ciclo trigonométrico

Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho

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- O centro do ciclo coincide com a origem do plano cartesiano;

- O raio do ciclo é unitário (r = 1u.c.)

- O sentido anti-horário é o sentido positivo dos arcos;

(0;0)

1 u.c.

1 u.c.

+

-

1º Q

3º Q 4º Q

2º Q

= 360º

270º

180º

90º

0º =

2

π

2

3π

π π20 ≡A ORIGEM DOS ARCOS


P(x,y)

O0

x

y

.cos

sen

xx

OP

x ===1

cosθ

yy

OP

ysen ===

1θ

);(cos);( θθ senPyxP ⇒

1


(1;0)

(0;1)

(-1;0)

(0;-1)

cos 0º = 1 sen 0º = 0

cos 90º = 0 sen 90º = 1

cos 180º = -1 sen 180º = 0

cos 270º = 0 sen 270º = -1

cos 360º = 1 sen 360º = 0

1θsen 1

1θ cos1

≤≤−≤≤−


QUESTÃO 109QUESTÃO 109


COSSENO SENO TANGENTE

++++__

__ ++____

++ ++__++

__

e SECANTE

e COSSECANTE

e COTANGENTE


(2010)


A

P

0

t

.

T OA

ATtg =θ

1

ATtg =θ

ATtg =θ

θtg

A tangente de um arco no ciclo é a ordenada do ponto de interseção entre o eixo t e o prolongamento do raio, nesse arco.

O


x

x

x

180º-x

x

180º+x

x

360º-x

.

..

.

x−π

x+π x−π2

ou

ou ou


x

x

x

180º-x

x

180º+x

x

360º-x

.

..

.

x−π

x+π x−π2

ou

ou ou

a)sen 120º = ?

c) tg 225º = ?

b) cos 210º = ?

ExemplosExemplos:


Ex: Simplifique a expressão trigonométrica a seguir:

)(

)2()cos()(

xsen

xsenxxsen

+−+−+−

ππππ


P(x,y)

O x

y

.

222 OPxy =+

222 1cos =+ θθsen

1cos22 =+ θθsen

0

RELAÇÃO FUNDAMENTAL

cos

sen


QUESTÃO 110QUESTÃO 110


A expressão xsecxtg

xcosy

+= é equivalente a:

a) 1 + tg x. b) 1 + cos x. c) 1 + sec x.

d) 1 – cossec x. e) 1 – sen x.


Sugestão de exercícios:

CAPÍTULO 03

Questões: 81, 82, 86, 87, 92, 95, 101, 107, 110 e 115.


a b.cossen b a.cossen b)sen(a +=+1. SENO

_ _

2. COSSENO

ba.sen sen b a.cos cosb)cos(a −=+_ +

3. TANGENTE

b a.tg tg1

b tga tgb)tg(a

−+=+__

+


a a.cossen 22asen =

asen - acos 2a cos 22=

a tg- 1

a tg2 2a tg

2=


Se (senx – cosx) – y sen 2x = 1, ∀ x ∈ R, então y é igual a:2

a) –2.

b) –1.

c) 0.

d) 1.

e) 2.


O valor de sen (1120º) – cos (610º) é:

a) cos (10º).

b) sen (10º) .

c) sen (-10º) .

d) cos (20º).

e) sen (20º).



CAPÍTULO 04

Questões: 141, 143, 151 e 153.

Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho


São arcos que possuem a mesma imagem, diferindo uns dos outros apenas pelo número de voltas.

A

Ex: 30º, 390º e 750º.

30º== 390º== 750º

30º, 390º e 750º são arcos côngruos.


Relativamente aos valores x = sen 930°, y = cos 680° e z = tg 855°, é verdade que:

a) x < y < zb) y < x < zc) x < z < yd) z < y < xe) z < x < y


Zk k;360βα o ∈+=

Zk ;2kβα ∈+= πou

voltasde Número :k

arco do P.D.P.:β


Ex: Determine a expressão geral dos arcos cujas imagens estão representadas abaixo:

a) b) c)

d) e) f)


01sen x 2 a) =−

223 xcos 4 b) =+

01 x tg3 c) =−

023sen xxsen d) 2 =+−

2

1x2cos e) =


03sen x 2 a) ≥−

13 xcos 4 b) <+

41 x tg3 d) ≥+

12sen x 2 c) >+



LIVRO 8 – CAPÍTULOS 05 e 06

Questões: 201, 204, 207, 210, 216, 222, 227, 241 e 256.

ciclo trigonométrico

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