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Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión

T x

y

7.1. INTRODUCCION

7.2. TRACCION Y COMPRESION. TENSIONES Y ALARGAMIENTOS

7.3. DEFORMACIONES PRODUCIDAS EN UNA BARRA POR SU PROPIO PESO

7.4. PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERESTATICOS

7.5. TENSIONES TANGENCIALES Y TERMICAS

ya se ha definido el ESFUERZO como la resultante del conjunto de fuerzas interiores que actúan sobre la sección

transversal de la barra prismáticabarra prismática

en este capítulo se estudiará la barra prismática sometida a esfuerzo axil (componente según el eje OX de la resultante de esfuerzos interiores); se considerarán nulos el resto de

los esfuerzos

lo más habitual es que las acciones que generan el esfuerzo axil en la barra prismática (tracción o compresión simple)

aparezcan en los extremos:como es obvio, tracción

y compresión se

Introducción

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

P Px

y

z

T Tx

z

y compresión se diferencian en el signo del esfuerzo axil (N>0

tracción; N<0 compresión)

pero también hay una diferencia en el

comportamiento de los materiales sometidos a tracción o compresión:

la tracción hay que tenerla especialmente en consideración cuando se estudia el proceso de rotura de materiales frágiles (hormigón, vidrio o cerámica); mientras que con la compresión han de extremarse las

precauciones en el caso de piezas muy esbeltas, debido a los fenómenos de inestabilidad elástica.

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión Introducción

0)x(dA)x(N)x(A

x ≠σ= ∫

0)x(dA)x(V)x(A

xyy =σ−= ∫

0)x(dA)x(V =σ−= ∫

Una barra está sometida a tracción o compresión simple cuando, en su sección transversal, todos los esfuerzos, a excepción del axil, son iguales a cero. Es decir han de verificarse las siguientes ecuaciones:


0)x(dA)x(V)x(A

xzz =σ−= ∫

0)x(dAz)x(M)x(A

xy =σ= ∫

0)x(dAy)x(M)x(A

xz =σ−= ∫

0)x(dA)zy()x(M)x(A

xyxzx =σ−σ= ∫

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión Tensiones y alargamientos

Ya se ha visto que en la barra prismática se trabaja con magnitudes monodimensionales, derivadas de la integración, a lo largo de la

sección, de todas las magnitudes tridimensionales presentes en la teoría general de la elasticidad

Recuérdese el principio de Saint-Venant: La distribución de tensiones y deformaciones en un sólido, en una zona cercana a la de

aplicación de la carga, es la misma si se trabaja con la resultante o con la distribución real de la carga.

En consecuencia, a lo largo de la sección transversal P=σx�A.

Hipótesis de Bernouilli (secciones planas)Hipótesis de Bernouilli (secciones planas)Hipótesis de Bernouilli (secciones planas)Hipótesis de Bernouilli (secciones planas)

Del análisis del principio de Saint-Venant se desprende que si las tensiones son constantes a lo largo de la

sección, también lo serán las deformaciones, y si éstas lo son, todos los puntos de la sección se van a acortar todos los puntos de la sección se van a acortar

los mismolos mismo. Luego, como consecuencia de lo anterior, se desprende la hipótesis de Bernouilli, que establece que

las secciones planas permanecen planas y paralelas después de la deformación.

Por tanto, partiendo de la hipótesis de Bernouilli, puede decirse que los puntos A y B de estas figuras pasan a

ser los A’ y B’ después de la deformación, de modo que las deformaciones, y por tanto las tensiones, serán

constantes a lo largo de la deformación.


AB

A’B’

lA= lB

l’ A= l’ B

N(x)

N(x)

N(x)

N(x)

En consecuencia, bien sea a través del principio de Saint-

Venant, bien sea a partir de la hipótesis de Bernouilli, se

llega a la conclusión de que las tensiones en la sección transversal son constantes.

Pueden obtenerse las tensiones a partir de las expresiones del esfuerzo axil, tal y como se verá en

la diapositiva siguiente.

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión el esfuerzo axil

PDiagrama de axil, N(x)

P

Integrando la tensión a lo largo de la sección transversal …:

∫=A

xdAN σ

A

NAdAN xx

A

x =⇒⋅== ∫ σσσ

… y considerando que la tensión es constante (y sale de la integral):

Aplicando la ley de Hooke se obtendrá la deformación.

N


TRACCIÓN

COMPRESIÓN

P Rebanada

AE

Nx ⋅

=ε

En tracción o en compresión, el desplazamiento monodimensional coincide

con el alargamiento o el acortamiento, respectivamente.

Para una coordenada x, el alargamiento de la barra de la figura de la derecha será:

AE

xNx

AE

N

x

xx ⋅

⋅=∆⇒⋅

=∆=ε

Por tanto, el alargamiento o acortamiento de una barra de longitud l some-tida a un axil constante será:

AE

lNl

⋅⋅=∆

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión

xqPNxqPNFV ⋅+=⇒=⋅−−⇒=∑ 00

tensiones producidas en una barra por su propio peso

Las cargas distribuidas sobre una barra que compone una estructura son cargas que actúan por unidad de longitud, pero las cargas de peso

propio de la barra son FUERZAS DE VOLUMEN.

Ya se ha visto que para obtener las fuerzas distribuidas a partir de las fuerzas volumétricas ha de integrarse el peso

específico sobre la sección transversal; como el peso específico es una fuerza volumétrica constante a lo largo de

todo el volumen, la integral es igual al propio peso específico por la dección transversal de la barra: q=γ�A

(donde q es la fuerza distribuida, γ el peso específico y A el área de la sección transversal.)

Son las tensiones, y por tanto las deformaciones, debidas al peso propio de la estructura distintas a las generadas por las cargas que soportan??

Sea la barra de la figura, sometida a su peso propio y a una carga en el extremo libre:

Por tanto, las tensiones serán:


A

xqPAdAxqPN xxx

···

+=⇒==+= ∫ σσσ

se calcularán esfuerzos axiles, tensiones, deformaciones, desplazamientos y alargamientos.

Para determinar el AXIL se considera una coordenada genérica x desde el extremo cargado y se aplica equilibrio

de fuerzas en el trozo de barra limitada por la corrdenada x, sustituyendo el resto de la barra por las tres resultantes del

equilibrio interno:

y, en consecuencia, las deformaciones:

y los alargamientos:

Lo cual puede representarse gráficamente así:

AE

xqP

Ex

x ·

·+== σε

∫=

=

+=+=+==

xx

ox

x AE

xqxP

dxAE

xqP

AE

xqP

dx

du

·2

··

·

·

·

·

2

ε

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión tensiones producidas en una barra por su propio peso

Secciones equirresistentesPuede verse, por tanto, que hay una variación de tensiones a lo

largo de la barra [desde P/A hasta P/A+(q�L)/A]. En consecuencia, para que la barra no plastifique o rompa, la

tensión máxima debe ser, a lo sumo, (P+q�L)/A.

Luego, el área mínima de la barra, necesaria para soportar la

Una solución que no suponga un desaprovechamiento de material ha de pasar por adecuar la sección al la tensión que soporta la barra en cada sección, es decir, una disminución progresiva de la sección desde el extremo superior hasta el

inferior, algo así:


Luego, el área mínima de la barra, necesaria para soportar la carga más su peso propio, será:

t

LqPA

σ·+=

Pero, si se hace así, es obvio que se está desaprovechando material a lo largo de casi toda la

sección ya que, solamente es necesaria el área calculada en la zona en la que la tensión es equivalente a la de la

carga soportada más el peso propio (en la parte superior de la pieza).

Estudiando el equilibrio en una rebanada se obtiene la expresión que define el área necesaria a lo largo de la barra:

t

xq

o eAA σ·

·=Una sección formulada en esos términos es

EQUIRRESISTENTE, es decir, resiste en cada punto lo necesario y no sobra material.

Pero, ¿es eso tan necesario?, ¿por qué no son todas las secciones equirresistentes?

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión problemas estáticamente indeterminados o hiperestáticos




Si se analiza ahora el equilibrio puede comprobarse que hay más incognitas que ecuaciones de equilibrio,

de modo que el axil quedará en función de las reacciones:



Grado de hiperestaticidad: Grado de hiperestaticidad externa+ grado de hiperestaticidad interna.

Hiperestaticidad externa: la que se determina analizándo sólo las reacciones en los apoyos.

Hiperestaticidad interna: la que surge de la existencia de un nº mayor de barras que las necesarias para que el sistema sea isostático ( grado = nº de empotramientos o barras que sobran para que sea isostático).

Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión hiperestaticidad interna – externa – total...


Elasticidad y resistencia de materialesCapítulo 7: Tracción compresión defecto de montaje

Ocurre cuando en un sistema estructural compuesto por barras, las dimensiones de las barras en la realidad, antes

de montarlas, no corresponden con las dimensiones teóricas (las de los planos).

En estos casos suele “forzarse” la barra para que alcance la posición o dimensión adecuada.

Ello genera un INEVITABLE esfuerzointerno en la barra, tanto mayor cuánto más grande sea el error

dimensional cometido.

Esf=(E·A·error)/Long.barra


EN CONSECUENCIA

Habrá que considerar que la barra se halla pre-esforzada, es decir sumar o restar a los esfuerzos derivados de las cargas los que se han producido por efecto de los errores dimensionales y su subsanación

en el momento de montaje

Esto mismo ocurre como consecuencia de las dilataciones o contracciones localizadas a lo largo de una pieza, por efectos de

aplicación de calor, calor residual de otros elementos, soleamiento, soldadura...

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