comprobacion experimental del teorema de superposicion

COMPROBACION EXPERIMENTAL DEL TEOREMA DE SUPERPOSICION

Cristian Camilo Cardozo Moreno [email protected]

Andrés Orlando Gil [email protected] Arturo Hurtado Romero

[email protected]

RESUMEN

En el laboratorio se experimentó uno de los teoremas más importantes en el análisis de circuitos, como es el teorema de la superposición, el cual se vio que experimentalmente es muy similar al hecho en el análisis teóricamente y que con la implacablemente de un osciloscopio se observaron los diferentes casos, en los cuales se podía observar cada aporte de cada una de las fuentes hacia al circuito a analizar, también funcionaba con las fuentes variables en el tiempo que en nuestro caso fue aplicado con un generador de señales.

PALABRAS CLAVE

Superposición, aporte de cada fuente, fuente variable en el tiempo.

ABSTRACT

Experiment in the laboratory is one of the most important theorems in circuit analysis, as is the superposition theorem, which was experimentally is very similar to the analysis done theoretically and with the implementation of a oscilloscope were observed the different cases in which you could see every contribution of each source to the circuit to analyze, also worked with time-varying sources which in our case was applied with a signal generator.

KEYWORDS

1- INTRODUCCION

en este laboratorio se observó como el teorema de superposición es aplicable para saber cuál es el aporte de cada fuente en cada elemento de circuito realizado experimentalmente que en nuestro caso será un circuito con 3 mallas, 2 fuentes y varias resistencias. las fuentes serán de dos tipos una de DC y la otra de AC lo cual significa que habrá una que es variable en el tiempo y otra que

será constante en el tiempo el valor de la fuente DC es de 10 voltios, y el valor de la fuente variable será de 5 voltios lo cual significa que durante un intervalo de tiempo tendrá el valor de 5 voltios y que en un intervalo igual de tiempo tendrá el valor de 0 voltios, es por esta razón que en este laboratorio el instrumento de medición será el osciloscopio.

2- ASPECTOS TEORICOS

- Teorema de superposición.

Primero explicaremos lo que es el concepto de linealidad pues es una herramienta para manejar el teorema de superposición.

Se dice que un elemento es lineal si cumple las siguientes condiciones:

La respuesta a una suma de entrada es igual a la suma de las respuestas individuales

Si la entrada se gradúa por la constante K, entonces también la respuesta queda graduada por K.

El teorema de superposición dice formalmente que:

"La corriente o la tensión que existe en cualquier elemento de una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o las tensiones producidas independientemente por cada fuente"

Considerar los efectos de cada fuente de manera independiente requiere que las fuentes se retiren y reemplacen sin afectar al resultado final. Para retirar una fuente de tensión al aplicar este teorema, la diferencia de potencia entre los contactos de la fuente de tensión se debe ajustar a cero (en corto); el retiro de una fuente de corriente requiere que sus contactos estén abiertos (circuito abierto). Cualquier conductancia o resistencia interna asociada a las fuentes desplazadas no se elimina, sino que todavía deberá considerarse.

La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente; o sea, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente sigue una dirección, mientras que la producida por la otra va en sentido opuesto a través del mismo resistor, la corriente resultante será la diferencia entre las dos y tendrá la dirección de la mayor. Si las corrientes individuales tienen el mismo sentido, la corriente resultante será la suma de dos en la dirección de cualquiera de las corrientes. Esta regla es cierta para la tensión a través de una porción de la red, determinada por las polaridades y se puede extender a redes con cualquier número de fuentes.

El principio de la superposición no es aplicable a los efectos de la potencia, puesto que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la corriente o de la tensión. Por esta razón, la potencia en un elemento no se puede determinar sino hasta haber establecido la corriente total (o la tensión) a través del elemento mediante la superposición.

El término "retiren" las fuentes es lo mismo que decir llevarlas a cero, según esto al eliminar una fuente de voltaje se está diciendo que la diferencia de potencial o voltaje entre las dos terminales del elemento, es igual a cero lo que sería dicho de otra forma un cortocircuito, como se muestra en la siguiente (figura 3.1.1a)

Así mismo el término "eliminar" una fuente independiente de corriente es lo mismo que decir, que entre los terminales de esta; pasa una corriente eléctrica igual a cero, en otras palabras se tendría un circuito abierto. (figura 3.1.1b)

En circuitos complejos no resulta práctico el uso de este método pero el mismo valida, por ejemplo, realizar cálculos por separado en un circuito estimulado con corrientes directa y alterna a la vez, como son los circuitos con elementos activos (transistores, circuitos operacionales, etc.), así como los estimulados con señales no sinusoidales.

--- Generador de señal cuadrada

En la figura se muestra el circuito generador de onda cuadrada.

Supóngase que inicialmente el circuito esta en reposo, con el condensador C descargado y las fuentes de polarización desconectadas. Al aplicar energía al circuito aparecerá irremediablemente una pequeña tensión de salida por el transigente provocado y puesto que el amplificador real tiene cierto desajuste.

Supóngase que aparece una tensión Vo positiva en la salida, esto hace que aparezca una tensión BVo también positiva en el terminal no inversor que al ser amplificado refuerza a la pequeña tensión de salida positiva (Voffset). El crecimiento de Vo hace crecer BVo y así sucesivamente hasta que, se satura el amplificador operacional debido al efecto regenerativo producido por la realimentación positiva.

Dónde:

B=R1

R1+R2v0

Para el periodo de funcionamiento de las formas de onda de la figura, tenemos:

- Ciclo útil:

El ciclo de trabajo, ciclo útil o régimen de trabajo es la fracción de tiempo donde la señal es positiva o se encuentra en estado activo. Es un valor comprendido entre 0 y 1 y viene dado por la siguiente expresión:

D= τT

Donde

D es el ciclo de trabajo

es la duración donde la función está en

nivel alto (normalmente cuando la función

es mayor que cero);

es el Periodo de la función.

3- ASPECTOS EXPERIMENTALES

Primero se montó un circuito que constaba de 4 resistencias de valor 1k ,2k, 5,1k y 10k respectivamente, junto a una fuente de voltaje DC de 10 v y una AC con señal cuadrada de 5 v. Todos estos elementos formando 3 mallas.

Despues de haber montado el circuito se realizó el teorema de superposición en el que se ponen en corto las fuentes de voltaje y las de corriente se dejan como un circuito abierto, en primero lugar se colocó en corto la fuente de 5 v de señal cuadrada y se observó el aporte de la fuente de 10 v sobre cada una de las resistencias.

Posteriormente se colocó en corto la fuente de 10 v DC, y se dejó prendida la de 10 V DC y se procedió a mirar los respectivos aportes de esta fuente en cada una de las resistencias.

Despues de haber obtenido ambos aportes de ambas fuentes se sumaron los dos voltajes asignados a cada resistencia para observar el aporte total de las dos fuentes sobre las resistencias.

Despues con ayuda del osciloscopio se realizaron los cálculos del ciclo útil con los diferentes tiempos con la frecuencia de 1KHz.

4- ANALISIS DE RESULTADOS

El circuito utilizado para la práctica fue el siguiente:

Ilustración 1. Circuito de la práctica.

Procedemos a realizar los cálculos correspondientes para hallar el voltaje existente en cada resistencia para esto aplicamos el teorema de superposición. Entonces apagamos cada una de las fuentes y observamos el aporte a cada uno de los elementos del circuito, como las fuentes que poseemos en el circuito son de voltaje queda en el esquema un cortocircuito. La primera fuente de voltaje que tiene un valor de 10v DC, la segunda fuente, que es el generador de señales, que nos brinda una señal cuadrada, con un DC outset a un nivel de salida de voltaje de 5v.

Procedemos a apagar le generador de señales, quedando esta parte del circuito en corto, de la siguiente forma:

Ilustración 2.Aporte fuente de voltaje 10v.

Hacemos el análisis por mallas del circuito, las ecuaciones planteadas son las siguientes:

I1 maya de la fuente de voltaje.

12K I 1−2K I 2−10K I 3=10v

I2 maya de R1.

−2K I 1+8,1K I 2−10K I3=0

I3 maya del corto circuito.

−10K I 1−5,1K I2+15,1K I 3=0

De la solución del sistema de ecuaciones obtenemos que: I1=11,8596mA, I2=10mA, I3=11,2315mA.

Este es el aporte de corriente de la fuente de voltaje de 10 v para hallar el aporte de voltaje, lo despejamos por la ley de ohm, siendo al aporte para R1:

V=I∗R=10mA∗1KΩ=10V

Para R2:

V= (11,8596mA−10mA )∗2KΩ=3,7192V

Para R3:

V= (11,2315mA−10mA )∗5,1KΩ=6,1575V

Para R4:

V= (11,8596mA−11,2315mA )∗10KΩ=6,28V

Ahora procedemos a obtener el aporte del generador de señales, restableciendo el generador y apagando la fuente de voltaje que también quedara en corto, como muestra la imagen:

Ilustración 3.Aporte del generador de señales.

Realizamos el análisis de mallas, del cual obtenemos las siguientes ecuaciones:

I1, la maya del corto circuito:

−12KI1+10K I 2+2K I 3=0

I2, la maya del generador de señales:

10K I 1−15,1K I2+5,1K I 3=5

I3, la maya de R1:

2K I 1+5,1K I 2−8,1K I 3=0

La solución del sistema de ecuaciones, obtenemos que; I1=5,61mA, I2=5,73mA e I3=5mA.

Ahora calculamos el aporte de voltaje para cada elemento del circuito por parte de esta fuente:

Para R1:

V=5mA∗1KΩ=5v

Para R2:

V= (5,61mA−5mA )∗2KΩ=1,22 v

Para R3:

V= (5,73mA−5mA )∗5,1KΩ=5,65v

Para R4:

V= (5,73−5,61 )∗10KΩ=1,2v

Para conocer el voltaje de cada elemento procedemos a sumar cada uno de los aportes de cada fuente, siendo el voltaje para R1 15v, para R2 4,9392v, para R3 9,8075v y para R4 de 7,48v.

Ahora para podemos comprobar el teorema por los métodos experimentales, en el cual utilizamos el osciloscopio como voltímetro, puesto que para medir el voltaje proporcionado por la señal cuadrada, no lo podemos medir con el multímetro.

Ilustración 4 medición del aporte de la fuente de 5v

En la ilustración se muestra el resultado de la medición del aporte del generador de señales a una frecuencia de 1 k Hz a la resistencia R1 de 1k Ω y la caída de voltaje es como máximo de 5 voltios y como mínimo 0 voltios.

D= 0,7ms

1∗10−3=0,7


En la ilustración se muestra el resultado de la medición del aporte del generador de señales a una frecuencia de 1 k Hz a la resistencia R2 de 2k Ω y la caída de voltaje es como máximo de 1.1 voltios y como mínimo 0 voltios.

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5


En la ilustración se muestra el resultado de la medición del aporte del generador de señales a una frecuencia de 1 k Hz a la resistencia R3 de 5,1k Ω y la caída de voltaje es como máximo de 4 voltios y como mínimo 0 voltios.

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5


En la ilustración se muestra el resultado de la medición del aporte del generador de señales a

una frecuencia de 1 k Hz a la resistencia R4 de 10k Ω y la caída de voltaje es como máximo de 1.2 voltios y como mínimo 0 voltios.

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5

De las anteriores ilustraciones podemos observar, que son los aportes del generador de señales, donde el aporte de este son como unas pulsaciones, porque la mitad del tiempo mantiene entregando un voltaje constante máximo de 5v, y como mínimo sin ninguna variación de 0 voltios. Donde para cada caso varía, según sea la caída en la resistencia correspondiente.

Para cada uno de los casos anterior el ciclo útil de la señal que está presente en cada elemento, siendo para la señal de R1 el ciclo útil don un valor del 70%, que es un buen aprovechamiento de la señal.

Para las otras tres resistencias, el ciclo útil tiene el mismo valor del 50%, lo que nos quiere decir que la mitad el tiempo se tiene funcionando o disipando potencia, cuando solo está, aportando el generador de señales.

Las siguientes imágenes son del aporte realizado por la fuente de 10 voltios a cada una de las resistencia como es una fuente de corriente directa el ciclo útil de esta será siempre del 100%, porque en todo momento está aportando potencia al circuito, tomando como la idealización, porque sabemos que estas fuentes no son ideales y se realizan ciertas variaciones.


La anterior imagen pertenece a la señal de R1, con la caída de voltaje de casi 10 voltios.


Para la resistencia R2 el valor del voltaje medido por el osciloscopio es de casi 4 voltios, cerca de 3,9 V.


Para la resistencia R3 el valor que nos brinda el osciloscopio hacer cae del voltaje que cae en esta es de aproximadamente 6 voltios.


El valor del voltaje medido por el osciloscopio, para la última resistencia es de aproximadamente de 6 voltios.

A continuación se presenta las señales en cada resistencia con el generador de señales y la fuente funcionando, que se representa como la suma de las señales de cada una de las fuentes sobre la resistencia.

Ilustración 12 medición del aporte de ambas fuentes

Vemos como se desplaza la señal hacia el eje positivo de las y por lo que ya tiene dos aportes uno constante y el otro pulsante lo cual hace que varié pero nunca se presente el cero, porque siempre va a estar un aporte presente. Estando esto presente en la demás resistencias.

Para R1 al cual pertenece la imagen, el voltaje máximo de 10 voltios y el menor de aproximadamente de voltios, que es una de las que mas difiere de los cálculos realizados anteriormente.

Siendo el ciclo útil del 50 % por;

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5


Para la segunda resistencia el valor dado por el osciloscopio esta dado entre 3 y 4 voltios para el mayor y para el menor de 2 voltios.

Estando dado el ciclo útil de la señal por:

D=0,45ms1∗10−3

=0,45

De aquí el ciclo útiles del 45%


Para la resistencia tres el voltaje mayor fue cerca de 8 voltios y la menor de 6 voltios para el ciclo útil se obtuvo que es del 50%.

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5


Por ultimo tenemos los valores del voltaje de la ultima resistencia, con el voltaje mayor de 6 voltios y le voltaje menor con el valor de 2 voltios.

El ciclo útil dado por:

D= 0,5ms

1∗10−3=0,5

Siendo del 50%.

Los valores expresados anteriormente, son satisfactorio ya que no difieren de mucho de los cálculo, además que el osciloscopio no tiene una buena exactitud.

5- CONCLUSIONES- Se comprobó que cada una de las

fuentes tiene un aporte único para cada elemento del circuito, teniendo los valores realizados por los métodos teóricos y ratificado por los métodos experimentales, mostrados por la

imágenes de la señales tomadas del osciloscopio, siendo el valor total del voltaje la suma de cada uno de los aportes como lo dice el teorema de superposición.

- El osciloscopio se puede ver, no solo como un elemento para observar de las señales, sino como una herramienta de media, pero teniendo en cuenta que la precisión de esta no se compra con la del multímetro que está diseñado para esto.

6- REFERENCIAS- http://www.monografias.com/trabajos81/

teorema-superposicion/teorema-superposicion.shtml

- http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap03/Cap3tem1.html

- http://etn.galeon.com/CAPITULOV.pdf- http://es.wikipedia.org/wiki/

Ciclo_de_trabajo

comprobacion experimental del teorema de superposicion

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