2. variables aleatÒries discretes 2.1 introducció a la ...lmontero/lmm_tm/teo_es1_2.pdf · la...

FACULTAT D’INFORMÀTICA Continguts de TeoriaESTADÍSTICA 1 VAD

Prof. Lídia Montero Mercadé Pàg. 2-1

2. VARIABLES ALEATÒRIES DISCRETES

2.1 Introducció a la Variable Aleatòria Discreta

El Càlcul de Probabilitats expressa les solucions mitjançant valors numèrics vinculats a successos(probabilitats), però de vegades no és suficient i resulta massa complicat: per exemple, llançant dos daus, lapregunta pot ser més concreta : quina suma surt més?

La formulació dels resultats d’una experiència aleatòria com a variable aleatòria té com a avantatges quepermet reflectir els resultats en valors numèrics, proporcionant un major grau d’abstracció,

èè A canvi, es perd informació sobre el conjunt fonamental de l’experiència aleatòria tractada, de maneraque la construcció de la variable aleatòria ha d’anar més lligada a l’objectiu de l’estudi.

Definició de variable aleatòria discreta

Una variable aleatòria discreta (VAD) és una aplicació tal que a cada ω ∈ Ω li associa un valor real X(ω):

X: Ω → ℜ

ω → X(ω)



Observacions:

èè Si Ω és discret i finit, el conjunt imatge és un subconjunt finit dels reals.

èè Si X és una VAD amb I valors diferents, aleshores X defineix una partició de Ω integrada per:

( ) ( ) iiI

1ii xX tq A on A =ωΩ∈ω==

èè Una notació alternativa és: [ ]ii xXA =≡ , el conjunt de tots el successos elementals (succés) que tenencom a imatge xi.

Un succés ωi no pot estar a dos Ai alhora, per definició d’aplicació.

Ens anirà bé per saber la probabilitat dels diferents valors de la variable aleatòria discreta X, laprobabilitat dels xi’s.



2.2 Funció de probabilitat d’una VAD

èè Sigui X una VAD i I

1iix ==χ el conjunt de tots els diferents valors que pot prendre aquesta VAD.

èè Sigui també la partició de Ω en conjunts de successos.

( ) [ ]iii xXxX tq A =≡=ωΩ∈ω=

Definim la funció de probabilitat de la VAD X, px(x), com una aplicació del conjunt de valors en l’interval[0,1],

[ ] 0,1 : )(xp iX →χ( ) [ ]( ) ( ) ( )

( )∑

=ω

ω====ixX

iiix PAPxXPxp que tal

• És a dir, és una funció definida des del conjunt de valors d’una VAD cap a [0,1], i val la suma de lesprobabilitats dels diferents successos elementals que tenen com a imatge el valor.

• Per ser precisos, cal extendre el domini a tots els reals, simplement indicant una probabilitat nul.la per totsels reals que no formen part del conjunt de valors de la VAD.



2.2.1 Propietats de ( )xpX

èè ( ) 1xp0 x ≤≤ per qualsevol valor real x.

èè ( ) 11

=∑=

I

iiX xp

Exemple:

La Sala amb 3 PCs: Tenim 3 PCs que poden estar ocupats (0) o no (1).

Considerem que les probabilitats que es trobi lliure o ocupat cada un dels PCs és la mateixa(equiprobabilitat).

èè Expresseu de forma gràfica la probabilitat de trobar lliures 0, 1, 2 o 3 PCs.

Indicarem ‘abc’ com el fet que estigui lliure cada un dels PCs: si a=1 vol dir que PC a està lliure i si és 0vol dir que no; igualment amb b i c.



Les 8 codificacions possibles són:

ω1 = 000, ω2 = 001, ω3 = 010, ω4 = 100, ω5 = 110, ω6=101, ω7 = 011, ω8 = 111

èè Sigui Ω = ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 , ω7 , ω8.

èè Establim la VAD X(w)= ‘número de PCs lliures si s’ha donat ω’, o sigui, X(ω)=‘número de 1’s que hiha en la codificació’.

èè Podem fer una partició de Ω amb quatre possibles Ai:

A1 =[ X= x1 ] = [ X= 0]=ω1 .

A2 =[ X= x2 ] = [ X= 1]=ω2 , ω3 , ω4

A3 =[ X= x3 ] = [ X= 2]=ω5 , ω6 , ω7

A4 =[ X= x4 ] = [ X= 3]=ω8

èè La probabilitat de cada ωi és P(ωi )=1/8 i són equiprobables.

èè Per saber quina és la probabilitat de trobar lliures un nombre concret de PCs cal definir la funció deprobabilitat de la VAD X.



èè El conjunt sobre el qual s’estableix la VAD X és χ=0, 1,2, 3. Hem de trobar quan val px per a cada undels valors:

[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]( ) 8

18X4

83

765X3

83

432X2

81

1X1

)( P3XP(3)p : 3x

)( P+)( P+)( P2XP(2)p : 2x

)( P+)( P+)( P1XP(1)p : 1x

)( P0XP(0)p : 0x

=ω=====ωωω=====ωωω====

=ω====

0 1 2 3

0.125

0.375

PX (xi )

Xi



2.3 Funció de Distribució de Probabilitat de X VAD

èè Noció de probabilitat acumulada

èè El succés [ ]xX ≤ denota el conjunt dels successos elementals del conjunt fonamental de l’experiènciaaleatòria tals que tenen per imatge en l’aplicació X VAD un valor real inferior o igual a x.Matemàticament,

[ ] ( ) xXxX ≤Ω∈≡≤ ωω |

[ ]( ) ( )( )

∑≤Ω∈

=≤xX

PxXPωω

ω|

èè La funció de distribució de probabilitat d’una variable aleatòria discreta X es nota Fx(x) i estàdefinida com:

( ) [ ]( ) [ ]( ) ( )∑∑≤≤

===≤=xx

iXxx

iX

ii

xpxXPxXPxF



2.3.1 Propietats d’una funció de distribució, Fx (x) de X VAD

èè ( ) 1xF0 x ≤≤ per tot valor real x.

èè ( )xFX és una funció monòtona no decreixent, és a dir,

( ) ( )2121 xFxFxx XX ≤⇒<

èè ( ) 1=

∞+→xFlim X

x .

èè ( ) 0=∞−→

xFlim Xx .

èè Fx(x) de X VAD està definida a tot l’eix real.

èè Fx(x) s’incrementa a salts, ubicats als punts de l’eix d’abcisses valors de la VAD X, Ixx ,,1 K , i

suposen un increment en el valor de la funció (eix d’ordenades) de magnitud ( )iX xp al ixx = ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1...1

,...,per

1

1111

−=<<=+=

+

−++

IixxxperxFxF

xxxpxFxF

iiixx

Iixixix



èè Exemple: Sala de 3 PCs

X ( )iX xp ( )xFX

0 0.125 0.125

1 0.375 0.500

2 0.375 0.875

3 0.125 1.000 0 1 2 3

0.125

0.375

pX (xi )

Xi

0 1 2 3

0.5

1

FX (xi )

Xi

0.875

0.125



2.4 Moments de X VAD

èè Magnituds resum dels trets més característics de X VAD. Similaritat amb els estadístics definits al Temad’Estadística Descriptiva.

2.4.1 Esperança matemàtica de X VAD

[ ] ( )∑=

=Ε=I

iiXi xpxX

1

µ

on x1,...,xI són els valors de X VAD

èè Sumatori dels productes valor de la variable per la seva probabilitat: magnitud de tendència central delsvalors de X VAD.

èè En l’exemple de la Sala amb 3 PCs, l’esperança és :

[ ] ( )∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=4

1 2

3

8

13

8

32

8

31

8

10

iixi xpxxE



2.4.2 Esperança de funcions reals de X VAD

Si definim una nova variable Y VAD, a partir d’una funció real g(X) sobre la variable X VAD ,

( ) ( )ji

i

yx

xgYX

aaω

=ω

→→Ω ℑχ

èè L’esperança de Y=g(X) VAD pot calcular-se a partir de la funció de probabilitat de X VAD,

[ ] ( )[ ] ( ) ( )∑=

==I

iiXi xpxgXgEYE

1

èè No confondre: en general,

( )[ ] [ ]( )XgXg Ε≠Ε



Exemple de la Sala amb 3 PCs:

Y=g(X)=X2, i es vol l’esperança de Y:

èè Opció 1: A desestimar …

[ ] ( )3

(9)p9(4)p4(1)p1(0)p0YE YYYY1

=

⋅+⋅+⋅+⋅== ∑=

J

jjYj ypy

i per calcular cada terme :

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )81

0XP0XP0YP(0)p 2Y =======

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )8

31XP1XP1YP(1)p 2

Y =======

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )8

32XP4XP4YP(4)p 2

Y =======

[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )81

3XP9XP9YP(9)p 2Y =======



èè Opció 2:

[ ] [ ] 38

13

8

32

8

31

8

10)(xPxXE=YE 2222

4

1iiX

22

i=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

=



èè Algunes propietats de l’esperança matemàtica de X VAD

[ ] [ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]XhEXgEXhXgE

bXaEbaXE

+=++=+

Hi ha dues funcions que es defineixen a partir de l’esperança matemàtica i que són força importants:

èè El moment d’ordre k de la variable X VAD és,

[ ] ∑=

⋅=I

1iiX

kk )(xpxXEi

És un cas particular de [ ]YΕ on Y= g(X)= Xk.

èè El moment centrat d’ordre k de X VAD, notat com kµ , és,

( )[ ] [ ]( )∑=

⋅−=−=µ1...Ii

iXk

ik

k )(xpXExE(X)XE

És un cas particular de [ ]YΕ on Y= g(X)= (X-E[X])k.



Variança de X VAD : és el moment centrat d’ordre 2 VAR(X)2 =µ ,

[ ] ( )[ ] ( ) ( )∑=

−=−=I

iiXi xpx

1

222 E(X)E(X)XE=XVAR σ .

èè És un valor sempre positiu i si 02 =σ , aleshores X és constant. La desviació típica o estàndard esdefineix com la magnitud σ (arrel quadrada de la variança).

èè La propietat

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )2

1

222 XEXEXVAR µ−

=−= ∑

=

I

iiXi xpx

permet calcular més fàcilment la variança. Demostració:

[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ][ ][ ]( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )22222

2222

XXXXX2XX

XX2XXXX2XXXXVAR

Ε−Ε=Ε+ΕΕ−Ε=ΕΕ+

+ΕΕ−Ε=Ε+Ε−Ε=Ε−Ε=

èè Estadístic relacionat en estadística descriptiva com a mesura de la dispersió dels valors d’una

característica quantitativa respecte la tendència central dels valors :( )

1n

xx2X

2is −−∑= .



• Moda: és el valor que més es repeteix.

• Mediana: és el valor que deixa el 50% d’observacions per sota i el 50% per sobre. S’expressa Me i esdefineix com,

Me t.q. P(X≤ Me) = 0.5 i P(X≥ Me) = 0.5.

3020100

30

20

10

0

Profund.

Fre

quen

cy

2010

5443

12

1919

31

20

23

6

Per exemple, aquest histograma representa els valors que pren una variable aleatòria que dóna la profunditatd’un llac dins d’una mostra prefixada. Si considerem que tots els valors són equiprobables, llavors lamediana representa dins el gràfics a la profunditat que deixa el mateix nombre de llacs a dreta i esquerra. Enaquest cas la situaríem sobre 8-9.



Exemple:

èè Llançament de dos daus. Quins valors pot prendre la suma?

Ω= 6·6=36 , X: “VAD Suma dels valors del llençament de 2 daus”.

Cada succés de Ω té probabilitat 1/36.

Xi Ω PX (xi ) Xi Ω PX (xi )

2 1,1 1/36 10 4,65,56,4 3/36

3 1,22,1 2/36 11 5,66,5 2/36

4 1,32,23,1 3/36 12 6,6 1/36

5 1,42,33,24,1 4/36

6 1,52,43,34,25,1 5/36

7 1,62,53,44,35,26,1 6/36

8 2,63,54,45,36,2 5/36

9 3,64,55,46,3 4/36



2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6/36

3/36

PX (xi )

Xi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,02

0,07

0,12

0,17

X

Sum

of N



• Calculem els moments principals, esperança i variança,

[ ] 7361

12362

11363

10364

9365

8366

7365

6364

5363

4362

3361

2)(xPxXE11

1iiXi =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

=

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )2

1

222 XEXEXVAR µ−

=−= ∑=

I

iiXi xpx

Sabem que E[X]=7 i, en conseqüència, E[X]2 = 49, però no sabem quant val E[X2].

[ ]

36

1974

36

112

36

211

36

310

36

49

36

58

36

67

36

56

36

45

36

34

36

23

36

12)(xpxXE

222

2222222211

1iiX

2i

2

=⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑=

[ ] [ ] [ ]( )635

4936

1974XEXEXVAR 22 =−=−=

• Per al càlcul de la mediana sols cal observar en la taula de successos i probabilitat la simetria existent ipodem afirmar d’immediat que la mediana és 7. Veiem també que coincideix amb l’esperança, fenomendegut altre cop a la simetria de la distribució.



• Exemple pel lector:

èè Llençament de dos daus. Quins valors pot prendre la diferència dels resultats en valor absolut?

Y: “VAD Diferència absoluta dels valors del llençament de 2 daus”.

Cada succés de Ω té probabilitat 1/36.

Y Ω pY (yi )

0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5 6,6 6/36

1 1,22,12,33,23,44,34,55,45,66,5

10/36

2 1,3 3,12,4 4,23,5 5,34,6 6,4 8/36

3 1,4 4,12,5 5,23,6 6,3 6/36

4 1,5 5,12,6 6,2 4/36

5 1,6 6,1 2/36

3666 =⋅=Ω



• Calculeu els moments principals, esperança i variança,

[ ] 94.1)(ypyYE6

1iiYi ==⋅= ∑

=

K

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) 07.294.1YEYEYVAR 26

1

222 =−

=−= ∑=i

iYi ypy

543210

0,25

0,15

0,05

Y

Sum

of N

_Y



2.5 Vectors Aleatoris Discrets

Un vector aleatori discretrX de dimensió K, )X,...,X,(XX K21=

r, està composat per K Xi ‘s VAD

definides TOTES sobre el mateix conjunt fonamental Ω d’una experiència aleatòria,

èè rX és una funció vectorial de

Kℜ→Ω que assigna a cada succés elemental Ω∈ω un vectorde K valors reals:

( ) ( ) ( )( ) ( )KK xxX KKr

11XX == ωωω

èè El conjunt de valors del vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r

és un subconjunt discret de (finit oinfinit numerable).

èè Treballarem el cas particular del parell aleatori discret. Y)(X,X =r



Definim la funció de probabilitat del vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r

, ( )xpX

rr com una

aplicació del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial )X,...,X,(XX K21=r

en l’interval [ ]1,0 ,

( ) [ ]1,0:xp KK

x→ℜ⊂χ

tal que( ) [ ]( ) ( )

( )∑

=

===nxX

nnxPxXPxp

ωω

ωω

èè És a dir, és una funció definida des del conjunt de vectors imatge de l’aplicació vectorial

)X,...,X,(XX K21=r

VECTOR A.D. cap a [0,1], i val la suma de les probabilitats dels diferentssuccessos elementals que tenen una imatge comuna nx

r .

èè En el cas particular d’un parell aleatori discret Y)(X,X =r

,

( ) [ ]1,0:y,xp 22XY →ℜ⊂χ

( ) [ ]( ) ( )( ) ( )∑=ω

ω====ji y,xX

jijiXY PyY,xXPy,xp que tal



2.5.1 Propietats de ( )xpX

rr

èè ( ) 10 ≤≤ xpX

rr per qualsevol vector real x

r.

èè ( ) 1

1

=∑=

N

nnX

xpr

r

La suma de les probabilitats de tots els vectors ixr

imatge de l’aplicació )X,...,X,(XX K21=r

vectoraleatori discret és la unitat. El conjunt imatge pot ser finit o infinit, genèricament s’han suposat decardinalitat N (nombre de vectors imatge).

Exemple: Y=1 Y=2 Y=3 Y=4

X=1 1/4 1/16 1/16 1/8

X=2 1/16 1/8 1/4 1/16

Cada cel.la conté la probabilitat conjunta d’un parell de valors:

( ) [ ]( )jijiXY yYxXyxp ==Ρ=,

Qüestió:quin és el valor de pxy(0,0) ?



èè Exemple: Quina és la funció de probabilitat conjunta pel parell definit a partir de l’experiència delllançament simultani de 2 daus: X-“Suma dels valors” i Y-“Diferència absoluta dels valors”.

X/Y 0 1 2 3 4 5 ( )xpX

2 1/36 0 0 0 0 0 1/36

3 0 2/36 0 0 0 0 2/36

4 1/36 2/36 0 0 0 3/36

5 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36

6 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36

7 0 2/36 0 2/36 0 2/36 6/36

8 1/36 0 2/36 0 2/36 0 5/36

9 0 2/36 0 2/36 0 0 4/36

10 1/36 0 2/36 0 0 0 3/36

11 0 2/36 0 0 0 0 2/36

12 1/36 0 0 0 0 0 1/36

( )xpX6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36 /36



2.5.2 Funció de probabilitat marginal

èè Sigui el cas particular d’un parell aleatori discret Y)(X,X =r

,

[ ]( )y=Y,x=X P=y)(x,pXY

A partir de la funció de probabilitat conjunta del parell aleatori discret Y)(X,X =r

es pot determinar la

funció de probabilitat de cadascuna de les variables aleatòries discretes que constitueixen Y)(X,X =r

,denominades funcions de probabilitat marginal de X i de Y,

( )xpX i ( )ypY

( ) [ ]( ) [ ]

[ ]( ) ( )∑ ∑===Ρ=

=

==Ρ==Ρ=

j jjXYj

jjX

yxpyYxX

yYxXxXxp

,

U ( ) [ ]( ) [ ]

[ ]( ) ( )∑ ∑===Ρ=

=

==Ρ==Ρ=

i iiXYi

iiY

yxpyYxX

yYxXyYyp

,

U



Exemple:

Y=1 Y=2 Y=3 Y=4 ( )xpX

X=1 1/4 1/16 1/16 1/8 1/2

X=2 1/16 1/8 1/4 1/16 1/2

( )ypY5/16 3/16 5/16 3/16 1

èè Cada cel.la conté la probabilitat conjunta d’un parell de valors:

( ) [ ]( )jijiXY yY,xXPy,xp ===

èè La funció de probabilitat marginal de X s’obté sumant les columnes.

( ) [ ]( ) ( )∑ ∑= =

===Ρ=4...1 4...1

,j j

jiXYjiiX yxpyYxXxp



( ) ( ) [ ]( )21

81

161

161

41

114...1

1 =+++===Ρ== ∑=j

jXX yYXpxp

( ) ( ) [ ]( )21

161

41

81

161

224...1

2 =+++===Ρ== ∑=j

jXX yYXpxp

èè La funció de probabilitat marginal de Y s’obté sumant les files.

èè A partir de la funció de probabilitat conjunta )y,(xp jiXY és senzill obtenir les funcions de probabilitat

marginal )(yp i )(xp jYiX , però com es fa de les marginals a la conjunta? Només es pot fer quan X i Ysón independents.



2.6 Independència i independència mútua entre V.A.D.’s

• Moments de funcions de diverses variables aleatòries discretes: definició i aplicació al cas de la suma dedues variables aleatòries:

E(X+Y) = E(X)+E(Y). Següent pas natural:

E(XY) ??? Només si X i Y són independents E(XY) = E(X) E(Y).

Els moments bàsics (esperança i variança) de funcions simples de vectors aleatoris discrets adoptenexpressions simples i desitjables sota la hipòtesi d’independència estadística de les variables

El concepte d’independència és vital en l’estadística ja que moltes de les tècniques de l’anàlisi multivariantadopten la propietat d’independència com a pre-requisit fonamental

( )p x yXY , ( )p xX ó ( )p yY

sempre

Sii X i Y indep.



Definició Independència de 2 VADs

X i Y variables aleatòries discretes són independents si i només si

p x yXY ( , ) = p xX ( ) . p y x yY ( ) ,∀

Interpretació

X i Y són independents si el coneixement d’una de les variables no aporta informació sobre l’altra variable.

Definició d’Independència Mútua en un Vector Aleatori Discret

Sigui ( )r

LX X X K= 1 , , un vector aleatori discret de dimensió K. Les variables són mutuamentindependents si i només si ,

p x x p x p xX X i i X i X iK K K K1 1 1 1K K K( , , ) ( ) ( )=



Recordeu que la funció de probabilitat conjunta de dues variable aleatòries discretes sol facilitar-se enforma de taula. Quines implicaicons té la independència de les variables sobre l’aspecte de la taula?

X Y Y y= 1 Y y= 2 ... Y yn= p xX ( )

X x= 1p x y

p x p yXY

X Y

( , )

( ) ( )1 1

1 1

= p x y

p x p yXY

X Y

( , )

( ) ( )1 2

1 2

= ... p x y

p x p yXY n

X Y n

( , )

( ) ( )1

1

= p xX ( )1

... ... ... ... ... ...

X xm= p x y

p x p yXY m

X m Y

( , )

( ) ( )1

1

= p x y

p x p yXY m

X m Y

( , )

( ) ( )2

2

= ... p x y

p x p yXY m n

X m Y n

( , )

( ) ( )

= ( )p xX m

p yY ( ) p yY ( )1 p yY ( )2 ... p yY n( ) 1

èè Les files són linealment dependents entre elles, proporcionals a la probabilitat marginal d’Y. A lavegada, les columnes també són linealment dependents entre elles i proporcionals a la probabilitatmarginal d’X.



2.7 Esperança de funcions sobre vectors aleatoris discrets

èè Sigui un vector a.d. )X,...,X,(XX K21=r

de dimensió K, on Xi són VADs.

èè Sigui una funció definida ℜ→ℜK :h on a cada vector Kx ℜ∈

r li fa correspondre un valor real:

( ) ℜ∈xhr

.

èè L’esperança matemàtica de la funció ℜ→ℜn : h aplicada sobre els vectors imatge de l’aplicació

vector aleatori discret )X,...,X,(XX K21=r

és,

( )[ ] ( )[ ]

∑∑ ∑∑

⋅=

=⋅===

1 2

K1x x

K1X,..,XK1

XK1

)x,..,(xp)x,..,(x...

)x(p)x(X,...,XEXE

Kx

x

h

hhhr

rrrr

èè Per k=2, es té

( )[ ] ( )[ ] ∑∑ ⋅==i j

jiXYii ).y,(xp)y,(xYX,EXE hhhr



èè Interessen funcions h(X,Y) tals com ± i .

èè Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = a±b,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YEX(dem)EYXE)YX,(EZE ±=±== h

Demostració:

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) [ ] [ ]∑ ∑∑∑ ∑ ∑

∑∑ ∑∑∑∑

±=⋅±⋅=

=±⋅=

=⋅±⋅

=⋅±=±

i

i

i

marginal)at probabilit

lasón interns sumatoris (Els,,

,, y) a i-j

emintercanvi i sumatori (Separem ,YXE

YEXEypyxpx

yxpyyxpx

yxpyyxpx

yxpyx

jjYjixi

i j j ijiXYjjiXYi

j j ijiXYjjiXYi

jjiXYji

èè En general :

[ ] conegudesconstantsaon k , ,XEaXaEK

1kkk

K

1kkk ℜ∈⋅=

⋅ ∑∑==

[ ]∑∑==

=

K

1kk

K

1kk XEXE



èè Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = a.b,

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]YEXE )(YXE)YX,(EZE ⋅=⋅== demh si X i Y són independents

Demostració:

[ ] ( ) ( ) )(,. ciaindependènyxpyxYXi j

jiXYji == ∑∑ΕΕ

( ) =⋅⋅⋅= ∑∑ )(yp)(xpyx jYi j

iXji

[ ] [ ]∑∑ ⋅⋅⋅

⋅=j

jYji

iXi YEXE=)(ypy)(xpx

èè En general :

[ ]∏∏==

=

K

1kk

K

1kk XEXE si X1,...,XK mútuament independents.



Exemple: Sigui la funció Z= h(a,b) = [ ]( )2baba ±Ε−±

[ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ][ ] [ ]YVARXVARciaIndependèn

YXVARYXYXh

+===±=±Ε−±==

)(

E)YX,(EZE 2

èè En general :

[ ]∑∑==

⋅=

⋅K

1kk

2k

K

1kkk XVaXaV ARAR si X1,...,XK mútuament independents.

èè [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]YXCOVYVARXVAR

YXVARYXYXh

,2

E)YX,(EZE 2

±+==±=±Ε−±==

Demostració:

[ ] ( ) [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )( )[ ][ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ]

[ ]( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ][ ] [ ] [ ]Y,XCOV2YVARXVAR

YEYXEXE2YEYEXEXE

YEYXEX2YEYXEXE

Y-YX-XYXYXYXARV

22

22

22

±+==−−±−+−=

=−−±−+−

=Ε±ΕΕ=±Ε−±Ε=±



En l’estudi de les propietats de la variança de funcions del parell de variables X i Y, l’expressió de lavariança de la suma requereix d’un nou moment: la covariança entre dues variables.

èè La covariança és una mesura de la relació lineal entre dues variables i té per expressió:

Cov(X,Y) = E((X-E(X)(Y-E(Y)) =

( ( )) ( ( )) ( , )x E X y E Y p x yi j XY i jyx ji

− −∑∑

Definició de Variables No Correlacionades

X i Y són no correlacionades si i només si Cov(X,Y) = 0.

Les propietats principals de la covariança són les següents:

• Cov(X,Y) = E(X.Y) - E(X).E(Y)

• Si X i Y són independents llavors Cov(X,Y) = 0.

• Si 2211 β+α=β+α= YWiXZ llavors Cov Z W Cov X Y( , ) ( , )= α α1 2 .



èè La segona propietat ilustra el fet que dues variables independents són no correlacionades; no obstant, calnotar que la implicació no és vàlida en el sentit invers:

Si X i Y són no correlacionades /⇒ X i Y independents

Donada la importància dels conceptes es proposa un contraexemple que ilustra la proposició anterior:

Sigui X VAD que pren el rang de valors χ = − −k k, , , , , ,L L1 0 1 , k enterpositiu i la funció de probabilitat és constant per a tots els valors anteriors

p x kX i( ) = +1

2 1. Si es defineix Y X= 2 òbviament X i Y no són

independents, però es pot verificar que són no correlacionades.

A. E(X) = 0

B. E(Y) > 0

C. Cov(X,Y) = E(XY) = E( X 3 ) = 0 i per tant, són no correlacionades.



èè L’última de les propietats ilustrada indica que la magnitut de la covariança depèn de les unitats en què esdefineixen les variables i d’aquí sorgeix la necessitat de definir una mesura de la relació lineal decaràcter adimensional, amb el que arribem a la definició del coeficient de correlació lineal:

( ) ( ) ( ) ( )YVaryXVarambYXCov

YX YXYX

=σ=σσσ

=ρ ,

,

èè Propietats principals del coeficient de correlació lineal ( )ρ X Y, :

• ( )ρ X Y, pren valors en l’interval [ ]−1 1, .

• ( )ρ X Y, > 0 si existeix una relació lineal positiva entre X i Y, és a dir, a valors creixents de Xs’observen valors creixents de Y.

( )ρ X Y, < 0 si existeix una relació lineal negativa entre X i Y, és a dir, a valors creixents de Xs’observen valor decreixents de Y.

( )ρ X Y, = 0 si les variables són no correlacionades.

• Si Y = aX + b llavors ( )ρ X Y, = 1 .



èè Exemple:

Siguin X i Y VAD i les probabilitats conjuntes són:

Y=1 Y=2 P (x ) X i

X=1 a 1/2-a 1/2

X=2 1/2-a a 1/2

P (y ) Y j 1/2 1/2 1

1. Per a quins valors de a tenim una funció de probabilitat?

Hem de vigilar a donar un valor de a tal que les probabilitats que surten a la taula siguin vàlids per a unafunció de probabilitat (entre 0 i 1), per tant, els valors seran :

0 ≤ a ≤ 1 i 0 ≤ 1/2 - a ≤ 1

En resum, la funció PXY serà una funció de probabilitat si i només si a∈[0, 1/2].



2. I per a quins valors de a tenim independència entre X i Y?

Els valors pels quals tenim independència seran aquells a∈[0,1/2] tals queP (x , y ) P (x ) P (y ) XY i j X i Y j= ⋅ .

Sabem que P (x ) = P (y ) = X i Y j1

2 . Per tant, seran els valors d’a que compleixin

P (x , y ) =X i j 21

21

4= ⋅1 ; és a dir, els valors que facin alhora a=1/4 i 1/2-a=1/4 ⇒ a=1/4.



èè Exemple:

Siguin dues variables aleatòries discretes X i Y amb probabilitats indicades:

X=-1 X=0 X=1 P (y ) Y j

Y=0 a 2a a 4a

Y=1 3a/2 3a b 9a/2 + b

P (x ) X i 5a/2 5a a+b 1

• Sota quines condicions la taula pot ser ?) y,(xp jiXY

0 ≤ ) y,(xp jiXY ≤ 1 ⇒ 0 ≤ b ≤ 1 i 0 ≤ a ≤ 1/3

1b217 1)y,(xp

i jjiXY =+⇒=∑∑ a



• Quant valP (x ) X i ?

xi P (x ) X i

-1 5a/2

0 5a

1 a+b=1-15a/2

• Definim les funcions Z=X+2Y i T= Màx (X,Y). Quant valen P (z ) Z i i P (t ) T i ?

y x P (x , y )XY i j zi ti

0 -1 a -1 0

0 0 2a 0 0

0 1 a 1 1

1 -1 3a/2 1 1

1 0 3a 2 1

1 1 b 3 1

zi P (z ) Z i

-1 a0 2a1 5a/22 3a3 1-17a/2

ti P (t ) T i

0 3a1 11a/2+b=1-3a



• Calculeu E[Z] i E[T].

[ ]E T t P (t ) 0 3a 1(1 3a) 1 3ai T it 1

2

= ⋅ = ⋅ + − = −=

∑

[ ] 3b2

a19b33a2

2

a51a)(zPzZE

2

1tiZi +=⋅+⋅++−=⋅= ∑

=

• Per a quins valors de a són X i Y independents?

Haurem de mirar-ho casella per casella:

P (-1,0) = a = P (-1) P (0) = a 4a 2a = 20a a = 10a a = 0

a = XY X Y

52

2 2110

⋅ ⋅ ⇒ ⇒ ⇒



Els dos valors ho compleixen a les altres caselles?

a= 0 : Queden totes les caselles 0 excepte a (1,1) no val.

a=1/10 :

PXY

1/10 2/10 1/10

3/20 3/10 3/20

També dóna :

410

520

20200

110

1020

310⋅ = = ⋅ = 6

10

PX·PY

1/10 2/10 1/10 4/10

3/20 3/10 3/20 6/10

5/20 10/20 5/20



2.8 Exemples de Variables Aleatòries Discretes

Procés de Bernoulli:

S’anomena un procés de Bernouli a una seqüència de repeticions d’un experiment aleatori simple quecumpleix:

1. Cada experiència aleatòria té dos possibles resultats (cert/fals, èxit/fracàs,..., genèricament A/B):

BA ωω ,=Ω

2. Al llarg de les repeticions, les probabilitats són constants: P(A) = p i P(B)=1-p = q.

3. Hi ha independència estadística dels resultats al llarg de les repeticions.



2.8.1 Llei de Bernoulli

Sigui la variable aleatòria discreta X definida com,

X: Nb d’aparicions de classe A en 1 repetició d’una prova de Bernoulli simple

èè El conjunt fonamental és BA ωω ,=Ω .

èè L’aplicació variable aleatòria X sobre el conjunt fonamental és,

( ) ( ) 1,0 i 0 1 =χ=ω=ω BA XX

èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució.

[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

[ ]

[ ] ( )pp

ppqppxpx

q

pXp

Xp

iii

A

B

−⋅=

=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=

==

=====−====

∑=

1XVAR

10)1(1)0(0)(XE

1(1)F

(0)F

P1P(1)

qp)(1P0P(0)

XX

2

1X

X

X

X

X

ωω



2.8.2 Llei Binomial de paràmetres n i p

Un procés binomial de paràmetres n i p és la repetició de n experiències d’un procés de Bernoulli deparàmetre p.

èè Sigui Yn: Nombre d’aparicions de classe A en la seqüència de n.

èè Notada com p)B(n,Y ≈n .

èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic i comptar lesclasses A és,

nitqYYYYY in ≤≤==ωωω=Ω 0 ,,,,,,, 210321 KK

On iY denota el succés format per tots els successos elementals que gaudeixen de l’aparició de iclasses A en les n repeticions del procés de Bernoulli bàsic.



succès elemental de referència

èè L’aplicació variable aleatòria Yn sobre el conjunt fonamental és,

( ) nkYY kn ,...,2,1,0 i =χ=

Ara bé la cardinalitat de kY és el nombre de combinacions de n elements de dos possibles valors agafats

en grups de k valors i n-k valors: ( )!!

!

knk

nk

n

−=

i totes elles són equiprobables, cadascuna de probabilitat

( ) knk pp −−⋅ 1 , per tant,

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) knk

knk

kn pp

knk

nBBAA

k

nYkY −

−

−⋅−

=

Ρ

=Ρ==Ρ 1

!!

!321K321K



èè En la terminologia habitual, per ( )pnBX ,≈

[ ]( )

( )

[ ][ ] ( )ppn

pn

pp

k

nkXp

ini

−⋅⋅=⋅=

>

≤≤−

<

=

−

===

∑=

−

1XVAR

XE

nx1

nx01i

n

0x0

(x)F

p)(1pP(k)

x

0iX

k-nkX

:x Enter més gran inferior o igual a x. Ex: 77.3 = .



La funció binomial cumpleix les propietats:

• X B(n,p) i X B(n,1 p), P(X k) P(X n k)1 2 1 2≈ ≈ − = = = −

• X B(n ,p) i X B(n ,p), X X B(n n ,p)1 1 2 2 1 2 1 2≈ ≈ + ≈ +

A l’hora de mirar distribucions binomials, usarem les taules. De quina manera estan expressades les taules?

)p'n,1,-k-B(n-1=k) P(X

)p'n,1,-k-B(n-)p'n,k,-B(n=k)-n=P(X'=k)= P(X

p-1=p' )p'B(n,X' 0'5>p Si

p)n,B(k,=k)X P(

p)n,1,-B(k-p)n,B(k,=k)= P(X 20...n Si

0'5.a 0'05 de pper i 20,<nper expressat Nomes p)n,B(k,(k) F

p)n,b(k,(k) P p)B(n,X

X

X

≤

≈≤

<==≈



2.8.3 Llei geomètrica

Sigui un procés de Bernoulli de paràmetre p, aleshores la variable X,

X= nº de repeticions de l’experiència fins assolir un resultat de classe A.

És una variable aleatòria discreta denominada geomètrica de paràmetre p.

èè Notat com X G(p)≈

èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic fins assolir unaclasse A és,

0|,,,,,,, 321 ≥===Ω iABBBABBABAA iKKωωω


( ) ( ) ,...2,1 i 1 =χ==ω − kABXX Kk



èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució.

[ ]( ) ( )

[ ][ ] 2p

p1

p1

kk

1i

1iX

1kX

XVAR

XE

q1pp)(1(k)F

pp)(1PP(k)

−

=

−

−

=

=

−=⋅−=

⋅−====

∑kkXp ω



2.8.4 Llei Binomial Negativa de paràmetres p i r

Sigui un procés de Bernoulli de paràmetre p, aleshores la variable X,

X= nº de repeticions de l’experiència fins assolir r resultats de classe A.

És una variable aleatòria discreta denominada binomial negativa de paràmetres r i p.

èè Notat com p)(r,BX n≈

èè El conjunt fonamental de l’experiència aleatòria repetició del procés de Bernoulli bàsic fins assolir rclasses A és,

1 tq,,,,,,, 111321 −≥==ωωω=Ω ++− riAYAYAYAYAY irrrr KK

On AY i denota el succés composat per tots els successos elementals que gaudeixen de l’aparició der-1 classes A en i repeticions del procés de Bernoulli bàsic i en la repetició i+1 apareix una classe A.


( ) ,...2,1, i 1 ++=χ=− rrrkAYX k



èè A partir d’aquí es poden deduir fàcilment les funcions de probabilitat i de distribució d’una variablealeatòria X binomial negativa de paràmetres r i p.

[ ]( ) ( )( )

[ ]

[ ]2

k

riXX

r-kr11-k1-r

1X

2p

p1XVAR

prXE

(i)(k)F

p)(1p1

1pp)(1p

1

1

PP(k)

p

rqr

p

r

k

r

k

AYkXp

r

k

=−

=

=

=

−

−−

=⋅−

−−

=

====

=

−−

−

∑



2.8.5 Llei de Poisson de paràmetre λλ

Hi ha vegades en què apareixen successos puntuals sobre un suport continu:

1. Arribada de clients a banc (arribada de client: succés puntual, continu: temps),

2. Aparició de taques de corrosió a una tuberia (aparició de taques: succés puntual, continu: espai).

Un procés poissonià es caracteritza per :

èè L’aparició de successos puntuals en un suport continu; de manera que en promig, el número desuccessos per interval (del continu) és un rati constant, λ, nombre de successos per interval.

èè És un procés sense memòria: en conèixer el nombre de successos observats en un interval no ajuda apredir el que apareixeran en l’interval següent

èè Hi ha independència en l’aparició dels successos puntuals.



èè Una variable discreta X de Poisson de paràmetre λ (X ))(λ℘≈ modelitza en la situació anterior,

X: Nombre de successos en un interval .

èè El rang de valors de la VAD X és ∞= ,...,2,1,0χ i λ és el nombre mig de successos per interval.

èè La llei de Poisson constitueix un cas límit de la llei Binomial quan ∞→n i 0→p .

Funció de probabilitat: enter 0 x-ex!

x(x)xp ≥λλ=

Funció de distribució: enterk 0; x(k)X

p(x)x

Fxk0

≥∑=≤≤

[ ] λ=XE i [ ] λ=XVAR

èè Les taules donen Fx(k). Si volem saber )1(kF(k)F(k)p XXX −−= .



èè En MINITAB:

Avaluació de la funció distribució en el punt k

Avaluació de la funció de probabilitat en el punt k:

MTB> CDF K;> POISSON LAMBDA.

MTB> CDF K;> BINO N P.

MTB> PDF K;> POISSON LAMBDA.

MTB> PDF K;> BINO N P.



èè Exemple.

Les avaries de la màquina d’un taller són en mitjana 2 avaries per setmana.

• Quina és la probabilitat d’observar el succés A: 0 avaries en una setmana?

[ ]( ) 14.0!0

02)0(p=0=XP=P(A)

tmanaavaries/se 2= )2(X

2X ==

λ℘≈

−e

• I la probabilitat del succés B: Tenir menys de cinc avaries en una setmana?

[ ]( ) [ ]( ) 0'947(4)F4XP5XP)P( taulesX ===≤=<=B

• Quina és la probabilitat del succés C: Tenir menys de 6 avaries en un mes?

Y= # avaries en un mes = 4x2 = 8 avaries/mes

[ ]( ) [ ]( ) 191'0)5(F=5YP=6<YP=P(C)

8='on )'(Y

Y ==≤λλ℘≈

taules



2.8.6 Propietats de la llei de Poisson

èè Propietat aditiva: Suposem X i Y referides a la mateixa longitud d’interval d’un cert continu,

)'(YX indep. YX, )'( Y)(X λλλλ +℘≈+⇒℘≈℘≈

èè Relació Binomial-Poisson: útil pel càlcul de probabilitats relacionades amb variables binomials quan n

s’escapa de les taules i 0→p ( < 0.1 ).

( ) )(per Y se-aproximarot X 0 i gran ,X npppn pnB =℘≈⇒→≈ λ

Exemple: Sigui X≡nombre accidents diaris en 20000 clients. Suposem X≈B(20.000,0.0003).

Prenem el succés A≡més de 10 accidents diaris.

( ) [ ]( ) ?)10(110 =−=>= XFXPAP

Podem aproximar la variable aleatòria. Sigui Y=nombre accidents per dia ≈ ℘(λ=np=20.000·0.0003=6).Així podem calcular

( ) [ ]( ) ( ) 0426.010110 =−=>≅ YFYPAP

2. variables aleatÒries discretes 2.1 introducció a la ...lmontero/lmm_tm/teo_es1_2.pdf · la...

Documents