capítulo 2 - universidad de sonora
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Capítulo 2
2.1 Partícula Con�nada
En este capítulo estudiamos un sistema físico que consiste de una particula de masa me y carga
e moviéndose en el espacio sin ningún impedimento hasta un valor �0 de la coordenada radial en
donde se encuentra con una barrera de potencial in�nito, donde la probabilidad de encontrar a la
partícula es cero.
El problema se estudiará por medio de la ecuación de Schrödinger, una ecuación diferencial de
segundo orden, en coordenadas esferoidales prolatas, la cual a su vez será separada en tres ecuaciones
diferenciales ordinarias: una para la parte radial y dos para la parte angular.
Las dos ecuaciones anteriores serán tratadas y resueltas de manera analítica en términos de las
funciones esferoidales prolatas.
Se calculará la energía del estado base, del primero y del segundo estados excitados para una �0
dada, y se estudiará la energía del estado base para diferentes tamaños de la caja. Los resultados
obtenidos serán expresados en términos del sistema de unidades atómicas.
2.1.1 Sistema Físico
Tenemos una partícula de masa me, sin espín, moviéndose sin restricción dentro de una caja esfe-
roidal de paredes impenetrables. La estudiamos por medio de la ecuación de Schrödinger que describe
al sistema. Se separa en coordenadas esferoidales prolatas, se estudian sus soluciones, y una vez que
hayan sido identi�cadas, las estudiamos por medio del software Mathematica y se calculan los niveles
de energía.
10
Figura 5. Particula Libre Con�nada dentro de una Caja Esferoidal Prolata.
2.1.2 Separación de la ecuación
Tenemos una partícula de masa me en coordenadas esferoidales prolatas cuyo potencial es de la
forma
V (�) =
�0 si � < �01 si � � �0
: (5)
La ecuación de Schrödinger en unidades atómicas (ver apéndice C) tiene la forma
�12r2(�; �; ') = �(�; �; ') (6)
donde la condición de frontera es
(�0; �; ') = 0 (7)
Si hacemos la de�nición
c2 = 2�
e introducimos
= R (�)S (�) � (') (8)
en la ecuación (6), las ecuaciones resultantes son una tercia de ecuaciones diferenciales ordinarias:
� 1
� (')
d2
d'2� (') = m2 (9)
d
d�
�(1� �2)dS (�)
d�
�+
�A� k2a2�2 � m2
1� �2
�S (�) = 0 (10)
d
d�
�(�2 � 1)dR (�)
d�
���A� k2a2�2 + m2
�2 � 1
�R (�) = 0 (11)
11
en donde A y m son constantes de separación.
La solución de (9) es directa, se propone � (') = eip� y se sustituye en la ecuaciónd2
d'2� (') +m2� (') = 0�
p2 +m2�eip� = 0
la solución para p es p = �im. Las soluciones son eim� y e�im�. Se aplica la condición de unicidad
� (') = � ('+ 2�). Queda eim� = 1, por eso debe cumplirse m entero. Entonces basta con usar
una de las exponenciales porque contiene a la otra. Al normalizar la función con la condición
A22�Z0
j� (')j2 d� = 1
se obtiene que A =p1=2� de modo que
� (') =1p2�eim� (12)
2.1.3 Solución de la ecuación angular en series de polinomios asociadosde Legendre
Haciendo
c2 = a2k2; A = �lm (c)
la ecuación (10) puede escribirse para la parte angular en la variable �, con �1 � � � 1, como�1� �2
� d2Slm (c; �)d�2
� 2� dSlm (c; �)d�
+
��lm (c)� c2�2 �
m2
1� �2
�Slm (c; �) = 0: (13)
Cuando a = 0 la caja prolata (el elipsoide) se convierte en una esfera. En este caso (ver [5])
regresamos al problema de campo central y como ahora c = 0, entonces Slm (c = 0; �) = Y ml (�; '),
donde Y ml (�; ') son los armónicos esféricos. Su forma es Y ml (�; ') = Nl;mPml (�) e
im', con m un
número entero, y �lm (c = 0) = l (l + 1). Pml (�) son los polinomios asociados de Legendre y Nl;m es
una constante de normalización.
La ecuación que cumplen los polinomios asociados de Legendre es�1� �2
� d2Pml (�)d�2
� 2� dPml (�)
d�+
�l (l + 1)� m2
1� �2
�Pml (�) = 0; (14)
con l = 0; 1; 2; :::
La ecuación (13) es invariante si cambiamos � ! ��, de donde resulta que la solución tiene paridad
bien de�nida ([6]), es decir Slm (c;��) = �Slm (c; �). Para que esto se cumpla la función Slm (c; �)
debe estar dada exclusivamente en términos de potencias pares de �, o únicamente en potencias
impares de esa variable.
El método para encontrar Slm (c; �) consiste en representarla en serie de polinomios asociados de
12
Legendre
Slm (c; �) =1X
r=0 ó 1
dr(c)Pmm+r (�) (15)
con r iniciando desde 0 y corriendo solamente sobre enteros pares, o bien, iniciando desde 1 y
corriendo sobre enteros impares para tener soluciones que cumplan con tener paridad bien de�nida.
Sustituyendo (15) en (13)�1� �2
� d2P1r=0 ó 1 drP
mm+r (�)
d�2� 2�
dP1
r=0 ó 1 drPmm+r (�)
d�
+
��lm (c)� c2�2 �
m2
1� �2
� 1Xr=0 ó 1
drPmm+r (�) = 0
Haciendo el álgebra1X
r=0 ó 1
dr
��1� �2
� d2Pmm+r (�)d�2
� 2�dPmm+r (�)
d�
+
��lm (c)� c2�2 �
m2
1� �2
�Pmm+r (�)
�= 0
Organizando términos1X
r=0 ó 1
dr
8<:�1� �2� d2Pmm+r (�)d�2� 2�
dPmm+r (�)
d�� m2
1� �2Pmm+r (�)| {z }
+��lm (c)� c2�2
�Pmm+r (�)
= 0
Usando la ecuación (14), los primeros 3 términos (los indicados con la llave) se sustituyen por
�l (l + 1)Pmm+r (�) = � (m+ r) (m+ r + 1)Pmm+r (�) de modo que la expresión anterior queda
como1X
r=0 ó 1
dr�� (m+ r) (m+ r + 1)Pmm+r (�) +
��lm (c)� c2�2
�Pmm+r (�)
= 0: (16)
Considerando que se cumple que
�2Pms (�) =(s�m+ 1) (s�m+ 2)
(2s+ 1) (2s+ 3)Pms+2 (�)
+(s+m+ 1) (s�m+ 1) (2s� 1) + (s+m) (s�m) (2s+ 3)
(2s+ 1) (2s+ 3) (2s� 1) Pms (�) (17)
+(s+m) (s+m� 1)(2s+ 1) (2s� 1) Pms�2 (�)
De aquí en adelante usamos el subíndice s = l + � en lugar de s = m + r para coincidir con la
notación usada por Anjana Bagga [7] y sus colaboradores.
13
De�niendo los coe�cientes
As =(s�m+ 1) (s�m+ 2)
(2s+ 1) (2s+ 3)
Bs =(s+m+ 1) (s�m+ 1) (2s� 1) + (s+m) (s�m) (2s+ 3)
(2s+ 1) (2s+ 3) (2s� 1) (18)
Ds =(s+m) (s+m� 1)(2s+ 1) (2s� 1)
tenemos una notación más corta
�2Pms (�) = AsPms+2 (�) +BsP
ms (�) +DsP
ms�2 (�) : (19)
En la ecuación (16) cambiamos m + r por s y donde aparece r hacemos s �m, después sustuimos
(19) para tener1Xs
ds�m��s (s+ 1)Pms (�) +
��lm (c)� c2�2
�Pms (�)
= 0;
o bien1Xs
ds�m��s (s+ 1)Pms (�) + �lm (c)Pms (�)� c2
�AsP
ms+2 (�) +BsP
ms (�) +DsP
ms�2 (�)
�= 0
la suma se hace sobre s con m �ja.
Reacomodando la expresión anterior:1Xs
ds�m���s (s+ 1) + �lm (c)� c2Bs
�Pms (�)� c2AsPms+2 (�)� c2DsP
ms�2 (�)
= 0 (20)
El siguiente paso es factorizar Pms (�), pero para eso hace falta cambiar los subíndices del cuarto y
del quinto término. Escribimos el cuarto poniéndole prima1Xs0
ds0�mAs0Pms0+2 (�)
y hacemos s0 + 2 = s, de modo que1Xs
ds�m�2As�2Pms (�) (21)
Para el quinto término hacemos algo similar. Le ponemos prima1Xs0
ds0�mDs0Pms0�2 (�)
y hacemos s0 � 2 = s, por lo que ahora queda como1Xs0
ds�m+2Ds+2Pms (�) (22)
Sustituyendo (21) y (22) en (20) y factorizando Pms (�) obtenemos1Xs
���s (s+ 1) + �lm (c)� c2Bs
�ds�m � c2ds�m�2As�2 � c2ds�m+2Ds+2
Pms (�) = 0 (23)
Ningún polinomio asociado de Legendre se puede escribir en términos de la suma de otros polinomios
asociados de Legendre porque son un conjunto de funciones linealmente independientes. Eso quiere
14
decir que expresiones de la forma siguiente
Pms (�) = a1Pms1 (�) + a2P
ms2 (�) + :::+ akP
msk(�) + :::
no existen. Por eso (23) puede sumar cero solamente si los coe�cientes que están entre llaves son
cero ��s (s+ 1) + �lm (c)� c2Bs
�ds�m � c2ds�m�2As�2 � c2ds�m+2Ds+2 = 0 (24)
Para escribirla en detalle cambiamos todo lo que sigue en (18): para la expresión As hacemos
s! s� 2
As�2 =(s�m� 1) (s�m)(2s� 3) (2s� 1)
y para la expresión Ds hacemos el cambio s! s+ 2
Ds+2 =(s+m+ 2) (s+m+ 1)
(2s+ 5) (2s+ 3)
Sustituyendo As�2, Bs y Ds+2 en la ecuación (24) resulta��s (s+ 1) + �lm (c)� c2
(s+m+ 1) (s�m+ 1) (2s� 1) + (s+m) (s�m) (2s+ 3)(2s+ 1) (2s+ 3) (2s� 1)
�ds�m (25)
�c2 (s�m� 1) (s�m)(2s� 3) (2s� 1) ds�m�2 � c2
(s+m+ 2) (s+m+ 1)
(2s+ 5) (2s+ 3)ds�m+2 = 0
Si se despeja ds�m+2 de esta expresión, se obtiene una fórmula para calcular los coe�cientes que
aparecen en la expresión (15) que nos permite conocer la función Slm (c; �) que satisface la ecuación
angular. El problema es que allí aparece el eigenvalor �lm (c), de modo que el primer problema es
encontrarlo.
Para recuperar la notación de Anjana Bagga y sus colaboradores hacemos s = l + � en (25) y se
obtiene la expresión de estos autores
[� (l + �) (l + � + 1) + �lm (c) (26)
�c2 (l + � +m+ 1) (l + � �m+ 1) (2l + 2� � 1)(2l + 2� + 1) (2l + 2� + 3) (2l + 2� � 1)
�c2 (l + � +m) (l + � �m) (2l + 2� + 3)(2l + 2� + 1) (2l + 2� + 3) (2l + 2� � 1)
�dl+��m
�c2 (l + � �m� 1) (l + � �m)(2l + 2� � 3) (2l + 2� � 1) dl+��m�2
�c2 (l + � +m+ 2) (l + � +m+ 1)
(2l + 2� + 5) (2l + 2� + 3)dl+��m+2 = 0
Una vez que se conoce el conjunto de valores de �lm (c) se calcula una serie de polinomios asociados
de Legendre de grado par. Se parte de conocer d0 y d2 para obtener d4, d6, d8... También se puede
calcular una serie de polinomios asociados de Legendre de grado impar, partiendo de d1 y d3 para
obtener d5, d7, d9...
Anjana Bagga y colaboradores describen, como se explica enseguida, el procedimiento de cálculo del
15
eigenvalor �lm (c):
Se hace � = 0 en la ecuación (26)��l (l + 1) + �lm (c)� c2
(l +m+ 1) (l �m+ 1) (2l � 1) + (l +m) (l �m) (2l + 3)(2l + 1) (2l + 3) (2l � 1)
�dl�m
�c2 (l �m� 1) (l �m)(2l � 3) (2l � 1) dl�m�2 � c2
(l +m+ 2) (l +m+ 1)
(2l + 5) (2l + 3)dl�m+2 = 0;
se multiplica por 1dl�m
�l (l + 1) + �lm (c)� c2(l +m+ 1) (l �m+ 1) (2l � 1) + (l +m) (l �m) (2l + 3)
(2l + 1) (2l + 3) (2l � 1)
�c2 (l �m� 1) (l �m)(2l � 3) (2l � 1)
dl�m�2dl�m
� c2 (l +m+ 2) (l +m+ 1)
(2l + 5) (2l + 3)
dl�m+2dl�m
= 0;
se despeja �lm (c)
�lm (c) = l (l + 1) + c2(l +m+ 1) (l �m+ 1) (2l � 1) + (l +m) (l �m) (2l + 3)
(2l + 1) (2l + 3) (2l � 1) (27)
+c2(l �m� 1) (l �m)(2l � 3) (2l � 1)
dl�m�2dl�m
+ c2(l +m+ 2) (l +m+ 1)
(2l + 5) (2l + 3)
dl�m+2dl�m
:
Pero dl�m�2dl�m
y dl�m+2
dl�mson funciones de c2 también, por eso el procedimiento no acaba aquí.
Luego se hace � = 2 en (26) y resulta
f� (l + 2) (l + 3) + �lm (c)
� c2
(2l + 5) (2l + 7) (2l + 3)[(l +m+ 3) (l �m+ 3) (2l + 3)
+ (l +m+ 2) (l �m+ 2) (2l + 7)]g dl�m+2
�c2 (l �m+ 1) (l �m+ 2)(2l + 3) (2l + 1)
dl�m � c2(l +m+ 4) (l +m+ 3)
(2l + 9) (2l + 7)dl�m+4 = 0
si multiplicamos por 1dl�m
resulta
f� (l + 2) (l + 3) + �lm (c) (28)
� c2
(2l + 5) (2l + 7) (2l + 3)[(l +m+ 3) (l �m+ 3) (2l + 3)
+ (l +m+ 2) (l �m+ 2) (2l + 7)]g dl�m+2dl�m
�c2 (l �m+ 1) (l �m+ 2)
(2l � 1) (2l + 1) � c2 (l +m+ 4) (l +m+ 3)(2l + 9) (2l + 7)
dl�m+4dl�m
= 0
Después se propone que dl�m+2
dl�my dl�m+4
dl�msean potencias de c2 de la forma
dl�m+2dl�m
= p2c2 + p4c
4 + ::: (29)
dl�m+4dl�m
= p02c2 + p04c
4 + :::
dl�m�2dl�m
= p00
2 c2 + p
00
4 c4 + :::
16
Reescribimos la ecuación (27) como:
�lm (c) = l (l + 1) +Nc2 +Mc2dl�m�2dl�m
+ Jc2dl�m+2dl�m
:
en donde
N =(l +m+ 1) (l �m+ 1) (2l � 1) + (l +m) (l �m) (2l + 3)
(2l + 1) (2l + 3) (2l � 1)
M =(l �m� 1) (l �m)(2l � 3) (2l � 1)
J =(l +m+ 2) (l +m+ 1)
(2l + 5) (2l + 3)
que están en función de l y m.
Se sustituye en (26), que es la expresión de �lm (c), junto con las expresiones de:dl�m+2
dl�m; dl�m+4
dl�m; dl�m�2dl�m
que fueron dadas en (27), y se lleva a la forma
c2 fp2 [�(l + 2)(l + 3) + l(l + 1)]� Sg+
c4np4 [�(l + 2)(l + 3) + l(l + 1)]� S + p2(N �H �R)� p
0
2To+ ::: = 0
hasta cuarto orden, en donde
H =(l +m+ 3) (l �m+ 3) (2l + 3)
(2l + 5) (2l + 7) (2l + 3)
R =(l +m+ 2) (l �m+ 2) (2l + 7)
(2l + 5) (2l + 7) (2l + 3)
S =(l �m+ 1) (l �m+ 2)
(2l + 3) (2l + 1)
T =(l +m+ 4) (l +m+ 3)
(2l + 9) (2l + 7)
las cuales son funciones de l y m.
Las potencias c2; c4; :::; c2n; ::: son linealmente independientes, por lo tanto los términos entre llaves
son cero.
Al anularse el coe�ciente de c2 resulta que
p2 =S
l(l + 1)� (l + 2)(l + 3) ;
y al anularse el coe�ciente de c4 resulta que
p4 =Tp
0
2 + (H +R�N)p2l(l + 1)� (l + 2)(l + 3)
Encontramos p2 pero para encontrar p4 se necesita seguir desarrollando la serie de potencias supe-
riores de c2, y así sucesivamente.
Conocidos p2; p4; p02; p04; p
00
2 ; p00
4 se conocen los coe�cientes dados en (29) y con eso se conoce �lm (c)
usando (27), lo cual permite conocer Sl;m(c; �) usando (15).
Por último, como se verá más adelante, usando (34) se obtiene la solución a la parte radial Rl;m(c; �).
17
Este procedimiento complicado ha sido resuelto con diferentes métodos de cómputo, pero recien-
temente se ha introducido uno extremadamente simple de utilízar en el software Mathematica. A
partir de la versión 6.0 se puede usar el comando:
Series[SpheroidalEigenvalue[l;m; c]; fc; 0; 3g]
que produce
�lm (c) = l (l + 1)�2�l2 +m2 + l � 1
�4l2 + 4l � 3 c2 + :::
El comando puede dar aproximaciones superiores cambiando el 3 por el orden que se desee. Las
expresiones se complican mucho.
Esta expresión para �lm (c) puede usarse en el estudio del ión molecular de hidrógeno, pues como se
verá en otro capítulo, la parte angular del problema es matemáticamente igual.
Conocido �lm (c) se calcula la función Slm (c; �) con la serie de coe�cientes d0, d2, d4, d6, d8..., y
también con la serie de coe�cientes d1, d3, d5, d7, d9...
Este problema también puede ser resuelto mediante un comando del software Mathematica, por
ejemplo para l en general y m = 0 es:
Series[SpheroidalPS[l; 0; c; �]; fc; 0; 3g]
y da
Sl;0 (c; �) = Pl (�) +
"� l (l � 1)2 (2l + 1) (2l � 1)2
Pl�2 (�) +(l + 1) (l + 2)
2 (2l + 1) (2l + 3)2Pl+2 (�)
#c2 +O
�c4�
Así, se puede gra�car la función esferoidal angular para l y m �jos, con el orden de precisión que se
desee.
Para el ión molecular de hidrógeno la función de onda Sl;m (�) es la misma que la obtenida en este
capítulo.
2.1.4 Solución de la ecuación radial en series de funciones de Besselesféricas
Anjana Bagga y sus colaboradores aprovechan la transformación encontrada por Carson Flammer[8]
(ver apéndice D) la cual relaciona Rlm (c; �) con Slm (c; �) de la forma siguiente:
Rlm (c; �) =
Z 1
�1eic��
��2 � 1
�m2�1� �2
�m2 Slm (c; �) d�; (30)
de modo que al sustituir el desarrollo en serie de Slm (c; �) en términos de los polinomios asociados
de Legendre se obtiene
Rlm (c; �) =
Z 1
�1eic��
��2 � 1
�m2�1� �2
�m2
1Xr=0 ó 1
drPmm+r (�) d�;
18
o bien
Rlm (c; �) =��2 � 1
�m2
1Xr=0 ó 1
dr
Z 1
�1eic��
�1� �2
�m2 Pmm+r (�) d�
En las expresiones anteriores se usó l = m+ r:
Rlm (c; �) =��2 � 1
�m2
1Xr=0 ó 1
drIlm (c; �) (31)
con
Ilm (c; �) =
Z 1
�1eic��
�1� �2
�m2 Pml (�) d�;
una integral que calculamos enseguida.
Se parte de la siguiente expresiónZ �
0
d� (sen�)jmj+1
eiR cos �Pjmjl (cos �) = 2il+jmj
(l + jmj)!l + jmj!
jl (R)
Rjmj; (32)
con jl (R) la función de Bessel esférica de orden l. Esta expresión fue obtenida por Gouesbet y Lock
en [9]. Ver también [10].
Para estudiar el lado izquierdo de la ecuación (32) hacemos el cambio de variable � = cos �, tenemos
d� = � d�p1��2
y resulta Z 1
�1
d�p1� �2
�1� �2
� jmj+12 eiR�P
jmjl (�)
comparando esta expresión con Ilm (c; �) vemos que haciendo R = c� es la misma expresión, por eso
para m > 0:
Ilm (c; �) =
Z 1
�1eic��
�1� �2
�m2 Pml (�) d� = 2i
l+jmj (l + jmj)!l + jmj!
jl (c�)
(c�)jmj (33)
Sustituyendo (33) en (31):
Rlm (c; �) = 2il+jmj (l + jmj)!
l + jmj!��2 � 1
�m2
1Xr=0 ó1
dr2il+jmj (l + jmj)!
l + jmj!jl (c�)
(c�)jmj (34)
La serie se puede conocer si se calculan los coe�cientes dr. En el Software Mathematica se dispone
de un comando que la calcula y permite dibujar Rlm (c; �) para l;m; c dada. Esto se hace en la
siguiente sección.
La condición de caja esferoidal prolata con paredes impenetrables es la condición de frontera es
Rlm (c; �0) = 0 (35)
El procedimiento para encontrar el valor de c que hace que se anule la función radial para �0 �ja se
describe enseguida.
Se selecciona el estado físico mediante los números cuánticos l y m. Se escoge el tamaño de la
caja mediante �0 y se sustituye en (34). De la expresión (29) sabemos que los coe�cientes dr son
expresiones con potencias de c2, c4, .... La serie in�nita de (34) se trunca al seleccionar un valor
�jo de r para obtener un polinomio en potencias de c2, que está igualado a 0 debido a (35). Así
19
el problema de calcular los valores de c que cumplen con la condición de frontera (35) consiste en
encontrar raíces de polinomios.
2.1.5 Obtención del espectro de energía
Con el software Mathematica este problema se aborda con los siguientes comandos:
Se gra�ca Rlm (c; �0) respecto a c. En este ejemplo tomamos l = 2 y m = 0 con �0 = 3. Se usa el
comando:
Plot[SpheroidalS1[2; 0; c; 3]; fc; 0; 9g;MaxRecursion� > 1; P lotPoints� > 20]
y se obtiene una grá�ca como la siguiente:
Figura 6. Función de R en términos de la variable c.
Con el análisis de la �gura 6 sabemos dónde buscar el valor más pequeño de c en el que la grá�ca
cruza el eje horizontal y se ubica el intervalo en el que se realiza la búsqueda usando el siguiente
comando para buscar una raíz (en la �gura el intervalo es 1:5 � c � 2:5):
FindRoot[SpheroidalS1[2; 0; c; 3]; fc; 2; 3g;WorkingPrecision� > 5]
Se pueden encontrar sucesivamente las raíces de R20 (c; �0) = 0 escogiendo otros intervalos de c
situados más a la derecha.
Por ejemplo, se utiliza el siguiente comando para encontrar la raíz del estado base:
FindRoot[SpheroidalS1[0; 0; k; 10]; fk; 1; 2g;WorkingPrecision� > 5]
En la Tabla 1 se presentan los valores de la energía para l = 0; :::; 4 y m no negativo. Debido a que
20
se cumple la siguiente relación [11]
Rml (c; �) = R�ml (c; �);
los estados cuánticos con m negativa tienen la misma energía que aquellos con m positiva. Por lo
tanto todos los niveles de energía con m > 0 son doblemente degenerados:
Tabla 1
l m E (hartrees)0 �0 0:593851 �0 1:17761 �1 1:23372 �0 1:94272 �1 1:97662 �2 2:04283 �0 2:86413 �1 2:88523 �2 2:93813 �3 3:01374 �0 3:93204 �1 3:94744 �2 3:99054 �3 4:05664 �4 4:1420
En la Tabla 2 se muestran las energías correspondientes a los estados base, primero y segundo
excitados, tomando el primer cero de la función esferoidal prolata para una caja con �0 = 3:
Tabla 2
Estado Números cuánticos Energía (hartrees)Base l = 0; m = 0 0:59385Primer estado excitado l = 1; m = 0 1:1776Tercer estado excitado l = 2; m = 0 1:9427
El resultado es que tenemos un conjunto de raíces de la ecuación (35) que se numeran como cn;l;m.
El número n indica de cuál cero se trata. Asignaremos n = 1 al c más pequeño y así sucesivamente
de manera creciente. Los números l y m indican a cuál estado físico se re�ere.
En unidades atómicas las energías se denotan como
�n;l;m =1
2c2n;l;m
Si se desea regresar a las unidades del sistema internacional multiplicamos por }2mea20
, con me la masa
21
del electrón:
En;l;m =}2
2mea20c2n;l;m
Hemos estudiado las raíces de los estados R0;0 (c; �0), R1;0 (c; �0), R2;0 (c; �0) con �0 = 1:5; 1:6; :::; 4.
El resultado se muestra en la Tabla 3 y también en la �gura 7 (energía en Hartrees):
Tabla 3. Valores de energía para partícula con�nada dentro de una caja esferoidal prolata
� E base 1er: excit 3er: excit1:3 5:701 1 9:313 0 14:0931:4 4:247 4 7:236 5 11:2481:5 3:352 5 5:889 9:2961:6 2:675 2 4:935 7:8821:7 2:305 9 4:22 6:7971:8 1:973 9 3:664 5:937 51:9 1:714 6 3:214 5 5:2412:0 1:506 7 2:856 5 4:665 52:1 1:336 9 2:555 4:183 52:2 1:196 0 2:301 1 3:775 52:3 1:077 4 2:084 9 3:4262:4 0:976 37 1:898 7 3:123 52:5 0:889 65 1:737 5 2:862:6 0:814 35 1:596 6 2:630 52:7 0:748 48 1:472 4 2:427 12:8 0:684 45 1:362 6 2:246 92:9 0:638 45 1:264 9 2:086 43:0 0:593 83 1:177 6 1:942 73:1 0:553 25 1:099 2 1:812 93:2 0:516 74 1:028 1:697 13:3 0:483 62 0:964 4 1:591 63:4 0:453 78 0:906 35 1:495 93:5 0:426 69 0:853 5 1:408 23:6 0:401 98 0:804 95 1:328 33:7 0:378 45 0:760 6 1:255 23:8 0:358 45 0:719 85 1:187 93:9 0:339 66 0:682 35 1:126 14:0 0:322 04 0:647 75 1:068 8
22
Figura 7. Energías del estado Base y del primer y tercer estados excitados.
2.1.6 Grá�cas de las funciones de onda para el estado base y los dosprimeros estados excitados
Las regiones en las que el electrón puede ser encontrado están dadas por el valor absoluto de la
función de onda
l;m(�; �; ') = Rl;m(�)Sl;m(�)�l;m(')
y pueden ser calculadas para qualquier l;m siguiendo el procedimiento explicado previamente. Los
ejemplos que aquí mostramos son: el estado base, el primer y el tercer estados excitados.
Gra�camos las densidades de probabilidad radial y angular, dadas por:
jRlm (c; �)j2 =�������2 � 1�m2
1Xr=0 ó 1
2il+m(l + jmj)!l + jmj! dr
jl (c�)
(c�)jmj
�����2
;
y
jSlm(c; �)j2 =�����
1Xr=0 ó 1
dr(c)Pml=m+r(�)
�����2
para los valores de los números cuánticos especi�cados en cada �gura, y con el valor de c que
corresponde a la raíz más pequeña de cada parte radial de la función de onda:
Así, para l = 0, m = 0, c = 1:0899 se tiene
23
Figura 8. Densidad de probabilidad en la coordenada radial.
y
Figura 9. Densidad de probabilidad en la coordenada angular.
Ahora, para l = 1, m = 0, c = 1:5346 se obtiene
24
Figura 10. Densidad de probabilidad en la coordenada radial.
y
Figura 11. Densidad de probabilidad en la coordenada angular.
Para l = 2, m = 0, c = 1:9711 se obtiene
25
Figura 12. Densidad de probabilidad en la coordenada radial.
y
Figura 13. Densidad de probabilidad en la coordenada angular.
Para calcular frecuencia de la radiación absorbida o emitida por la partícula cuántica al realizar
transiciones entre distintos estados, por ejemplo del estado base al primer estado excitado y viceversa,
26
partimos de la conocida expresión para la frecuencia
h� = En;l;m � En0;l0;m0 (36)
en donde l y m son números cuánticos y n numera la raíz de Rl;m(c; �).
Debemos recordadr que hemos venido trabajando con la expresión de la energía adimensional:
� =En;l;mEH
(37)
en donde EH = }2mea20
es la unidad de energía llamada hartree.
Así, la expresión (36) para la frecuencia puede escribirse de la siguiente forma:
� =EHh[�n;l;m � �n0;l0;m0 ] =
}2mea20
h[�n;l;m � �n0;l0;m0 ]
=}
2�mea20[�n;l;m � �n0;l0;m0 ]
o bien, considerando que �n;l;m = 12c2n;l;m:
� =}
4�mea2�c2n1;l1;m1
� c2n0;l0;m0
�(38)
Usando la expresión anterior se calculan algunos valores de frecuencias
�1;0!0;0 = 3:364 1� 1015
�1;�1!0;0 = 3:847 1� 1015
�1;�1!1;0 = 4:697 8� 1014
�2;�1!2;0 = 4:383 7� 1014
�2;�2!2;�1 = 8:753 5� 1014
o bien, en términos de longitudes de onda:�1;0!0;0 = 8:911 5� 10�8m = 89:115 nm ultravioleta lejano�1;�1!0;0 = 7:792 7� 10�8m = 77:927 nm ultravioleta lejano�1;�1!1;0 = 6:381 6� 10�7m = 638:1 nm rojo�2;�1!2;0 = 6:838 8� 10�7m = 683:88 nm rojo�2;�2!2;�1 = 3:424 8� 10�7m = 342:48 nm ultravioleta cercano
Recordemos que el rojo se encuentra entre 700 nm y 635 nm, mientras que el ultravioleta cercano
está entre 400 nm y 200 nm. El ultravioleta lejano está entre 200 nm y 11 nm.
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