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INGENIERÍA DE CONTROL
TEORÍA MODERNA DE CONTROL
ESPACIO DE ESTADO
CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
ESTRUCTURAS COMPUESTAS
Realimentación de la salida:
S
Kw
-
u yr
Ecuaciones del sistema sin realimentar
DuCxyBuAxx
wruKyw
DrCxyDKIDKyDrCxw)D(rCxy
DrDKICxDKIy 11
DrDKIBKCxDKIBKBrAxKyrBAxx 11)( rDDKIBKBxCDKIBKAx 11
Si D=0 BrxBKCAx
REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
B
D
A
C
K
-w
r
u
yx x
S
DuCxyBuAxx
S:
wruKxw
BrxBKAKxrBAxx )( DrxDKCKxrDCxy
Para D=0 BrxBKAx
Cxy
EJEMPLO
111111 yKyymT
122 yyKT
TyymF 2222
TyKssm 1112
1
11111 yKTysms
1111 ysmx
111 yKTx
1111 ysmx
11111 yxyms
112 ymx
1112 yxx
TyymF 2222
TFyssm 222
2
TFysms 222 2223 ysmx
TFx 3
2223 ysmx
22322 yxyms
224 ymx
2234 yxx
111 yKTx
1112 yxx
TFx 3
2234 yxx
122 yyKT
112 ymx
224 ymx
EJEMPLO
111 yKTx
1112 yxx
TFx 3
2234 yxx
122 yyKT
112 ymx
224 ymx
21
11 xm
y
42
21 x
my
21
24
2
2 xmKx
mKT
42
22
1
21
21
12
1
24
2
21
xmKx
mKK
xmKx
mKx
mKx
21
112 x
mxx
FxmKx
mKx 4
2
22
1
23
42
234 x
mxx
F
xxxx
m
mK
mKm
mK
mKK
xxxx
0100
100
00
001
00
4
3
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
21
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
2
1
1000
0010
xxxx
m
myy
EJERCICIO
Obtener el modelo de estado:
11s
31s
4234
2
2
ssssu(t) x2
v(t)
x3
-
x1
EJERCICIO
)()()( tPmtBtJ
KmtetBtJ )()()(
Movimiento de una antena para seguimiento
Pm par motorKm cte del motor
KmtetsBtJs )()()(2
KmtetBtsJs )()()(
)()(1 tBtsJx
Kmtex )(1
)(2 tJx
)(12 tBxx
)(ty
221 xJ
yJyx
2112 xJBxByxx
)(01
00
2
1
2
1 teKm
xx
JB
xx
2
110xx
Jy
Otra opción:
)(1 tx
)(2 tx )()( 2222 teJ
KmxJBxKmteBxxJ
21 xx 1xy )(0
010
2
1
2
1 teJ
Kmxx
JB
xx
2
101xx
y
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO
)()()()()( tutBtxtAtx
Solución global = Solución general de la homogénea+Solución particular completa
Solución de la homogénea: Evolución libre del sistema
Solución de la completa: Evolución forzada del sistema
• Conocer la evolución del estado requiere resolver la ecución diferencial.
• Los métodos de resolución son variados, recurriendo incluso a soluciones numéricas aproximadas cuando no es posible obtener una expresión analítica global.
• Afrontaremos el caso lineal, aunque éste factor no es obligado debido al sistema de representación en variables de estado sino a la probabilidad de solución analítica del problema matemático.
SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA
)()()( txtAtx
Método de integración por aproximaciones sucesivas de Peano-Baker:
)),(),(()( ttutxftx 00 )( xtx
00 x
t
t kk duf0
)),(),(( 10 Solución: )(lim)( ttx kk
SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA II
Caso concreto:
t
t
t
txdAxdxA
0000001 )()(
t
t t
t
t
t
t txddAAxdAxdxdAxA
0 000 001100011002 )()()()()(
011020 00
)()()( xddAAxdAIt
t t
t
t
00 ),()( xtttx n transicióde Matriz ),( 0tt
t
t
t
t t
t
t t t kkk
k dddAAAddAAdAItt0 0 0 0 0
1
011110 )()()()()()(lim),(
:oconmutativ es )(y )( de producto el Sit
0t dAtA
t
tdA
ett 0)(
0 ),(
CASOS PARTICULARES
La matriz A(t) es diagonal:
t
tnn
t
t
t
tnn
t
t
da
da
da
a
dAeeett 0
011
0
11
0
)(0
0)(
)(0
0)(
)(
0 ),(
tt nn
tt
da
da
e
ett
0
0 11
)(
)(
0
0
0),(
A(t) factorizable: )()( tMtA
t
t
t
tdMdA
eett 00)()(
0 ),(
CASOS PARTICULARES
Matriz A es invariante:
)(),( 0
)(
0000 tteeett ttAdAdA
t
t
t
t
La matriz A es un escalar:
t
tda
ett 0)(
0 ),(
PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN
Derivación respecto del tiempo:
),()()()()(),(0
0
0
tttAdAtAtAdt
ttd t
t
Valor en to:Itttxtttx ),()(),()( 000000
Transitividad de la solución:
)(),()( 0022 txtttx )(),()( 0011 txtttx
)(),(),()(),()( 001121122 txtttttxtttx
),(),(),( 011202 tttttt
PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN
Inversión de tiempos:
Cambio de representación:
),(),(),(),(),( 011
10011000 tttttttttt
Si A invariante: )()( 11 teet AtAt
)(ˆ)()( txtTtx 00 ),()( xtttx
)(),()(),(ˆ)(ˆ)(),()()(ˆ
)(ˆ)(),()(ˆ)(
001
00001
000
tTtttTtttxtTtttTtx
txtTtttxtT
SOLUCIÓN DE LA COMPLETA
)()()()()( tutBtxtAtx
Método de variación de las constantes:
)(),()( 0 tztttx
)()()(),()()(),()(),()( 000 tutBtztttAtztttztttx
)()()(),()(),()(),( 000 tutBtztttAtttztt
0)()(),()( 0
1 tutBtttz
duBttztzt
t
0
)()(),()()( 01
0
duBttxtzt
t0
)()(),()()( 00
SOLUCIÓN DE LA COMPLETA II
)(),()( 0 tztttx
duBttxtzt
t0
)()(),()()( 00
duBttttxtttxt
t0
)()(),(),()(),()( 0000
duBttxtttxt
t0
)()(),()(),()( 00
Evolución libre: )(),( 00 txtt
Evolución forzada: duBt
t
t0
)()(),(
EJERCICIO
Determinar la evolución del sistema ante entrada escalón:
uxx
101
100020001
tx
t
211
1
0
0
SOLUCIÓN
)(
)(2)(0
0
0
0
0
000000
),(tt
tt
tt
ttA
ee
eett
)1(
)1(2
1
)1(
)1(2
1
0
221
1
000000
)1,(t
t
t
t
t
t
eee
ee
ext
duBttxtttxt
t0
)()(),()(),()( 00
13
12
101
000000
2)(
)1(
)1(2
1
1)(
)(2
)1(
)1(2
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
eee
de
ee
eee
tx
MÉTODO DE JORDAN
Para los casos en que: )()( tMtA ya hemos visto que:
t
t
t
tdMdA
eett 00)()(
0 ),(
El método de Jordan consiste en hacer una transformación:
)(ˆ)( txTtx )()(ˆ 1 txTtx
Transformando a la matriz del sistema para que sea diagonal en cajas de Jordan (forma canónica de Jordan):
)()()()(ˆ)(ˆ 11 tMTTTtATttMtA 1
00 ),(ˆ),( TttTtt
Si todos los autovalores de A(t) son distintos, T se compone por columnas de los vectores propios asociados a los autovalores.
EJEMPLO
Calcular la matriz de transición del sistema definido por la matriz:
3212
A Autovalores: 41 21
2111
21
11
21Tvv
)(4
)(
0 0
0
20
),(ˆ40
01ˆtt
tt
ee
ttA
)(4)()(4)(
)(4)()(4)(
100
0000
0000
231
32
312
31
),(ˆ),(tttttttt
tttttttt
eeee
eeeeTttTtt
EJERCICIO
Hallar la matriz de transición del siguiente sistema:
3
2
1
3
2
1
300031013
xxx
xxx
SOLUCIÓN
)4)(2)(3(33300
031013
)det( 3
AI
432
3
2
1
000
100011011
2
13
12
11
vvv
011
0 113
1211 vv
vv
000
000001010
3
23
22
21
vvv
100
00
221
22 vvv
000
100011011
4
33
32
31
vvv
01
1
0 333
3231 vv
vv
021
21
100
021
21
010101
1011TT
t
tttt
tttt
e
eeee
eeee
TttTtt3
4242
4242
100
00
021
21
021
21
),(ˆ),(
EJERCICIO
Para el sistema planteado determinar la evolución de la tensión en cada condensador, así como la diferencia entre ambas a partir del instante t0=0
Considerando C1:
FC
FC6
1
61
102
10
Para cada valor de C1considerar las entradas:•Entrada nula.•Escalón unitario a partir de t0.
FCKRKR 6221 10200100
VUcVUc 12:inicialessCondicione
21