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INSTITUTO TECNOLGICO DE QUERTARO

CONTROL II

UNIDAD 1 DIAGRAMAS DE BODE Y NYQUIST

Profesor:

M.C Rodrigo Rodrguez Rubio

Alumno:

Medina Lpez Michel

Estudiante de la carrera:

INGENIERA ELECTRNICA

Periodo:

Fecha: 16 de febrero de 2015

Enero-Junio

SUBSECRETARA DE EDUCACIN SUPERIOR

DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN

SUPERIOR TECNOLGICA

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Contenido

1. MARCO TEORICO ......................................................................................................................... 3

1.1 DIAGRAMAS DE BODE ......................................................................................................... 3

1.2 DIAGRAMA DE NYQUIST ...................................................................................................... 4

2. DESARROLLO ............................................................................................................................... 5

3. Bibliografa .................................................................................................................................. 8

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1. MARCO TEORICO

1.1 DIAGRAMAS DE BODE

Un diagrama de Bode es una representacin grfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos grficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha funcin y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del cientfico estadounidense que lo desarroll, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el anlisis de circuitos en electrnica, siendo fundamental para el diseo y anlisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el mdulo de la funcin de transferencia (ganancia) en decibelios en funcin de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logartmica. Se suele emplear en procesado de seal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la funcin de transferencia en funcin de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logartmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una seal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una seal Asin(t) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atena por un factor x y desplaza en fase . En este caso, la salida del sistema ser (A/x) sin(t ).

Generalmente, este desfase es funcin de la frecuencia (= (f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas elctricos esta fase deber estar acotada entre -90 y 90.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar tambin desfase y viceversa. En sistemas de fase mnima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la funcin de transferencia es una funcin racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilneos. Estas representaciones asintticas son tiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la grfica).

Esta aproximacin se puede hacer ms precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (diagrama de Bode corregido).

El uso de clculo logartmico nos va a permitir simplificar funciones del tipo

a un simple sumatorio de los logaritmos de polos y ceros:

Supongamos que la funcin de transferencia del sistema objeto de

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estudio viene dada por la siguiente transformada de Laplace:

Donde , e son

constantes.

Las normas a seguir para dibujar la aproximacin del Bode son las siguientes

en los valores de pulsacin correspondientes a un cero (

) se tiene que aumentar la pendiente de la

recta un valor de por dcada.

en los valores de pulsacin correspondientes a un polo (

) se tiene que disminuir la pendiente de la recta un valor

de por dcada. el valor inicial se obtiene

poniendo el valor de frecuencia angular inicial en la funcin y calculando el mdulo |H(j)|.

el valor de pendiente de la funcin en el punto inicial depende en el nmero y orden de los ceros y polos en frecuencias inferiores a la inicial; se aplican las dos primeras reglas.

Para poder manejar polinomios irreducibles de segundo grado (

) se puede en muchos casos aproximar dicha expresin por

.

Ntese que hay ceros y polos cuando es igual a un determinado o . Eso ocurre porque la funcin en

cuestin es el mdulo de H(j), y como dicha funcin es compleja,

.

Por ello, en cualquier lugar en el que haya un cero o un polo asociado a un

trmino , el mdulo de dicho trmino ser

1.2 DIAGRAMA DE NYQUIST

El diagrama de Nyquist nos permite

predecir la estabilidad y la

performance de un sistema a lazo

cerrado observando su

comportamiento a lazo abierto. El

criterio de Nyquist puede usarse para

propsitos de diseo

independientemente de la estabilidad

a lazo abierto (recuerde que los

mtodos de diseo de Bode asumen

que el sistema es estable a lazo

abierto). Por lo tanto, usamos este

criterio determinar estabilidad a lazo

cerrado cuando los diagramas de

Bode muestran informacin confusa.

La siguiente animacin le ayudar a

visualizar las relaciones entre el

diagrama de Bode y el Diagrama de

Nyquist.

Nota: El comando Nyquist no provee

una representacin adecuada para

sistemas que tienen polos a lazo

abierto en el eje jw. Por lo tanto, le

sugerimos que copie nyquist1.m

como un nuevo archivo-m. Este

archivo-m crea diagramas de Nyquist

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ms precisos, ya que tiene en cuenta

polos y ceros en el eje jw.

El Diagrama de Nyquist es

bsicamente un grfico de G(j*w)

donde G(s) es la funcin de

transferencia a lazo abierto y w es un

vector de frecuencias que encierra

todo el semiplano derecho. Las

frecuencias positivas y negativas

(desde cero a infinito) se tienen en

cuenta para dibujar el Diagrama de

Nyquist. Representaremos

frecuencias positivas en rojo y

frecuencias negativas en verde. El

vector frecuencia que se usa para

dibujar el Diagrama de Nyquist

normalmente es esto (si puede

imaginar que el dibujo se extiende a

infinito):

Para ver ms claro cmo contribuye el

vector frecuencia en el Diagrama de

Nyquist, puede mirar nuestra

animacin.

Sin embargo, si tenemos polos a lazo abierto o ceros en el eje jw, G(s) no estar definida en esos puntos, y debemos contornearlos cuando graficamos. Tal diagrama se ve como sigue:

2. DESARROLLO

Elaborar los diagramas de Bode y

Nyquist correspondientes de las

siguientes funciones.

1.-() =25

2+4+25

Diagrama de bode

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Diagrama de Nyquist

2.-() =9(2+0.2+1)

(2+1.2+9)

Diagrama de bode

Diagrama de Nyquist

3.-() =10(+1)

(+5)(2+2+10)

Diagrama de bode

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Diagrama de Nyquist

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3. Bibliografa

The University of Michigan http://www.umich.edu/ [En lnea]. - 16 de 02 de 2015. -

http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/msgs0.htm#2.

Wikipedia http://es.wikipedia.org [En lnea]. - 16 de 02 de 2015. -

http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Bode.