composite simpson & trapezoidal
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Métodos NuméricosTRANSCRIPT
JAÉN - 2014
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
1
TRABAJO MÉTODOS NUMÉRICOS
a) Método simpson:
function s=simprl(f, a, b, M)
% input - f is the integrand input as string 'f'
% - a an b are upper and lower limites of integration
% - M is the number of subintervals
%Output - s is the trapezoidal rule sum
h=(b-a)/(2*M);
s1=0;
s2=0;
for k=1:M
x=a+h*(2*k-1);
s1=s1+feval(f,x);
end
for k=1:(M-1)
x=a+h*(2.*k);
s2=s2+feval(f,x);
end
s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;
b) Método trapezoidal:
function s = traprl(f, a, b, M)
% input - f is integrand input as a string 'f'
% - a and b are upper and lover limits of integration
% - M is tha number of subintervals
% cutput - s is tha trapezoildal rule sum
h = (b - a)/M;
s = 0;
for k=1:(M-1);
x= a+h*k;
s= s+feval(f, x);
end
s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;
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1. Approximate each integral using:
USING INDICATION
COMPOSITE TRAPEZOIDAL
M=10
COMPOSITE SIMPSON
M=5
Function
F1(x)=∫ (𝟏 + 𝒙𝟐)𝒅𝒙𝟏
−𝟏
Editor
function Y= F1(X);
Y=(1+X.^2).^-1;
return;
function Y= F1(X);
Y=(1+X.^2).^-1;
return;
Terminal
>>> traprl(@F1, -1, 1, 10) >>> simprl(@F1, -1, 1, 5)
ans = 1.5675 s = 1.5708
ans = 1.5708
Function
F2(x)=∫ (𝟐 + 𝐬𝐢𝐧 (𝟐√𝒙))𝒅𝒙𝟏
𝟎
Editor
function Y= F2(X);
Y=2+sin(2*X.^(1/2));
return;
function Y= F2(X);
Y=2+sin(2*X.^(1/2));
return;
Terminal
>>>traprl(@F2, 0, 1, 10) >>> simprl(@F2, 0, 1, 5)
ans = 2.8574 s = 2.8656
ans = 2.8656
Function
F3(x)= ∫ 𝒅𝒙/√𝒙𝟒
𝟎.𝟐𝟓
Editor
function Y= F3(X);
Y=1/X.^(1/2);
return;
function Y= F3(X);
Y=1/X.^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F3, 0.25, 4, 10) >>> simprl(@F3, 0.25, 4, 5)
ans = 3.0419 s = 3.0076
ans = 3.0076
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3
Function
F4(x)=∫ 𝒙𝟐𝒆−𝒙𝒅𝒙𝟒
𝟎
Editor
function Y= F4(X);
Y=(X.^2)*exp(- X);
return;
function Y= F4(X);
Y=(X.^2)*exp(- X);
return;
Terminal
>>> traprl(@F4, 0, 4, 10) >>> simprl(@F4, 0, 4, 5)
ans = 1.5216 s = 1.5246
ans = 1.5246
Function
F5(x)=∫ 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙𝟐
𝟎
Editor
function Y= F5(X);
Y=2*X*cos(X);
return;
function Y= F5(X);
Y=2*X*cos(X);
return;
Terminal
>>> traprl(@F5, 0, 2, 10) >>> simprl(@F5, 0, 2, 5)
ans = 0.78330 s = 0.80500
ans = 0.80500
Function
F6(x)=∫ 𝐬𝐢𝐧 (𝟐𝒙)𝒆−𝒙𝒅𝒙𝝅
𝟎
Editor
function Y= F6(X);
Y=sin(2*X)*exp(- X);
return;
function Y= F6(X);
Y=sin(2*X)*exp(- X);
return;
Terminal
>>> traprl(@F6, 0, pi, 10) >>> simprl(@F6, 0, pi, 5)
ans = 0.36695 s = 0.38279
ans = 0.38279
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2. DETERMINAR LA LONGITUD DE LA CURVA: L= √𝟏 + (𝒇′(𝒙)𝟐)𝒅𝒙
USING
INDICATION
COMPOSITE TRAPEZOIDAL
M=10
COMPOSITE SIMPSON
M=5
Function
F7(x)= x3 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏
Editor
function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);
return;
function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F7, 0, 1, 10) >>> simprl(@F7, 0, 1, 5)
ans = 1.0111 s = 1.0109
ans = 1.0109
Function
F8(x)=sin(x) 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝝅/𝟒
Editor
function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);
return;
function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F8, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F8, 0, pi./4, 5)
ans = 1.0579 s = 1.0581
ans = 1.0581
Function
F9(x)=e-5 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏
Editor
function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);
return;
function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F9, 0, 1, 10) >>> simprl(@F9, 0, 1, 5)
ans = 1.1932
s = 1.1927
ans = 1.1927
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3. DETERMINAR AREA: A= ∫ 𝒇(𝒙)√𝟏 + (𝒇′(𝒙))𝟐 𝒅𝒙𝒃
𝒂
using
COMPOSITE TRAPEZOIDAL
M=10
COMPOSITE SIMPSON
M=5
Function
F10(x)= x3 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏
Editor
function L= F(X);
L= X.^3.* (1+(0.5.*X.^3)).^(1/2);
return;
function L= F10(X);
L= X.^3.*(1+(0.5.*X.^3)).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F10, 0, 1, 10) >>> simprl(@F10, 0, 1, 5)
ans = 0.25963 s = 0.25683
ans = 0.25683
Function
F11(x)=sin(x) 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝝅/𝟒
Editor
function L= F11(X);
L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2);
return;
function L= F11(X);
L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F11, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F11, 0, pi./4, 5)
ans = 0.38511 s = 0.38554
ans = 0.38554
Function
F12(x)=e-5 𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏
Editor
function L= F12(X);
L= exp(-X).*(1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);
return;
function L= F12(X);
L= exp(-X).*( (1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);
return;
Terminal
>>> traprl(@F12, 0, 1, 10) >>> simprl(@F12, 0, 1, 5)
ans = 0.77318 s = 0.77178
ans = 0.77178
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4.
a) Verificar que la regla trapezoidal (M=1, h=1) es exacta para polinomios de grado < 1 de la forma f(x) = c1x + c0 con [0, 1] es:
Et (f, h) = −(𝒃−𝒂)𝒇𝟐(𝒄)𝒉𝟐
𝟏𝟐
Solución:
Compilando el código con las condiciones del problema:
function s = traprl(f, a, b, M)
% input - f is integrand input as a string 'f'
% - a and b are upper and lover limits of integration
% - M is tha number of subintervals
% cutput - s is tha trapezoildal rule sum
h = (b - a)/M;
s = 0;
for k=1:(M-1);
x= a+h*k;
s= s+feval(f, x);
end
s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;
Ejemplo 1: Sea la función: Y= 5*x+4 - Por el método analítico obtenemos que: s = 6.50 - Por el método del trapecio compuesto y con las condiciones que nos
piden obtenemos:
function Y=F1(x); Y= 5.*x+4; return;
s = traprl(@F1,0,1,1) s = 6.5000
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Ejemplo 2: Sea la función: Y = 3*x - 2 - Por el método analítico obtenemos que:
s = 0.50 - Por el método del trapecio compuesto y con las condiciones que nos
piden obtenemos:
function Y=F1(x); Y= 3.*x - 2; return; s = traprl(@F1,0,1,1) s = -0.50000
Como las áreas son positivas le damos valor absoluto con la cual el resultado es 0.50
Si el Et (f, h) = −(𝒃−𝒂)𝒇𝟐(𝒄)𝒉𝟐
𝟏𝟐 = 0
En conclusión para todos los ejemplos el error es 0 es decir es exacta.
b) Usar la integral f(x) = c2x2 y verificar que el plazo de error para la regla trapezoidal (M = 1, h = 1) en el intervalo [0, 1] es:
Er (f, h) = −(𝐛−𝐚)𝐟𝟐(𝐜)𝐡𝟐
𝟏𝟐
Solución:
Ejemplo 1: Sea la función: Y= 3*x2 - Por el método analítico obtenemos que:
s = 1.00 - Por el método del trapecio compuesto y con las condiciones que nos
piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 3.*x.^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 1.5000
Et (f, h) = −(𝐛−𝐚)𝐟𝟐(𝐜)𝐡𝟐
𝟏𝟐 =
−(𝟏−𝟎)𝟔∗𝟏𝟐
𝟏𝟐 = -0.50
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Ejemplo 2: Sea la función: Y= 5*x2 - Por el método analítico obtenemos que: s = 1.67 - Por el método del trapecio compuesto y con las condiciones que nos
piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 5*x. ^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 2.5000
Et (f, h) = −(𝐛−𝐚)𝐟𝟐(𝐜)𝐡𝟐
𝟏𝟐 =
−(𝟏−𝟎)𝟏𝟎∗𝟏𝟐
𝟏𝟐 = -0.83
- En conclusión para toda función f(x) = c2x2, por el método analítico y
trapezoide compuesto el error es el mismo que al desarrollar por la formula.
5.
a) Verificar que la regla Simpson (M=1, h=1) es exacta para polinomios de grado < 3 de la forma f(x) = c3x3 + c2x2+ c1x + c0 con [0, 2] es:
Es (f, h) = −(𝒃−𝒂)𝒇𝟒(𝒄)𝒉𝟒
𝟏𝟖𝟎
Solución:
Compilando el código con las condiciones del problema
function s = traprl(f, a, b, M)
% input - f is integrand input as a string 'f'
% - a and b are upper and lover limits of integration
% - M is tha number of subintervals
% cutput - s is tha trapezoildal rule sum
h = (b - a)/M;
s = 0;
for k=1:(M-1);
x= a+h*k;
s= s+feval(f, x);
end
s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;
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Ejemplo 1: Sea la función: Y= 3*x3+4*x2+x -2
- Por el método analítico obtenemos que: s = 20.67 - Por el método de Simpson y con las condiciones que nos piden
obtenemos: function Y = F1(x); Y=3.*x.^3+4.*x.^2+x-2; return;
simprl(@F1,0,2,1) s = 20.667
- Por lo tanto el error es:
Es (f, h) = −(𝒃−𝒂)𝒇𝟒(𝒄)𝒉𝟒
𝟏𝟖𝟎 =
−(𝟐−𝟎)𝟎𝟒∗𝟏𝟒
𝟏𝟖𝟎 = 0
- En conclusión para todos los ejemplos el error es 0 es decir es exacta.
b) Usar la integral f(x) = c4x4 y verificar que el plazo de error para la regla
Simpson (M = 1, h = 1) en el intervalo [0, 2] es:
Es (f, h) = −(𝐛−𝐚)𝐟𝟒(𝐜)𝐡𝟒
𝟏𝟖𝟎
Sea la función: Y= 6*x4 - Por el método analítico obtenemos que: s = 38.40 - Por el método del trapecio compuesto y con las condiciones que nos
piden obtenemos:
function Y=F1(x); Y =6.*x. ^4; return;
s = simprl(@F1,0,2,1) s = 40
Es (f, h) = −(𝐛−𝐚)𝐟𝟒(𝐜)𝐡𝟒
𝟏𝟖𝟎 =
−(𝟐−𝟎)𝟏𝟒𝟒∗𝟏𝟒
𝟏𝟖𝟎 = -1.60
- En conclusión para toda función f(x) = c4x4, por el método analítico y Simpson el error es el mismo que al desarrollar por la formula.
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6. The number Mand the interval width h so that the composite
trapezoidal rule for M subintervals can be used to compute the given
intregal wich an accuracy of 5 x10-9
a) ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙𝝅/𝟔
−𝝅/𝟔 b) ∫
𝟏
𝟓−𝒙𝒅𝒙
𝟑
𝟐 c) ∫ 𝒙𝒆−𝟏𝒅𝒙
𝟐
𝟎
Hint for part (c). ∫ (𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟐)𝒆−𝒙(𝟐)
Solucion:
𝐸𝑇 = 5 ∗ 10−9
𝐸𝑇 = −1
2 𝑓′′(𝑐)(𝑏 − 𝑎)ℎ2……………………ℎ2 =
(𝑏−𝑎)2
𝑀2
𝐸𝑇 = −1
12 𝑓2(𝑐)(𝑏 − 𝑎)ℎ2
𝐸𝑇 = −1
12
𝑓2(𝑐)(𝑏 − 𝑎)3
𝑀2
como ∶ f 2(x) = (x − 2)e−x
reemplazamos en ∶
5 ∗ 10−9 = −1
12
(𝑥 − 2). 𝑒−𝑥(1)3
𝑀2
5 ∗ 10−9 = −1
12.−2
𝑀2
𝑀 = √2
12(5 ∗ 10−9)= √
1
30 ∗ 10−9
𝑴 = 𝟓𝟕𝟕𝟒
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a) function y=F1(x)
y=cos(x);
return;
trapr1(@F1, -pi/6, pi/6, 5774)
ans = 1.00000
b) function y=F1(x)
y=1./(5-x);
return;
trapr1(@F1, 2, 3, 5774)
ans = 0.40547
c) function y=F1(x)
y=x.*exp(-x);
return;
trapr1(@F1, 0, 2, 5774)
ans = 0.59399
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7. determine the number M and the interval width h so that the
composite Simpson rule for 2M subnivelals can be used to compute
the given integral with an accuracy of 5 x 10-9
a) ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒙)𝒅𝒙𝝅/𝟔
−𝝅/𝟔 b) ∫
𝟏
𝟓−𝒙𝒅𝒙
𝟑
𝟐 c) ∫ 𝒙𝒆−𝟏𝒅𝒙
𝟐
𝟎
Hint for part (c). ∫ (𝒙) = ( 𝒙 − 𝟒)𝒆−𝒙(𝟒)
Solucion:
𝑬𝒔 = −(𝒃 − 𝒂)𝟓. 𝒇𝟒
𝟏𝟖𝟎𝑴𝟒
𝒇𝟒(𝒙) = (𝒙 − 𝟒). 𝒆−𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 = 𝟎, 𝒉 = 𝟏
𝐸𝑠 = −(𝑏 − 𝑎)5. (𝑥 − 4). 𝑒−𝑥
180𝑀4
5 ∗ 10−9 = −(−4)(𝑒0)(15)
180𝑀4
𝑀 = √4. 15
(180)(5 ∗ 10−9)
4
𝑴 = 𝟒𝟔. 𝟎𝟐
2𝑀 = 92 … … … … 𝑁° 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
a) function y=F1(x)
y=cos(x);
return;
simpr1(@F1, -pi/6, pi/6, 92)
s = 0.99995
ans = 0.99995
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b) function y=F1(x)
y=1./(5-x);
return;
simpr1(@F1, 2, 3, 92)
s = 0.40543
ans = 0.40543
c) function y=F1(x)
y=x.*exp(-x);
return;
simpr1(@F1, 0, 2, 92)
s = 0.59397
ans = 0.59397