Tema de la clase:método del transporte

Una metodologia para minimizar el costo total del transporte

Es necesario repasar el tema matrices para luego empezar con el metodo que vamos a ver.

¿Qué es una matriz?

Es un arreglo (o un ordenamiento) rectangular de numeros reales, que tiene n filas y m columnas.

Veamos un ejemplo simple de una matriz:Supongamos que una empresa paga a sus ejecutivos un sueldo y les ofrece tambien participacion en las acciones. En 2008 el Presidente recibio $100.000 y 60 acciones. El Vicepresidente 1ro recibio $60.000 y 30 acciones. El Vicepresidente 2do, recibio lo mismo que el primero. El tesorero recibio $50.000 y 20 acciones. Para 2009, los sueldos asignados y acciones otorgadas representan 1.5 veces lo recibido en 2008.

$/ejecutivo Presidente

Vice 1ro Vice 2do Tesorero

Sueldo 100.000 60.000 60.000 50.000

Acciones 60 30 30 20

2008

$/ejecutivo Presidente

Vice 1ro Vice 2do Tesorero

Sueldo 150.000 click 1

90.000 90.000 75.000

Acciones 90 45 45 30

2009

Si quisieramos conocer los beneficios totales de 2008 y de 2009, deberiamos sumar ambas matrices. Cuando hacemos sumas y restas con matrices, contemplamos que las matrices tienen filas y columnas.Sigamos con el ejemplo anterior:

$/ejecutivo Presidente

Vice 1ro Vice 2do Tesorero

Sueldo 100.000 60.000 60.000 50.000

Acciones 60 30 30 20

Toda matriz tiene “m” filas y “n” columnas. Esta que estamos viendo tiene m=2 y n=4, es decir, tiene 2x4

Ya que ambas matrices, la de 2008 y la de 2009, tienen igual numero de filas y de columnas, podemos sumarlas sin problema. No podriamos sumarlas o restarlas si fueran diferentes.

$/ejecutivo Presidente

Vice 1ro Vice 2do Tesorero

Sueldo 100.000 + 150.000

60.000+90.000

60.000+90.000

50.000+ 75.000

Acciones 60+90 30+45 30+45 20+30

PUEDO SUMAR Y RESTAR:

NO PUEDO SUMAR Y RESTAR:

El orden de la operacion es el usado en la lectura. De izquierda a derecha en la primer fila, luego con la segunda, etc.

Ejemplo suma

2 3

1 1MAS 2 3

1 1IGUAL A:

4 6

2 2

2 3

1 1

Ejemplo resta

2 3

1 1MENOSIGUAL A:

0 0

0 0

Metodo del transporte: es un apoyo a las decisiones de localizacion de la planta. El objetivo es minimizar el costo total del transporte (CTT). Cuando se tienen varias plantas productivas que abastecen a varios mercados, determinando las asignaciones mas convenientes, es decir, cuantas unidades de producto se van a enviar a cada planta.

Visto esto, empezamos con el metodo del trasporte.

Qi y Dj son siempre datos del ejercicio. El objetivo del ejercicio es definir qij para minimizar el costo total del transporte

Tenemos “n” plantas y “m” mercados. Sabemos que cada planta tiene una cantidad maxima

disponible de unidades:Denominamos “qi” a la cantidad de unidades de la planta. Sabemos que cada mercado tiene una demanda o cantidad

requerida: Denominamos “Dj” a esta demanda Sabemos que la capacidad total de la empresa es Q y la

demanda total es D.Entonces: Q=Sumatoria de qi click 2Entonces: D= Sumatoria de Dj click 3 El costo unitario de transporte de una planta X al mercado Y

es “cij” (costo unitario de transporte) La cantidad a transportar de la una planta X al mercado Y, es

“qij”

Con el ejercicio que vemos a continuacion se aclara cada concepto.

¿Te mareo un poco el slide anterior?

Tenemos tres plantas: A, B y C

Que deben abastecer a 3 mercados: I,II y III

El Qi de cada planta es:A=400 unidadesB=300 unidadesC= 500 unidades

El Dj de cada mercado es:I= 500 unidadesII= 250III= 450 unidades

El ejercicio nos provee la Matriz de Costos Directos (MCD), que

nos informa el costo unitario de transportar de determinada

planta a determinado mercado.

Planta/Mercado I II III

A 3 1 3

B 2 3 4

C 5 2 1

ES DECIR, PARA TRANSPORTAR DE LA PLANTA A AL MERCADO I, CADA UNIDAD DE PRODUCTO ME CUESTA 3 UNIDADES MONETARIAS.

Considerando un mercado perfecto, es decir, un mercado en el que la oferta iguala la demanda, realizamos la “Asignacion primaria”, esto es: establecemos la cantidad a transportar de cada planta a cada mercado.

Usamos dos metodos:

Metodo (n-o), es decir, metodo noroeste, se denomina de esta forma por que en la tabla vamos del norte al oeste (de arriba izquierda a abajo derecha).

Metodo de costo minimo

Aplicamos el Metodo (n-o). Partimos de la celda AI (noroeste) y vamos hasta la CIII (sureste). Recuerdas el orden de lectura? no lo recuerdo

I II III click 4Disponible

A 400 400

B 100 200 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

RECORDAR: ES UN MERCADO PERFECTO, NO SOBRA NI FALTA.

¿Que operaciones hicimos en la matriz anterior para distribuir las unidades en los mercados?

I II III click 4Disponible

A 400 400

B 100 200 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

1) UBICAMOS EN AI LOS 400 DISPONIBLES. VEMOS QUE LA DEMANDA ES DE 500. II Y III EN LA FILA A QUEDAN VACIOS, YA NO TENGO MAS DISPONIBLE.

2) USO 100 U DE LA PLANTA B PARA COMPLETAR LA DEMANDA DEL MERCADO I. LISTO, YA CUBRI LAS 500 DE I, PASO AHORA A II.

3) USO LAS 200 QUE ME QUEDAN DE B PARA EL MERCADO II, VEO QUE LA DEMANDA ES 250, NO TENGO RESTO DE B, USO 50U DE LA PLANTA C.

4) USE 50U DE LA PLANTA C. ME RESTAN 450U, DA JUSTO PARA CUBRIR EL MERCADO III.

AHORA VEREMOS EL CALCULO DEL CTT, QUE COMO VIMOS ES EL COSTO TOTAL DEL TRANSPORTE

Los datos se obtienen: De las unidades en verde de la matriz anterior, multiplicadas por el costo con igual ubicacion en la matriz de costos directos.

CALCULO DEL CTT:

400 u x 3 (3 es el costo unitario definido en la matriz MCD)+100 u x 2+200 u x 3+50 x 2+450x 1=

2550 unidades monetarias = CTT Costo Total del Transporte

Entonces, ahora ubicamos en una nueva matriz las ubicaciones pintadas en verde, asignandoles, en vez de las unidades, los costos directos por unidad.

El CTT que calculamos no es necesariamente el mas eficiente!

Vamos a construir entonces la MCI, Matriz de Costos Indirectos.

Estamos armando la matriz de costos indirectos (MCI)

La matriz nueva la empezamos a armar asi:

I II III

A 3

B 2 3

C 2 1

NOTESE QUE SE COMPLETAN AQUI LAS CELDAS QUE ERAN DISTINTAS A CERO EN LA MATRIZ (N-0), LAS VERDES EN ESTE CASO.

Ahora, para completar los casilleros vacios, vamos a usar numeros auxiliares o marginales, que vamos a ubicar en NM fila y en NM Columna. Comenzamos ubicando un cero en algun espacio auxiliar (azul). El cero lo ubicamos en la fila o col que tenga mas asigaciones. En este caso, podriamos ubicarlo en BI, BII, CII y CIII. Elegimos ubicarlo en BI en este caso.

NM=numero marginal

I II IIINM fila

A 3

B 2 3 O (cero)

C 2 1

NM col

Completamos la matriz de costos indirectos:

I II IIINM fila

A 3

B 2 3 O (cero)

C 2 1

NM col 2

¿Como se completo el NM de I?1) Considerando que ubique el numero cero marginal “NM” en B ,

entonces: NMB=02) Tengo los datos de los casilleros verdes, entonces completo las

ecuaciones3) Si NMB = 0 y BI es 2, entonces NMI es 2, esto quiere decir que los

NM (azul) deben dar sumados el costo directo (verde). Asi voy resolviendo todas las ecuaciones hasta completar la matriz.

I II IIINM fila

A 3 4 3 1

B 2 3 2 O (cero)

C 1 2 1 -1

NM col 2 3 2

Seguimos completando la matriz de costos indirectos:

1) Si NMI es 2, y en AI tengo un 3, entonces el NM de A tiene que ser 12) Si el NM de B es 0 y en BII tengo un 3, en el NM de II tengo un 3.3) Si en NM de II tengo un 3 y en CII tengo un 2, en el NM de C tengo que tener

un -1.4) Si NMC es -1 y CIII es 1, entonces NMIII es 2.5) Ahora que tengo todos los NM, completo el resto de la matriz, sumando los

NM en las intersecciones vacias de la matriz.6) Asi se completa la matriz de costos indirectos.

EL RESULTADO DE LA MCI NO VA A DEPENDER DE DONDE

UBIQUEMOS EL CERO INICIALMENTE!

Vamos que falta muy poco…

Proximo paso: La Matriz Resta

La Matriz Resta es igual a:MCI-MCD

Ya hemos hemos calculado la MCI y la MCD fue un dato del ejercicio. Vamos a hacer la operacion de resta de matrices, vimos al comienzo como hacerlo por lo que no deberia ser problema esta operacion.

Restamos las matrices

I II III

A 3 1 3

B 2 3 4

C 5 2 1

I II III

A 3 4 3

B 2 3 2

C 1 2 1

MCI

MCD

MENOS

I II III

A 0 3 0

B 0 0 -2

C -4 0 0

EL RESULTADO ES:

La matriz resta nos va a permitir saber si la asignacion realizada es optima o no, es decir, si es aquella que genera el menor costo total de transporte (CTT). Para que la matriz sea optima debe contener todos los valores nulos o negativos. Vemos que AII es 3, es un numero positivo, esto nos indica que esa asignacion no es optima.

La matriz resta provee informacion para efectuar la reasignacion, ya que los valores positivos representan costos de oportunidad derivados de no asignar a esos casilleros.

Tenemos que “iterar” para reasignar, repitiendo los pasos hasta saber si la matriz resta es optima.

Para iterar, seleccionamos el casillero con el mayor de los valores positivos, que en este caso es AII, cuyo valor es 3. Vamos a tomar ese casillero para reasignar (y siempre vamos a elegir el mayor valor para hacer la reasignacion!)

Tomamos entonces nuevamente la matriz de asignacion (n-o):

I II III Disponible

A 400 400

B 100 20 0 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

Para reasignar debemos construir dentro de la matriz de asignacion un cuadrado o rectangulo (aqui lo vemos en amarillo) donde el unico vertice que tiene que estar vacio es aquel que se tiene que llevar unidades (esto es Iterar)

Ver que alrededor del cuadrado amarillo, ubicamos signos. En positivo el casillero vacio adonde vamos a asignar unidades. En el opuesto al positivo, siempre va otro positivo.

I II III Disponible

A 400 - + 400

B 100 + - 20 0 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

En los + vamos a sumar unidades, en los negativos, vamos a restar unidades. La cantidad a asignar esta dada por el numero con signo negativo con menor cantidad del rectangulo. En este caso, es 200.

Entonces, transladamos esas 200 u a AII, quedando vacio el casillero BII.

I II III Disponible

A 400 200 - + 200 400

B 100 300 + - 200 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

EL MERCADO II SIGUE SATISFECHO. EN CASO DE A, DEBO ASIGNAR SOLAMENTE 200 (EN VEZ DE LAS 400 U ASIGNADAS ANTES). AL QUEDAR AI CON 200U, NECESITO AUMENTAR LA ASIGANCION DE B AL MERCADO I, QUE PASA A SER 300 (Y NO 100 COMO ANTES). ASI QUEDAN REASIGNADAS LAS UNIDADES DISPONIBLES A LOS MERCADOS.

La matriz queda asi:

I II III Disponible

A 200 200 400

B 300 300

C 50 450 500

Demanda 500 250 450

CALCULO NUEVAMENTE EL CTT, CON LA MCD

HACEMOS EL CALCULO COMO VIMOS ANTERIORMENTE.EL CTT DA EN ESTE CASO 1950 UNIDADES MONETARIAS.

Y llegando al final…

El CTT con la reasignacion nos da 600 unidades monetarias menos.

Esas 600 unidades son una diferencia generada por ubicar en AII las 200 unidades, con un costo directo de 3 por unidad. 200 x 3 es 600! Alli esta la forma de hacer mas eficiente la distribucion (menos costosa).

Ahora hacemos lo mismo que la vez anterior para calcular la MCI

I II III NM fila

A 3 1

B 2

C 2 1

NM col

La diferencia es que tenemos diferentes casilleros ocupados, por lo que vamos a consultar nuevamente la MCD para completar. Y usaremos el mismo procedimiento que antes con los numeros marginales. El cero puede ir en NMA, NMC, NMI o NMII. Da igual, el resultado sera el mismo al completar las ecuaciones.

Solo resta hacer la matriz resta y chequear que todos nos den cero o menos que cero.

Salteamos el procedimiento (ya lo vimos) y el resultado es:

I II III NM fila

A 3 1 0 0

B 2 0 -1 -1

C 4 2 1 -1

NM col 3 1 0

I II III

A 3 1 0

B 2 0 -1

C 4 2 1

MENOS

Planta/Mercado

I II III

A 3 1 3

B 2 3 4

C 5 2 1

MCI

MCD

Notese que dan todos cero o menor que cero, esto indica que la reasignacion es correcta y el CTT minimiza y es optimo. La reasignacion de 200 u fue correcta y el menor CTT es 1950

unidades monetarias.

La matriz resta da:

Planta/Mercado

I II III

A o 0 -3

B 0 -3 -5

C -1 0 0

Fin de la clase

HEMOS VISTO EL METODO DEL TRANSPORTE

Click 1: Para calcular 2009, multiplico por 1.5 cada fila y columna de 2008.Click 2: Son las Cantidades disponibles totalesClick 3: Es la Demanda total del mercado.Click 4: Es dato del ejercio!