1

CinemCinemááticatica Para describir las fuerzas ejercidas por un Para describir las fuerzas ejercidas por un fluido en movimiento y otros efectos fluido en movimiento y otros efectos (como por ejemplo el transporte) es (como por ejemplo el transporte) es necesario poder describir la dinnecesario poder describir la dináámica del mica del flujoflujoPara discutir la dinPara discutir la dináámica tenemos que mica tenemos que poder describir el movimientopoder describir el movimientoEn esta clase nos preocupa describir sEn esta clase nos preocupa describir sóólo lo los desplazamientos de puntos del medio los desplazamientos de puntos del medio fluido fluido La prLa próóxima clase analizaremos las xima clase analizaremos las deformaciones de celdas materiales como deformaciones de celdas materiales como consecuencia del movimientoconsecuencia del movimiento

El movimiento de las El movimiento de las partpartíículas puede ser culas puede ser descriptodescriptosegsegúún dos enfoques n dos enfoques diferentes:diferentes:

–– Enfoque Enfoque LagrangeanoLagrangeano: : Considerando la Considerando la trayectoria de cada una de trayectoria de cada una de las partlas partíículas a lo largo del culas a lo largo del tiempotiempo

–– Enfoque Enfoque EulereanoEulereano: : Considerando la velocidad Considerando la velocidad de cada una de las de cada una de las partpartíículas en todo instante culas en todo instante de tiempode tiempo

Lagrange, Joseph 1736-1813

Euler, Leonhard1707-1783

La cinemLa cinemáática se interesa al estudio del tica se interesa al estudio del movimiento de los fluidos sin considerar las movimiento de los fluidos sin considerar las fuerzas que originan ese movimientofuerzas que originan ese movimiento

Video

ObjetivosObjetivos

Presentar los formalismos que utiliza Presentar los formalismos que utiliza la mecla mecáánica de fluidos para describir nica de fluidos para describir el movimiento de sus partel movimiento de sus partíículas culas fluidasfluidasExplicar la forma en que se puede Explicar la forma en que se puede caracterizar el movimientocaracterizar el movimiento

DescripciDescripcióón n LagrangeanaLagrangeana

dttRdtV i

i)()( =

r

)(tVi

r

)(tRi

En este enfoque En este enfoque estudiar el estudiar el movimiento movimiento significa describir el significa describir el movimiento de cada movimiento de cada una de las una de las partpartíículas fluidasculas fluidas

Hay que Hay que ““etiquetaretiquetar””las partlas partíículas para culas para identificarlas en el identificarlas en el ““marmar”” de partde partíículas culas existentesexistentes

La etiqueta que La etiqueta que se adopta es el se adopta es el vector posicivector posicióón n para el instante para el instante inicial inicial RRii(0)=(0)=ξξii

Ri (0)=ξi

La velocidad La velocidad de una de una partpartíícula es cula es directamentedirectamente

La funciLa funcióón n describe la describe la trayectoria de la trayectoria de la partpartíículacula

Instante Inicial

Partícula iInstante t

Partícula i)(tRi

DescripciDescripcióón n eulereanaeulereanaNo se sigue a una partNo se sigue a una partíícula cula sino que el intersino que el interéés esta s esta centrado en lo que pasa en centrado en lo que pasa en puntos fijos del espaciopuntos fijos del espacio

El movimiento del fluido se El movimiento del fluido se describe asocidescribe asociáándole un ndole un campo de velocidadescampo de velocidades

ESTACIONARIDAD: Un ESTACIONARIDAD: Un fenfenóómeno es estacionario meno es estacionario cuando los campos cuando los campos (velocidad, presi(velocidad, presióón,n,……) no ) no cambian a lo largo del cambian a lo largo del tiempotiempo

BIDIMENSIONALIDAD; Un BIDIMENSIONALIDAD; Un fenfenóómeno es bidimensional meno es bidimensional si los campos dependen de si los campos dependen de solo dos coordenadas en el solo dos coordenadas en el espacioespacio

Video

2

ComparaciComparacióón entre ambas n entre ambas FormulacionesFormulaciones

FormulaciFormulacióón n LagrangeanaLagrangeanaLas variables independientes sonLas variables independientes son

••Vector PosiciVector Posicióón Inicial n Inicial

••Tiempo Tiempo tt

••Privilegia el conocimiento de la Privilegia el conocimiento de la trayectoria de cada Parttrayectoria de cada Partíículacula

Permite plantear las ecuaciones Permite plantear las ecuaciones de conservacide conservacióón (cantidad de n (cantidad de movimiento, energmovimiento, energíía,a,……))

FormulaciFormulacióón n EulereanaEulereana

Las variables independientes sonLas variables independientes son

••PosiciPosicióón n X(xX(x11,x,x22,x,x33))

••Tiempo Tiempo tt

••Privilegia el conocimiento del Privilegia el conocimiento del campo de velocidadescampo de velocidades

••Permite su fPermite su fáácil materializacicil materializacióón n experimentalexperimental

( )321 ,,)0( ξξξξ =i

r

Pasaje de una descripciPasaje de una descripcióón a otran a otraEn que casos se puede pasar En que casos se puede pasar de una formulacide una formulacióón a la otra?n a la otra?

Puedo identificar la Puedo identificar la ““etiquetaetiqueta”” de una partde una partíícula si cula si conozco el campo de conozco el campo de velocidades?velocidades?

( ) ( ) ( ) 2,21,1,

2211

efefR

exexX

ttt((r

((r

ξξξ +=

+=

x1

x2

ξrr

=)0(R( )txxf ,, 21=ξ

r

( )TR ,ξ

r

0detdet

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=

ξξξ

ξξξ

ξξξ

ξfff

fff

fff

fJj

i

( ) ( ) ( ) 2,21,1, efefR ttt((r

ξξξ +=

Coordenadas que definen una Coordenadas que definen una posiciposicióón y componentes del Vector n y componentes del Vector PosiciPosicióón que describen la n que describen la trayectoria de la parttrayectoria de la partíícula que cula que ocupa esa posiciocupa esa posicióón para el instante n para el instante considerado deben ser coincidentesconsiderado deben ser coincidentes

( ) ( )tt RX ,ξ

rr=

Teorema de la Func. Inversa

Estado de Referencia Inicial (conjunto de partículas)

Ecuación de la Trayectoria

Estado a un instante t

{ } { } { } 2,21,1, efefR ttt iii

((rξξξ +=

x1

x2

EjemploEjemplo( ) ( ) 2,01

2,0,21 11),( etYebtXtR ii

(( +++=ξξ

( ) 2,01,0, 221

eYetbXdtRdV ii

((r

r+==ξξVelocidad de la partVelocidad de la partíículacula

TrayectoriaTrayectoria

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )txY

btxX

tYfx

btXfxRXefefR

exexX

i

i

it

it

tttt

+=

+=

⇒+==

+==⇒=⇒+=

+=

1

1

1

1

2,0

21

,0

,0,22

2,0,11

,2,21,1,

2211

ξ

ξ

ξξξξ

rr((r

((r

( ) ( ) 22

121

),( 112

21e

txetb

btxV xx

((r

++

+=Campo de Campo de

velocidadesvelocidades

( )( )

010

01detdetdet

2

2

2

2

1

1

2

1

1

≠+

+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=t

btff

fffJ

j

i

ξξ

ξξξ

( ) ( ) ( ) 2,21,1, efefR ttt((r

ξξξ +=

Video 1

Video 2

Video 3

EcuaciEcuacióón de la trayectorian de la trayectoria( ) ( ) ( ) ( ) 3,32,21,1, efefefR tttt

(((rξξξξ ++=

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

dtdfV

dtdfV

dtfd

V

VVVV

edt

dfe

dtdf

edtfd

dtRd

V

t

ttttt

33

22

11

321,

3,3

2,2

1,1,

,

;;

,,

===

=

++==

ξ

ξξξξξ

r

(((r

r

El vEl víínculo entre trayectoria y velocidad lo obtenemos nculo entre trayectoria y velocidad lo obtenemos derivando esta expresiderivando esta expresióón con respecto al tiempon con respecto al tiempo

De donde surge la ecuaciDe donde surge la ecuacióón diferencial de la trayectoria.n diferencial de la trayectoria.

dtVdf

Vdf

Vdf

===3

3

2

2

1

1Requiere conocer la Requiere conocer la velocidad de la partvelocidad de la partíícula cula a lo largo del tiempo. a lo largo del tiempo. Surge en general por Surge en general por mméétodos numtodos numééricos.ricos.

EjemploEjemplo

( ) ( ) 22

121

),( 112

21e

txetb

btxV xx

((r

++

+=

( )

( ) dtt

xdf

dttbbt

xdf

dtVdfdtVdf

dtVdf

Vdf

+=

+=

⇒=

=⇒==

1

12

22

21

1

22

11

2

2

1

1

( ) ( ) ( )

( )t

ttt

RX

efefR

exexX

,

2,21,1,

2211

ξ

ξξξrr

((r

((r

=

+=

+=( )

( )

( )( )

( )( )tCf

btCf

tCf

btCf

dttf

df

dtbttb

fdf

+=

+=⇒

+=+

+=+⇒

+=

+=

1

1

1lnlnln

1lnlnln

111

2

12

201

12

201

2

2

21

1

( ) ( ) 2,012

,0,21 11),( etYebtXtR ii(( +++=ξξ

Campo de Campo de velocidadesvelocidades

3

TrayectoriaTrayectoria

Picasso y sus dibujos de luz

X

Y

2.5 3 3.5 4 4.5

1.5

2

2.5

3

LLíínea de Corrientenea de Corriente

Son lSon lííneas asociadas a una neas asociadas a una formulaciformulacióón n eulereanaeulereana. . Son aquellas curvas cuyas Son aquellas curvas cuyas tangentes tienen la misma tangentes tienen la misma direccidireccióón que el vector n que el vector velocidad en el instante velocidad en el instante consideradoconsiderado

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

X

-2

-1

0

1

2

Z

0

1

Y

X

Y

Z

3D -Surface Streamtraces

0.004 0.008 0.012X

0.026

0.028

0.030

0.032

Y

Vectors and Streamtraces

EcuaciEcuacióón de la ln de la líínea de corrientenea de corrienteVr

τr

iiexMO (r=

Línea de corriente

TrayectoriaMOr

x2

x1

x3

VV

dsMOd

r

rrr

==τ

ii evV (r=

( ) kk

i

j

j

ii

vvv

v

vsdxd

==

∑ 2kki

i

vvsd

vxd=

3

3

2

2

1

1

vxd

vxd

vxdcte

vxd

i

i ==⇒= EcuaciEcuacióón n diferencial de la diferencial de la llíínea de corrientenea de corriente

4

VisualizaciVisualizacióón de n de Escurrimientos:LEscurrimientos:Lííneanea de Emiside EmisióónnLas curvas que forman Las curvas que forman partpartíículas que pasaron culas que pasaron por un mismo punto por un mismo punto son las lson las lííneas de neas de emisiemisióón. n.

Se pueden visualizar Se pueden visualizar ffáácilmente si al pasar cilmente si al pasar por ese punto son por ese punto son marcadas con un colormarcadas con un color

Video

Video

Coincidencia de la Trayectoria, Coincidencia de la Trayectoria, llíínea de corriente y lnea de corriente y líínea de nea de

emisiemisióónnLa trayectoria, La trayectoria, llíínea de corriente y nea de corriente y llíínea de emisinea de emisióón n son coincidentes si son coincidentes si el fenel fenóómeno meno analizado es analizado es estacionarioestacionario

Video

Video

Tubos de corrienteTubos de corrienteUna imagen del escurrimiento Una imagen del escurrimiento puede lograrse a partir de los puede lograrse a partir de los tubos de corriente que se tubos de corriente que se engendran a partir de lengendran a partir de lííneas de neas de corriente que pasan a travcorriente que pasan a travéés de s de una curva cerrada.una curva cerrada.

Estos tubos tienen la Estos tubos tienen la caractercaracteríística de ser stica de ser impermeablesimpermeables

Una contracciUna contraccióón de estos tubos (o n de estos tubos (o un acercamiento de las lun acercamiento de las lííneas de neas de corriente en el caso 2corriente en el caso 2--D) implica D) implica en consecuencia un aumento de en consecuencia un aumento de la velocidadla velocidad..

Condiciones cinemCondiciones cinemááticas sobre el ticas sobre el campo velocidadescampo velocidades

Las clases pasadas estuvimos Las clases pasadas estuvimos analizando la condicianalizando la condicióón cinemn cinemáática tica en que el campo de velocidades era en que el campo de velocidades era nulo.nulo.

Veamos a continuaciVeamos a continuacióón a que lleva n a que lleva imponer condiciones de nulidad de imponer condiciones de nulidad de campos que se obtienen aplicando campos que se obtienen aplicando operadores sobre el campo de operadores sobre el campo de velocidadesvelocidades

–– Campo de velocidades Campo de velocidades solenoidalsolenoidal

–– Campo de velocidades Campo de velocidades irrotacionalirrotacional( ) ( ) 0,,,,

rrr=×∇= zyxzyx vvrot

( ) ( ) 0,,,, =∇= zyxzyx vvdivrr

( ) 0,,

rr=zyxv

FunciFuncióón corriente: Campos n corriente: Campos solenoidalessolenoidales de velocidadde velocidad

Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para Supongamos que consideramos un flujo bidimensional y que para el conocemos la expresiel conocemos la expresióón de la ln de la líínea de corriente y que esa nea de corriente y que esa expresiexpresióón esn es

Si comparamos con la ecuaciSi comparamos con la ecuacióón diferencial de la ln diferencial de la líínea de corrientenea de corriente

De donde podemos asociarDe donde podemos asociar

Que va a ser siempre vQue va a ser siempre váálida si el campo de velocidades es lida si el campo de velocidades es solenoidalsolenoidal

( ) ctexx =21,ψ 22

11

dxx

dxx

d∂∂

+∂∂

=ψψψ

02112 =− dxvdxv

12

21 ;

xv

xv

∂∂

−=∂∂

=ψψ

( ) 0022

=∂∂

∂−

∂∂∂

⇒=∂∂

+∂∂

=xyyxy

VxVVdiv yx ψψr

Entonces la existencia de la funciEntonces la existencia de la funcióón corriente n corriente ΨΨ((x,yx,y) est) estááasegurada para campos bidimensionales y asegurada para campos bidimensionales y solenoidalessolenoidales

FunciFuncióón potencial: n potencial: Campos conservativosCampos conservativos

El movimiento de un fluido se llama El movimiento de un fluido se llama irrotacionalirrotacional o o potencial si: potencial si:

Esta condiciEsta condicióón asegura la existencia de una funcin asegura la existencia de una funcióón n potencial tal que potencial tal que

( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )321

,,3,,2,,1

321

321

,, ,,03,2,1321

xxx

vvvxxx

eee

VxVrot

zyxzyxzyx

xxx xxx∀=

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=r

(((

rr

( )

ii x

v

gradvvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

321 ;;

5

VorticidadVorticidadLa vorticidad en un punto esLa vorticidad en un punto es

Un flujo Un flujo irrotacionalirrotacional es un flujo libre es un flujo libre de vorticidad. de vorticidad.

La vorticidad permite cuantificar la La vorticidad permite cuantificar la rotacirotacióón de las partn de las partíículas fluidas (es el culas fluidas (es el doble de la velocidad angular)doble de la velocidad angular)

Para que esa rotaciPara que esa rotacióón tome lugar n tome lugar tiene que haber un tiene que haber un torquetorque sobre la sobre la partpartíícula fluida. Este cula fluida. Este torquetorque aparece aparece como consecuencia de la viscosidad como consecuencia de la viscosidad del fluido.del fluido.

Flujos no viscososFlujos no viscosos =Flujo =Flujo irrotacionalirrotacional

Fluido no viscosoFluido no viscoso≠≠Flujo no viscosoFlujo no viscoso

Vxzyxrr

∇=),,(ω

( ) 0,,rr

=zyxω

Campos de velocidades Campos de velocidades Conservativos y Conservativos y SolenoidalesSolenoidalesSi consideramos campos que son a la vez Si consideramos campos que son a la vez conservativos y conservativos y solenoidalessolenoidales, la funci, la funcióón n potencial debe satisfacer la ecuacipotencial debe satisfacer la ecuacióón de n de LaplaceLaplace

00

2

22

2

22

2

21

22 =

∂∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇⇒=

∂∂

∂∂

=

ii

i

i

ii

xxxxxxv

xv

φφφφφ

φ

OrtogonalidadOrtogonalidad entre la funcientre la funcióón n potencial y la funcipotencial y la funcióón corrienten corriente

1k=ψ

2k=ψ

1C=φ2C=φ

22

11

22

11

dxx

dxx

d

dxx

dxx

d

∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

=

ψψψ

φφφ

A lo largo de una A lo largo de una equipotencialequipotencial

mvv

x

xdxdxdx

xdx

x=−=

∂∂∂∂

−=⇒∂∂

+∂∂

=1

2

1

2

2

12

21

1

0 φ

φφφ

A lo largo de una A lo largo de una llíínea de corrientenea de corriente mv

v

x

xdxdxdx

xdx

x10

2

1

1

2

2

12

21

1

−==

∂∂∂∂

−=⇒∂∂

+∂∂

= ψ

ψψψ

Casos simples de flujos Casos simples de flujos SolenoidalesSolenoidales y conservativosy conservativos

Soluciones de la ecuaciSoluciones de la ecuacióón n de de LaplaceLaplace con formas con formas polinpolinóómicasmicas..

Movimiento de traslaciMovimiento de traslacióón n puropuro

20 jjii xbxaa ++=φ

21 xVxU ∞∞ +=φ

21 eVeUV ((r∞∞ +=

21

12

21 xUxV

Uvx

Vvx

∞∞

∞

∞

+−=⇒==

∂∂

−=−=∂∂

ψψ

ψ

x1

x2

( )

ii x

v

gradvvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

321 ;;

Punto de estancamientoPunto de estancamiento( )2

22

12xxa

−=φ

2211 exaexaV ((r−=

21

112

221 xxa

xavx

xavx

=⇒==

∂∂

=−=∂∂

ψψ

ψ

Para xPara x11=x=x22=0 Punto =0 Punto de estancamientode estancamiento

0rr

=VVideo

( )

ii x

v

gradvvV

∂∂

=

∇===φ

φφrr

21;Soluciones singularesSoluciones singulares

Analizamos a continuaciAnalizamos a continuacióón funciones que n funciones que satisfacen la ecuacisatisfacen la ecuacióón de n de LaplaceLaplace a a excepciexcepcióón de ciertos puntos que llamamos n de ciertos puntos que llamamos puntos singulares.puntos singulares.

En esos puntos en general no se verifica En esos puntos en general no se verifica que la divergencia o el rotor del campo de que la divergencia o el rotor del campo de velocidades sea nulo.velocidades sea nulo.

Daremos como ejemplo el caso de la Daremos como ejemplo el caso de la fuente o sumidero y el del vfuente o sumidero y el del vóórtice. rtice.

6

Fuente y Fuente y sumiderosumidero

La ecuaciLa ecuacióón de n de LaplaceLaplaceen coordenadas esfen coordenadas esfééricasricasadmite como soluciadmite como solucióónn

Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a Para r=0 donde la divergencia del campo de velocidades tiende a infinitoinfinitoLas lLas lííneas de corriente se obtienen considerando para este casoneas de corriente se obtienen considerando para este caso

2

2

2222

22 111

γφ

θθφθ

θθφφ

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=∇senr

sensenrr

rrr

rA

=φ ( ) ( ) ( )γθ

θθθ

γθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=V

senrsenV

senrVr

rrVdiv r

111 22

r

( ) γθ γφ

θθφφφ e

senre

re

rgrad r

(((

∂∂

+∂∂

+∂∂

=11

re(

θ

γ

0

11 2

=

−=⇒

∂∂

+∂∂

∂∂

=

θ

γθ γφ

θθφφφ

VrAV

esenr

er

er

grad rr

(((

θψψ

θ

θψ

θ

θ

cos1

12

A

rsenrV

senrVr

−=⇒

∂∂

−=

∂∂

=

MaterializaciMaterializacióón de la fuente y el n de la fuente y el sumiderosumidero

SumideroSumidero

Tubo delgado que aspiraTubo delgado que aspira

Tubo delgado que inyecta.Tubo delgado que inyecta.

Pierde la simetrPierde la simetríía y no se a y no se puede aplicarpuede aplicar

VVóórtice Idealrtice IdealSupongamos una funciSupongamos una funcióón n potencial que se expresa comopotencial que se expresa como

El rotor de las velocidades El rotor de las velocidades presenta un punto singular en presenta un punto singular en el origenel origen

θπ

φ2k

=

( )

πθφ

φ

θφφφ

θ

θ

211

01

krr

V

rV

er

er

gradr

r

=∂∂

=

=∂∂

=⇒

∂∂

+∂∂

= ((

( )γ

θ

θe

rrVV

rV r (r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=×∇1

( )rk

rV

rVr

log2

1

πψ

ψθψ

θ

−=⇒

∂∂

−=

∂∂

=

VVóórtice Realrtice RealFormas de materializar el vFormas de materializar el vóórticertice

Video

Video

Video

Video

VVóórtice con movimiento ascendente o descendente axialrtice con movimiento ascendente o descendente axial

ResumiendoResumiendoLa mecLa mecáánica de Fluidos describe el movimiento de las nica de Fluidos describe el movimiento de las partpartíículas fluidas a partir de dos formulaciones distintas culas fluidas a partir de dos formulaciones distintas que consideran variables independientes diferentesque consideran variables independientes diferentes

El formalismo El formalismo LagrangeanoLagrangeano se concentra en lo que le ocurre se concentra en lo que le ocurre a cada parta cada partíícula fluida a lo largo del tiempo en tanto que el cula fluida a lo largo del tiempo en tanto que el eulereanoeulereano se concentra en lo que le ocurre al conjunto en se concentra en lo que le ocurre al conjunto en un instante dadoun instante dado

Un escurrimiento se puede caracterizar entonces a travUn escurrimiento se puede caracterizar entonces a travéés s de trayectorias o lde trayectorias o lííneas de corrienteneas de corriente

Algunos escurrimientos que tienen campos de velocidades Algunos escurrimientos que tienen campos de velocidades con caractercon caracteríísticas particulares (sticas particulares (solenoidalessolenoidales, , conservativos) permiten definir una funciconservativos) permiten definir una funcióón corriente y una n corriente y una funcifuncióón potencial que sintetizan fuertemente las n potencial que sintetizan fuertemente las caractercaracteríísticas del escurrimientosticas del escurrimiento

7

Pregunta 1Pregunta 1La formulaciLa formulacióón n lagrangeanalagrangeana describe el describe el movimiento de un fluidomovimiento de un fluido

–– A) Utilizando la trayectoria de las partA) Utilizando la trayectoria de las partíículasculas–– B) Utilizando el campo de velocidades B) Utilizando el campo de velocidades –– C) Utilizando las lC) Utilizando las lííneas de corrienteneas de corriente–– D) Utilizando las lD) Utilizando las lííneas de emisineas de emisióónn

Pregunta 2Pregunta 2

Un fenUn fenóómeno es :meno es :–– A) Estacionario si el campo de velocidades A) Estacionario si el campo de velocidades

es independiente del tiempoes independiente del tiempo–– B) Si la velocidad de las partB) Si la velocidad de las partíículas no culas no

dependen del tiempodependen del tiempo–– C) Bidimensional si el campo depende de C) Bidimensional si el campo depende de

solo dos coordenadas espacialessolo dos coordenadas espaciales–– D) Si la trayectoria de las partD) Si la trayectoria de las partíículas culas

dependen de sdependen de sóólo dos coordenadas lo dos coordenadas espaciales espaciales

Pregunta 3Pregunta 3

Cuales de las afirmaciones son correctasCuales de las afirmaciones son correctas–– A) Regiones con lA) Regiones con lííneas de corriente mneas de corriente máás s

separadas son regiones de mayor velocidadseparadas son regiones de mayor velocidad–– B) Las trayectorias de las partB) Las trayectorias de las partíículas coinciden culas coinciden

siempre con las lsiempre con las lííneas de emisineas de emisióónn–– C) Las lC) Las lííneas de corriente coinciden con las neas de corriente coinciden con las

llííneas de emisineas de emisióón si el fenn si el fenóómeno en cuestimeno en cuestióón n es estacionarioes estacionario

–– D) Las trayectorias de las partD) Las trayectorias de las partíículas coinciden culas coinciden con las lcon las lííneas de emisineas de emisióón si el fenn si el fenóómeno en meno en cuesticuestióón es estacionarion es estacionario

Pregunta 4Pregunta 4

La funciLa funcióón corrienten corrientea)a) Permite determinar siempre en forma directa Permite determinar siempre en forma directa

la trayectoria de las partla trayectoria de las partíículasculasb)b) Permite determinar siempre en forma directa Permite determinar siempre en forma directa

el campo de velocidadesel campo de velocidadesc)c) Puede asegurarse su existencia cuando el Puede asegurarse su existencia cuando el

campo de velocidades es campo de velocidades es irrotacionalirrotacional y y bidimensionalbidimensional

d)d) Puede asegurarse su existencia cuando el Puede asegurarse su existencia cuando el campo de velocidades tiene divergencia nula campo de velocidades tiene divergencia nula y es bidimensionaly es bidimensional

Pregunta 5Pregunta 5Cuales de las afirmaciones son correctasCuales de las afirmaciones son correctas

–– A) El gradiente de la funciA) El gradiente de la funcióón potencial de velocidades permite n potencial de velocidades permite determinar el campo de velocidadesdeterminar el campo de velocidades

–– B) La funciB) La funcióón potencial de velocidades existe si la divergencia n potencial de velocidades existe si la divergencia del campo de velocidades es nula en algunos puntosdel campo de velocidades es nula en algunos puntos

–– B) La soluciB) La solucióón la n la ecec. de . de LaplaceLaplace del potencial de velocidades del potencial de velocidades que se asocia al escurrimiento del tipo vque se asocia al escurrimiento del tipo vóórtice presenta un rtice presenta un punto singular en el origen porque allpunto singular en el origen porque allíí el rotor del campo de el rotor del campo de velocidades es no nulovelocidades es no nulo

–– C) La soluciC) La solucióón de la n de la ecec. de . de LaplaceLaplace del potencial de del potencial de velocidades que se asocia escurrimiento del tipo fuente velocidades que se asocia escurrimiento del tipo fuente presenta un punto singular en el origen porque allpresenta un punto singular en el origen porque allíí el rotor del el rotor del campo de velocidades es no nulocampo de velocidades es no nulo

DiferenciaciDiferenciacióón con respecto al n con respecto al tiempotiempo

( ) xTxT α+= 0

T∇

Z

FormulaciFormulacióón n LagrangeanaLagrangeana

x

( ) ( )( )xaer

xaeraer

eVV

eftxtR(r

(r

=

== 30,0,

tVxfdtVdfdtRdV

tf

x

aeraer +=⇒=⇒= ∫∫ 03

0

3

3

0

rr

( ) 300 fTxTxT aeraer αα +=+= Vdt

dTaer α=( )tRX aer

rr=

VV

8

( )

( )

( ) VvTdtdx

xT

dtdT

dtvTMdTdxxTdT

dtvedxMd

aeraeraer

aeraeraeraer

xxx

aer

xxxx

aer

xx

α=•∇=∂∂

=

•∇=•∇=∂∂

=

==

r

rr

r(r

DiferenciaciDiferenciacióón con respecto al n con respecto al tiempotiempo

xTT α+= 0

T∇

Z

FormulaciFormulacióón n EulereanaEulereana

Mdr

x

DiferenciaciDiferenciacióón con respecto al tiempon con respecto al tiempo

xTT α+= 0

T∇

Z

x

VV

( ) ( )aeraeraer xvxT

dtdT r

•∇=

FormulaciFormulacióón n EulereanaEulereana

DiferenciaciDiferenciacióón con respecto al tiempon con respecto al tiempo

xTtT α+= 00 )(

T∇Z

x

VV

( ) xTtT 111 α+=

( )( )x

aer vxT

tT

dtdx

xT

tT

dttxtdT

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=,

vTtT

dtdTaer r

•∇+∂∂

=

Campo No Campo No uniformeuniforme

Campo No Campo No PermanentePermanente

FormulaciFormulacióón n EulereanaEulereana

T∇VV

ResumiendoResumiendo

FormulaciFormulacióón n LagrangeanaLagrangeana

ffζζ(t(t00))

ffζζ(t(t00++ΔΔtt))

( ) ( )t

tfttfdtdf

ttt Δ

−Δ+= →Δ

=

000lim

0

ζζζ

Calculo la Calculo la derivada con derivada con respecto al respecto al tiempo de una tiempo de una magnitud escalar magnitud escalar cualquiera f cualquiera f propia a la propia a la partpartíícula cula ζζconociendo su conociendo su cambio entre dos cambio entre dos instantes instantes prpróóximosximos

Resumiendo:FormulaciResumiendo:Formulacióónn EulereanaEulereana

( ) ( )t

txfttxxfdtdf

ttt Δ

−Δ+Δ+= →Δ

=

00000

,,lim

0

rrr

( ) ( )t

txftttVxfdtdf

ttt Δ

−Δ+Δ+= →Δ

=

00000

,,lim

0

rrr

ff (t(t00++ΔΔtt))

( )00

00

000

,,,

txtxtxtt

fvtf

dtdf

∇•+∂∂

==

rr

x

ff (t(t00))y

tVx Δ=Δrr

x0

y0

x0+Δx

y0+Δy

x0

x0

y0

FormulaciFormulacióón n EulereanaEulereana

Calculo la misma derivada Calculo la misma derivada con respecto al tiempo con respecto al tiempo considerando los campos de considerando los campos de la magnitud f y sus la magnitud f y sus cambios en el espacio y cambios en el espacio y tiempotiempo

SignificaciSignificacióón Fn Fíísica de la Derivada sica de la Derivada MaterialMaterial

( ) ( ) ( )∗∗∗⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=∗∗∗

=∗∗∗ v

tDtD

dtd r

9

Derivada Material de una magnitud Derivada Material de una magnitud vectorialvectorial

( ) ( )t

txGttxxGdtGd

t Δ−Δ+Δ+

= →Δ0000

0,,lim

rrrrrr

zzyyxx egegegG (((r++=

zz

yy

xx e

dtdge

dtdg

edt

dgdtGd (((r

++=

( )

( )

( ) ztxztxtx

z

tt

z

ytxytxtx

y

tt

x

xtxxtxtx

x

tt

x

gVt

gvt

gdt

dg

gVt

gvt

gdt

dg

gVt

gvt

gdt

dg

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=∇•+∂∂

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=∇•+∂

∂=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=∇•+∂∂

=

=

=

=

rrr

rrr

rrr

0000

000

0000

000

0000

000

,,,

,,,

,,,

( ) GVt

egegegVtdt

Gdzzyyxx

rrrr(((vrrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=

AceleraciAceleracióón como derivada n como derivada material de la velocidadmaterial de la velocidad

( ) VVt

eVeVeVVt

VG zzyyxx

rr(((rrr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

⇒=

No No uniformidaduniformidad

No No estacionarioestacionario

Expresiones de la aceleraciExpresiones de la aceleracióónn

( )

zVV

yVV

xVV

tV

dtdVa

zV

Vy

VV

xV

Vt

Vdt

dVa

zVV

yVV

xVV

tV

dtdVa

aaaa

zz

zy

zx

zzz

yz

yy

yx

yyy

xz

xy

xx

xxx

zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

=r

EjemploEjemplo

( ) ( ) 22

121

),( 112

21e

txetb

btxV xx

((r

++

+=

Campo de Campo de velocidadesvelocidades

( )

dtdVa

xVV

xVV

tV

dtdVa

xVV

xVV

tV

dtdVa

aaa

33

2

22

1

21

222

2

12

1

11

111

21 0

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

=r

ExpresiExpresióón de la aceleracin de la aceleracióónn(Coordenadas Cil(Coordenadas Cilííndricas)ndricas)

( )

zVVV

rV

rVV

tV

dtdVa

zVV

rVVV

rV

rVV

tV

dtdVa

zVV

rVV

rV

rVV

tV

dtdVa

aaaa

zz

zzr

zzz

zrr

rz

rrr

rrr

zr

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+−∂∂

+∂∂

+∂∂

==

=

θ

θ

θ

θ

θθθθθθθθ

θθ

θ

2

r

( ) zr ez

er

er

(((

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇φ

θφφφ θ

1

( )

zVV

rrV

zV

rVV

rrV

zV

rVV

rrV

V

zzz

rr

rrr

eee zr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=∇

θ

θ

θθθ

θ

θ

1

1

1

rr

GVtdt

Gd rrrrr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇•+∂∂

=

VVóórtice Idealrtice IdealSupongamos una funciSupongamos una funcióón n potencial que se expresa comopotencial que se expresa como

El rotor de las velocidades El rotor de las velocidades presenta un punto singular en presenta un punto singular en el origenel origen

θπ

φ2k

=

( )

πθφ

φ

θφφφ

θ

θ

211

01

krr

V

rV

er

er

gradr

r

=∂∂

=

=∂∂

=⇒

∂∂

+∂∂

= ((

( )γ

θ

θe

rrVV

rV r (r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

−=×∇1

( )rk

rV

rVr

log2

1

πψ

ψθψ

θ

−=⇒

∂∂

−=

∂∂

=

10

EjemploEjemploCampo de Campo de velocidadesvelocidades

πθ 210

kr

V

Vr

=

=

( )

zVVV

rV

rVV

tV

dtdVa

zVV

rVVV

rV

rVV

tV

dtdVa

zVV

rVV

rV

rVV

tV

dtdVa

aaaa

zz

zzr

zzz

zrr

rz

rrr

rrr

zr

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

==

∂∂

+−∂∂

+∂∂

+∂∂

==

=

θ

θ

θ

θ

θθθθθθθθ

θθ

θ

2

r

Pregunta 1Pregunta 1La derivada material contiene La derivada material contiene

A) un tA) un téérmino que da cuenta del carrmino que da cuenta del caráácter cter impermanenteimpermanente y del cary del caráácter no uniforme cter no uniforme de un campo de velocidadesde un campo de velocidades

B) un tB) un téérmino que da cuenta del carrmino que da cuenta del caráácter cter impermanenteimpermanente y del cary del caráácter no uniforme cter no uniforme de la trayectoria de la partde la trayectoria de la partíícula.cula.

C) un tC) un téérmino que da cuenta del carrmino que da cuenta del caráácter cter impermanenteimpermanente y del cary del caráácter no uniforme cter no uniforme de la velocidad de la partde la velocidad de la partíícula.cula.

D) sD) sóólo un tlo un téérmino que se denomina rmino que se denomina convectivoconvectivo..