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Capıtulo 1

Senales y Sistemas de Tiempo

Discreto

Una senal es cualquier magnitud que sufre variaciones que contienen informacion decualquier tipo, matematicamente se representan por funciones de una o mas variables.Sin perdida de generalidad, la variable independiente suele ser el tiempo y su variacionpuede ser continua o discreta. En el caso de ser continua se denominan senales de tiempocontinuo o analogicas y en el caso de ser discreto se denominan senales de tiempo discreto,o en general, senales discretas.

Un sistema es cualquier elemento que transforma una senal de entrada en una senal desalida, y segun la naturaleza de senales que transforma, puede ser un sistema de tiempodiscreto o sistema de tiempo continuo. Aunque los sistemas en general pueden admitirvarias senales de entrada y salida, en este curso solo trataremos sistemas que tienen unasola entrada y una sola salida.

Originalmente lo sistemas de tiempo discreto se han utilizado para simular a los sis-temas analogicos, pero mas tarde, segun se ha ido desarrollando la electronica digital,han ido tomando entidad propia, siendo capaces de realizar transformaciones de la senalimposibles de implementar con sistemas analogicos. Actualmente los sistemas de tiempodiscreto son la base de una gran parte de los desarrollos tecnologicos.

1.1. Tipos de senales

Cualquier senal puede representarse por una funcion o conjunto de funciones ma-tematicas. Entre todas las posibles funciones, existen algunas que son basicas y tienenpropiedades especialmente importantes. Entre ellas estan:

1.1.1. La funcion delta

Tambien denominada funcion impulso, se define segun la tabla 1.1.

La funcion delta tiene una propiedad fundamental, cualquier senal se pude poner comocombinacion lineal de un conjunto de funciones delta desplazadas, como se muestra en latabla 1.2

1

2 1. Senales y Sistemas de Tiempo Discreto

Tabla 1.1: Funcion delta de tiempo continuo y discreto.

Tiempo discreto, n ∈ Z Tiempo continuo, t ∈ R

δ [n] =

1 n = 00 n 6= 0 δ (t) =

∞ t = 00 t 6= 0

,

∞∫

−∞

δ (t) dt = 1

Tabla 1.2: Propiedad basica.


x [n] =

∞∑

k=−∞

x [k] δ [n− k] x (t) =

∞∫

−∞

x (τ) δ (t− τ) dτ

1.1.2. La funcion escalon

La funcion escalon se define en tiempo discreto y en tiempo continuo segun la tabla1.3. La funcion escalon y la funcion delta se relacionan entre sı segun la tabla 1.4.

Tabla 1.3: Funcion escalon de tiempo continuo y discreto.


u [n] =

1 n ≥ 00 resto

u (t) =

1 t > 00 resto

Tabla 1.4: Relacion entre delta y escalon.


u [n] =n

∑

k=−∞

δ [k] u (t) =

∞∫

−∞

δ (τ) dτ

δ [n] = u [n]− u [n− 1] δ (t) =du (t)

dt

1.1.3. La funcion exponencial

Otra de las funciones interesantes es la funcion exponencial, definida segun la tabla1.5:

Problemas de Tratamiento Digital de Senales

1.1. Tipos de senales 3

Tabla 1.5: Funcion exponencial.


x[n] = Aαn x(t) = Aαt,

Estas funciones pueden tener un comportamiento diferente segun el valor de α: sera es-trictamente creciente cuando α > 1 (α ∈ R+), estrictamente decreciente cuando α < 1(α ∈ R+), o bien oscilatorio si el valor de α es negativo o complejo.Una propiedad muy importante es que las funciones exponenciales complejas (α ∈ C)presentan un comportamiento diferente segun estan en un dominio continuo o discreto.Estas diferencias seran la base de muchas de las peculiaridades del procesado discreto desenales. Para determinar estas diferencias, definimos una funcion exponencial complejasegun la tabla 1.6:

Tabla 1.6: Funcion exponencial compleja.


x[n] = AejΩ0n x(t) = Aejω0t

ω0 ∈ R ω0 ∈ R

En el caso del dominio de tiempo continuo, la exponencial compleja es periodica confrecuencia ω0 y con periodo fundamental T = 2π

ω0

∈ R, ya que se cumple:

x (t) = Aejω0t = x (t+ kT ) = Aejω0(t+kT )

ω0T = 2πm ⇒ T =2π

ω0(1.1)

Una particularidad de este tipo de senales es que su comportamiento viene dado por lafrecuencia, es decir, dos frecuencias diferentes dan lugar a dos senales diferentes. Ademas,una frecuencia mayor da lugar a un periodo inferior, lo cual corresponde a una mayorvelocidad de oscilacion.Las exponenciales discretas, por el contrario, tienen un comportamiento muy diferente.En primer lugar, las senales discretas con frecuencia Ω0 y Ω0 + 2πk, k ∈ Z son la mismasenal:

AejΩ0n = Aej(Ω0+2πk)n (1.2)

todas las frecuencias que estan desplazadas en los diferentes multiplos de 2π son in-distinguibles, generando una misma exponencial. Esto quiere decir que no es necesarioconsiderar todas las frecuencias, solo las que estan dentro de un intervalo de 2π son di-ferentes. Otra gran diferencia respecto del dominio continuo consiste en la periodicidad,para que una exponencial discreta sea periodica se tiene que cumplir:

AejΩ0n = AejΩ0(n+mN), m,N ∈ Z

Ω0N = 2πk ⇒ Ω0 =2πk

N, k ∈ Z (1.3)

dado que el periodo debe ser un numero entero, las unicas frecuencias posibles son los va-lores discretos que son multiplos de 2π/N,N ∈ Z. El resto de frecuencias no corresponden



−10 −5 0 5 100

0.5

1

muestra

x[n

]

Ω0=0

−10 −5 0 5 10−1

0

1

muestra

x[n

]

Ω0=π/4

−10 −5 0 5 10−1

0

1

muestra

x[n

]

Ω0=π/2

−10 −5 0 5 10−1

0

1

muestrax[n

]

Ω0=π

−10 −5 0 5 10−1

0

1

muestra

x[n

]

Ω0=3π/2

−10 −5 0 5 100

0.5

1

muestra

x[n

]Ω

0=2π

Figura 1.1: Evolucion de la oscilacion de la senal x [n] = cos (Ω0n) segun aumenta lafrecuencia.

a senales periodicas. Ademas, como las frecuencias que estan separas en 2π son identicas,para un N dado solo existen un conjunto de N frecuencias diferentes que generan senalesperiodicas:

Ωk =2πk

N, k ∈ [0, N) (1.4)

En este caso, una frecuencia mayor no necesariamente corresponde con una velocidad deoscilacion mayor y un periodo inferior, ya que segun va aumentando la frecuencia hastallegar a los multiplos de 2π, la velocidad de oscilacion se anula.Como ejemplo, en la figura 1.1 se representa la senal x [n] = cos (Ω0n) para diferentesvalores de la frecuencia.

1.2. Transformaciones basicas de las senales

Dada una senal cualquiera, x(t) o x[n], se pueden realizar transformaciones de la senalmediante transformaciones de la variable independiente. Por ejemplo, la senal x(at+ b),donde a, b ∈ R es el resultado de transformar la senal original x(t) del siguiente modo:

El parametro a realiza una expansion o una contraccion temporal de la senal, segunsea menor o mayor que uno, respectivamente. Si es negativo, ademas se realiza unainversion temporal.


1.3. Tipos de Sistemas 5

El parametro b realiza un desplazamiento de la senal en el tiempo, puede ser unretardo o un adelanto de la senal.

En el caso de la senal discreta, x[nN + n0], N, n0 ∈ Z es una senal que proviene de x[n]con las siguientes transformaciones:

El parametro N realiza un diezmado de la senal o un interpolado, segun sea mayoro menor que uno. Si es negativo tambien produce una inversion temporal.

El parametro n0 implica un desplazamiento temporal que puede ser un retardo oadelanto de la senal en el tiempo.

Problema 1.1

Dada la senal x(t) representada en la figura 1.2, representar graficamente la senal x(−2t3

+ 4).

-1 1

x(t)

t

Figura 1.2: Ejemplo de senal para transformar.

1.3. Tipos de Sistemas

Un sistema es cualquier proceso que transforma una senal de entrada en una senal desalida, puede venir dado por un operador matematico que da cuenta de dicha transfor-macion. Un ejemplo de sistema que realiza un retardo sobre la senal viene dado por lasiguiente relacion de entrada-salida: y[n] = Tx[n] = x[n− n0].Una posibilidad consiste en representar un sistema por un operador que relaciona laentrada-salida, graficamente se representa como en la figura 1.3. Segun la naturaleza de

T

x(t)

x[n]

y(t) = T x(t)

y[n] = T x[n]

Figura 1.3: Representacion grafica de un sistema.

la transformacion los sistemas pueden tener diferentes propiedades, entre las que se en-cuentran:

Memoria: un sistema no tiene memoria si la senal de salida en el instante actualsolo depende de la senal de entrada en el instante actual.

Lineal: si una combinacion lineal de entradas genera una salida que es la mismacombinacion lineal de de las salidas que se obtendrıan si las entradas actuandoindependientemente.



Invariante temporalmemte: si en la entrada se desplaza temporalmente, la salida sedesplaza temporalmente la misma cantidad.

Causal: si la senal de salida en el instante actual solo depende de la entrada en esemismo instante o anteriores, pero no posteriores.

Estable: un sistema es estable so para cualquier entrada acotada la salida esta aco-tada.

Invertible: un sistema es invertible si existe un sistema que pueda realizar la trans-formacion inversa, es decir, que permita la recuperacion de la entrada original alsistema a partir de la salida de este.

1.4. Caracterizacion de sistemas LTI

Los sistemas que cumplen las propiedades de linealidad e invariancia temporal (LTI)merecen una atencion especial, ya que en estos sistemas se pueden usar determinadas he-rramientas matematicas que simplifican su estudio, caracterizando su comportamiento deforma muy precisa. Existen multitud de herramientas para la caracterizacion de sistemasLTI:

La relacion entrada/salida

Ecuacion en diferencias + condiciones iniciales

Estructura para la realizacion del sistema

La respuesta al impulso

Funcion sistema, segun sea el caso continuo sera en el dominio de Laplace, o biensera el dominio de z para en el caso discreto.

Diagrama polos-ceros, permite definir la funcion sistema salvo una constante.

Respuesta en frecuencia del sistema.

Las tres primeras herramientas se usan en el dominio del tiempo para caracterizar todotipo de sistemas, tanto LTI como los que no lo son. La respuesta al impulso es una herra-mienta definida tambien en el dominio del tiempo y es muy util en sistemas LTI. El restode herramientas funcionan en dominios transformados y son especialmente interesantesen sistemas LTI. Los dominios transformados son herramientas matematicas artificiales,sin embargo permiten simplificar la caracterizacion y el funcionamiento del sistema.

1.4.1. Respuesta al impulso

La respuesta al impulso de un sistema es la salida del sistema cuando la entradaconsiste en un impulso, se denomina h(t) o h[n] y se representa en la figura 1.4, tanto encontinuo como en discreto. Si el sistema es LTI, conociendo la respuesta al impulso, sepuede calcular la salida del sistema para cualquier entrada. Usando las propiedades de la


1.4. Caracterizacion de sistemas LTI 7

T

δ(t)

δ[n]

h(t) = T δ(t)

h[n] = T δ[n]

Figura 1.4: Respuesta al impulso.

funcion impulso, cualquier senal de entrada se puede poner como combinacion lineal deimpulsos:

x [n] =

∞∑

k=−∞

x [k] δ [n− k] (1.5)

La senal de salida viene dada por el operador transformacion, de modo que la salidaqueda:

y [n] = Tx[n] =∞∑

k=−∞

x [k]Tδ [n− k] (1.6)

Por medio de la propiedad de linealidad e invariancia temporal, se puede simplificar larelacion anterior, obteniendo:

y [n] =

∞∑

k=−∞

x [k]h [n− k] = x [n] ∗ h [n] (1.7)

Luego la senal de salida viene dada por la convolucion de la senal de entrada con larespuesta al impulso del sistema. Los sistemas LTI estan completamente caracterizadoscon la respuesta al impulso, por esta razon, cualquier propiedad del sistema se refleja enuna propiedad equivalente en la respuesta al impulso, por ejemplo:

El sistema es causal si su respuesta al impulso cumple: h[n < 0] = 0.

El sistema tiene memoria si su respuesta al impulso cumple h[n] 6= kδ[n], k ∈ C.

El sistema es estable sik=∞∑

k=−∞

|h [k]| < ∞

Si existe un sistema inverso, la respuesta al impulso del sistema inverso (hi[n])cumple: h [n] ∗ hi [n] = δ [n]

Problema 1.2

Demostrar que se cumplen las propiedades mencionadas anteriormente.

Para recordar la operacion convolucion se propone el siguiente problema:

Problema 1.3

Calcular graficamente la convolucion entre las senales x[k] y h[k]. ¿Cual es la longitud

de la secuencia resultante?. Establecer una relacion entre las longitudes de las senales

implicadas.



−2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k (muestras)

h[k

]

−2 −1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k (muestras)

x[k

]

−3 −3

Figura 1.5: Senales para convolucionar.

La propia operacion convolucion tiene algunas propiedades matematicas que resultanmuy utiles:

Conmutativa:

y [n] = x [n] ∗ h [n] = h [n] ∗ x [n] (1.8)

Asociativa:

y [n] = (x [n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n] = x [n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) (1.9)

Distributiva

y [n] = x [n] ∗ (h1 [n] + h2 [n]) = x [n] ∗ h1 [n] + x [n] ∗ h2 [n] (1.10)

Estas propiedades matematicas generan equivalencias en la interconexion de sistemas muyutilizadas, las mas interesantes se representan en la figura 1.6.

Problema 1.4

Demostrar las equivalencias de las interconexiones de la figura 1.6.

1.4.2. Ecuacion en diferencias

En muchas ocasiones los sistemas no vienen dados mediante una relacion explıcitaentre la entrada y la salida en un instante de tiempo dado, sino que viene dados por unaecuacion en diferencias, la cual puede depender de la historia previa del sistema. Es decir,


1.4. Caracterizacion de sistemas LTI 9

+

h1[n] h

2[n]

h1[n] h

2[n] h

1[n]h

2[n]

h1[n]

h2[n]

h1[n]*h

2[n]

h1[n]+h

2[n]

Figura 1.6: Interconexiones entre sistemas.

la salida en un instante depende de la salida en instantes anteriores, como muestra ladependencia temporal en la siguiente ecuacion:

y [n] +N∑

i=0

aiy [n− i] =M∑

l=0

blx [n− l] (1.11)

esta relacion se denomina ecuacion en diferencias y tıpicamente se tratan solo las ecuacio-nes lineales con coeficientes constantes, como la mostrada anteriormente. Estas ecuaciones,al igual que sus analogas diferenciales en el dominio continuo, tienen infinitas soluciones.Para obtener una solucion unica es necesario N condiciones auxiliares que proporcionaninformacion sobre la historia previa del sistema, es decir la situacion en la que se encuentrael sistema antes de que sea excitado con una senal de entrada. La solucion de la ecuacionen diferencias es la relacion entrada/salida explıcita y viene dada por dos terminos:

y [n] = yp [n] + yh [n] , (1.12)

donde yp[n] es la solucion particular del sistema y yh[n] es la solucion homogenea, es decir,la solucion del sistema siguiente:

yh [n] +

N∑

i=0

aiyh [n− i] = 0 (1.13)

Dependiendo de la historia previa del sistema, el sistema puede no ser LTI y su evolucionsera completamente diferente. Para asegurar que el sistema es LTI y causal, que son lossistemas mas usados en la practica, hay que exigir que el sistema inicialmente este relajado,es decir, la salida en todos los instantes anteriores al actual, en los cuales no existe senalde entrada, son cero. A esta condicion se le llama sistema en reposo inicial y los sistemasque lo cumplan seran LTI y causales. Matematicamente, esta condicion es:

x [n] = 0, n ≤ n0 ⇒ y [n] = 0, n ≤ n0 (1.14)

Para calcular la salida de un sistema LTI frente a cualquier entrada en el dominio deltiempo, es necesario calcular una convolucion. Esta operacion es relativamente compleja



desde el punto de vista computacional. En ocasiones, es necesario simplificar el procedi-miento de calculo e interpretar las caracterısticas del sistema desde otros puntos de vista.Por otro lado, en el dominio de tiempo existen dificultades para interpretar la estabilidad,invertibilidad, y las variaciones de las funciones que describen las senales y los sistemas.Para resolver todos estos inconvenientes se propone la realizacion de transformaciones delas senales y los sistemas a los dominios transformados. Dependiendo del tipo de siste-mas, los dominios transformados son mas apropiados que el temporal simplificando lasoperaciones implicadas en el sistema y aportando informacion extra de las senales y lossistemas.

1.5. Caracterizacion de senales y sistemas mediante

la transformada z

El objetivo de esta seccion es repasar las propiedades mas importantes del dominio dela Transformada z, ası como la caracterizacion de los sistemas LTI en este dominio.

1.5.1. Sistemas LTI. Autofuncion

Es interesante estudiar el comportamiento de un sistema cuando la senal de entradaes una exponencial, x[n] = zn. La senal de salida que se obtiene viene dada por:

y [n] =∞∑

k=−∞

x [n− k] h [k] = zn0

∞∑

k=−∞

h [k] · z−k0 = zn0 ·H (z0) , (1.15)

donde se ha definido la funcion sistema como:

H (z0) =∞∑

k=−∞

h [k] · z−k0 , (1.16)

siempre y cuando la serie sea convergente. Se dice que la funcion sistema es la transformadaz de la respuesta al impulso h[n]. La salida del sistema es igual a la misma exponencialde la entrada, zn0 , multiplicada por un factor constante, que es igual a la funcion sistemaevaluada en un punto que es la base de la exponencial, z0. A las funciones que cumplen estapropiedad se les llama autofunciones y al factor constante autovalor. Este es un ejemplode la utilidad del dominio transformado, el cual permite calcular la salida de un sistemade una forma muy sencilla, evitando la operacion convolucion en el dominio del tiempo.Como un caso particular, la exponencial anterior puede ser compleja, z = ejΩ, en cuyocaso la funcion sistema anterior pasa a denominarse respuesta en frecuencia del sistema:

H(

ejΩ)

=∞∑

n=−∞

h [n] · e−jΩn, (1.17)

siempre y cuando la serie sea convergente. La respuesta en frecuencia coincide con lafuncion sistema cuando |z| = 1. Esta respuesta en frecuencia es la transformada de Fourierde tiempo discreto de la respuesta al impulso del sistema.


1.5. Caracterizacion en el dominio z 11

1.5.2. La Transformada z

La transformada z de una senal x[n] viene definida por:

X (z) =

∞∑

n=−∞

x [n] · z−n, (1.18)

donde z es una variable compleja, definida como z = rejΩ. Con esta consideracion latransformada queda:

X(

rejΩ)

=

∞∑

n=−∞

x [n] · r−ne−jΩn. (1.19)

Merece la pena observar que la transformada z de la senal x[n] se puede considerar como latransformada de Fourier de tiempo discreto de la senal x [n] · r−n. La serie anterior consisteen sumandos con una componente oscilatoria (e−jΩn) modulada en amplitud mediante lasenal x [n] · r−n. La convergencia de esta suma vendra dada por la convergencia en valorabsoluto, es decir, por la convergencia del factor de modulacion:

∞∑

n=−∞

∣

∣x [n] · r−n∣

∣ < ∞. (1.20)

A su vez, la convergencia de esta serie depende tanto de la senal x[n] y como del modulode z, es decir, de r. Para una senal dada, la convergencia dependera del valor de r, por lotanto, en el espacio z la region de convergencia vendra dada por una superficie anular (solodepende del modulo del numero complejo z). La superficie anular estara delimitada porlos puntos en los cuales la serie no converge, denominados los polos de X(z). Tıpicamente,la transformada z se suele representar mediante el diagrama de polos y ceros en el planoz junto con la Region de Convergencia (ROC). Un ejemplo se muestra en la figura 1.7.Para caracterizar una senal mediante su transformada z es fundamental determinar su

Realz

Imz

r1

r2

ROC:

r1<|z|<r

2

Figura 1.7: Diagrama de polos y ceros generico de un sistema junto con la region deconvergencia.

region de convergencia, ya que una misma transformada z puede provenir de dos senalesdiferentes con regiones de convergencia diferentes. Por ejemplo, la funcion:

X (z) =1

1− a · z−1(1.21)



proviene de diferentes senales x[n] segun sea la region de convergencia:

Si ROC = z, |z| > a ⇒ x [n] = anu [n].

Si ROC = z, |z| < a ⇒ x [n] = −anu [−n− 1]

Es decir, para que exista una relacion uno a uno entre el dominio temporal y el dominioz es necesario especificar la region de convergencia de la transformacion, o lo que es lomismo, los valores de z en los cuales la transformacion esta definida. Las propiedades masutiles de la region de convergencia son:

Si una senal se extiende infinitamente hacia la derecha y esta limitada por la iz-quierda (senal de lado derecho) su region de convergencia sera externa al polo masexterno, ROC = |z| > r1, siendo r1 el modulo del polo mas externo.

Si una senal se extiende infinitamente hacia la izquierda y esta limitada por laderecha (senal de lado izquierdo) su region de convergencia sera interna al polo masinterno, ROC = |z| > r2, siendo r2 el modulo del polo mas interno.

Si la senal se extiende infinitamente hacia la derecha y hacia la izquierda (senalbilateral), su region de convergencia estara limitada por su lado externo e interno,es decir, su region de convergencia sera un superficie anular limitada por dos polos,ROC = r1 < |z| < r2.

La transformada de Laplace en tiempo continuo juega un papel analogo a la transformadaz en discreto y lo mismo se puede decir de la transformada de Fourier de tiempo continuoy de tiempo discreto. Las relaciones entre todas ellas se muestran en la tabla 1.7 a modode resumen. Por otro lado, la relacion entre los planos s y z se muestran en la figura1.8. En esta figura se puede observar la geometrıa de las regiones de convergencia parasenales bilaterales. En el caso del plano s, la convergencia viene definida por la parte realde s, mientras que en el plano z es el modulo de z lo que define la ROC. La transformadade Fourier de tiempo continuo es una particularizacion de la transformada de Laplace,cuando se evalua sobre el eje imaginario. En el caso del tiempo discreto, la transformadade Fourier de tiempo discreto es una particularizacion de la trasnformada z, evaluada enel circulo de radio unidad.

1.5.3. La Transformada z inversa

Los dominios transformados son interesantes porque permiten simplificar las trans-formaciones de los sistemas y extraer informacion util de las senales y de los sistemas.Una vez realizadas las transformaciones de los sistemas en el dominio transformado, esnecesario trasladar los resultados obtenidos al dominio temporal, ya que este es el unicodominio con sentido fısico real. Para ello, es necesario utilizar la transformada z inversa,que es la operacion que permite obtener la senal temporal a partir de su transformada.La mayorıa de senales de interes practico tienen transformadas z con forma racional:

X (z) = k ·

M∏

i=1

(1− ci · z−1)

N∏

i=1

(1− di · z−1)

+ROC, (1.22)



Tabla 1.7: Relacion entre transformadas.

Tiempo continuo, t ∈ R Tiempo discreto, n ∈ Z

Transformada de Laplace Transformada z

X (s) =∞∫

−∞

x (t) e−stdt X (z) =∞∑

n=−∞

x [n] z−n

s = σ + jω z = rejΩ

Transformada de Fourier Transformada de Fourier de tiempo discreto

σ = 0, s = jω r = 1, z = ejΩ

X (ω) =∞∫

−∞

x (t) e−ωtdt X(

ejΩ)

=∞∑

n=−∞

x [n] e−jΩn

Reals

Ims

ROC:

σ1<Res<σ

2

Realz

Imz

r1

r2

ROC:

r1<|z|<r

2

σ1

σ2

Plano s

s=jω

Plano z

z=ejΩ

Figura 1.8: Relacion entre los planos s y z.

donde ci son los ceros y di son los polos de la transformada. Para este tipo de senales,existen al menos tres metodos para el calculo de la transformada inversa:

Integrando

Matematicamente, la inversa de la operacion transformada z es la integral de variablecompleja:

x [n] =1

2πj

∮

C

X (z) zn−1dz, (1.23)

donde C es un contorno cerrado incluido en la ROC. Esta tecnica es valida para cualquiertipo de X(z), racionales o no. Como contrapartida, la integral de contorno de variablecompleja puede ser relativamente complicada de calcular.

Expansion en fracciones simples

Esta tecnica es valida para funciones racionales. Si tenemos una transformada z quees un cociente de polinomios, es posible expandirlos en fracciones simples. Cada una delas fracciones simples, con su ROC asociada, tiene una transformada inversa conocida. La



transformada inversa del conjunto sera la suma de las transformadas inversas de cada unade las fracciones simples. Esta tecnica explota el hecho de que la transformacion al dominioz es una transformacion lineal, por lo tanto, la transformada (o transformada inversa) deuna combinacion lineal de funciones es la suma de las transformadas (o transformadasinversas) de cada una de ellas por separado. En general, sea la transformada X(z):

X (z) =N (z)

D (z)=

M−N∑

r=0

Brz−r +

N∑

k=1

Ak

1− dkz−1. (1.24)

La transformada inversa de cada uno de los terminos da como resultado:

x [n] =

M−N∑

r=0

Brδ [n− r] +

N∑

k=1

Akdnk ·

u [n]−u [−n− 1]

(1.25)

habida cuenta que la segunda suma de la derecha tomara un valor u otro dependiendo dela ROC.

Division larga

Es valida para funciones racionales y se basa en la division larga del polinomio delnumerador y denominador para obtener los coeficientes de zn de X(z) que correspondena x[n]. De este modo se obtienen, coeficiente a coeficiente todos los elementos x[n].

X (z) =∞∑

n=−∞

x[n]z−n =N (z)

D (z)(1.26)

Problema 1.5

Dada la senal X(z), obtener la senal x[n] mediante el metodo de la division larga para

todas las ROCs posibles:

X (z) =1

1− az−1(1.27)

1.5.4. Propiedades de la Transformada z

A modo de resumen se presentan las principales propiedades de la transformada z,figura 1.9.

1.5.5. Funcion sistema de un sistema LTI

Sea un un sistema LTI discreto como el de la figura 1.10, el cual viene definido por surespuesta al impulso. Dada la senal de entrada y la respuesta al impulso del sistema, sedesea obtener la senal de salida. Una posibilidad consiste en calcular la convolucion entrela entrada y la respuesta al impulso:

y [n] = x [n] ∗ h [n]. (1.28)



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Figura 1.9: Propiedades de la transformada z.

Sistema

LTI

discreto

x[n]

δ[n]

y[n]

h[n]

Figura 1.10: Sistema discreto LTI.

Si el sistema viene dado por su ecuacion en diferencias la senal de salida se obtienemediante dicha ecuacion, calculando la senal en cada instante y como funcion de losinstantes anteriores:

y [n] = −N∑

i=0

aiy [n− i] +M∑

l=0

blx [n− l] (1.29)

En ambos casos, el calculo de la senal de salida es complicado, ya que en un caso implicauna suma infinita y en el otro caso una suma, la cual es necesario calcular para cada valorde n de forma recursiva. Si usamos el dominio de la transformada z ambas operacionesse simplifican. En el primer caso, la convolucion se transforma en el producto de lastrasnformadas z de la entrada y la transformada z de la respuesta al impulso, denominada



funcion sistema:Y (z) = X (z)H (z)ROCX ∩ ROCH ⊆ ROCY

(1.30)

Calculando ambas transformadas y multiplicandolas se obtiene la trasnformada de lasalida, con la region de convergencia adecuada. Finalmente, calculando la transformadainversa de Y (z) se obtiene la salida del sistema evitando el calculo de la convolucion. Enel segundo caso, tambien es posible poner la transformada z de la salida como el productode la funcion sistema con la transformada de la entrada. En este caso la funcion sistemase calcula tomando transformadas z de la ecuacion en diferencias y despejando:

H (z) =Y (z)

X (z)=

M∑

l=0

blz−l

1 +N∑

i=0

aiz−i

(1.31)

Como se ha visto anteriormente, si bien en el tiempo los sistemas LTI se caracterizan conla respuesta al impulso, tambien es posible caracterizarlos con la funcion sistema y suROC asociada. De este modo, todas las propiedades de los sistemas LTI vienen dadas porlas propiedades de la funcion sistema y su ROC asociada:

Causalidad: el sistema sera causal si la ROC = z, |z| > r1, donde r1 es modulodel polo mas alejado. Es necesario que la ROC incluya el infinito.

Estable: un sistema es estable si |z| = 1 esta contenido en la ROC.

Sistema inverso: el sistema inverso de un sistema dado viene dado por la funcionsistema Hi (z) = 1

H(z), siempre y cuando las dos funciones sistema implicadas en

esta relacion tengan una region de ROC en comun.

Problema 1.6

Sean dos sistemas LTI diferentes, el sistema:

y [n] = x [n] + x [n− 1] (1.32)

y el sistema:

y [n] = x [n]− y [n− 1] (1.33)

Determinar la respuesta al impulso y la funcion sistema de cada uno de ellos. Discutir

sobre la causalidad, estabilidad e invertibilidad de los sistemas segun las propiedades de

su respuesta al impulso y de su funcion sistema. Representar en un diagrama de bloques

el funcionamiento de cada uno de los sistemas.

1.6. Caracterizacion de senales y sistemas en el do-

minio de la frecuencia

El dominio de la transformada z caracteriza completamente las senales y los sistemas,sin embargo, es un dominio en el cual se pasa de una dimension temporal a un espacio de


1.6. Caracterizacion en el dominio de la frecuencia 17

dos dimensiones, ya que z es un numero complejo con parte real e imaginaria. Por lo tanto,las funciones transformadas son funciones complejas de variable compleja. Para poderinterpretarlas es necesario obtener dos graficas tridimensionales, una para el modulo y otrapara la fase, como funcion de la parte real e imaginaria de z. Por otro lado, la variable z esdifıcil de interpretar, ya que no representa ninguna caracterıstica fısica de las senales. Porestas dos razones, el dominio z de una funcion suele ser difıcil de interpretar. Para resolvereste problema se propone restringir la variable z al cırculo unidad, z = ejΩ. De este modo,se pasa a una variable real Ω. Esta restriccion hace que la transformada z se conviertaen la transformada de Fourier de tiempo discreto. En este caso, esta transformacion seinterpreta fısicamente de forma sencilla: es una representacion de las variaciones de la senalcomo una combinacion de sinusoides de diferentes frecuencias. La frecuencia de oscilacionde las sinusoides es la variable Ω, que en este caso tiene un sentido fısico claro. Por otrolado, pasamos de un espacio temporal de una dimension al espacio de la frecuencia deuna sola dimension. Sin embargo la transformada sigue siendo una magnitud compleja,en general. En esta seccion se estudia el dominio de la frecuencia para los diferentes tiposde senales, tanto continuas como discretas, con el objeto de establecer las analogıas ydiferencias entre ellas.

1.6.1. Senales periodicas de tiempo continuo

Sea una senal periodica de tiempo continuo, como por ejemplo la representada en lafigura 1.11. Las senales periodicas se pueden expresar como una combinacion lineal deexponenciales complejas armonicas entre sı, denominadas desarrollo en serie de Fourier:

x (t) =∞∑

k=−∞

ck · ej2πkF0t, T = 1

F0

ck = 1T

∫

Tx (t) e−j2πkF0tdt

(1.34)

donde el coeficiente ck es la amplitud del armonico kF0. El valor de los coeficientes deldesarrollo de Fourier para el ejemplo de la figura 1.11 se muestra en la figura 1.12. Las

t

x(t)

τ

A

T-T −τ

Figura 1.11: Ejemplo de senal de tiempo continuo periodica.

condiciones para la existencia del desarrollo vienen dadas por las condiciones de Dirichlet.La potencia de la senal viene dada por:

Px =1

T

∫

T

|x (t) |2dt =

∞∑

k=−∞

|ck|2, (1.35)

donde |ck|2 es la potencia de cada uno de los armonicos que componen la senal.

Merece la pena notar dos caracterısticas importantes:



−5 0 5−0.5

0

0.5

1

kc

k

Figura 1.12: Coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la senal de la figura 1.11.

El periodo de la senal gobierna la separacion entre frecuencias que componen eldesarrollo de Fourier.

Las frecuencias del desarrollo forman un conjunto infinito y discreto.

1.6.2. Senales aperiodicas de tiempo continuo

En el caso anterior, si aumenta el periodo se reduce el espaciado entre las frecuenciasque componen el desarrollo en serie de Fourier. En el lımite, cuando el periodo es infinito,la senal pierde la periodicidad y se dice que es aperiodica. Las frecuencias que componen lasenal se hacen un continuo y el desarrollo en serie de Fourier se convierte en una integral,denominada la transformada de Fourier de tiempo continuo. La expresion cambia segunla ecuacion:

ck =1

T

∫

T

x (t) e−j2πkF0tdt → X (F ) =

∞∫

−∞

x (t) e−j2πF tdt (1.36)

Teniendo en cuenta estas expresiones, es facil relacionar el desarrollo en serie de Fourierpara una senal periodica y la transformada de Fourier para la senal aperiodica asociada:

ck =1

Tp

X (kF0) . (1.37)

En la figura ?? se puede observar un ejemplo de senal periodica y aperiodica con sudesarrollo en serie de Fourier y su transformada de Fourier.



Tabla 1.8: Senales y sus transformadas.

Tiempo Frecuencia

t

x(t)

τ

A

T-T −τ−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

k

ck

t

x(t)

τ

A

−τ−4 −2 0 2 40

5

10

ω (rad/s)

X(ω

)

La transformada de Fourier de una senal de tiempo continuo y su inversa se definen:

x (t) =

∞∫

−∞

X (ω) ejωtdω, X (ω) =1

2π

∞∫

−∞

x (t) e−jωtdt, (1.38)

donde las condiciones de existencia de la transformada vienen dadas por las condicionesde Dirichlet. La energıa de una senal de este tipo viene dada por:

Ex =

∫

∞

∞

|x (t) |2dt =

∫

∞

∞

|X (F ) |2dF , (1.39)

donde se puede definir Sxx = |X(F )|2 como la densidad espectral de energıa, la cual dacuenta de la energıa implicada en cada frecuencia que compone la senal.Merece la pena notar que en el caso de la transformada de Fourier de una senal aperiodicade tiempo continuo, las frecuencias implicadas en la senal forman un conjunto continuo einfinito.

1.6.3. Senales periodicas de tiempo discreto

En los apartados anteriores, para caracterizar las senales de tiempo continuo hemosnecesitado un conjunto de frecuencias infinito. En el caso de senales periodicas, el intervaloademas de infinito era discreto. En el tiempo discreto solo disponemos de un rango limitadode frecuencias de extension 2π, ya que el resto de frecuencias son identicas a las de esteintervalo.Con esta consideracion, una secuencia periodica con periodo N como la mostrada enla figura 1.13 tiene un desarrollo en serie de Fourier que consta de N exponenciales



armonicamente relacionadas:

x [n] =N−1∑

k=0

ck · ej 2πk

Nn

ck =1N

N−1∑

n=0

x [n] · e−j 2πk

Nn,

(1.40)

donde ck es la amplitud del armonico k/N y es facil demostrar que ck = ck+N , es decir,los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier son periodicos, como consecuencia de quecorresponden a frecuencias identicas. Esta caracterıstica se puede observar en el desarrolloen serie de Fourier de la senal mostrada en la figura 1.13, dicho desarrollo se muestra enla figura 1.14.Merece al pena notar las siguientes caracterısticas:

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n

]

Figura 1.13: Ejemplo de senal periodica de tiempo discreto.

0 10 20 30 400

1

2

3

k

ck

Figura 1.14: Coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de la senal de la figura 1.13.

El periodo de la senal N gobierna la separacion entre frecuencias que componen lasenal.

Las frecuencias forman un conjunto discreto de extension finita.

Los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier son periodicos con el mismo periodoque la senal, N .

En el caso de senales periodicas de tiempo discreto, se define la potencia media de la senalcomo:

Px =1

N

N−1∑

k=0

|x[n]|2 =

N−1∑

k=0

|ck|2, (1.41)



donde |ck|2 es la potencia de cada uno de los armonicos que componen la senal.

1.6.4. Senales aperiodicas de tiempo discreto

Analogamente a las secciones anteriores, se aborda una situacion en la cual el periodode la senal discreta va aumentando hasta el lımite de perder al periodicidad. El espaciadoentre frecuencias del desarrollo en serie de Fourier va disminuyendo hasta formar uncontinuo de frecuencias a lo largo del intervalo de frecuencias de 2π, fuera de este intervalolas frecuencias seran identicas. La expresion del desarrollo en serie de Fourier se convierteen la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), segun la ecuacion:

ck =1

N

N−1∑

n=0

x [n] · e−j 2πk

Nn ⇒ X (Ω) =

∞∑

n=−∞

x [n] e−jΩn (1.42)

Teniendo en cuenta estas expresiones, es facil observar la periodicidad de la transformadade Fourier debido a que las frecuencias separadas en un multiplo de 2π son identicas,X (Ω) = X (Ω + 2πk) , k ∈ Z. Ademas, es posible relacionar el desarrollo en serie deFourier para una senal discreta periodica y la transformada de Fourier para la senaldiscreta aperiodica asociada:

ck =1

NX

(

2πk

N

)

, k = 0, . . . , N − 1 (1.43)

En la figura 1.9 se puede observar un ejemplo de senal discreta periodica y aperiodica consu desarrollo en serie de Fourier y su transformada de Fourier de tiempo discreto.

Tabla 1.9: Senales y sus transformadas.

Tiempo Frecuencia

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n

]

0 10 20 30 400

1

2

3

k

ck

−10 −5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x[n

]

−10 −5 0 5 100

5

10

Ω (rad/s)

X(Ω

)



La transformada de Fourier de tiempo discreto se define:

X (Ω) =∞∑

n=−∞

x [n] e−jΩn

x [n] = 12π

∫

2πX (Ω) ejΩndΩ

(1.44)

donde las condiciones de existencia de la transformada tambien vienen dadas por lascondiciones de Dirichlet. La energıa de una senal de este tipo viene dada por:

Ex =∞∑

∞

|x [n] |2 =1

2π

∫ π

π

|X (Ω) |2dΩ, (1.45)

donde se puede definir Sxx = |X(Ω)|2 como la densidad espectral de energıa, la cual dacuenta de la energıa implicada en cada frecuencia que compone la senal.Merece la pena notar que en el caso de la transformada de Fourier de una senal aperiodicade tiempo discreto, las frecuencias implicadas en la senal forman un conjunto continuo yde extension finita.

Relacion con la transformada z

Si la transformada z de una senal incluye en su region de convergencia el cırculo unidad,la transformada de Fourier de tiempo discreto se puede considerar un caso particular dela transformada z evaluada en este circulo unidad:

X (z) =∞∑

n=−∞

x [n] z−n, z = rejΩ

|z| = 1 ∈ ROC ⇒ X (Ω) =∞∑

n=−∞

x [n] e−jΩn(1.46)

Puede resultar conveniente recordar la representacion grafica de la region de convergenciade una transformada z, la cual se muestra en la figura 1.15. Como un ejemplo, tratamos

Realz

Imz

r1

r2

ROC:

r1<|z|<r

2

Plano z

z=ejΩ

Figura 1.15: Region de convergencia de una transformada z cualquiera.

la senal x[n]:

x [n] =

1 0 ≤ n ≤ 90 resto

(1.47)


1.7. Referencias 23

El modulo de la transformada z como funcion de la parte real e imaginaria de z para lasenal x[n] se representa en la figura 1.16. Tambien se muestra la evaluacion en el circulode radio unidad, obteniendo la transformada de Fourier de tiempo discreto.

Figura 1.16: Modulo de la transformada X(z) y evaluacion de la transformada z en elcirculo de radio unidad.

Propiedades de la DTFT

Las propiedades mas interesantes de la transformada de Fourier de tiempo discretose muestran en la tabla de la figura 1.17. Entre todas estas propiedades, merece la penaresaltar la relacion entre la paridad y el caracter complejo e imaginario de las senales enel dominio temporal y sus correspondientes transformadas. Un resumen grafico de estapropiedad se muestra en al figura 1.18.

A modo de resumen de todas las transformadas tratadas en el capıtulo, se presenta latabla de la figura 1.19. En ella se resumen las transformaciones necesarias para pasar deldominio del tiempo a los transformados y al reves. Ademas, se ponen de manifiesto lasrelaciones entre periodicidad y caracter discreto en cada uno de los dominios.

1.7. Referencias

[1] A. V. Oppenheim, R. Schafer, and J. R. Buck, Discrete-Time Signal Processing, 2/ed.Prentice-Hall, 1999.[2] J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital Signal Processing. Principles, Algorithmsand Applications, 3/ed. Prentice-Hall, 1996.



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Figura 1.17: Relacion entre la paridad y el caracter real o imaginario de la senales y sustransformadas.


1.7. Referencias 25

Par

Impar

Par

Impar

Impar

Par

Impar

Par

Dominio del

tiempo

Dominio de

la frecuencia

Real Real

Imaginaria Imaginaria

Figura 1.18: Relacion entre la paridad y el caracter real o imaginario de la senales y sustransformadas.

Figura 1.19: Resumen de las transformaciones que relacionan el espacio de Fourier con eltiempo en todos los casos estudiados.


cap´ıtulo 1 sen˜ales y sistemas de tiempo...

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