complemento apuntes de series 1

Analisis Matematico III

Curso de Pregrado

Lenin Qui~nones Huatangari

{ 16 de mayo de 2010 {

UNPRGLambayeque-Peru

c2010 by Schroedder

Contenido

Introduccion 1

1. Series Numericas 21.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Conceptos y Deniciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Denicion y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2. Linealidad de la Suma de una Serie . . . . . . . . . . . 61.2.3. Series Armonica,geometrica y telescopica . . . . . . . . 71.2.4. Criterio general de Convergencia de Cauchy . . . . . . 11

1.3. Series de Terminos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Criterios Generales de Comparacion . . . . . . . . . . . 171.3.3. Criterios Automaticos Convergentes . . . . . . . . . . . 241.3.4. Criterio De La Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4. Series de terminos positivos y negativos . . . . . . . . . . . . . 321.4.1. series alternantes y criterio de Leibniz . . . . . . . . . . 321.4.2. convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5. Resumen de Criterios sobre Convergencia y Divergencia deSeries Innitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Series de Potencias 432.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. Series de potencia y radio de convergencia . . . . . . . . . . . 44

2.2.1. Denicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.2. Radio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3. Derivada e integral de series de potencias . . . . . . . . . . . . 49

i

ii Contenido

2.4. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1. Denicion de serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.2. Serie de taylor para funciones usuales . . . . . . . . . . 562.4.3. Valores aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Sucesiones y Series de funciones 573.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Convergencia Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.1. Denicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2. Caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4. Criterios de Weiertras y Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.1. Criterio de Weiertras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4.2. Criterio de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografa 59

Introduccion

AL ESTUDIANTE

Los temas tratados en este texto son de acuerdo a la programacion del cursode Analisis Matematico III, de la carrera de Pedagoga en Educacion Ma-tematica de la UNIVERSIDAD DEL BIO BIO-CHILE.As que es deseo delautor motivar al alumno a leer este libro de texto.Pero no que lo lea comosi fuera una novela; se debe leer con calma y sin omitir nada.Considereloun libro de trabajo,con esto se da a entender que las matematicas se debenleer siempre con lapiz y papel a la mano porque lo mas probable es que setenga que trabajar en los ejemplos y la explicacion.Lea todos los ejemplos dela seccion antes de intentar alguno de los ejercicios . La recomendacion delautor a sus alumnos es que al leer un ejemplo no vean la solucion, traten deresolverlo primero, comparen su trabajo con la solucion que se proporcionaen el texto y luego resuelvan las diferencias.El autor trato de incluir lo mas posible la mayor parte de los pasos impor-tantes en cada ejemplo, pero si algo no esta claro, el alumno siempre debeintentar, y aqu es donde el lapiz y el papel entran de nuevo, para comple-mentar los detalles o los pasos faltantes. Esto no es facil, pero eso es partedel proceso de aprendizaje. La acumulacion de hechos, seguida de lenta acu-mulacion de comprender, simplemente no se puede lograr sin un esfuerzo.

En conclusion, el autor le desea al alumno buena suerte y exito, y al mismotiempo que disfrute el texto y el curso que va a iniciar.Si el lector tiene co-mentarios, encuentra errores o si tiene una buena idea para mejorar el textocontacte al autor en:

[email protected]

1

Captulo 1

Series Numericas

1.1. Introduccion

En este captulo entenderemos la operacion de adicion (hasta ahora denidapara un numero nito de numeros reales) de modo al atribuir signicado auna igualdad del tipo

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ : : :+

1

2n+ : : : = 1

En el cual el primer miembro es una \suma" con una innidad de numeros.Esclaro que no tiene sentido sumar una sucesion innita de numeros reales.El primer miembro de la igualdad anterior se expresa como el siguiente limite.

lmn!1

1

2+

1

4+

1

8+ : : :+

1

2n

Deniremos por tanto, sumas innitas a traves de limites. As siendo es deesperar que algunas sumas puedan ser afectadas(esto es, converjan )y otrasno,ya que no toda sucesion posee limite.En vez de \suma innita" usaremos la palabra serie. El problema principalde la teora de series es determinar cuales son convergentes y cuales no.

2

Cap. 1: Series Numericas 3

1.2. Conceptos y Deniciones Basicas

1.2.1. Denicion y ejemplos

Consideremos una sucesion numerica innita a1; a2; a3; : : : ; an; : : : y con loselementos de esta sucesion compongamos formalmente una expresion de laforma

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + : : :+ an + : : : =1Xn=1

an . . . . . . . . ()

La expresion () suele llamarse SERIE NUMERICA o simplemente SE-RIE.Los elementos an de los que esta formada suele llamarse terminos de laserie.Como regla para designar la serie, utilizamos el simbolo de la sumatoria.

Denicion 1.1. Sea fang una sucesion de reales, para cada n 2 N, la n-esima SUMA PARCIAL Sn es:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3...

Sn = a1 + a2 + : : :+ an

Se creo otra sucesion fSng llamada sucesion de sumas parciales de fangAdemas 1X

n=1

an = lmn!1

Sn

Si lmn!1

Sn existe, entonces el numero S = lmn!1

Sn,se llama SUMA DE

LA SERIE y se dice que la serie1Pn=1

an converge.

Si lmn!1

Sn no existe o es innito, entonces1Pn=1

an diverge

Ejemplo 1.1. Sea la progresion geometrica, con el primer terminoa

2y la

razon1

2.

a

2;a

22;a

23;a

24; : : : ;

a

2n; : : :

4 1.2. Conceptos y Deniciones Basicas

la suma de los n primeros elementos de la sucesion

Sn =a

2+

a

22+

a

23+

a

24+ : : :+

a

2n=

a

2 a

2n 12

1 12

=

a

2 a

2n+11

2

= 2

a 2n a2n+1

= 2

a 2n a2n 2

=

a 2n a2n

=a 2n2n

a2n

Sn = a a2n

Donde :

lmn!1

Sn = lmn!1

a a

2n

= a lm

n!1

1 1

2n

= a

1 11

= a (1 0) = a 1

= a

Luego:

a

2+

a

22+

a

23+

a

24+ : : :+

a

2n+ : : : =

1Xn=1

a

2n= a

Ejemplo 1.2. Calcular la serie

1

1 2 +1

2 3 +1

3 4 + : : :+1

n(n+ 1)+ : : :

1

1 2 +1

2 3 +1

3 4 + : : :+1

n(n+ 1)+ : : : =

1Xn=1

1

n (n+ 1)


Probaremos si la serie tiene suma

Sn =1

1 2 +1

2 3 +1

3 4 + : : :+1

n(n+ 1)

Sn =

1 1

2

+

1

2 1

3

+ : : :+

1

n 1

n+ 1

Sn = 1 1

n+ 1

Luego

1Xn=1

1

n (n+ 1) = lmn!1Sn = lmn!11 1

n+ 1

= 1 lm

n!11

n+ 1

= 1 lmn!1

1

n

1 +1

n

= 11

11 +

1

1= 1 0= 1

) La serie1Xn=1

1

n (n+ 1) CONVERGE y su suma es 1.

Ejemplo 1.3. Calcular la serie

1

1 3 +1

3 5 +1

5 7 + : : :+1

(2n 1)(2n+ 1) + : : :

1

1 3 +1

3 5 +1

5 7 + : : :+1

(2n 1)(2n+ 1) + : : : =1Xn=1

1

(2n 1)(2n+ 1)Probaremos si la serie tiene suma

Sn =1

1 3 +1

3 5 +1

5 7 + : : :+1

(2n 1)(2n+ 1)Sn =

1

21 1

3

+

1

21

3 1

5

+ : : :+

1

2

1

2n 1 1

2n+ 1

Sn =

1

2(1 1

3) + (

1

3 1

5) + (

1

5 1

7) + : : :+ (

1

2n 1 1

2n+ 1)

Sn =

1

2

1 1

2n+ 1


luego

1Xn=1

1

(2n 1) (2n+ 1) = lmn!1Sn = lmn!11

2

1 1

2n+ 1

=

1

2lmn!1

1 1

2n+ 1

=

1

2

1 lm

n!11

2n+ 1

=1

2

0B@1 lmn!1

1

n

2 +1

n

1CA=

1

2

0B@1 112 +

1

1

1CA=

1

2

) la serie1Xn=1

1

(2n 1)(2n+ 1) converge y su suma es1

2.

1.2.2. Linealidad de la Suma de una Serie

Teorema 1.1. Dadas dos series de numeros reales convergentes1Pn=1

an y

1Pn=1

a0n, compruebese que tambien son convergentes las series1Pn=1

c an, c 2 R

y1Pn=1

(an + a0n) y las sumas son

1Pn=1

c an = c 1Pn=1

an y1Pn=1

(an + a0n) =

1Pn=1

an +1Pn=1

a0n.

Demostracion. Sea Sn y S0n las sumas parciales n-esimas de las series.

Las sumas parciales n-esimas n y 0n de

1Pn=1

c an y1Pn=1

(an + a0n) son:

n = c a1 + c a2 + : : :+ c an = c(a1 + a2 + : : :+ an) = c Sn0n = (a1 + a

01) + (a2 + a

02) + : : :+ (an + a

0n)

= (a1 + a2 + : : :+ an) + (a01 + a

02 + : : :+ a

0n) = Sn + S

0n


Como fSng y fS 0ng son sucesiones convergentes, tambien lo sonfng = fc Sng y f0ng = fSn + S 0ng y se tiene pues:

1Xn=1

c an = lmn!1

n

= lmn!1

c Sn = c lmn!1

Sn

= c 1Xn=1

an

1Xn=1

an + a0n = lm

n!1(Sn + S

0n)

= lmn!1

Sn + lmn!1

S 0n

=1Xn=1

an +1Xn=1

a0n

z

1.2.3. Series Armonica,geometrica y telescopica

SERIE ARMONICALa serie armonica es de la forma

1 +1

2+

1

3+

1

4+ : : :+

1

n+ : : : =

1Xn=1

1

n

Donde el termino general es1

n,encontraremos la suma parcial S2n

S2n = 1+1

2+

1

3+

1

4

+

1

5+

1

6+

1

7+

1

8

+ : : :+(

1

2n1 + 1+ : : :+

1

2n) >

1 +1

2+

2

4+

4

8+ : : :+

2n1

2n= 1 + n 1

2Se sigue que el lm

n!1S2n = +1, por consiguiente lm

n!1Sn = +1

)1Xn=1

1

ndiverge


SERIE GEOMETRICALa serie geometrica es de la forma

c+ c q + c q2 + c q3 + : : :+ c qn + : : : =1Xn=0

c qn

c y q constantes 6= 0.

Teorema 1.2. La serie geometrica de razon q 2 R y primer termino c es la:

c+ c q + c q2 + c q3 + : : :+ c qn + : : :

.Esta serie es convergente si y solamente si, jqj < 1 y entonces su suma es1Xn=0

c qn = c1 q

Demostracion. LLamando Sn, a la suma parcial n-esima de la serie,

Sn = c+ c q + c q2 + c q3 + : : :+ c qn

q Sn = q c+ c q2 + c q3 + c q4 + : : :+ c qn+1

restando ambas ecuaciones se tendra

(1 q) Sn = c c qn+1

Sn =c (1 qn+1)

1 q ; si q 6= 1

Por tanto, para que1Pn=1

c qn sea convergente, es decir, para que fSng tengalimite nito, es necesario y suciente que jqj < 1 y en tal caso dicho limite es

c

1 qz

SERIE TELESCOPICA


Teorema 1.3. Se dice que una serie x1+x2+x3+: : : es telescopica, asociadaa una sucesion a1 + a2 + a3 + : : : si se verica que

Sn = a1 an+1

Esta serie es convergente si y solamente si fang tiene limite nito y, entoncessu suma es

1Xn=1

xn =1Xn=1

(an an+1) = a1 lmn!1

an

Demostracion. la suma parcial n-esima de la serie telescopica es:

Sn = x1 + x2 + x3 + : : : xn

Sn = (a1 a2) + (a2 a3) + (a3 a4) + : : :+ (an an+1)

Sn = a1 an+1

Luego1Pn=1

xn sera convergente, si fSng tiene limite nito, lo que equivale adecir que lo tenga fan+1g

1Xn=1

xn = lmn!1

(a1 an+1)

= a1 lmn!1

an+1

)1Xn=1

xn = a1 lmn!1

an

z

Ejemplo 1.4. Demostrar que la serie geometrica converge

1Xn=1

41n =4

3


1Xn=1

41n =1Xn=1

1

4(1n)=

1Xn=1

1

4n1

=1Xn=1

1

4

n1=

1Xn=1

1

4

n1

4

1=

1Xn=1

1

4

n 4

=1Xn=1

4 1

4

n=

1Xn=0

4 1

4

n 4

=4

1 14

4 por serie geometrica

=434

4

=16

3 4 = 16 12

3

=4

3

)1Xn=1

41n =4

3

Ejemplo 1.5. Demostrar que la serie geometrica converge

1Xn=1

14

3

10

n1= 1; 8


1Xn=3

14

3

10

n1=

1Xn=1

14

3

10

n114 +

21

5

=

1Xn=1

14

3

10

n191

5

=

14

1 310

915

por serie geometrica

=14 10

7 91

5

=100 91

5

=9

5= 1; 8

)1Xn=3

14

3

10

n1= 1; 8

1.2.4. Criterio general de Convergencia de Cauchy

CRITERIO DE CAUCHYTeorema 1.4. Una serie de terminos reales

1Pn=1

xn es convergente, sii

8" > 0;9v 2 N tal que:xn+1 + xn+2 + : : :+ xn+p < ";8n v y p > 0

CONDICION NECESARIA

Teorema 1.5. La serie1Pn=1

an es convergente, entonces lmn!1

an = 0

Demostracion. an = Sn Sn1lmn!1

an = lmn!1

(Sn Sn1)= lm

n!1Sn lm

n!1Sn1

= S S= 0

z


Se sabe que p ! q q ! pAplicando dicha propiedad en la proposicion anterior:si

lmn!1

an 6= 0! la serie1Xn=1

an diverge

Ejemplo 1.6. Demuestre que la serie1Xn=1

n2

n2 + 100diverge.

lmn!1

an = lmn!1

n2

n2 + 100

= lmn!1

n2

n2

n2

n2+ 100

n2

= lmn!1

1

1 + 100n2

=1

1 + 1001

=1

1 + 0

= 1

) lmn!1

n2

n2 + 100= 1 6= 0)

1Xn=1

n2

n2 + 100diverge

Ejemplo 1.7. Demuestre que la serie1Pn=1

cos(n ) diverge

an = cos(n ); n 2 NReemplazando n

n = 1 a1 = cos = 1 n = 2 a2 = cos 2 = 1 n = 3 a3 = cos 3 = 1 n = 4 a4 = cos 4 = 1...

2 n 1 a2n1 = cos(2 n 1) = 1; n 2 N


2 n a2n = cos(2 n) = 1; n 2 N

fang = cos(n ), posee dos subsucesiones que convergen a distintos puntos,a saber.

fa2ng = f1g; constante converge a 1 fa2n1g = f1g; constante converge a -1

) lmn!1

an no existe

=)1Pn=1

cos(n ) diverge

Ejemplo 1.8. Probar que la serie1X

n!1

2n 12n1

, diverge

an =2n 12n1

luego:

lmn!1

2n 12n1

= lmn!1

2n

2n1 lm

n!11

2n1

= lmn!1

2n

2n

2n12n

lmn!1

1

2n1

= lmn!1

112

lmn!1

1

2n 21

= lmn!1

2 lmn!1

2

2n

= 2 2 lmn!1

1

2n

= 2 2 121

= 2 0= 2

) lmn!1

2n 12n1

= 2 6= 0)1Xn=1

2n

2n1diverge


Practica N 01

? Escribir la formula mas simple del termino n-esimo o termino generalde las siguientes series, de acuerdo con los terminos que se indican

1. 1 +1

3+

1

5+

1

7+ : : :

2.1

2+

1

4+

1

6+

1

8+ : : :

3. 1 +2

2+

3

4+

4

8+ : : :

4. 1 +1

4+

1

9+

1

16+ : : :

5.3

4+

4

9+

5

16+

6

25+ : : :

6.2

5+

4

8+

6

11+

8

14+ : : :

7.1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+

1

42+ : : :

8.1 31 4 +

1 3 51 4 7 +

1 3 5 71 4 7 10 + : : :

9. 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + : : :10. 1 +

1

2+ 3 +

1

4+ 5 +

1

6+ : : :

? Escribir los 4 o 5 primeros terminos de la serie, partiendo del terminogeneral an, que ya se conoce.

1. an =3 n 2n2 + 1

2. an =(1)n n

2n

3. an =1

[3 + (1)n]n

4. an =2 + (1)n

n2

? En los siguientes ejercicios, cada serie:

Hallar la suma de los n-primeros terminos de la serie fSng Hallar la suma de la serie (S)

1.1

1 4 +1

2 5 +1

3 6 + : : :+1

n (n+ 3) + : : :

2.1

1 4 +1

4 7 +1

7 10 + : : :+1

(3 n 2) (3 n+ 1) + : : :


3.1

1 7 +1

3 9 + : : :+1

(2 n 1) (2 n+ 5) + : : :

4.3

4+

5

36+ : : :+

2 n+ 1n2 (n+ 1)2 + : : :

5.1

9+

2

225+ : : :+

n

(2 n 1)2 (2 n+ 1)2 + : : :

? Encontrar la serie innita y su suma de la sucesion fSng de su sumaparcial, que es dado por:

1. Sn =n+ 1

n

2. Sn =2n 12n

3. Sn =(1)nn

? Encontrar la suma de las series.

1.1Xn=1

npn2 1pn (n+ 1)

2.1Xn=1

1

4 n2 1

3.1Xn=1

1

n (n+ 2)

4.1Xn=1

1

n (n+ 1) (n+ 3) (n+ 4)sugerencia 12

n(n+1)(n+3)(n+4) =1n 2

n+1+ 2

n+3 1

n+4

? En los siguientes ejercicios determine si las series convergen o no.

1.1Xn=1

n

n+ 1

2.1Xn=1

2 n+ 13 n+ 2

3.1Xn=1

3 n2n2 + 1

4.1Xn=1

1

n+ 2

5.1Xn=3

3

2 n

16 1.3. Series de Terminos Positivos

1.3. Series de Terminos Positivos

1.3.1. Propiedades

1 La serie1Pn=1

xn de terminos positivos (xn 0; n 2 N) es convergentesii, la sucesion de sus summas parciales fSng esta acotada; la suma deesta serie es el supremo de sus sumas parciales .

1Xn=1

xn = lmn!1

Sn = supfSn; n 2 Ng

2 Toda serie de terminos positivos es asociativa, es decir, tiene la mis-ma suma que cualquiera de las series que se obtienen agrupando susterminos en parentesis.

3 Toda series de terminos positivos es conmutativa, es decir tiene la mis-ma suma que cualquiera de sus reordenaciones.

4 si1Pn=1

xn y1Pn=1

x0n son series de terminos positivos, entonces:

1Xn=1

(xn + x0n) =1Xn=1

xn +1Xn=1

x0n

y1Xn=1

xn = c 1Xn=1

xn; c 2 R

Ejemplo 1.9. Probar que la siguiente serie1Xn=1

1

nr, converge si r > 1

Como los terminos de esta serie son positivos, la sucesion de sumas parcialeses creciente.Para probar que que tal sucesion es acotada,basta obtener una subsucesionacotada.Tomaremos las sumas parciales de orden m = 2n 1.Para cada unade ellas vale.

Sm = 1 +

1

2r+

1

3r

+

1

4r+

1

5r+

1

6r+

1

7r

+ : : :+

1

(2n 1)r

Sm < 1 +2

2r+

4

4r+ : : :+

2n1

2(n1)r=

n1Xn=1

(2

2r)i


Como r > 1, tenemos2

2r< 1,luego la serie geometrica

1Xn=1

2

2r

, converge

para una suma c.As Sm < c,para todo m = 2

n 1) La serie

1Xn=1

1

nres convergente cuando r > 1

1.3.2. Criterios Generales de Comparacion

Sean1Xn=1

xn y1Pn=1

x0n dos series de terminos positivos, xn > 0 y x0n > 0

1. CRITERIO DE COMPARACION DE GAUSS O MAYORANTE

Se dice que la serie1Pn=1

x0n es mayorante de la serie1Pn=1

xn si es x0n xn,a partir de cierto indice v

Teorema 1.6. Si1Pn=1

x0n es mayorante de1Pn=1

xn y1Pn=1

x0n converge,

entonces1Pn=1

xn converge.

Si1Pn=1


xn y1Pn=1

xn diverge,entonces1Pn=1

x0n di-verge

En calidad de series comparativas, son muy utiles las series GEOMETRI-CA Y ARMONICA.

Ejemplo 1.10. Demostrar que la serie1Xn=1

1

n, con 1,diverge

n n; 8n 1 si n = 2 y = 1

2se tiene que 2

12 < 2

si n = 4 y = 12

se tiene que 412 < 4

Por tanto

n n; 8n 1


1

n 1

n, luego como la serie

1Xn=1

1

ndiverge.

)1Xn=1

1

n, diverge para 1

Ejemplo 1.11. Demostrar que1Xn=1

1

2n+1es convergente.

2n+1 > 2n

si n = 1 se tiene que 21+1 > 21 si n = 2 se tiene que 22+1 > 22

Por tanto

2n+1 > 2n

1

2n+1

1pn.

Ademas,1Xn=1

1pn=

1Xn=1

1

n12

, = 12


Por tanto por el ejemplo 1.10

1Xn=1

1pn

es divergente

)1Xn=1

1pn 1 es divergente

Ejemplo 1.13. Determine si la serie1Xn=1

5

2 n2 + 4 n+ 3, converge odiverge

2 n2 + 4 n+ 3 > 2 n21

2 n2 + 4 n+ 3 1

ln(n)

n>

1

n; para n > 3

Ademas la serie1Xn=1

1

nes la SERIE ARMONICA y por tanto es diver-

gente y por criterio de comparacion.

)1Xn=1

ln(n)

ndiverge


Ejemplo 1.15. Analizar o estudiar la convergencia de la serie1Xn=1

2 + sin3(n+ 1)

2n + n2

comparar con1

n2

Por ejercicio 1.91Xn=1

1

ndiverge y ademas

1Xn=1

1

n, converge si > 1

1 sin(n+ 1) 1 : : : denicion de seno(1)3 sin3(n+ 1) (1)3 : : : elevando al cubo1 2 + sin3(n+ 1) 3 : : : sumando dos0 1

2n + n2 2 + sin

3(n)

2n + n2| {z }xn

32n + n2

3n2

Por transitividad,

0 xn 3n2

0 1Xn=1

xn 1Xn=1

3

n2= 3

1Xn=1

1

n2

Por ejercicio 1.9 se tiene que la serie1Xn=1

1

n2converge

)1Xn=1

2 + sin3(n+ 1)

2n + n2converge

Ejemplo 1.16. Determinar si la siguiente serie converge1Xn=1

1

n!

Por induccion se tiene que n! 2n1; n 2 N


Ejemplo 1.17. Analizar la siguiente serie1Xn=1

3 sin2(n)n

, comparar

con1

n!

1 sin(n) 11 sin2(n) 13

n! sin

2(n)

n! 3

n!,luego xn 3

n!

Ademas1Xn=1

x0n = 3 1Xn=1

1

n!, la cual esta ultima serie converge.

Por criterio de COMPARACION

)1Xn=1

3 sin2(n)n!

converge

2. CRITERIO DE COMPARACION CON PASO A LIMITESi existe el limite lm

n!1xnx0n

, se tiene:

Teorema 1.7. Si lmn!1

xnx0n

= L 0 y1Pn=1

x0n diverge,entonces1Pn=1

xn diverge

Observacion 1.1. Para utilizar este criterio se debe encontrar una nuevaserie, (que a priori se conozca su convergencia o divergencia).El termino general de esta nueva serie, comunmente se construye haciendoel cociente entre los terminos de mayor exponente, entre el numerador ydenominador de x0n

Ejemplo 1.18. Probar que la serie1Xn=1

1

2n 1, diverge o converge.

Tomando

x0n = 12n

y xn =1

2n 1


lmn!1

xnx0n = lmn!1

12n112n

= lmn!1

2n

2n 1

= lmn!1

2n

2n

2n

2n 1

2n

= lmn!1

1

1 12n

=1

1 121

= 1

Puesto que el limite existe y1Xn=1

1

2nes una SERIE GEOMETRICA.

) la serie1Xn=1

1

2n 1converge

Ejemplo 1.19. Probar que1Xn=1

1 + 1

n

n (1 + 12

n)

2nes convergente.

Cuando n!1, podemos ver que 1 + 1n

n ! "Por tanto, el termino dominante es 2n

lmn!1

1 + 1

n

n (1 + 12

n)

2n= lm

n!1

(1+ 1n)n(1+(12 )

n)

2n

12n

= lmn!1

2n 1 + 1n

1 + (12)n

2n

= lmn!1

1 +

1

n

n1 + (

12)n

=

lmn!1

[1 +1

n]nlmn!1

1 + (

12n

)

= "1 1= "

= 2; 7182:::

Puesto queP

n!112n

es convergente y el limite del cociente es nito.

)1Xn=1

1 + 1

n

n (1 + 12

n)

2nconverge

Ejemplo 1.20. Demuestre que1Xn=1

4 n 34 n3 + 5 n+ 7, converge.


Tomando x0n = 1n2Luego:

lmn!1

4 n 34 n3 + 5 n+ 7

1n2

= lmn!1

n2 (4 n 3)4 n3 + 5 n+ 7

= lmn!1

4 n3 3 n24 n3 + 5 n+ 7

= lmn!1

1n3 (4 n3 + 3 n2)

1n3 (4 n3 + 5 n+ 2)

= lmn!1

4n34n3 3n

2

n3

4n3n3

+ 5nn3

+ 7n3

= lmn!1

4 3n

4 5n2

+ 7n3

=4

4

= 1

Puesto que:1Pn=1

xn =P

n!11n2

es convergente y su limite L > 0

)1Xn=1

4 n 34 n3 5 n+ 7 converge

Ejemplo 1.21. Demuestre que1Pn=1

13p8n25n

Se elige el numerador, con la mayor potencia y la mayor potencia del deno-minador.

x0n = 13pn2

=1

n23


lmn!1

xnx0n = lmn!1

13p8n25n

1

n23

= lmn!1

n23 1

3p8 n2 5 n

= lmn!1

3pn2

3p8 n2 5 n

= lmn!1

3

rn2

8 n2 5 n

= lmn!1

3

sn2

n2

8n2n2

5nn2

= lmn!1

3

s1

8 5n

=3

r1

8

=1

2> 0; diverge

Ademas1Xn=1

1

n23

, diverge

)1Xn=1

13p8 n2 5 n diverge

1.3.3. Criterios Automaticos Convergentes

Los criterios que se estudian aqu derivan de los de comparacion y son, enesencia, casos concretos de aquellos.No es ahora necesario buscar series de referencia, con las que comparar la

serie dada,1Pn=1

xn, en muchos casos del analisis de ciertas expresiones de sus

terminos generales, pueden sacarse conclusiones, acerca de la convergenciade terminos positivos.

1. CRITERIO DE LA RAIZ ( DE CAUCHY - HADAMARD)

Teorema 1.8. Sea1Pn=1

xn una serie de numeros reales positivos

(xn > 0), se verica que:

Si lmn!1

npxn < 1,entonces

1Pn=1

xn converge.

Si lmn!1

npxn > 1,entonces

1Pn=1

xn diverge.



2n

nnconverge.

lmn!1

npxn = lm

n!1n

r2n

nn

= lmn!1

n

s2

n

n= lm

n!12

n

= 2 lmn!1

1

n

= 2 11= 0 > 1

) la serie1Xn=1

2n

nnconverge


3n

n5diverge.

lmn!1

npxn = lm

n!1n

r3n

n5

= lmn!1

3nn

n5n

= lmn!1

3

n5n

= 3 lmn!1

1

n5n

= 3 1= 3 > 1

) la serie1Xn=1

3n

n5diverge


1

[ln(n)]nconverge.


lmn!1

npxn = lm

n!1n

s1

[ln(n)]n

= lmn!1

1np[ln(n)]n

= lmn!1

1

ln(n)

= 0

) la serie1Xn=1

1

[ln(n)]nconverge

2. CRITERIO DEL COCIENTE O D'ALEMBERT


xn una serie de numeros reales positivos

(xn > 0), se verica que:

Si lmn!1

xn+1xn

< 1,entonces1Pn=1

xn converge.

Si lmn!1

xn+1xn

> 1,entonces1Pn=1

xn diverge.

Ejemplo 1.25. Pruebe que la serie1Xn=1

1

n!converge.

lmn!1

xn+1xn

= lmn!1

1(n+1)!

1n!

= lmn!1

n!

(n+ 1)!= lm

n!1n!

(n+ 1) n!= lm

n!11

n+ 1

= lmn!1

1n

1 + 1n

=11

1 + 11=

0

1

= 0

)1Xn=1

1

n!converge



2n

n!converge.

lmn!1

xn+1xn

= lmn!1

2n

(n+1)!

2n

n!

= lmn!1

n! 2n 2(n+ 1)! 2n = lmn!1

2 n!n! (n+ 1)

= 2 lmn!1

1

n+ 1

= 2 lmn!1

1n

1 + 1n

= 2 1

11 + 11

= 2 (0

1)

= 0

)1Xn=1

2n

n!la serie converge

Ejemplo 1.27. Demuestre que1Pn=1

2n

n2diverge.

lmn!1

xn+1xn

= lmn!1

2n+1

(n+1)2

2n

n2

= lmn!1

n2 2n 22n (n+ 1)2 = lmn!1

2 n2(n+ 1)2

= 2 lmn!1

n2

n2 + 2 n+ 1= 2 lm

n!11

1 + 2n+ 1

n2

= 2

1

1 + 21 +11

= 2 (1

1)

= 2

)1Xn=1

2n

n2la serie diverge


Ejemplo 1.28. Determinar los valores de p > 0,para que la serie1Pn=1

n pnconverja. 1, se deduce por resultado anterior que f es decre-ciente si x 1.Ademas ,f es continua y de valores positivos para toda x 1.As se satisface


la hipotesis del criterio de la integral.Al aplicar la integracion por partes se tiene

Zx xdx = x (x+ 1) + c

En consecuencia:

+1Z1

x xdx = lmb!+1

x (x+ 1)b1

= lmb!+1

b+ 1

b+

2

Como lm

b!+1(b+1) = +1 y lm

b!1b = +1, se puede aplicar la regla de HOS-

PITAL para obtener

lmb to1

b+ 1

b= lm

b!11

b

= 0:

Por tanto

+1Z1

x xdx = 2

De este modo la serie dada es convergente.

Ejemplo 1.30. Determinar si la serie es convergente o es divergente,1Xn=2

1

n pln(n)f(x) =

1

xplnx

Es continua y de valores positivos para todo x 2.Tambien, si 2 x1 x2,entonces f(x1) f(x2) de modo que f es decrecientepara todo x 2.Por tanto, se puede aplicar el criterio de la integral.


+1Z2

dx

x pln x = lmb!+1

bZ2

(lnx)12 dx

x

= lmb!+1

h2 pln x

ib2

= lmb!+1

h2 pln b 2

pln 2

i= +1

As, dada la serie es divergente.


Practica N 02

? En los siguientes ejercicios, determine si la serie es convergente o diver-gente, aplicando uno de los criterios generales de comparacion.

1.1Xn=1

1

n 2n

2.1Xn=1

1p2 n+ 1

3.1Xn=1

1

nn

4.1Xn=1

n2

4 n3 + 5

5.1Xn=3

3 n+ 12 n2 + 5

6.1Xn=1

3pn3 + n

7.1Xn=1

cos2 n

3n

8.1Xn=1

1

ln(n+ 1)

9.1Xn=1

1pn2 + 4 n

10.1Xn=3

n!

(n+ 2)!

11.1Xn=1

1pn3 + 1

12.1Xn=1

n

5 n2 + 3

13.1Xn=1

(n 1)!(n+ 1)!

14.1Xn=1

n!

(2 n)!

15.1Xn=3

1

n+pn

16.1Xn=1

1

n pn2 1

17.1Xn=1

2n

n!

18.1Xn=1

3

2 npn

19.1Xn=1

pn

n2 + 1

20.1Xn=1

ln(n)

n2 + 2

? En los siguientes ejercicios, aplique el criterio de la integral para deter-minar si la serie es divergente o convergente.

1.1Xn=1

1

2 n+ 1

2.1Xn=3

2

(3 n+ 5)2

3.1Xn=1

1

(n+ 2)32

4.1Xn=1

4

n2 4

5.1Xn=1

2 n+ 3(n2 + 3)2

6.1Xn=1

5n

7.1Xn=1

2 nn4 + 1

32 1.4. Series de terminos positivos y negativos

1.4. Series de terminos positivos y negativos

1.4.1. series alternantes y criterio de Leibniz

Un tipo de series innitas que constan de terminos positivos y negativos esel de las series alternantes, cuyos terminos son, alternadamente, positivos ynegativos.

Denicion 1.2. Si an > 0,para todos los numeros enteros positivos n,entoncesla serie.

1Xn=1

(1)n+1 an = a1 a2 + a3 a4 + : : :+ (1)n+1 an + : : : . . .(1)

y la serie

1Xn=1

(1)n an = a1 + a2 a3 + a4 + : : :+ (1)n an + : : : . . .(2)

Se denominan SERIES ALTERNANTES.

Ejemplo 1.31. Una serie del tipo (1), es la siguiente.

1Xn=1

(1)n+1 1n= 1 1

2+

1

3 1

4+ : : :+ (1)n+1 1

n+ : : :

Una serie del tipo (2), es la siguiente.

1Xn=1

(1)n 1n!

= 1 + 12! 1

3!+

1

4! : : :+ (1)n 1

n!+ : : :

El teorema siguiente denominado CRITERIO DE LEIBNIZ PARA SERIESALTERNANTES, debido a que lo formulo en 1705.Este criterio tambien se conoce como CRITERIO DE LAS SERIES ALTER-NANTES,establece que dada una serie alternante es convergente si los valo-res absolutos de sus terminos decrecen y el lmite del n-esimo termino es cero.

Teorema 1.11. Suponga que se tiene la serie alternante1Pn=1

(1)n+1 an

o1Pn=1

(1)n an, donde an > 0 y an+1 < an, para todos los numeros enterospositivos n.Si lm

n!1an = 0, entonces la serie alternante es convergente.


Ejemplo 1.32. Demuestre que la serie alternante es convergente.

1Xn=1

(1)n+1 1n

La serie dada es

1 12+

1

3+ : : :+ (1)n+1 1

n+ (1)n+2 1

n+ 1+ : : :

Como1

n+ 1 1,entonces

1Pn=1

xn diverge.

Si lmn!1

npjxnj = 1,no se puede concluir nada acerca de la convergencia a

partir de este criterio.

EL CRITERIO DE LA RAZON


xn una serie innita, para la cual an 6= 0, se vericaque:

Si lmn!1

xn+1xn < 1,entonces 1P

n=1

xn absolutamente converge.

Si lmn!1

xn+1xn > 1,entonces 1P

n=1

xn diverge.

Si lmn!1

xn+1xn = 1,no se puede concluir nada acerca de la convergencia a

partir de este criterio.


Practica N 03

? En los siguientes ejercicios, determine si la serie alternante es conver-gente o divergente.

1.1Xn=1

(1)n+1 12 n

2.1Xn=1

(1)n 1n2

3.1Xn=1

(1)n 3n2 + 1

4.1Xn=1

(1)n+1 43 n 2

5.1Xn=2

(1)n 1ln(n)

6.1Xn=1

(1)n+1 sin(n)

7.1Xn=1

(1)n+1 n2

n3 + 2

8.1Xn=1

(1)n+1 ln(n)n

9.1Xn=1

(1)n+1 ln(n)n2

10.1Xn=1

(1)n n

n

11.1Xn=1

(1)n 3n

n2

12.1Xn=1

(1)n pn

3 n 1

13.1Xn=1

(1)n n2n

14.1Xn=1

(1)n+1 3n

1 + 32n

? En los siguientes ejercicios, determine si la serie es absolutamente con-vergente o divergente, justique su respuesta.

1.1Xn=1

(23)n

2.1Xn=3

(1)n+1 2n

n!

3.1Xn=1

1 2 sin(n )n3

4.1Xn=1

(1)n 2n

n3

5.1Xn=1

n (23)n

6.1Xn=1

cos(n )n2

7.1Xn=1

(1)n n2 + 1

n3

381.5. Resumen de Criterios sobre Convergencia y Divergencia de Series

Innitas

1.5. Resumen de Criterios sobre Convergen-

cia y Divergencia de Series Innitas

A n de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicacion del criterio apro-piado, se requiere de practica considerable, lo cual se obtendra realizando losejercicios dados a continuacion.Si un paso particular no es aplicable o no,puede inferirse ninguna conclusion, continue con el siguiente. Por supuesto,en ocasiones se puede aplicar mas de un criterio, sin embargo, debe elegirseel mas ecaz.Como ayuda, se listan a continuacion los criterios y se aconseja que seanaplicados en el orden indicado.

1. Calcule lmn!1

an.Si lmn!1

an 6= 0, entonces la serie diverge.Si lmn!1

an = 0

no puede inferirse ninguna conclusion.

2. Examine la serie a n de determinar si corresponde a uno de los si-guientes tipos especiales.

La serie geometrica de razon q 2 R y primer termino c es la:c+ c q + c q2 + c q3 + : : :+ c qn + : : :

.Esta serie es convergente si y solamente si, jqj < 1 y entonces susuma es 1X

n=0

c qn = c1 q

La serie1Xn=1

1

nr, converge si r > 1 y diverge si r < 1

Suponga que se tiene la serie alternante1Pn=1

(1)n+1an o1Pn=1

(1)nan, donde an > 0 y an+1 < an, para todos los numeros enterospositivos n.Si lm

n!1an = 0, entonces la serie alternante es convergente.

3. Aplique el Criterio de la Razon.

Sea1Pn=1

xn una serie innita, para la cual an 6= 0, se verica que:


Si lmn!1

xn+1xn < 1,entonces 1P

n=1


Si lmn!1

xn+1xn > 1,entonces 1P

n=1

xn diverge.

Si lmn!1

xn+1xn = 1,no se puede concluir nada acerca de la conver-

gencia a partir de este criterio.

4. Aplique el criterio de la Raz.

Sea1Pn=1

xn una serie innita, para la cual

(xn 6= 0), se verica que:

Si lmn!1

npjxnj < 1,entonces

1Pn=1


Si lmn!1

npjxnj > 1,entonces

1Pn=1

xn diverge.

Si lmn!1

npjxnj = 1,no se puede concluir nada acerca de la conver-

gencia a partir de este criterio.

5. Sea f una funcion continua, decreciente y de valorespositivos 8x 1.Entonces la serie innita

1Xn=1

f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + : : :+ f(n) + : : :

es convergente si la integral

+1Z1

f(x)dx existe, y

es divergente si lmb!1

bZ1

f(x)dx = +1

6. Criterios generales de comparacion

Si1Pn=1


xn y1Pn=1

x0n converge, entonces1Pn=1

xn converge.


Innitas

Si1Pn=1


xn y1Pn=1

xn diverge,entonces1Pn=1

x0ndiverge

Si lmn!1

xnx0n

= L 0 y1Pn=1

x0n diverge,entonces1Pn=1

xn diverge


Practica N 04

? En los siguientes ejercicios, determine si la serie es convergente odivergente.

a)1Xn=1

2

n2 + 6 n

b)1Xn=1

cos

2 n2 1

c)1Xn=1

(n!) 2(2 n)!

d)1Xn=1

(1)n ln 1n

e)1Xn=1

1

n (lnn)2

f )1Xn=1

1

1 + 2 lnn

g)1Xn=1

cos(n )n3

h)1Xn=1

1

(2 n+ 1)3

i)1Xn=1

3 + sin(n )n2

j )1Xn=1

np3 n+ 2

k)1Xn=1

(1)n+11 +

pn

l)1Xn=1

n!

10n

m)1Xn=1

(n+ 2)2

(n+ 3)!

? En los siguientes ejercicios, determine si la serie es absolutamenteconvergente, condicionalmente convergente o divergente. Justi-que su respuesta.

a)1Xn=0

(1)n n2

3n

b)1Xn=0

(1)n 52n+1

(2 n+ 1)!

c)1Xn=1

(1)n1 1(n+ 1)

34

d)1Xn=1

(1)n1 6n

5n+1

e)1Xn=2

(1)n n!10 n

f )1Xn=1

(1)n p2 n 1n

g)1Xn=1

(1)n1 23n

nn

h)1Xn=1

(1)n1 1[ln(n+ 2)]n


Innitas

? Demostrar cada uno de los siguientes criterios:

a) El criterio de comparacion.

b) El criterio del cociente.

c) El criterio de Cauchy.

? Desarrollar los siguientes problemas:

Una pelota se deja caer desde una altura de 18 metros, y cadavez que toca el suelo rebota hasta una altura de dos terciosde la altura del rebote anterior.Calcule la distancia total recorrida por la pelota antes de al-canzar el reposo y determinar el tiempo que empleara la pelotaen alcanzar el reposo.

Use el criterio de Comparacion para probar, a partir de laconvergencia de

1Pn=1

2n(n+1) , que

1Pn=1

1n2

es convergente .

Las bacterias, amebas y algunas algas se reproducen por di-vision celular; mas especcamente, por biparticion. Modelarel crecimiento poblacional de las bacterias y a partir de ellacrear una serie.

Captulo 2

Series de Potencias

2.1. Introduccion

Las series innitas que se han estudiado hasta este momento han consistidosolo de terminos constantes.Ahora se tratara un tipo importante de series determinos variables denominadas SERIES DE POTENCIAS,las cuales puedenconsiderarse como una generalizacion de una funcion polinomial.

Se estudiara como emplearse las series de potencias para calcular valores defunciones tales como sin x,x,lnx y

px.

En el captulo anterior se trato la cuestion de convergencia o divergencia delas series, en este captulo se tratara la cuestion >Que valores de x hacen quelas series de potencias sea convergente ? Para cada valor de x en el que laserie de potencias converge, la serie representa el numero que es la suma dela serie.Por tanto, una serie de potencias en x dene una funcion que tienecomo dominio todos los valores de x para los cuales la serie de potenciasconverge.

43

44 2.2. Series de potencia y radio de convergencia

2.2. Series de potencia y radio de convergen-

cia

2.2.1. Denicion y Ejemplos

Denicion 2.1. Una serie de potencias en x a es una serie de la formac0 + c1 (x a) + c2 (x a)2 + : : :+ cn (x a)n + : : : ...(1)

Se utiliza la notacion1Pn=0

cn (x a)n para representar (1).Un caso especialde (1) se obtiene cuando a = 0, de modo que la serie se transforma en unaserie de potencias en x, la cual esc0 + c1 (x) + c2 (x)2 + : : :+ cn (x)n + : : : ...(2)La serie de potencias mas general (1) puede obtenerse de (2) mediante latraslacion x = xa, por tanto, los resultados pueden aplicarse a la serie (1).Ejemplo 2.1. Considere la serie geometrica donde c = 1 y q = x, la cual es1Pn=0

xn.

Esta serie converge a 11x , si jxj < 1.Por tanto la serie de potencias

1Pn=0

xn

dene la funcion f tal que f(x) = 11x ,cuyo dominio es (1; 1).

De esta manera se escribe

1 + x+ x2 + x3 + : : :+ xn + : : : =1

1 x; si jxj < 1

Ejemplo 2.2. Determine los valores de x para los cuales la serie de potenciassea convergente

1Xn=1

(1)n+1 2n xnn 3n

Donde an = (1)n+1 2nxnn3n y an+1 = (1)n+2 2n+1xn+1

(n+1)3n+1 De modo que:

lmn!1

an+1an = lmn!1

2n+1 xn+1 n 3n(n+ 1) 3n+1 2n xn

= lmn!1

2

3 jxj n

n+ 1

=2

3 jxj

Por tanto, la serie es absolutamente convergente cuando 23 jxj < 1 o equi-

valentemente cuando jxj < 32.La serie es divergente cuando 2

3 jxj > 1 o

Cap. 2: Series de Potencias 45

equivalentemente cuando jxj > 32.Cuando x = 3

2, la serie de potencias con-

verge, y si x = 32

la serie diverge.

) la serie1Pn=1

(1)n+1 2nxnn3n es convergente en

32< x < 3

2.


1Xn=0

xn

n!

Donde an =xn

n!y an+1 =

xn+1

(n+1)!De modo que:

lmn!1

an+1an = lmn!1

xn+1(n+ 1)! n!xn

= jxj lmn!1

1

n+ 1

= 0

< 1

) la serie1Pn=0

xn

n!es convergente para todo valor de x..


1Xn=0

n! xn

Donde an = n! xn y an+1 = (n+ 1)! xn+1 De modo que:

lmn!1

an+1an = lmn!1

(n+ 1)! xn+1n! xn

= lmn!1

j(n+ 1) xj=

) la serie1Pn=0

n! xn es divergente para todos los valores de x excepto 0.

Ejemplo 2.5. Utilize el criterio de la Raz para determinar los valores de xpara los cuales la serie de potencias sea convergente

1Xn=1

n3 xn

EJERCICIO!!


2.2.2. Radio de convergencia


cn xn una serie de potencias.Entonces solo una de las siguientes condiciones se cumple:

i La serie converge solo cuando x = 0

ii La serie es absolutamente convergente para todos los valores de x.

iii Existe un numero R > 0 tal que la serie es absolutamente convergentepara todos los valores de jxj < R y es divergente para todos los valoresde x tales que jxj > R

El numero R de la condicion (iii) se denomina Radio de convergenciaRadio de convergenciaRadio de convergencia de laserie.Si se cumple la condicion (i),R = 0; si se cumple la condicion (ii), se escribeR = +1.Si R > 0, el conjunto de todos los valores de x para los que una serie depotencias es convergente se llama Intervalo de ConvergenciaIntervalo de ConvergenciaIntervalo de Convergencia de las series depotencias

Observacion 2.1. Si el radio de convergencia de una serie de potencias esR > 0 , el intervalo de convergencia es (R;R),[R;R],(R;R] o [R;R) ,mientras que para una serie de potencias en xa, el intervalo de convergenciaes (aR; a+R),[aR; a+R],(aR; a+R] o [aR; a+R)Procedimiento para determinar el Intervalo de Convergencia en x aProcedimiento para determinar el Intervalo de Convergencia en x aProcedimiento para determinar el Intervalo de Convergencia en x a

1 Aplique el Criterio de la Razon(o en ocasiones el Criterio de la Raz)para determinar el radio de convergencia R de la serie.

2 Si R > 0 la serie converge absolutamente para toda x, en el intervalo(aR; a+R) y diverge para jx aj > R.Verique la convergencia enlos extremos mediante los metodos anteriores del captulo anterior.

Ejemplo 2.6. Determine el intervalo de convergencia de la serie1Pn=1

n(x2)nLa serie de potencias dada es

(x 2) + 2 (x 2)2 + : : :+ n (x 2)n + (n+ 1) (x 2)n+1 + : : :

Al aplicar el criterio de la Razon se tiene


lmn!1

an+1an = lmn!1

(n+ 1) (x 2)n+1n (x 2n)

= jx 2j lmn!1

n+ 1

n= jx 2j

La serie dada es absolutamente convergente si jx 2j < 1,o bien 1 < x < 3.Cuando x = 1 y x = 3 la serie diverge.La serie de potencias dene una funcion en el intervalo (1; 3) como su dominiosu dominiosu dominio.

Ejemplo 2.7. Determine el intervalo de convergencia de la serie1Pn=1

xn

2+n2

La serie de potencias dada es

x

2 + 12+

x2

2 + 22+

x3

2 + 32+ : : :+

xn

2 + n2+

xn+1

2 + (n+ 1)2+ : : :

Al aplicar el criterio de la Razon se tiene

lmn!1

an+1an = lmn!1

x(n+ 1) (2 + n2)[2 + (n+ 1)2] xn

= jx 2j lmn!1

n+ 1

n

= jxj lmn!1

2 + n2

n2 + 2 n+ 3= jxj

La serie dada es absolutamente convergente si jxj < 1,o bien 1 < x < 1.Cuando x = 1 y x = 1 la serie converge.La serie de potencias dene una funcion en el intervalo [1; 1] como su dominiosu dominiosu dominio.


Practica N 05

? En los siguientes ejercicios, determine el intervalo de convergencia.

1.1Xn=0

xn

n+ 1

2.1Xn=0

xn

n2 + 1

3.1Xn=0

xn

n2 3

4.1Xn=0

n2 xn2n

5.1Xn=1

2n xnn2

6.1Xn=1

xn

2n pn

7.1Xn=1

n xn3n

8.1Xn=1

(1)n x2n

(2 n)!

9.1Xn=1

n+ 1

n2n xn

10.1Xn=0

(x+ 3)n

2n

11.1Xn=0

xn

(n+ 1) 5n

12.1Xn=1

(1)n xn

(2 n 1) 3(2 n 1)

13.1Xn=1

(x+ 2)n

(n+ 1) 2n

14.1Xn=1

n2

5n (x 1)n

15.1Xn=1

xn

nn


2.3. Derivada e integral de series de poten-

cias

A partir de series de potencias se pueden obtener otras series de potenciasmediante la diferenciacion e integracion.

Cada serie de potencias1Pn=0

cn (x)n dene una funcion f con regla de corres-pondencia

f(x) =1Xn=0

cn (x)n

El dominio de f es el intervalo de la convergencia de la serie.


cn (x)n es una serie de potencias cuyo radio de conver-

gencia R es no nulo, entonces la funcion f denida por f(x) =1Pn=0

cn (x)n

tiene una derivada dada por f 0(x) =1Pn=1

n cn (x)n1 en cada numero x delintervalo abierto (R;R).Observacion 2.2. Si el radio de convergencia de la serie de potencias1Pn=0

cn (x)n es R > 0, entonces R es tambien es el radio de convergencia de

la serie1Pn=1

n cn (x)n1

Ejemplo 2.8. La serie de potencias1Pn=0

xn es convergente para jxj < 1pues es una serie geometrica y su suma es:

1Xn=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + : : :+ xn + : : : =1

1 x; si jxj < 1

Cuando reemplazamos x por x tenemos:1Xn=0

(x)n = 1x+x2x3+x4+: : :+(1)n xn+: : : = 11 + x

; si jxj < 1

Cuando reemplazamos x por x2 tenemos:1Xn=0

(x)2n = 1 + x2 + x4 + x6 + x8 + : : :+ x2n + : : : =1

1 x2 ; si jxj < 1

50 2.3. Derivada e integral de series de potencias

Cuando reemplazamos x por x2 tenemos:1Xn=0

(1)n(x)2n = 1x2+x4x6+x8+: : :+x2n+: : : = 11 + x2

; si jxj < 1

Ejemplo 2.9. Obtener una representacion en serie de potencias de 1(1x)2

Segun ejemplo anterior tenemos:

1

1 x = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + : : :+ xn + : : : ; si jxj < 1

entonces derivando termino a termino

1

(1 x)2 = 1 + 2 x+ 3 x2 + : : :+ n x(n1) + : : : ; si jxj < 1

Ejemplo 2.10. Demostrar que:

x =1Xn=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ : : :+

xn

n!+ : : : ; 8x 2 R

Sea f(x) =1Xn=0

xn

n!, donde su dominio es el intervalo de convergencia

< 1;1 >As

f 0(x) =1Xn=1

n xn1n!

=1Xn=1

n xn1n (n 1) =

1Xn=0

xn

n!= f(x)

entonces f(x) = x

Ejemplo 2.11. Encontrando las series de potencias de las funciones sin(x)y cos(x)Similarmente al problema anterior, para encontrar las series de potencias deestas funciones, denimos dos funciones

S(x) = x x3

3!+

x5

5! x

7

7!+ : : :

C(x) = 1 x2

2!+

x4

4! x

6

6!+ : : :

Derivando termino a termino mostramos que S 0 = C(x), c0 = S(x)Ademas S(0) = 0,C(0) = 1.Entonces es facil mostrar que un par de funcionesque satisfaces estas propiedades puede ser el sin(x) y cos(x)



cn (x)n es una serie de potencias cuyo radio de con-

vergencia R es no nulo.Si f es la funcion denida por f(x) =1Pn=0

cn (x)n,entonces f(x) es integrable en cada subintervalo de cerrado de (R;R),y la integral de f se evalua integrando termino a termino la serie de poten-cias dada; es decir x esta en (R;R), entonces

xZ0

f(t) dx =1Xn=0

cnn+ 1

xn+1

Ejemplo 2.12. Muestre que :

arctanx = x x3

3+

x5

5 x

7

7+ : : : ; si jxj < 1

tenemos por resultado anterior

1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + x8 + : : :+ x2n + : : : ; si jxj < 1

Por tanto, podemos integrar esta serie termino a termino ; as tenemos:Zdx

1 + x2= arctanx = x x

3

3+

x5

5 x

7

7+ : : :

Ejemplo 2.13. Encontrar una representacion en serie de potencias dexR0

t2 dt y calcular aproximadamente con tres cifras decimales

el valor de

12R0

t2 dt

Se tiene que

x =1Xn=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ : : :+

xn

n!+ : : : ; 8x 2 R

hacemos el cambio de x por x y obtenemos

x =1Xn=0

(1)n xn

n!= 1 x+ x

2

2! x

3

3!+

x4

4!+ : : :+ (1)n x

n

n!+ : : : ; 8x 2 R

reemplazando x por t2 tenemos

t2

=1Xn=0

(1)n t2n

n!= 1 t2 + t

4

2!+

t6

3!+ : : :+ (1)n t

2n

n!+ : : : ; 8t 2 R


entonces aplicando el teorema anterior

xZ0

t2 dt = x x

3

3!+

x5

2! 5 x7

3! 7 + : : :+(1)n x2n+1n! (2n+ 1) + : : :

Reemplazando en esta ultima serie tenemos

12Z

0

t2 dt = 1

2 1

24+

1

320 1

5376+ : : :

= 0; 5 0; 04117 + 0; 0031 0; 0002 + : : := 0; 4614

Ejemplo 2.14. Obtener una representacion en serie de potencias de ln(1+x)Consideremos la funcion

f(t) =1

1 + t= 1 t+ t2 t3 + : : :+ (1)n tn + : : : ; si jtj < 1

entonces integrando termino a termino, obtendremos

xZ0

dt

1 + t= ln(1 + x) = x x

2

2+

x3

3 x

4

4+ : : :+

(1)n xn+1n+ 1

+ : : :

Teorema 2.4. Supongamos que las dos series de potencias1Pk=0

ak xk y1Pj=0

bj xj, convergen a las funciones f(x) y g(x) , respectivamente para

jxj < R.Entonces la serie de potencias1Pn=0

cn xn, dondecn =

Pk+j=n

ak bj = ak b0 + : : : + a0 bn, converge a la funcion f(x) g(x)para jxj < R

Ejemplo 2.15. Encontrar una serie de potencias de x que sea convergente

a la funcionln(1 + x)

1 + x2tenemos por resultados anteriores que:

ln(1 + x) = x x2

2+

x3

3 x

4

4+ : : :+

(1)n xn+1n+ 1

+ : : :


y ademas que

1

1 + x2= 1 x2 + x4 x6 + x8 + : : :+ x2n + : : :

ahora multiplicando ambas series, de acuerdo al teorema obtendremos

ln(1 + x)

1 + x2= x x

2

2 2

3 x3 + x

4

4+

13

15 x5 + : : : ; si jxj < 1


Practica N 06

? En los siguientes ejercicios, encuentre una serie de potencias de x queconverja a la funcion dada, y determine el radio de convergencia.

1.1

(1 x)3

2.cos(x)

1 + x

3.1 x

1 x+ x2

4.x2

(1 x) (1 + x2)

5.x

(1 x)2

6. sec(x)

? Desarrollar los siguientes ejercicios.

1. Vericar en detalle que derivando termino a termino las seriesde las funciones sin(x) y cos(x) cumplen con S 0(x) = C(x) yC 0(x) = S(x)

2. Dado f(x) =1Xn=0

x2n

(2n)!, probar que f 00(x) = f(x) .

3. Dado f(x) =1Xn=0

x2n

(n!)2, probar que

x2 f 00(x) + x f 0(x) = 4 x2 f 0(x)

? En los siguientes ejercicios calcular el valor de la integral dada a 4 cifrasdecimales usando series.

1R0

x2 dx

14R0

g(x) dx, donde g(x) =

8>:arctanx

x; x 6= 0;

1; x = 0:

1R0

f(x) dx, donde f(x) =

8>:x 1x

; x 6= 0;

1; x = 0:


2.4. Serie de Taylor

2.4.1. Denicion de serie de Taylor

Se ha visto como ciertas funciones racionales trascendentes y algunas racio-nales , pueden ser expresadas como series de potencias.En esta seccion se mostrara como obtener representaciones en series de po-tencia de aquellas funciones que son innitamente diferenciables o lo que eslo mismo decir que tienen derivadas de todos los ordenes.Suponga que f es una funcion denida mediante una serie de potencias; estoes,

f(x) = c0 + c1 x+ c2 x2 + c3 x3 + : : :+ cn xn + : : : :::(1)cuyo radio de convergencia es R > 0.De las aplicaciones sucesivas del teo-rema de derivacion termino a termino, f es innitamente diferenciable en(R;R).Las derivadas consecutivas de f son

f 0(x) = c1 + 2:c2 x+ 3:c3 x2 + 4:c4 x3 + : : :+ n:cn xn1:::(2)f 00(x) = 2:c2 + 2;3:c3 x+ 3;4:c4 x2 + : : :+ (n 1):n:cn xn2:::(3)f 000(x) = 2;3:c3 + 2;3;4:c4 x+ : : :+ (n 2):(n 1):n:cn xn3:::(4)f (4)(x) = 2;3;4:c4 x2 + : : :+ (n 3):(n 2):(n 1):n:cn xn4:::(5)

Si x = 0 en (1)-(5),f(0) = c0, f

0(0) = c1,f 00(0) = 2! c2,f 000(0) = 3! c3,f (4)(0) = 4! c4de modo que

c0 = f(0),c1 = f0(0),c2 =

f 00(0)2!

,c3 =f 000(0)3!

,c4 =f (4)(0)

4!

en general

cn =f (n)(0)

n!; 8n 2 N

Por lo que lo que de esta formula y de (1), la serie de potencias de f en x sepuede escribir como1Pn=0

f (n)(0)n!

xn = f(0) + f 0(0) x+ f 00(0)2!

x2 + : : :+ f (n)(0)n!

xn + : : : (6)En un sentido mas general, considere la funcion f como una serie de poten-cias en x a; es decir,

f(x) =1Xn=0

cn (x a)n

= c0 c1 (x a) + c2 (x a)2 + : : :+ cn (x a)n + : : :

56 2.4. Serie de Taylor

De manera analoga al procedimiento anterior se obtendra1Pn=0

f (n)(a)n!

(x a)n = f(a) + f 0(a) (x a) + f 00(a)2!

(x a)2 + : : :+ f (n)(a)n!

(x a)n + : : : (7)esta ultima serie(7) se denomina serie de taylorserie de taylorserie de taylor de f en a.El caso especial deesta serie , cuando a = 0, es (6),y se llama serie de maclaurinserie de maclaurinserie de maclaurin.Observe quen-esina suma parcial de la serie innita (7) es el polinomio de Taylor de gradon de la funcion f en el numero a, estudiado anteriormente.

2.4.2. Serie de taylor para funciones usuales

2.4.3. Valores aproximados

Captulo 3

Sucesiones y Series defunciones

3.1. Introduccion

En muchos problemas de Matematicas y sus aplicaciones se busca una fun-cion que cumpla determinadas condiciones.Es frecuente en estos caso obteneruna sucesion de funciones f1; f2; f3; : : : ; fn; : : : cada una de las cuales cumplelas condiciones exigidas, pero solo de forma aproximada; sin embargo estasaproximaciones son cada vez mejores.Entonces se espera que la funcion limite de esta sucesion tambien cumplatales condiciones.Esto nos lleva a estudiar lmites de sucesiones de funciones.Muchas veces cada funcion de la sucesion se obtiene a partir de la anterior

sumando una funcion gn.En este caso se tiene una serie de funciones1Pn=1

gn.En

este captulo se estudiaran sucesiones y series de funciones.

Mientras que para las sucesiones y series de numeros existe solamente unanocion de lmite, para las de funciones existen varias.Aqu examinaremos lasdos nociones mas comunes, que deniremos a continuacion.

57

58 3.2. Convergencia Puntual

3.2. Convergencia Puntual

3.3. Convergencia Uniforme

3.3.1. Denicion y Ejemplos

3.3.2. Caracterizaciones

3.4. Criterios de Weiertras y Cauchy

3.4.1. Criterio de Weiertras

3.4.2. Criterio de Cauchy

Bibliografa

[1] Roman Burgos, Juan., Algebra Lineal y Geometra Cartesiana. MCGRAW-HILL, Espa~na, 2006. Tercera Edicion.

[2] Ivancevic,V., Ivancevic,T., Applied Dierential Geometry: A Modern In-troducction. World Scientic, Singapore, 2007.

[3] Ivancevic,V., Ivancevic,T., Natural Biodynamics. World Scientic, Singa-pore, 2006.

[4] Marsden,J.E., Ratiu,T.S., Introduction to Mechanics and Symmetry: ABasic Exposition of Classical Mechanical Systems. Springer, New York,1999 - Second Edition

[5] Marsen,J.E., Ratiu,T.S., Abraham,R., Manifolds, Tensor Analysis, andAplications. Springer-Verlag Publishing Company, Inc.,New York, 2002 -Third Edition

[6] Santamara Santisteban, Oscar., Variedades Diferenciables

complemento apuntes de series 1

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