clase magnetismo

7/23/2019 Clase Magnetismo

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27/10/20

Javier Martínez

Tópicos de Física

Magnetismo

2015

Los fenómenos magnéticos son conocidos desde la antigüedad.

Ciertas rocas se atraen entre sí y también atraen algunos metales como elhierro.

Brújula China, siglo IX (origen árabe o Indú).

Magnetita (Fe3O4) Magnes

Al igual que en el caso de cargas, donde introdujimos la noción de campoeléctrico, describiremos los efectos en las proximidades de un imán o deuna corriente eléctrica con la noción de campo magnético (B).

Campo magnético



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• Las fuerzas eléctricas actúan adistancia a través del campo eléctrico.

• Campo vectorial, E.

• Fuente: cargas eléctricas.

• Carga positiva (+) y carga negativo (-).

• Cargas opuestas se atraen y cargasiguales se repelen.

• Las líneas de campo eléctrico muestranla dirección y magnitud de E.

• Las fuerzas magnéticas actúan adistancia a través del campomagnético.

• Campo vectorial, B.

• Fuente: cargas eléctricas enmovimiento.

• Polo norte (N) y Polo sur (S).

• Polos opuestos se atraen y polosiguales se repelen.

• Las líneas de campo magnéticomuestran la dirección y magnitud de B.

Campo eléctrico y campo

magnético

• Carga de prueba y campo eléctrico • Monopolo magnético y campomagnético

• Los polos magnéticos siempre vienende a pares, no ha sido encontrado un polo magnético aislado

Definición de B

B F B

p

E F E

q

N S N S N S

• Definimos B en cierto punto del espacio en función de

la fuerza magnética F B

que el campo magnético ejerce

sobre una partícula cargada moviéndose a una

velocidad v.

• La magnitud F B es proporcional a la carga q y a la

velocidad v de la partícula.

• F B = 0 cuando la carga de la partícula se mueve paralela al vector campo magnético.

• Cuando el vector velocidad tiene un ángulo θ ≠0 con el

campo magnético,F B

es perpendicular a ambos, B y v.

• F B en una carga positiva es opuesta en una carga

negativa.

• La magnitud de F B es proporcional a sen θ .



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• Fuerza magnética

• La regla de la mano derecha determina la dirección de lafuerza magnética. Por lo cual, la fuerza siempre es

perpendicular a v y a B.

• La magnitud de la fuerza magnética es:

Fuerza magnética

• La fuerza eléctrica es a lo largo de la dirección del campo eléctrico, la fuerza

magnética es perpendicular al campo magnético.• La fuerza eléctrica actúa sobre una carga sin importar si ésta se mueve o no, la

fuerza magnética actúa solo sobre cargas en movimiento.

• La fuerza eléctrica realiza trabajo al desplazar una carga, la fuerza magnética no

realiza trabajo cuando la partícula es desplazada.

B F q v B

sin B

F q vB

B F q v B

E F q E

Ejemplo:

Las figuras muestran cinco situaciones en las que una

partícula cargada viaja con una velocidad v a través de un

campo magnético B. ¿Cuál será la dirección de la fuerza

magnética en cada situación?

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

B

B

v

v

v

B B

v

v

B

A B C

D E



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Campos magnéticos

• Campo magnético:

Unidad en el SI del campo magnético: tesla (T)

1T = 1 N/[Cm/s] = 1 N/[Am] = 104 gauss

• Líneas de campo magnético con reglas similares:

– La dirección de la tangente de una línea de campo

magnético en cualquier punto da la dirección del

campo magnético B en ese punto.

– El espaciado entre las líneas representa la magnitud de

B. El campo magnético es más fuerte si las líneas

están más cerca, y viceversa.

En la superficie de una estrella deneutrones

108 T

Cerca de un gran electromagneto 1.5 T

Dentro de una mancha solar 10-1 T

Cerca de una pequeña barramagnética

10-2 T

En la superficie de la Tierra 10-4 T

En el espacio interestelar 10-10 T

CONVENCION

SALE ENTRA

B F B

q v

Movimiento de una partícula cargadaen un campo magnético uniforme

F B nunca puede tener una componente paralela a v y no

puede cambiar la energía cinética de la partícula. La

fuerza solo puede cambiar la dirección de v.

Una partícula cargada se mueve en un círculo en un plano

perpendicular al campo magnético.

De la 2° Ley de Newton:

Luego tenemos

El radio de la trayectoria circular:

La velocidad angular:

El período del movimiento:

B F F ma

2 2 2r mT

v qB

v qB

r m

mvr

qB

2

B

mv F qvB

r

T y ω no dependen de la v de la partícula.

Partículas más rápidas se mueven en círculos

más grandes y las más lentas en círculos más pequeños, pero todas las partículas con la

misma relación masa-carga les lleva el mismo

tiempo T realizar una vuelta completa.

La dirección de rotación de una carga positiva

es siempre en sentido antihorario y el de las

negativas en sentido horario.



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Movimiento de una partícula

cargada en un campo magnéticoTrayectorias circulares: v es perpendicular a B (uniforme);

Trayectorias helicoidales: v tiene una componente paralela

a B.

Movimiento en un campo magnético no uniforme: Fuerte

al final y débil en el medio;

• Botella magnética

• Aurora

|| cos

sin

v v

v v

Ejemplo:

Las figuras muestran las trayectorias circulares de dos

partículas que viajan con la misma rapidez en un campo

magnético uniforme B que entra en la página. Una partícula

es un protón; la otra es un electrón (que es menos masivo).

¿Cuál figura es físicamente razonable?

mv

r qB

A B C

D E



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Movimiento de una partícula cargada en

un campo magnético y un campoeléctrico

La fuerza sobre una partícula cargada que viaja en

un campo magnético y un campo eléctrico es:

Fuerza de Lorentz

Selector de velocidad:

El espectrómetro de masas:

El ciclotrón:

E v

B

2 mT

q B

F q E q v B

qE qvB

0rB Bm

q E 0rBm

q v

2 oscq B mf 1

osc f f

T

0

mvr

qB

Una corriente eléctrica son cargas en

movimiento, y sabemos que las cargas en

movimiento sufren fuerzas cuando están

inmersas en un campo magnético

Fuerza magnética sobre una

corriente eléctrica

mag dF dqv B

ds dqdqv dq ds Ids

dt dt

mag dF Ids B

mag

cable

F Ids B



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Ejemplo:

Un cable de cobre horizontal y recto está inmerso en uncampo magnético uniforme. La corriente que circula por el

cable es saliente de la página. ¿Qué campo magnético hará

posible que el cable quede suspendido equilibrando la

gravedad?

A B C D

Ejemplo:

La figura muestra un cable por el que circula una corriente

eléctrica I . El cable está inmerso en un campo magnético B

uniforme saliente de la página. Determinar la fuerza neta

actuando sobre dicho cable.

. . .dF I dl B dF I dl B

Notar que debido a la simetría del problema F xdel lado derecho del semicírculo se cancela con

F x del lado izquierdo, por lo tanto sólo debemoscalcular F y.

0

sin sin

sin 2

y

y

dF BIdl BIR

F BIR d BIR

ˆ ( 2 ) F BI L R j

Sólo una de las partes rectas del

conductor contribuye a la fuerza



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Espiras rotando. Calcular la fuerza sobre cada lado dela espira:

Torque:

• Máximo torque

• Variación

• Estable cuando n es paralelo a B.

• Torques restauradores: oscilaciones.

Torque en una espira de corriente

2 4sin sin2 2

( sin ) ( sin )2 2

sin sin

b b F F

b biaB iaB

iabB iAB

max( ) sin

2 4 F F iaB

max iAB

i A B

1 3 sin(90 ) sin F F ibB ibB

Fuentes del campo magnético



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Recordemos: el campo eléctrico es producido porcargas eléctricas

2

1ˆ

4 o

q E r

r

r̂ : vector unitario dirigido desde

el objeto cargado hacia el

punto P .

Campo magnético de una carga enmovimiento

Una carga moviéndose con una velocidad v produce uncampo magnético:

18

2

ˆ

4o q v r

Br

m

r̂

Permeabilidad del vacío

7 1

0 4 10 T m Am

P

r̂ : vector unitario dirigido desde

el objeto cargado hacia el

punto P .



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Corrientes como generadoras de

campo magnéticoLas corrientes son generadoras de campo magnético:

v

dq

[meter] [coulomb][coulomb] = [meter]

[sec] [sec]dB dq v

ds dqdB dqv dq ds Ids

dt dt

Ley de Biot-Savart

Un elemento de corriente de longitud ds dirigido en la dirección

I produce un campo magnético:

0

2

ˆ

4

I ds r dB

r

m

dir ˆ

ˆdir ( ) ˆˆ

ds z

B P z r



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Ejemplo 1:

El campo magnético en el punto P está dirigido hacia:

1. dirección +x

2. dirección +y

3. dirección +z

4. dirección -x

5. dirección -y

6. dirección -z

7. El campo es cero

Ejemplo 2:

El campo magnético en el punto P es igual al campo de:

1. Un semicírculo

2. Un semicírculo más el campo

de un cable infinito3. Un semicírculo menos elcampo de un cable infinito

4. Ninguno de los de arriba

Ejemplo 3:

Campo magnético por un alambre recto infinito:

Notar que x, r y no son variables

independientes (están relacionadas por

geometría)

0

2

.

4

i ds sendB

r

m

2 2

2 2, sen sen( )

yr x y

x y

0 0 0

3/2 1/222 2 2 2

0

sen

4 4 4

2

i i idx ydx x B dB

r y x y x y

i B

R

m m m

m



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Ejemplo 4:

Campo magnético producido por un espira:Por simetría, la componente radial es

nula, entonces sólo contribuye la

componente x

con,

0 0

2 2

0

2

.sen .sen90

4 4

cos .cos

4 x

i ids dsdB

r r

i dsdB dB

r

m m

m

2 2 0 0

3/ 222 2 2 2

2

0 0 0

3/2 3/22 2 2 2

cos . ., cos

4 4

si 024 2

i ia a ds a dsr x a dB

r r x a x a

ia ia i B dB ds x B

a x a x a

m m

m m m

Ejemplo 5:

Fuerza entre conductores:

Consideremos dos conductores rectilíneos, cada

conductor produce un campo eléctrico en el que

está sumergido el otro conductor, por lo tanto,

cada uno siente una fuerza magnética producida

por el campo magnético generado por el otro

conductor.

Si ambas corrientes tienen el mismo sentido, los

conductores se atraen. Si ambas corrientes tienen

sentido opuesto, los conductores se repelen.

0

0

''

2

'' '

2

LI I F I L B

r

LII F I L B

r

m

m



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Ley de Ampère

La Ley de Coulomb puede considerarse una ley fundamental de laelectrostática, y usarse para calcular campos eléctricos asociados acualquier distribución de cargas.

Sin embargo, la Ley de Gauss (que contiene a la de Coulomb), permitía realizar los cálculos, en situaciones de alta simetría, másfácilmente. Consideramos que la Ley de Gauss era “másfundamental” que la de Coulomb.

En el caso de campos magnéticos, la situación es similar. La Ley deBiot-Savart permite calcular los campos magnéticos de cualquier distribución de corrientes.

¿Existirá un equivalente a la Ley de Gauss para campos magnéticos?

(ya sabemos que la integral de superficie de B.ds no lo es).

La respuesta es sí: la Ley de Ampère.

Ley de Ampère

La Ley de Ampère establece que: La integral de línea de

B·d s alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual

a 0 I , donde I es la corriente total que pasa a través de

cualquier superficie limitada por dicha trayectoria.

0 B ds I m

Nota:

- Esta ley es válida para corrientes estables.

- Además se utiliza sólo para cálculo de

campos magnéticos de configuraciones de

corrientes con un alto grado de simetría.

- I será positiva si cumple con la regla de la

mano derecha, y negativa en caso contrario.



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Ejemplo 1:

Determinar el valor de la circulación (Teoremade Stokes) del campo magnético a lo largo de la

trayectoria cerrada de la figura:

Ejemplo 2:

En la figura de la derecha, las integrales de

curvilíneas de B a lo largo de las trayectorias a y

b dan m 0 I , mientras que sobre la curva c, sólo

dan una porción de dicho valor.

Tomando la curva a a una distancia ,

0 0 1 2( )enc B ds I i im m

2 2

00 0

B ds B d B d I

m

Ejemplo 3:

En una línea coaxial, tenemos dos conductores

concéntricos llevando la misma corriente I en

direcciones opuestas.

Asumimos que la líneas es infinitamente larga,

con lo cual habrá una simetría polar a lo largo

de , y B sólo variará con el radio.

El objetivo es encontrar B para todo valor de .

Hay cuatro regiones distintas donde analizar el

problema:

0 , 0

,

, 0

, 0

enc

enc

enc

enc

a I I

a b I I

b c I I

c I



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• 0 < < a: dentro del conductor interior

• a < < b: entre ambos conductores

• b < < c: dentro del conductor exterior

• > c: fuera de los conductores

22

0 0 20

0

2

2

2

enc B ds B d B I I

a I B

a

m m

m

0 0

0

2

2

enc B ds B I I

I B

m m

m

2 2

0 0 2 2

2 2

0

2 2

2

2

enc

b B ds B I I I

c b

I c B

c b

m m

m

02 0 0

enc B ds B I B

m

Ejemplo 4:

Campo eléctrico dentro de un solenoide ideal

de n espiras por unidad de longitud:

• Para todas las trayectorias, excepto a-b:

• Para el tramo a-b:

0 B ds

0 0

0

enc B ds Bds BL I nLI

B nI

m m

m



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Ejemplo 5:

Campo eléctrico dentro de un toroide con N vueltas:

• Fuera del toroide: B=0

• a < r < b: dentro del toroide:

2 2

0 00 0

0

2

2

enc B ds Brd Br d B r I NI

NI B

r

m m

m

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