matemÁticas - universidad de sonora

MATEMÁTICAS

Posgrado en Nanotecnología

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano

© 2016 – Departamento de Física

TEMARIO

5. La Función Gamma y Funciones Relacionadas

1. Función Gamma.

2. Función Beta.

3. Función de Error.

FUNCIÓN GAMMA

FUNCIÓN GAMMA

Definición.

FUNCIÓN GAMMA

Gráfica de la

función gamma

𝚪(𝒙)

FUNCIÓN GAMMA. EJERCICIO.

Pruebe la aproximación de Stirling:

𝑛! ≈ 2𝜋𝑛𝑛𝑛𝑒−𝑛

válida para 𝑛 grande; para ello, le puede ser útil considerar la

siguiente serie, llamada de Mercator, válida para −1 < 𝑥 ≤ 1:

ln 1 + 𝑥 ≈

𝑛=1

∞(−1)𝑛+1

𝑛𝑥𝑛

Solución.

Partiendo de

𝑛! =

0

∞

𝑡𝑛𝑒−𝑡𝑑𝑡 =

0

∞

𝑒𝑛 ln 𝑡−𝑡𝑑𝑡

podemos hacer el cambio de variable

𝑡 = 𝑛 + 𝑥 = 𝑛 1 +𝑥

𝑛


Con lo que el argumento de la exponencial se puede escribir

como

𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 = 𝑛 ln 𝑛 1 +𝑥

𝑛− 𝑛 + 𝑥

𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 = 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛 ln 1 +𝑥

𝑛− 𝑛 − 𝑥

Que, al usar la serie sugerida, podemos aproximar como

𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 ≈ 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛𝑥

𝑛−1

2

𝑥

𝑛

2

+1

3

𝑥

𝑛

3

−1

4

𝑥

𝑛

4

+⋯ − 𝑛 − 𝑥

𝑛 ln 𝑡 − 𝑡 ≈ 𝑛 ln 𝑛 + 𝑛 −1

2

𝑥

𝑛

2

+1

3

𝑥

𝑛

3

−1

4

𝑥

𝑛

4

+⋯ − 𝑛

Si 𝑛 es muy grande, podemos regresar a la integral y escribir

𝑛! ≈

−𝑛

∞

𝑒𝑛 ln 𝑛+𝑛 −

12𝑥𝑛

2+13𝑥𝑛

3−14𝑥𝑛

4+⋯ −𝑛

𝑑𝑡


Es decir

𝑛! ≈ 𝑒𝑛 ln 𝑛−𝑛

−𝑛

∞

𝑒𝑛 −12𝑥𝑛

2

𝑑𝑥 ≈ 𝑛𝑛𝑒−𝑛

−∞

∞

𝑒−𝑥2

2𝑛2 𝑑𝑥

que, retomando el valor de la integral (que involucra a una

gaussiana), nos permite escribir finalmente

𝑛! ≈ 𝑛𝑛𝑒−𝑛 2𝜋𝑛

con lo que se completa el ejercicio de demostración.

FUNCIÓN BETA

FUNCIÓN BETA

Definición.

FUNCIÓN BETA

Gráfica de la

función beta

𝜷(𝒙, 𝒚)

FUNCIÓN DE ERROR

FUNCIÓN DE ERROR

Gráfica de la

función de error

𝐞𝐫𝐟(𝒙, 𝒚)

Gráfica de la

función de error

complementaria

𝐞𝐫𝐟𝐜(𝒙, 𝒚)

MATEMÁTICAS




TEMARIO

5. Polinomios de Legendre y Funciones de Bessel.

1. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo

orden.

2. Ecuación de Helmholtz y el método de separación

de variables.

1. Ecuación de Helmholtz en coordenadas rectangulares.

2. Ecuación de Helmholtz en coordenadas polares

esféricas y Polinomios de Legendre.

3. Ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas

circulares y funciones de Bessel.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

DE SEGUNDO ORDEN.

En Física Teórica, el estudio de una gran cantidad de

sistemas de interés requiere de la solución de ecuaciones

diferenciales parciales que, en forma general, pueden

escribirse como: 𝐿𝜓 = 𝐹

donde 𝐿 es un operador diferencial dado por

𝐿 = 𝐿𝜕

𝜕𝑥,𝜕

𝜕𝑦,𝜕

𝜕𝑧, 𝑥. 𝑦. 𝑧

𝐹 es una función conocida, y 𝜓 es una función escalar (o

vectorial) desconocida. La Ec. (5.2.1) es lineal en y es de 2º

orden (aunque puede darse el caso de órdenes más altos).

A continuación analizaremos algunos casos especiales de

esta ecuación.

(5.2.1)

(5.2.2)


DE SEGUNDO ORDEN.

Ecuación de Laplace

Ecuación de Poisson


DE SEGUNDO ORDEN.

Ecuación de difusión o flujo de calor

Ecuación de Onda


DE SEGUNDO ORDEN.

Ecuación de onda de Schrödinger

Ecuación de Helmholtz

ECUACIÓN DE HELMHOLTZ Y EL MÉTODO

DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.

Debido a que la ecuación de Helmholtz,

𝛻2𝜑 + 𝑘2𝜑 = 0

puede obtenerse a partir de la ecuación de difusión, de la

ecuación de onda, de la ecuación de onda de Schrödinger, y se

reduce a la ecuación de Laplace cuando 𝑘2 = 0, en lo que

sigue obtendremos su solución explícita (analítica) en

diferentes sistemas de coordenadas.

La ecuación de Helmholtz es una ecuación diferencial en

derivadas parciales que puede resolverse usando el método de

separación de variables.

La ecuación se separa en ecuaciones diferenciales

ordinarias que pueden resolverse por el método de Fröbenius;

no siempre puede separarse pero cuando esto ocurre resulta

ser el método más simple.



El operador Laplaciano 𝛻2 en los sistemas de coordenadas

más conocidos adopta las formas siguientes.

Coordenadas rectangulares

𝛻2 ≡𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2

Coordenadas esféricas

𝛻2 ≡1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟𝑟2

𝜕

𝜕𝑟+

1

𝑟2 sen 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sen 𝜃

𝜕

𝜕𝜃+

1

𝑟2 sen2 𝜃

𝜕2

𝜕𝜙2

Coordenadas cilíndricas

𝛻2 ≡1

𝜌

𝜕

𝜕𝜌𝜌

𝜕

𝜕𝜌+

1

𝜌2

𝜕2

𝜕𝜙2+

𝜕2

𝜕𝑧2

(5.2.10)

(5.2.11)

(5.2.12)



Ecuación de Helmholtz en coordenadas rectangulares

En este caso, toma la forma

𝜕2𝜑

𝜕𝑥2+

𝜕2𝜑

𝜕𝑦2+

𝜕2𝜑

𝜕𝑧2+ 𝑘2𝜑 = 0

para lo cual proponemos una solución de la forma

𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑋 𝑥 𝑌 𝑦 𝑍(𝑧)

que al sustituir en la ecuación (5.2.13) lleva a

𝑌𝑍𝑑2𝑋

𝑑𝑥2+ 𝑋𝑍

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2+ 𝑋𝑌

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘2𝑋𝑌𝑍 = 0

y dividiendo entre 𝜑 = 𝑋𝑌𝑍

1

𝑋

𝑑2𝑋

𝑑𝑥2+

1

𝑌

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2+

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘2 = 0

(5.2.13)



A continuación reescribimos la ecuación anterior como

1

𝑋

𝑑2𝑋

𝑑𝑥2= −𝑘2 −

1

𝑌

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2−

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2

La ecuación se satisface si cada miembro es igual a la misma

constante (de separación), así se tiene que

1

𝑋

𝑑2𝑋

𝑑𝑥2= −𝑘𝑥

2

−𝑘2 −1

𝑌

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2−

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2= −𝑘𝑥

2

de aquí se sigue que

1

𝑌

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2= −𝑘2 + 𝑘𝑥

2 −1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2



de nuevo, esta ecuación se satisface si cada miembro es igual a

una constante

1

𝑌

𝑑2𝑌

𝑑𝑦2= −𝑘𝑦

2

−𝑘2 + 𝑘𝑥2 −

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2= −𝑘𝑦

2

Lo que permite, finalmente, escribir la última ecuación como

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2= −𝑘2 + 𝑘𝑥

2 + 𝑘𝑦2 = −𝑘𝑧

2



Como resultado de este procedimiento, la ecuación de

Helmholtz se ha separado en tres ecuaciones diferenciales

ordinarias

𝑑2𝑋

𝑑𝑥2+ 𝑘𝑥

2𝑋 = 0,𝑑2𝑌

𝑑𝑦2+ 𝑘𝑦

2𝑌 = 0,𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘𝑧

2𝑍 = 0

con

𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦

2 + 𝑘𝑧2 = 𝑘2

Así que la solución más general de la ecuación de

Helmholtz es

𝜑 𝑥, 𝑦, 𝑧 =

𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧

𝐴𝑘𝑥,𝑘𝑦,𝑘𝑧𝑋 𝑘𝑥𝑥 𝑌 𝑘𝑦𝑦 𝑍(𝑘𝑧𝑧)



Ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas

En este caso la ecuación de Helmholtz, toma la forma

1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟𝑟2

𝜕𝜑

𝜕𝑟+

1

𝑟2 sen 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sen 𝜃

𝜕𝜑

𝜕𝜃+

1

𝑟2 sen2 𝜃

𝜕2𝜑

𝜕𝜙2+ 𝑘2𝜑 = 0

A continuación consideremos el caso de simetría azimutal,

es decir, en el que no hay dependencia de la coordenada 𝜙. La

solución propuesta es de la forma

𝜑 𝑟, 𝜃 = 𝑅 𝑟 𝑃 𝜃


1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟𝑟2

𝜕𝑅 𝑟 𝑃 𝜃

𝜕𝑟+

1

𝑟2 sen 𝜃

𝜕

𝜕𝜃sen 𝜃

𝜕𝑅 𝑟 𝑃 𝜃

𝜕𝜃+ 𝑘2𝜑 = 0

es decir

𝑃

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟+

𝑅

𝑟2 sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃+ 𝑘2𝜑 = 0

(5.2.26)



y dividiendo entre 𝜑 = 𝑅𝑃

1

𝑅

1

𝑟2

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟+

1

𝑃

1

𝑟2

1

sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃+ 𝑘2 = 0

Multiplicando por 𝑟2

1

𝑅

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟+

1

𝑃

1

sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃+ 𝑘2𝑟2 = 0

la ecuación se separa como

1

𝑅

𝑑

𝑑𝑟𝑟2

𝑑𝑅

𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 = −

1

𝑃

1

sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃= 𝜆

de donde

𝑟2𝑑2𝑅

𝑑𝑟2+ 2𝑟

𝑑𝑅

𝑑𝑟+ 𝑘2𝑟2 − 𝜆 𝑅 = 0

y

(5.2.30)



1

sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃+ 𝜆𝑃 = 0

La ecuación anterior (5.2.31) es la ecuación diferencial de

Legendre. Las soluciones físicamente aceptables, en el

intervalo 0,2𝜋 , corresponden a los valores de 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1)donde 𝑙 = 0,1,2, …, y corresponden a los llamados Polinomios de

Legendre, 𝑃𝑙 𝜃 .

Para escribir la ecuación en una forma más usual,

cambiamos a la variable

𝑥 = cos 𝜃

así se tiene que

𝑑

𝑑𝜃=

𝑑𝑥

𝑑𝜃

𝑑

𝑑𝑥= − sen 𝜃

𝑑

𝑑𝑥

(5.2.31)



Con lo que

sen 𝜃𝑑

𝑑𝜃= sen 𝜃 − sen 𝜃

𝑑

𝑑𝑥= − sen2 𝜃

𝑑

𝑑𝑥= − 1 − cos2 𝜃

𝑑

𝑑𝑥

es decir

sen 𝜃𝑑

𝑑𝜃= − 1 − 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥

Usando las relaciones anteriores, la ecuación (5.2.31)

1

sen 𝜃

𝑑

𝑑𝜃sen 𝜃

𝑑𝑃

𝑑𝜃+ 𝜆𝑃 = 0

se puede reescribir como

1

sen 𝜃− sen 𝜃

𝑑

𝑑𝑥− 1 − 𝑥2

𝑑𝑃

𝑑𝑥+ 𝜆𝑃 = 0



Que nos lleva a

𝑑

𝑑𝑥1 − 𝑥2

𝑑𝑃


o

1 − 𝑥2𝑑2𝑃

𝑑𝑥2− 2𝑥

𝑑𝑃


Cuando 𝜆 = 𝑛(𝑛 + 1), con 𝑛 entero positivo, las soluciones

de la ecuación de Legendre, dada por (5.2.36), en el intervalo

−1,1 son los polinomios de Legendre de grado 𝑛, denotados

como 𝑃𝑛 𝑥 .

Los polinomios de Legendre se pueden obtener a partir de

la fórmula de Rodrigues

𝑃𝑛 𝑥 =1

2𝑛𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝑥𝑛𝑥2 − 1 2

(5.2.36)



Los primeros polinomios de Legendre son:

𝑃0 𝑥 = 1

𝑃1 𝑥 = 𝑥

𝑃2 𝑥 =1

23𝑥2 − 1

𝑃3 𝑥 =1

25𝑥3 − 3𝑥

𝑃4 𝑥 =1

835𝑥4 − 30𝑥2 + 3

𝑃5 𝑥 =1

863𝑥5 − 70𝑥3 + 15𝑥

𝑃6 𝑥 =1

16231𝑥6 − 315𝑥4 + 105𝑥2 − 5



Gráfica de los primeros polinomios de Legendre.



Función generadora de los polinomios de Legendre

Los polinomios de Legendre pueden ser obtenidos mediante

una función generadora. En este caso, la función generadora

𝐺(𝑥, 𝑡) de los polinomios de Legendre es

𝐺 𝑥, 𝑡 =1

1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2=

𝑛=0

∞

𝑃𝑛 𝑥 𝑡𝑛

La función generadora tiene una interpretación geométrica

muy simple, es el inverso de la distancia entre dos puntos, ya

que la distancia del punto 𝑟 al punto 𝑟0 es

𝑟 − 𝑟0 = 𝑟2 − 2𝑟𝑟0 cos 𝜃 + 𝑟02

donde 𝜃 es el ángulo entre 𝑟 y 𝑟0.



Si consideramos que 𝑟 > 𝑟0 e introducimos la variable 𝑡dada por

𝑡 =𝑟0𝑟

< 1

tenemos que

𝑟 − 𝑟0 = 𝑟 1 − 2𝑡 cos 𝜃 + 𝑡2

Con esto, la función generadora 𝐺(𝑥, 𝑡) de los polinomios de

Legendre se puede escribir como

𝐺 𝑥, 𝑡 =1

1 − 2𝑥𝑡 + 𝑡2=

𝑟

𝑟 − 𝑟0=

𝑛=0

∞

𝑃𝑛 𝑥 𝑡𝑛

de donde

1

𝑟 − 𝑟0=

1

𝑟

𝑛=0

∞𝑟0𝑟

𝑛

𝑃𝑛 cos 𝜃

La expresión anterior

puede ser interpretada

físicamente como el

potencial eléctrico en el

punto 𝑟 producido por

una carga unitaria

colocada en el punto 𝑟0.



Ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas

En este caso la ecuación de Helmholtz, toma la forma

1

𝜌

𝜕

𝜕𝜌𝜌𝜕𝜑

𝜕𝜌+

1

𝜌2

𝜕2𝜑

𝜕𝜙2+

𝜕2𝜑

𝜕𝑧2+ 𝑘2𝜑 = 0

Ahora la solución propuesta es de la forma

𝜑 𝜌, 𝜙, 𝑧 = 𝑅 𝜌 Φ 𝜙 𝑍 𝑧


1

𝜌

𝜕

𝜕𝜌𝜌𝜕 𝑅Φ𝑍

𝜕𝜌+

1

𝜌2

𝜕2 𝑅Φ𝑍

𝜕𝜙2+

𝜕2 𝑅Φ𝑍

𝜕𝑧2+ 𝑘2 𝑅Φ𝑍 = 0

es decir

Φ𝑍1

𝜌

𝑑

𝑑𝜌𝜌𝑑𝑅

𝑑𝜌+ 𝑅𝑍

1

𝜌2

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+ 𝑅Φ

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘2 𝑅Φ𝑍 = 0

(5.2.42)



y dividiendo entre 𝜑 = 𝑅Φ𝑍

1

𝑅

1

𝜌

𝑑


𝑑𝜌+

1

Φ

1

𝜌2

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘2 = 0

La ecuación se separa como

1

𝑅

1

𝜌

𝑑


𝑑𝜌+

1

Φ

1

𝜌2

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+ 𝑘2 = −

1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2= 𝑘𝑧

2

de donde

−1

𝑍

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2= 𝑘𝑧

2

y

1

𝑅

1

𝜌

𝑑


𝑑𝜌+

1

Φ

1

𝜌2

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+ 𝑘2 = 𝑘𝑧

2



La primera ecuación se reescribe como

𝑑2𝑍

𝑑𝑧2+ 𝑘𝑧

2𝑍 = 0

Mientras que la segunda, después de multiplicar por 𝜌2 ,

permite escribir

1

𝑅𝜌

𝑑


𝑑𝜌+

1

Φ

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+ 𝑘2𝜌2 = 𝑘𝑧

2𝜌2

y separando variables

1

𝑅𝜌

𝑑


𝑑𝜌+ 𝑘2 − 𝑘𝑧

2 𝜌2 = −1

Φ

𝑑2Φ

𝑑𝜙2= 𝜆2

Lo que lleva a

𝑑2Φ

𝑑𝜙2+ 𝜆2Φ = 0



y

1

𝑅𝜌

𝑑



2 𝜌2 − 𝜆2 = 0

Es decir

𝜌𝑑



2 𝜌2 − 𝜆2 𝑅 = 0

La ecuación anterior (5.2.52) se conoce como la ecuación

diferencial de Bessel.

Para escribir la ecuación de Bessel en una forma más usual,

cambiamos a la variable

𝑥 = 𝜌 𝑘2 − 𝑘𝑧2

con lo que podemos escribir

(5.2.52)



𝑑

𝑑𝜌=

𝑑𝑥

𝑑𝜌

𝑑

𝑑𝑥= 𝑘2 − 𝑘𝑧

2𝑑

𝑑𝑥

𝜌𝑑

𝑑𝜌= 𝜌 𝑘2 − 𝑘𝑧

2𝑑

𝑑𝑥= 𝑥

𝑑

𝑑𝑥

y

𝜌𝑑

𝑑𝜌𝜌

𝑑

𝑑𝜌= 𝑥

𝑑

𝑑𝑥𝑥

𝑑

𝑑𝑥

Con esto, la ecuación diferencial de Bessel

𝜌𝑑



2 𝜌2 − 𝜆2 𝑅 = 0

se reescribe como

𝑥𝑑

𝑑𝑥𝑥𝑑𝑅

𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝜆2 𝑅 = 0



es decir

𝑥2𝑑2𝑅

𝑑𝑥2+ 𝑥

𝑑𝑅

𝑑𝑥+ 𝑥2 − 𝜆2 𝑅 = 0

Las funciones de Bessel son soluciones de la ecuación

diferencial de Bessel, dada por la ecuación (5.2.56), donde 𝜆 es

un parámetro real no negativo; la ecuación está definida para

𝑥 ≥ 0.

La solución general cuando 𝜆 no es un entero es

𝑅 𝑥 = 𝑎𝐽𝜆 𝑥 + 𝑏𝐽−𝜆 𝑥

donde 𝐽𝜆 𝑥 queda expresada por la serie de Bessel

𝐽𝜆 𝑥 =

𝑘=0

∞−1 𝑘

𝑘! Γ(𝜆 + 𝑘 + 1)

𝑥

2

𝜆+2𝑘

(5.2.56)



Cuando 𝜆 = 𝑛, entero, se obtienen las funciones de Bessel

de orden entero, 𝐽𝑛 𝑥 , dadas por

𝐽𝑛 𝑥 =

𝑘=0

∞−1 𝑘

𝑘! 𝑛 + 𝑘 !

𝑥

2

𝑛+2𝑘

Las cuales cumplen la relación

𝐽−𝑛 𝑥 = −1 𝑛𝐽𝑛 𝑥

por lo que 𝐽−𝑛 𝑥 no es independiente de 𝐽𝑛 𝑥 , y se requiere de

una segunda solución.

La segunda solución está dada por la función de Neumann

𝑁𝜆 𝑥 =𝐽𝜆 𝑥 cos 𝜆𝜋 − 𝐽−𝜆 𝑥

sin 𝜆𝜋

Por lo que la solución general a la ecuación de Bessel es

𝑅 𝑥 = 𝑎𝐽𝑛 𝑥 + 𝑏𝑁𝑛 𝑥



Gráfica de las primeras funciones de Bessel de primer tipo,

𝐽𝑛(𝑥).



Gráfica de las primeras funciones de Bessel de segundo tipo,

𝑁𝑛(𝑥).



Cuando en la ecuación de Helmholtz, 𝑘 = 0, la ecuación se

reduce a la ecuación de Laplace 𝛻2𝜑 = 0 ; en este caso el

método de separación de variables conduce a la ecuación

diferencial de Bessel modificada

𝜌𝑑


𝑑𝜌− 𝑘𝑧

2𝜌2 + 𝜆2 𝑅 = 0

Cuya solución son las funciones de Bessel modificadas 𝐼𝜆 𝑥

𝐼𝜆 𝑥 =

𝑘=0

∞1

𝑘! Γ(𝜆 + 𝑘 + 1)

𝑥

2

𝜆+2𝑘

Cuando 𝜆 es un entero no negativo, las dos funciones de Bessel

modificadas son iguales

𝐼−𝑛 𝑥 = 𝐼𝑛 𝑥

y por lo tanto se requiere de una segunda solución

independiente de 𝐼𝑛 𝑥 .



Mientras que la segunda solución está dada por la función

de Bessel modificada de segundo tipo de orden 𝜆 , 𝐾𝜆 𝑥 ,

definida como

𝐾𝜆 𝑥 =𝜋

2∙𝐼−𝜆 𝑥 − 𝐼𝜆 𝑥

sin 𝜆𝜋

Por lo que la solución general a la ecuación de Bessel

modificada

𝜌𝑑


𝑑𝜌− 𝑘𝑧

2𝜌2 + 𝜆2 𝑅 = 0

es

𝑅 𝑥 = 𝑎𝐼𝑛 𝑥 + 𝑏𝐾𝑛 𝑥



Gráfica de las primeras funciones de Bessel modificadas de

primer tipo, 𝐼𝑛(𝑥).



Gráfica de las primeras funciones de Bessel modificadas de

segundo tipo, 𝐾𝑛(𝑥).

MATEMÁTICAS




TEMARIO

5. Variable Compleja.

1. Números complejos.

2. Funciones de variables complejas.

3. Integrales de contorno.

4. El Teorema del Residuo.

Definición. Un número complejo 𝑧, es un número que se expresa

como la suma 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 o, de manera equivalente, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, donde 𝑥e 𝑦 son dos reales cualquiera.

Se conoce a 𝑖 como la unidad imaginaria, tal que 𝑖2 = −1.

El número complejo 𝑧 también se puede representar como pares

ordenados (𝑥, 𝑦) de números reales, tal que 𝑧 = (𝑥, 𝑦); los cuales pueden

interpretarse como puntos en el plano complejo, con coordenadas

rectangulares 𝑥 e 𝑦.

Por lo anterior, se denotará con 𝑥 = Re 𝑧 a la parte real del número 𝑧,

y con 𝑦 = Im𝑧 a la parte imaginaria de 𝑧.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Los números de la forma 𝑧 = 𝑥 +𝑖0 = 𝑥 se denominan reales puros o,

simplemente, reales; y los números de la

forma 𝑧 = 0 + 𝑖𝑦 = 𝑖𝑦 se denominan

imaginarios puros o, simple mente,

imaginarios.

Igualdad de números complejos

Dos números complejos 𝑧1 = (𝑥1, 𝑦1) y 𝑧2 = (𝑥2, 𝑦2) serán iguales

siempre y cuando tengan las mismas partes reales y las mismas partes

imaginarias, es decir

𝑥1 = 𝑥2

e

𝑦1 = 𝑦2

Lo que significa que 𝑧1 y 𝑧2 corresponden al mismo punto en el plano

complejo.

Es importante mencionar que en

los números complejos no existe una

relación de orden, por lo que al

emplear números complejos no tiene

sentido afirmar que 3 + 𝑖 < 4 + 2𝑖 ;

pero sí lo tiene, como veremos más

adelante, 3 + 𝑖 < 4 + 2𝑖 .

NÚMEROS COMPLEJOS.

Para construir las operaciones básicas del algebra de los números

complejos, como lo son sumar (o restar) y multiplicar (o dividir), es

importante considerar que los números reales son un subconjunto de los

números complejos, de tal forma que muchas de las propiedades

ampliamente conocidas de los reales se extienden a los complejos.

Suma (o resta) de números complejos

Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 , se

define la suma (o resta) de 𝑧1 y 𝑧2 como

𝑧 = 𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 ± 𝑥2 + 𝑖𝑦2

es decir

𝑧 = 𝑥1 ± 𝑥2 + 𝑖 𝑦1 ± 𝑦2

La definición anterior implica que para sumar (o restar) dos números

complejos es suficiente sumar (o restar), por separado, las partes reales e

imaginarias de dichos números

NÚMEROS COMPLEJOS.

Producto de números complejos

Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, se define

el producto de 𝑧1 y 𝑧2 como

𝑧 = 𝑧1𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 𝑥2 + 𝑖𝑦2

𝑧 = 𝑥1𝑥2 + 𝑖𝑥1𝑦2 + 𝑖𝑥2𝑦1 + 𝑖2𝑦1𝑦2

es decir

𝑧 = 𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2 + 𝑖 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1

En general, el resultado del producto de dos números complejos

definido anteriormente es un número complejo.

Sin embargo, hay un caso particular de producto que aparece en

muchos campos de la física [cuando requerimos tener cantidades que

representen magnitudes reales (medibles) a partir de cantidades

complejas], el cual se obtiene mediante el uso del llamado complejo

conjugado.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Complejo conjugado de un número complejo

Sea un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, se define su complejo conjugado

𝑧∗ como

𝑧∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦

El número complejo 𝑧∗ se representa por

el punto (𝑥, −𝑦), el cual es la reflexión en el

eje real del punto (𝑥, 𝑦) que representa a 𝑧,

tal como se muestra en la figura anexa.

Con la definición anterior, se tiene que

𝑧∗𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

Lo que significa que el producto de un

número complejo 𝑧 por su complejo

conjugado 𝑧∗ resulta siempre en una

cantidad real.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Cociente (o división) de números complejos

Sean dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 (con 𝑧2 ≠0), se define el cociente de 𝑧1 entre 𝑧2 como

𝑧 =𝑧1𝑧2

=𝑥1 + 𝑖𝑦1𝑥2 + 𝑖𝑦2

Para poder realizar la operación anterior, se hace uso del complejo

conjugado (definido anteriormente).

En este caso, se multiplican el numerador y el denominador por el

complejo conjugado del denominador, a saber

𝑧 =𝑧1𝑧2

=𝑥1 + 𝑖𝑦1𝑥2 + 𝑖𝑦2

𝑥2 − 𝑖𝑦2𝑥2 − 𝑖𝑦2

es decir

𝑧 =𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2

𝑥22 + 𝑦2

2 − 𝑖𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1

𝑥22 + 𝑦2

2

NÚMEROS COMPLEJOS.

Inverso multiplicativo

Ejercicio: Sea el número complejo 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1. Encuentre el número

complejo 𝑧2 tal que 𝑧1𝑧2 = 1.

Solución.

𝑧2 =𝑥1

𝑥12 + 𝑦1

2 − 𝑖𝑦1

𝑥12 + 𝑦1

2

En este ejercicio, hemos encontrado que el número complejo 𝑧2representa el inverso multiplicativo de 𝑧1, es decir

𝑧2 = 𝑧1−1

Resumiendo, el inverso multiplicativo 𝑧−1 del número 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦está dado por

𝑧−1 =𝑥 − 𝑖𝑦

𝑥2 + 𝑦2

NÚMEROS COMPLEJOS.

Dada la estructura de los números complejos surge de manera natural

la inquietud por una representación geométrica de los mismos, para lo

cual retomamos ideas de graficación empleadas anteriormente que nos

permiten definir el plano complejo o 𝑧-plano.

El plano complejo o 𝑧-plano se forma por la intersección de los ejes

real e imaginario, tal como lo hacen los ejes 𝑥 e 𝑦 de un plano cartesiano.

Con lo anterior, podemos interpretar

geométricamente al número complejo 𝑧como el vector que va del origen al

punto (𝑥, 𝑦).

El vector 𝑧 se puede escribir como la

suma de las componentes real e

imaginaria, a saber

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

que corresponde a la representación

rectangular de un número complejo.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Módulo o valor absoluto

La interpretación vectorial de un número complejo es especialmente

útil para extender el concepto de valor absoluto de números reales al

plano complejo.

Definicion. El módulo o valor absoluto de un número complejo 𝑧 = 𝑥 +

𝑖𝑦 se define como el número real no negativo 𝑥2 + 𝑦2 y se denota por

𝑧 , es decir

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2

Geométricamente, el número |𝑧| es

la distancia entre el punto (𝑥, 𝑦) y el

origen, o la longitud del radio vector

que representa a 𝑧.

Se reduce al conocido valor

absoluto que se tiene en el conjunto de

los reales, cuando y = 0.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Módulo o valor absoluto

Es importante notar que la desigualdad 𝑧1 < 𝑧2 carece de sentido, a

menos que 𝑧1 y 𝑧2 sean reales; sin embargo, la desigualdad |𝑧1| < |𝑧2|significa que el punto 𝑧1 está más cerca al origen que lo que el punto 𝑧2 lo

está.

Algunas propiedades del módulo o valor absoluto de un número complejo

Sean 𝑧1 y 𝑧2 dos números complejos cualquiera, las siguientes

relaciones son válidas:

𝑧 ≥ Re 𝑧 ≥ Re 𝑧

𝑧 ≥ Im𝑧 ≥ Im𝑧

𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

𝑧1

𝑧2=

𝑧1

𝑧2, para 𝑧2 ≠ 0.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Desigualdad del triángulo

Si 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2, la suma

𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 + 𝑥2 + 𝑖𝑦2

corresponde al punto 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 el cual representa el punto final

del vector suma, tal como se muestra en la figura.

Usando esta interpretación geométrica

para un número complejo cualquiera, es

evidente la validez de la llamada

desigualdad del triángulo que se escribe, en

este caso, como

𝑧1 + 𝑧2 ≤ 𝑧1 + 𝑧2

En este caso, 𝑧1 + 𝑧2 representa el

módulo del número complejo que resulta de

la suma de 𝑧1 y 𝑧2, y cuyos módulos son

𝑧1 y 𝑧2 , respectivamente

NÚMEROS COMPLEJOS.

Para escribir el número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, en su representación

exponencial, se puede hacer una analogía con los vectores en el plano.

donde 𝑧 es el módulo dado por

𝑧 = Re 𝑧 2 + Im𝑧 2

mientras que el ángulo 𝜃, medido en radianes, está dado por

𝜃 = tan−1Im 𝑧

Re 𝑧

Representación en forma exponencial. Fórmula de Euler.

En este caso, usando coordenadas polares

podemos escribir

𝑥 = Re 𝑧 = 𝑧 cos 𝜃

𝑦 = Im𝑧 = 𝑧 sin 𝜃

Con lo que podemos representar al número

complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 con la expresión

𝑧 = 𝑧 cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 (1.1)

(1.2)

(1.3)

NÚMEROS COMPLEJOS.

De la expresión para el ángulo, vemos que hay un número infinito de

valores que difieren por múltiplos enteros de 2𝜋, siempre que 𝑧 ≠ 0, ya

que en tal caso 𝜃 queda indefinido; por lo anterior, se hace necesaria la

siguiente definición.

Argumento de 𝒛 (𝐚𝐫𝐠 𝒛) y su valor principal (𝐀𝐫𝐠 𝒛)

Definición. Cada valor de 𝜃 , dado por la ecuación (1.3), se llama

argumento de z, y el conjunto de todos esos valores se denota por arg 𝑧.

Definición. El valor principal de arg 𝑧, denotado por Arg 𝑧, corresponde

al único valor del argumento ubicado entre −𝜋 y 𝜋 , tal que

− 𝜋 < Arg 𝑧 ≤ 𝜋.

arg 𝑧 = Arg 𝑧 + 2𝑛𝜋 con 𝑛 = 0,±1,±2,±3,⋯

Con lo anterior, la representación polar para el número complejo

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, en su forma más general, se escribe como

𝑧 = 𝑧 cos 𝜃 + 2𝑛𝜋 + 𝑖 sin 𝜃 + 2𝑛𝜋

con 𝑧 y 𝜃 definidos anteriormente, y 𝑛 = 0,±1,±2, ±3,⋯.

(1.4)

NÚMEROS COMPLEJOS.

Si ahora se considera el desarrollo en Series de Taylor para la

exponencial, conocida como Fórmula de Euler, a saber

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃

podemos escribir al número complejo 𝑧, dado por la ecuación (1.1), como

𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃 (1.5)

o en forma más general, usando la ecuación (1.4), como

𝑧 = 𝑧 𝑒𝑖 𝜃+2𝑛𝜋 (1.6)

con 𝑛 = 0,±1, ±2,±3,⋯, y |𝑧| y 𝜃 definidos previamente.

La ecuación (1.5) se conoce como representación exponencial del

número complejo 𝑧 y es muy útil porque permite simplificar los cálculos

al hacer uso de las propiedades inherentes a la función exponencial.

NÚMEROS COMPLEJOS.

En esta representación, el complejo conjugado z* está dado por

𝑧∗ = 𝑧 𝑒−𝑖𝜃 (1.7)

La igualdad de dos números complejos 𝑧1 y 𝑧2 en representación polar

(o exponencial) ocurre si

𝑧1 = 𝑧2

y

𝜃1 = 𝜃2 + 2𝑛𝜋

con 𝑛 = 0,±1, ±2,±3,⋯.

La primera condición está relacionada con la igualdad de los módulos,

mientras que la segunda condición toma en cuenta la multiplicidad de los

valores angulares.

NÚMEROS COMPLEJOS.

Potenciación de un número complejo

Retomando la ecuación (1.5) podemos escribir una expresión para la

potencia 𝑛-ésima de 𝑧, 𝑧𝑛, de la siguiente forma

𝑧𝑛 = 𝑧 𝑒𝑖𝜃𝑛

es decir

𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛𝑒𝑖𝑛𝜃 (1.12)

para 𝑛 = 0,±1,±2,±3,⋯.

Desarrollando la exponencial compleja en senos y cosenos, podemos

escribir la expresión (1.12) como

𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 (1.13)

Las ecuaciones (1.12) y (1.13) son equivalentes y nos permiten

calcular la potencia 𝑛-ésima de un número complejo 𝑧, con la única

condición de que este debe estar escrito previamente en forma

exponencial.

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Potenciación de un número complejo

Ejemplos. Usando el desarrollo del binomio y, por otro lado, la

representación exponencial calcule lo expresado y compruebe que se

obtiene el mismo resultado.

1. 2 + 3𝑖 4

2. 5 − 6𝑖 2

3. 4𝑖 − 1 8

4. 1 + 𝑖 3

5. 1 − 𝑖 3


Raíz de un número complejo

Antes de construir la expresión más general, vamos a resolver primero

la ecuación

𝑧𝑛 = 1 (1.16)

es decir, encontrar la raíz 𝑛-ésima de la unidad.

La ecuación anterior se puede escribir como

𝑧 𝑒𝑖𝜃𝑛= 𝑒𝑖 0+2𝜋𝑘

con 𝑘 = 0,±1,±2,⋯.

De aquí, separando partes real e imaginarias, encontramos que

𝑧 = 1

y

𝜃 =2𝜋𝑘

𝑛con 𝑘 = 0,±1,±2,⋯.


Con lo que la solución para la ecuación (1.16) se puede escribir como

𝑧 = 𝑒𝑖2𝑘𝜋

𝑛 = cos2𝑘𝜋

𝑛+ 𝑖 sin

2𝑘𝜋

𝑛(1.19)

Para tener soluciones distintas, y recordando que el Argumento de un

número complejo toma valores entre −𝜋 y 𝜋, se debe considerar que

𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.20)

Gráficamente podemos representar las raíces 𝑛-ésimas de la unidad

como un polígono circunscrito en un círculo de radio 1 con 𝑛 aristas.



Extendiendo la idea anterior, pero aplicada a la ecuación

𝑧𝑛 = 𝑧0 (1.21)

se encuentra que la raíz 𝑛-ésima de dicha ecuación está conformada por el

conjunto de números complejos 𝑐𝑘 dados por

𝑐𝑘 = 𝑧0 1 𝑛𝑒

𝑖𝜃0𝑛+2𝑘𝜋

𝑛 (1.22)

con

𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.23)

El valor obtenido cuando 𝑘 = 0 se le llama raíz principal del número

complejo 𝑧0.


Resumiendo, la solución a la ecuación

𝑧𝑛 = 𝑧0 (1.21)

es el conjunto de números complejos 𝑐𝑘 dados por

𝑐𝑘 = 𝑧0 1 𝑛𝑒

𝑖𝜃0𝑛+2𝑘𝜋

𝑛 (1.22)

con

𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑛 − 1 (1.23)

Ejercicios.

1. Calcule las raíces indicadas e identifique la raíz principal.

a) 3 + 4𝑖 1 2.

b) 4 − 4𝑖 1 5.

2. Resuelva la ecuación 𝑧6 + 1 = 𝑖 3.

En el estudio de números reales, una función 𝑓 asigna a un elemento

de su dominio un elemento de su rango acorde a una expresión de la forma

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Para el caso de los números complejos, podemos construir una

herramienta similar de asociación entre dos números complejos 𝑧 y 𝑤.

Definición. Sea 𝑆 un conjunto de números complejos. Una función 𝑓de variable compleja definida en 𝑆 es una regla que asigna a cada número

complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 de 𝑆, algún número complejo 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣.

El número complejo 𝑤 se llama valor de 𝑓 en 𝑧 y se denota por 𝑓(𝑧),es decir

𝑤 = 𝑓(𝑧)

y el conjunto 𝑆 donde está definida la función 𝑓(𝑧) se llama dominio de

𝑓.

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.

Para representar gráficamente esta asignación o mapeo, se requieren 2

planos complejos: el plano 𝑧 y el plano 𝑤.

Dado que 𝑧 y 𝑤 son números complejos, relacionados por la función

𝑓, es posible escribir

𝑤 = 𝑓(𝑧)

𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦)


Lo anterior permite expresar a la función de variable compleja 𝑓(𝑧)como la suma

𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

cuando usamos representación rectangular.

Mientras que en representación exponencial podemos escribir

𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑟, 𝜃) = 𝑢(𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃)

donde se ha considerado que

𝑤 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

Si al realizar esta separación, en cualquiera de sus representaciones,

resulta que la función 𝑣 es siempre cero, entonces decimos que la función

𝑓(𝑧) es una función real de variable compleja.

En un ejercicio, que se desarrollará a continuación, se encuentra que la

función 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧∗ es de este tipo.


Ejemplo. Encuentre las partes real e imaginaria de la función

𝑓 𝑧 = 2𝑧2 − 8𝑧

y expréselas en forma rectangular [ 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦) ] y forma

exponencial [𝑢(𝑟, 𝜃) y 𝑣(𝑟, 𝜃)].

Solución.

𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 − 2𝑦2 − 8𝑥 + 𝑖 4𝑥𝑦 − 8𝑦

𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑟, 𝜃 = 2𝑟 𝑟 cos 2𝜃 − 4 cos 𝜃 + 𝑖 2𝑟 𝑟 sin 2𝜃 − 4 sin 𝜃

Ejercicios. Encuentre las partes real e imaginaria de las funciones

indicadas y expréselas en representación rectangular [𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦)] y

representación exponencial [𝑢(𝑟, 𝜃) y 𝑣(𝑟, 𝜃)].

1. 𝑓(𝑧) = 𝑧𝑧∗

2. 𝑓(𝑧) = 1 𝑧

3. 𝑓(𝑧) =2𝑧 − 8

𝑧2 + 1


Para introducir los conceptos de límite y continuidad de una función

vamos a considerar que la función 𝑓(𝑧) está definida en un dominio 𝐷 y

que 𝑧0 es un punto de 𝐷.

Definición. Sea 𝑓(𝑧) una función definida en todos los puntos de

cierta vecindad de 𝑧0, excepto, posiblemente en el mismo 𝑧0. Se dice que

𝑤0 es el límite de 𝑤 = 𝑓(𝑧), si para cualquier número positivo 휀, existe

un número positivo 𝛿 tal que

𝑓 𝑧 − 𝑤0 < 휀 siempre que 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿.

Se denota el límite de 𝑓(𝑧) con la expresión

lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) = 𝑤0

donde 𝑤0 corresponde al límite de la función 𝑓(𝑧) cuando 𝑧 se aproxima

a 𝑧0 ; y significa que la región alrededor de 𝑤0 puede hacerse

arbitrariamente pequeña conforme 𝑧 se aproxima a 𝑧0 sin importar la

forma en que lo hace.

Límites y continuidad de una función.


La definición anterior puede visualizarse en el siguiente esquema.





Continuidad de una función. La condición de continuidad para una

función de variable compleja 𝑤 = 𝑓(𝑧), en analogía con el caso de

funciones reales, se enuncia de la siguiente manera.

Definición. La función 𝑓(𝑧) es continua en el punto 𝑧0 si se cumple que

lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0)

lo que implica que lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧) existe, y que 𝑓(𝑧0) también existe.

Función polinomial 𝑃𝑛(𝑧)

Las ideas anteriormente desarrolladas permiten concluir que una

función polinomial 𝑃𝑛(𝑧) es continua para todo 𝑧, donde 𝑃𝑛(𝑧) está

definido como

𝑃𝑛 𝑧 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0

y 𝑛 es un entero positivo.

Definición. Sea 𝑓 una función cuyo dominio de definición contenga

un entorno o vecindad |𝑧 − 𝑧0| < 휀 de un punto 𝑧0. La derivada de 𝑓 en

𝑧0 es el límite

𝑓′ 𝑧0 = lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑧0)

𝑧 − 𝑧0

y se dice que 𝑓 es diferenciable en 𝑧0 cuando 𝑓′ 𝑧0 existe.

Si la derivada 𝑓′ 𝑧 existe en todos los puntos 𝑧 de una región 𝑅, se

dice que 𝑓(𝑧) es analítica en 𝑅; como sinónimos suelen usarse también

los términos regular y holomorfa.

Ejemplo: Considere una función 𝑓 dada por 𝑓 𝑧 = 2𝑧3 + 𝑧 − 𝑖. Use la

definición para mostrar que la derivada de la función 𝑓 está dada por

𝑓′(𝑧) = 6𝑧2 + 1.

Derivadas. funciones analíticas.


Suponga que 𝑓(𝑧) , 𝑔(𝑧) y ℎ(𝑧) son funciones analíticas de 𝑧 ,

entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.

1.𝑑

𝑑𝑧𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧) =

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧±

𝑑𝑔(𝑧)

𝑑𝑧= 𝑓′(𝑧) ± 𝑔′(𝑧).

2.𝑑

𝑑𝑧𝑐𝑓(𝑧) = 𝑐

𝑑𝑓(𝑧)

𝑑𝑧= 𝑐𝑓′(𝑧), donde 𝑐 es una constante.

3.𝑑

𝑑𝑧𝑓(𝑧) 𝑔(𝑧) =

𝑑𝑓 𝑧

𝑑𝑧𝑔 𝑧 + 𝑓 𝑧

𝑑𝑔 𝑧

𝑑𝑧= 𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 + 𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧) .

4.𝑑

𝑑𝑧

𝑓(𝑧)

𝑔(𝑧)=

𝑑𝑓 𝑧

𝑑𝑧𝑔 𝑧 −𝑓 𝑧

𝑑𝑔 𝑧

𝑑𝑧

𝑔(𝑧) 2 =𝑓′ 𝑧 𝑔 𝑧 −𝑓(𝑧)𝑔′(𝑧)

𝑔(𝑧) 2 , siempre que

𝑔(𝑧) ≠ 0.

Regla de la cadena para funciones de variable compleja

5. Si 𝑤 = 𝑓(𝜉) donde 𝜉 = 𝑔(𝑧), entonces

𝑑𝑤

𝑑𝑧=𝑑𝑤

𝑑𝜉∙𝑑𝜉

𝑑𝑧= 𝑓′ 𝜉

𝑑𝜉

𝑑𝑧= 𝑓′ 𝑔 𝑧 𝑔′(𝑧)

Reglas de derivación.


Suponga que 𝑓(𝑧) , 𝑔(𝑧) y ℎ(𝑧) son funciones analíticas de 𝑧 ,

entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.

6. Si 𝑤 = 𝑓(𝑧) tiene una función inversa unívoca 𝑓−1 , tal que

𝑧 = 𝑓−1(𝑤), entonces

𝑓′ 𝑧 =𝑑𝑤

𝑑𝑧y 𝑓−1 𝑤 ′ =

𝑑𝑧

𝑑𝑤

se relacionan mediante

𝑑𝑤

𝑑𝑧=

1

𝑑𝑧𝑑𝑤

7. Si 𝑧 = 𝑓(𝑡) y 𝑤 = 𝑔(𝑡), donde 𝑡 es un parámetro, entonces

𝑑𝑤

𝑑𝑧=

𝑑𝑤𝑑𝑡

𝑑𝑧𝑑𝑡

=𝑔′(𝑡)

𝑓′(𝑡)



Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales se derivan de manera similar a como se

realizan las derivadas en el cálculo elemental (de variables reales); así que

expresiones como

•𝑑𝑐

𝑑𝑧= 0, si 𝑐 es una constante.

•𝑑

𝑑𝑧𝑧 = 1

•𝑑

𝑑𝑧𝑧𝑛 = 𝑛𝑧𝑛−1

•𝑑

𝑑𝑧𝑒𝑧 = 𝑒𝑧

son válidas en el cálculo de variable compleja.

•𝑑

𝑑𝑧𝑎𝑧 = 𝑎𝑧 ln 𝑎

•𝑑

𝑑𝑧sin 𝑧 = cos 𝑧

•𝑑

𝑑𝑧cos 𝑧 = − sin 𝑧

•𝑑

𝑑𝑧tan 𝑧 = sec2 𝑧



Las llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones que

deben satisfacerse en 𝑧0 para que la derivada de una función 𝑓 exista en

𝑧0.

Suponga que la función 𝑓(𝑧) se puede escribir como

𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦

entonces, si las derivadas parciales en 𝑥 y 𝑦 de las partes real e imaginaria

satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

𝑢𝑥 𝑥0, 𝑦0 = 𝑣𝑦 𝑥0, 𝑦0

𝑣𝑥 𝑥0, 𝑦0 = −𝑢𝑦 𝑥0, 𝑦0

la derivada 𝑓′(𝑧0) existe, y se puede escribir como

𝑓′ 𝑧0 = 𝑢𝑥 𝑥0, 𝑦0 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥0, 𝑦0

El que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplan es una

condición necesaria pero no suficiente para la existencia de 𝑓′(𝑧).

Ecuaciones de Cauchy-Riemann.


Ejemplos.

1. Usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pruebe que la derivada

𝑓′(𝑧) no existe en ningún punto del plano 𝑧 para 𝑓 𝑧 = 𝑧 − 𝑧∗.

2. Verifique que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se satisfacen para

la función 𝑓(𝑧) definida por

𝑓 𝑧 = 𝑒𝑧2

𝑓 𝑧 = cos 2𝑧

𝑓 𝑧 = 𝑧2 + 5𝑖𝑧 + 3 − 𝑖

𝑓 𝑧 = 𝑧𝑒−𝑧

3. Muestre que la función 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑖𝑦3 es no analítica en

cualquier punto.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann.


MATEMÁTICAS




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