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Capıtulo 5
Series de Fourier
5.1. Introduccion
La teorıa de las series de Fourier se origina a mediados del siglo XVIII
en relacion con el estudio de la cuerda vibrante. En 1753 Daniel Bernoulli
defendıa la tesis de que, para una amplia clase de funciones f(x), era posible
expresar f(x) como una serie de senos
∑an sen nx.
Sin embargo, otros matematicos de la epoca (como D’Alambert y Euler)
pensaban que esto no era posible. Posteriormente, Fourier (1807) usa estos
desarrollos de forma natural en el estudio de la conduccion del calor, pero
no aporta demostraciones. Dirichlet (1829) fue el primero en probar de una
forma rigurosa que la serie de Fourier converge hacia la funcion, si esta es
diferenciable a trozos.
Esta disputa y la obra de Fourier, Theorie Analytique de la Chaleur
(1822), dieron un gran impulso a la clarificacion del concepto de serie y al
desarrollo moderno del concepto de funcion.
Para motivar el estudio de las series de Fourier, vamos a tratar de resolver
un problema de contorno relativo a la ecuacion del calor por el metodo de
separacion de variables
175
Se demuestra que, si se quiere encontrar la temperatura T (x, t), para
cada instante t > 0, en cada punto de una barra delgada de longitud L,
conocida la temperatura inicial T (x, 0) = f(x) y sabiendo que se mantiene
la temperatura igual a 0◦ en los extremos de la barra, debemos resolver el
problema de contorno siguiente:
∂T∂t
= k ∂2T∂x2
T (0, t) = T (L, t) = 0, 0 < x < L, t > 0
T (x, 0) = f(x).
El metodo de separacion de variables se basa en la busqueda de una
solucion de la ecuacion y de las condiciones de contorno con la forma u(x, t) =
X(x) · τ(t). Las funciones desconocidas X(x) y τ(t) pueden determinarse a
partir de las igualdades
{X′′X
= τ ′kτ
X(0) = X(L) = 0.
La primera igualdad obliga a que las funciones X′′X
y τ ′kτ
deben ser constantes.
Por tanto, existe una constante real −λ de tal suerte que
X ′′
X=
τ ′
kτ= −λ.
Para encontrar X(x) y τ(t), debemos resolver los dos problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias siguientes:
{X ′′ = −λX
X(0) = X(L) = 0
y τ ′ = −λkτ . Este segundo tiene la solucion inmediata τ(t) = e−λkt. Para
resolver el primero, escribimos la ecuacion caracterıstica de su ecuacion difer-
encial, r2 = −λ. Si fuese λ < 0, la solucion general de la ecuacion diferencial
vendrıa dada por
X(x) = c1e(√−λ)x + c2e
−(√−λ)x,
176
en cuyo caso no habrıa forma de conseguir que X(0) = X(L) = 0. Por tanto,
debe ser necesariamente λ > 0. Entonces X(x) = c1 cos(√
λ)x + c2 sen(√
λ)x
que, por las condiciones de contorno X(0) = X(L) = 0, se reduce a
X(x) = sennπx
L
(λ = (nπ/L)2).
Vemos, pues, que el problema de contorno
{X ′′ = −λX
X(0) = X(L) = 0
solo tiene solucion no trivial para λ = (nπ/L)2 (n ∈ N). Se dira que son los
autovalores del problema de contorno. La solucion no trivial
Xn(x) = sennπx
L
que corresponde a cada autovalor λn = (nπ/L)2 se llama la autofuncion
correspondiente.
Volviendo a la funcion T (x, t), el metodo de separacion de variables nos
ha permitido encontrar soluciones de la ecuacion del calor (que verifican las
condiciones de contorno) de la forma
T (x, t) = e−kt(nπ/L)2 · sen nπx
L(n ∈ N).
Dada la linealidad del problema, tambien es solucion cualquier combinacion
lineal de funciones de este tipo
T (x, t) =N∑
n=1
ane−kt(nπ/L)2 · sen nπx
L.
Si nos olvidamos de la cuestion de la convergencia, resulta facil probar que
una suma infinita
T (x, t) =∞∑
n=1
ane−kt(nπ/L)2 · sen nπx
L
177
tambien es solucion de la ecuacion del calor (y de las condiciones de contorno).
Si queremos que esta ultima funcion verifique tambien la condicion inicial
T (x, 0) = f(x), los coeficientes an deben escogerse de forma que se cumpla
la igualdad
f(x) =∞∑
n=1
an sennπx
L.
Es decir, la funcion f(x) debe poder representarse como una suma de senos.
Por tanto, se podra resolver el problema de contorno inicial en cuanto sepa-
mos expresar una funcion dada, f(x), como la suma de una serie de senos:
∑an sen
nπx
L.
En otras aplicaciones se presenta el problema de expresar una funcion
como la suma de una serie de cosenos,
∑an cos
nπx
L,
o incluso como la suma de una serie de senos y cosenos
∑(an cos
nπx
L+ bn sen
nπx
L
).
5.2. Series trigonometricas
Una serie de la forma
a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T, (5.1)
donde los coeficientes an y bn son constantes reales, se dira que es una serie
trigonometrica. Un importante problema que se plantea es el de determinar
los valores de x para los que la serie es convergente. Este es el llamado
problema de convergencia. Obviamente, si x es un punto de convergencia
de la serie, entonces tambien lo son todos los puntos de la forma x + 2kT ,
178
cualquiera que sea k ∈ Z (por ser periodicas de periodo 2T las funciones
cos nπxT
y sen nπxT
). Por tanto, la funcion suma de la serie
S(x) =a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T
debe ser periodica de periodo 2T (en su dominio de convergencia).
Pero nos planteamos ahora la situacion recıproca. Tenemos una funcion,
f(x), definida en toda la recta real y periodica de periodo 2T . ¿Existe una
serie trigonometrica del tipo (5.1) tal que su suma sea f(x), para cada valor
de x?. Si la hay, ¿como se encuentra?. Este es el llamado problema de
representacion. ¿Existe mas de una serie con tal propiedad?. Este es el
problema de unicidad.
Otro pregunta importante es ¿como se pueden encontrar los coeficientes?
La respuesta a esta pregunta no es muy difıcil, pero antes necesitamos ten-
er presente una propiedad de las funciones que forman el llamado sistema
trigonometrico, a saber
1, cosπx
T, sen
πx
T, cos
2πx
T, sen
2πx
T,
, cos3πx
T, sen
3πx
T· · ·
Estas funciones son mutuamente ortogonales en cualquier intervalo de lon-
gitud 2T . Concretamente, verifican las igualdades
∫ T
−T
cosnπx
Tcos
mπx
Tdx =
=
∫ T
−T
sennπx
Tsen
mπx
Tdx = 0,
para cada n 6= m, ∫ T
−T
sennπx
Tcos
mπx
Tdx = 0,
para cada n,m ∈ N, y∫ T
−T
cosnπx
Tdx =
∫ T
−T
sennπx
Tdx = 0,
179
para n ∈ N. Estas igualdades, que se pueden comprobar mediante un calculo
elemental, juegan un papel fundamental en la respuesta a la ultima pregunta.
Tambien usaremos las igualdades elementales
∫ T
−T
cos2 nπx
Tdx =
∫ T
−T
sen2 nπx
Tdx = T.
Suponemos en todo lo que sigue, que las funciones que manejamos estan
definidas en toda la recta real, son periodicas de periodo 2T e integrables en
el sentido de Riemann en el intervalo [−T, T ]. Sea f(x) una tal funcion de la
que, ademas, sabemos que es representable por una serie trigonometrica, es
decir, verifica
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T, (5.2)
para cada x ∈ R. Vamos a probar que los coeficientes deben ser
an =1
T
∫ T
−T
f(x) cosnπx
Tdx , n = 0, 1, 2, · (5.3)
y
bn =1
T
∫ T
−T
f(x) sennπx
Tdx , n = 1, 2, · (5.4)
En efecto, si multiplicamos ambos miembros de (5.2) por cos mπxT
e inte-
gramos (termino a termino) la igualdad resultante respecto de x en el inter-
valo [−T, T ], obtenemos
∫ T
−T
f(x) cosmπx
Tdx =
∫ T
−T
a0
2cos
mπx
Tdx+
+∞∑
n=1
[an
∫ T
−T
cosnπx
Tcos
mπx
Tdx+
+bn
∫ T
−T
sennπx
Tcos
mπx
Tdx
].
180
Si suponemos que m ≥ 1, la igualdad anterior se reduce a
∫ T
−T
f(x) cosmπx
Tdx = am
∫ T
−T
cos2 mπx
Tdx =
= amT,
pues las restantes integrales del segundo miembro son nulas en virtud de la
ortogonalidad del sistema trigonometrico. De la igualdad anterior se deduce
am =1
T
∫ T
−T
f(x) cosmπx
Tdx , m = 1, 2, · · ·
Procediendo de forma analoga se comprueba que todos los coeficientes del
desarrollo (5.2) vienen dados por las formulas (5.3) y (5.4).
Hemos probado, por tanto, que si una funcion f(x) (de periodo 2T e inte-
grable Riemann en [−T, T ]) es la suma de una serie trigonometrica (igualdad
(5.2)), entonces necesariamente los coeficientes de dicha serie estan determi-
nados unıvocamente por las igualdades (5.3) y (5.4). Es decir, caso de ser
representable por una serie trigonometrica, solo existe una tal serie que la
represente. Este resultado conduce a la siguiente definicion.
Definicion 5.2.1. Sea f(x) una funcion integrable en [−T, T ] (recordemos
que suponemos en todo el tema que f esta definida en todo R y es perodica
de periodo 2T ). Los numeros an y bn dados por las igualdades
an =1
T
∫ T
−T
f(x) cosnπx
Tdx , n = 0, 1, 2, · · ·
y
bn =1
T
∫ T
−T
f(x) sennπx
Tdx , n = 1, 2, · · · ,
se denominan coeficientes de Fourier de f y la serie trigonometrica
a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T
181
se dira que es la serie de Fourier de f y escribiremos
f(x) ∼ a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T.
En la expresion anterior no podemos poner el signo = en lugar de ∼, mien-
tras no hayamos probado por algun procedimiento que la serie de Fourier de
f(x) es convergente y su suma es precisamente f(x). De esto nos ocuparemos
en la siguiente seccion. Ponemos fin a esta indicando el por que de la notacion
a0/2. Escribiendo de esta forma el termino constante de la serie de Fourier
se consigue que a0 se pueda calcular con la misma formula (5.3) que los an,
sin mas que hacer n = 0.
5.3. El problema de convergencia. Condicion
de Dini
Ahora abordamos el problema de, dada una funcion f(x) integrable en
[−T, T ] y con periodo 2T , determinar los valores de x para los que la serie
de Fourier de f es convergente y encontrar el valor de la suma de dicha
serie. Se trata de un problema de gran dificultad para el que se han obtenido
condiciones suficientes diversas. Aquı solo vamos a recoger una de ellas, la
condicion de Dini, que es de facil aplicacion practica. Para darnos una idea
de lo complicado que puede ser el problema de convergencia, podemos citar
el sorprendente resultado que establece que existen funciones continuas cuya
serie de Fourier diverge para un conjunto infinito de valores de x. Uno de
los resultados mas recientes, debido a Carleson (1966), establece que la serie
de Fourier de una funcion integrable Riemann (o incluso mas general) es
convergente en casi todos los puntos, pero no se sabe si la suma de la serie
es f(x).
Para facilitar la comprension de la Condicion de Dini, vamos antes a es-
tablecer una notacion comoda. Dada una funcion f y fijado x0 ∈ R, supong-
amos que existen los lımites laterales f(x0+) y f(x0−). Se define la funcion
182
fd(x) (la funcion parte derecha de f) por
fd(x) =
{f(x) si x > x0
f(x0+) si x = x0.
y fi(x) (la funcion parte izquierda de f) por
fi(x) =
{f(x) si x < x0
f(x0−) si x = x0.
Vemos que fd(x) es la propia f(x), para x > x0 y para x = x0 toma el valor
natural de f en x0, si se la analiza por la derecha.
Teorema 5.3.1. (Condicion de Dini) Sea f integrable en [−T, T ] y con
periodo 2T y x0 ∈ R. Si fd(x) y fi(x) son derivables en x0 a la derecha y a
la izquierda, respectivamente, entonces la serie de Fourier de f converge en
x0 y su suma es
(f(x0+) + f(x0−))/2.
Es decir, se verificaf(x0+) + f(x0−)
2=
=a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx0
T+ bn sen
nπx0
T.
Por tanto, si ademas f es continua en x0, entonces la serie de Fourier de f
converge y su suma es f(x0).
En particular, se sigue del Teorema precedente que, para toda funcion
continua ( periodica ) con la propiedad de que en cada punto tiene derivadas
laterales, se verifica la igualdad deseable
f(x) =a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T+ bn sen
nπx
T,
para cualquier x ∈ R.
183
5.4. Funciones pares e impares
Cuando la funcion f es par o impar, la serie de Fourier asociada no tiene
terminos de la forma sen nπxT
o cos nπxT
, segun el caso. Este hecho puede ser
explotado para desarrollar una funcion en serie de cosenos o en serie de senos.
A) FUNCIONES PARES. Recordemos que una funcion f : R → R se
llama par si verifica f(−x) = f(x), para cada x ∈ R. Vamos a probar que,
en tal caso, los coeficientes bn son nulos y que los an pueden calcularse por
las formulas
an =2
T
∫ T
0
f(x) cosnπx
Tdx , n = 0, 1, 2, · · · (5.5)
Empezamos calculando el coeficiente bn
bn =1
T
∫ T
−T
f(x) sennπx
Tdx =
=1
T
[ ∫ 0
−T
f(x) sennπx
Tdx +
∫ T
0
f(x) sennπx
Tdx
].
Ahora, mediante un cambio de variable, veremos que la segunda integral es
igual a la primera cambiada de signo. En efecto, haciendo el cambio x = −t
en la segunda integral
∫ T
0
f(x) sennπx
Tdx =
∫ −T
0
f(−t) sennπ(−t)
T(−dt) =
∫ 0
−T
f(−t) sennπ(−t)
Tdt =
= −∫ 0
−T
f(t) sennπ(t)
Tdt
en el ultimo paso hemos usado el hecho de que f es par y sen nπ(t)T
impar. La
prueba de que an puede determinarse por la igualdad (5.5) es similar. Basta
hacer el cambio de variable en la integral siguiente
∫ 0
−T
f(x) cosnπx
Tdx =
184
=
∫ 0
T
f(−t) cosnπ(−t)
T(−dt) =
=
∫ T
0
f(−t) cosnπ(−t)
Tdt =
=
∫ T
0
f(t) cosnπt
Tdt
en el paso final se ha usado que tanto f como cos nπtT
son pares.
Queda probado, pues, que si f es par y tiene periodo 2T , entonces su serie
de Fourier tiene la forma
f(x) ∼ a0
2+
∞∑n=1
an cosnπx
T,
con los coeficientes an dados por
an =2
T
∫ T
0
f(x) cosnπx
Tdx, n = 0, 1, 2, 3 · · · .
B) FUNCIONES IMPARES. f se llama impar si verifica f(−x) = −f(x),
para cada x ∈ R. Si f es impar y tiene periodo 2T , su serie de Fourier tiene
la forma
f(x) ∼∞∑
n=1
bn sennπx
T,
con los coeficientes bn dados por
bn =2
T
∫ T
0
f(x) sennπx
Tdx, n = 1, 2, 3 · · · .
En este caso omitimos las pruebas pues son semejantes a las del caso anterior.
Nota 5.4.1. Hemos visto en la introduccion que en las aplicaciones pode-
mos encontrarnos con el problema de desarrollar en serie de solo senos una
funcion definida en cierto intervalo. Vamos a ver como podemos explotar los
185
resultados anteriores para resolver este tipo de problemas. Para simplificar,
supongamos que tenemos la funcion f(x) = x definida en el intervalo (0, L)
y nos piden que la desarrollemos en serie de senos. Como la teorıa que hemos
desarrollado hasta el momento es valida para funciones definidas en toda
la recta real y con periodo 2T , no hay problema alguno en definir nuestra
funcion fuera del intervalo (0, L) de modo que resulte una funcion impar y
de periodo 2L. El desarrollo en serie de la nueva funcion solo contiene senos
por tratarse de una funcion impar y nos sirve, en particular, para la funcion
inicial que solo estaba definida en (0, L). Una vez obtenido el desarrollo en
serie de senos, se estudia su convergencia usando la condicion de Dini. El
desarrollo tendra la forma
x ∼∞∑
n=1
bn sennπx
L(0 < x < L),
y los coeficientes vienen dados por
bn =2
L
∫ L
0
x sennπx
Ldx, n = 1, 2, 3, · · ·
Empezamos calculando los coeficientes integrando por partes
bn =2
L
∫ L
0
x sennπx
Ldx =
=2
L
([− L
nπx cos
nπx
L
]x=L
x=0+
∫ L
0
L
nπcos
nπx
Ldx
)=
=2
L
(− L2
nπcos nπ +
L2
n2π2
[sen
nπx
L
]x=L
x=0
)=
= −2L
nπcos nπ =
2L(−1)n+1
πn
(se ha usado la igualdad cos πn = (−1)n). Luego el desarrollo pedido es
x ∼∞∑
n=1
2(−1)n+1L
πnsen
nπx
L.
186
Ahora usaremos la condicion de Dini para determinar si la serie obtenida es
convergente y su suma es f(x) = x. Nuestra funcion es continua y derivable
en cada punto de (0, L), por tanto, la condicion de Dini nos asegura que la
serie es convergente y su suma es f(x). Hemos probado, pues, la igualdad
x =∞∑
n=1
2(−1)n+1L
πnsen
nπx
L, 0 < x < L.
Si quisieramos descubrir si la serie es convergente para x = ±L, debemos
notar que por la periodicidad de f debe ser f(−L) = f(L). Pero, ademas, f
es impar, por tanto, tambien f(−L) = −f(L). Resulta, pues que se verifica
f(±L) = 0 (estamos manejando la funcion que se extendio a toda la recta
real). Vamos a estudiar el caso concreto x = L, pues el otro es similar. Es claro
que f(L+) = −L, f(L−) = L y las funciones fd(x) y fi(x) tienen derivada a
la derecha y a la izquierda, respectivamente. Por tanto, la condicion de Dini
nos asegura que la serie es convergente y su suma vale f(L+)+f(L−)2
= 0. Es
decir, se verifica
0 =∞∑
n=1
2(−1)n+1L
πnsen
nπL
L=
=∞∑
n=1
2(−1)n+1L
πnsen nπ,
lo que, por otro lado, es una igualdad obvia, pues cada sumando de la serie
es nulo por ser sen πn = 0, para todo n natural.
5.5. Propiedades de los coeficientes de Fouri-
er
1) Identidad de Parseval.
Se demuestra que toda funcion f integrable en el sentido de Riemann en
[−T, T ] y con periodo 2T verifica la llamada identidad de Parseval
a20
2+
∞∑n=1
(a2
n + b2n
)=
1
T
∫ T
−T
f(x)2 dx.
187
A partir de esta identidad se obtienen las desigualdades de Bessel sigu-
ientes ∞∑n=1
a2n ≤
1
T
∫ T
−T
f(x)2 dx
∞∑n=1
b2n ≤
1
T
∫ T
−T
f(x)2 dx.
En particular, se sigue que
lımn→∞
an = lımn→∞
bn = 0.
2) Relacion entre los coeficientes de Fourier de una funcion y su derivada
Si f es una funcion periodica de periodo 2T con derivada integrable en
[−T, T ], entonces tambien f ′ tiene periodo 2T . Vamos a encontrar la relacion
que existe entre los coeficientes de Fourier de ambas. Haciendo uso de la
formula de integracion por partes, resulta
an =1
T
∫ T
−T
f(x) cosnπx
Tdx =
=1
T
( T
nπ
[f(x) sen
nπx
T
]x=T
x=−T−
−∫ T
−T
T
nπf ′(x) sen
nπx
Tdx =
= − 1
nπ
∫ T
−T
f ′(x) sennπx
Tdx = − T
nπbn(f ′).
Procediendo de la misma forma se obtiene la relacion entre los otros coefi-
cientes. Las siguientes igualdades recogen estas relaciones
an = − T
nπbn(f ′), bn =
T
nπan(f ′), n = 1, 2, · · ·
Nota 5.5.1. Precisamente las relaciones anteriores son la base para de-
mostrar que las funciones (periodicas) con derivada integrable Riemann tienen
188
la propiedad de que su serie de Fourier converge uniformemente hacia f(x).
Recordamos que esto significa que, dado ε > 0, puede encontrarse n0 de modo
que
|f(x)− (a0/2 +
n∑
k=1
(ak cosnπk
T+ bk sen
kπx
T))| < ε,
cualesquiera que sean x ∈ R y n ≥ n0. Por tanto, las sumas parciales de la
serie de Fourier convergen hacia f(x) con la misma velocidad para todos los
x. Este hecho es de suma importancia, pues cuando una serie de funciones
converge uniformemente, se demuestra que esta puede derivarse e integrarse
miembro a miembro. Ası, por ejemplo, la integral de una tal f(x) verifica
∫ b
a
f(x) dx = (a0/2)
∫ b
a
f(x) dx+
+∞∑
n=1
[an
∫ b
a
f(x) cosnπx
Tdx+
+bn
∫ b
a
f(x) sennπx
Tdx
].
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Obtener el desarrollo de Fourier de una funcion f periodica de periodo
2, sabiendo que f(x) = x(2− x), para 0 ≤ x ≤ 2.
Empezamos dibujando la grafica de f(x).
Vemos que es una funcion par (simetrica respecto del eje OY) y de
periodo 2. Por tanto, en este caso T = 1 es el semiperiodo y el intervalo
fundamental es [−1, 1]. Por ser par, los coeficientes bn son todos nulos
y solo necesitamos calcular los an. Primero calculamos a0
a0 = 2
∫ 1
0
(x(2− x) dx = 2[x2 − x3
3
]x=1
x=0=
189
Y
X0 2-2 1-1 3
= 2(1− 1
3) = 4/3.
A continuacion calculamos los an, para n ≥ 1, integrando por partes
dos veces
an = 2
∫ 1
0
f(x) cosnπx
1dx =
−2
(πn)2.
Por tanto, la serie de Fourier tiene la forma
f(x) ∼ a0/2 +∞∑
n=1
an cosnπx
1=
= 2/3− 2
π2
∞∑n=1
cos nπx
n2.
Ahora debemos estudiar la convergencia de la serie. Para ello, usamos
la condicion de Dini. Como nuestra funcion es continua en todo R y
tiene derivadas laterales en todos los puntos, se deduce que la serie
converge y su suma es f(x), cualquiera que sea x ∈ R.
2. Hallar la serie de Fourier de la funcion
f(x) =
{0, −π ≤ x ≤ 0
x, 0 < x ≤ π
190
Definimos la funcion fuera de (−π, π) de modo que sea periodica de
periodo 2π. Su grafica tiene la forma
X
Y
0 p-p 2p
Calculamos los coeficientes de Fourier:
a0 =1
π
∫ π
−π
f(x) dx =1
π
∫ π
0
x dx =π
2,
an =1
π
∫ π
−π
f(x)cos nx dx =1
π
∫ π
0
xcos nx dx =
=
{− 2
πn2 si n es impar,
0 si n es par,
bn =1
π
∫ π
−π
f(x)sen nx dx =1
π
∫ π
0
xsen nx dx =
=(−1)n+1
n, ∀n.
Entonces la serie de Fourier viene dada por
π
4− 2
π
∞∑n=1
cos (2n− 1)x
(2n− 1)2+
∞∑n=1
(−1)n+1sen nx
n.
191
Ahora estudiamos la convergencia de la serie. Para x ∈ (−π, π), se
trata de una funcion continua y con derivadas laterales. Por tanto, la
condicion de Dini nos garantiza que la serie de Fourier es convergente
y su suma es f(x). EL estudio en los otros puntos es similar, por lo
que vamos a considerar el caso x = π. En este punto la funcion es
discontinua, pero las funciones fd y fi son derivables a la derecha y a
la izquierda, respectivamente. Entonces la condicion de Dini nos dice
que la serie de Fourier es convergente para x = π y su suma es
f(π+) + f(π−)
2=
0 + π
2.
3. Obtener el desarrollo en cosenos de la funcion
f(x) =
{x, 0 ≤ x ≤ 2
4− x, 2 < x ≤ 4
Definimos f fuera del intervalo [0, 4] de modo que la funcion sea par y
periodica de periodo 4.
Y
X
0 2 4-2-4
Obtenemos un desarrollo en cosenos de la nueva funcion con
a0 =2
2
∫ 2
0
f(x) dx =
∫ 2
0
x dx = [x2
2]x=2x=0 = 2.
192
A continuacion calculamos los coeficientes an (n ≥ 1):
an =2
2
∫ 2
0
f(x)cosnπ
2x dx =
∫ 2
0
xcosnπ
2x dx.
Integrando por partes, se obtiene
an =
{0, si n par,
− 4n2π2 , si n impar.
Por tanto, la serie de Fourier en cosenos es
a0
2+
∞∑n=1
ancosnπ
2x =
= 1−∞∑
n=1
8
(2n− 1)2π2cos
(2n− 1)π
2x.
Como f(x) es continua y tiene derivadas laterales en todo punto, se
sigue que la serie es convergente y su suma es f(x).
4. Hallar la serie de Fourier en senos de la funcion f(x) = 1, ∀x ∈ [0, 2].
Y
X
0 2-2
Definimos f fuera del intervalo [0, 2] procurando que sea impar y per-
iodica de periodo 4. Como la funcion f es impar, an=0, para todo n.
193
Por otra parte,
bn =2
2
∫ 2
0
sennπx
2dx =
2
nπ(1− cos nπ) =
=2
nπ(1− (−1)n) =
{0, n par4
nπ, n impar.
En consecuencia, el desarrollo en senos de f es
∞∑n=1
2
nπ(1− cos nπ)sen
nπx
2=
=∞∑
n=1
4
(2n− 1)πsen
(2n− 1)πx
2.
La condicion de Dini nos asegura la convergencia de la serie hacia f(x),
para cada x ∈ (0, 2). Para x = 0 o x = 2 la serie de Fourier converge
hacia cero.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la serie de Fourier de la funcion
f(x) =
{0 si −π ≤ x ≤ 0
sen x si 0 ≤ x ≤ π,
indicando si la suma de la serie coincide con la funcion.
Solucion:
f(x) = 2/π + (1/2) sen x + (2/π)∞∑
k=1
cos 2kx
1− 4k2, para cada x ∈ R.
194
2. Hallar el desarrollo de Fourier de la funcion periodica de periodo 2π
definida por f(x) = ex, para x ∈ [−π, π]. Estudiar la convergencia y
suma de la serie.
Solucion: f(x) =
= senh π( 1
π+ 2
∞∑n=1
(−1)n(π cos nx− πn sen nx)
π2(1 + n2)
),
para cada x distinto de un multiplo entero de π.
3. Desarrollar en serie de Fourier la funcion f(x) = | cos x|, para cada
x ∈ R.
Solucion:
f(x) = 2/π +cos 2x+(4/π)∞∑
k=1
(−1)k
1− 4k2cos 4kx, para cada x ∈ R (f es
periodica de periodo π y par).
4. Desarrollar en serie de senos la funcion f(x) = π − x en el intervalo
(0, π). Aplicar la condicion de Dini para estudiar la convergencia.
Solucion:
f(x) =∞∑
n=1
2
nsen nx, para 0 < x ≤ π.
5. Desarrollar en serie de cosenos la funcion
f(x) =
{x si 0 < x ≤ 1
2− x si 1 < x < 2,
Solucion:
f(x) = (1/2)− (4/π2)∞∑
n=0
cos(2n + 1)πx
(2n + 1)2, para todo x ∈ (0, 2) .
195