captulo8cd32-final-150514160234-lva1-app6891

Estadstica y muestreo, 12.ed. (Segunda reimpresin) CD Cap.8 Pruebas de hiptesis y lmites Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones de confianza Actualizado en diciembre de 2007

32

69. Solucin:

501 =n 74,05037

1 ==p 05,0=

502 =n 46,05023

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa > 222 qpsp =

( ) 65,164,14500,0 =A

4) ( ) ( ) 98,250

54,046,050

26,074,046,074,0

=

+

=Z

S influye utilizar una modelo al nivel del 5%. Unilateral derecha.

70. Solucin:

1201 =n 10,012012

1 ==p 05,0=

1202 =n 13,012016

2 ==p

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa < 222 qpsp =

4) ( ) ( ) 73,0120

87,013,0120

9,010,013,010,0

=

+

=Z

Al nivel del 5%, no hay razn para hacer dicha afirmacin, no es mayor. Unilateral izquierda.


33

71. Solucin:

1201 =n 25,01 =p 05,0= 1502 =n 15,02 =p

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 3) 111 qpsp = 21: PPHa 222 qpsp =

4) ( ) ( ) 04,2150

85,015,0120

75,025,015,025,0

=

+

=Z

Al nivel del 5%, se puede aceptar dicha afirmacin. Si es diferente.

DISTRIBUCIN t DE STUDENT

DISTRIBUCIN DE MEDIAS MUESTRALES (muestras pequeas)

72. Solucin:

29=n 000.808=x 000.16 =s

1) 000.800:0 =H 2) %5= 3) 000.16 =s 000.800: aH

4) 64,2000.1628000.8

28000.16000.800000.808

==

=t

Se rechaza la hiptesis de que 000.500= , por lo tanto aceptamos que el verdadero ingreso medio por familias en la ciudad es diferente de $800.000, al nivel del 5%.

NOTA: Observe que se toma el nivel del 5%, a lado y lado de la RC.


34

73. Solucin:

10= 16=n 4,10=x 5,0 =s 05,0=

15116 ==v 15= 7530,1=t

1) 10:0 =H 2) %5= 3) 5,0 =s 10: >aH

4) ( ) 10,35,087,34,0

5,0154,0

155,0

104,10===

=t

Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G, ofrece garanta de resistencia superior a 10 libras. Unilateral a la derecha.

NOTA: Por ser unilateral se toma el doble del nivel de significacin en la RC.

74. Solucin:

1= 05,0= 5=n 2,21 ==n

xx

( ) 64,112

1=

=

n

xxs

1318,2=t 4=

1) 1:0 =H 2) 05,0= 3) 64,1=s 1: >aH (corregida)

4) 64,15

64,112,2

=

=t

Se acepta la hiptesis nula, se puede contratar a la aspirante, al nivel del 5%. * En las pruebas unilaterales, en la regin crtica, se toma el doble del nivel de significacin.


35

75. Solucin:

5,0= 12=n 05,0= 11112 == 2010,2=t

1==n

xx

( ) 95,012

=

=

n

xxs

1) 5,0:0 =H 2) 05,0= 3) 95,0=s 5,0: aH

4) 82,11295,0

5,01=

=

=

n

s

xt

Se acepta la hiptesis nula; puede considerarse que el promedio de nacimiento de mellizos por mes, es de 0,5 al nivel del 5%.

76. Solucin:

5=n 05,0= 2= 4= 1318,2=t

2,156

==

=

n

xx i

( ) 84,012

=

=

n

xxs i

1) 2:0 =H 2) 05,0= 3) 84,0=s 2:


36

77. Solucin:

7= 16=n 8,5=x 6,1 =s 05,0=

1) 7:0 =H 2) 05,0= 3) 6,1 =s 7: aH

4) 151 == n

5) 1

=

ns

xt

90,2

1166,178,5

=

=t

Al nivel del 5%, se puede concluir que la mquina no funciona correctamente. Prueba bilateral.

78. Solucin:

82= 20=n 75=x 9 =s 05,0=

1) 82:0 =H 2) 05,0= 3) 9 =s 4) 191 == n 82: aH

5) 39,31209

8275=

=t

La diferencia es significativa, el nivel del 5%. Prueba bilateral.

79. Solucin:

78= 25=n 82=x 21 =s 01,0=

1) 78:0 =H 2) 01,0= 3) 21 =s 4) 241 == n 78: >aH


37

5) 93,024217882

=

=t

No se puede afirmar al nivel del 1% , que el carro sea superior. Unilateral derecha.

80. Solucin:

380= 25=n 360=x 40 =s %1=

1) 380:0 =H 2) 01,0= 3) 40 =s 4) 241 == n 380: aH

5) 24,229000.3

250.18500.19=

=t

Se observa que 2,24 cae en la regin crtica. Al nivel del 5%, se acepta la afirmacin de la asociacin, ya que el sindicato subestima el salario medio por da. Unilateral derecha.


38

82. Solucin:

meses10,8= 25=n mesesx 5,7= 54,35,122 == ss

1) 10,8:0 =H 2) 05,0= 3) 54,3 =s 4) 241 == n 10,8: aH

4) 141 == n

5) 40,31411200210

=

=t

Es una prueba suficiente para concluir que el tiempo medio aumenta, al nivel del 1%. Unilateral derecha.


39

84. Solucin:

12=n 160= 92,16112943.1

==x 75,2811212943.112699.323

2

=

=s

1) 160:0 =H 2) 01,0= 3) ( )corregidas 75,28= 4) 11= 160: >aH

5) 23,01275,2816092,161

=

=t

Estos datos no nos permiten concluir que la media poblacional sea superior a 160, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

85. Solucin:

12= 9=n 39,3995,354

==x 23,4199

5,354925,106.142

=

=s

1) 42:0 =H 2) 01,0= 3) ( )corregidos 23,4= 4) 81 == n 42:


40

86. Solucin:

48= 6=n 416246

==x 85,20166

2466260.122

=

=s

1) 48:0 =H 2) 05.0= 3) ( )corregidos 85,20= 5= 48: aH

5) 82,0685,20

4841=

=t

No se debe rechazar la afirmacin del fabricante, al nivel del 5%. Prueba bilateral.

PRUEBA DE HIPTESIS DE DISTRIBUCIONES PROPORCIONALES

87. Solucin:

%30=P 20=n 05,0= 40,0208

==p

1) 30,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsp = 30,0: >PHa

19120 ==

1

=

n

pqPp

t ( ) 89,01206,04,030,040,0

=

=t

Al nivel de 5% no se justifica afirmar que el procentaje de ahorradores, tienen un saldo superior al sealado por el gerente. Unilateral derecha.


41

88. Solucin:

%3=P 28=n 07,0282

==p 05,0=

1) 03,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsp = 4) 27128 == 03,0: PH a

5) ( ) 81,012893,007,003,007,0

=

=t

Al nivel del 5%, se justifica afirmar que el fabricante cumple con lo prometido. Prueba bilateral.

89. Solucin:

70,0=P 30=n 63,03019

==p 05,0=

1) 70,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsp = 4) 29130 == 70,0:


42

90. Solucin:

86,0=P 18=n 89,01816

==p %1=

1) 86,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsp = 17118 == 86,0: >PH

a

( ) 40,011811,089,086,089,0

=

=t

El equipo no es mucho ms efectivo que el sealado por el fabricante, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

91. Solucin:

30,0=P 25=n 28,0257

==p 05,0=

1) 30,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsP = 4) 24125 == 30,0: PH a

5) ( ) 22,012572,028,030,028,0

=

=t

Se puede justificar sta crtica, al nivel del 5%. Prueba bilateral.


43

92. Solucin:

%70=P 30=n 60,03018

==p 05,0=

1) 70,0:0 =PH 2) 05,0= 3) pqsP = 29130 == 70,0: PH a

( ) 31,112055,045,030,045,0

=

=t

El porcentaje no es superior al sealado por la oficina, al nivel del 10%. Unilateral derecha.


44

94. Solucin:

%25=P 25=n 32,0258

==p %1=

1) 25,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsP = 24125 == 25,0: >PH a

( ) 74,012568,032,025,032,0

=

=t

La nueva tcnica no constituye un progreso en la reduccin de la mortalidad post-operatoria, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

DISTRIBUCIN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

95. Solucin:

581 =x 521 =s 151 =n 05,0=

211

210

:

:

=

HH

632 =x 822 =s 152 =n

1) yxH =:0 2) 05,0= 2821515 =+= 0484,2=t yxaH :

3) ( ) ( ) 93,0151

151

2151581155115

=++

+=

yxs

4) 38,593,05

93,06358

=

=

=t

Se ubica en la regin de rechazo, por tanto aceptamos que yx , o sea que existe diferencia entre los coeficientes de digestibilidad de los ovinos y bovinos, al nivel del 5%.


45

96. Solucin:

5,2410

==x 0,3618

==y 6 4 21 == nn

( ) ( )221

222

+

+=

nn

yyxxs ii 56,0264

50,222=

++

=s

2

2

1

2

n

s

n

ss yx += 48,06

56,0456,0

=+= yxs

1) yxH =:0 2) 10,0= 3) 48,0= yxs yxaH :

4) 04,148,00,35,2

=

=t

Se ubica en la regin de aceptacin. Se puede concluir que los procesos no dan resultados diferentes, al nivel del 5%. Prueba bilateral

ix iy xxi ( )2xxi yyi ( )2yyi 1,5 2,5 -1,0 1 -0,5 0,25 2,5 3,0 0 0 0 0 3,5 3,0 1,0 1 0 0 2,5 4,0 0 0 1,0 1,00

3,5 0,5 0,25 2,0 -1,0 1,00

10,0 18,0 0 2 0 2,50


46

97. Solucin:

1435715

==x

1385690

==y

1018808

2555342742

==

++

=s

36,64,405202

5101

5101

===+= yxs

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 36,6= yxs yxaH >:

4) 79,036,65

36,6138143

==

=t

Se puede concluir que el nuevo mtodo no ha aumentado la resistencia a la comprensin, al nivel del 5%. Unilateral a la derecha.

98. Solucin:

121 =n 72 =n 120=x 101=y 45,457112032.52

=

=xs 33,42517552.22

=

=ys

( ) ( ) 48,1271

121

271233,4251745,457112

=++

+=

yxs 17= 1098,2=t

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 48,12= yxs yxaH :

4) 52,148,12

1948,12101120

==

=t

ix iy xxi ( )2xxi yyi ( )2yyi 154 144 11 121 6 36 143 131 0 0 -7 49 132 155 -11 121 17 289 147 126 4 16 -12 144 139 134 -4 16 -4 16 715 690 0 274 0 534


47

Estos datos no nos indican que exista una diferencia significativa entre las ganancias medias en peso, al nivel del 5%. Bilateral

99. Solucin:

iy : $ 338 393 416 363 375 420 447 412 510 436 476 380 miles

( )milesn

yy i 833,41312966.4

==

= ( )milesx 428=

( ) ( )22222

2 25,382.2112

83,41312268.081.21

pesosdemilesn

ynys iy =

=

= ( )milessx 80=

( ) ( ) 90,23121

171

212178011225,382.2117 2

=++

+=

yxs

27= 052,2=t 05,0=

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 90,23= yxs yxaH :

4) 59,090,23833,413428

=

=t

Se ubica en la regin de aceptacin. Se puede concluir que no existe diferencia en los salarios de los empleados de las dos empresas, al nivel del 5%.


48

100. Solucin:

74,1257,63

==x

02,137

2,91==y

22,0102268,2

109948,02320,12

==

+=s

27,0722,0

522,0

=+= yxs 10= 2281,2=t

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 27,0= yxs yxaH :

4) 04,127,028,0

27,002,1374,12

=

=

=t

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral.

101. Solucin:

151 =n 152 =n 131=x 136=y 25,6=xs 65,4=ys

2821515 =+= 10,0= 7011,1=t 211

210

:

:

=

HH

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH


49

4) 49,201,25

01,2136131

=

=

=t

Los anteriores resultados s indican que la segunda calidad de tela es superior, al nivel del 5%. 102. Solucin:

2510250

==x ( ) 28,271102510500.6 22

=

=xs

8022

2=

n

yi ( ) 000.18801522 == iy 215

000.1835 y= 165.12 =y 13,34=y

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH :

3) ( ) ( ) 32,2151

101

2253511578,27110

=+

+=

yxs

4) 94,332,213,9

32,213,3425

=

=

=t

221 += nn 05,0=

2321510 =+= 0687,2=t

Se ubica en la regin crtica, por lo tanto, se acepta que no le es indiferente comprar la maquinaria, ya que las diferencias presentadas son significativas, al nivel del 5%.

103. Solucin:

800.2200.41616000.25000.26 21 ====== yx ssnnyx

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) ( ) ( ) 94,261.1161

161

21616000.840.715000.640.1715

=++

+=

yxs

yxaH >:

4) 79,094,261.1000.25000.26

=

=

=

yxs

yxt


50

3021616 =+= 6973,1=t

No existe evidencia, al nivel del 5%, de que la marca A sea superior a B. Prueba unilateral derecha.

104. Solucin:

05,030,024,04,75,71220 21 ======= yx ssyxnn

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH : 30=

3) ( ) ( )2121

22

21 11

211

nnnn

snsns

yxyx +

+

+=

4) ( ) ( ) 04,1121

201

2122009,0110576,0194,75,7

=

++

+

=

=

yxs

yxt

Se acepta la hiptesis nula; la diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Bilateral

105. Solucin:

613367.3473,5511638286.375805,011

22

21

====

=====

ii

ii

yyyn

xxxn

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH >:

( ) ( )21

222

nn

yyxxs i

+

+=

3) ( )[ ] ( )[ ] 24,2421111 73,5511367.345811286.3722

2=

++

=s

4) 20221 =+= nn


51

2

2

1

2

n

s

n

s

yxt

+

= 08,1

1124,24

1124,24

73,5558=

+

=t

Al nivel del 5%, no se puede concluir que la protena de man tostado tiene un menor efecto que el crudo, al nivel del 5%. Unilateral derecha.

106. Solucin:

100101071405,06411216

22

21

====

====

yy

x

ssyn

sxn

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH :

28221 =+= nn

4) ( ) ( ) 52,1141

161

2141610011464116

107112=

++

+

=t

No existe una diferencia que se considere significativa entre el coeficiente de inteligencia segn la jornada, al nivel del 5%. Prueba bilateral.

107. Solucin:

000.784825025500.44%54025

2212

21

==+===

====

i

i

ynnyn

xxn

[ ] [ ]221

22

221

22

+

+=

nn

ynyxnxs ii

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH


52

4) 73,125

67,41625

67,4165040

=

+

=t

Al nivel del 5%, si se puede concluir con base en estos datos que los empleados de la compaa B se presentan a una edad mayor que los de la compaa A, al nivel del 5%. Unilateral izquierda.

108. Solucin:

12230,47073,84,52605,058,5341,88,648

212

2

21

=+=====

=====

nnyyyn

xxxn

ii

ii

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH


53

3) ( ) ( )2121

22

21 1111

nnnn

snsns

yxyx ++

+=

( ) ( ) 1917,0121

101

212104,01125,0110 22

=++

+=

yxs

4) 04,11917,0

7,35,3=

=t

No se puede afirmar, al nivel del 5%, que el mtodo B es ms efectivo que el mtodo A. Unilateral izquierda.

110. Solucin:

a) 10=n 7,117=x ( )corregidos 24,14= %5=

1) 110:0 =xH 2) 05,0= 110: >xaH

3) ( )1

21

=

n

xxs 4) 91 == n

5) ns

xt

= 71,1

1024,141107,117

=

=t

Los anteriores resultados no son una buena base para afirmar, al nivel del 5%, que el programa sea ms efectivo. Unilateral derecha.

b) Siendo el valor de $112.000 semanal, se esta cometiendo un error de Tipo II (aceptando algo falso) aceptar a $110.000 cuando es $112.000.

c) 05,024,147,117101 ==== xsxn 22209,2271,10514 212 =+==== nnsyn y

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH >:

3) ( ) ( )2121

22

21 11

211

nnnn

snsns

yxyx +

+

+=


54

( ) ( ) 98,7141

101

2141009,2211424,14110 22

=++

+=

yxs

4) 50,198,771,1057,117

=

=t

El programa no produce los efectos que sostiene el gerente, al nivel del 5%. Unilateral derecha.

111. Solucin:

182018.684,828241005,0459.561,7575110

212

2

21

=+=====

=====

nnyyyn

xxxn

ii

ii

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH


55

1) yxH =:0 2) 10,0= yxaH :

3) ( ) ( )2121

22

21 11

211

nnnn

snsns

yxyx +

+

+=

r

( ) ( ) 8147,171

111

27119,201710111

=++

+=

yxs

4) 96,48147,13140

=

=t

Si se puede concluir que en promedio, la iniciacin de los sntomas oper ms pronto cuando la toxina se administr por el conducto B, al nivel del 5%. Unilateral derecha.


56

DISTRIBUCIN DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES

114. Solucin:

201 =n 70,02014

1 ==p 01,0=

162 =n 63,01610

2 ==p 34221 =+= nn

1) 210 : PPH = 2) 01,0= 21: PPHa >

4) 11 222

1

11

21

+

=

n

qpn

qppp

t

( ) ( ) 43,011637,063,0

1203,07,0

63,070,0=

+

=t

Se puede concluir que el jefe de cartera tiene razn para hacer tal afirmacin, al nivel del 1%. Unilateral derecha.

115. Solucin:

201 =n 70,02014

1 ==p 05,0=

242 =n 42,02410

2 ==p 42221 =+= nn

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa >

3) 11 222

1

1121

+

= n

qpn

qps pp

3) 11 222

1

1121

+

= n

qpn

qps pp


57

4) ( ) ( ) 90,112458,042,0

1203,07,0

42,070,0=

+

=t

Al nivel del 5% es valida la afirmacin. Unilateral derecha.

116. Solucin:

251 =n 8,02520

1 ==p 63,01610

2 ==p 162 =n

05,0= 39221 =+= nn

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa

3) 2

22

1

1121 n

qpn

qps pp +=

4) ( ) ( ) 14,111637,063,0

1252,08,0

63,080,0=

+

=t

Hay igualdad en las preferencias, conclusin que se llega con los datos obtenidos, al nivel de significacin del 5%. Prueba bilateral.

117. Solucin:

161 =n 38,0166

1 ==p 05,0=

102 =n 30,0103

2 ==p 24221 =+= nn

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa

3) 11 22

1

11 221

+

= n

qpn

qps pp


58

4) ( ) ( ) 40,01107,03,0

11662,038,0

30,038,0=

+

=t

La preferencia no depende de los niveles de grasa, de acuerdo a los resultados obtenidos y al nivel del 5%. Prueba bilateral.

LIMITES DE CONFIANZA

PRUEBAS CON DISTRIBUCIONES DE MEDIAS MUESTRALES

118. Solucin:

25=n 20= 4= ( ) 65,14500,0 = ZA

nzx

=

=25465,120x

==68,1832,21

560,620x

119. Solucin:

48,2= 100=n 52,168=x %99=P

57,24950,029900,0

== Z

( )

===88,16716,169

248,057,252,16810048,257,252,168

is

120. Solucin:

60=n 35=x 2,4=s %95=P 4750,029500,0

=


59

602,496,135 =

( ) 96,14750,0 = ZA

==

=

938,33062,36

062,13575,723,835

IS

121. Solucin:

36=n 40=x 1,2=s %95=P

=361,296,140

IS

==

=

31,3969,40

69,040612,440

IS

122. Solucin:

80=n 82,4=x 1,0=s %90=P

( ) 65,14500,0 = ZA

===802,4838,4

018,082,4801,065,182,4

IS

123. Solucin:

11010

==

=

n

xx i

( ) 0008,09

1100074,101

2222

=

=

=

n

xnxs ix

028,00008,0 ==xs 10028,08331,11=

IS


60

===984,0016,1

016,0116,3051,01

IS

91101 === n

124. Solucin:

20,301.115518.19

==

=

n

xx i

( ) 17,610.34314

20,301.115364.207.301

2222

=

=

=

n

xnxs ix 18,58617,610.343 ==xs

14115 ==

n

stx

IS = 15

18,58614,220,301.1 =IS

==31,97709,625.1

89,32320,301.1IS

125. Solucin:

2,38=x % 15=n 2,5 =s % %99=P 14115 ==

1=

n

stx

IS

142,52,38 t

IS =

==

=%06,34%34,42

14,42,3874,32,59768,22,38

IS


61

126. Solucin:

14=n 86,34=x 23,4 =s %95=P 131 == n 05,0=

=

=60,323,41604,286,34

1323,486,34 t

IS

==32,3240,37

54,286,34IS

127. Solucin:

23=n 3,26=x 9,1 =s %99=P

=

=69,49,18188,23,26

229,18188,23,26

IS

==16,2544,27

14,13,26IS

128. Solucin:

a)

=683,3

zxIS

==

=

31,1448,19

58,29,1645,283,365,19,16

IS

Nota: cuando se conoce se le emplea de preferencia en vez de s; aunque se puede aplicar como en este caso.


62

b)

9,166

4,101==x

93,9565,492

==s 15,393,9 ==s

=

615,39,16 t

Is

==

=

31,1449,19

59,29,16615,30150,29,16

Is

Nota: si se da deber trabajarse directamente y no como aparece anteriormente con s

129. Solucin:

5=n %95=P ? =s 11,17=sx 39,12=ix

1

=

n

s

xt

=

xn

st1

= 11,174

7764,2 s 5,292 =

=

=

25,290

39,124

7764,2 s

75,142

5,29==

75,1411,172

7764,2 =s

( )36,227764,2 =s

7,175,14

=

=

s

7,1

7764,272,4

==s

ix xxi ( )2xxi 18,5 1,6 2,65 20,6 3,7 13,69 12,9 -4,0 16,00 14,6 -2,3 5,29 19,8 2,9 8,41 15,0 -1,9 3,61

101,4 0 49,65


63

130. Solucin:

15,128

2,97==x 04,0

728,02

==xs 2,0=xs

a) ( )

====90,1140,12

25,015,1283,22,04995,315,12

82,015,12 t

Is

b) 35,12:0 =H 35,12: aH

131. Solucin:

==160.366840.381

400000.8096,1000.374

Is

320.10400000.8058,2 === xZsE E = 10.320

ix xxi ( )2xxi 12,1 -0,05 0,0025 11,9 -0,25 0,0625 12,4 0,25 0,0625 12,3 0,15 0,0225 11,9 -0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 12,4 0,25 0,0625 12,1 -0,05 0,0025 97,2 0 0,2800

S se mantiene la produccin de 12,35 onzas en promedio por tarro al nivel del 1%, la respuesta anterior se justifica diciendo que = 12,35 se encuentra dentro de los lmites calculados, es decir entre 11,90 y 12,40.


64

132. Solucin:

2,5x n

zx 9900,0%99: ==psiendo

2,5=n

z

2,510

57,2 = 57,24950,029900,0

== z

( ) = 2,516,357,2 ( ) 39,657,216,32,5

== 39,6=

133. Solucin:

a) 100=n 26=x 8= %99=P 57,2=Z

nzx

Is

= 100857,226 =

Is

===94,2306,28

06,22610

55,2026Is

b) 1) 30:0 =H 2) 01,0= 3) 8= 30:

aH

Como = 30 no se ubica dentro de los lmites de confianza (28,06 y 23,94) hay razn para rechazar la hiptesis nula y aceptar la alternativa, es decir, que el trmino medio de la nicotina es diferente de 30, al nivel del 1%.

134. Solucin:

30=n 000.612=x 000.9352 =s 95,966=s 05,0=

1=

n

stx

==

=8,632.6112,367.612

20,367000.612130

95,966045,2000.612

045,2291 === tn 05,0= 8,632.6112,367.612

=

=

I

S


65

135. Solucin:

8=n 63,20=x ( )corregidos 50,3= 01,0= 718 ==

a)

==

=30,1696,24

33,463,20850,3499,363,20

b) 1) 22:0 =H 2) 01,0= 3) 53,3=s 22: aH

Observamos que 22:0 =H cae dentro de los lmites 16,30 y 24,96, cuando esto ocurre se acepta la hiptesis nula, en caso contrario se rechaza. Al nivel del 1% no se puede afirmar que estos resultados sean diferentes al sealado por la empresa.

136. Solucin:

18=n semanalx 000.15018000.700.2

==

51,470.79118000.351.12

=

=s 91,28151,470.79 ==s

a)

===80,859.14920,140.150

20,140000.15018

91,281110,2000.150

05,0171

=

== n 110,2=t

b) 1) 000.152:0 =H 2) 05,0= 3) 20,140.150 =S 000.152:

aH 80,859.149 =I

Al nivel del 5%, no se puede afirmar que el salario promedio por semana es diferente a $152.000, ya que este valor cae por fuera de los lmites de confianza al nivel del 5%.

c) El error cometido es de tipo II

137. Solucin:

9=n 22,2819531.2

==x ( ) 94,894,7919

22,2819413.712 22==

= ss


66

a)

==

==

35,27409,288

87,622,281994,8306,222,281x

n

stx

306,205,0

81=

=

==

tnv

b) 1) 280:0 =H 2) 05,0= 3) 09,288=S 280: aH 35,274=I

Observemos que 280 cae dentro de los lmites de confianza, al nivel del 5%, por tal razn se puede aceptar la afirmacin.

138. Solucin:

100=n 120=x 25=s %2= 33,2=Z %98=P

a) 120 == x

b)

==== 18,11482,12582,5120

1002533,2120

n

sZx

c) 1) 100:0 =H 2) 02,0= 3) 82,125 =S 100: aH 18,114 =I

Como 100= cae por fuera de los lmites, al nivel del 2%, se puede concluir que la velocidad promedio es diferente a los 100 kilmetros por hora.

DISTRIBUCIONES DE UNA PROPORCIN

139. Solucin:

0376,0000.5188

==p 9624,00376,01 ==q


67

( )( ) 002683,00000072,0000.50362,0

000.50376,09624,0

====ps

a) ( )

===0332,00420,0

0044,00376,0002683,065,10376,0ISP

b) ( )

=== 0323,00429,00053,00376,0002683,096,10376,0

ISP

c) ( )

===0307,00445,0

0069,00376,0002683,057,20376,0ISP

140. Solucin:

11,082695

==q 89,0=p %90=P n

qpzpP

IS =

( ) 0108,00001185,08260979,0

82611,089,0

====ps

( )

===872,0908,0

018,089,00108,065,189,0IS

P

141. Solucin:

100=n 60,0=p %1= 57,2=Z %99=P

a) n

pqzpP =

( )

===47,073,0

13,06,0100

4,06,057,260,0P


68

b) 1) 62,0:0 =PH 2) 01,0= 3) pqsp = 62,0: PH a

Nota: cuando la prueba es bilateral podemos utilizar los lmites de confianza. Como P = 0,62 cae dentro de los lmites 0,47 y 0,73, por lo tanto se acepta 0H . El fabricante tiene razn, al nivel del 1%.

c) Se est cometiendo un error de Tipo II, ya que estamos aceptando algo falso. Aceptar 0,60 cuando en realidad es 0,65.

142. Solucin:

8,0800640

==p 800=n %1= 57,2=Z %99=P

a) n

pqzpP = ( )

===76,084,0

04,080,08002,08,057,280,0P

b) 1) 85,0:0 =PH 2) %1= 3) pqsP = 85,0: PHa

Nota: cuando la prueba es bilateral utilizamos los lmites de confianza. Observamos que 0,85 cae por fuera, por lo tanto aceptamos la hiptesis alternativa 85,0: PH a , de ah que al nivel del 1% no aceptamos la aseveracin.

c) ( )8002,08,003,083,0

77,080,0 ZEEP == =

( ) ( ) 60,9624830,012,2800

2,08,003,0

=== AZ

%60,96=P


69

143. Solucin:

100=n 85,010085

==p %90=P 65,164,1 Z =

a) n

pqzpP = ( )

=== 79,091,006,085,0100

85,015,064,185,0P

b) 1) 80,0:0 =PH 2) 10,0= 3) pqsp = 80,0: PH

a

Nota: la prueba es bilateral, por lo tanto si P = 0,80 cae dentro de los lmites, aceptamos 80,0:0 =PH , es decir, que el gerente tiene razn al afirmar que el 80% incluyen leche en la

compra, al nivel del 10%.

144. Solucin:

80=n 65,08052

==p 96,1%95 == ZP

a) n

pqzpP = ( )

==55,075,0

10,065,08035,065,096,165,0P

b) 1) 56,0:0 =PH 2) 05,0= 56,0: PH

a

0,56 cae por dentro de los lmites, si hay razn para aceptar la afirmacin hecha por la Cmara de Comercio, al nivel del 5%.

DISTRIBUCIONES DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES

145. Solucin:

32,51101,4492

11010211092

1

2

1

222

=

=

=

=

n

xnxs ix


70

80,411664136

116163216136

1

2

2

222

=

=

=

=

n

ynys iy

1,21021

1==

=

n

xx i 216

322

==

=

n

yy i

==+= 24226221 nn 0639,2=t

( ) ( ) ( )161

101

216108,411632,5110

++

+=

tyxIsyx

( ) ( ) ( )403,02349,20639,210,01625,024

88,1190639,221,2 ==

Isyx

== 76,1

96,186,110,0Isyx

El valor de yxs se podr calcular as:

( )[ ] ( )[ ] 59958,421610 2161361,2109222

2 =+

+=s ; siendo: 9,016

5105

=+= yxs

( ) ( )9,00639,221,2 += yx

== 76,1

96,186,11,0yx

146. Solucin:

16,4136482.12

==xs 59,2864830.12

==ys

26,159,16459,28

3616,41

==+= yxs

( ) ( )yxyx sZyxIS

=


71

( ) ( )

=== 06,12

94,1794,21526,133,26075

ISyx

147. Solucin:

Primera parte:

( ) ( ) ( )2121

22

21 11

211

nnnn

snsntyx yxyx +

+

+=

( ) ( ) ( )

==++

+= 07,0

07,557,25,29

191

29915,5801,8812,25,75yx

( )1199,205,0162: 21 ===+= tquetieneseynnSiendo

Segunda parte:

1) yxH =:0 2) 05,0= 3) 21,1= yxs yxaH :

4) 07,221,15,75

=

=

=

yxs

yxt

16= 05,0= 1199,2=t

La diferencia no es significativa, al nivel del 5%. Prueba bilateral. Tambin se pueden utilizar los lmites de confianza (de la primera parte), como 0= yx Observemos que el cero, al nivel del 5%, cae dentro de ellos, por lo tanto la diferencia no es significativa.

148. Solucin:

91 =n 409360

==x 6=xs %99=P 01,0=

202 =n 4820960

==y 101002 == yy ss 27229 == 771,2=t


72

a) ( ) ( ) ( )2121

22

21 11

211

nnnn

snsntyx yxyx +

+

+=

( ) ( ) ( ) 201

91

22091001203619771,24840 +

++=

yx

( )( )

=== 01,18

01,201,10840,000,9771,28yx

b) 1) yxH =:0 2) 01,0= 3) 01,2=sL yxaH : 01,18=iL

Sabiendo 0= yx , observamos que queda incluida dentro del intervalo, por lo tanto se acepta la hiptesis nula 0H , es decir, la diferencia entre las medias muestrales no es significativa, al nivel del 1%.

149. Solucin:

71 =n 4,177= ix 34,25=x 2,573.42

= ix 10212 == 52 =n 7,125= iy 14,25=y 15,181.3

2= iy 05,0= 228,2=t

[ ] [ ]=

++

= 221

22

221

22

nn

ynyxnxS ii ( )[ ] ( )[ ] =+

+257

14,25515,181.334,2572,573.4 22

94,92 =s

a) ( )2

2

1

2

n

s

n

styxyx +=

( )

==+= 91,3

31,411,420,05

94,9794,9228,214,2534,25yx

b) 1) yxH =:0 2) 05,0=


73

yxaH :

3)

=

=

=

05,010

228,2

parat

Como 0= yx , observamos que se ubica dentro de los lmites -3,91 y 4,31, estaremos aceptando 0H . Al nivel del 5%, no podemos afirmar que hay desacuerdo entre ellos.

150. Solucin:

a) ( ) ( ) ( ) 101

101

21010892.1110636.1110101,2335272 +

++=

yx

== 46,102

54,23 46,3963yx

b) 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH :

3)

=

=

=

05,018

01,2

parat

Siendo 0= yx , no cae dentro de los lmites -102,46 y -23,54 de ah que no aceptamos 0H . Al nivel del 5%, si hay diferencias entre la resistencia media de esta fibras.

151. Solucin:

a) =

=42,74558,854

58,5480041

15033,2800sI

Saldo promedio en cuentas corrientes

b) 1) 000.1: =oH 2) %1= 000.1: >aH


74

3) 92,535

200000.1200.1

=

=Z

Al nivel del 1%, se puede concluir que s es superior a los $1.200.000, las cuentas de ahorro.

d) 1) yxoH =: 2) %05.0= yxaH :

3) 73,935

20041

150200.1800

22=

+

=Z

Se observa que -9,73 cae en la regin crtica, por lo tanto al nivel del 5%, hay una diferencia significativa en los saldos.

e) 1) yxoH =: 2) %05.0= yxaH


75

DISTRIBUCIN DE PROPORCIONES

153. Solucin:

33,012040

1 ==p 37,015055

2 ==p

a) ( ) ( ) ( )

==+= 19,0

11,015,004,0

15063,037,0

12067,033,057,237,033,0

21 pp

b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa

Se observa que 021 = PP y se ubica dentro de los lmites, por lo tanto se puede concluir que la diferencia entre stas dos proporciones de preferencia no es significativa al nivel del 1%.

154. Solucin:

63,01610

1 ==p 55,02212

2 ==p 36= 028,2=t

a) ( ) ( ) ( )

==

+

= 26,0

42,034,008,0

12245,055,0

11637,063,0028,255,063,0

21 PP

Nota: es muy comn, en el caso de muestras pequeas, donde debe utilizarse la t de Student, se obtenga la varianza pq dividiendo por n-1, tal como se hizo en el ejercicio anterior.

b) 1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa

Siendo 21 PP = , la diferencia de 021 = PP ubicndose dentro de los lmites que permiten la aceptacin de la hiptesis nula ( 0H ), es decir, que los anteriores resultados no permiten concluir, una diferencia significativa de opcin respecto a los nuevos incentivos.


76

155. Solucin:

2001 =n 6,0200120

1 ==p %95=P 96,1=Z

3002 =n 50,0300150

2 ==p 05,0=

a) ( ) ( ) ( )

==+= 01,0

19,009,010,0300

5,05,0200

4,06,096,15,06,021 pp

( )2

22

1

112121 n

qpn

qpZpppp +=

b) 1) 60,0:0 =PH 2) 05,0= 60,0:


77

( ) 11 222

1

112121

+

= n

qpn

qptpppp

( ) ( ) ( )

==

+

= 31,0

39,035,004,0118

44,056,01104,06,0706,156,06,0

21 pp

157. Solucin:

%181 =p 161 =n %95=P =+= 3422016 032,2=t

%102 =p 202 =n 05,0= (se toma el doble 10,0= )

( ) 21 222

1

112121

+

= n

ppn

qptpppp

( ) ( ) ( )1209,01,0

11682,018,0032,210,018,0

21

+

= pp

== 16,0

32,024,008,0

21 pp

Los lmites estn entre -16% y el 32%


78

158. Solucin:

( )

( ) ( ) ( )

==

+

=

+

=

=====

=+=====

42,012,0

27,015,0

12015,085,0

1203,07,0024,285,070,0

11

024,205,085,0201720

3822020%9570,0201420

11

21

212

22

1

1121

22

11

pp

pp

pp n

qpn

qptpp

tpn

Ppn

Se podra decir que los lmites estn entre -0,42 y el 12%.

159. Solucin:

3,61,1520cafdelibra1onzas16 ==== sxn

a) 1) 16:0 =H 2) 05,0= 3) 3,6 =s 16:


79

9325,868%1 21 ===== yxnn

( ) 215,82 == xxi ( ) 48,132 == yyi

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPH a <

3) 81,126848,13215,82

=

+

=s 81,12 =s

93,0

681,1

881,1

9325,8=

+

=t

681,202,01221

=

=

==

tnn

Cae (-0,93) en la ZA, por lo tanto al nivel del 1%, no se puede concluir que el valor de B produce una mayor utilidad que el valor A.

161. Solucin:

87,012010490,0120

108120120 2121 ====== ppnn

1) 210 : PPH = 2) 02,0= 21: PPH a >

( ) 05,24800,002,0 == ZA

( ) ( ) 73,0041,003,0

12087,013,0

12090,010,0

87,090,0==

=

=Z

0,73 cae en la zona de aceptacin, por lo tanto al nivel del 2%, no se podr afirmar que la asistencia en la primera fbrica sea superior a la segunda.

162. Solucin:


80

63828171 === xsxn 67,5275,80882 === ysyn

1) yxH =:0 2) 01,0= yxaH :

807,201,023221

=

=

=+=t

nn

( ) ( ) ( )81

171

22567,5276316807,275,808828

22

+

+=

yx

== 01,53

51,9126,7225,19yx

Se acepta 0H al nivel del 1%, por lo tanto no existe diferencia salarial

163. Solucin:

50,004,310/07,3 ==== sxnccmg

1) 07,3:0 =xH 2) 01,0= 07,3: xaH

25,301,091

=

=

==

tn

19,0

105,0

07,304,3=

=t

Al nivel del 1%, se puede aceptar la afirmacin del distribuidor, sobre el contenido medio de grasa. Prueba bilateral.

164. Solucin:


81

( ) === 95,4391,337 2xxxn i

( ) === 85,3114,335 2yyyn i

228,205,0

10=

=

=

t

58,725785,3195,432

=

+

+=s

a) ( ) 558,7

758,7228,214,3391,33 +=

yx

== 82,2

36,459,377,0yx

b) 1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH :

Como 0= yx si el cero cae dentro de los lmites, estamos aceptando 0H , es decir, no hay diferencias o no estn en desacuerdo, al nivel del 5%.

165. Solucin:

10,0=P 09,0500.2218 =p

1) 10,0:0 =PH 2) 05,0= 10,0: PHa

( ) 75,1500.2

91,009,010,009,0

=

=Z

-1,75 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5% se puede afirmar que el porcentaje es correcto.

166. Solucin:

%120,87,95501 ==== xsxn


82

33,264,68,87502 ==== Zsyn y

1) yxH =:0 2) 05,0= yxaH >:

3) 29,55064,6

502,8

8,877,9522

=

+

=Z

5,29 cae en la regin crtica. Al nivel del 1%, se acepta la afirmacin del fabricante, que el promedio a la tensin de los tornillos A excede a los de B.

167. Solucin:

32,0100 11 == pn 24,080 22 == pn

1) 210 : PPH = 2) 02,0= 21: PPH a >

3) ( ) ( ) 26,1100

76,024,0100

68,032,024,032,0

=

+

=Z

1,26 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 2%, se puede concluir que la segunda planta no presenta niveles menores de contaminacin, al estar alimentadas con combustibles diferentes.

168. Solucin:

40,0=P 35,0600210

==p


83

1) 40,0:0 =PH 2) 05,0= 40,0: PH a

3) ( ) 57,2600

65,035,040,035,0

=

=Z

Z = -2,57 cae en la zona de rechazo, podemos concluir al nivel del 5%, que la proporcin de fumadores es diferente al 40%.

169. Solucin:

37,014,12812 ==== sxn

1) 12:0 =H 2) 05,0= 12: aH

365,205,0

7=

=

=

t

3) 07,1837,0

1214,12=

=t

t = 1,07 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5%, el personal no requiere de un promedio diferente a los 12 minutos.

170. Solucin:


84

Se puede plantear con medias o proporciones muestrales. Supongamos que se realiza aplicando este ltimo.

El primer mtodo produce un incremento del 12%, mientras que en el segundo es del 10%. Establecemos que el nivel es del 5% y los tamaos muestrales fueron 36 y 50 respectivamente. Los resultados permiten concluir que el primer mtodo presenta un mayor incremento.

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPHa >

3) ( ) ( ) 29,050

9,010,036

88,012,010,012,0

=

+

=Z

Como Z = 0,29 cae en la zona de aceptacin, al nivel el 5%, se podr concluir que el primer mtodo no produce mayor incremento con respecto al segundo mtodo.

171. Solucin:

05,005,02501307,0250

18250250 2121 ======= ppnn

1) 210 : PPH = 2) 05,0= 21: PPH a >

3) ( ) ( ) 94,0250

95,005,0250

93,007,005,007,0

=

+

=Z

Z = 0,94 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5% no se puede afirmar que la tasa de desempleo en la segunda ciudad sea inferior al la primera.

172. Solucin:

a) Corresponde a las pruebas de normalidad para un conjunto de observaciones al comprobar si las mismas pueden haber resultado del muestreo aleatorio de una poblacin supuestamente normal. Se puede decir que ser objeto es evaluar o probar una afirmacin con respecto a un valor estadstico de la poblacin.


85

b) La distribucin t de Student se utiliza en muestras pequeas, generalmente 30n , cuando no conoce la varianza poblacional y se deba sustituir por el de la muestra.

c) El error de tipo I se comete cuando rechazamos la hiptesis verdadera, cuando ella es falsa.

d) La inferencia corresponde a la realizacin de investigaciones utilizando una parte de los elementos de la poblacin (muestras) con la cual se obtiene unos resultados, denominadores estimadores, considerndolos representativos de los valores estadsticos de la poblacin (parmetros).

173. Solucin:

3261024 ==== sxn

1) 24:0 =H 2) 01,0= 24: >aH

821,202,0

9=

=

=

t

2

1103

2426=

=t

t = 2 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 2%, el tiempo promedio no es mayor de los 24 minutos.

174. Solucin:

Se deja al alumno la contestacin de este punto, con el cual se le facilita recordar conceptos que aprendi en clase y en la lectura de ste u otros textos.


86

175. Solucin:

07,01911419105,0 ==== pnP

1) 05,0: 10 =PH 2) 05,0= 05,0: 1 >PH a

3) ( ) 08,1191

93,007,005,007,0

=

=Z

Z = 1,08 cae en la zona de aceptacin. Al nivel del 5%, no se justifica suponer que el requisito no se est cumpliendo. Unilateral derecha.

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