Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde la Región Carbonífera

“Dr. Rogelio Montemayor Seguy”

Francisco Javier Rodriguez Núñez Sandra Rubí Medrano Morales Cinthia Edurne Sánchez Nieto José Angel Nava Díaz

Caso aplicado: Flujo vehicular

Problema de contexto

Modelación

Problemamatemático

Proceso desolución

Solución

Transferencia de resultados

Interpretación

Introducción

El siguiente problema se deriva del fenómeno causado por el flujo de vehículos en determinada calle.

Existen diversos modelos que se utilizan para la interpretación de estos problemas, por ejemplo: los macroscópicos.

Los modelos macroscópicos se enfocan en captar las relaciones globales del flujo de tráfico, tales como velocidad de los vehículos, flujo vehicular y densidad de tráfico. Por su naturaleza, son modelos continuos, que hacen uso extensivo de ecuaciones diferenciales. Incluye a los modelos de gases cinéticos y los hidrodinámicos. Dirk Helbing, M. Treiber y L. A. Pipes son algunos de los investigadores de mayor renombre en esta área. Dentro de los modelos macroscópicos existen modelos puramente empíricos, denominados modelos de capacidad y nivel de servicio, que renuncian al planteamiento preciso de ecuaciones diferenciales y se limitan a establecer relaciones empíricas entre las principales variables bajo control del diseñador.

Problema de contexto

Se pretende encontrar la cantidad de flujo vehicular que existe en las calles que rodean la “Plazita de La Madre” en la Cd. de Sabinas. Las calles Ocampo, Acuña, Fco. Villa y Gustavo Espinoza corren en dos sentidos. Un grupo de estudiantes recopilaron la información veridica del sistema de ecuaciones lineales que son los siguentes:o Nodo 1e: G. Espinoza = 4, Ocampo = 8o Nodo 1s: G. Espinoza = 1, Ocampo = 15 o Nodo 2e: Fco. Villa = 2, G. Espinoza = 1o Nodo 2s: Fco. Villa = 6, G. Espinoza = 0o Nodo 3e: Acuña = 22, Fco. Villa = 9o Nodo 3s: Acuña = 25, Fco. Villa = 8o Nodo 4e: Ocampo = 20, Acuña = 31o Nodo 4s: Ocampo = 14, Acuña = 27

Ocampo

Acuña

41

32

Fco. Villa

X1

X5

X2

X6

X3

X7

X4

X8

Ae As He Hs

Be

BsGe

Gs

Fe

FsCe

Cs

DeDs EeEs

Espinoza

Ocampo y Espinoza

Espinoza y Fco. Villa Fco. Villa y Acuña

Acuña y Ocampo

Modelación

El sistema de ecuaciones lineales quedaría de esta maera:

o 1. X1 + Ae + Be + X6 = X5 + As + Bs + X2 o 2. X2 + Ce + De + X7 = X6 + Cs + Ds + X3 o 3. X3 + Ee + Fe + X8 = X7 + Es + Fs + X4 o 4. X4 + Ge + He + X5 = X8 + Gs + Hs+ X1

Despejando tenemos las sig. ecuaciones:

o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = – Ae – Be + As + Bs o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = – Ce – De + Cs + Ds

o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = – Ee – Fe + Es + Fs o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – Ge – He+ Gs + Hs

Problema matemático

Sustituímos en el sistema los valores de entrada y de salida conocidos, y nos queda el sistema de esta manera:

1. X1 – X2 – X5 + X6 = – ( 4) – ( 8) + ( 1) + (15) = 4

2. X2 – X3 – X6 + X7 = – ( 2) – ( 1) + ( 6) + ( 0) = 3

3. X3 – X4 – X7 + X8 = – (22) – ( 9) + (25) + ( 8) = 2

4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – (20) – (31) + (14) + (27) = – 10

o 1. X1 – X2 – X5 + X6 = 4

o 2. X2 – X3 – X6 + X7 = 3

o 3. X3 – X4 – X7 + X8 = 2

o 4. –X1 + X4 + X5 – X8 = – 10

Proceso de solución

Utilizando el método de Gauss-Jordan procedemos a resolver el sistema:

1 -1 0 0 -1 1 0 0 4

0 1 -1 0 0 -1 1 0 3

0 0 1 -1 0 0 -1 1 2

-1 0 0 1 1 0 0 -1 -10

(1)

R1 * (1) + R4 = R4

1 -1 0 0 -1 1 0 0 4

0 1 -1 0 0 -1 1 0 3

0 0 1 -1 0 0 -1 1 2

0 -1 0 1 0 1 0 -1 -6

(1)(1)

Proceso de soluciónContinuación...

R2 * (1) + R1 = R1 R2 * (1) + R4 = R4

1 0 -1 0 -1 0 1 0 7

0 1 -1 0 0 -1 1 0 3

0 0 1 -1 0 0 -1 1 2

0 0 -1 1 0 0 1 -1 -3

(1)(1)(1)

R3 * (1) + R1 = R1 R3 * (1) + R2 = R2 R3 * (1) + R4 = R4

1 0 0 -1 -1 0 0 1 9

0 1 0 -1 0 -1 0 1 5

0 0 1 -1 0 0 -1 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 -1

Solución

Al despejar la última incógnita tenemos: X8(0) = -1 X8 = -1/0, por lo tanto su valor es

indeterminado.

De acuerdo a los resultados obtenidos se llega a la conclusión que el sistema no tiene solución y por lo tanto es incompatible.

Es decir las incógnitas anteriores a X8 dependen de un número indeterminado y por lo tanto también son indeterminadas.

Transferencia de resultados

Las incógnitas pertenecen a las calles siguientes:

o X1 = Melchor Ocampo (vuelta)o X2 = Gustavo Espinoza (vuelta)o X3 = Fco. Villa (vuelta)o X4 = Jesús Acuña (vuelta)o X5 = Melchor Ocampo (ida)o X6 = Gustavo Espinoza (ida)o X7 = Fco. Villa (ida)o X8 = Jesús Acuña (ida)

Interpretación

Se puede concluir que las calles que rodean la “Plazita de la Madre” no dependen una de la otra y no es posible determinar la cantidad de tráfico vehicular que circula en esa área en particular.

¡Gracias!