1. ANGULOS1. ANGULOS

Angulo: figura formada por dos rayos con Angulo: figura formada por dos rayos con origen comúnorigen común Notación:Notación:

MedidasMedidas: sexagesimal (grado, minuto, segundo), : sexagesimal (grado, minuto, segundo), centesimal, radianescentesimal, radianes

BisectrizBisectriz

OA

B

αladovértice

lado

, , AOB O αR R R

Tipos de ángulos

Extendido

AgudoO

ObtusoO

O

Completo

ORectoO

1. Ángulos

OComplementarios

αβ

OSuplementarios

αβ

OAdyacentes

αβ

Oαβ

Opuestos porel vértice

1. Ángulos

Ejemplo 1.

Resolución:

Determine dos ángulos complementarios de modo que uno de ellos tenga 10º más que el triple del otro.

Sean y los ángulos. β

20º , 70ºα β∴ = =

3 10ºβ α= +

90ºα β+ =

α

1. Ángulos

Relaciones entre ángulos

• Lados respectivamente perpendiculares

α

β

α β=

α

β

180ºα β+ =

1. Ángulos

• Lados respectivamente paralelos

α

β

1L

2L

3L

4Lβ

α

1L

2L

3L4L

α β= 180ºα β+ =

1. Ángulos

• Ángulos entre paralelas

αβ

γδ

'δ'γ'α

'β

1L

2L

L

1 2//L L

' 'α α β β= = =

' 'γ γ δ δ= = =

1. Ángulos

Ejemplo 2.Determine las medidas de los ángulos x, y, z, u, v, de las figuras.

Las líneas paralelas se indican con flechas.

60º

70ºyx

z 120º

20ºu

v

40º

62º

Resolución:

x = 60ºz = 70º

Ángulos correspondientesentre paralelas

x + y + 70º = 180º

Forman ángulo extendido

u + 20º = 180º - 120º

∴ y = 50º

∴ u = 40º

v +62º = 180º - 40º∴ v = 78º

Son suplementarios

1. Ángulos

2. Triángulos

• Lados: a, b, c

• Vértices: A, B, C

Ángulos internos:

, , α β γÁngulos externos:

', ', 'α β γ

AB

C

α β

γ

'α'β

'γ

ab

c

•Propiedades: 180ºα β γ+ + = ' ' ' 360ºα β γ+ + ='α β γ= +

Tipos de triángulos

A B

C

α α

α

a

aa

Equilátero: 60ºα =A B

C

α α

γ

c

aa

Isósceles: AB base

Escaleno: a b c≠ ≠

• Según sus lados

A B

C

c

ab

2. Triángulos

Rectángulo: 90ºβ =

A B

C

Obtusángulo:

• Según sus ángulos

α β

γ

Acutángulo: , , 90ºα β γ <AA B

C

C

B

b a

c

, AB BC

AC

Catetos

Hipotenusa

90ºα > obtusoα

(agudos)

2. Triángulos

Ejemplo 1.

Resolución:

En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos

externos basales y el externo del vértice es 235º.

¿Cuál es la medida del ángulo interior del vértice?

α α

β

180º β−

180º α−

( ) ( )180º 180º 235ºα β− + − =

2 180ºα β+ =

55º , 70ºα β∴ = =

2. Triángulos