de la matriz diagonal en cajas de Jordan, (t, to) . Multiplicacin de esta matriz por las matrices de transformacin para devolver el sistema a su expresin original,

(t, to)

=

[ e -(t - to )2

78

CAPTULO 2. SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES

En el Ejemplo 2.8, al final del captulo, puede encontrarse un caso de cmputo de la matriz de transferencia haciendo uso tanto del mtodo de Cayley-Hamilton como del de Jordan, mientras que en el Ejercicio 3 se puede ver un caso de aplicacin de estas metodologas para un caso no invariante.2.5.3. Mediante la transformada inversa de Laplace

Si el sistema es invariante, la ecuacin de estado se puede resolver mediante la trans formada de Laplace. Se parte de la ecuacin: Tomando la transformada de Laplace:y ==} =}

tomando antitransformada de Laplace:x(t)

l -l .: - [(sI _ A) - l ] Xo + .: [(sI - A) - l BU(s)]=

sX(s) - Xo = AX(s) + BU(s) =} (sI - A)X(s) = Xo + BU(s) =} X(s) = (sI - A) - l XO + (sI - A) - l BU(s) x(t) Ax(t) + Bu(t)

=

(2.51) (2.52)

Esta expresin permite obtener la evolucin del estado en funcin de las matrices de las ecuaciones de estado y del estado inicial. Como puede observarse en la Ecuacin 2.52, si la entrada al sistema es nula, el segundo sumando se anula. Por otro lado, la situacin de entrada nula es la que se plantea para la ecuacin homognea, por lo que se propone un mtodo alternativo para hallar su solucin como: l -lx(t) .: [(sI - A) - ] Xo (2.53)

Por tanto, se puede establecer una correspondencia entre la expresin de la solucin completa, mediante la transformada de Laplace, y la expresin general hallada en la seccin anterior. De esta forma, identificando el primer trmino, como se acaba de hacer, se observa que la matriz de transicin se puede hallar como : En cuanto al segundo sumando, se comprueba, por las propiedades de la transformada de Laplace, que: l.: - [(sI _ A) - l BU(s)]=

(2.54) cI> (t) * Bu(t)

(2.55)

que se corresponde con una integral de convolucin en el dominio del tiempo, convolucin que aparece como segundo sumando de la solucin general de la Ecuacin completa 2.52.


79

Determinacin de la evolucin del estado=

Ejemplo 2 . 6

2.6.

Ejemplos adicionales

Xl 1 [ l ] = [ -O1 -O2 ] [ X2 ] [ -3 ] u(t) , X2+

Calcular la evol ucin del estado del sistema dado por:

to

O x(to) = Xo =

[2]

-4

a . Ante entrada n u l a . b. Cuando la entrada e s u n esca ln u n itario. c. Cuando la entrada es

u(t) = sin(t) .

En pri mer l ugar se ha de ca lcular la matriz de tra nsicin del sistema , c lculo que resu lta trivia l en este caso a l ser la matriz A diagon a l .

A partir de este resu ltado se pla ntea la sol ucin a cada uno de los casos que se exponen en el ejemplo. a . Ante entrada n u l a , el estado evol uciona segn la expresin :-4

La representacin grfica de la evol ucin de cada una de las varia bles de estado es la representada en la siguiente figura :2 Xl t

. x(t) = (t, O)xQ + t !I> (t, r)B (r)u(r)dr =

]

Jt a t + f Jtta,

=

[

En las grficas q ue se m uestra n a contin uacin puede observarse la evolu cin de las dos varia bles de estado, a lo largo del tiem po, cua ndo la entrada es una senoide:X, X2

e- ( t-T ) o sin (r)dr = e- 2 ( t - T ) o 2 e - t + 1. ( e-t - cos(t) + sin(t)) _4 e-2t - ( e- 2t - cos(t ) + 2 sin(t ))

[

j

] [ !3 ]

]

1 2 -1 -2 -3 -4 o t

E l i m i n a ndo el tiempo de estas expresiones, se obtiene la trayectoria en el espacio de estado q ue se representa a conti nuacin :1

1 . 5

2

Xl

-2-3

-4

82

Evolucin del estado de un sistema no invariante

Ejemplo 2 . 7

CAPTULO 2 . SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES

Calcular la evol ucin l i bre del sistema dado por el modelo de estado:

En primer l ugar, se com prueba q ue la matriz A(t) del sistema es ta l q ue admite una factorizacin como la expresada en la Ecuacin 2 . 13, por lo q ue es susceptible de utilizarse el mtodo de Cayley- H a m i lton . Dicha factorizacin q ueda como:

partiendo del estado i n icia l Xo

[ XX2l ] [ -4 sin(t) -3sin(t) ] [ XX2l ] Sin(t) 2 sin(t) [ _ ] t O==

en o =

A(t) =

[ -4 sm(t) s in(t) .

2 sin(t) -3 sin(t)

] [ -41 -3 ] sin(t) 2=

=}

{ [

U na vez identificados los factores, el siguiente paso es el c lculo de los va lores propios de la matriz M, q ue posteriormente servirn para pla ntear las ecuaciones media nte las que se despej a n los coeficientes del pol inomio resto. con lo que los a utova lores son = 1 , A = -5. El sigu iente paso e s pla ntear l a s ecuaciones que igua lan l a s exponencia les de los va lores propios con la particu larizacin del poli nomio resto para los m ismos:

1 2 M = - -3 4 a(t) = sin(t)

]

2 det [.U - M] = A + 4A - 5

Al

2

=

(A - l ) (A + 5)

que, a plicada sobre los va lores propios, origi na el sistema de ecuaciones :

Ai 1 Ai = - 5=

=}

=}

que despeja ndo dej a :

e (1 - cos (t)) = ho + h 1 e -5(1 -cos (t)) = ho - 5h 1

ho h1

( e -5(1 -COS(t)) + 5 e ( 1 -COS(t)) )

( _ e - 5(1 - c os (t)) + 5 e (1 - COS(t)) )

2,6. EJEMPLOS ADICIONALES

83

La matriz de tra nsicin se encuentra sustituyendo estos coeficientes en la expresin del pol inomio resto y particulariz ndolo para la matriz M :

donde C(t) = (1 cos(t) ) . Conocida l a matriz cp (t, to ) , ya es posible ca lcular l a evolucin del sistema a partir del estado i ncial proporcionado y, dado que la entrada es nula a l ped i rse la evol ucin l i bre:-

cp (t, to) = ho I + h 1 M = :3

1

[

e -5C(t) + 2e C(t) _ 2e -5C(t) + 2e C(t)

_ e -5C(t) + e C(t) 2e - 5C(t) + e C(t)

]

que, representado en funcin del tiempo y en el espacio de estado, q ueda :10X,

x (t) = cp (t, O ) xo = :3

1

[

4e C(t) + 5 e -5C(t) 4e C(t) _ l Oe -5C(t)10

X,

-2

2

x, 10 8

+/ --;c-----:--,--+--;:;--;";; + v 10

/ //

/:\\

]

\

I

(\t

4 2 4 -2 8 1 0 Xl

Evolucin temporal de un sistema de depsitos comunicados

Ejemplo 2 . 8

En el sistema de depsitos com u n ica ntes del Ejemplo 1 .7 se desea ver la evol ucin de a m bas alturas cuando el fl ujo de entrada es consta nte de valor F, siendo su modelo de estado l i nea l izado el calcu lado a nteriormente en d icho

84

CAPTULO 2. SOLUCIN DE LA ECUACIN DE ESTADO DE SISTEMAS LINEALES

ejemplo:

control en el espacio de estado

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