coeficientes adimensinales y empiricos

7/25/2019 Coeficientes Adimensinales y Empiricos

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COEFICIENTES ADIMENSIONALES Y EMPRICOS

Armas F. Jess A*, Polo G. Leonardo J*

Universidad de Carabobo, Facultad de Ingeniera, Escuela de Ingeniera Mecnica

Seccin 54, [email protected],20.729.198 [email protected]

RESUMEN

Las bombas y ventiladores son trabajados en modelos escala, variando su velocidad de rotacin ydimetro. Esto es posible mediante leyes que se pueden aplicar, solo s se cumple: semejanzageomtrica, cinemtica y dinmica. El teorema Pi de BUCKINGHAN, permite trabajar con coeficientesadimensionales. Este se considera como una herramienta operativa del anlisis dimensional, en la cual,se reduce el nmero y complejidad de las variables involucradas. Los bancos de prueba arrojan valoresque se comparan con los calculados de forma analtica (obtenidos mediante ecuaciones y relacionesmatemticas), de esta manera se logra observa cuan dispersos o prximos son los datos reales de lostericos.

Palabras clave: Bombas, ventiladores, semejanza, leyes, adimensional.

INTRODUCCION

En el diseo y prueba de equipos relacionados con el flujo de fluidos se suele construir modelos aescala de laboratorio, geomtricamente similares a los prototipos. Los datos experimentales obtenidoscon estos modelos se aplican al diseo de los modelos de tamao real, en funcin de requisitos desemejanza geomtrica, cinemtica y dinmica.

La obtencin de las curvas caractersticas de bombas y ventiladores a diferentes regmenes de giro,se realizan mediante la aplicacin de estas leyes de similitud, en las cuales se consideran que laeficiencia se mantiene constante para las diferentes velocidades, en algunos casos parcial, es decirdespreciando la influencia del nmero de Reynolds.

El significado de flujo semejante y correlacin entre modelo y prototipo se puede entenderconsiderando la forma adimensional de las ecuaciones gobernantes. Es claro que si todas las ecuacionesdiferenciales correspondientes se hacen adimensionales, el tamao del objeto no entra en consideracinsi la forma es geomtricamente similar. Sin embargo los parmetros adimensionales deben sernecesariamente iguales en ambos casos. Estos parmetros dependen de las propiedades del fluido y deuna dimensin fsica caracterstica del objeto. Por tanto, las ecuaciones diferenciales descritas sonidnticas para el modelo y prototipo. Se pueden hacer entonces medidas de cualquier variableadimensional del modelo y esta tendr el mismo valor para el prototipo y al convertir a la formadimensional los datos tomados en el modelo pueden ser relacionados directamente con el prototipo.

Estos principios, son el basamento sobre el cual es posible realizar la prctica correspondiente acoeficientes adimensionales y empricos, para as de forma vivencial avalar lo establecido de forma

terica, alcanzando el logro de los objetivos planteados.

OBJETIVOS

Practica 1.

Objetivo general

Verificar la precisin del anlisis dimensional y de coeficientes empricos en la prediccin delcomportamiento de una turbomquina.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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Objetivos especficos.

1. Analizar las curvas de comportamiento carga de mquina y potencia de accionamiento en funcin delcaudal volumtrico para una bomba ETA 32-200, obtenidas por medio de las relaciones desemejanzas.

2. Obtener por medio de los coeficientes adimensionales de funcionamiento de una bomba ETA 32-200,a distintas velocidades de giro, la tendencia de las curvas adimensionales de carga y potencia enfuncin del caudal.

3. Estimar utilizando las leyes de similitud la velocidad de giro de un punto arbitrario de funcionamientoensayado, tanto para una bomba como para un ventilador centrfugo.

Practica 2.

Objetivo general.

Analizar comparativamente el comportamiento de una bomba centrfuga obtenido con las relacionesde similitud con respecto al obtenido con los coeficientes empricos para recortes de rodete.

MARCO TEORICO

Los constructores de mquinas hidrulicas que desarrollan nuevos tipos disponen de laboratorios deensayo de modelos.

En los ensayos de mquinas hidrulicas la fuerza preponderante es la viscosidad. Por tanto, el modeloy el prototipo, adems de ser geomtricamente semejantes, deberan ensayarse a igual nmero deReynolds para conservar la semejanza dinmica. En la prctica esto resulta imposible.

Los ensayos a velocidades tan elevadas en el laboratorio seran costosos y prcticamenteirrealizables.

En los ensayos de mquinas hidrulicas se hace la hiptesis de que la semejanza geomtrica implicala semejanza mecnica.

Figura N1. Dos turbomquinas geomtricamente semejantes.

Las leyes de semejanza permiten:

Predecir el comportamiento de una mquina de distinto tamao; pero geomtricamente semejante aotra cuyo comportamiento (caudal, potencia, etc.) se conoce, trabajando a las mismas condiciones(sobre todo en condiciones de ptimo rendimiento).

Predecir el comportamiento de una misma mquina (la igualdad es un caso particular de lasemejanza), cuando vara alguna de sus caractersticas, por ejemplo en una bomba para predecircomo vara la altura efectiva cuando vara el nmero de revoluciones.


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Teorema de Pi de Buckingham

Existe un nmero de grupos adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es,generalmente aunque no siempre, igual a la diferencia entre el nmero total de variables menos elnmero de dimensiones fundamentales. Esta forma de determinar el nmero de grupos adimensionalesse conoce con el nombre de teorema de pi, y establece que:

El nmero de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situacin fsica real queinvolucre a n variables es igual a nj, donde j es el nmero de dimensiones fundamentales.

Es decir:

i = nmero de parmetros adimensionales independientes

n = nmero de variables implicadas en el problema

j = nmero de dimensiones fundamentales (rango de la matriz dimensional1)

Nmeros adimensionales para turbomquinas hidrulicas.

Para emplear modelos a escala en el estudio experimental de mquinas hidrulicas, se requiere lasemejanza geomtrica, as como que los diagramas de velocidades en puntos homlogos sean

geomtricamente semejantes (semejanza cinemtica). Las unidades cuyos impulsores son semejantes ytrabajan con semejanza se llaman homlogas.

Las relaciones de semejanzas geomtricas obtenidas experimentalmente, se expresan con lossiguientes coeficientes:

Coeficiente de Caudal (CQ) (1)Coeficiente de Altura (CH) (2)

Coeficiente de potencia (CP)

(3)

Rendimiento () (4)

D: dimetro (m) o (ft)

Q: caudal (m3/s) o (ft

3/s)

H: disponibilidad (m) o (ft)

N: velocidad de giro (rad/s)

g: gravedad (m/s2) o (ft/s

2)

P: potencia (kW) o (lbf.ft/s)

A partir de estos coeficientes es posible determinar una gran cantidad de parmetros que simplifican

en gran manera el anlisis de la bomba, tal es el caso de la eficiencia, la cual viene expresada, de la

siguiente manera:


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Figura N 2. Grafica desempeo de adimensional de una turbomquina.

Leyes de semejanza para turbomquinas hidrulicas generadoras.

Primera ley: la relacin entre los caudales es directamente proporcionales a la relacin entre los nmeros

de revoluciones multiplicadas por la relacin de los dimetros a la tercera potencia. (Manteniendoconstante el nmero de Reynolds). (

) ()

(5)

Segunda ley:la relacin entre las alturas tiles es directamente proporcionales al cuadrado de la relacin

entre los nmeros de revoluciones multiplicadas por la relacin de los dimetros a la segunda potencia.

(Manteniendo constante el nmero de Reynolds). () ()

(6)

Tercera ley: la relacin entre las potencias es directamente proporcionales al cubo de la relacin

entre los nmeros de revoluciones multiplicadas por la relacin de los dimetros a la quinta potencia. () () ()

(7)Partiendo de estas relaciones, se obtiene la parbola de isoeficiencia, la cual e compara la bomba

con sigo misma, a distintos regmenes de giro (rpm). La parbola se expresa de la siguiente manera:

(8)La cual representa una funcin parablica que pasa por el origen y donde H es dependiente de Q. Y

k viene dada por:

(9)Donde H y Q para k representan un punto por donde se quiere que pase la parbola.


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Figura N 3. Parbola de isoeficiencia.

Cambio de Velocidades de giro o cambios de RPM.

Generalmente se tienen como valores comerciales de velocidad de giro:

Tabla N1. Valores comerciales de Velocidades de giro en Bombas

850 RPM

1150 RPM

1750 RPM

3550 RPM

Recordando que en ventiladores 60 Hz = 60 cps = 3600 RPM

Hz: frecuencia Hertz

cps: ciclos por segundo

Para realizar cambios de RPM, se utilizan las leyes de semejanzas (ecuaciones 5, 6 y 7) a dimetroconstante, y se procede a conocer los valores con el nuevo valor de giro:

() (10) ()

(11)

(

) (12)

Recorte de rodete.

El recorte de rodete es una accin con la que los fabricantes pretenden suministrar una bombaadecuada para cada punto de funcionamiento deseado, fijado a partir de las necesidades de lainstalacin cuando estas son prcticamente constantes.

El recorte de rodete solo afecta a los alabes, por lo que todos los parmetros geomtricos de labomba permanecen constantes excepto el radio de salida del rodete. Muchos autores recomiendan un


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mximo de recorte del 8% a 10%, mientras que otros dicen que del 10% al 12%, aunque esto lo dicta esel fabricante mediante ensayos de la bomba.

El recorte de rodete est basado en la SEMEJANZA RESTRINGIDA que conlleva cambiar solo eldimetro del impulsor manteniendo las otras caractersticas geomtricas inalteradas, produce resultadosaceptables en el campo de la ingeniera. Para ello se usan las ecuaciones empricas:

() (13) () (14)

() (15)

El porcentaje de recorte me relaciona el Dimetro mayor con el Dimetro de recorte, este porcentajesignifica cuanto se tiene que rebajar el dimetro mayor para llegar al dimetro de recorte deseado. Esteporcentaje se denota de la siguiente manera:

(16)Ventilador Centrfugo:

Es una mquina rotativa que proporciona movimiento al aire y/o a un gas. Se puede definir tambincomo una turbomquina generadora que transmite energa para generar la presin necesaria paramantener un flujo continuo de aire.

En los ventiladores centrfugos la trayectoria del fluido sigue la direccin del eje del rodete a la entraday perpendicular al mismo a la salida. Si el aire a la salida se recoge perimetralmente en una voluta,entonces se dice que el ventilador es de voluta. Los ventiladores centrfugos tienen tres tipos bsicos derodetes: labes curvados hacia adelante, labes rectos, labes curvados hacia atrs.

Ventiladores de labes curvados hacia adelante : tambin conocidos como jaula de ardilla,tienen una hlice o rodete con los labes curvados en el mismo sentido que la direccin de giro. Estosventiladores necesitan poco espacio, baja velocidad perifrica y son silenciosos. Se utilizan cuando lapresin esttica necesaria es de baja a media, tal como la que se encuentran en los sistemas decalefaccin, aire acondicionado o renovacin de aire. No es recomendable utilizar este tipo deventilador con aire polvoriento, ya que las partculas se adhieren a los pequeos labes curvados ypueden desequilibrar al rodete. Estos ventiladores tienen un rendimiento bajo fuera del punto detrabajo. Adems, como su caracterstica de potencia absorbida crece rpidamente con el caudal, hade tenerse mucho cuidado con el clculo de la presin necesaria en la instalacin para nosobrecargarlo [2].

Ventiladores de alabes rectos : tienen menor nmero de labes que los ventiladorescentrfugos de alabes curvados hacia adelante y por lo general se emplean para impulsar aire o gasessucios a elevada temperatura, gracias a la facilidad con que son eliminados los depsitos slidos porla fuerza centrfuga.


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Ventiladores de labes curvados hacia atrs : tienen un rodete con sus labes inclinados ensentido contrario al de rotacin. Tienen mejor rendimiento que los anteriores, ya que si los antiguoslabes de chapa (los empleados comnmente) se reemplazan por los ms modernos de perfilaerodinmico, se llega a alcanzar un rendimiento del orden del 90%. Su presin y gasto msico soninferiores para una misma velocidad de rotacin y nmero de labes que en el primer tipo. El nivel deruido es bajo.

A continuacin se presenta una figura donde se muestran los diferentes tipos de labes que puedeusar un ventilador:

Figura N4. Tipos de labes de un ventilador.

Curvas caractersticas de un ventilador

Si se considera el ventilador como una bomba rotodinmica de gas, el trazado de sus curvascaractersticas se puede hacer de la misma forma que el de las bombas centrfugas. Sin embargo, habrque tener en cuenta las siguientes observaciones:

Las curvas (Hman, Q) se sustituyen por las curvas (ptot, Q) siendo ptot la presin total suministradapor el ventilador. Entre las variables Hman y ptot existe la relacin: ptotal = g Hman.

Los valores medidos de Q y de ptot se suelen reducir a condiciones normales o standard. En unensayo bien hecho siempre hay que especificar a qu condiciones normales se refiere el ensayo, o almenos a qu presin baromtrica y a qu temperatura ambiente se ha realizado.

En un gran nmero de aplicaciones interesa ms la presin esttica del ventilador que la presin total;en un ventilador con un sistema difusor eficiente la presin dinmica es muy pequea y la pest seacerca mucho a la ptot. En la figura 2 se han trazado las curvas caractersticas de cuatro tiposdistintos de ventiladores, expresando todas las variables en % del valor nominal o de diseo, a fin de

poder comparar ms fcilmente los distintos tipos. En estas curvas es posible observar que:

a) La potencia de accionamiento Wa en los ventiladores de labes curvados hacia adelante, figura 2(a), aumenta constantemente con el caudal; mientras que en los ventiladores con labes curvadoshacia atrs y en los ventiladores axiales, figura 2 (c) y (d), la potencia no supera, o solo lo haceligeramente (en un 10% aproximadamente) el valor en el punto nominal o de diseo. La curvacaracterstica de potencia de los ventiladores de salida radial, figura 2 (b), presenta caractersticasintermedias entre las de los ventiladores con labes curvados hacia adelante y hacia atrs, como erade esperar.


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b) La potencia absorbida en el arranque es mnima en los ventiladores centrfugos figuras 2 (a), (b) y(c) y mxima o casi mxima en los ventiladores axiales figura 2 (d) [2].

Figura N 5.Curvas caractersticas de un ventilador.

Los ventiladores centrfugos tienen diversas aplicaciones, como por ejemplo en instalaciones deventilacin, calefaccin y aire acondicionado de baja presin y tambin en instalaciones de alta presin.Tambin se emplean instalaciones industriales de manipulacin de materiales, ventilacin de galponesindustriales, ventilacin y extraccin de centros comerciales y stanos. Campanas y Cocinas Industriales,donde se requiera bajo nivel de ruido, entre otras.

Los alabes de una turbomquina son los elementos encargados de transmitir la energa al fluido, porlo que su diseo y fabricacin es de vital importancia. La forma de los labes condiciona la acumulacinde materiales sobre ellos, de forma que el uso de estos en ventiladores debe limitarse como se indica acontinuacin:

Alabes de espesor uniforme: los labes macizos permiten el trabajo con aire ligeramente sucio ohmedo. No debe emplearse con aire conteniendo materiales slidos ya que tienen tendencia aacumularse en la parte posterior de los labes.

Alabes de ala portante: permiten mayores rendimientos y una operacin ms silenciosa. Los labeshuecos se erosionan rpidamente y se pueden llenar de lquido si la humedad es alta, por ello su usoqueda limitado a aplicaciones en las que se manipule aire limpio.

(a) (b)

(c)(d)


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A pesar de que no existe convenio alguno universalmente adoptado; los ventiladores puedensubdividirse en cuatro grupos:

Ventiladores de baja presin: hasta una presin del orden 200 mm.c.a (ventiladores propiamentedichos).

Ventiladores de media presin: entre 200 y 800 mm.c.a (soplantes).

Ventiladores de alta presin: entre 800 y 2500 mm.c.a (turbo axiales).

Ventiladores de muy alta presin, mayor a 2500 mm.c.a (turbocompresores).

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Practica 1

1. Construir las curvas, tanto para la bomba centrifuga como para el ventilador centrifugo, usando lasrelaciones de similitud y las curvas de mayor velocidad de rotacin obtenidas de manera experimental.

Repetir el procedimiento pero utilizando la curva experimental de menor velocidad.2. Construir las curvas utilizando las ecuaciones de coeficientes adimensionales de funcionamiento3. Conseguir el valor de la velocidad de giro de un punto arbitrario experimental del segundo ensayo,

utilizando la parbola de isoeficiencia y las relaciones de similitud.

Practica 2

Basado en las curvas de comportamiento de la Bomba ETA 32-200, estime el comportamiento de lamquina con recortes de rodete de 5 y 10 %(al mayor dimetro del impulsor de la bomba), empleandotanto las relaciones adimensionales de semejanza como los coeficientes empricos adimensionalesrecomendados para recortes de rodete (al menos 2)

DATOS Y RESULTADOS

1. Ejercicio N1. Modificacin de velocidad angular del impulsor aplicando leyes de semejanza.

1.1. Cambio de Velocidades de Giro a la bomba y al ventilador

En las tablas 2, 3 y 4 se observan los valores obtenidos empricamente de la bomba ETA 32-200girando a 3500, 2900 y 1450 RPM, respectivamente; obtenidos con el dimetro del rodete ( ).

Tabla N 2. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 3500 RPM.

0 5,54 8,29 11,04 13,79 16,54 19,29

87,89 86,83 86,53 85,14 82,62 77,02 11,26 - 5,53 5,97 6,45 6,93 7,62 7,77Tabla N 3.Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 2900 RPM. 0 5,25 7,9 10,55 13,2 15,85 18,51 60,10 58,57 58,13 56,80 53,00 47,82 16,87 - - 2,69 2,99 3,36 3,74 4,12


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Tabla N 4.Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 1450 RPM. 0 1,89 3,78 5,67 7,56 9,45 11,34 14,9 14,81 14,15 13,69 12,42 10,75 3,69

- 0,46 0,47 0,52 0,58 0,64 0,65

Obtencin de las curvas para la bomba a partir de :Manteniendo el dimetro y asumiendo densidad constantes (por tratarse de agua, flujo incompresible)

para las ecuaciones 10, 11 y 12, se tiene:

()

(

) (

)

(

) ()

() ()

Tomando un punto de los valores a :

Transformando en el punto equivalente a , por medio de las ecuaciones: (

) ()

( )

() ( )

Por lo que el nuevo punto de trabajo es:

Repitiendo el mismo procedimiento para todos los datos de la tabla 1, para las diferentes Velocidades

de giro, tanto a 2900 como 1450 RPM se tiene:


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Tabla N5.Resultados de similitud de la bomba centrfuga ETA 32-200, partiendo de 3500 RPM.3500 RPM 2900 RPM 1450 RPM

Q H Wa Q H Wa Q H Wa

(m3/h ) (m .c .a) (kW) (m

3/h )

(m.c.a) (kW) (m3/h )

(m.c.a) (kW)

19,29 11,26 7,77 15,98 7,73 4,42 7,99 1,93 0,55

16,54 77,02 7,62 13,70 52,88 4,33 6,85 13,22 0,54

13,79 82,62 6,93 11,43 56,72 3,94 5,71 14,18 0,4911,04 85,14 6,45 9,15 58,45 3,67 4,57 14,61 0,46

8,29 86,53 5,97 6,87 59,41 3,40 3,43 14,85 0,42

5,54 86,83 5,53 4,59 59,61 3,15 2,30 14,90 0,39

0 87,89 - 0 60,1 - 0 15,085 -

En las figuras N 5 y 6 se muestran las grficas de los resultados de la tabla N 5.

Figura N 6.Comparacin de carga de mquina de la bomba ETA 32-200 a 3500, 2900 y 1450 RPM,

calculada empricamente y calculada por similitud desde 3500 RPM.

Figura N 7.Comparacin de Potencia de accionamiento de la bomba ETA 32-200 a 3500, 2900 y 1450RPM, calculada empricamente y calculada por similitud desde 3500 RPM.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20

H (m)

Q (m3/h )

3500 RPM

2900 RPM

1450 RPM

SimilitudExperimental

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5 10 15 20

(kW)

Q (m3/h )

3500 RPM

2900 RPM

1450 RPM



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Repitiendo los mismos clculos para la Bomba, pero tomando la Velocidad de Giro 1450 RPM, por medio

de las leyes de semejanzas, se obtienen los siguientes valores reflejados en la tabla N6.

Tabla N6.Resultados de similitud de la bomba centrfuga ETA 32-200, partiendo de 1450 RPM.1450 RPM 2900 RPM 3500 RPM

Q H Wa Q H Wa Q H Wa(m

3/h ) (m .c .a) (kW) (m

3/h ) (m.c.a) (kW) (m

3/h ) (m.c.a) (kW)

11,34 3,69 0,65 22,68 14,76 5,20 27,37 21,50 9,14

9,45 10,75 0,64 18,90 43,00 5,12 22,81 62,63 9,00

7,56 12,42 0,58 15,12 49,68 4,64 18,25 72,36 8,16

5,67 13,69 0,52 11,34 54,76 4,16 13,69 79,76 7,31

3,78 14,15 0,47 7,56 56,60 3,76 9,12 82,44 6,61

1,89 14,81 0,46 3,78 59,24 3,68 4,56 86,29 6,47

0 14,9 - 0,00 59,60 - 0,00 86,81 -

En las figuras N 8 y 9 se muestran las grficas de los resultados de la tabla N6.

Figura N 8.Comparacin de carga de mquina de la bomba ETA 32-200 a 3500, 2900 y 1450 RPM,calculada empricamente y calculada por similitud desde 1450 RPM.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25

H (m)

Q (m3/h )

3500 RPM

2900 RPM

1450 RPM



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Figura N 9.Comparacin de Potencia de accionamiento de la bomba ETA 32-200 a 3500, 2900 y 1450

RPM, calculada empricamente y calculada por similitud desde 1450 RPM.

Para el Ventilador Centrifugo, se repiten los mismos clculos realizados a la Bomba ETA 32-200, paracalcular los parmetros mediante leyes de semejanza. En las tablas 7, 8 y 9 se observan los valoresobtenidos empricamente del ventilador centrifugo con alabes atrasados, girando a 2700, 2580 y 2460RPM, respectivamente.

Tabla N 7. Datos del ventilador centrfugo a 2700 RPM.

0 0,0081 0,0124 0,0158 0,0224 0,0236 0,0295 0,0321 38,922 38,458 37,748 36,274 33,235 32,836 28,997 22,81 - 86,584 89,053 91,444 94,808 98,906 105,718 113,861Tabla N 8.Datos del ventilador centrfugo a 2580 RPM. 0 0,0078 0,0118 0,0151 0,0214 0,0225 0,0282 0,0307 37,156 35,42 34,84 33,415 31,14 29,982 26,477 24,41 - 77,23 78,69 81,137 84,964 86,302 92,176 99,293Tabla N 9.Datos del ventilador centrfugo a 2460 RPM.

0 0,0079 0,0185 0,0218 0,024 0,0255 0,0278 0,0288

33,145 32,14 29,147 27,874 26,146 24,156 21,145 17,416 - 67,84 68,54 69,513 71,161 72,24 75,962 78,085Aplicando las leyes de semejanzas (ecuaciones 10, 11 y 12) al igual que en bombas nos queda:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30

(kW)

Q (m3/h )

3500 RPM

2900 RPM

1450 RPM



14/34

Tabla N 10.Resultados de leyes de similitud al ventilador centrifugo, partiendo de 2700 RPM.2700 RPM 2580RPM 2460 RPM

Q Ptf Wgr Q Ptf Wgr Q Ptf Wgr(m /h) (mm.c.a) (W) (m /h) (mm.c.a) (W) (m /h) (mm.c.a) (W)

0 38,922 - 0 35,539 - 0 32,31 -0,0081 38,458 86,584 0,0072 35,115 75,58 0,0079 31,925 65,446

0,0124 37,748 89,053 0,012 34,467 77,649 0,0185 31,336 67,3130,0158 36,274 91,444 0,0151 33,121 79,832 0,0218 30,112 69,188

0,0224 33,2346 97,938 0,0213 30,346 82,789 0,024 27,589 71,662

0,0236 32,836 99,846 0,0229 29,982 86,301 0,0255 27,258 74,829

0,0295 28,997 105,718 0,0268 26,477 92,176 0,0278 24,071 79,962

0,0321 22,81 112,5 0,0279 20,827 0,179 0,0288 18,935 86,085


Figura N 10.Comparacin de carga total del ventilador centrifugo a 2700, 2580, y 2460 RPM, calculadaempricamente y calculada por similitud desde 2700 RPM.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Pft(mm.c.a)

Q (m3/s )

2700RPM

2580 RPM

2460 RPMSimilitud

Experimental


15/34

Figura N 11.Comparacin de potencia del ventilador centrifugo a 2700, 2580, y 2460 RPM, calculada

empricamente y calculada por similitud desde 2700 RPM.

Repitiendo los mismos clculos para el Ventilador Centrifugo, pero tomando la Velocidad de Giro 2460

RPM, por medio de las leyes de semejanzas, se obtienen los siguientes valores reflejados en la tabla N

11.

Tabla N 11.Resultados de leyes de similitud al ventilador centrifugo, partiendo de 2460 RPM.2460 RPM 2580RPM 2700RPM

Q Ptf Wgr Q Ptf Wgr Q Ptf Wgr

(m

3

/h ) (mm .c .a) (W) (m

3

/h ) (mm .c .a) (W) (m

3

/h ) (mm .c .a) (W)0 32,31 - 0 35,539 - 0 38,922 -

0,0079 31,925 65,446 0,008 35,116 75,458 0,009 38,458 86,569

0,0185 31,336 67,313 0,019 34,468 77,649 0,020 37,749 89,018

0,0218 30,112 69,188 0,023 33,121 79,832 0,024 36,274 91,457

0,024 27,589 71,662 0,025 30,346 82,641 0,026 33,235 94,807

0,0255 27,258 74,829 0,027 29,982 86,301 0,028 32,836 98,973

0,0278 24,071 79,962 0,029 26,477 92,176 0,031 28,997 105,725

0,0288 18,935 86,085 0,03 20,827 99,292 0,032 22,810 113,915


0

20

40

60

80

100

120

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Pgr(W)

Q (m3/s )

2700RPM

2580 RPM

2460 RPM



16/34

Figura N 12.Comparacin de carga total del ventilador centrifugo a 2700, 2580, y 2460 RPM, calculadaempricamente y calculada por similitud desde 2460 RPM.

Figura N 13.Comparacin de potencia del ventilador centrifugo a 2700, 2580, y 2460 RPM, calculadaempricamente y calculada por similitud desde 2460 RPM.

1.2. Obtencin, por medio de los coeficientes adimensionales de funcionamiento de una bombaETA 32-200, a distintas velocidades de giro, la tendencia de las curvas adimensionales decarga y potencia en funcin del caudal.

Tomando como referencia las tablas 2, 3 y 4, se tiene el comportamiento de la bomba ETA 32-200 a

3500 y 2900 RPM, con un dimetro de impulsor de 209 mm.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Pft(mm.c.a)

Q (m3/s )

2700RPM

2580 RPM

2460 RPMSimilitudExperimental

0

20

40

60

80

100

120

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035

Pgr(W)

Q (m3/s )

2700RPM

2580 RPM

2460 RPM



17/34

Haciendo uso de las ecuaciones 1, 2 y 3, se calculan los coeficientes adimensionales de la bomba

para el siguiente punto de trabajo (tabla 1):

( )

Repitiendo el mismo procedimiento para el resto de los datos de la tabla 1 y para los datos de la tabla 2,

se tiene:

Tabla N 12. Coeficientes adimensionales de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 3500 RPM.

0 0,00046 0,000688 0,000916 0,001145 0,001373 0,001601

0,146933 0,145161 0,14466 0,142336 0,138123 0,128761 0,018824

- 0,000282 0,000305 0,000329 0,000354 0,000389 0,000397Tabla N 13. Coeficientes adimensionales de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 2900 RPM.

0 0,000526 0,000792 0,001057 0,001323 0,001588 0,001855 0,146351 0,142625 0,141554 0,138315 0,129062 0,116448 0,041081 - - 0,000241 0,000268 0,000301 0,000336 0,00037Tabla N 14. Coeficientes adimensionales de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 1450 RPM.

0 0,000379 0,000757 0,001136 0,001515 0,001894 0,002272

0,145133 0,144257 0,137828 0,133347 0,120977 0,10471 0,035942 - 0,00033 0,000337 0,000373 0,000416 0,000459 0,000467A continuacin se muestran los resultados grficamente:


18/34

Figura N 14. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Carga y Caudal, en la bombapara las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM).

Figura N 15. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Potencia y Caudal, en la bombapara las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM).

Haciendo los mismos clculos, para los valores obtenidos con las leyes de semejanzas, tomando a

3500 RPM como base para las relaciones obtenemos los siguientes valores.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

1450 RPM

2900 RPM

3500 RPM

Tendencia

CH

CQ

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00045

0,0005

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

2900 RPM

1450 RPM

3500 RPM

CQ

CP

Tendencia


19/34

Tabla N 15. Coeficientes adimensionales de la bomba centrfuga por medio de las leyes desemejanza, tomando como particin la velocidad de 3500 RPM.

2900 RPM 1450 RPM 0,0016011 0,0188235 0,0003965 0,0016011 0,0187992 0,0003947

0,0013726 0,1287694 0,0003885 0,0013726 0,1287694 0,0003876

0,0011452 0,1381203 0,0003535 0,0011442 0,1381203 0,0003517

0,0009168 0,142333 0,0003292 0,0009158 0,1423087 0,0003301

0,0006883 0,1446707 0,000305 0,0006873 0,1446464 0,0003014

0,0004599 0,1451578 0,0002826 0,0004609 0,1451334 0,0002799

0 0,146351 - 0 0,1469354 -

Figura N 16. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Carga y Caudal, en la bomba

para las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM) por leyes de semejanza.

Figura N 17. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Potencia y Caudal, en la bombapara las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM) por leyes de semejanza.

Repitiendo los mismos clculos, pero a 1450 RPM como base, se obtienen los siguientes valores:

0,125

0,13

0,135

0,14

0,145

0,15

0 0,0005 0,001 0,0015

1450 RPM

2900 RPM

3500 RPM

Tendencia

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0,00035

0,0004

0,00045

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002

2900 RPM

1450 RPM

3500 RPM

Tendencia

CH

CQ

CP

CQ


20/34

Tabla N 16. Coeficientes adimensionales de la bomba centrfuga por medio de las leyes desemejanza, tomando como particin la velocidad de 1450 RPM

2900 RPM 3500 RPM

0,0022723 0,0359424 0,0004665 0,0022721 0,0359434 0,00046640,0018936 0,1047104 0,0004593 0,0018936 0,1047041 0,0004593

0,0015149 0,120977 0,0004163 0,001515 0,1209705 0,0004164

0,0011362 0,1333474 0,0003732 0,0011365 0,1333418 0,000373

0,0007574 0,137828 0,0003373 0,0007571 0,1378222 0,0003373

0,0003787 0,1442568 0,0003301 0,0003786 0,1442585 0,0003302

0 0,1451334 - 0 0,1451279 -

Figura N 18. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Carga y Caudal, en la bombapara las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM).

Figura N 19. Comportamiento de los Coeficientes Adimensionales de Potencia y Caudal, en la bombapara las distintas Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM) por leyes de semejanza.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

1450 RPM

2900 RPM

3500 RPM

Tendencia

CH

CQ

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025

2900 RPM

1450 RPM

3500 RPM

Tendencia

CQ

CP


21/34

1.3. Estimar, utilizando las leyes de similitud, la velocidad de giro de un punto arbitrario defuncionamiento ensayado, tanto para una bomba como para un ventilador centrfugo.

Para la Bomba, tomando como referencia la Tabla N 1, se tiene el comportamiento de la bomba ETA

32-200 a 3500 RPM, con un dimetro de impulsor de 209mm. Y el punto de trabajo arbitrario ser:

Se construye la parbola de isoeficiencia, la cual se representa con la ecuacin 8:

Donde kse obtiene al sustituir el punto de trabajo en la ecuacin 9:

Por lo tanto, la parbola de isoeficiencia queda expresada de la siguiente manera:

[ ] (16)En la figura N 11, se observa la representacin grfica de la ecuacin 9 (parbola de isoeficiencia),

el punto de trabajo y la curva caracterstica de la bomba.

Al interceptar la parbola de isoeficiencia con la curva caracterstica de la bomba se tiene:

Figura N 20.Obtencin de la velocidad de giro de un punto de trabajo en una bomba centrfuga, pormedio de la parbola de isoeficiencia.

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20

Curva Caracterstica de

la Bomba

Parbola de Isoeficiencia

3500 RPM

209 mm

Q (3)

H (m)


22/34

De la ecuacin 13 y 14 se despeja N1 y se sustituye el punto de trabajo y el punto de intercepcin

(puntos 1 y 2).

()

Para asegurar la mayor carga posible de la bomba, se selecciona la velocidad de giro mayor, por lo

tanto la velocidad de giro que corresponde a la bomba ETA 32-200 es de:

Clculo para el ventilador centrfugo.

Tomando como referencia la tabla 7, se tiene el comportamiento del ventilador centrfugo a 2700

RPM. Y el punto de trabajo arbitrario ser:

Repitiendo el mismo procedimiento de la bomba, se tienen los siguientes resultados:

[ ] (17)

Figura 21.Obtencin de la velocidad de giro de un punto de trabajo en un ventilador centrfugo, pormedio de la parbola de isoeficiencia.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,01 0,02 0,03 0,04

Psf(mm.c.a

)

Q (m3/s)

Curva Caracterstica del

Ventilador

Parbola de Isoeficiencia

3500 RPM


23/34

Calculando la velocidad de giro, se tiene:

Para asegurar la mayor carga del ventilador, se selecciona la velocidad de giro mayor, por lo tanto la

velocidad de giro que corresponde al ventilador centrfugo es de:

Ejercicio 2. Recortes de rodete.

Analizar comparativamente el comportamiento de una bomba centrifuga obteniendo con lasrelaciones de similitud con respecto al obtenido con los coeficientes empricos para recortes derodete.

Comportamiento de la bomba para las diferentes velocidades de giro para un recorte de rodete del

5%, mediante relaciones de semejanzas.

Tomando como referencia los datos de la tabla 1, 2 y 3 (bomba centrfuga ETA 32-200 girando a lasdistintas con un dimetro de impulsor de 209 mm). Manteniendo la velocidad de giro y la densidadconstante, y haciendo uso de las ecuaciones 13, 14, 15 y 16, se despeja Q, H y P y se tiene:

(16)

(

) (

) (13) ()

() (14)

() ()

(15)

Tomando el punto de trabajo:


24/34

() ( ) ()

( )

() ( )

Por lo que el punto de trabajo es:

Repitiendo el mismo procedimiento para todos los valores a las distintas velocidades ensayadas

obtenemos:

Tabla N 17.Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 3500 RPM.

0 4,749858 7,107639 9,46542 11,8232 14,18098 16,53876

79,32073 78,36408 78,09333 76,83885 74,56455 69,51055 10,16215

- 4,279009 4,619472 4,990887 5,362302 5,896211 6,012278Tabla N 18. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 2900 RPM.

0 4,501219 6,773263 9,045306 11,31735 13,58939 15,87001 54,24025 52,85943 52,46233 51,262 47,8325 43,15755 15,22518 - - 2,313605 2,599904 2,893941 3,172502 3,273093Tabla N 19. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 1450 RPM.

0 1,620439 3,240878 4,861316 6,481755 8,102194 9,722633

13,44725 13,36603 12,77038 12,35523 11,20905 9,701875 3,330225 - 0,355939 0,363677 0,402366 0,448793 0,49522 0,502958Repitiendo el mismo procedimiento para un porcentaje de recorte de 10%, se obtienen los siguientes

resultados:


25/34

Tabla N 20. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 3500 RPM.

0 4,03866 6,04341 8,04816 10,05291 12,05766 14,06241 71,1909 70,3323 70,0893 68,9634 66,9222 62,3862 9,1206 - 3,26541 3,525225 3,808661 4,092096 4,499534 4,588107Tabla N 21. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 2900 RPM.

0 3,82725 5,7591 7,69095 9,6228 11,55465 13,49379 48,681 47,4417 47,0853 46,008 42,93 38,7342 13,6647 - - 1,765565 1,984046 2,208433 2,421009 2,497773Tabla N 22. Datos de la bomba centrfuga ETA 32-200 a 1450 RPM.

0 1,37781 2,75562 4,13343 5,51124 6,88905 8,26686 12,069 11,9961 11,4615 11,0889 10,0602 8,7075 2,9889

- 0,271625 0,27753 0,307055 0,342484 0,377914 0,383819

Figura N 22.Resultados de semejanza del comportamiento de la carga de mquina para la bomba ETA32-200 a 3500 RPM, con 5% y 10% de recorte de rodete.

0

10

2030

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25

H (m)

Q (m3/h )

3500 RPM

188,1 mm

198,55 mm

209 mm


26/34

Figura N 23.Resultados de semejanza del comportamiento de la potencia de accionamiento para la

bomba ETA 32-200 a 3500 RPM, con 5% y 10% de recorte de rodete.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5 10 15 20 25

Pa (kW)

Q (m3/h )

3500 RPM

188,1 mm

198,55 mm

209 mm

0

10

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20

H (m)

Q (m3/h )

2900 RPM

188,1 mm

198,55 mm

209 mm


27/34




0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

0 5 10 15 20

Pa (kW)

Q (m3/h )

2900 RPM

188,1 mm

198,55 mm

209 mm

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12

H (m)

Q (m3/h )

1450 RPM188,1 mm

198,55 mm

209 mm


28/34



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 2 4 6 8 10 12

Pa (kW)

Q (m3/h )

1450 RPM

188,1 mm

198,55 mm

209 mm


29/34

Adicionalmente teniendo los resultados anteriores de la bomba, nos propusimos a disear y comparar las

curvas obtenidas por leyes de semejanza y la grfica real proporcionada por el fabricante, de all

obtenemos:

H(m)80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

(kW) 98

7

6

5

4

3

2

1

Q(m3/h)

0 3 6 9 12 15 18 21 24

Figura N 28.Comparacin entre los resultados de semejanza obtenidos del comportamiento de laCarga de Mquina y la Potencia de Accionamiento, para la bomba ETA 32-200 a las distintas

Velocidades de Giro (3500, 2900 y 1450 RPM).


30/34

H(m)80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

(kW) 9

8

7

6

5

4

3

2

1

Q(m3/h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Figura N 29.Comparacin entre los resultados de semejanza obtenidos con recorte de rodete del 5% y 10%, para elcomportamiento de la Carga de Mquina y la Potencia de Accionamiento, para la bomba ETA 32-200 a 3500 RPM.

3500 RPM


31/34

H(m)

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

(kW)5

4

3

2

1

Q(m3/h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Figura N 30.Comparacin entre los resultados de semejanza obtenidos con recorte de rodete del 5% y10%, para el comportamiento de la Carga de Mquina y la Potencia de Accionamiento, para la bomba ETA

32-200 a 2900 RPM.

2900 RPM


32/34

H(m)

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(kW)0.90.8

0.7

0.6

0. 5

0.4

0.3

0.2

0.1

Q(m3/h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Figura N 31.Comparacin entre los resultados de semejanza obtenidos con recorte de rodete del 5% y10%, para el comportamiento de la Carga de Mquina y la Potencia de Accionamiento, para la bomba ETA

32-200 a 1450 RPM.

ANALISIS DE RESULTADOS

Ejercicio 1. Modificacin de velocidad angular del impulsor.

1. Curvas de comportamiento Carga de Mquina y Potencia de Accionamiento en funcin delCaudal Volumtrico para una bomba ETA 32-200, obtenidas por medio de las relaciones desemejanzas.

Cuando la obtencin de las curvas se realiza a partir de (mayor velocidad de giro), losresultados son muy similares a los resultados experimentales, sobre todo en la grfica de Potencia deAccionamiento, ya que la discrepancia entre ambos resultados es casi nula. Por otra parte, en la grficade Carga de mquina si se puede apreciar, con mayor variacin los resultados de ambos procedimientos.

1450 RPM


33/34

Cuando la obtencin de las curvas se realiza a partir de (menor velocidad de giro), losresultados en las curvas de Carga de Mquina tambin son muy similares a los resultadosexperimentales, con ciertas discrepancias. Pero en las curvas de Potencia de accionamiento si se puedeobservar claramente la diferencia entre ambos procedimientos, ya que los resultados obtenidos con lasrelaciones de semejanza tienen un margen de error ms grande.

2. Curvas de comportamiento Carga de Mquina y Potencia de Accionamiento en funcin delCaudal Volumtrico para un ventilador centrifugo, obtenidas por medio de las relaciones desemejanzas.

Al igual que en ejercicio anterior, cuando la obtencin de las curvas se realizan a partir de la mayorvelocidad de giro ( ), los resultados son muy similares a los resultados experimentales. Aunquela diferencia entre ambas grficas es un poco ms apreciable. Pero siguen siendo resultados muyaceptables porque la diferencia con los resultados experimentales es casi nula.

Cuando la obtencin de las curvas se realiza a partir de (menor velocidad de giro), losresultados en las curvas de Carga de Mquina tambin son muy similares a los resultadosexperimentales, pero existen ciertas discrepancias. Pero en las curvas de Potencia de accionamiento si

se puede observar claramente, al igual que en el caso anterior, la diferencia entre ambos procedimientos,ya que los resultados obtenidos con las relaciones de semejanza tienen un amplio margen de error,cuando se procede de una velocidad de giro menor a una mayor.

3. Obtencin, por medio de los coeficientes adimensionales de funcionamiento de una bombaETA 32-200, a distintas velocidades de giro, la tendencia de las curvas adimensionales decarga y potencia en funcin del caudal.

En las grficas obtenidas (CQvs CH) tanto para los datos obtenidos experimentalmente como para losobtenidos por ley de semejanza, podemos darnos cuenta que siguen la tendencia de una curva formandouna familia de bombas a las tres Velocidades de Giro diferentes (3500, 2900 y 1450 RPM), mientras que

para las grficas de (CP vs CQ) los resultados obtenidos experimentalmente los valores se alejan de latendencia, en especial la que tiene una Velocidad de Giro de 2900 RPM, el cual puede deberse a erroresde aproximacin y lectura y clculo de la eficiencia, mientras que los obtenidos por leyes de semejanzasforma una tendencia lineal de esas familia de bombas ya que por este mtodo las eficiencia se mantieneconstante.

4. Estimar, utilizando las leyes de similitud, la velocidad de giro de un punto arbitrario defuncionamiento ensayado, tanto para una bomba como para un ventilador centrfugo.

Cuando se utiliza el procedimiento de obtencin de la velocidad a la que debera girar la mquina enun punto de trabajo, debido a la gran exactitud de las relaciones de semejanza que pudimos observar enlas experiencias anteriores, aunque habra mayor exactitud si la Velocidad de Giro conocida es mayorque la deseada, pero con esto se puede predecir que los resultados que se obtuvieron en esteprocedimiento son tambin muy similares a la realidad.

De este procedimiento se obtienen dos resultados, esto se debe a que se utilizaron dos relaciones desimilitud distintas (carga de mquina y caudal), y como el procedimiento de obtencin de datos esnetamente visual existe un margen de error agregado, es por esta razn que se recomienda tomar elvalor mayor para asegurar que la energa que la bomba le proporciona al fluido puede alcanzar una alturadeseada, y satisfaga ambos resultados.


34/34

Ejercicio 2. Recortes de rodete.

En todos los resultados obtenidos, tanto como a 5% como a 10% de recorte de rodete, los resultadosobtenidos por medio de las relaciones de semejanza, son muy exactos con respecto a la realidad, debidoa las experiencias realizadas anteriormente y son resultados similares a los obtenido por el fabricante demanera emprica para dimetros diferentes.

Esto se debe a que las relaciones de semejanza ayudan a obtener la curva de H vs. Q a ese dimetrodeseado, siempre y cuando el porcentaje de recorte sea aceptado por el fabricante en sus ensayosempricos, generando as resultados aceptables, debido a que, como se puede observar en las grficas,los resultados obtenidos con las relaciones de similitud estn muy aproximados a resultados reales, sinhaberse pasado del dimetro menor proporcionado por el fabricante.

Por otra parte, se puede apreciar que los resultados aumentan su error a mayor recorte de rodete, yaque las curvas aumentan su discrepancia cuando se realiza el recorte de rodete de 10%, comparado conel de 5%. Es por ello que no los recortes de rodete son bajos, y son proporcionados por cada fabricante.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Las relaciones de similitud arrojan resultados muy similares resultados experimentales.

Cuando las relaciones de similitud se aplican para llevar valores de una velocidad de giro mayor a

una menor la discrepancia entre los resultados es poco apreciable.

Cuando las relaciones de similitud se aplican para llevar valores de una velocidad de giro menor a

una mayor la discrepancia entre los resultados es poco apreciable para la carga de mquina, pero

tiene un margen de error ms amplio en la potencia de accionamiento.

Los coeficientes adimensionales son la base para la obtencin de las relaciones de semejanza.

Para una misma familia de bomba, los coeficientes adimensionales tienen la misma tendencia en las

grficas de los mismos.

Las relaciones de semejanza en recorte de rodete generan una similitud con los resultados obtenidos

empricamente, y aumenta su margen de error a medida que crece el Porcentaje de Recorte.

REFERENCIAS

[1]Anlisis Dimensional de Turbomquinas [Publicacin en lnea]. Disponible en:http://fluidos.eia.edu.co/hidraulica/articuloses/conceptosbasicosmfluidos/dimensional/turbom%C3%A1quinas.htm

[2] Efficiency gallery ErP compliant and EEC motor. BD EEC and other applications. CASALS technicaldata [Publicacin en lnea]. Disponible en:http://www.casals.tv/files/brochures/BD%20EEC%20and%20efficiency%20by%20Casals.pdf

[3] Mataix. 1986. Mecnica de Fluidos y Maquinas Hidrulicas. Segunda Edicin. Madrid, Espaa.[4]Aular F. Clase de ctedra de Turbomquinas. Universidad de Carabobo.
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coeficientes adimensinales y empiricos

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