COEFICIENTES MULTINÓMIALES Y DESARROLLO DE UN POLINOMIO

ELEVADO A LA m : TEOREMA MULTINOMIAL Y OTROS TÓPICOS

COMPLEMENTARIOS.

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 = ∑ (

𝒎𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒓

)𝒏𝟏+𝒏𝟐+⋯+𝒏𝒓=𝒎 𝒙𝟏𝒏𝟏𝒙𝟐

𝒏𝟐 …𝒙𝒓𝒏𝒓

NUEVA VERSION DEL TEOREMA MULTINOMIAL

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 = ∑

(

𝒎𝒏𝒊𝒋⋮𝒑𝒒)

𝒙𝟏𝒎−𝒏𝒙𝟐

𝒏−𝒊 …𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊

⋮𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑

𝒙𝒓−𝟏𝒑−𝒒

𝒙𝒓𝒒

CONSTRUCCION DE TABLAS I Y II DE COEFICIENTES

CASO: 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6

COEFICIENTE N°𝑇𝑉

1 x 4 = 4

6 x 12 = 72

15 x 12 = 180

20 x 6 = 120

30 x 12 = 360

60 x 24 = 1440

90 x 4 = 360

120 x 4 = 480

180 x 6 = 1080

∑𝑁°𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑒𝑓 = 84 ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) =4096 = 46

GEOMETRIA DEL TETRAEDRO SUMA

COEFICIENTES MULTINÓMIALES Y DESARROLLO DE UN POLINOMIO

ELEVADO A LA m : TEOREMA MULTINOMIAL Y OTROS TÓPICOS

COMPLEMENTARIOS.

1.) COEFICIENTES MULTINOMIALES Y TEOREMA MULTINOMIAL

La expresión combinatoria (𝑚

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟), se denomina normalmente en lenguaje matemático

Coeficiente Multinomial, y puede ser definida de la manera siguiente: Dados un número natural m,

y un conjunto de números enteros 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟, (con r ≥ 2), tales que su suma sea igual a m, y sean

𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟} e 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟}, dos conjuntos de números, de m y r elementos

respectivamente. Se denominan coeficientes multinomiales al número de funciones 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌,

tal que |𝑓−1(𝑦𝑖)| = 𝑛𝑖, para 𝑖 = 1,2, … , 𝑟.

Proposición : Si se cumplen las condiciones establecidas en el párrafo anterior, es decir 𝑛𝑖 ≥ 0

,para 𝑖 = 1,2,… , 𝑟 y 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯+ 𝑛𝑟 = 𝑚

Será: (𝑚

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟) =

𝑚!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑟!

Demostración: Sean los conjuntos de números 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑟} , e 𝑌 = {𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑟} de m y

de r elementos respectivamente. Para poder definir una función 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌, tal que |𝑓−1(𝑦𝑖)| =

𝑛𝑖, para 𝑖 = 1,2,… , 𝑟 , primero seleccionamos los 𝑛1 elementos cuya imagen, sea 𝑦1. Ello se

puede realizar de (𝑚𝑛1

) maneras, entonces de los 𝑚 − 𝑛1 elementos restantes de X, seleccionamos

todos aquellos cuya imagen sea 𝑦2. Ello se podrá hacer de (𝑚 − 𝑛1

𝑛2) maneras, entonces de los 𝑚 −

𝑛1 − 𝑛2 elementos restantes de X, seleccionamos todos aquellos cuya imagen sea 𝑦3. Ello se podrá

realizar de (𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2

𝑛3) maneras, y así sucesivamente. Entonces el número total de maneras de

realizar estas escogencias de los elementos restantes de X, hasta la imagen 𝑦𝑟 , estará dado por el

producto de cada uno de los de los combinatorios anteriores es decir:

(𝑚

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟) = (

𝑚𝑛1

) (𝑚 − 𝑛1

𝑛2) (

𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2

𝑛3)… (

𝑚 − 𝑛1 − ⋯− 𝑛𝑟−1

𝑛𝑟)

=𝑚!

(𝑚 − 𝑛1)! 𝑛1!

(𝑚 − 𝑛1)!

(𝑚 − 𝑛1 − 𝑛2)! 𝑛2!…

(𝑚 − 𝑛1 − ⋯− 𝑛𝑟−1)!

(𝑚 − 𝑛1 − ⋯− 𝑛𝑟)! 𝑛𝑟!=

𝑚!

𝑛1! 𝑛2! …𝑛𝑟!

En caso de no cumplirse las condiciones iniciales, entonces: (𝑚

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑟) = 0

La definición de estos coeficientes, permite que la expresión conocida para el desarrollo de un

binomio elevado a la potencia m, pueda ser generalizada para obtener una expresión aplicable al

desarrollo de un polinomio de r elementos o monomios, elevado a la potencia m. Ello se conoce

como Teorema Multinomial :

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 = ∑ (

𝒎𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒓

)

𝒏𝟏+𝒏𝟐+⋯+𝒏𝒓=𝒎

𝒙𝟏𝒏𝟏𝒙𝟐

𝒏𝟐 …𝒙𝒓𝒏𝒓

Como el objetivo en este trabajo no es volcar en el papel, demostraciones ampliamente

conocidas, damos por sentado la validez de este teorema general y procederemos a plantear

algunas observaciones con las cuales pretendemos dar una versión del mismo, donde queden

determinados de manera explícita los valores que deben tomar cada una de las 𝑛𝑖 involucradas en

el teorema multinomial. Para ello haremos uso de las expresiones ya obtenidas y definidas en

nuestro trabajo intitulado “Coeficientes multinomiales y generalización del triángulo de Pascal”.

Comencemos con una definición equivalente del combinatorio denominado “Coeficiente

Multinomial”:

Definición: Dados un sucesión de números enteros (que puede incluir al cero),{𝑎𝑖} = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛−1𝑎𝑛} , donde 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛−1 ≤ 𝑎𝑛 , podemos definir un número combinatorio denominado multinomial de dicho conjunto, como:

(

𝑎𝑛𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2...𝑎3

𝑎2𝑎1 )

=𝑎𝑛!

(𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1)! (𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2)!… (𝑎3 − 𝑎2)! (𝑎2 − 𝑎1)! 𝑎1!

Un multinomial de n elementos, se obtiene como el producto de (𝑛 − 1 ) coeficientes Binomiales

sucesivos, así:

(

𝑎𝑛𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2...𝑎3

𝑎2𝑎1 )

= (𝑎𝑛

𝑎𝑛−1) (

𝑎𝑛−1

𝑎𝑛−2) … (

𝑎3

𝑎2) (

𝑎2

𝑎1) =

𝑎𝑛!

(𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1)! 𝑎𝑛−1!

𝑎𝑛−1!

(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2)! 𝑎𝑛−2!…

𝑎3!

(𝑎3 − 𝑎2)! 𝑎2!

𝑎2!

(𝑎2 − 𝑎1)! 𝑎1!

Este concepto nos ayuda a construir “triángulos de coeficientes” trinomiales, Tetranomiales,

pentanomiales, etc., y en general, para cualquier polinomio elevado a la potencia m, como

análogos, o generalizaciones del “triángulo de Pascal”

Así, un trinomial, será el producto de dos Binomiales, por ej. :

(321) = (

32) (

21) = 3𝑥2 = 6

Un tetranomial, será el producto de tres Binomiales, por ej. :

(

5321

) = (53) (

32) (

21) = 10𝑥3𝑥2 = 60

Pero también un tetranomial, puede ser visto como el producto de un binomial por un trinomial, así con los valores del ejemplo anterior, tendremos:

(

5321

) = (53) (

32) (

21) = (

532) (

21) = (

53)(

321) = 60

Análogamente, el producto de cuatro Binomiales, puede considerarse como un pentanomial, pero también como el producto de un binomial por un tetranomial, o como el producto de dos trinomiales, pej. :

(

54310)

= (54) (

43) (

31) (

10) = (

54)(

4310

) = (543)(

310)= 60

Estas interpretaciones pueden extenderse a cualquier orden, siempre que los elementos del producto, estén organizados de manera que cumplan las condiciones establecidas al inicio.

Caso de los Coeficientes Binomiales:

Si comparamos la expresión ampliamente conocida, utilizada para obtener el desarrollo de un

binomio elevado a la potencia m:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒎 = ∑(

𝒎𝒊)

𝒎

𝒊=𝟎

𝒙𝟏𝒎−𝒊𝒙𝟐

𝒊

Con la resultante de aplicar el teorema multinomial para el caso de 𝑟 = 2 :

(𝑥1 + 𝑥2)𝑚 = ∑ (

𝑚𝑛1, 𝑛2

)

𝑛1+𝑛2=𝑚

𝑥1𝑛1𝑥2

𝑛2

Podemos, en esta última expresión hacer las siguientes equivalencias : 𝑛1 = 𝑚 − 𝑖, y 𝑛2 = 𝑖 , de

manera que se cumpla la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑚 y que adicionalmente permita

establecer la identidad: (𝑚

𝑚 − 𝑖, 𝑖) =𝑚!

(𝑚−𝑖)!𝑖!= (

𝑚𝑖), lo cual a su vez, hace coincidir la expresión

dada por el teorema multinomial, con la expresión Newtoniana, que resulta una forma mucho

más explícita del teorema para este caso.

Así cuando 𝑖 = 0, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 𝑚, 𝑦 𝑛2 = 0

Cuando 𝑖 = 1, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 𝑚 − 1, 𝑦 𝑛2 = 1

Y así sucesivamente, hasta que para 𝑖 = 𝑚, 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ∶ 𝑛1 = 0, 𝑦 𝑛2 = 𝑚

Caso de los Coeficientes Trinomiales:

La expresión del teorema multinomial para el caso de 𝑟 = 3, será:

(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)𝑚 = ∑ (

𝑚𝑛1, 𝑛2, 𝑛3

)𝑥1𝑛1𝑥2

𝑛2𝑥3𝑛3

𝑛1+𝑛2+𝑛3=𝑚

Donde (𝑚

𝑛1, 𝑛2, 𝑛3) =

𝑚!

𝑛1!𝑛2!𝑛3!

Como hemos establecido anteriormente en la referencia ya citada, la distribución de los

coeficientes trinomiales en los planos ∆𝑇 de la pirámide de Pascal se obtiene mediante la

expresión: 𝐹𝑛𝑚−𝑛 = {(

𝑚𝑛𝑖)}, con 𝑖 = 0,1,2,… , 𝑛 ,donde m representa la potencia del trinomio, y

𝑛 = 0,1,… ,𝑚 , la fila de ∆𝑇 considerada.

Según la segunda definición dada para los coeficientes multinomiales, dicho coeficiente trinomial,

equivale a la igualdad: (𝑚𝑛𝑖) = (

𝑚𝑛

) (𝑛𝑖) =

𝑚!

(𝑚−𝑛)!𝑛!

𝑛!

(𝑛−𝑖)!𝑖!=

𝑚!

(𝑚−𝑛)!(𝑛−𝑖)!𝑖!

En este caso las equivalencias para hacer compatibles ambas definiciones serán:

𝑛1 = 𝑚 − 𝑛

𝑛2 = 𝑛 − 𝑖

𝑛3 = 𝑖

De manera que se cumpla la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 𝑚, y con ello quede

establecida la identidad:

(𝑚

𝑚 − 𝑛, 𝑛 − 𝑖, 𝑖) = (𝑚𝑛𝑖) =

𝑚!

(𝑚 − 𝑛)! (𝑛 − 𝑖)! 𝑖!

Así si 𝑛 = 0 , 𝑒 𝑖 = 0 sí 𝑛 = 1, 𝑖 = 0 𝑖 = 1

Serán: 𝑛1 = 𝑚 serán: 𝑛1 = 𝑚 − 1 𝑛1 = 𝑚 − 1

𝑛2 = 0 𝑛2 = 1 𝑛2 = 0

𝑛3 = 0 𝑛3 = 0 𝑛3 = 1

Sí 𝑛 = 2

Para 𝑖 = 0 𝑖 = 1 𝑖 = 2

Serán: 𝑛1 = 𝑚 − 2 𝑛1 = 𝑚 − 2 𝑛1 = 𝑚 − 2

𝑛2 = 2 𝑛2 = 1 𝑛2 = 0

𝑛3 = 0 𝑛3 = 1 𝑛3 = 2

Y así sucesivamente hasta 𝑛 = 𝑚

Entonces una expresión análoga a la del caso del binomio y mucho más explícita para el teorema

multinomial en el caso de los coeficientes trinomiales, será:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑)𝒎 = ∑ (

𝒎𝒏𝒊)𝒙𝟏

𝒎−𝒏𝒙𝟐𝒏−𝒊𝒙𝟑

𝒊

𝒏=𝟎,𝟏,…,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏

Ejemplo de aplicación:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑)𝟓 = ∑ (

𝟓𝒏𝒊)𝒙𝟏

𝟓−𝒏𝒙𝟐𝒏−𝒊𝒙𝟑

𝒊

𝒏=𝟎,𝟏,…,𝟓𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏

= (500)𝑥1

5𝑥20𝑥3

0 + (510) 𝑥1

4𝑥21𝑥3

0 + (511)𝑥1

4𝑥20𝑥3

1 + (520) 𝑥1

3𝑥22𝑥3

0 + (521)𝑥1

3𝑥21𝑥3

1

+ (522) 𝑥1

3𝑥20𝑥3

2 + (530)𝑥1

2𝑥23𝑥2

0 + (531) 𝑥1

2𝑥22𝑥3

1 + (532)𝑥1

2𝑥21𝑥3

2

+ (533) 𝑥1

2𝑥20𝑥3

3 + (540)𝑥1

1𝑥24𝑥3

0 + (541) 𝑥1

1𝑥23𝑥3

1 + (542)𝑥1

1𝑥22𝑥3

2

+ (543) 𝑥1

1𝑥21𝑥3

3 + (544)𝑥1

1𝑥20𝑥3

4 + (550) 𝑥1

0𝑥25𝑥3

0 + (551)𝑥1

0𝑥24𝑥3

1

+ (552) 𝑥1

0𝑥23𝑥3

2 + (553)𝑥1

0𝑥22𝑥3

3 + (554) 𝑥1

0𝑥21𝑥3

4 + (555)𝑥1

0𝑥20𝑥3

5

= 𝑥15 + 5𝑥1

4𝑥2 + 5𝑥14𝑥3 + 10𝑥1

3𝑥22 + 20𝑥1

3𝑥2𝑥3 + 10𝑥13𝑥3

2 + 10𝑥12𝑥2

3 + 30𝑥12𝑥2

2𝑥3

+ 30𝑥12𝑥2𝑥3

2 + 10𝑥12𝑥3

3 + 5𝑥1𝑥24 + 20𝑥1𝑥2

3𝑥3 + 30𝑥1𝑥22𝑥3

2 + 20𝑥1𝑥2𝑥33

+ 5𝑥1𝑥34 + 𝑥2

5 + 5𝑥24𝑥3 + 10𝑥2

3𝑥32 + 10𝑥2

2𝑥33 + 5𝑥2𝑥3

4 + 𝑥35

Coef N°veces

1 3

5 6

10 6

20 3

30 3

Como podemos constatar, estos son los coeficientes de la fila 5 del triángulo de coeficientes

trinomiales, así mismo, son los coeficientes iniciales de la columna 5 de la fila 5 del triangulo de

coeficientes Tetranomiales,y a su vez, son los coeficientes iniciales de la subcolumna 5 de la

columna 5 de la fila 5 del triángulo de coeficientes pentanomiales .(ver “Coeficientes

multinomiales y generalización del triángulo de Pascal”)

Caso de los Coeficientes Tetranomiales:

Es evidente que este procedimiento, puede extenderse para r=4 y el caso de los coeficientes

Tetranomiales del Tetraedro Suma o Prisma tetraédrico que los contiene. De manera que en la

expresión del teorema multinomial para r=4

(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4)𝑚 = ∑ (

𝑚𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑛4

) 𝑥1𝑛1𝑥2

𝑛2𝑥3𝑛3𝑥4

𝑛4

𝑛1+𝑛2+𝑛3+𝑛4=𝑚

Mediante la sustitución 𝑛1 = 𝑚 − 𝑛

𝑛2 = 𝑛 − 𝑖

𝑛3 = 𝑖 − 𝑗

𝑛4 = 𝑗 ,

Se cumple con la condición fundamental 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 = 𝑚 , y se puede establecer la

identidad:(𝑚

𝑚 − 𝑛, 𝑛 − 𝑖, 𝑖 − 𝑗, 𝑗) = (

𝑚𝑛𝑖𝑗

) =𝑚!

(𝑚−𝑛)!(𝑛−𝑖)!(𝑖−𝑗)!𝑗! lo que a su vez, nos permite

obtener una expresión expandida, análoga a las anteriores y mucho más explícita para el caso de

los coeficientes tetranomiales

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝒎 = ∑ (

𝒎𝒏𝒊𝒋

)𝒏=𝟎,𝟏,…,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊

𝒙𝟏𝒎−𝒏𝒙𝟐

𝒏−𝒊𝒙𝟑𝒊−𝒋

𝒙𝟒𝒋

Es evidente que de igual forma podemos extender estos resultados para cualquier valor

de r y m enteros positivos.

Así para el caso general tendremos:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 = ∑

(

𝒎𝒏𝒊𝒋⋮𝒑𝒒)

𝒙𝟏𝒎−𝒏𝒙𝟐

𝒏−𝒊 …𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊

⋮𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑

𝒙𝒓−𝟏𝒑−𝒒

𝒙𝒓𝒒

Donde el coeficiente multinomial consta de r elementos

2.) CONSTRUCCION DE LAS TABLAS I Y II DE COEFICIENTES POSIBLES Y SU NUMERO DE VECES EN

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎

Estas tablas se presentan en el trabajo intitulado “Distribución tetraédrica de Coeficientes

Tetranomiales”, y recogen tanto los coeficientes posibles en el desarrollo de un polinomio

tal como (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎, en función de los valores de m y r, así como el número

de veces que un determinado coeficiente se repite en cada caso específico.

Recordemos que un coeficiente multinomial, se puede definir en términos combinatorios,

como una permutación con repetición . Por ello creemos conveniente comenzar este

punto con un pequeño repaso conceptual:

Permutaciones con repetición ( 𝑷𝒓𝒎 )

Se denominan así a las agrupaciones que podemos formar con un conjunto de m elementos,

tomados m a m (repetidos o no en cada agrupación), que se diferencian entre sí por el orden o por

tener diferente, al menos, uno de sus elementos constituyentes.

Por la definición anterior, es evidente que las permutaciones con repetición pueden considerarse

como un caso particular ( y especial) de las variaciones con repetición, en el cual n= m, y por lo

tanto, su expresión matemática, si utilizamos 𝑷𝒓𝒎 , en lugar de 𝑽𝒓𝒎,𝒎, vendrá dada por:

𝑷𝒓𝒎 = 𝒎𝒎 ,( no es necesario escribir 𝑷𝒓𝒎 ,𝒎), y existirá una sola posibilidad para cada conjunto

dado de elementos diferentes.

Sea por ej. El conjunto {𝑎, 𝑏} de dos elementos diferentes, entonces, las permutaciones con

repetición que se pueden formar con un conjunto tal serán:

[[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎][𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏]

], y 𝑷𝒓𝟐 = 𝟐𝟐 = 𝟒

Si llamamos 𝑃(𝑎), a las permutaciones con repetición de dicho conjunto, que comienzan con 𝑎,

entonces será 𝑃(𝑎) = 2, y si llamamos 𝑃(𝑏), las permutaciones que comienzan con b, se tendrá:

𝑃(𝑏) = 2, entonces: 𝑷𝒓𝟐 = 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) = 2.2 = 22 = 4

Consideremos ahora el conjunto {𝑎, 𝑏, 𝑐}, donde m= 3 .Las permutaciones con repetición que se

pueden formar en este caso serán:

[ [𝑎, 𝑎, 𝑎] [𝑎, 𝑏, 𝑎] [𝑎, 𝑐, 𝑎]

[𝑎, 𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏, 𝑏] [𝑎, 𝑐, 𝑏]

[𝑎, 𝑎, 𝑐]

[𝑏, 𝑎, 𝑎]

[𝑏, 𝑎, 𝑏]

[𝑏, 𝑎, 𝑐]

[𝑐, 𝑎, 𝑎]

[𝑐, 𝑎, 𝑏]

[𝑐, 𝑎, 𝑐]

[𝑎, 𝑏, 𝑐]

[𝑏. 𝑏. 𝑎]

[𝑏, 𝑏, 𝑏]

[𝑏, 𝑏, 𝑐]

[𝑐, 𝑏, 𝑎]

[𝑐, 𝑏, 𝑏]

[𝑐, 𝑏, 𝑐]

[𝑎, 𝑐, 𝑐]

[𝑏, 𝑐, 𝑎]

[𝑏, 𝑐, 𝑏]

[𝑏, 𝑐, 𝑐]

[𝑐, 𝑐, 𝑎]

[𝑐, 𝑐, 𝑏]

[𝑐, 𝑐, 𝑐]]

Simbólicamente, podemos escribir 𝑃(𝑎) = 9, 𝑃(𝑏) = 9, y 𝑃(𝑐) = 9, entonces:

𝑷𝒓𝟑 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) = 𝟑. 𝟗 = 𝟑𝟑 = 𝟐𝟕

Análogamente, también podríamos escribir:

𝑃(𝑎,𝑎) = 3 𝑃(𝑎,𝑏) = 3 𝑃(𝑎,𝑐) = 3

𝑃(𝑏,𝑎) = 3 𝑃(𝑏,𝑏) = 3 𝑃(𝑏,𝑐) = 3

𝑃(𝑐,𝑎) = 3 𝑃(𝑐,𝑏) = 3 𝑃(𝑐,𝑐) = 3

𝑷𝒓𝟑=𝑃(𝑎,𝑎) + 𝑃(𝑏,𝑎) + 𝑃(𝑐,𝑎) + 𝑃(𝑎,𝑏) + 𝑃(𝑏,𝑏) + 𝑃(𝑐,𝑏) + 𝑃(𝑎,𝑐) + 𝑃(𝑏,𝑐) + 𝑃(𝑐,𝑐) = 9.3 = 33 = 27

Notamos que las 𝑷(𝒊,𝒋) = 31, mientras que las 𝑷(𝒊) = 32. Y 𝑷𝒓𝟑 = 𝑷(𝒊,𝒋). 𝑷(𝒊)

Apliquemos esta propiedad* para obtener 𝑷𝒓𝟒, para el conjunto de cuatro elementos diferentes

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Entonces utilizando una nomenclatura simbólica análoga a la anterior, tendríamos:

[ 𝑃(𝑎,𝑎,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑎,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑎) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑏,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑏,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑏) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑐,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑐,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑐) = 42 = 16

[ 𝑃(𝑎,𝑑,𝑎) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑏) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑐) = 4

𝑃(𝑎,𝑑,𝑑) = 4]

y 𝑃(𝑎,𝑑) = 42 = 16

De manera que:

[ 𝑃(𝑎,𝑎,) = 16

𝑃(𝑎,𝑏) = 16

𝑃(𝑎,𝑐) = 16

𝑃(𝑎,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑎) = 4.16 = 43 = 64

De forma similar, resultarían:

[ 𝑃(𝑏,𝑎,) = 16

𝑃(𝑏,𝑏) = 16

𝑃(𝑏,𝑐) = 16

𝑃(𝑏,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑏) = 4.16 = 43 = 64

[ 𝑃(𝑐,𝑎,) = 16

𝑃(𝑐,𝑏) = 16

𝑃(𝑐,𝑐) = 16

𝑃(𝑐,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑐) = 4.16 = 43 = 64

[ 𝑃(𝑑,𝑎,) = 16

𝑃(𝑑,𝑏) = 16

𝑃(𝑑,𝑐) = 16

𝑃(𝑑,𝑑) = 16]

y 𝑃(𝑑) = 4.16 = 43 = 64, y resulta: 𝑷𝒓𝟒 = 𝟒. 𝟒𝟑 = 𝟒𝟒 = 𝟐𝟓𝟔

* (En este caso será: 𝑷𝒓𝟒 = 𝑷(𝒊,𝒋,𝒌). 𝑷(𝒊) )

O también: 𝑷𝒓𝟒 = 𝑷(𝒂) + 𝑷(𝒃) + 𝑷(𝒄) + 𝑷(𝒅) = 𝟒. 𝟒𝟑 = 𝟒𝟒 = 𝟐𝟓𝟔

Consideremos ahora el caso de conjuntos con elementos repetidos, y definamos de nuevo el

concepto de permutaciones con repetición como el número de permutaciones que se pueden formar

con un conjunto de m elementos donde solo n < m, elementos son diferentes, así por ej. un primer

elemento se repite 𝑛1 veces, un segundo elemento se repite 𝑛2 veces, un tercero se repite 𝑛3 veces,

etc. , de manera que se cumple 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯+ 𝑛𝑚 = 𝑚, y todas las agrupaciones (de m

elementos c/u) se diferencian solo por el orden de sus elementos.

Para encontrar una expresión matemática para las permutaciones con repetición para estas

condiciones, comencemos por analizar algunos casos.

Sea por ej. el conjunto de m=5 elementos dados por {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde 𝑎, se repite 2 veces (𝑛1 =

2) y b, se repite 3 veces (𝑛2 = 3). Para hacer analogía con las permutaciones normales o

corrientes, supongamos que todos los elementos del conjunto, pueden considerarse diferentes, lo

cual denotaremos añadiéndole un subíndice numérico a los elementos que se repiten, que permita

identificarlos como tales en el proceso deductivo posterior. Así el conjunto original puede

rescribirse como {𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2}, entonces las permutaciones simples que pueden hacerse con tal

conjunto, serían: 𝑃5=5! = 120 agrupaciones “diferentes” de 5 elementos c/u.

Analicemos ahora cuantos grupos pueden derivarse a partir de una permutación dada. Para facilitar

dicho análisis, escogeremos la misma agrupación inicial (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2) y permutaremos las letras,

pero sin mezclar los grupos entre sí, de manera que conserven en cuanto al orden, su identidad con

el grupo original.

Si partimos de la permutación (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2), y permutamos los tres elementos b, dejando fijos los

elementos 𝑎, obtenemos 3!= 6 agrupaciones posibles (incluyendo la original), a saber:

[ 𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2

𝑎, 𝑎1,𝑏, 𝑏2, 𝑏1

𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2

𝑎, 𝑎1, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1

𝑎, 𝑎1, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]

Si permutamos ahora los elementos 𝑎, se obtendrán 6 grupos adicionales es decir

[ 𝑎1, 𝑎, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2

𝑎1, 𝑎,𝑏, 𝑏2, 𝑏1

𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏, 𝑏2

𝑎1, 𝑎, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏, 𝑏1

𝑎1, 𝑎, 𝑏2, 𝑏1, 𝑏]

Obtenemos 2!.3!=2.6=12 grupos en total

Entonces, a partir de una posible permutación, se han obtenido 12 nuevas, que en realidad son una

misma, la (𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑏2). Por ello razonando a la inversa, esto significaría que las 120

permutaciones hipotéticas que se derivan de la original considerada como si todos sus elementos

fueran diferentes, se reducen en definitiva a 120/12=10 es decir :( 5!

2!3! )

Entonces el número de permutaciones con repetición que se pueden formar con un conjunto de m=5

elementos, como {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏}, donde un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces y un segundo

elemento b, se repite tres veces, se puede obtener mediante la expresión:

𝑃𝑟5,2,3 =5!

2!3!= 10, donde 2+3=5 , que son: [

𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎, 𝑏𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑎𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑎, 𝑎

]

Analicemos un segundo caso. Por ej. sea el conjunto {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, 𝑐} de m=7 elementos, donde

solo n=3 elementos son diferentes. Un primer elemento 𝑎, se repite 2 veces, un segundo b, se repite

también 2 veces y un tercer elemento c, se repite 3 veces. Así 2+2+3=7.

Denotaremos dicho conjunto como {𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2}, de manera que hipotéticamente como en

el ejemplo anterior, podamos considerar todos sus elementos como diferentes entre sí. Si este fuera

el caso, el número de permutaciones posibles con 7 elementos sería: 𝑃7 = 7! = 5040.

Análogamente al caso anterior, determinemos el número de permutaciones que se pueden generar a

partir de una permutación dada, y por facilidad en el análisis, escojamos aquella que conserva la

identidad con el grupo inicial 𝑎, 𝑎1, 𝑏, 𝑏1, 𝑐, 𝑐1, 𝑐2.

Si permutamos solo los tres términos c, se originaran de esta 3!=6 permutaciones adicionales

( incluyendo la original) .Si ahora permutamos los dos elementos b, cada una de estas 6 generan dos

adicionales, es decir 2!3!= 2.6=12 grupos en total.

Si por último, permutamos los dos elementos 𝑎, en estas 12 agrupaciones, cada una de ellas genera

2 adicionales mas, para un total de 2! 2! 3!= 2.2.6 = 24 permutaciones nuevas, que en realidad son

una misma. Por ello las hipotéticas 5040 se reducen a 5040/24 = 210, o sean 7!/2! 2! 3! =210

permutaciones reales. Podemos entonces expresar este resultado como:

𝑃𝑟7,2,2,3 =7!

2!2!3!= 210, donde 2+2+3 = 7

Estos resultados nos permiten generalizar para obtener la expresión:

𝑷𝒓𝒎,𝒏𝟏,𝒏𝟐,𝒏𝟑,…,𝒏𝒓=

𝒎!

𝒏𝟏!𝒏𝟐!𝒏𝟑!…𝒏𝒓! , donde 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + 𝒏𝟑 + ⋯+ 𝒏𝒓 = 𝒎

Supongamos ahora que queremos determinar los coeficientes que aparecen en el desarrollo del

siguiente caso de un polinomio elevado a una potencia entera positiva ( 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6)

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒)𝟔

Deberemos seguir los siguientes pasos:

1. Determinar los grupos de 4 (r=4) números enteros que contengan al menos una cifra

distinta del cero, y que sumen 6 (m=6)

Un solo caso : 0,0,0,6

2. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos dos cifras distintas

de cero, y que sumen 6 :

Tres casos : 0,0,1,5 0,0,2,4 0,0,3,3

3. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos tres cifras distintas

de cero, y que sumen 6

Tres casos: 0,1,1,4 0,1,2,3 0,2,2,2

4. Determinar los grupos de 4 números enteros que contengan al menos cuatro cifras

distintas de cero, y que sumen 6

Dos casos: 1,1,1,3 1,1,2,2

Los distintos coeficientes del caso considerado se obtendrán al calcular cada una de las

permutaciones con repetición de m=6 , para cada uno de estos grupos de cifras (los 𝑛𝑖 posibles)

Luego los coeficientes del caso serán:

𝑃𝑟, 6,0,0,0,6 =6!

0! 0! 0! 6!= 1

𝑃𝑟, 6,0,0,1,5 =6!

0! 0! 1! 5!= 6

𝑃𝑟, 6,0,0,2,4 =6!

0! 0! 2! 4!= 15

𝑃𝑟, 6,0,0,3,3 =6!

0! 0! 3! 3!= 20

𝑃𝑟, 6,0,1,1,4 =6!

0! 1! 1! 4!= 30

𝑃𝑟, 6,0,1,2,3 =6!

0! 1! 2! 3!= 60

𝑃𝑟, 6,0,2,2,2 =6!

0! 2! 2! 2!= 90

𝑃𝑟, 6,1,1,13 =6!

1! 1! 1! 3!= 120

𝑃𝑟, 6,1,1,2,2 =6!

1! 1! 2! 2!= 180

Para calcular el número de veces en que aparece cada uno de estos coeficientes en el

desarrollo del polinomio considerado, deberemos proceder de la siguiente manera:

Para cualquier caso podemos notar que la suma del número de veces en que aparecen

cada una de las cifras distintas de 6 que conforman el término Pr, repetidas o no, suman siempre

4, así por ejemplo para Pr,6,1,1,1,3 la cifra 1 aparece 3 veces y la cifra 3 una sola vez, y 3+1=4= 𝑟

Entonces, para calcular el número de veces en que aparece un coeficiente determinado,

para m=6 , calculamos las permutaciones con repetición de 4 con respecto a los valores en que

aparece cada cifra distinta de 6 en cada coeficiente ya previamente obtenido, así resultan los

siguientes valores:

Para el coeficiente 1 , serán: 𝑃𝑟, 4,3,1 =4!

3!1!= 4 veces

Para el coeficiente 6, serán: 𝑃𝑟, 4,2,1,1 =4!

2!1!1!= 12 veces

Para el coeficiente 15, serán: 𝑃𝑟, 4,2,1,1 =4!

2!1!1!= 12 veces

Para el coeficiente 20, serán: 𝑃𝑟, 4,2! 2! =4!

2!2!= 6 veces

Para el coeficiente 30, serán: 𝑃𝑟, 4,1,2,1 =4!

1!2!1!= 12 veces

Para el coeficiente 60, serán: 𝑃𝑟, 4,1,1,1,1 =4!

1!1!1!1!= 24 veces

Para el coeficiente 90, serán: 𝑃𝑟, 4,1,3 =4!

1!3!= 4 veces

Para el coeficiente 120, serán: 𝑃𝑟, 4,3,1 =4!

3!1!= 4 veces

Para el coeficiente 180, serán: 𝑃𝑟, 4,2,2 =4!

2!2!= 6 veces

Los valores así obtenidos se recopilaron para su presentación en las tablas I y II, ya

referidas, para valores de m desde 1, hasta 9 , y para valores de r, desde 1, hasta 7. También

podemos establecer el número de veces en que aparece un coeficiente determinado para un m

dado , en base a la sucesión correspondiente de veces que aparece en casos anteriores de r

(conociendo la razón incremental de la sucesión).

Regresando al teorema multinomial:

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎 = ∑ (

𝒎𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒓

)

𝒏𝟏+𝒏𝟐+⋯+𝒏𝒓=𝒎

𝒙𝟏𝒏𝟏𝒙𝟐

𝒏𝟐 …𝒙𝒓𝒏𝒓

Si hacemos 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑟 = 1 ,resultará la expresión :

𝑟𝑚 = ∑ (𝒎

𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒓)𝒏𝟏+𝒏𝟐+⋯+𝒏𝒓=𝒎 , o su equivalente:

𝑟𝑚 = ∑

(

𝒎𝒏𝒊𝒋⋮𝒑𝒒)

𝒏=𝟎,𝟏,..,𝒎𝒊=𝟎,𝟏,…,𝒏𝒋=𝟎,𝟏,…,𝒊

⋮𝒑=𝟎,𝟏,…,𝒐𝒒=𝟎,𝟏,…,𝒑

Que nos dice, que la suma total de los coeficientes del desarrollo del polinomio

(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯+ 𝒙𝒓)𝒎, es igual a 𝒓𝒎 , pero como cada coeficiente se repite un cierto número

de veces, esta relación debe interpretarse como ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) = 𝑟𝑚, es decir que si sumamos

los productos de cada coeficiente del caso, multiplicado por el número total de veces (𝑁°𝑡𝑣) en

que aparece en dicho desarrollo, el resultado es igual a 𝑟𝑚.

Comprobemos esto para el caso del ejemplo anterior 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6

CASO: 𝑟 = 4, 𝑦 𝑚 = 6

COEFICIENTE N°𝑇𝑉

1 x 4 = 4

6 x 12 = 72

15 x 12 = 180

20 x 6 = 120

30 x 12 = 360

60 x 24 = 1440

90 x 4 = 360

120 x 4 = 480

180 x 6 = 1080 ∑𝑁°𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑒𝑓 = 84 ∑(𝐶𝑜𝑒𝑓𝑥𝑁°𝑡𝑣) =4096 = 46

Ahora regresemos a las sucesiones paralelas de números combinatorios del triángulo de Pascal:

Como también podemos observar en las tablas I y II, de referencia, el número total de

coeficientes para un determinado caso de 𝑟, 𝑦 𝑚, se corresponde con el valor del elemento de

lugar 𝒓, en la sucesión paralela 𝑺𝒎+𝟏

Así, si para el caso general, sería: 𝑆𝑚+1 = {(𝑖𝑚

)}, con 𝑖 = 𝑚,… ,𝑚 + 𝑛 − 1,

Para cada 𝑚 = 1,2,… , 𝑛

En nuestro caso con 𝑚 = 6 𝑦 𝑛 = 𝑟 = 4, tendríamos: 𝑖 = 6,7,8,9

Y 𝑆7,4 = {(66) (

76) (

86) (

96)} = {1,7,28,84} , y el número total de coeficientes para 𝑚 = 6,

𝑦 𝑟 = 4, es 84, el cuarto término de esta sucesión , como ya habíamos indicado en la tabla

anterior.

El mismo resultado se obtiene, si consideramos la suma de los primeros 4 términos de la sucesión

paralela 𝑆6 , es decir 𝑆6,4+

3.) ALGO DE GEOMETRIA

En este último tópico, intentaremos hacer algunas precisiones sobre la geometría involucrada en

las figuras y cuerpos geométricos en los cuales se distribuyen los coeficientes de un polinomio de r

monomios, elevado a una potencia m. Nos referimos a triángulos isósceles-rectángulos, triángulos

equiláteros y pirámides o tetraedros regulares.

Comencemos con un ejemplo para el caso del tetraedro suma o prisma tetraédrico que contiene

la distribución de coeficientes Tetranomiales, como ya hemos establecido en trabajos anteriores

(ver bibliografía).

Figura n° 𝟏:

Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma (T. Suma) o prisma tetraédrico

correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para 𝒎 = 𝟔 .

La base de este tetraedro exterior o tetraedro suma, constituido por un tetraedro principal (T.P),

un tetraedro secundario (T.S), y una singularidad, si la hubiere, coincide con el ∆𝑻 para 𝒎 = 𝟔,

el cual a su vez, constituye la base del tetraedro interior, o pirámide de Pascal del mismo caso,

que tiene como vértice, el origen de coordenadas, y como caras, los triángulos de Pascal (∆𝟎),

construidos c/u sobre uno de los tres semiplanos coordenados, que contienen las 6 primeras filas

del mismo ∆𝟎 (𝒎 = 𝟔).

En la figura, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal (T.P.) para

poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario (T.S.)

T.S

T.P

∆𝑇

∆0

Para facilitar y lograr una mejor representación gráfica de la geometría involucrada hemos

utilizado un programa muy apropiado al caso, denominado Geogebra, pero nos hemos limitado al

caso de 𝑚 = 5, por razones de espacio y visualización

Figuras n°s 2-a y 2-b

En estas gráficas se pueden observar los tres triángulos (∆𝐴𝐵𝑂, ∆𝐴𝐶𝑂, 𝑦 ∆𝐵𝐶𝑂) isósceles

rectángulos ∆0, donde se distribuyen los coeficientes Binomiales desde una fila cero (en el origen

O ), hasta una fila cinco , que corresponde a la hipotenusa de c/u de ellos, y que constituyen las

tres caras de la pirámide interior , cuyo vértice se ubica en el origen de coordenadas O , y a su vez

se puede observar la propia base de esta pirámide interior o de Pascal, o triángulo equilátero

(∆𝐴𝐵𝐶), que corresponde al ∆𝑇, donde se distribuyen los coeficientes Trinomiales del mismo caso

(m=5)

Figura 𝑛° 3

En la gráfica 𝑛° 3 se ha representado el tetraedro exterior o tetraedro suma para el caso 𝒎 = 𝟓,

donde se destacan:

La base, triangular equilátera del tetraedro suma, o ∆𝐴𝐵𝐶 , que corresponde al ∆𝑇 para 𝑚 = 5,

los tres triángulos (∆𝐴𝐵𝐻, ∆𝐴𝐶𝐻, 𝑦 ∆𝐵𝐶𝐻) equiláteros, también iguales a ∆𝑇, que constituyen las

caras del tetraedro principal, y su vértice o punto H, situado en la perpendicular al plano ∆𝑇 ,

trazada desde el origen de coordenadas y que intercepta a dicho plano en el punto G, centroide o

baricentro del plano ABC. En el caso de la figura n°1, se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc”

que permite la visualización del tetraedro secundario, alojado en el interior del tetraedro principal.

Como podemos observar, las figuras geométricas involucradas son:

Triángulos isósceles-rectángulos correspondientes a ∆0 donde se distribuyen en líneas paralelas a

su hipotenusa, los coeficientes Binomiales desde 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 6, en el caso de la figura n°1,

y de 𝑚 = 0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚 = 5 , en el caso de las figuras 2-a y 2-b.

Sus características geométricas son:

Longitud de cada lado: 𝑚

Hipotenusa: √2 𝑚

Altura: ℎ∆0=

√2

2 𝑚

Un ángulo recto en O, y dos de 45 grados

Triángulos Equiláteros correspondientes a ∆𝑇, para el caso de m considerado.

Sus características geométricas son:

Longitud de cada lado: √2 𝑚

Altura: ℎ∆𝑇=

√3

√2𝑚 =

√6

2𝑚

Distancia de un vértice al centroide G: 2

3ℎ∆𝑇

=√6

3𝑚

Tres ángulos de 60 grados

Los cuerpos geométricos involucrados son:

Pirámide o tetraedro regular de base triangular equilátera (∆𝑻) y caras triangulos isósceles-

rectángulos (∆𝟎) (Pirámide de Pascal)

Sus características geométricas son:

Aparte de las características ya especificadas de sus figuras geométricas componentes, podemos

resaltar:

Coordenadas del vértice: O(0,0,0)

Coordenadas de los tres puntos que definen el plano ∆𝑇, de base:

A(m,0,0)

B(0,m,0

C(0,0,m)

Altura de la pirámide (Tetraedro de Pascal)

𝑂𝐺 = ℎ𝑇𝑃 =√3

3 𝑚

Esta altura se mide en la dirección del eje de simetría del primer octante del sistema ortogonal

Tetraedro Suma o prisma tetraedro de base y caras triangulares equiláteras correspondientes a

∆𝑻 para el caso de m

Aparte de las características ya especificadas de sus figuras componentes, podemos señalar:

Tetraedro Principal:

Coordenadas de su plano de base: idénticas a las ya establecidas para los puntos A,B, y C, pues

ambos poliedros T.Pascal y T.Principal, tienen como base el plano ∆𝐴𝐵𝐶

Coordenadas del vértice H: 𝐻(𝑚,𝑚,𝑚)

Coordenadas del centroide de su base ∆𝑻: G(m

3,m

3,m

3)

Altura del tetraedro principal y del T. suma:

𝐺𝐻 = ℎ𝑇.𝑆 = 2√3

3 𝑚 (La altura del T.S. , es el doble de la altura del Tetraedro de Pascal)

Esta altura, se mide en la dirección del eje de simetría del primer octante. Ver fig 𝑛° 3

Todas estas figuras y cuerpos geométricos, se ubican en el primer octante del sistema ortogonal.

Tetraedro secundario:

Su vértice 𝐻′ se ubica a una distancia constante 2√3, del vértice H del tetraedro principal, y sus

coordenadas son : 𝐻′(𝑚 − 2,𝑚 − 2,𝑚 − 2)

Las coordenadas del centroide de su base triangular son: 𝐺′(𝑚+2

3,𝑚+2

3,𝑚+2

3),situado sobre la recta

OH ,o eje de simetría del primer octante. Su distancia constante al plano de base del T.Suma es:

𝐺𝐺′ =2√3

3

La altura del tetraedro secundario medida en la dirección del eje de simetría del primer octante es:

ℎ𝑇.𝑆𝑒𝑐 = 𝐺′𝐻′ =2√3(𝑚 − 4)

3

Por último quiero hacer referencia a una Cita encontrada en un artículo de Jim Nugent titulado

“Tetrahedron or Pascal's Pyramid”, conocido matemático estadounidense , del cual presentamos

la siguiente traducción:

IV La Red-Octaedro Tetraedro

Como Bollinger [6],Staib y Staib [4], afirman “...la naturaleza tridimensional de la pirámide de

Pascal hace que sea difícil de usar el cálculo manual de los coeficientes del trinomio”.

Ilustraciones de Staib y Staib [4] y Mueller [3], ambas contienen planos y niveles sin

interconexiones entre los niveles. Dibujar un tetraedro, y mucho mas una red tetraédrica

subdividida, puede ser difícil. Sin modelos físicos reales, puede ser desalentador visualizar como

tetraedros en combinación con octaedros podrían proporcionar el paradigma necesario para la

interconexión de los niveles de la pirámide (véase las figuras 3 y 4). Celosías Octaedro-Tetraedro,

son también más difíciles de representar en imágenes, figuras e ilustraciones en dos dimensiones,

porque la mayoría de nuestras convenciones de dibujo se basa en representar formas cúbicas.

Es evidente, con respecto a las afirmaciones de los matemáticos aquí citados, que sus

conclusiones no son muy acertadas, en vista de mis trabajos sobre “Prisma Combinatório” y

sobre todo los desarrollos contenidos en el intitulado “Distribución Tetraédrica de Coeficientes

Tetranomiales”

Bibliografía:

Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997

Prisma Combinatorio 1997

Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016

Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016

Distribución espacial de Coeficientes de un polinomio elevado a la m: Resumen 2016

Enrique R.Acosta R. Enero 2017