conceptos matemáticos en procesos de producción de levadura
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Ecuación de Monod
Función Producto y Sustrato
Ayuda para la tarea de matemática
TPICI – 2C2015
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
Levadura
Las levaduras son seres vivos, unicelulares,
pertenecientes al reino de los hongos.
Estos microorganismos tienen un papel importante
en los procesos fermentativos, y comprenden un
variado abanico de criaturas “especializadas” en
panificación, vinificación, nutrición, usos
farmacéuticos, usos cerveceros y destilería. (*)
(*)Marzo 2012 –INDEC www.alimentosargentinos.gob.ar Ministerio de Agricultura
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
Cinética de la Levadura
en Sustrato de Cultivo
El incremento del número de células del producto
“levadura” es proporcional al número de células
presentes en el cultivo (X).
A la “constante” de proporcionalidad (µ) se la llama
“tasa de crecimiento”.
𝒅𝑿
𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
Ecuación velocidad de
formación del producto.
Función Producto Levadura
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝜇. 𝑋
Utilizamos el método de variables
separables para hallar la función X(t)
𝑑𝑋
𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡
𝑑𝑋
𝑋= 𝜇. 𝑑𝑡 𝐿𝑛 𝑋 = 𝜇. 𝑡 + 𝐶
X = 𝑒 𝜇.𝑡+𝐶 X = 𝑒𝐶 . 𝑒𝜇.𝑡
𝑒𝐶 = 𝑋0 Cuando t=0 X= X0 entonces
X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
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Tasa de crecimiento µ
La ecuación de Monod relaciona la tasa de
crecimiento µ con la concentración de sustrato S.
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𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
Donde:
𝝁𝒎𝒂𝒙 Es la tasa máxima de crecimiento
específico de los microorganismos
𝑲𝒔 Es la constante de velocidad media (el
valor de S cuando μ / μ max = 0,5)
Relación lineal útil
A partir de la ecuación de Monod obtenemos una
relación lineal entre 1/µ y 1/S.
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
𝝁 = 𝝁𝒎𝒂𝒙 𝑺
𝑲𝑺 + 𝑺
𝟏
𝝁=𝑲𝑺 + 𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁=
𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
+𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙. 𝑺
𝟏
𝝁=𝑲𝑺𝝁𝒎𝒂𝒙
.𝟏
𝑺+
𝟏
𝝁𝒎𝒂𝒙
pendiente
Ordenada al
origen
Hallamos experimentalmente µ
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1) Se miden experimentalmente los valores de S y µ
en diferentes momentos del cultivo.
2) A partir de la tabulación de S y µ se construye la
tabla relacional de los valores 1/S y 1/µ.
3) Se calcula la recta de regresión correspondiente
a los pares (1/S ; 1/µ)
4) La ordenada al origen aproxima a 𝟏
𝝁𝒎𝒂𝒙 y la
pendiente a 𝑲𝑺
𝝁𝒎𝒂𝒙 , según la relación lineal
anterior.
Función Sustrato – parte 1
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
El cultivo va consumiendo el sustrato, cuya
concentración decrece en forma proporcional al
crecimiento de la biomasa del producto.
A la constante de proporcionalidad se la
llama “rendimiento de utilización del sustrato”.
𝒀𝒙𝒔
𝒀𝒙𝒔 = −
𝒅𝑿𝒅𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕
Función Sustrato – parte 2
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
Utilizamos los conocimientos y 𝒅𝑿
𝒅𝒕= 𝝁. 𝑿
X = 𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕 en la expresión anterior:
𝒀𝒙𝒔 = −
𝒅𝑿𝒅𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕 = −
𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
𝒅𝑺𝒅𝒕
𝒅𝑺
𝒅𝒕= −
𝝁𝑿𝟎. 𝒆𝝁.𝒕
𝒀𝒙𝒔
𝒅𝑺
𝒅𝒕 𝒅𝒕 = −
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝝁. 𝒆𝝁.𝒕 𝒅𝒕
Integrando a.m.:
𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪
Función Sustrato – parte 3
FI - UNLZ – IRMA NOEMÍ NO
𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑪
Cuando t=0 S= S0
entonces 𝑪 = 𝑺𝟎 +
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔
𝑺 = −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 + 𝑺𝟎 +
𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔
Por lo tanto:
Y finalmente:
𝑺 = 𝑺𝟎 −𝑿𝟎𝒀𝒙
𝒔 𝒆𝝁.𝒕 − 𝟏