CAPÍTULO VII 71

GENERALIDADES SOBRE TRANSFORMACIONES

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

TRANSFORMACIÓN Es una correspondencia entre cada elemento de un conjunto A (llamado objeto) con un elemento de un conjunto B (llamado imagen), de forma que:

a) objetos diferentes tienen imágenes diferentes. b) cada elemento de B es imagen de uno de A.

Es pues una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos de A y los de B.

Se dice también que la transformación "transporta" el elemento de A al

correspondiente de B. O que "transforma" el conjunto A en el conjunto B. A los elementos correspondien tes se les llama también "homólogos".

TRANSFORMACIONES PUNTUALES DEL PLANO (DEL ESPACIO) Son las que transportan el conjunto S de los puntos del plano (del espacio)

sobre sí mismo.

Puntos dobles son aquellos que son imagen de sí mismos.

Figuras dobles o figuras invariantes son aquellas cuyos puntos se transforman en puntos de la misma figura.

Transformación identidad es aquella en que todos los puntos son dobles.

TRANSFORMACIÓN INVERSA Dada una transformación T del conjunto A sobre el B, se llama transformación inversa de T (o T-1), la transformación de B sobre A, en que cada elemento d e B se transforma en el elemento de A que era su objeto en la trans -formación T.

PRODUCTO DE DOS TRANSFORMACIONES

El producto de T1 por T2 es la transformación que resulta de aplicar primero la transformación T1 y a continuación la T2.

El producto se representa así: T = T1 x T2 ó T1 x T2 = T

Corolario: T x T-1 = transformación identidad = I.

TRANSFORMACIÓ N INVOLUTIVA: Aquella transformación tal que:

T x T = I (ó bien T2 = I). (I = Identidad).

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GRUPO DE TRANSFORMACIONES Es un conjunto no vacío de trans-formaciones de un conjunto A sobre si mismo en el que se cumple:

a) La inversa de cada transformación es otra transfor mación del conjunto. b) El producto de dos transformaciones es también una transformación del

conjunto.

Si el producto de dos transformaciones del grupo cumple la propiedad conmutativa (T1 x T2 = T2 x T1), el gru po se llama abeliano.

TRANSFORMACIONES PUNTUALES ELEMENTALES EN EL PLANO

Consideraremos las siguien tes: traslación, rotación, simetría central y reflexión. Al conjunto de pun tos del plano lo llamaremos S.

TRASLACIÓN Es una transformación de S sobre sí mismo, de modo que 2 homólogos P y P' cumplen en magnitud y sentido que

ABPP ='

siendo AB un vector dado llamado "vector de la traslación". La traslación se simboliza así: T (A, B ).

Una recta paralela a AB se llama "guía de traslación".

Corolarios: a) No hay puntos dobles. b) Las traslaciones del plano forman grupo abeliano. o) Una recta se transforma en una recta pa ralela a la

primera.

ROTACIÓ N Es una transformación de S sobre sí mismo, de modo que 2 homólogos, P y P' cumplan que:

a) OP = OP'

b) POP ˆ ' = θ a en valor y signo

Siendo O un punto fijo llamado centro de rotación, y θ un ángulo llamado

ángulo de giro.

Podemo s simbolizar una rotación así: R (O, θ ).

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Corolarios: Las rotaciones concéntricas forman un grupo abeliano.

El centro de rotación es doble. SIMETRÍA CENTRAL Transformación de S sobre si mismo tal que O sea el punto medio de PP' (siendo P y P' homólogos).

O es un punto fijo, llamado centro de simetría.

Podemos simbolizarla así: R(O)

Corolarios: a) La simetría central es una tran sformación involutiva: b) Puede considerarse como una rotación alrededor de O,

siendo θ = 1800

REFLEXIÓN O SIME TRÍA AXIAL Dada una recta fija 1 del plano, se llama reflexión sobre 1 o simetría axial

respecto a 1 a la transformación del conjunto S sobre sí mismo tal que 1 sea la mediatriz de PP' (P y P', puntos homólogos)

a la recta 1 se la llama eje de simetría.

Corolario: La reflexión es una transformación involutiva.

TRANSFORMACIONES PUNTUALES ELEMENTALES EN EL ESPACIO TRASLACIÓ N Es análoga a la del plano. ROTACIÓ N ALREDEDOR DE UN EJE Dada una recta 1 llamada eje de rotación, si P y P' son puntos homólogos:

a) P y P' están en un p lano perpendicular a 1.

b) Si dicho p lano perpendicular corta el eje en L, PL = P'L y PLP' =

θ en valor y signo.

REFLEXIÓ N EN UNA RECTA: PP' es bisecado por una recta 1 y es

perpendicular a 1 (Equivale a una rotación de θ = 180º alrededor del eje 1). REFLEXIÓ N EN UN PUNTO O SIMETRÍ A CENTRAL

PP' queda bisecado por un punto fijo O, llamado centro de simetría.

Conserva alineaciones y ángulos.

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REFLEXIÓN EN UN PLANO (o simetría respecto a un plano, o simetría especular).

PP' es perpendicular a un plano n y queda bisecado por él.

Se llama simetría especular, porque es la transformació n objeto -imagen en un espejo.

MOVIM IENTOS DE FIGURAS DEL PLANO

Las transformaciones enunciadas para el plano (traslación, rotación, simetría respecto a un eje) se llaman también movi mientos, dado que cualquier figura del objeto puede transportarse a su figura imagen mediante un movimiento físico.

La traslación y la ro tación pueden obtenerse deslizando el objeto sobre el plano hasta que ocupe el lugar de la imagen. En cambio, la simetría respecto a un eje puede solamente materializarse en un movimiento si la figura objeto se ha ce girar 180º, saliéndose del plano, para volver a caer en él.

Dado que las transformacio nes elementales pueden reducir se a movimientos, es decir, dado que moviendo el objeto se le puede llevar a coincidir con la imagen, objeto e imagen son siempre figuras congruentes.

Puede comprobarse, aplicando a un triá ngulo ABC dichas transformaciones, que la traslación y la rotación conservan el sentido de giro (el sentido de giro del objeto y la ima gen son idénticos); mientras que la reflexió n invierte el sentido de, giro o sea, las pri meras son transformaciones directas la última es inversa.

Puede demostrarse que cualquier movimiento del plano es uno de los tres elementos citados, o bien un producto de dos de ellos (producto de una traslación por una reflexión sobre una recta por ejemplo).

En particular, todo movimiento en el plano puede reducir se al producto de dos o tres reflexiones en recta.

MOVIMIENTOS DE FIGURAS DEL ESPACIO

Las transformaciones elementales en el espacio siguientes se llaman también movimientos:

1. Traslación

2. Rotación alrededor de un eje

3. Reflexión en una recta.

Porque puede transportarse el objeto a la imagen mediante un movimiento físico. Por eso, objeto e imagen son congru entes. Las transformaciones citadas se llaman directas.

En cambio, las restantes transformaciones del espacio (reflexión en un punto, reflexión en un plano), no son movimientos. Objeto e imagen no son congruentes, no se pueden superponer. Esto se puede comprobar, p. e. en la reflexión en un plano, o reflex ión especular, llamada así por ser la trans formación objeto-imagen que se produce en un espejo plano. Si colocamos la mano derecha ante su espejo, la imagen que se obtiene es idéntica a la mano izquierda. Y la mano derecha no se p uede superponer con la ma no izquierda: no se podría ni aunque pudiesen penetrar una dentro de la otra. Tienen las mismas dimensiones -son isométricas - pero no congruentes.

Ello se debe a que la reflexión especular, como la sime tría respecto a un punto, cambian el sentido de giro: si un tetraedro ABCD, tiene por imagen A'B'C'D', y un observador situado en A ve el triángulo BCD teniendo que girar en un sentido, por ejemplo, positivo (contrario al de las agujas de un reloj), un observador situado en A' verí a B'C'D' en sentido negativo. Por eso se las llama transformaciones inversas; e imagen y objeto son isométricas inversas entre sí. En cambio, la traslación, la rotación alrededor de un eje, y la reflexión en una recta, son transformaciones directas y dan u na imagen congruente (o isométrica directa) con el objeto. Las transformaciones inversas no son movimientos; las directas, sí lo son.

Un caso especial de movimiento en el esp acio es el pro ducto de una traslación por una rotación alrededor de una guía: se l e llama movimiento helicoidal. Puede demostrarse que cua lqu i er movimiento en el espacio equivale, desde el punto de vista geométrico que sólo considera la posición inicial y la final, a un movimiento helicoidal.

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APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Uno de los métodos más útiles para resolver problemas relacionados con figuras, se basa en:

1) Transformar dicha figura en otra, en que el problema se convierta en-un problema más fácil.

2) Resolver el problema más fácil en la figura imagen. 3) Invertir la transformación para obtener el resultado del problema en la

figura original.

En forma fácil de entender y recordar, este procedimiento puede resumirse en tres palabras: transformar, resolver, invertir.

Este método general no sólo se aplica en geometría: su pongamos que tenemos que multiplicar en números romanos:

LIX multiplicado por XXIII

Lo más cómodo para nosotros sería:

1) transformar los números romanos en arábigos: 5 9 multiplicado por 23

2) resolver el problema en arábigos: 59 x 23 = 1357

3 ) invertir la transformación, pasando el resultado a números romanos: LIX multiplicado por XXIII es igual a MCCCLVII

En álgebra, geometría analítica, etc.; los cambios de variable se suelen hacer para aplicar un método muy similar. Ejemplos de problemas geométricos que se pueden resolver mediante transformaciones: Ejemplo 1

Dadas dos circunferencias exteriores m y n, una recta r y un segmento 1,

construir un segmento paralelo a r, de longitud 1, y que tenga sus extremos en m y n.

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Para orientarnos, supondremos el problema resuelto

Se observa que una traslación paralela a r de vector de longitud 1 llevará

el punto A al B. Efectuaremos pues dicha transformación con la circunferencia m,

obteniendo m' (etapa transformar). Obtendremos B por intersección de m' con n (etapa: resolver). Y finalmente, por la traslación inversa, obtendremos A (etapa invertir). Queda resuelto el problema.

Aplicación:

Obtenemos dos soluciones A 1 B1 y A2 B

2

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78

Ejemplo 2

Dada una recta r y dos puntos A y B en un mismo semiplano respecto a

r , encontrar el camino más corto de A a B Pasando por r.

Para orientarnos, supondremos el problema resuelto:

Sea el camino AMB,

Una simetría respecto a r trasladará B al semiplano opues to. Obtenemos B' tal

que AM + MB = AM + MB' el cual será mínimo cuando A, M y B' estén en líne a recta.

El lector puede aplicarlo a resolver el problema. Véase que transformamos B en B' el camino MB en el camino MB'. Resolvemos el problema de que el camino AB' sea mínimo, obtenien do M. Finalmente invertimos la transformación pasando el camino MB' a su simétrico M B. Ejemplo 3

Dado un punto A y dos rectas 1 y m; hallar un triángulo equilátero ABC tal que B y C estén en 1 y m.

Suponiendo lo resuelto, para orientarnos y razonar, observa mos que un giro de

60º alrededor de A llevará al punto B sobre el vértice C.

Las etapas serán pues: 1) Transformar la recta 1 mediante un giro de 60º alrededor de A

obteniendo 1'. 2) Hallar la intersección de 1 ' com m obteniendo C.

3) Invertir el giro, girando C en sentido inverso, para obtener B, quedando resuelto el problema.

Aplicación:

NOTA/ Hemos hecho girar 1 en sentido inverso alrededor de A.

Obtendríamos otra solución haciéndola gi rar de nuevo, en sentido directo.

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EJERCICIOS 80

CAPÍTULO VII

Ejercicios resueltos

VII -1. Hallar la trayectoria mínima que, partiendo de A, toque la semirrecta m, el segmento n ,

la semirrecta p y llegue a B.

Resolución:

Supongamos que toque m, n y p en los puntos M, N y P respectivamente. (Suponemos el problema resuelto.)

AM, MN, NP y PB deben ser segmentos rectilíneos (distancia más corta entre 2 Puntos).

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Transformaremos el problema mediante reflexiones en rectas. Una reflexión

respecto a p transforma B en B 1 y PB en PB 1

El camino NP + PB es igual a NP + PB 1 el cual será mínimo si N, P y B1 est á n alineados; es decir, NP + PB = N B1; lo cual nos permitiría determinar P si conociéramos N. Una reflexión respecto a m transforma B1 en B 2; N B 1 en N B2

El camino M N + N P + P B = M N + N B 2 será mínimo si M, N y B 2 están alineados; en ese caso MN + NB 2 = MB2; lo que permitiría determinar N conociendo M.

Una reflexión respecto a m transforma B2 en B 3; M B2 = M B3.

El camino AM + MB2 = AM + M B3 será mínimo si A, M y B3 es tán alineados.

Lo que permitiría determinar M; y siguiendo pasos inversos a los anteriores, determinar N y P para la trayectoria mínima, como se ilustra en la siguiente figura:

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VII -2. Construir un trapecio conociendo las bases y los lados. Resolución: Suponiendo el problema resuelto:

Una transformación que sea una traslación de v ector PN traslada P a N y Q a S; 1' pasa a ser NS. El triángulo MNS tiene los 3 lados conocidos: 1, 1' y b - b' ; lo podemos construir, resolviendo el problema después de la transformación.

Una transformación inversa, traslación de vector NP, nos proporcionará P y Q, quedando resuelto el problema.

Como se ve, aplicamos el método de las transformaciones (transformar, resolver, invertir la transformación).

Aplicaremos el problema a unos datos concretos:

Construimos el triángulo de lados 1 , 1' y b - b':

E invertimos la transformación:

Obteniendo el trapecio buscado. VII- 3. Construir un triángulo equilátero cuyos vértices estén so bre tres

ci rcunferencias concéntricas d a d a s .

Resolución: Supondremos, como siempre, el problema resuelto.

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Observamos que el punto A podría trasladarse, mediante un giro alrededor de O del conjunto, a cualquier punto de m. Por consiguiente podemos escoger un A arbitrario en m. Un giro de 60 º alrededor de A, transforma B en C; este giro transforma n en n' ; C tiene que estar en p (primer lugar geométrico) y por otra parte, por ser imagen de B, tiene que estar en n' (segundo lugar geométrico). Luego C queda determinado por la intersección de n' y p (2 soluciones). Pero como el giro puede hacerse en 2 sentidos, podemos obtener como máximo 4 soluciones para cada punto A. Como se ve, aplicamos el método de las transformaciones completado con el de los lugares geométricos. Invirtiendo el giro obtendríamos B.

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Aplicamos el método a un caso concreto:

Hemos determinado cuatro posibles puntos C. Tomando uno de ellos, por ejemplo C21 invirtiendo el giro obtendremos una de las soluciones:

De forma análoga obtendríamos las otras 3 soluciones.

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VII - 4. Construir un triángulo rectángulo isósceles ABC, siendo A (vértice del ángulo recto) un punto dado y tal que B y C' se encuentren sobre 2 circunferencias dadas m y n.

Resolución: Supongamos resuelto el problema:

Observamos que una rotación de 90º alrededor de A :

- transforma B en C (sobre n) - transforma m en m' - luego C estará en la intersección de m' y n.

Como el gira de 90 º se puede hacer en 2 sentidos distintos, hay 2 circunferencias posibles m'; que al cortar a n pueden dar máximo 4 puntos.

Obtenido C, se invierte el giro de 90º alrededor de A y se obtiene B. Aplicación a unos datos concretos:

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Vemos que m'2 no corta a n ni da, por tanto, ninguna solución.

m'1 sí corta a n, dando C1 y C 2 con los que obtenemos las soluciones AB1C1 y

AB 2C2.

VII - 5. Trazar tangentes exteriores comunes a dos circunferencias.

Resolución: Suponiendo el problema resuelto:

T1T2 es perpendicular a O1T1 y a O 2T2, las cuales son pa ralelas entre sí.

Una traslación de T1T2 con vector 22OT lleva T2 a O 2, y T1 a T'1; se forma el triángulo rectángulo O1T'1O2, de hipotenusa O1O2 conocida y

un cateto O1T'1 = r1 - r2 también conocido.

Se puede construir ese triángulo (máximo 2 soluciones), y prolongando O1T '1y trazándole la paralela O2T2 se pueden obtener los puntos T1 y T2.

Aplicación:

VII -6. Resolver un triángulo conociendo a, A y mb

Resolución: Suponiendo resuelto el problema:

Vemos que AM = MC; tomando una simetría central respecto a M, A se transforma en C y viceversa; B en B'.

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ABCB' es un paralelogramo; AB' = a. A está en el arco capaz de A respecto BM (primer lugar geométrico). También está a distancia a de B' (segundo lugar geométrico).

Con lo expuesto podemos resolver el problema: Datos:

Colocamos en posición 2 veces mb; trazamos el arco capaz de A respecto BM;

trazamos la circunferencia de centro B' y radio a; donde se corten se halla A:

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VII – 7 Const ru i r un t r i ángu lo conociendo l a s 3 medianas.

Resolución: Supondremos e l problema r e s u e l t o y hacemos una s imetr ía c e n t r a l respecto a M como en e l problema a n t e r i o r :

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El triángulo AGG' tiene lados conocidos, que valen 32

de las

medianas.

La mediana AM de dicho triángulo es la mitad del lado b. GB es 32

mb . Lo cual permitirá construir el triángulo ABC.

Aplicación: Datos

Calculamos gráficamente los 2/3:

Construimos AGG'; y completamos ABC:

Ejercicios propuestos VII - 8. Construir un triángulo equilátero cuyos vértices estén sobre 3 rectas paralelas

dadas. VII-9. Construir una circunferencia de radio dado r, que pase por un punto P, e

intercepte en una circunferencia dada a una cuerda de longitud también dada 1.

VII-10 Dadas 2 circunferencias exteriores m y n y una recta r, trazar otra recta r' paralela a r que corte a m y n. según cuerdas iguales. (Sugerencia: aplique una traslación con guía r).

VII-11 Construir un cuadrado ABCD de forma que A y C estén en la recta r, y B y D estén

en las circunferencias m y n, respectivamente.

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(Sugerencia: aplique una reflexión respecto a r.)

VII -12 Dado un cuadrilátero cualquiera ABCD y un punto O en su interior,

construir un paralelogramo MNPQ de forma que sus vértices estén en los lados del cuadrilátero y su centro (punto de intersección de las diagonales) sea O. (Sugerencia: aplique una simetría de centro O.)

VII - 1 3. Dadas 2 circunferencias ext eriores, trazar tangentes inte riores

comunes. VII -14. Hallar la longitud de una tangente exterior común (distan cia entre puntos

de tangencia) a dos circunferencias de radios r y r' y distancia entre centros d.

(R.: 1 = ))'( 22 rrd −−

VII -15. Id. para tangentes interiores comunes.

(R.: 1 = ))'( 22 rrd +−

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