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1. ANGULOS1. ANGULOS
Angulo: figura formada por dos rayos con Angulo: figura formada por dos rayos con origen comúnorigen común Notación:Notación:
MedidasMedidas: sexagesimal (grado, minuto, segundo), : sexagesimal (grado, minuto, segundo), centesimal, radianescentesimal, radianes
BisectrizBisectriz
OA
B
αladovértice
lado
, , AOB O αR R R
Tipos de ángulos
Extendido
AgudoO
ObtusoO
O
Completo
ORectoO
1. Ángulos
OComplementarios
αβ
OSuplementarios
αβ
OAdyacentes
αβ
Oαβ
Opuestos porel vértice
1. Ángulos
Ejemplo 1.
Resolución:
Determine dos ángulos complementarios de modo que uno de ellos tenga 10º más que el triple del otro.
Sean y los ángulos. β
20º , 70ºα β∴ = =
3 10ºβ α= +
90ºα β+ =
α
1. Ángulos
Relaciones entre ángulos
• Lados respectivamente perpendiculares
α
β
α β=
α
β
180ºα β+ =
1. Ángulos
• Lados respectivamente paralelos
α
β
1L
2L
3L
4Lβ
α
1L
2L
3L4L
α β= 180ºα β+ =
1. Ángulos
• Ángulos entre paralelas
αβ
γδ
'δ'γ'α
'β
1L
2L
L
1 2//L L
' 'α α β β= = =
' 'γ γ δ δ= = =
1. Ángulos
Ejemplo 2.Determine las medidas de los ángulos x, y, z, u, v, de las figuras.
Las líneas paralelas se indican con flechas.
60º
70ºyx
z 120º
20ºu
v
40º
62º
Resolución:
x = 60ºz = 70º
Ángulos correspondientesentre paralelas
x + y + 70º = 180º
Forman ángulo extendido
u + 20º = 180º - 120º
∴ y = 50º
∴ u = 40º
v +62º = 180º - 40º∴ v = 78º
Son suplementarios
1. Ángulos
2. Triángulos
• Lados: a, b, c
• Vértices: A, B, C
Ángulos internos:
, , α β γÁngulos externos:
', ', 'α β γ
AB
C
α β
γ
'α'β
'γ
ab
c
•Propiedades: 180ºα β γ+ + = ' ' ' 360ºα β γ+ + ='α β γ= +
Tipos de triángulos
A B
C
α α
α
a
aa
Equilátero: 60ºα =A B
C
α α
γ
c
aa
Isósceles: AB base
Escaleno: a b c≠ ≠
• Según sus lados
A B
C
c
ab
2. Triángulos
Rectángulo: 90ºβ =
A B
C
Obtusángulo:
• Según sus ángulos
α β
γ
Acutángulo: , , 90ºα β γ <AA B
C
C
B
b a
c
, AB BC
AC
Catetos
Hipotenusa
90ºα > obtusoα
(agudos)
2. Triángulos
Ejemplo 1.
Resolución:
En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos
externos basales y el externo del vértice es 235º.
¿Cuál es la medida del ángulo interior del vértice?
α α
β
180º β−
180º α−
( ) ( )180º 180º 235ºα β− + − =
2 180ºα β+ =
55º , 70ºα β∴ = =
2. Triángulos