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DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.

Puede verse a una serie de potencias como un polinomio con infinitostérminos. A estas series podemos derivarlas, integrarlas, sumarlas, restarlas,multiplicarlas y dividirlas, en la forma como se procede con los polinomios.

Si una serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio de convergencia> 0.

La función ( ) = ∑ ( − ) representada por esta serie tienepropiedades notables.

Así, ( ) puede derivarse infinitas veces y estas derivadas se obtienenderivando término a término la serie.

Estas operaciones de derivación e integración solo son posibles dentro delradio de convergencia R de las series de potencias; de ahí radica laimportancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.

Teorema: si la serie de potencias ∑ ( − ) tiene un radio deconvergencia > 0, entonces la función ( ) = ∑ ( − ) esdiferenciable e integrable en el intervalo ( − , + ) y se cumple que:

1. ( ) = ∑ ∗ ( − ) ( − , + )2. ∫ ( ) = ∑ ( ) + ( − , + )

El radio de convergencia de las series 1 y 2 es el mismo R.

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Ejemplo: Sea ∑ ( ) = + + +⋯+ ( )lim→ < 1 → lim→ ( + 2) < 1

| | ∗ lim → ( )( ) < 1 ; | | < 1 ; −1 < < 1Entonces el radio de convergencia R es igual a 1.

Derivando ∑ ( ) queda ∑ ( )( ) = ∑ ( )∑ ( ) = 1 + + +⋯+ ( )

lim→ < 1 → lim→ + 2 ∗ + 1 < 1 ; | | ∗ lim→ + 1+ 2 < 1| | < 1 ; −1 < < 1 ; = 1

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POLINOMIO DE TAYLOR Y APROXIMACIONES

Los polinomios nos proporcionan una herramienta importante paraaproximar funciones elementales. Ellos generalizan la idea de aproximaciónlineal de una función mediante la recta tangente. Esto es, si ( ) esdiferenciable en = .

Si ( ) tiene n derivadas en a. se llama polinomio de Taylor de grado n de( ) en a al polinomio:

P (x) = f(a) + ( )! (x − a) + ( )! (x − a) +⋯+ ( )( )! (x − a) Taylor

P (x) = f(a) + ( )! x + ( )! x +⋯+ ( )( )! x Para x=o Mc Laurin

Ejemplo:

Hallar:

1. El polinomio de Taylor de orden 0, 1, 2,3 y 4 en a=1 de la función( ) = ln2. La aproximación de ln(1,1) mediante ( )

Solución: se evalúa la función en x=1 y cada una de sus cuatro derivadas, quees el orden que requiere el enunciado.

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( ) = ln( ) → (1) = ln(1) = 0′( ) = 1x → ′(1) = 1′′( ) = − 1x → (1) = −1′′′( ) = 2x → (1) = 2( ) = − 6x → = −6Ahora se obtienen los polinomios desde el orden cero hasta el orden cuatro.( ) = (1) = 0

P (x) = ( ) + f′(1)1! (x − a) = 0 + 11! (x − 1) = (X − 1)P (x) = ( ) + f′′(1)2! (x − a) = (X − 1) − 12 (x − 1)

P (x) = ( ) + f′′′(1)3! (x − a) = (X − 1) − 12 (x − 1) + 23! (X − 1) =P (x) = ( − 1) − 12 ( − 1) + 13 ( − 1)P (x) = ( ) + f (1)4! (x − a) = (x − 1) − 12 (x − 1) + 13 (x − 1) − 64! (x − 1)P (x) = (x − 1) − 12 (x − 1) + 13 (x − 1) − 14 (x − 4)

Ahora ln(1,1) ≈ (1,1) = 0,1 − (0,1) + (0,1) − (0,1) =

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= 0,1 − 0,005 + 0,000333333 + 0,000025 = 0,095308La calculadora arroja como resultado ln(1,1) = 0,095310179

Observar que a medida que se toma una cantidad mayor de términos en elpolinomio para hacer la aproximación, la curva de este polinomio se acercamás al comportamiento de la función original.

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SERIES DE TAYLOR

Es un método general para obtener ciertas series de potencias de funcionesque poseen derivadas de todos los órdenes en determinado intervalo deconvergencia. Gracias a aquel teorema que plantea, que una serie funcionalse puede derivar o integrar sin afectar su radio de convergencia .

1. Serie de Taylor de , o centrada en :f ( )(a)n! (x − a) = f(a) + f′(a)1! (x − a) + f′′(a)2! (x − a) +⋯+ ( )

Término complementario de LaGrange: ( ) = ( )( )! (x − a)Para que el error cometido no sea trascendente se debe cumplir quelim → ( ) → 0

2. Serie de Mc Laurin de es una serie de Taylor centrada en = 0:f ( )(0)n! X = f(0) + f′(0)1! X + f′′(0)2! X +⋯+ ( )

| ( )| < | |( + 1)!Ejemplo 1: Desarrollar en series de Mc Laurin la función ( )=

Solución: Se determina varias derivadas y se observa el comportamiento delas derivadas. Luego se evalúan estas derivadas para = 0 y se sustituyeen la serie de Mc Laurin.

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( )= → (0) = 1′( )= → ′(0) = 1′′( )= → ′′(0) = 1( )= → ( ) = 1Sustituyendo: = 1 + ! + ! + ! +⋯+ !Para hallar el intervalo de convergencia sería:

lim→ ( + 1)! ∗ ! < 1 ; | | ∗ lim→ !( + 1) ! < 1| | ∗ lim→ 1( + 1) < 1 ; | | ∗ 0 < 1 ; | | < ∞

El intervalo de convergencia será: −∞ < < ∞Ejemplo 2: Desarrollar en serie de Mc Laurin la función ( ) =( ) = → (0) = (0) = 0′( ) = → ′(0) = (0) = 1( ) = − → ( ) = − (0) = 0( ) = − → ( ) = − (0) = −1( ) = → (0) = (0) = 0( ) = → (0) = (0) = 1

( ) = = − ! + ! − ! +⋯+ (−1) ( )!

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lim→ (−1) ∗(2 + 3)(2 + 2)(2 + 1)! ∗ (2 + 1)!(−1) ∗ < 1| | ∗ lim→ 1(2 + 3)(2 + 2) < 1

| | < ∞ ; −∞ < < ∞Ejemplo 3: Desarrollar en serie de Taylor la función ( ) = alrededor

de =( ) = → 2 = 2 = 1′( ) = → ′ 2 = 2 = 0( ) = − → 2 = − 2 = −1( ) = − → 2 = − 2 = 0( ) = → 2 = 2 = 1

Entonces la función ( ) = alrededor de = 2 será:

= 1 − 12! − 2 + 14! − 2 −⋯+ (−1)(2 )! − 2