Departamento De Ciencias Cajamarca Facultad De Ingeniera

CINEMTICA

DISTANCIA, DESPLAZAMIENTO Y TRAYECTORIA

La distancia recorrida por un mvil es una magnitud

escalar ya que slo interesa saber cul fue la

magnitud de la longitud recorrida. En cambio el

desplazamiento de un mvil es una magnitud

vectorial, pues corresponde a unadistancia medida

en una direccin particular entre dos puntos: el de

partida y el de llegada.

La trayectoria de una partcula, o el camino

recorrido al pasar de su posicin inicial a su posicin

final, puede ser recta o curva, resultando as en los

movimientos rectilneos o curvilneos, los cuales

pueden ser uniformes o variados, dependiendo de

que su velocidad permanezca constanteo no.

LA POSICIN ( )

Indica la ubicacin de una partcula en el espacio.

= + +

VELOCIDAD MEDIA ( )

Es el desplazamiento entre un intervalo de tiempo,

puede ser positivo o negativo dependiendo del

signo que tome el desplazamiento.

=

=

=

.. (1)

VELOCIDAD INSTANTNEA ( )

Se define como el lmite de la velocidad media a

medida que el intervalode tiempo de hace

infinitamente corto es decir:

= lim0

=

+

+

= + +

RAPIDEZ

Es el mdulo de la velocidad

= 2 + 2 + 2

Tener en cuenta:

La velocidad media no es la rapidez media> por

ejemplo, supongamos que un objeto se mueve

desde el origen a x=30m y luego regresa al origen

en un intervalo de tiempo de 5.0s. La velocidad

media en este caso es cero. Porque el objeto

termina en la misma posicin en la que arranc, su

desplazamiento es cero. Sin embargo. La rapidez

media es la distancia total de 30m+30m=60m

divididos entre el intervalo de 5.0s, que es

60/5.0=12m/s.

ACELERACIN MEDIA( )

Supongamos que un auto se mueve a lo largo de

una trayectoria curvilnea de 1a 2 con velocidades

1a 2 respectivamente. La aceleracin media

durante este intervalo de tiempo se define como el

cambio en la velocidad dividido entre el intervalo de

tiempo durante el cual ha ocurrido ese cambio:

X

Z

Y

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=

= 2 12 1

ACELERACIN INSTANTNEA( )

Se define como el lmite de la aceleracin media a

medida que el intervalo de tiempo de acerca a cero.

Es decir:

= lim0

=

MOVIMIENTOS RECTILINEOS

De las ecuaciones:

=

.. (1)

=

..(2)

MOVIMIENTO RECTILNEO CON ACELERACIN

CONSTANTE

Si la = .

0

=

0

= 0 + 0

= 0 +

0

0

= 0 + 0 0 + ( 0)

De las ecuaciones (1) y (2)

2 = 20 + 2 ( 0)

Si el movimiento rectilneo se realiza en el eje OX,

considerando 0 = 0 y 0 = 0 como condiciones

iniciales tendremos:

= 0 +

= 0 + 0 +1

22

2 = 20 + 2

GRFICAS DEL MOVIMIENTO RECTILNEO CON

ACELEACIN CONSTANTE.

Posicin versus tiempo

Velocidad versus tiempo

Aceleracin versus tiempo

1

1

X

Z

Y

= 0 + 0 +1

22

= 0 +

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v=cte.

MOVIMIENTO RECTILNEO CON VELOCIDAD

CONSTANTE

Si la = 0

0 = ( 0)

Si el movimiento rectilneo se realiza en el eje OX,

considerando 0 = 0 y 0 = 0 como condiciones

iniciales tendremos:

=

Posicin versus tiempo

Velocidad versus tiempo

EJEMPLO 1:

Un tpico avin de propulsin a chorro aterriza con

una rapidez de 160 mi/h y frena a una razn de

10mi/h/s. Si el avin se desplaza a una rapidez

constante de 160mi/h durante 1.0s despus de

aterrizar, antes de aplicarlos frenos, Cul es el

desplazamiento total del avin entre el punto en

que toca tierra en la pista y el punto donde llega al

reposo?.

0 = 160

= 71.5/

= 10.0

= 4.47 2

A continuacin escogeremos nuestro sistema de

coordenadas y trazamos el problema como se ve en

la figura:

Del dibujo vemos que el problema tiene dos partes.

En la parte A, el avin avanza en punto muerto con

una velocidad constante y por ello la aceleracin es

cero. La parte B comprende una distancia de

frenado en la cual la aceleracin es constante a

=4.47m/s2 y la velocidad cae de 71.5m/s a 0m/s. Al

hacer una lista de las cantidades dadas y las que han

de determinarse, encontramos que:

Para el desplazamiento en punto muerto, parte A

Dados A determinarse

V=71.5m/s A=0 T=1.0s

Al seleccionar = , obtenemos el

desplazamiento en punto muerto,.

= = 71.5 1.0 = 71.5

= 0 +

= .

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Observe que al usar = 0 +1

22 tambin se

obtiene el mismo resultado

Para el desplazamiento con frenado, parte B

Dados A determinarse

V0=71.5m/s V=0 a=-4.47m/s2

Como la aceleracin es otra vez constante, usamos

la ecuacin 2 = 2 + 2

=2 22

=02 71.5 2

2(4.47)= 572

El desplazamiento total del avin es:

+ = 72 + 572 = 644

La frmula que da la posicin de una partcula que

se mueve en trayectoria recta, escrita en el SI es:

= 73 22 + 3 1

Calcular:

a) Ecuacin de la velocidad

b) Ecuacin de la aceleracin

c) Espacio recorrido por la partcula en el

tercer segundo.

Solucin:

=

= 212 4 + 3

=

= 42 4

En el instante de 2s la partcula recorre un espacio

de 53m y para t-3s recorri 179m.

Luego el espacio recorrido ser: 126m

Un punto material se mueve en trayectoria recta de

tal forma que, en cada instante, el valor de su

velocidad queda determinado en el SI por la

funcin: = 250 10, determinar:

a) La velocidad inicial

b) La velocidad en los instantes de 5s y 10s

c) Instante en que la velocidad es nula.

d) Velocidad del mvil para t=30s

e) Determinar la ecuacin que relaciona la

distancia al origen y el tiempo, suponiendo

que el punto est en el origen cuando t=0s.

f) Distancia al origen, contada sobre la

trayectoria, cuando el punto tiene velocidad

nula.

g) Distancia del origen, medida sobre la

trayectoria para t=30s.

h) Cmo calcularamos en general el camino

recorrido sobre la trayectoria cuando en l

la velocidad ha cambiado de sentido.

Solucin:

a) t=0s entonces 0 = 250/

b)5 = 200/; 10 = 150/

c) 0 = 250 10 entonces = 25

d)30 = 250 1030 = 50/

El mvil hacia el origen a una velocidad de 50m/s

los 30s de iniciado el movimiento.

e) =

= 250 10 entonces = 250

10

= 250 10 = 250 52 +

= 0 Entonces 0 = = 0

La ecuacin pedida es:

= 250 52

f) Como t=25s

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= 25025 5252 = 3125

g) = 25030 5900 = 3000

h) El mvil en los 25primeros segundos se ha

alejado del origen y llega al reposo, recorriendo

3125m. Durante los 5s siguientes se acerca al origen

quedando a una distancia de l, medida sobre la

trayectoria, de 3000m. (Ha recorrido, por tanto en

su vuelta, del segundo 25 al 30, una distancia de

125metros hacia el origen).

i) Nos bastara calcular el espacio recorrido desde el

instante origen (t=0) hasta el instante en que el

mvil se detiene (3125m) apartado anterior) y

sumarle el espacio recorrido desde ste hasta el

tiempo final; en nuestro caso tal espacio es 125m

como hemos deducido en el apartado h.

El camino total recorrido sobre la trayectoria es

= 3125 + 125 = 3250. Equivalente este

camino a:

30

25

= (25025 5252)25

0

250 30 25

5 302 252 = 3250

El signomenos de la segunda integral obedece a que

buscamos camino total sobre la trayectoria y

considerando que del segundo 25 al 30, el mvil va

en sentido contrario a que marcha desde t=0s a

t=25s.

En resumen: para obtener la distancia al origen,

sobre la trayectoria, resolveremos la integral:

=

0