cÀlcul de probabilitats resums dels apunts de les …lmontero/lmm_tm/teo_es11_1.pdf · prof....

DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA

CÀLCUL DE PROBABILITATS

RESUMS DELS APUNTS DE LES SESSIONS DE TEORIA

Professora: Lídia Montero (Dptx. 421)

DIPLOMATURA D’ESTADÍSTICA Continguts de teoria CÀLCUL DE PROBABILITATS

Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg.2-2

2. INTRODUCCIÓ AL CÀLCUL DE PROBABILITATS

La Teoria de la Probabilitat estudia la regularitat estadística en la variabilitat dels resultats d’experiments amb fenòmens o experiències aleatoris.

Definició d’Experiència Aleatòria

Els fenòmens aleatoris o experiències aleatòries són aquelles en què el resultat, sota les mateixes condicions de repetició de l’experiència, no sempre és el mateix.

Però presenta una regularitat estocàstica al llarg d’un nombre elevat de repeticions de l’experiència.

En l’estudi d’un fenomen aleatori (també coneguts com fenòmens estocàstics, no deterministes, probabilístics, atzarosos,...) hem de considerar:



1. Les condicions de contorn en què es realitza l’experiment (bàsicament per a experiments de tipus físics, com el comportament d’un gas sota condicions concretes).

2. Tots els resultats possibles.

3. La probabilitat de cada grup de resultats.

Exemple 1: El llançament d’una moneda equilibrada: no es pot predir el resultat (és no determinista), però repetint molts cops el llançament sabem que s’obté una regularitat (50% cara, 50% creu).

Exemple 2: El llançament d’un dau equilibrat, que contingui els valors 1 a 6 en les diferents cares, és un altre exemple d’un fenomen aleatori: el resultat concret d’un llançament no pot predir-se, però a la llarga se sap que tots els valors tindran una freqüència d’aparició idèntica.



2.1 Espais de probabilitat

El conjunt fonamental o conjunt de resultats d’una experiència aleatòria és el conjunt de tots els possibles resultats de l’experiència aleatòria. Es sol notar per Ω.

Un succés és un conjunt de resultats elementals.

Cada un d’aquests possibles resultats es pot considerar com un succés elemental. El resultat es sol notar per ω i el succés elemental implicat ω.

Exemple 3: En l’experiència aleatòria de llançar un dau equilibrat amb 6 cares: Ω=1,2,3,4,5,6=ωi | i, 0<i<7. Un succés que pot definir-se és A: Valor parell, 6,4,2=A .

Sobre la naturalesa dels objectes definits …

Un resultat pertany al conjunt fonamental: Ω∈ω . Un succés elemental està format per un únic resultat Ω⊂ω .

Un succés és un subconjunt del conjunt fonamental: Ω⊂A .



2.2 Classificació dels conjunts fonamentals

Discrets: si existeix una aplicació dels conjunts de resultats en els naturals.

1. Un conjunt fonamental discret pot ser finit, per exemple el llançament d’un dau.

2. El conjunt fonamental és discret infinit si existeix una bijecció amb els naturals, per exemple en comptabilitzar el nombre de vegades que llancem una moneda fins que surt cara : 0≥=Ω iCX i .

Continus, si es pot establir una relació amb els nombres reals, per exemple com pot ser el temps de vida d’una bombeta : ∞<≤ℜ∈=Ω tt 0 .



2.3 Àlgebra de successos

Hi ha dos successos especials:

El succés cert (donada una experiència aleatòria sempre es realitza: Ω) .

El succés fals (mai es realitza, no conté cap succés elemental, simbolitzat per ∅).

Dins el conjunt dels successos, hi ha un seguit d’operacions derivades de la Teoria de Conjunts:

1. Succés contrari o complementari: Sigui un succés A tal que A⊂ Ω.

Definim el succés contrari A com el succés que es realitza quan no es realitza A.

És a dir, A =ω∈Ω / ω∉A.

2. Succés intersecció: Siguin dos successos del conjunt fonamental, A1 i A2 , A1 ⊂ Ω i A2 ⊂ Ω.

Parteix de dos successos del conjunt fonamental, i es realitza quan ho fan A1 i A2 alhora.

Matemàticament, A1 ∩A2 =ω∈Ω / ω∈ A1 ∧ ω∈ A2.

3. Succés unió: Siguin dos successos A1 i A2, A1 ⊂ Ω i A2 ⊂ Ω,

El succés unió d’aquests dos es realitza quan es realitzen A1 ó A2 .

És a dir, A1 ∪A2 =ω∈Ω / ω∈ A1 ∨ ω∈ A2.



Una mica més de terminologia …

• Implicació: Si el succés A1 implica la realització del succés A2, notat A1 ⇒ A2 , l’única cosa que vol dir és : A1 ⊆ A2 ⊆ Ω.

• Dos successos són incompatibles si A1 ⊂ Ω i A2 ⊂ Ω i A1 ∩ A2 = ∅. La intersecció dels successos és el succés fals (no conté cap succés elemental).

• Un succés A es realitza en una instància de l’experiència aleatòria si el resultat, w, és tal que A∈ω .

L’Àlgebra de Successos, basada en la Teoria de Conjunts, gaudeix d’unes certes propietats:

• Commutabilitat: A∪B = B∪A i igualment A∩B = B∩A.

• Associabilitat: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C. Igualment amb la intersecció.

• Distributivitat: A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) i A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).

• Identitat: A∪∅=A i A∩Ω=A.

• Complementarietat: A∪ A =Ω i A∩ A =∅.

• Lleis de De Morgan: A B A B i A B A B∪ = ∩ ∩ = ∪ .

• Complementarietat del complementari: A A= .



Exemple de la Sala amb 3 PCs: Definir Ω, A: Almenys 2 PC lliures, B: Tercer PC lliure, C: Els tres PC lliures. (Amb el conveni 0≡PC ocupat, 1≡PC lliure)

Els possibles resultats, que constituiran successos elementals, són (si ‘abc’ indica la posició dels 3 PC’s):

ω1=000,ω2=100,ω3=010,ω4=001,ω5=011,ω6=101,ω7=110,ω8=111

Amb aquesta notació tenim:

Ω=ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7,ω8

A=,ω5,ω6,ω7,ω8

B=ω4, ,ω5,ω6,ω8

C=ω8



2.4 El conjunt de les parts de Ω (finit)

El conjunt de les parts o conjunt de successos d’una experiència aleatòria (notat ℘(Ω)) és el conjunt format per tots els possibles subconjunts de Ω.

Cada subconjunt de ℘(Ω) és un succés. Aquest conjunt compleix certes propietats:

• E ∈℘(Ω)⇒ E ∈℘(Ω). El conjunt de les parts és tancat per complementarietat .

• ∀n > 0 En ∈℘(Ω)⇒ ( )Enn 0>

∈℘U Ω . És tancat per la unió.

• Ω∈℘(Ω).

Demostració: ( ) ( ) ( ) ( )E E E E∈℘ ⇒ ∈℘ ⇒ ∪ ∈℘ ⇒ ∈℘Ω Ω Ω Ω Ω .

• ∅ ( )∈℘ Ω .

Demostració: ( ) ( ) ( )Ω Ω Ω Ω Ω∈℘ ⇒ ∈℘ ⇒ ∅ ∈℘ .

• El cardinal de les parts del conjunt és dos elevat al cardinal de Ω: ( )℘ =Ω Ω2 .

Ex: Llançament de 2 monedes d’on interessa comptar el nombre de cares,

2,1,0=Ω ( ) Ο/=Ω℘ ,2,1,0,2,1,2,0,1,0,2,1,0



2.5 Definicions de probabilitat

Definició Clàssica

Lligada als jocs d’atzar, sigui un succés A⊂Ω, aleshores,

( )possiblescasosdeNombrefavorablescasosdeNombreAP =

Avantatges:

És simple

Inconvenients:

Només es poden tractar conjunts fonamentals finits.

Pressuposa l’equiprobabilitat dels successos elementals.

Per exemple, si es disposa d’una moneda trucada on a llarg termini apareixen el doble de cares que de creus,

21 ,, ωω==Ω XC i a més 1ω=A i 2ω=B ,

( ) ( ) ( ) ( )21

31

21

32

21 ≠==≠== ωω PBPPAP



Definició Freqüentista Sigui un succés A ⊂ Ω, es defineix la probabilitat del succés A com el límit de la freqüència absoluta de realitzacions del succés, f(A), al llarg d’un nombre gran de repeticions de l’experiència aleatòria,

( ) ( )APnsrepeticiondeNombre

AsuccésdelonsrealitzacideNombreAf n →= ∞→,

Avantatges: És simple conceptualment i captura la manca d’equiprobabilitat dels successos elementals.

Inconvenients: No sembla massa pràctic a la realitat.

En l’exemple de la moneda trucada on a llarg termini apareixen el doble de cares que de creus, 21,, ωω==Ω XC i 1ω=A ,

( ) ( )3232

,= →≈= ∞→ AP

nn

nsrepeticiondeNombreAsuccésdelonsrealitzacideNombreAf n

Una tupla (Ω,℘(Ω)) constituïda per un espai fonamental de resultats Ω d’una experiència aleatòria i el conjunt de les seves parts ℘(Ω) s’anomena espai probabilitzable.



Definició Actual de Probabilitat

Basada en l’axiomàtica de Kolmogorov, pren forma de definició estrictament matemàtica,

Sigui (Ω,℘(Ω)) un espai probabilitzable.

La probabilitat és tota aplicació P :℘(Ω) → [ ]1,0 tal que compleix els tres axiomes següents:

1. Axioma de probabilitats totals:

( ) ( ) ( ) ( )BPAPBAPBABA +=∪⇒∅=∩Ω℘∈ t.q.,

2. Axioma complert de les probabilitats totals:

( ) ( )∑>>

=

⇒≠∀∅=∩Ω℘∈>∀

00

.. 0n

nn

njin APAPjiAAqtAn U

3. Axioma de normalització:

( ) 1=ΩP



Definició d’Espai Probabilitzat:

La tripleta (Ω,℘(Ω), P) constituïda per un espai fonamental de resultats Ω d’una experiència aleatòria i el conjunt de les seves parts ℘(Ω) sobre els qui s’ha definit una aplicació de probabilitat s’anomena espai probabilitzat.



2.6 Propietats de la Probabilitat

1. ( ) ( )APAP −= 1

2. ( ) 0=Ο/Ρ

( )( ) ( ) ( ) 011111 =−=Ω−=∅−=∅⇒

Ω℘∈∅

PPPpropietatPer

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )APAPAPAPPdoncsAixí

PaxPerAPAPAAPPaxPer

AAiAAAA

−=⇒+==

=⇒+=∪=⇒

∅=∩=∪⇒℘∈⇒℘∈

11

131

Ω

ΩΩ

ΩΩΩ

,

.

.



3. Siguin A i B ( )Ω℘∈ no incompatibles, és a dir, Ο/≠∩ BA , llavors es compleix:

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAPBAPBAPBP

BAPAPBAAPBAP

BABAiBABAB

BAAiBAABA

∩−+=∪⇒

⇒

∩+∩=

∩+=∩∪=∪

∅=∩∩∩∩∪∩=

∅=∩∩∩∪=∪



REPRESENTACIÓ ARBORESCENT

Sigui una urna amb U=(B1, B2, N) .

Si l’experiència és:

1. Extreure 2 boles amb reposició.

2. Extreure 2 boles sense reposició

3. Si U=(b, b, n) llavors repetir 1 i 2.

Calcular en cada cas P(E) i P(E’) on

E: Treure B 1er i N 2on

E’: Treure B i N en qualsevol ordre



B1-1/3

B2-1/3

N-1/3

B1-1/3 B2-1/3

N-1/3

B2-1/3B1-1/3

N-1/3

B1-1/3 B2-1/3

N-1/3

1.-En aquest cas tenim

Ω1=(B1,B1),(B1,B2),(B1,N),(B2,B1),(B2,B2),(/B2,N),(N,B1),(N,B2),(N,N)

Així P(ωi)=1/9. Llavors E=ω3, ω6 i per tant, P(E)=1/3·1/3+1/3·1/3=2/9.

D’altra banda E’=ω3, ω6, ω7, ω8 d’on tenim que P(E’)=1/3·1/3+1/3·1/3+1/3·1/3+1/3·1/3=4/9



B1-1/3

B2-1/2

N-1/2

B2-1/3 B1-1/2

N-1/2

N-1/3 B1-1/2

B2-1/2

2.-En aquest cas Ω2=(B1,B2),(B1,N),(B2,B1),(B2,N),(N,B1),(N,B2). Per tant, P(ωi)=1/6.

Llavors E=ω2,ω4 i tenim que P(E)=1/3·1/2+1/3·1/2=1/6+1/6=2/6=1/3.

D’altra banda E’=ω3,ω4,ω5,ω6 i així P(E’)=1/3·1/2+1/3·1/2+1/3·1/2+1/3·1/2=4/6=2/3.



3.1.-Aquí tenim que Ω3=(B,B),(B,N),(N,B),(N,N)≡ω1, ω2, ω3, ω4. Les corresponents probabilitats són P(ω1)=4/9,P(ω2)=2/9,P(ω3)=2/9,P(ω4)=1/9.

Llavors E=ω2 i P(E)=2/9.

Anàlogament E’=ω2,ω3 i P(E’)=2/9+2/9=4/9.

3.2.En aquest cas Ω4=(B,B),(B,N),(N,B)≡ω1,ω2,ω3. Les probabilitats són P(ω1)=2/6,P(ω2)=2/6,P(ω3)=1/3.

Els succés E=ω2, pel que P(E)=2/6=1/3.

D’altra banda E’=ω2,ω3, pel que P(E’)=2/6+1/3=2/3.

B-2/3

N-1/3

B-2/3

N-1/3

B-2/3

N-1/3

B-2/3

N-1/3

B-1/2

N-1/2

B-1



2.7 Probabilitat condicionada

Tenim a priori una informació per calcular la probabilitat d’un determinat succés A ⊂ Ω lligat a una experiència aleatòria.

Aquesta disponibilitat d’informació és una situació en la qual coneixem la probabilitat de realització d’un altre succés B ⊂ Ω tal que P(B) > 0 i volem veure com influeix P(B) en P(A).

Una cosa és la probabilitat d’un succés A (P(A)) i una altra és la probabilitat de A condicionada a B (P(A/B)).

La probabilitat condicionada és el càlcul de la probabilitat d’A suposada la realització de B.

Si P(B)>0 llavors:

Si P(B)=0 la probabilitat condicionada no està definida.

( ) ( )( )BP

BAPBAP ∩=/



Conseqüències:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0// 0 /0 /

==∅=∩•

>⋅>⋅

=∩•

ABPBAPaleshoresBASiAPsiAPABPBPsiBPBAP

BAP

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) 1/

/

==∩

=⊃•

≥=∩

=⊂•

BPBP

BPBAPBAPaleshoresBASi

APBPAP

BPBAPBAPaleshoresBASi



2.8 Independència

La independència és un concepte matemàtic, no intuïtiu.

Si tenim P(B)>0, aleshores pot passar:

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

⇒=⇒<⇒>

ciaindependèn tenim :A de órealitzaci la afecta no B/

A de órealitzaci la perjudica B/A de órealitzaci laafavoreix B /

/APBAPAPBAPAPBAP

BAP

Dos successos A i B són independents si i només si P(A/B)= P(A); o sigui, quan la realització de B no afecta la realització de A.

Una altra manera de verificar la independència entre dos successos és que dos successos són independents si i només si P(A∩B)=P(A)·P(B), ja que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )BPAPBPBAPBAP ⋅=⋅=∩ /



La independència de successos té les següents propietats:

• Dos successos incompatibles de probabilitat no nul.la i diferent de la unitat mai són independents: Siguin A , B ⊂ Ω tals que (A∩B) = ∅ ⇒ P(A∩B)= 0

P(A)>0 i ·P(B)>0 per tant P(A)·P(B)>0 i mai són independents

• El succés fals és independent de tots els successos: P(∅)·P(A) = 0 ∀A⊂ Ω

• És commutativa: A independent de B ⇔ B independent de A

• És NO transitiva: A independent de BB independent de C

A independent de C

/⇒

Contraexemple:

( ) ( ) ( ) ( )104 i

101 com definidaat probabilit

una amb ,,,,, successos els i ,,, Sigui

4321

4332214321

=ω=ω=ω=ω

ωω=ωω=ωω=ωωωω=Ω

PPPP

CBA



2.8.1 Independència mútua

Ara cal veure com s’estableix la independència entre més de dos successos.

Un conjunt de successos A1 ,...,An són mútuament independents si per tots els subconjunts de cardinal

2 ≤ k ≤ n de ℘(Ω) es compleix que la probabilitat de la intersecció és igual al producte de probabilitats:

Per exemple, per verificar la independència entre A1 , A2 , A3 caldrà verificar la independència entre

(A1 ,A2), (A1 ,A3), (A2 ,A3), (A1 ,A2 ,A3).

( ) krmtqrmAPAPr

mjj

r

mjj ≤<<∀=

∏

==

1 , I



Exemple d’independència dos a dos i independència mútua.

Siguin els següents successos definits a partir de l’experiència aleatòria dels llançament simultani de 2 daus (equilibrats i tots dos amb 6 cares):

A= 1r. número senar, B= 2r. número parell i C= números amb la mateixa paritat.

Exemple d’independència dos a dos i independència mútua…

P(A C) els dos senars 336

936

14

P(A) 1836

12

P(C) 1836

12

A i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B) 936

14

P(A) 12

P(B) 12

A i B independents.

∩ = =

=

=

⇒



P(B C) els dos parells 336

936

14

P(B) 1836

12

P(C) 1836

12

B i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B C) P(A) P(B) P(C) ?

P(A) P(B) P(C) = 12

P(A B C) = P( ) = 0 1

80 no mutuament independents. 3

∩ ∩ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

∩ ∩ ∅

⇒ ≠ ⇒

18



( )

( ) ( ) jisiBABA

BAA

ji

n

ii

≠∅=∩∩∩

∩==

queja 1U

2.9 Teorema de les probabilitats totals

En Teoria de Conjunts es defineix una partició com un conjunt de conjunts de la següent manera:

Sigui un succés qualsevol A ⊂ Ω , A es pot expressar com a unió dels successos disjunts relacionats amb la partició B1,...,Bn:

Aleshores la probabilitat del succés A pot expressar-se com:

Un

1i

n1

i ,1 , ;,

conjunt del particióuna formen ,..., successos Els

=

Ω=≤≤≠∀∅=∩

⇔Ω

iji BnjijijiBB

BB

( ) ( ) ( )∑==

∩=

∩=

n

ii

n

ii BAPBAPAP

11U



El Teorema de les Probabilitats Totals expressa l’anterior igualtat:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

⋅

=∩=

n

i

n

ii

ii BPB

APBAPAP1 1



2.10 Fórmula de Bayes

Sigui un succés A ⊂ Ω.

Sigui n1 B,,B K una partició del conjunt fonamental Ω. Les probabilitats a priori es defineixen com:

niBA

i,,1K=

Ρ .

Les probabilitats a posteriori es defineixen com

niABi ,,1K=

Ρ

i s’interpreten com “Donada la realització del succés A, la probabilitat que el succés iB s’hagi realitzat

s’anomena probabilitat a posteriori de iB ”.



Les probabilitats a posteriori poden calcular-se a partir de les probabilitats a priori mitjançant la definició de probabilitat condicional i el Teorema de les Probabilitats Totals i duu el nom de Fórmula de Bayes:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

Ω

⋅

⋅=

⋅=

∩=

∑=

de partició la de Belement qualsevolPer i

1i

n

ii

iiiiii

BPBAP

BPBAPAP

BPBAPAP

ABPABP



2.10.1 Exemple Tenim dues urnes: U1 conté un 70% de boles blanques i un 30% de boles negres, i U2 conté un 30% de boles blanques i un 70% de boles negres.

Es tria una urna a l’atzar, i es treuen, amb reposició, 8 boles blanques primer i 2 negres després. Quina és la probabilitat que l’urna sigui la U1?

Codifiquem: U1= “ treure les boles de l’urna 1” ; U2= “ treure les boles de l’urna 2”. N= “ treure bola negra” ; B= “ treure bola blanca”. K= “ treure 8 boles blanques i 2 negres, en ordre BBBBBBBBNN”. Informació a priori: P(U1) = P (U2)=1/2 P( B / U1) = 0’7 P( N / U1) = 0’3 P( B / U2) = 0’3 P( N / U2) = 0’7 Quant val P (U1 / K )? Primer caldrà saber quant val P( K / U1) i P( K / U2). P( K / U1)= P( B / U1)8 · P( N / U1)2 = 0’78·0’32

P( K / U2)= P( B / U2)8 · P( N / U2)2 = 0’38·0’72

0'993840'70'30'30'7

0'30'7

)P(U)P(K/U)P(U)P(K/U)P(U)P(K/U/K)P(U

2828

282211

111

=⋅+⋅

⋅=

=⋅+⋅

⋅=

cÀlcul de probabilitats resums dels apunts de les …lmontero/lmm_tm/teo_es11_1.pdf · prof....

Documents