Clase 08 - Ejemplos de cálculo.

Prof. Juan Mauricio Matera

03 de abril de 2019

Cálculo de potenciales y campos

I Descomponer el problema como superposición de distribucionessimétricas.

I Utilizar la Ley de Gauss para calcular la contribución al campode cada una de esas distribuciones.

I Calcular el campo total como suma de las contribuciones.

Ejemplo: esfera uniformemente cargada con un agujeroesférico.

I Descomponemos la distribucióncomo una esfera con densidad decarga uniforme, y otra esfera máspequeña con densidad de cargauniforme y opuesta, en la región delagujero.

I Calculamos los campos de ambasdistribuciones.

~E1 = ρ~r3ε0×{

1R3|~r|3

|~r |<R|~r |>R

~E2 = −ρ(~r −~a)3ε0

×{

1b3|~r−~a|3

|~r−~a|<b|~r−~a|>b

I Dentro de la cavidad,

~E1 + ~E2 = ρ~r3ε0− ρ~r −~a

3ε0= ρ~a

3ε0

Ejemplo: campos y potenciales alrededor de un átomo

I En el modelo atómico, asumimosque el núcleo corresponde a unacarga puntual positiva, de magnitudZe, rodeada por una nube de cargatotal −Ze, con una densidadvolumétrica de carga proporcional aρ(r) ≈ e−r/a dondea = 0, 5× 10−10m.

I Queremos calcular el campo y elpotencial asociado a la distribución.

I De la simetría del problema, y de la Ley de Gauss

~E (~r) = Q(r)~r4πε0r3

con Q(r) la carga encerrada por una esfera gaussiana de radior .

Q(r) = Ze +∫

r ′<rρ(r ′)dV ′

I ρ(r) = C exp(−r/a). Para determinar C , integramos en todoel espacio e igualamos a la carga total −Ze:

−Ze =∫ρ(r)dV =

∫ ∞0

∫ θ

0

∫ π

−πC exp(r/a)r2 sin(θ)dφdθdr

= 4πCa3∫ ∞

0exp(u)u2du = 8πCa3

C = −Ze8πa3

I Integrando de la misma manera, pero a un r finito,

Q(r) = Ze(1−∫ r/a

0

exp(−u)2 u2du) = Ze exp(−r/a)(1+ r

a + r2

a2 )

I Finalmente,

~E (~r) = Ze4πε0

exp(−r/a)( 1r2 + 1

ar + 1a2 )r

I Para construir el potencial, buscamos una función queI Se anule para r →∞I Su derivada respecto a r sea (menos) la componente radial del

campoI Propongo entonces

V (~r) = Ze4πε0

e−r/a(1

r + 1a

)

Átomo descentradoI Ahora que conocemos el potencial para el

caso centrado, podemos resolver el caso enque el centro de la nube electrónica nocoincide con el núcleo, sino que estádesplazado en un vector ~d

I El potencial será la superposición delpotencial de la carga puntual en ~d , con elde la nube, centrada en el origen:

Vnucleo(~r) = Ze4πε0|~r − ~d |

Vnube(~r) = Ze4πε0

(exp(−r/a)(1r + 1

a )− 1r

)V (~r) = Vnucleo(~r) + Vnube(~r) = Ze

4πε0

(exp(−r/a)( 1

|~r | + 1a ) + 1

|~r − ~d |− 1|~r |

)

Átomo descentradoI Ahora que conocemos el potencial para el

caso centrado, podemos resolver el caso enque el centro de la nube electrónica nocoincide con el núcleo, sino que estádesplazado en un vector ~d

I El potencial será la superposición delpotencial de la carga puntual en ~d , con elde la nube, centrada en el origen:

Vnucleo(~r) = Ze4πε0|~r − ~d |

Vnube(~r) = Ze4πε0

(exp(−r/a)(1r + 1

a )− 1r

)V (~r) = Vnucleo(~r) + Vnube(~r) = Ze

4πε0

(exp(−r/a)( 1

|~r | + 1a ) + 1

|~r − ~d |− 1|~r |

)

I A distancias r � a, sólo contribuyen los últimos dos términos,que pueden aproximarse por el potencial de un dipolo:

V (~r) ≈ Ze4πε0

(1

|~r − ~d |− 1|~r |

)≈ Ze~d · r

4πε0|~r |2

Cálculo de capacidad en sistemas deconductores.

I Determinar la distribución de cargas en los conductores bajo lacondición ~E = 0 en el interior de cada uno de ellos y la ley deGauss.

I Si el sistema tiene simetría plana, cilíndrica o esféricaI Proponer la forma del campo eléctricoI Elegir superficies de Gauss de manera conveniente.I Determinar la componente desconocida vía la ley de Gauss.I Elegir un referencial adecuado y calcular el potencial

electrostático.I Si el sistema no presenta simetrías

I Proponer una distribución de carga.I Descomponer la distribución de cargas en elementos de carga.I Calcular las contribuciones al potencial de cada elemento de

carga.I Sumar/integrar las contribuciones.I Calcular el campo eléctrico como el gradiente del potencial.

Capacidad de un conductor coaxialI Cargas distribuídas sobre las

superficies de losconductores.

I Q1 = 2πr1Lσ1I Q2 = 2πL(r2,iσ2,i + r2,eσ2,e)I Q3 = 2πr3Lσ1I σ2,i = −σ1.I Simetría cilíndrica

I z ↔ −zI x ↔ −x , y ↔ −yI z ↔ z + ∆zI Rotaciones alrededor de z :

x → x cos(φ)− y sin(φ),y → y cos(φ) + x sin(φ),

I Forma del campo eléctrico:

~E (r r+zz) = ~E (r)r r ⊥ z r =√

x2 + y2

I Superficie gaussiana: Cilíndro de radio r y altura h concéntrico.

I Ley de Gauss:∫S~E · d ~S = Q(S)

ε0= λ(r)h

ε0∫S~E · d~S =

∫Ssuperior

~E · d ~S +∫Sinferior

~E · d ~S +∫Slateral

~E · d ~S

Pero ~E · d ~S = E (r)r · (±~z)dS = 0 sobrelas tapas:∫

Ssuperior

~E · d ~S =∫Sinf

~E · d ~S = 0

y ~E · d ~S = E (r)r · (r dS) = E (r)dSsobre la superficie lateral. Luego,∫S~E · d~S = ~E (r)

∫Slateral

dS = 2πrhE (r)

Finalmente,

E (r) = λ(r)2πrε0

I Superficie gaussiana: Cilíndro de radio r y altura h concéntrico.

I Ley de Gauss:∫S~E · d ~S = Q(S)

ε0= λ(r)h

ε0∫S~E · d~S =

∫Ssuperior

~E · d ~S +∫Sinferior

~E · d ~S +∫Slateral

~E · d ~S

Pero ~E · d ~S = E (r)r · (±~z)dS = 0 sobrelas tapas:∫

Ssuperior

~E · d ~S =∫Sinf

~E · d ~S = 0

y ~E · d ~S = E (r)r · (r dS) = E (r)dSsobre la superficie lateral. Luego,∫S~E · d~S = ~E (r)

∫Slateral

dS = 2πrhE (r)

Finalmente,

E (r) = λ(r)2πrε0

λ(r) =

0 r < r12πr1σ1 r2,i > r > r10 r2,e > r > r2,i2πr2,e(σ2,e) r3 > r > r2,e2πre(σ2,e + σ3) r > r3

Pero,I el conductor 3 está

conectado a tierra.Luego,V (r)− V (∞) =0→ E (r) = 0para r > r3. Por lotanto, σ3 = −σ2,e

I σ2,e = Q1+Q22πLr2,e

.

Potencial

V (~r) = −∫ ~r

∞~E · d ~

I Elegimos una trayectoria “radial”~(u) = ~r

u con u ∈ (0, 1). Luego,d ~= −~r

u2 du y

V (~r) =∫ 1

0~E(~ru

)·~ru2 du =

∫ 1

0

λ(|r |/u)2πε0(|r |/u)

|~r |u2 du

con λ((~r/u)) constante atrozos.

I Si |~r | > r3, λ(|~r |/u) = 0 sobre toda la trayectoria y por lotanto, V (~r) = 0.

I Si r3 > |~r | > re,2, la integral se reduce al intervalo u ∈ ( |~r |r3, 1) y

V (r) =∫ 1

|~r|r3

σ2,er2,e |~r |ε0|r |)

1u du = σ2,er2,e

ε0

∫ 1

|~r|r3

1u du = σ2,er2,e

ε0log( r3|~r |)

I Si r2,e > |~r | > r2,i , el potencial es constante y por lo tanto,V (r) = σ2,er2,e

ε0log( r3

r2,e)

I Si r2,i > |~r | > r1, λ(r) = 2πr1σ1. El potencial tendrá doscontribuciones, una de la integral hasta r2,i , dada porV (r2,i ) = V (r2,e) y otra entre r2,i y |~r |. En términos de lavariable de integración, u ∈ ( |r |r2,i

, 1). Obtenemos entonces

V (|~r |) =∫ |r|

r2,i

0

λ(|~r |/u)2πε0|r |

1u du +

∫ 1

|r|r2,i

λ(|~r |/u)2πε0|r |

1u du

=σ2,er2,e log

(r3

r2,e

)+ σ1r1 log

(r2,i|~r |

)ε0

I Finalmente, si |~r | < r1, el potencial debe ser constante, por loque

V (|~r |) =σ2,er2,e log

(r3

r2,e

)+ σ1r1 log

(r2,ir1

)ε0

V (~r) =

σ2,er2,e log(

r3r2,e

)+σ1r1 log

(r2,ir1

)ε0

r < r1

σ2,er2,e log(

r3r2,e

)+σ1r1 log

( r2,i|~r|

)ε0

r2,i > r > r1

σ2,er2,e log(

r3r2,e

)ε0

r2,e > r > r2,iσ2,er2,e log

( r3|~r|

)ε0

r3 > r > r2,e0 r > r3

I Obsérvese que si r3 →∞, el potencial diverge como log( r3r2,e

).Sin embargo, siempre es posible definir un referencial en algúnr ′3 finito.

I Si r1 → 0, manteniendo Q1 finita, λ(r) se mantendrá finita(pero no σ). En tal caso, vemos que tampoco es posible definirel referncial para el potencial en r = 0.

I El modelo de alambre infinito es adecuado si exploramos elsistema cerca de su centro, a distancias r � L. A distanciasr � L, el sistema se comportará como una carga puntual devalor Q1 + Q2 + Q3.

Capacidad

Como el sistema consiste de tres conductores, tiene sentido evaluarsu capacidad respecto a cualquiera de los posibles pares:

I C12: ∆V12 =σ1r1 log

(r2,ir1

)ε0

, Q1 = −Q2 = 2πr1σ1L, luego,

C12 = Q1∆V23

= 2πLε0

log(

r2,ir1

)

I C23: ∆V23 =σ2,er2,e log

(r3

r2,e

)ε0

, Q2 = −Q3 = 2πr2,eσ2,eL, luego,

C23 = Q2∆V23

= 2πLε0

log(

r3r2,e

)

I C13: ∆V13 = ∆V12 + ∆V23,Q2 = 0→ σ2,er2,e = −σ2,i r2,i = σ1r1, Q3 = −Q1.

C13 = Q1∆V13

= 2πLε0

log(

r3r2,e

)+ log

(r2,ir1

) = 11

C12+ 1

C23

Esto es, el sistema se comporta como una combinación serie, delcapacitor 1− 2 y el capacitor 2− 3.

Resolución sistemática de circuitos de CC

Combinación de F.E.M. en serie y paralelo

I Si en una rama de un circuitoencontramos varios generadores,de FEM’s Ek y resistenciasinternas Rint,k es posibleremplazarlos por un únicogenerador equivalente, cuyaF.E.M. Eeq =

∑Ek , y de

resistencia internaRint,eq =

∑k Rint,k .

I Por otro lado, en unacombinación paralelo,Rint,eq =

(∑k R−1

int,k

)−1y

Eequiv = Rint,eq(∑

kEkRint,k

).

(Probar como ejercicio)

Theorema de ThéveninI En general, dado un par de nodos en cualquier

combinación de resistencias y FEM’s enestado estacionario, es posible encontrar uncircuito equivalente compuesto solamente poruna resistencia y una FEM en serie. Esteresultado se conoce como Theorema deThévenin

I Este teorema es una consecuencia de la relaciónlineal entre tensión y corriente en lasresistencias, y deja de ser válido si se introducenelementos no lineales (por ejemplo, diodos).

I En las condiciones del teorema, la energíaentregada/absorbida por el circuito equivalente esigual a la suma algebráica de potenciasentregadas/absorbidas por sus componentes.

I Como herramienta de cálculo, el teorema es muy útil cuando seconoce de antemano una expresión sencilla para los parámetrosequivalentes.

I Desde el punto de vista práctico, permite trabajar con circuitoscomplicados como cajas negas que se caracterizan por dosparámetros medibles directamente.

Procedimiento para la resolución de circuitos de C.C.

I Construir un circuito equivalente en el que eliminamos todaslas ramas que incluyan capacitores.

I Aplicar reducciones serie y paralelo para las resistencias yF.E.M.’s presentes en el sistema, en forma iterativa.

I Plantear las ecuaciones de Kirchhoff para el sistema reducido, ydeterminar las corrientes en cada rama.

I Recuperar las corrientes y tensiones correspondientes a cadacircuito equivalente reducido.

I Determinar las diferencias de potencial en los capacitores, ycalcular sus cargas.

I Calcular las potencias disipadas o entregadas de acuerdo con laexpresión P = ∆Vi . Con ∆V medido en el sentido de lacorriente |P| es potencia entregada al circuito si P > 0, ydisipada si P < 0.

Ejemplo