cÀlcul de probabilitats - · 5-s intro (1,5 no 3h) presentació professor i estructura de...

CÀLCUL DE PROBABILITATS

FACULTAT DE MATEMÀTIQUES I ESTADÍSTICA

Diplomatura d’Estadística

APUNTS DE CLASSE PROF. LÍDIA MONTERO: PRESENTACIÓ I TEMA 1

AUTORA:

Lídia Montero Mercadé

Departament d’Estadística i Investigació Operativa

Versió 2.2 Setembre de 2.005

FME – Diplomatura d’Estadística Càlcul de Probabilitats

Prof. Lídia Montero Pàg. 1-2 Curs 2.005-2.006

1-1. PROGRAMACIÓ CURS 2005-06

PROGRAMACIÓ Càlcul de Probabilitats (Prof. Lídia Montero i Mónica Bécue): Sistematitzada per assignatura CP de FME.

ID TEORIA TEMARI DETALLAT PRÀCTIQUES en subgrups 1

5-S INTRO

(1,5 no 3h) Presentació professor i estructura de l’assignatura (0,5h) Introducció a l’anàlisi exploratori de dades. Punter Data Mining

No lectiu CP-DE

2 12 S

TP (3h)

Introducció a la Teoria de la Probabilitat: Conjunt fonamental, successos. Àlgebra de successos. Propietats de l’àlgebra de successos

Introducció al MINITAB

3 19 S

TP (1,5h)

Introducció a la Combinatòria Definicions de probabilitat: Definició clàssica, freqüentista i actual

Simular un dau, una moneda



4 26 S

TP (3h)

Propietats bàsiques de la probabilitat. Probabililitat de l’unió. Probabilitat condicional: Concepte Probabilitat condicional: Teorema de Probabilitats Totals Fórmula de Bayes

Pb 1:

Combinatòria i probabilitat

5 3 O

TP-VAD (3h)

Problemes Variables Aleatòries Discretes Concepte i definició. Funció de probabilitat i funció de distribució

Pb2: probabilitat condicional

6 10 O

VAD (1,5h)

Moments : Esperança i variança. Moments de funcions d’una variable a.d.

Pb 3: variables aleatories: funció de proba, de distr,

esperança, variança

7 17 O

VAD (3h)

Exemples de contrucció de variables: suma i diferència absoluta del llençament de 2 daus Vectors Aleatoris Discrets. Concepte i definició Funció de probabilitat. Funcions de probabilitats marginals i condicionals. Concepte d’independència. Independència mútua.

Sessió de Repàs



8 24 O

VAD (1,5h)

Moments de funcions de vectors aleatoris discrets. Casos particulars: suma d’esperances, variança de sumes, etc. Covariança i coeficient de correlació lineal. Propietats.

Pb 4: Parell de variables aleatories

No lectiu CP-DE Grup b

9 31 O

VAD (1,5h)

Procés binomial: v.a. binomial de paràmetres n i p. Propietats.

Pb 4: Parell de variables aleatories

No lectiu CP-DE Grup a

10 7-N

VAD (3h)

Parcial 8 N

Procés binomial: v.a. geomètrica p i v.a. binomial negativa r i p Llei Hipergeomètrica. Problemes VAD

Pb 5: Bernoulli y binomial,

Tablas

11 14-N

VAD (3h)

v.a. Poisson. Relació amb les binomials. Problemes VAD

Taules de Contingència: independència a partir de

dades mostrals

12 21-N

VAC (3h)

Definició de v.a.contínua. Funció de densitat de probabilitat i f. Distribució. Diferències i semblances amb els models discrets. Definició d’independència

Pb 6_ geométrica, binomial negativa, Poisson

Tablas



13 28-N

VAC (3h)

Exemples v.a.contínues clàssiques: v.a. uniforme [a,b]. Exemple espera dels amics. v.a. exponencial. Relació amb llei de Poisson.

Pb 7. Variable aleatoria continua, Uniforme.

Exponencial, relación con la Poisson

14 5-D

VAC (1,5h)

No lectiu CP-DE No lectiu CP-DE

15 12-D

VAC (3h)

v.a. normals Relacions entre models i aproximacions. Noció de llei de grans nombres. Teorema Central del Límit

Pb 8

v.a.normal

Ús de les taules

16 19-D

Repàs (3h)

PROBLEMES Pb9

Teoremas límites



1-2. PÀGINA WEB



1-3. RESUM D’AVALUACIÓ

Referències bàsiques:

• Meyer, P.L.: Probabilidad y aplicaciones estadísticas. Ed. Addison-Wesley, 1992. • Peña, D.: Estadística, modelos y métodos: 1. fundamentos. Ed. Alianza Universidad, 1989-91. • Trivedi, K.S.: Probability and statistics with reliability queuing and computer sciences applications (2nd

Edition). John Wiley and Sons, New York, 2001 ISBN number 0-471-33341-7. • Wonnacott, T., Wonnacott, R.: Introducción a la estadística. Ed. Limusa, 1979.

• Ian Hacking, An Introduction to Probability and Inductive Logic, Cambridge University Press, 2001. Altres Referències complementàries:

• Montero Mercadé, Lídia: Apunts de classe: resum de les sessions de teoria. Publicacions de la FME, Setembre del 2005.

• Montero, Lídia i Bécue, Mònica: Quaderns de Càlcul de Probabilitats: Problemes resolts i sessions de laboratori. Publicacions de la FME, Setembre del 2005.

Resum d’avaluació:

ASPECTE % NOTA FINAL NOTA d’EXAMEN PARCIAL 15 NOTA d’EXAMEN FINAL(*) 65 NOTA de SEGUIMENT LABORATORIS-PARTICIPACIÓ

20



1-4. TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Dades d’Edat i Lloc de Residència dels components de la classe de Càlcul de Probabilitat de DE-UPC.



TEMA 1: INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Descripció d’una variable contínua: Missing i Outliers

• Valors Numèrics

- Mesures de Tendència Central: Mitjana, Mediana, Moda

- Mesures de la Dispersió: Variància, Desviació Estàndar, Quartils, IQR, Màxim, Mínim

• Representacions Gràfiques

- Histograma, Histograma Acumulat.

- BoxPlot.

- Pie Chart.




Descripció d’una variable categòrica

• Representacions Gràfiques

- Histograma, Histograma Acumulat.

- Pie Chart.




Estadística Descriptiva Univariant Continua: Indicadors numèrics

MINITAB: Statistics →Basic Statistics →Descriptive Statistics

- Mitjana x = ∑=

11n xi

i

n

(Media, mean)

- Mediana: Valor de la variable tal que 50% Observacions són < Mediana (Q2) & 50% Observacions són > Mediana (Q2) (Mediana, median)

- Quartil Q1 del 25% i quartil Q3 del 75%: Valors de la variable que

25% Observacions són < Q1 & 75% Observacions són > Q1

75% Observacions són < Q3 & 25% Observacions són > Q3

- Variança ( )2sx =−

−∑=

11

2

1n ix xi

n

(Varianza, variance)

- Desv. Estàndar xs (Desviación Standard o Típica, Standard Deviation)



-

MEDIANA50

Q1 Q3

2525




Resta CatalunyaEstat EspanyolBCN-AMB

10

5

0

residència

Num

ber N

onm

issi

ng o

f eda

t

Resta Catalu ( 3; 20,0%)

Estat Espany ( 2; 13,3%)

BCN-AMB (10; 66,7%)

Pie Chart of residència




MTB > Describe 'edat'.

Descriptive Statistics: edat Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

edat 15 18,800 19,000 19,231 2,908 0,751

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

edat 9,000 23,000 19,000 20,000

2422201816141210

10

5

0

edat

Freq

uenc

y




20 25 30 35 40 45 50 55 60

0

1

2

3

4

llista ED

Freq

uenc

y




20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

5

6

7

llista ED_1

Freq

uenc

y




MTB > Describe 'llista ED'. Descriptive Statistics: llista ED Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean llista E 15 43,93 46,00 44,38 11,25 2,90 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 llista E 22,00 60,00 35,00 54,00 MTB > Describe 'llista ED_1'. Descriptive Statistics: llista ED_1 Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean llista E 16 47,44 46,00 45,50 17,73 4,43 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 llista E 22,00 100,00 36,50 54,00



COMBINATÒRIA

El principi de Multiplicació

El número total de maneres diferents de realitzar varies eleccions successives és el producte del número de formes diferents en què poden realitzar-se cadascuna de les eleccions individuals.

Exemple: Una persona ha de viatjar de Madrid a València i de València a Eivissa. El viatge de Madrid a València es pot fer en automòbil, ferrocarril o avió, i de València a Eivissa es pot anar en vaixell o en avió. El número total de maneres diferents de viatjar de Madrid a Eivissa es pot veure a la figura.

MADRID VALÈNCIA EIVISSA

Automòbil _____ Avió Automòbil _____ Vaixell Ferrocarril _____ Avió Ferrocarril _____ Vaixell Avió _____ Avió Avió _____ Vaixell

En total, aquesta persona pot viatjar de 623 =⋅ maneres diferents.

El mètode aplicat a l’exemple és l’eina bàsica per trobar la solució de problemes on cal desenvolupar successivament tasques que es puguin dur a terme de vàries maneres diferents: si cal realitzar successivament vàries tasques i la primera es pot desenvolupar d’m formes diferents, la segona d’n maneres diferents, etc. Llavors el nombre total N de formes diferents de dur a terme les tasques és el producte



nmN ⋅=

Variacions Sigui un conjunt A amb nA =# (el nombre d’element de A). Es defineix el conjunt de les “variacions d’elements” presos de k en k com totes les eleccions ordenades de k elements diferents entre els n existents, és a dir:

{ }jiaakiAaaaakAV jiik ≠∀≠=∈= ,;,...,1,:),...,,(),( 21

A la seva cardinalitat se l’anomena knV , i val:

)!(!

)(...)())((...)()),((# ,

knn

knnnknnnVkAV kn

−=

+−⋅⋅−⋅=

−−⋅⋅−⋅==

1111

Exemple: Un nen que està aprenent a parlar té un vocabulari limitat a deu paraules. Es capaç de dir tres d’elles seguides sense repetir cap. Quantes frases es capaç d’articular?

El nen ha d’escollir 3 paraules diferents entre les 10 que coneix, llavors podrà dir:

7208910710

310 =⋅⋅==!!

,V frases.



Permutacions Sigui A amb nA =# un conjunt. El conjunt de les “permutacions dels elements d’ A”, és donat per les maneres diferents d’ordenar els elements diferents d’ A , és a dir:

{ }).,(

,;,...,1,:),...,()( 1

nAVarjiaaniAaaaAPerm jiin

=

≠∀≠=∈=

La seva cardinalitat és: !, nVP nnn ==

Exemple: Cal ordenar 12 llibres en un prestatge. Quantes maneres hi ha de fer-ho?

De 4790016001212 == !P maneres.

Variacions amb repetició Sigui A amb ,# nA = un conjunt. Es defineix el conjunt de “variacions amb repetició” d’n elements presos de k en k a totes les eleccions ordenades de k elements entre els n , això és:

},...,,:),...,{),( 1 kiAaaakAVR ik ∈=

kkn nkAVRVR == )),((#,



Exemple: Travesses possibles:

969.782.431414,3

=

=VR

Permutacions amb repeticions Sigui A amb nA =# un conjunt en el qual no tots els seus n elements són indistingibles: hi ha 1n de la classe 1, 2n de la classe 2, … i rn de la classe r , amb

nnrjnnr

jjj ==≤≤ ∑

=111 ,,...,, .

El conjunt de “permutacions dels n elements d’A on l’element j es repeteix jn cops, rj ,...,1= ” s’anomena conjunt d’ordenacions possibles dels elements d’ A , tenint en compte que dues ordenacions són la mateixa si una pot ser transformada en l’altre només canviant l’ordre dels elements de la mateixa classe.

La seva cardinalitat és:rnn

n PR ,...,1

I es calcula un,



!!...!

!!...)()(#

,...,

,...,

r

nnn

rnn

n

nnnPR

nnPRBPerm

r

r

1

1

1

1

=⇒

⋅=

Exemple: En una llibreria hi ha deu exemplars de Tirant lo Blanc (de la mateixa edició) i quatre de Terra Baixa (també de la mateixa edició). Volem col·locar-los en un prestatge de l’aparador. De quantes maneres pot fer-se? I si no es vol separar els llibres que són iguals?

Responent a la primera pregunta, entre els 14 llibres n’hi ha 10 que són idèntics (hi ha una mena de llibre que es repeteix 10 cops) i d’altres 4 que també són indistingibles (es repeteixen 4 cops), en total podem comptar, doncs:

10011113723411121314

41014410

14 =⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

!!!,PR

maneres de col·locar els llibres al prestatge.

Si no es vol separar els llibres que són iguals, llavors hi ha tantes formes de col·locar-los com permutacions de 2, doncs hi ha 2 menes de llibres. Així doncs, podem col·locar-los de dues maneres: els exemplars de Terra Baixa a l’esquerra i els de Tirant lo Blanc a la dreta, o a l’inrevés.

Combinacions: Sigui A amb nA =# un conjunt. El “conjunt dels elements de k en k ” és el conjunt dels subconjunts d’ A amb k elements:



{ }},:},...,{}:#{),(

1 jiaaAaaakBABkAC

jiik ≠∀≠∈=

=⊆=

on },...,{ kaa1 és una col·lecció no ordenada de k elements diferents.

Proposició: )!(!

!),(# , knkn

kn

CkAC kn −=

==

Exemple: De quantes maneres diferents pot emplenar-se un bitllet de loteria (es marquen sis números entre l’1 i el 49)? I si només s’utilitzen números senars?

S’han de seleccionar 6 números diferents entre els 49 (no importa l’ordre i no hi ha repeticions), així doncs n’hi ha

1398381643649

649

649 =⋅

=

=

!!!

,C

maneres d’omplir el bitllet.

Si només s’utilitzen els números senars, llavors hi ha 25 números possibles per marcar i per tant hi haurà

17700019625

625

625 =⋅

=

=

!!!

,C

maneres d’emplenar el bitllet.

cÀlcul de probabilitats - · 5-s intro (1,5 no 3h) presentació professor i estructura de...

Documents