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Capa LímiteCapa LímiteLas soluciones que brinda Las soluciones que brinda el flujo potencial tienen el flujo potencial tienen asociada una condición asociada una condición de deslizamiento en la de deslizamiento en la paredpared
Las soluciones del flujo Las soluciones del flujo potencial son potencial son aproximadas a altos aproximadas a altos números de Reynolds números de Reynolds pero dejan de ser válidas pero dejan de ser válidas en capas cercanas a las en capas cercanas a las paredes de los cuerpos paredes de los cuerpos debido a la adherencia debido a la adherencia del flujo a la pared del flujo a la pared
A
A'
A
U
A'
A
A'
velocity drops to 0
Capa Límite
La La capacapa llíímitemite eses unauna capacapa de de fluidofluido cercanacercana a la pared a la pared dondedonde loslosefectosefectos viscososviscosos no no puedenpueden ser ser despreciadosdespreciados. .
La La capacapa llíímitemite eses la la regiregióónn dondedonde se se efectefectúúaa la la transicitransicióónn entreentre laslasvelocidadesvelocidades del del flujoflujo librelibre y y aquellasaquellas de la pared.de la pared.
La velocidad debe caer a 0
Esquema de cálculoEsquema de cálculo
Cálculo del Cálculo del flujo flujo potencialpotencial
Distribuciones Distribuciones de presión en la de presión en la superficiesuperficie
Cálculo de Cálculo de la capa la capa límitelímite
Separación Separación ??????
SoluciónSolución
Líneas de
Líneas de Corriente
Corriente
Distribución
Distribución
de esfuerzos
de esfuerzos
de Corte
de Corte
Espesor Espesor de la capa de la capa límitelímite
Capa Límite en una placa planaCapa Límite en una placa plana
laminar turbulentotransición
TrazadorU∞ U∞ U∞U∞
CapaCapa LímiteLímite
Fuera de Escala
A escala
2
TransiciónTransición en la en la capacapa límitelímite
• La transición de regimen laminar a regimen turbulento en el flujo dentro de la capa límite dependedel número de Reynolds definido como
donde: ρ = densidad del fluido, U = velocidad de la corriente libre,x = distancia al borde de ataque, µ = viscosidad dinámica.
•Zona de Transición comienza Rex~ 105
•La capa límite comienza a ser turbulenta para Rex~ 3 105
µρ xU
x =Re
CapasCapas límiteslímites
Laminar• MovimientoUniforme y Regular.
Turbulento•Movimiento irregular y no estacionario• Mezclado importante entre lasdistintas capas.
x
turbulent
laminar
leading edge Video
PerfilesPerfiles de de VelocidadVelocidad en la en la capacapalímitelímite
x
mmmm
turb
lam
30101010 12
−≈−≈ −−
δδ
La capa límite turbulenta llega a la superficie!
Estructura de la Capa límite Estructura de la Capa límite TurbulentaTurbulenta
44--Supercapa Supercapa viscosaviscosa
33--RegionRegion externaexterna22--Región Región LogarítmicaLogarítmica
11--SubcapaSubcapa viscosaviscosa
Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes
Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes
Tensiones Tensiones Reynolds Reynolds predominantespredominantes
Tensiones viscosas Tensiones viscosas predominantespredominantes
Tensiones de Tensiones de Re Re vsvsTensiones Tensiones viscosasviscosas
EspesorEspesor
Con algunas Con algunas característcaracteríst. . laminareslaminares
Turbulento c/Turbulento c/fluctfluctmoderadas moderadas perturbperturb por la por la intermitintermit..
Turbulento Turbulento c/fuertes c/fuertes flucfluc. . velocveloc
Intermitente Intermitente trubulentotrubulento
FlujoFlujo
Capa externa Capa externa ~8~8--25mm25mmCapa Interna Capa Interna ~2~2--6mm6mm
δυ 2.0*
40<< y
uδ4.0>yδδ << y2.0
*400u
y υ<<
( )'''
.* vufrotamvelocu xyparedxy====
ρσ
ρ
σ
12
3
4Video Resistencia al avance del cuerpoResistencia al avance del cuerpo
ArrastreArrastre de de SuperficieSuperficie::FuerzasFuerzas de de fricciónfricción causadascausadas porpor el el cisallamientocisallamiento entreentre la la superificiesuperificie y el y el fluidofluidoSon Son funciónfunción de ___________ y ______del de ___________ y ______del objetoobjeto
ArrastreArrastre de formade forma
FuerzasFuerzas causadascausadas porpor laslas diferenciasdiferencias de de presiónpresiónen el en el cuerpocuerpo..DependenDependen del del contorneocontorneo y y pegadopegado de la de la capacapalímitelímite al al cuerpocuerpoSon function del ___________________Son function del ___________________
Area superf. largo
Area Normal al flujo
UU
UU
Video
Video
3
SeparaciónSeparación de la de la capacapa límitelímite.
wake
Flujo de Flujo de CouetteCouette PoisseuillePoisseuille
( )0,0),(yfu =r
x
y
P1P2
U
kctexp
−==∂∂
Se admiteSe admite
hyU
hy
hyhkyu +
−
−= 1
2)( 2
µ
GradientesGradientes de de PresiónPresión
La forma de la La forma de la capacapa límitelímite eses fuertementefuertementeinfluenciadainfluenciada porpor loslos gradientesgradientes de de presiónpresiónexternosexternos(a) favorable (dP/dx < 0)(a) favorable (dP/dx < 0)(b) cero(b) cero(c) (c) ModeradamenteModeradamente adversosadversos (dP/dx > (dP/dx >
0)0)(d) (d) GradienteGradiente críticocrítico adversoadverso ((ττww = 0)= 0)(e) (e) FuertementeFuertemente adversoadverso ((flujoflujo
separadoseparado))
GradientesGradientes de de presiónpresión
La La aproximaciónaproximación de la de la capacapa límitelímite dejadeja de ser de ser válidaválida luegoluego del del puntopunto de de separaciónseparación debidodebido al al flujoflujoinversoinverso..La La capacapa límitelímite turbulentaturbulentaeses másmás resistenteresistente a a loslosgradientesgradientes adversosadversos de de presiónpresión
Laminar flow separates at corner
Turbulent flow does not separate
SeparaciónSeparación de la de la capacapa límitelímitelaminar o laminar o turbulentaturbulenta
Laminar
Turbulent
Video
Video
Video 15º
Video 20º
Video
Video
video
DbUFCD 2
2
∞
=ρ
4
Ford Explorer 2002 Ford Explorer 2002 CCdd = 0.41= 0.41
2
2CdDragU Aρ
=2C
2d U ADrag ρ
=
Video
Video
CoordenadasCoordenadas de la de la CapaCapa LLíímitemiteLlamamosLlamamos x a la x a la coordenadacoordenada de la de la capacapa llíímitemite en la en la direccidireccióónn del del flujoflujo, e y a la , e y a la coordenadacoordenada de la de la capacapa llíímitemite en la en la direccidireccióónn normal. normal. SiSi el el espesorespesor de la de la capacapa llíímitemite δ δ(x) (x) eses muymuy delgadodelgado frentefrente al radio al radio de de curvaturacurvatura R de la paredR de la pared
δδ(x) <<R(x) <<R
N S en coordenadas capa límite ~ N S en coordenadas cartesianas
La capa límite se desarrolla como si la pared fuese plana
x
y
δ(x)
2D NAVIER2D NAVIER--STOKES y STOKES y EcuaciEcuacióónn de Cons. De la de Cons. De la MasaMasa
0
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
yv
xu
yv
xv
yp
yvv
xvu
yu
xu
xp
yuv
xuu
νρ
νρ
OrdenesOrdenes de de MagnitudMagnitud de la de la capacapa llíímitemite
Vamos analizar los ordenes de magnitud de los distintos términos de las ecuaciones con los siguientes considerandos
Llamando L a la escala longitudinal y δ a la escala transversal
( ) ( )
( ) ( )δ
δ
≈∂
∂
≈∂
∂<<
y
Lx
L
En cuanto a la velocidad siendo U la velocidad del flujo libre
( ) ( )Uu
≈∂∂
Ecuación de continuidadEcuación de continuidad
0=∂∂
+∂∂
yv
xu
xconv
dif
xUxUx Re
1
2
==⇒=
= υδ
τ
υδτ
LUU
LUUL
v υυδ=≈~
LU
xu ~
∂∂
xu
yv
∂∂
−=∂∂
UL
v δ~ 01 →⇒<< vLδ
Video
Ec. de cons de la cant de movim. en la dir. normal
Como V ~ (Como V ~ (δδ/L)U y /L)U y multiplicandomultiplicando todostodos loslosttéérminosrminos porpor ((δδ/U/U22), se ), se obtieneobtiene
∂∂
+∂∂
+∂
∂−=
∂∂
+∂∂
2
2
2
21yv
xv
yp
yvv
xvu ν
ρ
ReRe1,1,1,,
222
LLLδδδ
22
22
,,,,δ
ννδδ
VLVUV
LUV
Como (Como (δδ/L) ~ (Re/L) ~ (Re))--1/21/2 ReReReRe1,1,1,1,1
2
Re>>1Re>>1 0=∂
∂
yp
5
Inidica que la presión es constante según la coordenada “y” dentro de la capa límite
0=∂
∂
yp
Sea ppd(x,y) la presiónobtenida a partir de la soluciónde flujo potencial. Surge entonces que pd(x) puede ser obtenida a partir de ppd(x,0):
)x(p)0,x(p)x(p pdbpdd ≡=
x
y
δ(x)
LU
El flujo externo a la capa límite deja suimpronta en la capa límite a través de la presión.
APROXIMACION DE NS DE LA CAPA LIMITE
Las ecuaciones de la capa límite son entonces:
donde ppdp(x) es conocida y surge de considerar el escurrimiento potencial
Las condiciones de borde son
0v,0u0y0y
====
x
y
δ(x)
LU
0
12
2
=∂∂
+∂∂
∂∂
+−=∂∂
+∂∂
yv
xu
yu
dxdp
yuv
xuu pdb ν
ρ
Adicionalmente u debe aproximarse al valor de la velocidad del flujo potencial U si yycrece yy se acerca a la capa límite.
dxdUU
dxdppdb =
ρ1
Solución de Solución de BlasiusBlasiusBlasiusBlasius considera el caso considera el caso de una placa plana y el de una placa plana y el flujo externo a considerar flujo externo a considerar es en ese casoes en ese caso
La solución a la que llega La solución a la que llega es una solución numérica es una solución numérica sin expresión analítica en sin expresión analítica en función de una variable función de una variable adimensional adimensional
0=∂∂
⇒=xpcteU
2/1
2
= ∞
xUyυ
η
δ x( )
x0 0.5 1
0
0.5
1 •• La La capacapa límitelímite crececrece con: con: δ δ ∝∝√√xx•• El El crecimientocrecimiento inicialinicial esesrráápidopido•• El El crecimientocrecimiento de la de la capacapallíímitemite ddδδ/dx/dx ∝∝ 1/1/√√x, x, decrecedecrecehaciahacia aguasaguas abajoabajo
τ w x( )
x0 0.5 1
0
5
10•• Las Las tensionestensiones en la pared: en la pared: ττww∝∝ 1/1/√√xx•• A A medidamedida queque aumentaaumenta el el espesorespesor de la de la capacapa llíímitemite, la , la tensitensióónn de de cortecorte disminuyedisminuyeporqueporque disminuyedisminuye el el gradientegradientede de velocidadesvelocidades..
CapaCapa límitelímite en en unauna placaplaca planaplana
Ux
y
U U U
δ
τo Espesorde la capalímite
Esfuerzode corteen la pared
dudy
es máximoen el bordede atatque
FlujosFlujos y y CantidadCantidad de de MovimientoMovimiento parapara un un volumenvolumende control rectangularde control rectangular
0000(4)(4)
(3)(3)
(2)(2)
(1)(1)
CantCant MovMov s/xs/xFlujosFlujosSecciónSección
∫h
dyUb0
2ρ
∫−
h
dyub0
τ0h δ
(1) (2)(3)
(4)
∫h
dyUb0
∫−
h
dyub0
2ρ
( )∫ −−
h
dyuUb0
( )∫ −−
h
dyuUUb0
ρ
∑ = 0flujos ∑ = ArrastremovdecFlujos .
6
EspesorEspesor de de DesplazamientoDesplazamientoFlujo Inviscido Flujo Viscoso
δ1
Areas iguales
∫
∫∞
∞
−=⇒
−=
0
1
0
1
)1(
)(
dyUu
dybuUUb
δ
δ
EspesorEspesor de de CantidadCantidad de de MovimientoMovimiento
Flujo Inviscido Flujo Viscoso
δ2
Flujos c. de mov. iguales
∫
∫∞
∞
−=⇒
−=
0
2
0
22
)1(
)(
dyUu
Uu
dybuUuUb
δ
ρδρ
Métodos Integrales de la capa límiteMétodos Integrales de la capa límite
( )dxxx
∂∂δ
dxx
dxu
dxdxmdmmmd
x
xdxx ∂
∂
==−=∫
+
)(
0
δ
ρ&
&&&
∫=
)(
0
21
x
xF dyuM
δ
ρx x+dx
δ(x)(1) (2)
(3)
(4)
dxx
MMM xFxFxF ∂
∂+= 1
12
dxUx
dyu
UmdM
x
xF ∂
∂
==∫
)(
0
2
3
δ
ρ
&
( )
( )
dxF
dxxxpF
xFFF
xpF
x
x
xxx
x
04
3
112
1
τ
δ
δ
−=∂
∂=
∂∂
+=
=
Considerando queConsiderando que
Y la expresión de Y la expresión de espesor de espesor de cantcant. de . de desplazamiento y de desplazamiento y de cantidad de cantidad de movimiento movimiento Se obtiene la Se obtiene la siguiente ecuación siguiente ecuación diferencialdiferencial
∑∑ =i
ix
i
Fix FM
∫∞
−=
0
2 )1( dyUu
Uuδ
∫∞
−=
0
1 )1( dyUuδ
( ) 20
122 21
UdxdU
Udxd
ρτδδδ
=++
Métodos Integrales para capa límite Métodos Integrales para capa límite laminar en placa planalaminar en placa plana
Hay que suponer una función Hay que suponer una función u(x,yu(x,y) que cumpla) que cumpla
Una opción esUna opción es
( ) 0),(
),(0)0,(
=∂
∂
==
=δ
δ
yyyxu
Uxuxu
=
δπ ysenUu2
δπµµτ
δππδ
δπ
πδ
Udydu
y 2
24
2
00
2
1
==
−=
−=
=
CUx
U
U
dxd
+−
=⇒=−
2
2
2 242
22
24 υπ
ππδ
ρδ
πµδππ
( )
Ux
Ux
C
Blasisusυδυδ
δ
579.4
00
==
=⇒
Métodos Integrales para capa límite Métodos Integrales para capa límite Turbulenta en placa planaTurbulenta en placa plana
Hay que suponer una función Hay que suponer una función u(x,yu(x,y) que cumpla) que cumpla
Una opción esUna opción es ( ) 0),(
),(0)0,(
=∂
∂
==
=δ
δ
yyyxu
Uxuxu
41
20
71
0225.0
=
=
δυ
ρτ
δ
UU
yUu
20
727
Udxd
ρτδ
=
Re
δ
Turbulento
Lam.
x0
5/1
00
37.0−
−
=− xx
Uxx
υδ
7
CapaCapa límitelímite turbulentaturbulenta
Ilustración de las fluctuacionesen la capa límite turbulenta
Black lines: instantaneousPink line: time-averaged
Comparación de losperfiles laminares y turbulentos de la cl
Turbulent Boundary LayerTurbulent Boundary LayerLeyLey de la pared en de la pared en capascapas límiteslímites
Perfil de velocidades en coordenadasde la pared
ρτ pu =*
** uuu =
y*=yu*/η
CapaCapa LímiteLímite turbulentaturbulenta
Spalding (1961) Spalding (1961) desarrollodesarrollo unauna fórmulafórmulaqueque eses válidaválida en en grangran parteparte de la de la capacapalímitelímite
κκ, B son , B son constantesconstantes
CoeficientesCoeficientes de de fricciónfricción en en unauna placaplaca planaplana
0.001
0.01
1000
0
1000
00
1000
000
1000
0000
1000
0000
0
1000
0000
00
1000
0000
000
RelUlν
=
le
fdC
1 x 10-3
5 x 10-4
2 x 10-4
1 x 10-4
5 x 10-5
2 x 10-5
1 x 10-55 x 10-6
2 x 10-61 x 10-6
( ) 2.51.89 1.62log /
fdC lε
− = −
( )0.51.328Refd
l
C =
0.20.072Refd lC −=
20
UC
fd ρτ
=
ResúmenResúmen capacapa limitelimite turbulentaturbulenta ConclusionesConclusionesEn esta clase vimos cuales son las En esta clase vimos cuales son las hipotesishipotesis que se que se adoptan para simplificar las ecuaciones de conservación adoptan para simplificar las ecuaciones de conservación en el caso de querer analizar el movimiento del fluido en el caso de querer analizar el movimiento del fluido dentro de la capa límitedentro de la capa límiteExisten dos parámetros que resultan de particular interés: Existen dos parámetros que resultan de particular interés: el espesor de la capa límite y el coeficiente de fricciónel espesor de la capa límite y el coeficiente de fricciónLos valores de dichos parámetros difieren fuertemente Los valores de dichos parámetros difieren fuertemente según si el flujo es laminar o turbulento en el interior de la según si el flujo es laminar o turbulento en el interior de la capa límitecapa límiteA señalar es que en tanto que en la región laminar A señalar es que en tanto que en la región laminar δδ~x~x1/2 1/2
en la en la regiónregión turbulentaturbulenta δδ~x~xLos Los coeficientescoeficientes de de fricciónfricción locallocal son un son un ordenorden de de magnitudmagnitud superioressuperiores en el en el casocaso de de flujosflujos turbulentosturbulentosUnaUna medidamedida de de estosestos efectosefectos la la dandan loslos espesoresespesores de de desplazamientodesplazamiento y de y de cantidadcantidad de de movimientomovimiento..